विश्लेषण - सीमाएँ और निरंतरता

'(1) अनिश्चित रूप से व्यंजक \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\) पाएं।\n(2) x-a=h मानें, तो x=a+h, जब x \\longrightarrow a होता है, तो h \\longrightarrow 0 होता है। निम्नलिखित समीकरण पाएं:\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'निम्नलिखित सीमाओं का मान निकालें।'

''

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं। ध्यान दें, (3) में \ a \ एक स्थिर है।'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें, जहां (a) एक स्थिर मान है।'

'समीकरण और असमीकरण साबित करने के तरीके की व्याख्या करें।'

'डिफ़रेंशियल और उसका हिसाब: डिफरेंशियल ढूंढने के लिए परिभाषा की व्याख्या करें।'

'(20) सीमा शर्तों से अनुक्रम के संबंधित संख्या निर्धारित करें\nसीमा शर्तों से अनुक्रम के संबंधित संख्या के संक्रमण।\nउदाहरण: अनुक्रम {an} को एकत्रित होने के लिए, किसी निश्चित संख्या a को पूर्वनिर्धारित किया जाना चाहिए। इस संख्या a का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'मशहूर समीकरण और उससे संबंधित सीमा'

'निम्नलिखित सीमा की खोज करें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को पता करें।'

'अभ्यास: कर्व y=√(4-x) को C के रूप में लें। t (2≤t≤3) के लिए, कर्व C पर बिंदु (t, √(4-t)), मूल बिंदु, और बिंदु (t, 0) से बनने वाली त्रिभुज क्षेत्रफल को S(t) के रूप में चिह्नित करें। अंतराल [2,3] को n बराबर भागों में विभाजित करें, जहां सीमा बिंदुओं और विभाजन बिंदुओं को लघु से अधिक से अधिक क्रम में t₀=2, t₁, t₂, ⋯, tₙ₋₁, tₙ=3 के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ)) की सीमा मान खोजें।'

'निश्चित अंकगणित और संचयों की सीमा, और असमानताओं के बारे में सीखें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें: (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'एक सरणी {In} को शर्त से परिभाषित करें I0 = ∫₀¹ e^(-x) dx, In = (1/n!) ∫₀¹ x^n e^(-x) dx (n=1,2,3,......)। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n (1) I0 और I1 ढूंढें।\n (2) n≥2 के लिए In-In-1 का n के शैली में व्यक्त करें।\n (3) सीमा lim(n→∞) In ढूंढें।\n (4) Sn=∑(k=0,n) 1/k! की परिभाषा करें। lim(n→∞) Sn ढूंढें।'

'जब अनुक्रम {an}(n=1,2,3,⋯⋯) lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6 को संतुष्ट करता है, तो lim_{n→∞}nan= \\ square।'

'कार्य की सीमा ढूंढें: निम्नलिखित शर्तों के तहत कार्य f(x) ढूंढें:\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

''

'निम्नलिखित सीमाएं ढूंढें।\n(1) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n(2) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n(2) टोक्यो डेंकी विश्वविद्यालय'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'सरणी {an(x)} का विचार करें, जहाँ an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x (0≤x≤π)।'

'अनुक्रम की सीमा खोजें (2) ... विचित्र अभिव्यक्तियाँ'

''

'समान का सीमा आप क्या है?'

'क्षेत्र से संबंधित सीमा खोजें।'

'अनुक्रम {an} की सीमा का पता लगाएं।'

'{ an(x)} एक प्रश्न में परिभाषित दायरे से है द्वारा निर्धारित है an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π)।'

'\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\) की सीमा क्या है?'

'समीकरणों की सततता और विभिन्नियता का विवरण दें।'

'निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'श्रेणी {an} की सीमाएं खोजें'

'यदि विभेदी समनात्मक अस्तित्व में हो, तो \\( f(x) \\) \ x=a \ पर सांदर्भिक है'

'अनुक्रम 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... की सीमा का अध्ययन करें।'

'निम्नलिखित अनुक्रम की सीमाएँ खोजें:\n\nअनुक्रम { n^k } के लिए, जब k एक सकारात्मक पूर्णांक है, एक सकारात्मक राशियों है और एक सकारात्मक अमूर्त संख्या है, तो प्रत्येक की सीमाएं खोजें।'

'एनथ टर्म द्वारा प्रतिष्ठित अनुक्रम की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रत्यक्षित अनुक्रम की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा को खोजें।'

'निष्कर्ष निकालें \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \।'

'n वाक्य के लिए प्रत्येक n वाक्य के द्वारा प्रतिनिधित अनुक्रम की सीमा की खोज करें।'

