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फलन और विश्लेषण
उन्नत फलन - त्रिकोणमितीय फलन और उनके अनुप्रयोग
Q.02
'\ \\sin \\theta=x \ मानकर, \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ है, समीकरण है \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ जो कि \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ चाहिए शर्त है, 2 गुणात्मक समीकरण \\( (*) \\) कम से कम -1 से x तक 1 रील संख्या समाधान होना चाहिए। लेट \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), और \\( f(x)=0 \\) का भिन्नांक \ D \ लेते हैं। 1] दोनों समाधान -1 <x <1 के रेंज में होने की शर्त, फ़ंक्शन \\( y=f(x) \\) का चित्र x के आक्ष के -1 से x <1 के भाग के साथ कम से कम छूना चाहिए (सहित स्पर्श के मामले शामिल हैं), और निम्नलिखित (i)---(iv) साथ साथ स्थिर हों। (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ आवाज \ <1 \'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के अस्तित्व की शर्तें'
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'कीमत 39 ⇒ पृष्ठ 187 इस पुस्तक में। (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'
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'निम्नलिखित समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। ध्यान दें कि θ के दायरे 0≤θ≤π है। (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'
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'y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 को cosθ के अभिव्यक्ति में व्यक्त करें।'
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'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta$ होता है। \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'
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'f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x, g(x)=a x(x-2) (यहां, a>1) के लिए साहसिक.'
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'(1) समीकरण को संतुलित करने वाले के सभी मान खोजें।'
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'f(x)=x^{3}-3 x+1 के वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'
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'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणीय समीकरण और चेबिशेव के बहुपद'
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'मान लें कि फ़ंक्शन f वास्तविक संख्या x, y के लिए f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} को पूरा करता है। n वास्तविक संख्या x1, x2, ... xn के लिए समीकरण f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} को पूरा करता है।'
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'रेडियन माप का उपयोग करके, निम्नलिखित कोणों को रेडियन में बदलें।'
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'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ से cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 इसलिए cos θ = ±1/√5'
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'निम्नलिखित स्थितियों के आधार पर त्रिकोणीय कार्यों की गणना करें। (1) π<θ<2π, अतः sin θ<0, इसलिए sin^2 θ+cos^2 θ=1, इसलिए sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 और tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'
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'(1) sin3x = -sinx से, हमें 3sinx - 4sin^3x = -sinx मिलता है, जिसे 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0 में सरल किया जा सकता है। इसलिए, sinx = 0, ±1। 0 ≤ x ≤ 2π के लिए, x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π।'
A. ...
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'प्रश्न 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{क्या}\'
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'रेडियन का उपयोग करके निम्नलिखित रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करें।'
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'रेडियन और त्रिकोणमितीय फलन\nरेडियन r, केंद्रीय कोण θ वाले क्षेत्रिय स्पर्श की लम्बाई और क्षेत्र का पता लगाएं।\nस्पर्श की लम्बाई: rθ\nक्षेत्र: 12r^{2}θ'
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'विषम और सम फंक्शन के निश्चित ऐकारिक गुणों का प्रमाण करें:'
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'उदाहरण 47 | त्रिकोणीय कार्य ग्राफ़ (1)\\nनिम्नलिखित कार्यों का ग्राफ़ बनाएं।\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'
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"यदि y = ax² + bx + c (a ≠ 0) है, तो y' = 2ax + b होगा, जिससे, रेखा का समीकरण होगा y - (aα² + bα + c) = (2aα + b)(x - α), अर्थात y = (2aα + b)x - aα² + c। उसी तरह, एक और रेखा का समीकरण होगा y = (2aβ + b)x - aβ² + c। समकक्ष बिन्दु P का x अंक है निम्नलिखित समीकरण का समाधान: (2aα + b)x - aα² + c = (2aβ + b)x - aβ² + c। a ≠ 0, α ≠ β से x = a(β² - α²) / 2a(β - α) = (α + β) / 2।"
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'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'
A. ...
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'स्थानांक तख्त पर, सामान्य कोण θ के त्रिकोणमितीय समीकरण sinθ, cosθ, tanθ को परिभाषित करें।'
A. ...
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'अभ्यास उदाहरण 3 10 त्रिकोणमितीय कार्यों और चेबीशेफ पॉलिनोमियल्स (जारी)'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों, त्रिकोणमितीय असमिकाओं और त्रिकोणमितीय कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मानों को निकालने वाली समस्याएं हल करें।'
A. ...
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'उदाहरण 54 | त्रिकोणीय समीकरणों के मान (जोड़ने का सिद्धांत)'
A. ...
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'मैंने आवश्यकता के अनुसार समरूप आकृतियों को प्रतिष्ठित करने के बारे में सोचा।'
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'0≤θ<2π के लिए, y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'
A. ...
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'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणमितीय फलन और चेबीशेव पोलिनोमियल (जारी) cos5θ की 5वीं डिग्री पोलिनोमियल खोजने के लिए'
A. ...
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'उदाहरण 97 | त्रिकोणमितीय समीकरण (सम और गुण के सूत्रों का उपयोग करना)'
A. ...
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'निम्न त्रिकोणमिति पहचानिये:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'
A. ...
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'मैंने एक आवृत्तीय कार्यकला को प्रस्तुत करने के लिए अनंत त्रिकोणमितीय समीकरणों का उपयोग करने का विचार किया।'
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'(1) किसी भी कोण θ के लिए, उन बिंदुओं (x, y) का क्षेत्र चित्रित करें जो -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1 को पूरा करते हैं, और इसके क्षेत्रफल को निर्धारित करें। (2) किसी भी कोणों α, β के लिए, उन बिंदुओं (x, y) का क्षेत्र चित्रित करें जो -1≤x²cosα+ysinβ≤1 को पूरा करते हैं, और उसके क्षेत्रफल को निर्धारित करें। [हितोत्सुबाशी विश्वविद्यालय]'
A. ...
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'दिए गए समीकरण में त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम जांच करें, और ज्यामिति के आवेदनों को समाविष्ट करके समस्याओं का समाधान करें।'
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'(3) से मिलता है, इसलिए है। । से मिलता है, इसका समाधान करने पर मिलता है। क्योंकि होता है, इसलिए (1) से, वापस स्थानांतरित करने पर मिलता है।'
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'(2) 15 ^ {\\circ} \\sin = \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) \\sin = 60 ^ {\\circ} \\\\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\ 15 ^ {\\circ} \\cos = \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) \\cos = 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'
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'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणमितीय समीकरण और चेबीशेव की बहुपद (जारी)'
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'उदाहरण 50 => पृष्ठ 180\n(1) यह θ धुरी के बारे में सममिट्टी य=cosθ की चित्रण है। चित्र दाएं ओर दिखाया गया है। इसके अलावा, अवधि 2π है।'
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'दो सीधी रेखाओं और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच बनने वाले कोण को वर्ण करने वाले कोण को बताएँ α और β। हमें खोजने वाले एकुश कोण θ है, tanα=√3/2, tanβ=-3√3। इसलिए, tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3। क्योंकि 0<θ<π/2, इसलिए θ=π/3'
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'124\n—गणित II\n(2) बाएं हाथ = \\ frac { \\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}= \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{ \\ cos ^{2} \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta} इसलिए, \\ frac { \\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+ \\ frac { \\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta}'
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'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nइसलिए, मौलिक अवधि 2 \\pi है\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nइसलिए, मौलिक अवधि \\pi है'
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'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'
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'प्रश्न 145 सीमा में एक समीकरण के निकटतम और उच्चतम मान होने की शर्तें'
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'समीकरण दिया गया है \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] अतः, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) इससे \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ मिलता है । इस दरम्यान, \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ के लिए, \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ से हमें मिलता है \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ और \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ से हमें मिलता है \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] इसलिए, समाधान है \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'
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"उन असमिति को जिसमें त्रिकोणमितीय समीकरण शामिल हो 'त्रिकोण असमिति' कहा जाता है, और त्रिकोण असमिति को हल करना उन कोणों की सीमा (समाधान) ढूंढने का काम करता है जो उस असमिति को पूरा करते हैं।"
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'चित्र y=tanθ का y-अक्ष की दिशा में आधा हो गया है। दाईं चित्र में चित्रित है। अवधि π है और असंतुलनरेखा है θ=π/2+nπ (n पूर्णांक है)।'
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'सम और द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें (3 गुणा कोण सूत्र)।'
A. ...
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'0≤θ<2π के लिए निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले Υ के मान ढूंढें:'
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'जब \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\ हो, तो निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें।'
A. ...
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'त्रिकोणीय समीकरण sin, cos, और tan की परिभाषाएं समझाएं।'
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'इसके आधार पर दिए गए सूत्रीय संबंधों को सिद्ध करें: (i) टैन(θ) = साइन(θ) / कॉस(θ) (ii) साइन^2(θ) + कॉस^2(θ) = 1 (iii) 1 + टैन^2(θ) = 1 / कॉस^2(θ)'
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'समीक्षा करें कि फ़ंक्शन y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π)'
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'सम्मिलन सूत्र, दोहरे कोण और आधा कोण सूत्रों को याद करने का तरीका'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों को मास्टर करें और उदाहरण 123 को जीतें!'