'कृपया समस्या को हल करें: \\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\) की सीमा पाने की'

''

'n वार्षिक के लिए निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित अनुक्रम की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा की मान निकालें।'

'निम्नलिखित अनुक्रमों की सीमा खोजें:'

'निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'(2) यदि $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$ है, तो $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$। क्योंकि $S_n$ चतुर्भुज के क्षेत्रों का योग प्रस्तुत करता है, इसलिए $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$। एक और दृष्टिकोण है $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$।'

'(2) एक धरात्मक पूर्णांक श्रृंखला {an} की nवीं मान एन n अंकों वाली है। सीमा खोजें lim(n→∞) (लॉग10an)/n। [हिरोशिमा सिटी विश्वविद्यालय]'

'कृपया दिए गए सरणी {n^k} (k>0) की संघर्षण की पुष्टि करें।'

'फ़ंक्शन की एक ओर से सीमा'

'लाल चार्ट किस प्रकार से गणित कौशल को पूरी तरह से मजबूत बना सकता है?'

'62 की सीमा का पता लगाएं।'

'64\n\\[\n\\text { (1) } \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"अवकलन और विवाहित फलन\nअवकलन\nD औसत परिवर्तन दर ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD अवकलन (परिवर्तन दर)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'(4) $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$ का उपयोग करना अधिकारी है।'

'समीकरण की निरंतरता की परिभाषा को समझाएं।'

'दोहराने के द्वारा, हमें $a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$ मिलता है। इसलिए, $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$।'

'निर्दिष्ट अंकगणितों द्वारा प्रतिनिधित समारोहों की सीमा खोजें'

''

'जब अनुक्रम {a_n} और {b_n} संघटित होती हैं, तो निम्नलिखित यथार्थ हैं:'

'निम्नलिखित सीमाएँ खोजें। यहाँ एक स्थिर मान है।'

'निम्न सूत्रों की सीमा का पता लगाएं: (1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}'

'जब आकलन रेखा को सीधी रेखा y=ax+b के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो x को = ± अनंत के दिशा में पहुंचने पर f(x)/x की सीमा a है, और f(x)-ax की सीमा b है।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'यदि {an},{bn} श्रंखलाएँ संचरित होती हैं, जहां lim(n→∞)an=α और lim(n→∞)bn=β है, तो निम्नलिखित गुणधर्मों को साबित करें:\n1. स्थिर गुणक lim(n→∞)k an=kα\n2. योग - अंतर lim(n→∞)(an+bn)=α+β, lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें। \\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'सिद्ध करें कि r>1 होने पर अनुक्रम {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } का सीमा lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞ है।'

'गणित III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nइसलिए, \ n \\longrightarrow \\infty \ के रूप में, \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) का एक शून्य के लिए आसंधि उस समय होता है जब \ k-2=0 \ अर्थात \ k=2 \ और \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'गणित III'

'उदाहरण 329 | एकतरफीसी सीमाएं और सीमाओं का होना'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\h \\longrightarrow+0\ और \h \\longrightarrow-0\ का सीमा मान एक समान है, और \\(f^{\\prime}(0)=1\\) इसका मतलब है कि \\(f(x)\\) को विभाज्य किया जा सकता है \x=0\ पर।\nइसलिए, \\(f(x)\\) \x=0\ पर निरंतर है।'

'लोपिटल के नियम का उपयोग करके, निम्नलिखित सीमा मान खोजें।'

'जब अनुक्रम {a_{n}}, {b_{n}} संप्रेषित होते हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं।'

'निम्नलिखित की सीमा का पता लगाएं।'

'$\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$ है इसलिए, सरल रेखा $y=0$ एक असंतुक रेखा है।'

'उदाहरण 19 | पुनरावृत्ति सूत्र और सीमा (3)'

'दी नवीं मान a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1} है, इसलिए, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0, इसलिए, यह अनंत श्रृंखला विचलित होती है।'

'संख्या श्रृंखला {an} का विचार करें, जहाँ एनथ टर्म एन n अंक की सकारात्मक पूर्णांक है। सीमा ढूंढें lim(n→∞)(log10 an)/n।'

'lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n और lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n निकालें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को ढूंढें।'

'क्रम {r^n} की सीमा निकालें।'

'सिद्ध करें कि यदि एक कम्प का अधिकतम सिर्फ 1 विपर्यास बिंदु है, तो कम्प के पास पल्ला नहीं होता है।'

'निम्नलिखित में सीमा खोजें। (ए) lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'समग्र प्रश्न'

'सिद्ध करें कि जब अनंत सूची {an} के सामान क्रमांक n अनंतता की दिशा में बढ़ जाता है, अगर a_n किसी स्थिर मान α की ओर अनंतता से निकट आता है, तो lim{n -> ∞} a_n=α होता है, या न की अनंतता की दिशा से n की दिशा में जाने पर a_n को α की ओर जाते हैं, तथा {an} के सीरज़ को सीमा मान के रूप में चिह्नित करते हैं। इस कथन को सिद्ध करें।'

'क्रम {r^n / n^k}, {n^k / r^n} की सीमा की खोज करें।'

'अगर कोई फ़ंक्शन f(x) अपने डोमेन में x के सभी मानों के लिए निरंतर है, तो इसे कैसे व्यक्त किया जाता है?'