A. ...
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'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [चतुर्थ चरण \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [तृतीय चरण]'
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'उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान्यता'
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'यदि α द्वितीय त्रिभुज का कोण है और sinα=3/5 है, और β तृतीय त्रिभुज का कोण है और cosβ=-4/5 है, तो sin(α-β) और cos(α-β) के मान ढूंढें।'
A. ...
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'समीकरण \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\ को सिद्ध करें।'
A. ...
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'जोड़ प्रिन्सिपल को मास्टर करें और उदाहरण 130 को विजयी बनाएं!'
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'\2\\sin x=t\ को लेते हुए, अत: \0 \\leq x<2 \\pi\, अतः \-1 \\leq t \\leq 1\। इसके अतिरिक्त, (1) से हमें मिलता है \\n\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\, \t\ की मान सीमा का ध्यान रखें। द्विघातीय समीकरण को मूल रूप में परिवर्तित करें। इसलिए, \y\ \t=1\ पर अधिकतम मान 2 लेता है, \t=-\\frac{1}{4}\ पर न्यूनतम मान \-\\frac{9}{8}\ लेता है।'
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'0≤θ<2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमीकरण का समाधान करें। (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'
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'त्रिकोणमितीय समीकरण जो सत्य हैं, जहाँ n पूर्णांक है।'
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'निम्नलिखित कार्यों का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम (t=sinθ+cosθ का उपयोग करें)'
A. ...
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'जब 0 ≤ θ < 2π हो, तो निम्नलिखित समीकरण और असमीकरणों का समाधान करें।'
A. ...
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'फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम मानों और उनके संबंधित Υ अक्षर की मूल्यें खोजें। (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'
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'त्रिकोणमितीय समीकरण ग्राफ (3) ... स्केलिंग और स्थानांतरण'
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'कार्य y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2) की अधिकतम मान, न्यूनतम मान और उस समय के थीटा के मान खोजें।'
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'त्रिकोणमितीय समीकरण और असमिकाएँ (प्रतिस्थापन का उपयोग)'
A. ...
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'त्रिकोणमिति से त्रिकोणमितीय कार्यों तक का विस्तार कीजिए, और सामान्य कोण θ के लिए sinθ, cosθ, tanθ की परिभाषा दीजिए।'
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'दो रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण को तंज़ के योग फार्मूला का उपयोग करके ढूंढें'
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'ऊपर दिए गए चित्र में (1) y=a sin bθ और (2) y=a cos bθ की चार्ट दिखाई गई है। स्थिर a और b के मान खोजें। ध्यान दें कि a>0, b>0।'
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'समीकरण y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π) की अधिकतम और न्यूनतम मान और उस समय के Υ के मान का पता लगाएं।'
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'निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले θ के मान खोजें।'
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'0 ≤ θ < 2π के लिए, निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले Υ के मान ढूँढें।'
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'त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण (संयोजन का उपयोग करके)'
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'विस्तृत करके य = cos^2 ठी के ग्राफ को य-अक्ष की दिशा में 2 गुणा करके, y = 1 से निर्मित रेखा पर आधारित है, हमे एक ग्राफ प्राप्त होता है जो y = cos^2 θ के ग्राफ को नीचे एक इकाई से स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है, फिर ठी-अक्ष के समानांत्रित होकर 2 गुणा किया जाता है, और ज़्यादा नीचे एक इकाई आक्ष पर स्थानांतरित किया जाता है, इसलिए समीकरण y = a(cos^2 θ - b) +1 होता है। वह विकल्प खोजें जो ग्राफ से मेल खाता है।'
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'बीटा=एल्फा के लिए ऊपर दिए गए 3 जोड़ने के सिद्धांतों का उपयोग करें: (1) सूत्रों का उपयोग करके निम्नलिखित की गणना करें: (a) sin 2एल्फा (b) cos 2एल्फा के लिए एक और संवाद प्रस्तुत करें: cos^2एल्फा - sin^2एल्फा, 2 cos^2एल्फा - 1, 1 - 2 sin^2एल्फा (c) tan 2एल्फा (2) सभी मानों को θ/2 से बदलकर गणना करें: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'
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'समीकरण y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) की अधिकतम और न्यूनतम मान और उनके संबंधित Υार्थ तकनीकी संख्या ढूंढें। साथ ही, समीकरण का ग्राफ़ भी खींचें।'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान (संयोजन का उपयोग)'
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'ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन्स से संबंधित समीकरण (sin^2θ + cos^2θ = 1 का उपयोग करते हुए)'
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"अबतक सीखे गए त्रिकोणमिति वाले किसी भी कोण \ \\theta \ का माप, जैसे \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \ के रिश्तों का उपयोग करके किया जाता है। यह '1' डिग्री के यूनिट को लेकर कोण गणितीय प्रणाली कहलाता है।"
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'त्रिकोणमिति में, साइन और कोसाइन का उद्घातन को योग और भिन्न, और उसके लिए फॉर्मूला है।'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों को शामिल करने वाली असमियाओं का प्रणाली'
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'3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 को cos² θ से विभाजित करने के बाद सूत्र प्राप्त करें, और 0 ≤ θ ≤ π/3 सीमा में अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'
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'फ़ंक्शन f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π) के लिए'
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'जब x > 1 हो, तो 4(x²-1) > 0, 1/(x²-1) > 0, होने के कारण हम औसत से अधिक या बराबर ज्यामितिकी मान के सिद्धांत के आधार पर इस असमानता का निष्कर्ष निकाल सकते हैं। 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8। इसलिए 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, समानता x>1 के लिए होगा जब 4(x²-1)=1/(x²-1)। इस स्थिति में (x²-1)²=1/4। स्वरूप x > 1, इसलिए x²-1=1/2, अर्थात x²=3/2, तो x=√(3/2)=√6/2। इसलिए, 4x² + 1/((x+1)(x-1)) का न्यूनतम मान 8 है, जिसमें x की मान 2√(3/2) = √(6)/2 है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'मूल उदाहरण 124 0 ≤ θ < 2π के लिए, निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'
A. ...
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'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों की खोज करें।'
A. ...
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'यदि समीकरण में पर अधिकतम मान 0 है और कण्ट की चित्रण दाएं चित्र की तरह दिखाई देता है,'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय समीकरण का ग्राफ और समतल स्थानांतरण / स्थायीकरण'
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'निम्नलिखित कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान और उसके लिए कर चुके मान ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'निम्नलिखित 0 से π तक के क्षेत्र में, निम्नलिखित ग्राफों में !न्याय के ग्राफ से मेल नहीं खाता है? उत्तर समूह पाए नहीं जा रहा है: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'त्रिकोणमितीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम (द्वारीक समीकरण में कम करना)'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'समीकरण y=3sinθ+4cosθ का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'जब 0 ≤ θ ≤ π और sinθ+cosθ=√3/2 होता है, तो निम्नलिखित समीकरण के मान को निकालें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'त्रिकोणमितीय समीकरणों का उपयोग करती हुई असमिकाएँ (sin^2θ + cos^2θ = 1 का उपयोग)'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'गणित करें कि वफल y=|x^2-1| और रेkखा y=3 द्वारा घेरा गया क्षेत्र।'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'सिद्ध करें कि \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \।'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'कहा जाता है कि पढ़ाई को मजेदार महसूस करना महत्वपूर्ण है, लेकिन इस दृष्टिकोण का स्मृति पर कैसे असर पड़ता है?'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'भौतिक परिवर्तन और रासायनिक परिवर्तन के बीच क्या अंतर है, इसका वर्णन कीजिए।'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'(1) ऊपर दिए गए उदाहरण में, बिंदु P के त्वरण का मात्रा निर्धारित करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'वक्र \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\) के ध्रुव समीकरण का पता लगाएं। साथ ही, इस वक्र के आम आकार का तराशा बनाएं, मूल \ \\mathrm{O} \ को ध्रुव और \ x \ अक्ष के सकारात्मक हिस्से को प्रारंभिक रेखा के रूप में ध्यान में रखते हुए।'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'कृपया y=√(ax) के ग्राफ (जहां a ≠ 0) की विशेषताएं वर्णित करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'फ़ंक्शन ग्राफ़ के रूप की हार को बनाते समय ध्यान देने योग्य बिंदु'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'यदि a>0 हो और f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) हो, हासिल करें कि जब y=f(x) फ़ंक्शन और इसके इनवर्स फ़ंक्शन y=f^{-1}(x) दो विभिन्न बिंदुओं को साझा करें तो a की मान की सीमा क्या होगी।'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'मूलबिंदु के चारों ओर घड़ी की दिशा में π/6 रेडियन की मात्रा से घूमाकर प्राप्त की गई कर्व C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 की मानक ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'समाधान कीजिए फ़ंक्शन के मान , श्रेणी और फ़ंक्शन का चित्रण\n(3) फ़ंक्शन f(x)=sin(π cos x) रखें।\n(1) f(π + x) - f(π - x) का मान निकालें।\n(2) f(π / 2 + x) + f(π / 2 - x) का मान निकालें।\n(3) 0 ≤ x ≤ 2π के सीमा में y=f(x) का चित्र बनाएं (अवकड़ जांचने की आवश्यकता नहीं है)।\n[टोक्यो विज्ञान विश्वविद्यालय के समान]'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'समीकरण C का भ्रमण करें: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4) में फ़ंक्शन मानों की परिवर्तन, अधिकतम और न्यूनतम।'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'यहाँ किसी वजह से ठीक से गणितीय अंकगणित और की हो सकती है, और को क्यों दर्शाना चाहिए?'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'समीकरण y = x + 1 + 1 / (x - 1) की असंतुलन रेखा की खोज करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'कुर्व x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) द्वारा घेरे गए क्षेत्र को x-धुरी के आसपास एक बार घुमाकर प्राप्त ठोस का आयात V ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'ऑयलर की सूत्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों को घातांकीय समीकरणों में व्यक्त करें और निम्नलिखित समीकरणों का निर्धारण करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वक्रों को आयताकार निर्देशांकों में व्यक्त करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'मूल 2: फ्रैक्शन फ़ंक्शन का स्थानांतरण और निर्धारण'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'जब समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर '
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु से गुज़रता है और यह दो रेखाएँ , असंतुआरों के रूप में होती है, तो स्थिरांक के मान ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'दिखाएँ कि एक उभयरेखा A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) की परिफेरी पर गति से चलने वाले बिंदु P(x, y) के लिए निम्नलिखित वाक्य सत्य हैं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'जब किसी बिंदु P के निर्धारित समय t पर जोड़ते हुए इसके नियमों से दी जाए, तो बिंदु P की वेग और त्वरण की मात्रा का पता करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'जब समय t पर स्थिति में गतिशील बिंदु P के निर्देशांक (x, y) को {x=सिन t y=12 कॉस 2 t}रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो पॉइंट P की वेग की अधिकतम मात्रा का पता लगाएँ।'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'\ 0<a<b<2\\pi \ के लिए सिद्ध करें कि \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ असमीकरण स्थित है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'जब बिंदु P संख्या रेखा पर चलता है, तो समय t के रूप में उसका निर्देशांक x x=2cos(πt+π/6), t=2/3 पर वेग v और त्वरण α का पता लगाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'मूल बिंदु O पर बने निर्देशांक समतल में, माध्य बिंदु के साथ, कण्ट C: पर है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'यदि समीकरण f(x)=x^{2} का हलंत 0<x<2 क्षेत्र में 2 से अधिक वास्तव संख्या समाधान है तो फ़ंक्शन f(x) निरंतर है और f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3।'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'ज्यामिति 0°≤θ≤180° के लिए। निम्नलिखित समीकरण का समाधान कीजिए।'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'0° ≤ θ ≤ 180° करें। निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'निम्नलिखित कोणों का साइन, कोसाइन और टैन्जेंट ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'त्रिकोणमिति सारणी का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का क्या होगा θ।'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'त्रिभुज ABC में, यदि sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19 है, तो इस त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण का पता लगाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'निम्नलिखित ग्राफ़ों द्वारा प्रस्तुत द्विघातीय समीकरण मिलते हैं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय कार्यों को 0 डिग्री से 90 डिग्री के बीच के कोणों के लिए व्यक्त करें। साथ ही, इनके मान को निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सारणी का उपयोग करके निकालें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'त्रिभुज ABC में, अगर sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7 है, तो cosA: cosB: cosC का अनुपात निकालें। (टोहोकू गाक्यूइन विश्वविद्यालय)'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करें और परिणाम दिखाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'0° ≤ θ ≤ 180°के लिए, निम्नलिखित असमितियों को पूरा करने वाले Υ की श्रेणी खोजें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'आएबीसी में त्रिभुज में, अगर sinA: sinB: sinC = 5: 7: 8 है, तो cosC = __।'
A. ...
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'2sinθ = √2 से sinθ = 1 / √2 तक। अर्धवृत्त के ऊर्ध्व-अक्ष 1 पर, जहां y अग्रह कल्पना 1 / √2 है, वहां के बिंदु P और Q। आवश्यक θ है ∠AOP और ∠AOQ।'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय अनुपात का विस्तार: 0° से 360° तक के श्रेणी में कोण होने पर त्रिकोणमितीय अनुपातों को ढूंढें।'
A. ...
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'(4) समीकरण का समाधान करें। दिया गया है 0 ≤ θ ≤ 180°। समीकरण का समाधान करें: √2 sinθ = tanθ'
A. ...
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'त्रिभुज ABC में, अगर sin A:sin B:sin C = 3:5:7 है, तो cos A:cos B:cos C का अनुपात ढूंढें।'
A. ...
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'त्रिकोणीय अनुपात की परिभाषा और संबंध का वर्णन करें। (1) त्रिकोणीय अनुपात की परिभाषा (2) त्रिकोणीय अनुपातों के संबंध (3) विशेष कोणों में त्रिकोणीय अनुपात'
A. ...
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'एक्सटेंडेड उदाहरण और अभ्यास पेज का उपयोग कब किया जाएगा?'
A. ...
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'फ़ंक्शन ग्राफ़ और संकेतिक ढांचे के गति की विश्लेषण में, सीखने के लिए दृश्यिक छवियों को संख्यात्मक समीकरणों से कैसे जोड़ा जा सकता है, इसके लिए कौन सा डिजिटल सामग्री प्रयोग की जा सकती है?'
A. ...
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'क्रमसिक, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'
A. ...
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'जरूरी और पर्याप्त शर्तों के बीच संबंध की व्याख्या करें।'
A. ...
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'0°, 90°, और 180° के लिए साइन, कोसाइन, और टैंजेंट की पूरक\n\nजब θ=0° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₀ जो कोऑर्डिनेट्स (1,0) हैं, सिन 0°=0, कोस 0°=1, टैन 0°=0\n\nजब θ=90° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₁ जो कोऑर्डिनेट्स (0,1) है, सिन 90°=1, कोस 90°=0\n\nजब θ=180° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₂ जो कोऑर्डिनेट्स (-1,0) हैं, सिन 180°=0, कोस 180°=-1, टैन 180°=0'
A. ...
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'कोण ढूंढने के लिए त्रिकोणमिति सारणियों का उपयोग करें'
A. ...
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'निम्नलिखित का पता लगाएँ।\n(1) \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \ के मान\n(2) ऐसे तेवर जिन्हें पूरा करते हों \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \eta=0.7314 \, और \ \\tan \\gamma=8.1443 \ एक्यूट कोण \ \\alpha, \eta, \\gamma \\n(3) दाहिनी तस्वीर में \ x \ के मान और कोण \ \\theta \ के लगभग मान। जहां, \ x \ को दो दशमलव स्थानों तक गोल करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
' θ 0° से 180° तक त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ आपसी संबंध है'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'वांछित समाधान है क्योंकि फ़ंक्शन y=|x^2-6x-7| का चित्र या y=2x+2 के चित्र से आपस में कटता है या पूर्णतः ऊपर है,'
A. ...
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'डी मोर्गन कानून का उपयोग करके, सेट A, B, और C के साथ एक विशिष्ट उदाहरण दें।'
A. ...
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'त्रिभुज ABC में, अगर sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC सत्य है, तो सबसे बड़े कोण का माप निकालें।'
A. ...
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'(1) त्रिकोणमिति पूर्णांक का उपयोग करके, 128° के लिए साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट के मान ढूंढें।\n(2) sin 27°=a के लिए समायोजन करें। 117° का कोसाइन a के आधार पर प्रकट करें।'
A. ...
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'वह थीटा (त्रिकोणमिति समीकरण) जो त्रिकोणमिति पहचान को पूरा करता है'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'त्रिभुज ABC के कोण A, B, और C के लिए, जिन्हें A, B, और C के रूप में दर्शाया जाता है, निम्नलिखित समीकरण सटीक हैं।'
A. ...
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'निम्नलिखित दो समीकरण भी मान्य हैं। \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] इसे ज्यामिति सिद्धांत के रूप में संक्षेपित करना: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] ज्यामिति सिद्धांत से त्रिभुज ABC में निम्नलिखित समीकरण सिद्ध करें। \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'त्रिभुज ABC के आंतरीय कोन A, B, C के लिए निम्नलिखित समीकरण साबित करें:'
A. ...
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'विकर्ण कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की मानें खोजें'
A. ...
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'इस समीकरणों का समाधान करें: sin aθ = sin bθ, sin aθ = cos bθ'
A. ...
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'समाधान खोजने के लिए किताब का उपयोग कैसे करें इसे समझाएं।'
A. ...
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'क्योंकि , इसलिए . इसलिए, में सबसे कम सकारात्मक मान है, और अधिकतम मान है।'
A. ...
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'हम विचार करें कि एक मनोरंजन पार्क में मौजूद कॉफ़ी कप की गति (पथ) और त्रिकोणमितीय समिक्षा के बीच कैसा संबंध है। जब डिस्क 1 एक पूर्ण घड़ी की सांद्रदिशावर्ती घूरण पूरा करता है, जबकि आधे त्रिज्य वाला डिस्क 2 दो विपरीत-घड़ी की घूरण खत्म करता है, तो डिस्क 2 पर प्वाइंट सी कैसा पथ खींचता है?'