'जब x > 1, तो असमिक्षा 0 < log x < x सत्य है। इस असमिक्षा का उपयोग करके, सीमा lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\ की खोज करें। यहाँ, log x e = 2.71828... के आधार पर लघुगणित है।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें।'

''

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित कार्यों को जांचें कि क्या x = 0 पर निरंतर और विभाज्य है:'

'जवाब (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x} ढूंढें'

'अभ्यास समस्या 22 वॉलिस के सूत्र, स्टर्लिंग के सूत्र का सिद्धांत'

'(1) $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$ की मान की गणना करें'

'एक वास्तविक संख्या x के लिए, [x] को मानकर m ≤ x < m+1 संख्या m को पाया जाता है। [10^(2n)π] / 10^(2n) का सीमा n के अनंत करने के लिए ढूंढें।'

'निम्नलिखित श्रंखलाओं की सीमा का पता लगाएं। (ए) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (बी) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (सी) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'एक फ़ंक्शन की एक ओर से सीमा के बारे में समझाएं।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें।'

'निम्नलिखित सीमाएँ ढूंढें।'

'निम्नलिखित सीमा मानों का पता लगाएं। जहां, α एक स्थायी है।'

'\\\text{दिए गए सीमा का पता लगाएं।}\'

'(1) समीकरण \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \ को पूरा करने वाले स्थायी \ a, b \ की मानें खोजें।\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) को \\( f^{\\prime}(a) \\) का प्रयोग करके व्यक्त करें।'

''

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा मूल्यों की खोज करें।'

'निम्नलिखित सीमाओं का मान निकालें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजने का अभ्यास करें।'

'निम्नलिखित सीमा माप्यों को खोजें।'

'रैखिक समीकरणों का असमिकाएँ और सीमा का सीख गणित (1) 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या n के लिए, निम्नलिखित असमिका साबित करें।'

'सामान्य पद an की खोज करें, और (2) Sn an के लिए n के सीमा को खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'(4) दाईं ओर सीमा 0 है, बाईं ओर सीमा 1 है; सीमा मौजूद नहीं है'

'वास्तविक संख्या x के लिए, [x] को वह पूर्णांक m दर्शाता है जो m≤x<m+1 को पूरा करता है। n के आसपास अनंत में [10^2nπ]/10^2n का मान ढूंढें।'

'(3) (अ) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ इसलिए \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ इसलिए \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'जब \\( f(x) \\) समीकरण \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) को पूरा करता है तो \\( f(x) \\) की खोज करें।'

"निम्नलिखित सीमाओं को ढूंढें। जहां 'a' एक स्थिर है।"

'इसके मान का पता लगाएं \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\)।'

'निम्नलिखित सीमा की खोज करें।$\\ lim _ {n \\ की ओर} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left(e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac {3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right)$'

'\ n \ को अनंत की दिशा में आने पर \ S_{n} \ की सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें। यदि आवश्यक हो तो (2) में आप \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ का उपयोग कर सकते हैं।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा की खोज करें।'

'इसलिए, $\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, $\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$ दोनों तरफ से घटाने से $a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$ मिलता है, $a_{n+1}$ को खत्म करते हैं। इसलिए, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

''

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'निम्नलिखित सीमाओं का मान निकालें। (2) जहां \ p>0 \।\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'सीमा ढूँढें।'

''

'मानक चाहिए जिससे समीकरण $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$ में सच हो।'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएँ (1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:'

'(1) यदि \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\) को पूरा करता है, तो \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) एक अनुक्रम है।\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ है } \'

'(1) गणित $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$ की मान निकालें'

''

'विभिन्नित और स्थिरता के बीच संबंध का वर्णन करें।'

'जांचें कि फ़ंक्शन x=0 पर निरंतर है और विभिन्न है या नहीं। (2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'स्थिर a, b के मान का निर्धारण करें ताकि समीकरण साकार रहे। \\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'मूल्य a और b का मान तय करें ताकि निम्नलिखित समीकरण सत्य हों।'