A. ...
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'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमीकरण का समाधान करें। (1) cos 2θ=√3 cosθ+2 (2) sin 2θ<sinθ'
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'तिहाई गुणांक की ग्राफ बनाने का तरीका - वृद्धि और घटने का पत्र बनाना'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान (1)'
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'समीकरण 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2) को सिद्ध करें।'
A. ...
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'अधिक का सिद्धांत उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'
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Join our DiscordQ.29
'1372वीं समान समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2)।'
A. ...
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'कर्व y=x^3-2x+1 और रेखा y=x+k के बीच 3 अलग बिंदु साझा करते हैं। मान k के लिए सीमा ढूंढें।'
A. ...
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'दो कोणों α,β का योग या अंतर को α,β के त्रिकोणमिति रूपों में प्रकट किया जाता है। इसे त्रिकोणमिति के जोड़ने का सिद्धांत कहा जाता है।'
A. ...
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'जब 0 ≤ θ < 2π हो, तो निम्नलिखित समीकरण या असमीकरण का समाधान करें। 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'
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'ऐसे मान ढूंढें जिनसे फ़ंक्शन का अधिकतम मान है और न्यूनतम मान है।'
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'उदाहरण 118(3) का ग्राफ़, य=सिनθ को θ दिशा में 1/2 गुणा करने की क्यों नहीं है?'
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'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों के मान की गणना करें।'
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'फ़ंक्शन \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \ के लिए:'
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'निम्नलिखित (1) और (2) कार्यों की ज़रफ दी गई है। A से H तक मान कैसे निकाले। (1) y=sin θ (2) y=cos θ'
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'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ का खींचाव करें और उनका काल निकालें:'
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'अध्याय 7 इंटीग्रल कैलकुलस\nकोणीय y=\\frac{1}{2}x^{2} को C के रूप में चिह्नित करें, और C पर बिंदु P(a,\\frac{1}{2}a^{2}) को रखें। यहां, a>0। बिंदु P\nको ध्यान में रखें और C की टैंजेंट को l कहें, और Q को l के और x-अक्ष के छोर का ऐक्षिकारण कहें। इसके साथ ही, Q बिंदु से जाने और l के लिए लंबवत रेखा कहलाने वाले को m कहना। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) रेखा l और m की समीकरण खोजें।\n(2) रेखा m और y-अक्ष के छोर के छोर को A कहना। त्रिभुज APQ क्षेत्र को S के रूप में परिभाषित करें। इसके अतिरिक्त, y-अक्ष, रेखाखण्ड AP, और कर्व C द्वारा घेरे गए क्षेत्र को T के रूप में परिभाषित करें। S-T और संबंधित a मान की न्यूनतम मान निर्धारित करें।'
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'sin 1, sin 2, sin 3, sin 4 में से, नकारात्मक मान A है। सकारात्मक मानों का न्यूनतम मान B है, और अधिकतम मान C है।'
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'अभ्यास 190° के लिए a>1 मान रखा जाए। x जिसके लिए 1≤x≤a है के लिए y=2x^{3}-9x^{2}+12x समीकरण के लिए (1) न्यूनतम मान का पता लगाएं। (2) अधिकतम मान का पता लगाएं।'
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'एक तल में, बिना किसी भी मान लेने के, क्रिया हमेशा दो निश्चित बिंदुओं से गुजरती है। इन दो निश्चित बिंदुओं के स्थान क्या हैं? में अधिकतमों को नहीं लेते के मान का अंतराल निर्धारित करें।'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों की आवृत्ति की व्याख्या कीजिए।'
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'120° त्रिभुज ABC के आंतरिक कोन A, B, C के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'
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'१९५ डिग्री के साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट मान निकालें।'
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'निम्न शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रम {an} की सामान्य पद्धति खोजें और वक्तुओं में जो बदलाव हैं उनका उपयोग करें।'
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Join our DiscordQ.59
'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय कार्यों के मान की गणना करें।'
A. ...
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'सवाल 139 का प्रश्न: गुण से योग, और योग से गुण की सूत्रों का प्रमाण'
A. ...
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'पारिस्थितिकी श्रेणी y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2) के अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं, और वही मान जो अधिकतम और न्यूनतम मान देते हैं।'
A. ...
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'दिए गए कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं। साथ ही, उस समय के लिए Υ के मान का भी पता लगाएं।'
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'आधे कोण सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों की गणना करें। (1) (2) (3) '
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'हम त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण (द्विघात समीकरण) के समाधान की विचारधारा करें। बुनियादी उदाहरण 124 की तरह, कई त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरणों को कैसे हल करना है, उसका एक तरीका है।'
A. ...
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'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें। (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'
A. ...
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'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (संज्ञात युग्म एक ही क्रम में)'
A. ...
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'दिए गए मानों को 0 से के कोण के त्रिकोणमिति के रूप में व्यक्त करें। (1) (2) (3) '
A. ...
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'यदि f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x है। (1) x वाई समतल में, वक्र y=f(x) हमेशा दो स्थिर बिंदुओं से गुजरती है। इन दो स्थिर बिंदुओं की निर्धारित निधियाँ प्राप्त करें। (2) f(x) में अधिकतम/न्यूनतम मान न होने के लिए a की मान की रेंज निर्धारित करें।'
A. ...
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'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'
A. ...
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'निम्नलिखित समीकरणों को के रूप में व्यक्त करें। यहाँ, है।\n(1) \n(2) '
A. ...
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"OB'=r, OB' और x अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण अल्फा है"
A. ...
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'सिद्ध करें कि निम्नलिखित समीकरण जब t = tan(θ/2) होता है (t ≠ ±1), तब सही होते हैं।'
A. ...
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'कृपया महत्वपूर्ण मामले स्टडीज पर काम करते समय ध्यान देने वाले महत्वपूर्ण बिंदुओं का विस्तृत विवरण प्रदान करें।'
A. ...
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'निम्नलिखित प्रत्येक उत्तर समूह के लिए एक चुनें।, ध्यान दें कि विकल्पों की क्रमबद्धता महत्वपूर्ण नहीं है।'
A. ...
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'निम्नलिखित त्रिकोणीय अनुपातों को 45° से छोटे कोणों के संदर्भ में व्यक्त करें।'
A. ...
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'चित्र (अ) में, \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \ की मान का पता लगाएं।'
A. ...
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'0° से 180° के बीच, निम्नलिखित असमितियों को संतुष्ट करने वाले Υ के मान की श्रेणी खोजें।'
A. ...
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'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nअर्ध-वृत्त के रेडियस 1 पर, जहां \ y \ अक्ष कोआर्डिनेट \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ है, वहां बिंदु P और Q हैं जैसा कि दाएं चित्र में दिखाया गया है। निर्धारित काणों हैं \ \\angle AOP \\text { और } \\angle AOQ\\\nइसलिए\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'
A. ...
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'जैसे Άंगुλ Ώ तेज़ कोण है। sin θ = 12/13 होने पर cos θ और tan θ के मान ढूंढें।'
A. ...
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'दाईं तरफ के चित्र का उपयोग करके, sin 15°, cos 15°, tan 15° के मान का पता लगाएं।'
A. ...
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'0°<θ<180° मानें। जब 4cosθ+2sinθ=√2 हो, तो tanθ का मान निकालें।'
A. ...
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'0°≤θ≤180° लें। जब sinθ, cosθ, tanθ में से एक विशिष्ट मान लेता है, तो दूसरे 2 मान खोजें।'
A. ...
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'जो दो अलग-अलग वास्तविक समाधान हैं, उनचाहते दो वास्तविक समाधानों वाली द्विघात समीकरण x^2-(cosθ)x+cosθ=0-1<x<2 सीमा के भीतर हैं, उसके लिए ΅θ΅ की मान की श्रेणी खोजें।'
A. ...
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'अग्र द्विघात को थीटा के रूप में लें। जब tanθ=√7 हो, तो (sinθ+cosθ)² का मान पता करें।'
A. ...
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'sin 140 डिग्री + cos 130 डिग्री + tan 120 डिग्री का मान क्या है।'
A. ...
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'त्रिकोणमिति एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग दूरस्थ वस्तुओं तक की दूरी और ऊँचाई जैसी चीजें मापने के लिए किया जाता है जो सीधे मापा नहीं जा सकता है, और इसका इतिहास प्राचीन काल से है। यहाँ, हम त्रिकोणमिति का उपयोग करके पहाड़ की ऊंचाई की गणना करने के तरीके पर चर्चा करेंगे।'
A. ...
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'जब 0° ≤ θ ≤ 180° हो, तो निम्नलिखित असमिकाएँ संतुष्ट करने वाले Υ के मानों की श्रेणी खोजें। (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'
A. ...
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'जब 0° < θ < 90° होता है, तो y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70° की मान निकालें।'
A. ...
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'\\इसलिए\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'निम्नलिखित फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम मानों को और उसके संबंधित Υ मानों को ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'त्रिकोणमिति सारणी का संदर्भ लेते हुए, निम्नलिखित सवाल का उत्तर दें। जब Υ = 37° होता है, तो sin θ, cos θ, tan θ के मान का पता लगाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'दाईं तरफ की चित्रित छवि का उपयोग करके, sin 22.5 डिग्री, cos 22.5 डिग्री, और tan 22.5 डिग्री के मान ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'जब 0° ≤ θ ≤ 180° हो, तो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करने वाले Υ का मान ढूंढें: (6) √3 tanθ + 1 = 0'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'0° ≤ θ ≤ 180° के लिए, y=sin^2θ+cosθ-1 की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उन बिंदुओं पर Υ के मान की मान्यता भी ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'प्रस्ताव "अगर p तो q" में, परिस्थिति p को पूरा करने वाला समुदाय को P मानें, और परिस्थिति q को पूरा करने वाला समुदाय को Q मानें। जब प्रस्ताव "अगर q तो p" सही होता है, तो इसके विरुद्ध भावनात्मक, ∎ सही होती है। खाली स्थान में निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प भरना उचित है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'व्यापक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और परिवर्तन'
A. ...
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'PR 0° ≤ थीटा ≤ 180° के लिए, निम्नलिखित में से प्रत्येक का समाधान करें। (6)√3 tan θ + 1 = 0'
A. ...
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Join our DiscordQ.14
'मौलिक त्रिकोणमितीय संबंध 108 तीर्थ कोन θ तीक्ष्ण कोण है। (1) जब sin θ = 2/√13 हो, तो cos θ और tan θ के मान ढूंढें। (2) जब tan θ = √5/2 हो, तो sin θ और cos θ के मान ढूंढें।'
A. ...
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'निम्नलिखित त्रिकोणीय अनुपात को 0° से लेकर 90° तक के कोणों के त्रिकोणीय अनुपात के रूप में व्यक्त करें, और इनके मान को त्रिकोणीय त表 का उपयोग करके प्राप्त करें। (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'प्रश्न 5 (2) त्रिभुज ABC में द्वितीय सबसे बड़े कोण की टैंजेंट ढूंढें।'
A. ...
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'त्रिभुज एबीसी में, अगर sin A: sin B: sin C = 5:16:19 है, तो इस त्रिभुज में सबसे बड़े कोण का आकार फ़िन्ड करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'निम्नलिखित कोणों की सोख, कोसिन, और टेन्जेंट ढूंढें। (1) 135 डिग्री (2) 150 डिग्री (3) 1'
A. ...
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'त्रिभुज ABC में, यदि ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 डिग्री है, तो निम्नलिखित असमिकरण सत्य है: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1 को सिद्ध करें'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'निम्नलिखित त्रिकोणमिति के बीच संबंधों का सिद्धांत करें: ।'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'निम्नलिखित में से sin 44° के बराबर दो विकल्प चुनें। (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'0° ≤ θ ≤ 180° के लिए, निम्नलिखित समीकरण को पूरा करने वाले Υ के मान ढूँढें: 2sinθ = √2'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'28 डिग्री कोण के लिए असमानता sin 29 डिग्री < tan 29 डिग्री < cos 29 डिग्री को सिद्ध करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'0° ≤ θ ≤ 180° रखें। अगर sinθ+cosθ = 1/√5 है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान का पता लगाएं। (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'
A. ...
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'कृपया सूत्रों का उपयोग करके व्याप्त कोण त्रिकोणीय अनुपात को तीव्र कोण त्रिकोणीय अनुपात में कैसे बदलें का वर्णन करें।'
A. ...
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'निम्नलिखित कोणों का साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट ढूंढें।\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'
A. ...
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'दिए गए पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का कौन सा कर्व प्रस्तुत करता है?'
A. ...
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'x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0 की समीकरण की कर्व खोजें।'
A. ...
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'अध्याय 4 समीकरण और कक्षाएँ\n17 पराबोला\n18 दीर्घवृत्त\n19 हाइपरबोला\n20 द्विघातीय कक्षाओं का समांतर स्थानांतरण\n21 द्विघातीय कक्षाएँ और रेखाएँ\n22 कक्षाओं की पैरामीट्रिक व्याख्या\n23 ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय समीकरण'
A. ...
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'मूल उदाहरण और मानक उदाहरणों को हल करने के बाद क्या अच्छी बातें काम करने के लिए हैं?'
A. ...
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"समाज में गणित किस प्रकार सहायक है? गणित के 'उपयोगी' तरीके भी समय के साथ बदल गए हैं। पहले, जब गणित के उपयोग की चर्चा होती थी, यह अक्सर 'कटिंग-एज विज्ञान और प्रौद्योगिकी' की कीवर्ड के साथ जुड़ा रहता था। समाज में कटिंग-एज विज्ञान और प्रौद्योगिकी का महत्व स्वीकार्य है, लेकिन यह हमारे दैनिक जीवन में सामान्य रूप से देखने को नहीं मिलता था। हाल की स्थिति में इसमें बदलाव आया है। यह इसलिए है क्योंकि गणित हमारे दैनिक जीवन के विभिन्न पहलुओं में प्रवेश करने लगा है।"
A. ...
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'(1) क्योंकि cos(-x) = cos x और (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x है, इसलिए cos x एक सम फ़ंक्शन है और x^2 sin x एक विषम फ़ंक्शन है। इसलिए, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'
A. ...
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'कृत्रिम निर्देशांकों में निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वक्र का विवरण करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'(1) में, यदि फ़ंक्शन की सीमा 1 ≤ y < 3/2 है, तो डोमेन खोजें।'
A. ...
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'सकारात्मक संख्या a के लिए, उपवर्ती y=x^{2} पर बिंदु A(a, a^{2}) पर A के चारोंों को -30 डिग्री घुमाया गया रेखा को l रेखा कहते हैं। A कोण से छोड़कर या y=x^{2} के तीर्थांक पर B कोण की अंतरिक्ष बिंदु कहा जाता है। और साथ ही, बिंदु (a, 0) को C और मूल को सुरंग कहा जाता है। रेखा l की समीकरण को खोजें। साथ ही, लाइन सेगमेंट्स OC और CA और y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र क्षेत्रफल को S(a) कहा गया है, और रेखा सेगमेंट्स AB और CA और y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र क्षेत्रफल को T(a) कहा गया है। माने c=lim_{a→∞} T(a)/S(a)।'
A. ...
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'3) 0 ≤ θ < 2π संख्या Υ के लिए, z = cosθ + i sinθ का उपयोग करें। सिद्ध करें |1 - z|=2 sin (θ/2) समीकरण सही है।'
A. ...
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'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले सम्मिश्र की उत्तलता और अवतलता को दिखाएँ।'
A. ...
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'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'
A. ...
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'महत्वपूर्ण उदाहरण\n13|ux + vy| का अधिकतम और न्यूनतम\nजब वास्तव संख्याएँ x, y, u, v x^2 + y^2 = 1 और (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1 समीकरणों को पूरा करती हैं, तो ux + vy की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'
A. ...
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'निम्नलिखित x मानों पर कार्य की अवरुद्धि बिंदु खोजें।'
A. ...
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'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'
A. ...
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'पैरामीटर चर के द्वारा प्रतिनिधित वक्र को \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) कहा जाता है। इसे \ C \ से नामित किया जाता है।'
A. ...
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'समीकरण r=\\frac{1}{1+a \\cos θ} के लिए, (1) साबित करें कि जब a= ±1, तो यह एक पाराबोला को प्रस्तुत करता है, और जब |a|<1 होता है, तो यह एक उपवृत्ति को प्रस्तुत करता है। (2) साबित करें कि उपरी समीकरण द्वारा प्रस्तुत वक्र को y-अक्ष के स्थान y= ±1 पर काटने के बावजूद a के मान से कोई सम्बंध नहीं होता। (3) जब |a|<1 हो, तो उपवृत्ति के पहले क्वाड्रेंट में स्थित हिस्सा और x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा घेरे गए आकृति को D के रूप में चिह्नित करें। x-अक्ष के चारों ओर रखने से प्राप्त ठोस के आयत का आयात।'