'कृतिम में अवधियों में एकता और परमार्श के तत्वों की स्पष्टीकरण करें, और अनुक्रमों के व्यवहार की मौलिक गुणधर्मों का वर्णन करें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'जब तीसरी श्रेणी का कार्य f(x) इसे पूरा करता है lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3, तो f(x) को ढूंढें।'

'समान्तर की सीमा'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों की सीमा\nजब कोण की इकाई विकर्ण में है तो \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'दाएं और बाएं ओर से दोनों की सीमा मौजूद है;'

'जांचें कि एनथ शब्द द्वारा प्रतिनिधित अनुक्रम का सीमा।'

'किसी समानांतर फ़लन f(x) में, x के लिए a+0 और x के लिए a-0 का मतलब और यहाँ उसके के जब yeh अलग हैं तभी फ़लन की सीमा मौजूद है या नहीं, उसकी व्याख्या करें।'

'जब सरणियों {a_n}, {b_n} की समाप्ति होती है और n अनंत की ओर अप्रेक्षित होता है, तो वर्णन करें कि a_n=α, b_n=β होते हैं।'

'लोपिटल के नियम का उपयोग करके, निम्नलिखित सीमाएँ ढूँढें।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें। (4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'निम्नलिखित सीमा का मूल्यांकन करें।'

'यदि \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) द्वारा परिभाषित श्रृंखला \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) है। (1) इस श्रृंखला की सीमा \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) ढूंढें। (2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) को \\( A(x) \\) से संदर्भित करने पर, फ़ंक्शन \\( y=A(x) \\) का ग्राफ़ बनाएं।'

'एक बंद सीमा पर लगातार सम्बंधित स्रोत, मध्यम मान सिद्धांत को पूरा करती है। अर्थात, एक बंद सीमा [a, b] पर लगातार स्रोत f(x) के लिए, f(a) और f(b) के बीच किसी भी मान k के लिए, किसी सी ऐसा c मौजूद है जिसके लिए f(c) = k मान्य है। जब यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो एक ऐसे मामले का विवरण दें जिसमें किसी निश्चित k के लिए f(c) = k कृत्रिम नहीं है के लिए कोई c मौजूद नहीं है।'

''

'यह मानते हुए कि भविष्य में हर साल, टोक्यो के बाहर रहने वाले लोगों का एक तिहाई हिस्सा शहर में स्थानांतरित होता है, और शहर में रहने वाले लोगों का एक तिहाई हिस्सा शहर से बाहर जाता है। न्नवीं साल में शहर के अंदर लोगों की जनसंख्या bn है। lim n→∞ an/bn को विचारों में, जो पाया जाना है। यह माना जाता है कि इसके बावजूद शहर के अंदर और बाहर की कुल जनसंख्या वर्षों के बावजूद लगातार स्थिर है।'

'यदि S को निम्नलिखित सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो S की मान की खोज करें।'

'102 a=4, b=-1, सीमा -\\frac{15}{8}'

'दी गई शर्तों के अनुसार, बिंदु Q की निर्देशांक और वेग त्रैजेक्टरी ढूँढें। जब बिंदु P प्रति सेकंड π की गति से आदि (0,0) से पर (π,0) की दिशा में एक्स-अक्ष पर चलता है, तो t सेकंड बाद बिंदु Q की वेग v(t) ढूँढें।'

'निम्नलिखित सीमाएँ खोजें।'

'अध्याय 4 सीमा अभ्यास'

'समीकरण की निरंतरता'

'साबित करें कि एक अनंत श्रृंखला {an} (n=1,2,⋯⋯) के लिए, 1/n^k का n को अनंत के दिशा में पहुँचते समय सीमा 0 है।'

'निम्न अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ के लिए अबादी \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \ की जांच करें। (1) \ a_{n}=\\frac{1}{n^{2}+2 n} \ (2) \\( a_{n}=c r^{n}(c>0, r>0) \\)'

'निम्नलिखित सीमा की खोज करें।'

'गणित \nमेंनक निकालने पर, हमें (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) मिलता है, इसलिए 2 c^{2}=x+1 इसलिए c^{2}=\\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 अतः c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \n\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)} =\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \n\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'n वार्ती के द्वारा प्रतिनिधित श्रेणी की सीमा ढूँढें।'

'ऐसा करने के लिए कि सीमा \\(\\lim_ {x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\) का एक सिमित मान हो, स्थिर \a, \\quad b\ के मान तय करें और सीमा मूल्य प्राप्त करें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

''

'दिए गए सूत्र के अनुसार n वाँ मान की सूर्यमुकीम ढूंढें।'

'समग्रीय अभ्यास'

'\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\) का मान निकालें।'