A. ...
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'(2) (1) का विस्तार\nइसलिए, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} और \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} के बीच बने कोण को \\theta मानते हैं\n\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}}{\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}\n\\sin \\theta>0 है इसलिए\n\\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'
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'0<θ<π/2 के मामले में, यदि dL/dθ=0, तो cosθ=1/√3। इस स्थिति को पूरा करने वाले Υ को α मानें, तो tanα=√(1/cos²α-1)=√2। (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2 से प्राप्त होता है कि tanθ₁<tanα<tanθ₂। अर्थात, θ₁<α<θ₂। इसलिए, Μ=λ<θ<θ₂ के लिए, L का वृद्धि और घटने का सारणी दिखाई देती है। इसलिए, Λ θ=α होने पर अधिकतम मान प्राप्त करता है। सिनα=√(1-cos²α)=√6/3 के रूप में, अवश्यीय अधिकतम मान 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3 है। इस स्थिति में, cosθ=1/√3।'
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"समस्या 94 छोटे परिवर्तनों का उत्तर देना।\n(1) ΔABC क्षेत्र S कितना बढ़ेगा।\n(2) साइड CA की लंबाई y कितना बढ़ेगी।\nनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें।\nछोटे परिवर्तन के लिए सूत्र Δy≒y'Δx\nउत्तर: जब कोण B 1 डिग्री बढ़ जाता है\nS≒√3sin(x) से शुरू करके।"
A. ...
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'वास्तविक ध्रुव के बारे में अबिमुक्ति के द्वारा एक समधर्मी स्थान की संयोजना करें और मूल के चारों ओर -π/2 के क्रमांक को घुमाकर एक बिंदु के निर्धारित कोआर्डिनेट्स।'
A. ...
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'उदाहरण 41 | निर्दिष्ट समाकलन की गणना (2)\nनिर्दिष्ट अंतरक यदि ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx का मूल्य निर्धारित करें। यहां, m और n प्राकृतिक संख्याएं हैं।'
A. ...
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'प्रमाणित करें कि y=tan x (-π/2<x<π/2) के उल्ट सम्बन्ध के लिए y=g(x) है, तो g(1/2)+g(1/3)=π/4।'
A. ...
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'नीचे दिए गए सारणी से, समीकरण के वृद्धि और अवृद्धि की पुष्टि करें, और अत्यंत मानों का पता लगाएं।'
A. ...
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'क्या शर्तें हैं जिनके तहत कर्व y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d के पास एक मल्टीपल कोसिन लाइन है।'
A. ...
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'sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5) के मान की गणना करें।'
A. ...
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'पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके अनंत श्रृंखला का योग ढूंढें'
A. ...
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'गणित समस्या को हल करने की तुलना किससे की जाती है?'
A. ...
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'इस अध्याय में सीखने की बात वह है जो आपने अब तक सीखा है। इस ज्ञान का उपयोग करके आगे आकारों की ज्यामितीय विश्लेषण किया जाना महत्वपूर्ण है। इस अध्याय में, हम वैकल्पिक आकारों की गुणों का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामितीय के तरीके का उपयोग करेंगे, मुख्य रूप से द्विघातीय रूपों जैसे की अंगरेजी में ellipses, hyperbolas, और parabolas की विशेषताओं का अध्ययन करेंगे। इसके अतिरिक्त, हम संक्षेप में आधिकारिक प्रतिनिधियों और ध्रुवीय निर्देशांकों को समीक्षा करने के उपायों पर भी चर्चा करेंगे।'
A. ...
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'(1) वक्र C पर एक बिंदु Q के संयोजीय समीकरण दिए गए हैं, जहां पैरामीटर t -π/2 से लेकर 0 तक है, जैसे (√2/cos t, √2 tan t). बिंदु Q पर टैंजेंट रेखा l की समीकरण है [√2/cos t x-√2 tan t y=2], जो बराबर है [x-sin t y=√2 cos t]'
A. ...
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'निम्नलिखित समीकरण के लिए अधिकतम मान, न्यूनतम मान और x का मान खोजें।'
A. ...
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'कर्व पर बिंदु अनंत दूर चलता जाता है, कर्व किसी निश्चित सीधी रेखा की ओर आती है, जिसे कर्व की असिम्प्टोट कहा जाता है।'
A. ...
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'S=4 के लिए, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ से \k=\\sqrt{3}\ मिलता है। इसलिए, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\ है। क्योंकि \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\ है, इसलिए, \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\। अतः, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\। जहाँ \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\ क्षेत्र में, वक्र \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\ और रेखा \x=\\theta\ द्वारा घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल को \T\ से भांति चिह्नित किया जाता है। निम्नलिखित शर्त सत्य होने के लिए, \T<4\, इसे \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\ होना चाहिए।'
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'दिए गए अव्यक्ति समारोह को वर्गमूल समारोह की रूप में परिवर्तित करें।'
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'कृपया बताएं कि कार्य f(x) क्यों अंतरालित है: f(x) = { x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों के विघातन का निम्नलिखित प्रकार है। कृपया ध्यान दें कि कोण रेडियन में है।'
A. ...
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'कॉस x लेने के क्रम me y = x की वक्र की सभी स्पर्श Rekhae ढूंढें जिनका मूल निशान द्वारा जाता हो।'
A. ...
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'एनथ पद a_{n} है a_{n} = \\cos n \\pi कोई प्राकृतिक संख्या हो। n=2k-1 के लिए, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1, n=2k के लिए, \\cos n \\pi=\\cos 2k \\pi=1 इसलिए, अनुक्रम \\{a_{n}\\} घूमता है। इसलिए, AN का n वाला पद a_{n}=(-1)^{n} है, जो 0 पर आकर्षित नहीं है, इसलिए, यह अनंत श्रृंखला विघटित है।'
A. ...
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'x y तल पर, मूलधन के रूप में मूलबिंदु, और व्यास की सकारांक भाग को शुरुआत रेखा के रूप में लेते हुए, कोणीय निर्देशिका r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) द्वारा प्रतिनिधित ध्रुव परिवर्तित करने वाली वाली कवृण्ट को C के रूप में लेते हैं। x अक्ष द्वारा घेरी गई आकृति और x अक्ष के द्वारा जो क्षेत्र है, उस क्षेत्र को x अक्ष के चारों ओर एक पूरे परिवर्तन के साथ घुमाने से प्राप्त ठोस का आयातन ढूंढें।'
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'अभ्यास निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरण किस प्रकार की गर्भावली का प्रतिनिधित्व करते हैं? उत्तर को रैखिक निर्देशांक में दें।'
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'समघात त्रिकोणमिति। 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π) को हल करें तो x=π/3, π'
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'दिए गए सममिश्र पूर्वावेशिता के रखित क्षेत्र में यह है कि गुनीत्रिक समीकरण के वर्णावली y=sin x और रेखा y=t-x के संयोजन बिंदुओं का x-आव्धान अल्फा द्वारा सूचित किया जाता है, जहाँ sin alfa=t-alfa और 0<α<t। इस प्रकार, V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x+1/3 π sin^2 alfa·(t-alfa)। (1) से V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x + 1/3 π sin^3 alfa।'
A. ...
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'33θ को वास्तविक संख्या और n को पूर्णांक माना जाए। अगर z=sinθ+i*cosθ है, तो ज़ेडएन का तथाक भाग और काल्पनिक भाग cos(nθ) और sin(nθ) के रूप में व्यक्त करें।'
A. ...
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'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, इसलिए (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'
A. ...
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'cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ से, समीकरण r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 को x = r cos θ, y = r sin θ के साथ व्यक्त करें'
A. ...
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'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) f′(t)=0 मान दें, तो sin(t−π/4)=0 तो t−π/4>−π/4 है, इसलिए t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'
A. ...
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'जब किसी फ़ंक्शन y को x=1-cosθ, y=θ-sinθ के रूप में पैरामीटर θ का उपयोग करके प्रस्तुत किया जाता है'
A. ...
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'जब 0 ≤ θ ≤ π हो, तो cos(θ/2) ≥ 0। जब 0 ≤ θ ≤ π/2 हो, तो cos(θ) ≥ 0। जब π/2 ≤ θ ≤ π हो, तो cos(θ) ≤ 0। साथ ही, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2))।'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी ढूंढें। (1) sin θ = √3/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'प्रदर्शित करें कि निम्नलिखित शर्तों को पूरा होते हुए और cos 36 डिग्री का मान निकालें: (1) जब θ = 36 डिग्री हो, तो sin 3θ = sin 2θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'समग्र अभ्यास भाग 2 गणित II अध्याय 4 त्रिकोणमितीय कार्यों'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'[ ] में मान्यतम और न्यूनतम मान, और उसके लिए x मान को निकालें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'दी गई फ़ंक्शन्स का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उन बिंदुओं पर Υ के मान भी निर्धारित करें। 1620 ≤ θ ≤ π का ध्यान रखें। (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'समीकरण \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \ को सिद्ध करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'निरंतर a के मान को निर्धारित करें जिससे फ़ंक्शन y=2sin3x+cos2x-2sinx+a के न्यूनतम मान की आपूर्ति मान के बराबर हो।'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [अभ्यास \\( 156(2) \\) ] का सामान्य समाधान है'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'(1) फ़ंक्शन y=f(x) के x=α पर अधिकतम मान, x=β पर न्यूनतम मान लेता है। दिखाएं कि दो बिंदुओं (α, f(α)) और (β, f(β)) को जोड़ने वाले रेखांक के बीच का बीचबिंदु M मात्रि y=f(x) पर होता है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'जोड़ने का सिद्धांत, डबल एंगल/हाफ एंगल सूत्रों को याद करने का तरीका क्या है?'