'(204 सीमा मान निकालें।\n\n(1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) यमागुची विश्वविद्यालय, (2) शिबौरा इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी〕'

'अनुक्रम \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) इस प्रकार परिभाषित है \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\)।\n(1) इस अनुक्रम की सीमा मान \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) ढूंढें।\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) को \\( A(x) \\) नामित करें, तो फ़ंक्शन \\( y=A(x) \\) का ग्राफ़ बनाएँ।\n〔मेजो विश्वविद्यालय〕'

'मान खोजें जो समीकरण \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) को फिट हो।'

'क्रम 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 की सीमा का अन्वेषण करें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित मर्यादाएँ खोजें। (1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'अनुक्रम की सीमा'

'निश्चित करें \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n} की सीमा।'

'सर्वोत्तम संबंधन के बारे में निम्नलिखित प्रस्तावना अस्पष्ट लग सकती है, लेकिन वास्तव में, वे सभी झूठे हैं। कब वे प्रभावी नहीं होते हैं, यह देखकर विरोधाभासों की जांच करके देखते हैं।'

'(1) जब \ x \\rightarrow \\infty \ होता है, तो \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ में भागकर नेमीटर और डेनोमिनेटर को \ 2^{x} \ से।'

'निम्नलिखित सीमा मानों की गणना करें।'

'(2) \ \\quad( \ और समीकरण \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'विभेदन संकेतक'

'(2) दाएँ सीमा \ \\infty \ है, बाएँ सीमा \ -\\infty \ है; सीमा मौजूद नहीं है'

'3 परिमाणों के परिप्रेक्ष्य मान का पता लगाएं। यहाँ, $a$ एक स्थिर मान है।\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'निम्न सूचीयों की सीमा खोजें। (ए) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}} (ब) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots'

'निम्नलिखित श्रेणियों की सीमा ढूंढने का अभ्यास करें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को ढूंढें। ध्यान दें कि ए और ब मान्यताएँ हैं। (1) ओतारु विश्वविद्यालय, (2) टोक्यो डेंकी विश्वविद्यालय'

'(2) कैलकुलेट करें \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \।'

'कोई सीमा निकालें $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$।'

'दिए गए अनुक्रम {a_n} के लिए, सीमा \\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \ ढूंढें।'

'भविष्य के लिए निम्नलिखित सीमा मान S की कमी कीजिए।'

'(1) इस प्रसंग में संतुलित श्रृंखला {an} के लिए, lim(n→∞)an और lim(n→∞)nan का निर्धारण करें। 30(a): lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'सिद्ध करें कि समीकरण f(x) x=π/2 पर अलग किया नहीं जा सकता।'

'निम्न समस्या का समाधान करें:'

'समीकरण \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\) की सीमा ढूंढें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को ढूंढें।'

'निम्नलिखित सीमाओं को ढूंढें।'

'सीमा खोजें।'

'(1) निरंतर हैं लेकिन मुख्य नहीं है\n (2) निरंतर हैं और मुख्य'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { तो } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { है, तो } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { इसलिए } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'1-0, 1+0, और 1 को निकट आने के लिए परिमाणों की जांच करें।'

'उदाहरण 16 | समीकरणों की सीमाएँ (2)'

'सीमा खोजें। \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'उदाहरण (41) सीमा और अवकलन'

'शृंखला \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \ की सीमा के बारे में, निम्नलिखित सत्य है।'

'| r | <1, जब r असीमित होता है तो lim_{n -> ∞} r^{2 n}=0, lim_{n -> ∞} r^{2 n+1}=0\nइसलिए lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n})=0\nजब r = 1 है, r^{2 n}=r^{2 n+1}=1\nइसलिए lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = 1 / (2 +1) = 1/3\nजब r =-1 है, r^{2 n}=(-1)^{2 n}=((-1)^{2})^{n}=1^{n}=1, r^{2 n+1}=r^{2 n}・r=1・(-1)=-1\nइसलिए lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = -1 / (2 + 1) = -1/3\n|r| >1, <left| (1/r)<right| <1, इसलिए lim_{n -> ∞} ((1/r)^{2 n}) = 0\nइसलिए lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = lim_{n -> ∞} r / (2 ((1/r)^{2 n}) + 1) = r / (2 ・ 0 + 1) = r\n2 अध्याय <square>\nPR <left>{(-1)^{n}<right> उर्तल होता है, परंतु, <left>{(-1)^{2 n}<right> संघटीत होता है।'

'[2] का उदाहरण$\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'सीमा निकालें। ऊपर दिए गए सूत्र (1) का उपयोग न करके। (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'किस प्रकार एक समीकरण की सीमा का पता लगाया जाता है'