A. ...
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Join our DiscordQ.14
'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के ग्राफ़ बनाने की प्रैक्टिस करें और उनकी अवधियों को खोजें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'साबित करें कि जब सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ मानती हैं जो को संतुष्ट करती हैं, तो का मान स्थिर होता है।'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'1. साइन समीकरण सूत्र: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. कोसाइन समीकरण सूत्र: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. टैन्जेंट समीकरण सूत्र: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'
A. ...
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'(2) अगर \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \ है, तो \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \ के मान की गणना करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'जोड़ने का सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'जब θ निम्नलिखित मान हो तो, sin θ, cos θ, tan θ के मान निकालें।'
A. ...
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'(3) यदि सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ मान्य हो और को पूरा करती हैं, तो का मान स्थिर होता है का प्रमाण दें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'0 ≤ θ <2π के लिए निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी निकालें।'
A. ...
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'जब n एक प्राकृतिक संख्या हो और Υ एक वास्तव संख्या हो, तो निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें। (1) सिद्ध कीजिए cos(n+2)Υ-2cosΥcos(n+1)Υ+cosnΥ=0।'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'सम और विषम सम्बंधित निर्धारित अंकितों की गुणधर्मों की स्पष्टीकरण करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'4 चक्रिय फ़ंक्शन\nफ़ंक्शन \\( f(x) \\) के लिए, यदि 0 नहीं स्थिर \ p \ मौजूद है ऐसा कि समीकरण \\( f(x+p)=f(x) \\) हर मान \ x \ के लिए सत्य है, तो फ़ंक्शन \\( f(x) \\) को चक्रिय फ़ंक्शन कहा जाता है और उसका चक्र \ p \ होता है। इस स्थिति में, क्योंकि \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\) होता है, इसलिए \ 2p, 3p, \\cdots \\cdots \ भी चक्र हैं, और चक्रिय फ़ंक्शन के लिए अनगिनत चक्र होते हैं।\n\nसमस्या: फ़ंक्शन \\( y = \\cos(5\\theta) \\) का चक्र गणना करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'निम्नलिखित समीकरण का समाधान कीजिए। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी ढूंढिए। (4) sinθ=-1'
A. ...
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'निम्नलिखित समीकरणों की ग्राफ बनाने का अभ्यास करें। साथ ही, उनकी अवधियों का पता लगाएं।'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'(4) समीकरण से , हमें मिलता है, और . इसलिए , सुधार करते हैं , इससे हमें मिलता है। क्योंकि है, इसलिए हमेशा होता है। ऐसा होने पर, , अर्थात । क्योंकि है, इसलिए '
A. ...
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'एक स्थिर m की मान ढूंढें जिसके लिए कुर्व y=x^{3}-6x^{2}+9x और रेखा y=mx द्वारा घेरे गए दो आकृतियों की क्षेत्रफल समान है। यहाँ, 0<m<9।'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'पुनरावलोकन... कई उदाहरणों में सीखे गए समाधानों की विशेषताओं को समाप्तीत रूप से समझाता है। समाधान को निर्धारित करने के लिए कुंजियों को समझकर, व्यक्ति अपनी समझ को गहरा कर सकता है।'
A. ...
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'जब \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \ है, तो अधिकतम मान \ \\frac{1}{4} \ है; जब \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \ है, तो न्यूनतम मान -2 है'
A. ...
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'¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ की अधिकतम मान को ¥( a) ¥ के सिरे से व्यक्त करें।'
A. ...
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'समीकरण y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}) की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उस समय θ का मान भी ढूंढें।'
A. ...
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'l को स्थिर रखते हुए Υ बदलें। मान लें tan θ = t, और अभिव्यक्ति r / (1 + cos 2θ) को t की एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें, और उसका अधिकतम मान खोजें।'
A. ...
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'243 x=-1 पर अधिकतम मान \\frac{5}{3} है, x=3 पर न्यूनतम मान -9 है'
A. ...
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'विभिन्न त्रिकोणमिति फलन\nत्रिकोणमिति फलन में, मूल रूप y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ के बीच के संबंध का विचार करें।\n\nसवाल: समीकरण y=2sin(3θ) के ग्राफ को थीटा-धिसाथ यहाँ वृद्धि या संक्षिप्त कैसे करें, y- धिसाथ पर कैसे परिवर्तित करें।'
A. ...
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'मूल विषय\n1. त्रिकोणमितीय समीकरणों के ग्राफ़\n(1) y=sin θ का ग्राफ\n(2) y=cos θ का ग्राफ\nθ एक वास्तविक संख्या है, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) y=tan θ का ग्राफ\nθ ≠ π/2+nπ (n एक पूर्णांक है), y सभी वास्तव संख्याएँ लेता है। रेखा θ=π/2+nπ (n एक पूर्णांक है) एक असिम्प्टोट है।\n\nडी. 216 में सीखने के अनुसार, एक इकाई वृत्त के परिधि पर एक बिंदु P(x, y) और रेखा x=1 और रेखा OP का क्रमिक बिंदु T(1, m) के रूप में मान सकते हैं। ओपी की त्रिज्या को कोण ओपी द्वारा प्रस्तुत करता है θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nइसका उपयोग करके, व्यक्तियों के y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ के ग्राफ बना सकते हैं। y=sin θ और y=cos θ के ग्राफ को साइन वक्र कहा जाता है, और y=tan θ का ग्राफ टैन्जेन्ट कर्व कहलाता है। इसके अतिरिक्त, लंबवृत्ती द्वारा (y-अक्ष) के प्रति, y=f(θ) के ग्राफ में, पार को x=θ-अक्ष के रूप में जाना जाता है। साथ ही, जब कोई वक्र एक सीधी रेखा के करीब आता है, तो उस रेखा को वक्र की असिम्प्टोट कहा जाता है।'
A. ...
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'उदाहरण 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'
A. ...
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'0 ≤ x ≤ 3/4π के लिए, समीकरण y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx का अधिकतम मान, न्यूनतम मान और उस समय x के मान की गणना करें।'
A. ...
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'जब m सभी वास्तव संख्याओं के माध्यम से चलता है, तो निम्नलिखित दो रेखाओं के संवर्धन बिंदु P किस प्रकार की आकृति बनाते हैं? m x-y=0 (1), x+m y-m-2=0 (2) संवर्धन बिंदु P के निर्देशांक ढूंढने के लिए, (1), (2) को x और y के समकक्ष समीकरणों के रूप में मानकर उन्हें हल करें: x=(m+2)/(m^2+1), y=(m(m+2))/(m^2+1) इन दो समीकरणों से m को हटाने और x और y के बीच संबंध ढूंढने की कोशिश करने पर एक कठिन हिसाब ले आता है। इसलिए, आइए P के अस्तित्व के शर्तों पर विचार करें। यदि हम m का मान निर्धारित करते हैं, तो दो रेखाएं (1) और (2) सेट हो जाती हैं, और दो रेखाओं (1) और (2) की पारस्परिक बिंदु P की निर्धारण हो जाती है। उदाहरण के लिए, जब m=0 होता है, तो x=2, y=0; जब m=1 होता है, तो x=3/2, y=3/2। अतः, बिंदु (2,0) और (3/2, 3/2) चाहे रुप अंदर हैं। उलटे दृष्टिकोण से, यदि दो रेखाओं (1) और (2) का पारस्परिक बिंदु P है, तो यह मानता है कि ऐसा कोई वास्तव संख्या m है जो दोनों (1) और (2) को पूरा करता है। इसलिए, इसे समकक्ष समीकरणों (1) और (2) के हल का अस्तित्व वाली शर्त के रूप में सूचित करें। अर्थात, इसे समाहित करने के मान को संतुलित बनाने के लिए (1) को पूरा करें m के लिए, (1), (2) से m को हटाएं और x, y के बीच संबंध निकालें। ध्यान दें कि m को हटाने पर, m के लिए समाधान निकालते समय, x≠0 और x=0 के मामले पर ध्यान देना आवश्यक है। जब उत्तर देते हैं, तो छूट बिंदु का भी ध्यान रखना आवश्यक है।'