'निम्नलिखित सीमाओं की खोज करें। [(1) क्योटो विश्वविद्यालय, (2) टोक्यो प्रौद्योगिकी संस्थान] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'वर्णन का उपयोग करके \ e \ की परिभाषा का उपयोग करते हुए सीमा की गणना करें\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\), निम्नलिखित सीमाएँ ढूंढें:\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें। (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'दिए गए सारणी से त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा से संबंधित पृष्ठ संख्या निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित सीमा को जांचें। (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[ओसाका प्रौद्योगिकी संस्थान]'

'\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ इसलिए \\[ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]'

'निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'(1) क्योंकि मूल संख्या \\\sqrt{2}>1\ है, इसलिए\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n(2) क्योंकि मूल संख्या \0<\\frac{2}{3}<1\ है, इसलिए\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'जब r>-1 हो, तो, सीमा lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1)) का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा खोजें:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'उदाहरण 15 | कार्य की सीमा (1)'

'समानता की अधिकतम और न्यूनतम\nएक निरंतर समानता f(x) पर एक अंतराल [a, b] में, अधिकतम और न्यूनतम मान का निर्धारण होता है\n[1] a ≤ x ≤ b पर f(x) के अधिकतम और न्यूनतम मान\n[2] अंतराल के दोनों धागों पर मानों f(a) और f(b) का तुलनात्मकता।\nध्यान दें: (a, b) अंतराल पर f(x) के अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करने के लिए, एक कोशिका के सीमांक तथा x के द्वारा a+0 और x के द्वारा b-0 किया जा रहा है। की सीमा मानों की तुलना करनी होगी। साथ ही, (a, ∞) अंतराल के लिए, f(x) की सीमा मानों तथा x के द्वारा ∞ प्राप्त करने के साथ मानों की तुलना की आवश्यकता है।\nयह जानकारी दी जानी चाहिए कि खुले अंतराल में, अधिकतम और न्यूनतम मान हमेशा मौजूद नहीं हो सकता।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन को जांचें कि क्या x=0 पर निरंतर है और विभिन्नियमात्मक है:\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'निम्न सूचियों की सीमा खोजें। 17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को साबित करें:\n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'सीमा में अभिव्यक्ति परिवर्तन में मुख्य बिंदु क्या हैं?'

'माध्यिक विशिष्टता का उपयोग करके, निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'अनुक्रम की सीमा की परिभाषा'

'क्रम के सीमा (असमानताओं का उपयोग करके) से संबंधित समस्याएं हल करें।'

'अध्याय 2 सीमा 69 वैकल्पिक समाधान'

'निम्नलिखित मामलों में सीमा की जांच करें।'

'लोपिटल के नियम का उपयोग करके, निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'n वार्तीकी द्वारा प्रतिनिधित श्रृंखला की सीमा खोजें।\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'अनुक्रम की सीमा'

"औसत मूल्य का सिद्धांत का सिद्धांत\n\nऔसत मूल्य सिद्धांत का ज्यामितिक व्याख्या यह है कि एक स्थिर और विभाज्य संबंध के फ़ंक्शन के चित्र के लिए, जब तीन बिंदुओं A, और B चित्र पर लिए गए होते हैं, तो A, B के बीच के वह कुछ बिंदु पर एक तांगेंट बनाई जा सकती है जो रेखा AB के परलेल हो। यह तर्कशास्त्रिय रूप से स्पष्ट लगता है कि चित्र से, लेकिन इसे सख्त रूप से निम्नलिखित रोल के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध किया गया है।\n(1) रोल का सिद्धांत\nअगर किसी फ़ंक्शन f(x) केवल [a, b] अंतराल पर अव्यवस्थित है और (a, b) खुले अंतराल पर विभाजनीय है, और f(a) = f(b), तो अखंड संख्या c मौजूद है जिसके लिए f'(c) = 0 और a < c < b हो।\n\nसिद्धांत [1] मामला जहां f(a) = f(b) = 0\n(A) अगर [a, b] अंतराल पर हमेशा f(x) = 0 है, तो f'(x) = 0 और सिद्धांत सच है।\n(1) यदि ऐसे x की मान हैं जहां f(x) > 0, तो क्योंकि [a, b] अंतराल पर f(x) का सतत है, इसलिए इस अंतराल पर x = c बिंदु पर अधिकतम मान लेता है। क्योंकि f(c) > 0 है और f(a) = f(b) = 0, इसलिए c न तो a है और न ही b है। इसलिए a < c < b।\nf(c) अधिकतम है, जब |Δx| पर्याप्त छोटा है, f(c + Δx) ≤ f(c), अतएव Δy = f(c + Δx) - f(c) ≤ 0 है। इसलिए अगर Δx > 0 है, तो Δy/Δx ≤ 0 है, इस से यह प्रगणित होता है कि जब Δx + 0 के लिए होता है, -0, या 0, Δy/Δx = 0। इसलिए, f(x) समंत है अंतराल पर, अर्थात f'(c) = 0।\n(B) यदि x मान ऐसा है जिसे f(x) < 0 मिलता है और c x का मान है जिसमें f(x) का न्यूनतम मान है, तो (1) के तर्क के लिए समान विचार करते हैं, a < c < b और f'(c) = 0।\n[2] सामान्य रूप से, यदि f(a) = f(b), तो g(x) = f(x) - f(a) परिभाषित करें। क्योंकि f(a) = f(b), इसलिए g(a) = g(b) = 0 है। समान रूप से, मामला [1] की तरह, ऐसा एक वास्तविक संख्या c है जिसके लिए g'(c) = 0 और a < c < b। क्योंकि f'(c) = g'(c) = 0 है, इसलिए, रोले का सिद्धांत सत्य है।"

'उदाहरण 15 | कांटेदार के सिद्धांत (2) (2) स्लीश {a_{n}} की n वाँ अवधि a_{n} किसी n-अंक की सकारात्मक पूर्णांक है। इसके लिए, सीमा lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n को जांचें।'

'छठा अध्याय अंशकलन का उपयोग'

'स्थिर a, b की मानों को ऐसे निर्धारित करें कि समीकरण स्थिर रहें।'

'उदाहरण 17 सूची {r^n / n^k}, {n^k / r^n} के लिए स्थिरियां प्रदर्षित करें r > 1 के लिए, lim_{n→∞} (r^n / n^2)=∞।'

'निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'एक फ़ंक्शन के एक ओर से सीमा का मतलब क्या है, और प्रतीकात्मक रूप से प्रस्तुत करें कि जब x a से अनंतिकता से करीब जाता है, तो f(x) की दाईं ओर सीमा को x > a की सीमा से किस तरह से संकेतिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है।'

'(1), (2) का सत्यापन करें।'

'(1) जब अनुक्रम {an}(n=1,2,3,⋯⋯) lim_{n→∞}(2n-1)an=1 को पूरा करता है, तो lim_{n→∞}an और 13lim_{n→∞}nan की खोज करें।\n(2) lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5 के लिए, स्थिर a, b की मान को खोजें।'

'विभिन्नचलन गणित के उपयोग'

'निर्धारित करें, दिए गए सूत्र (1) का उपयोग किए बिना।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'f(x)=-log x की रखो बतायें। किसी वास्तव संख्या a के लिए, बिंदु (a, 0) से गुज़रती कर्व y=f(x) की टैन्जेंट रेखाओं की संख्या का पता लगाएं। lim_{x→+0} x log x=0 का उपयोग कर सकते हैं।'

'उदाहरण 35 | त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा पर पाठ समस्या'

'यह एक फ़ंक्शन की सीमा ढूंढने की समस्या है। कृपया विचार करें कि एक्स को ए के करीब आने पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा मान क्या है। खासकर, दाएं हाथ सीमा \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) और बाएं हाथ सीमा \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x) को ध्यान से विचार करें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

''

'निम्नलिखित का सीमा निकालें: \ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \'

'y-अक्ष के परालल असिम्प्टोट (x=a) की सीमा का अध्ययन करें।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'दायरे (बहुपद और भिन्नसेतु) के सीमा सम्बंधित समस्याओं का समाधान करें।'

'सीमा निकालें।\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) \\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\) ढूंढें।\n(2) \ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\ ढूंढें।'

'निम्नलिखित सीमा को खोजें।'

'वास्तविक संख्याओं के बारे में'

'श्रृंखला की सीमा की गणना करने के लिए हमने अब तक सीखे गए उपायों के मुख्य बिंदु सारिणिक करें। श्रृंखला की सीमा की खोज के तरीके'

'सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित सीमा का मान पता करें।'

"यदि f(x) x=a पर विभिन्नयम है, तो निम्नलिखित मानों को उपयोग करके a, f(a), f'(a) आदि से निम्नलिखित मान प्रकट किया जा सकता है:\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'निम्नलिखित सीमा खोजें। (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'सभी वास्तव संख्याओं x के मानों के लिए, विभिन्न होने वाली समीकरण f(x) निम्नलिखित दो स्थितियों को पूरा करती है।'

'निम्नलिखित सीमा की खोज करें'

'निम्नलिखित अनुक्रमों की सीमा का पता लगाएं'

'(1) निम्नलिखित सीमाएँ खोजें: (क) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (ख) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (ग) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) $x>1$ के लिए, असमीया $0<\\log x<x$ सत्य है। इस असमीया का उपयोग करते हुए, सीमा $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$ खोजें। यहाँ $\\log x$ लघुगणित को $e=2.71828 ....$ आधार पर मानते हैं।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'सकारात्मक सामानों के शृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ में, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$. तो $k<1$ की जगह $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ संकुचित होता है, और $k>1$ की जगह $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ असंतुलित होता है।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'अव्यक्त संकेतों की सीमा के संबंधित समस्याओं को हल करें।'

'लोपितल के नियम का उपयोग करके, निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।'

'सीमा की मौजूदगी के लिए शर्तें'

'निम्नलिखित सीमाओं की खोज करें।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं:'

'निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित श्रृंखला की सीमा पता लगाएं।'

'निम्न सरणियों की सीमा खोजें'

'निम्नलिखित सीमाएँ ढूंढें।'

''

'निम्नलिखित सीमाओं को खोजें।'

'(2) गणितीय चरण \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'रेडियस 1 वाले बिंदु O के चारों ओर एक वृत्त C के अंदर एक O से भिन्न निश्चित बिंदु A है। O से A तक की अर्धरेखा और C के छोर का प्रवेश बिंदु P0 कहलाता है, और P0 को संदर्भित करके C की परिधि को n बराबर भागों में विभाजित करने वाला अंक किया जाता है, उसकी दिशा को घड़ी की दिशा के विपरीत किया जाता है, जैसे P0, P1, P2, ..., Pn=P0। A और Pk के बीच की दूरी को APk कहते हैं। n के अनंत का सीमा प्राप्त करें जब n विशेषांक बड़ता है 1/n * Σ(k=1 से n) (APk^2)^2। यहाँ तक कि OA=a। [गुनमा विश्वविद्यालय]'

'श्रेणी {r^n / n^k} का सीमा ज्ञात करें।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें।'

'धर्मीय सम्मिलन मान α में सन्निधित मान\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ या नकारी मान \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \ के लिए विचलित। जब सूची की सीमा \ \\infty \ या \ -\\infty \ होती है, तो इसे सीमांत मान नहीं कहा जाता।'

'(3) \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\) निकालें।'

'जब r एक वास्तव संख्या हो, तो सीमा lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n)) खोजें।'

'अनुक्रम { r^n } की सीमा का पता लगाएं।'

''

'(1) प्रमाण करें $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$। (2) ढूंढें $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$।'

'निम्नलिखित सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें। (3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'निम्नलिखित समीकरण की सर्वोच्च मान खोजें वर्ग n के लिए।'

'सूची {an}, {bn} को ध्यान में रखते हुए, क्या निम्नलिखित बयान सही है? यदि सत्य है, तो सिद्ध करें, अगर गलत है तो उसका विरोधाभास दें। जहां α, β निरंतर हैं।'

'अगर a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx माना जाए तो lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = होगा।'

"यहाँ a को स्थिर मान और फ़ंक्शन f(x) को x=a पर विभिन्न किया जा सकता है। इस समय, निम्नलिखित सीमान्तों को a, f'(a) का उपयोग करके प्रकट करें।"

'(3) जब \ x \\longrightarrow \\infty \ होता है, तो \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \, इसलिए \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'पीआर की अगली सीमा का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सीमाओं का पता लगाएं।\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'निम्नलिखित सीमा खोजें: \\(\\lim _{n \\to \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'ज्योमितीय समीकरण sin(x)/x की सीमा का मान x को 0 के पास आते हुए खोजें।'

'जब r>-1 हो, तो सीमा निकालें lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}। (2) जब r एक वास्तविक संख्या हो, तो सीमा निकालें lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}। संकेत (2) जब r=-1 हो, तो r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1। (1) जब |r|<1 हो, तो lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0, इसलिए lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0। जब r=1 हो, तो r^{n}=r^{n+1}=1, इसलिए lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}। जब r>1 हो, तो \\left|\\frac{1}{r}\\right|<1, इसलिए lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0, इसलिए lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित अनक की सीमा खोजें:'

'श्रेणी {r ^ n} की सीमा'

'दिया गया मौलिक उदाहरण 35 (3) की सीमा खोजें।'

'अध्याय 2\nसीमा\nEX श्रेणी \ \\{a_{n}\\} \ को पूरा करता है \\( a_{n}>0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, खोजें \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'निम्नलिखित सीमा का मान निकालें। \ \\lim _{x \\rightarrow -0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'कृपया अनंत अवतरण के तरीके का उपयोग करके प्रमाण प्रदान करें।'