A. ...
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'tan(x + y) + tan(x - y) का न्यूनतम मूल्य खोजें। [शर्तें] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2]।'
A. ...
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'उदाहरण 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'
A. ...
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'f(x)= cos 2x (0 ≤ x ≤ π) समीकरण के निष्कर्ष की मानों का पता लगाएं'
A. ...
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'अगला समीकरण निम्नलिखित पद्धति का पालन करके साबित करें।'
A. ...
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'(1) अभ्यास (1) (3,4) बिंदु से y=-x^{2}+4x-3 पराबोला के लिए क्या खिंचाई गई स्पर्श रेखा की समीकरण ढूंढें।'
A. ...
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'जब हाइपरबोला x^2-4y^2=4 पर बिंदु (a, b) पर टैंजेंट की ढाल m है, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। मानिए b ≠ 0।'
A. ...
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"(2) y=cos(x)(π<x<2π) के उलटत फ़ंक्शन g(x) की g'(x) और g''(x) खोजें।"
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'तीन-तिकोनी में गति और त्वरण की मात्रा का पता लगाएं, बिंदु पी का समय t पर निर्धारित निर्देशांक हैं: x=3sin(t)+4cos(t), y=4sin(t)-3cos(t)'
A. ...
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'निर्धारित करें स्थिर a की मान, ताकि समीकरण f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) का अधिकतम मान \\sqrt{3} हो।'
A. ...
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'(0<x<π) के लिए, कर्व C1: y=2sinx और कर्व C2: y=k-cos2x के समान रेखा P पर एक समान स्पर्श रेखा ℓ रखते हैं। स्थिर मान k और बिंदु P के निर्देशांक ढूंढें।'
A. ...
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'न कोणीय रेखांकन के लिए, निम्नलिखित वृत्त और रेखा के समीकरण ढूंढें। ②67\n(1) ए(3, π/3) पर केंद्र और त्रिज्या 2 का वृत्त\n(2) ए(2, π/4) से गुजरता है, और लक्ष्य ओ के लिए लंबवृत्ती ओए पर बिन्दु परिके ठीक। परिप्रेकिष में परिणामवाद नियम नीचे दिए गए हैं।\nतो, r²+9-2⋅r⋅3⋅cos(θ-π/3)=4\nजो r²-6⋅r⋅cos(θ-π/3)+5=0 से बराबरी है\n(2) क्योंकि △OAP एक सीधी त्रिभुज है, इसलिए OP⋅cos(∠AOP)=OA\nOP=r, OA=2, ∠AOP=|θ-π/4|'
A. ...
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'रेखा C को पैरामीटर t का उपयोग करके x=2(t+1/t+1), y=t-1/t के रूप में प्रकट किया जाता है। रेखा C की समीकरण ढूंढें और उसका पृष्ठरूप बनाएं। [यूनिवर्सिटी ऑफ त्सुकुबा] सुझाव: (t+1/t)^2-(t-1/t)^2=(स्थिर) पर ध्यान केंद्रित करें।'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय समीकरणों की निम्नलिखित गुणधर्मों को सिद्ध करें: \\(\\sin(-\\theta) = -\\sin\\theta \\), \\( \\cos(-\\theta) = \\cos\\theta \\), \\( \\tan(-\\theta) = -\\tan\\theta \\)'
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'किसी फ़ंक्शन के लिए उन मानों या मानों को ढूंढें जो फंक्शन f(x) = (x+1)/(x^2+2x+a) के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:\n1) f(x) के x=1 पर स्थानीय अधिकतम है।\n2) f(x) का स्थानीय अधिकतम है।'
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'a>0 के लिए, वर्तुल जिसे y=a^2 x + 1/a sin x और रेखा y=a^2 x द्वारा घेरे गए क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होने वाला रेखीक घन का आयतन V(a) कहा जाता है। (१) V(a) को a के रूप में व्यक्त करें। (२) V(a) को कम से कम करने वाले a के मान को निर्धारित करें।'
A. ...
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'अभ्यास करें कि यदि x का समाघात ये d एक फ़ंक्शन f माना जाए, तो t और q के रूप में माध्यक समीकरणों के लिए पांशक अंश dy/dx का प्रतिबिम्ब कैसे मिलता है। (1) {x=2t^3+1, y=t^2+t}, (2) {x=sqrt(1-t^2), y=t^2+2}, (3) {x=2cosθ, y=3sinθ}, (4) {x=3cos^3θ, y=2sin^3θ}'
A. ...
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'अभ्यास: निम्नलिखित कार्यों की सततता का अध्ययन करें।'
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'चलाने के लिए a और b को सकारात्मक वास्तविक संख्या बनाएं। चित्र y=a cos(x)(0≤x≤π/2) को C_1 और चित्र y=b sin(x)(0≤x≤π/2) को C_2 माना जाता है, C_1 और C_2 का संवेगन P के रूप में चिह्नित है।'
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'अनिश्चित रूप से \ \\sin ^{n} x \ का अनिश्चित अंतरक के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का प्रमाण'
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'यदि समीकरण f(x)=x^{2} की श्रेणी 0<x<2 में कम से कम 2 वास्तव संख्या समाधान है और समीकरण f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3 है।'
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'सिद्ध करें कि समीकरण f(x) = ax + x cos x - 2 sin x के बीच π/2 और π के बीच केवल एक अत्यंत मूल्य होता है। जहां -1 < a < 1।'
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'निर्देशित बिंदु (2,2) से गुजरती हुई, ढीलाई m (m ≠ 0) वाली रेखा ℓ और कक्षा y=1/x के दो संविदान बिंदु P(α, 1/α) और Q(β, 1/β) रहते हैं, PQ का बीचक बिंदु R(u, v)। m के बदलने पर, R बिंदु के द्वारा बनी समुद्र तल C की गणना करें। (1) रेखा ℓ के समीकरण का पता लगाएं। (2) m के सूत्र के बारे में u और v की व्यक्ति करें। (3) कक्षा C के समीकरण का पता लगाएं और उसका उथान आकार धारित करें।'
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'(1) अभ्यास: एक बिंदु P को संख्या धुरी पर चलते हुए विचार किया जाए, इसके निर्देशांक समय t के फ़ंक्शन के रूप में प्रतिनिधित हैं: x=t^{3}-10t^{2}+24t। मूल तक वापस आने पर P की वेग v और एक्सेलरेशन α का निर्धारण करें। (2) यह सोचा गया कि एक बिंदु P ने समय t पर निकटतम आकार में एकसाथ प्रस्थान करने के साथ संख्या यूद्ध करना है: x=4cos t, y=sin 2t। t=π/3 पर बिंदु P की वेग और एक्सेलरेशन की मात्रा प्राप्त करें।'
A. ...
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'x के लिए y^{\\prime}=0 होने वाले मान x-1=0 की स्थिति में x=1, \\quad \\sin x=0 की स्थिति में x=0, \\pi, 2 \\pi'
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'एक फ़ंक्शन के रिवर्स होने के लिए क्या शर्तें हैं? फ्रैक्शनल फ़ंक्शन के लिए कौन सी शर्तें आवश्यक हैं?'
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'साबित करें कि एक निरंतर समीकरण f(x) जिसकी लिए सभी वास्तविक संख्याएँ x के लिए f(π-x)=f(x) को संतोषपूर्वक करती है, तो समीकरण ∫_{0}^{π}(x-π/2)f(x)dx=0 सही है। इसके अलावा, इस परिणाम का उपयोग करके प्रतिष्ठित अंशक integral ∫_{0}^{π} x sin^3x/(4-cos^2x)dx का पता लगाएं।'
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'निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित बिंदु P(x, y) द्वारा कौनसी परिक्रमा बनाई जाती है?'
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'दे मोइवर के उपप्रमाण का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें।'
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'त्रिभुज ABC में, कोण A, कोण B का आकार क्रमश: α, β के रूप में और उनके सामकोणी सिद्धांतों की लंबाई को उनके विरोधी कोणों से बताया जाए, यहां तक कि a, b। वेगवान। प्रमाणित करें कि असमस्ति (b^2/a^2)<(1-कोसβ)/(1-कोसα)<(β^2/α^2) जब 0<α<β<π।।'
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Join our DiscordQ.97
'चूर्णकोण सी₁ और सी₂ के छेद बिंदु की x-आवृत्ति को sin t और cos t के रूप में a और b के रूप में व्यक्त करें।'
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'यदि a>0 है। कैटेनरी y=\\frac{a}{2}\\left(e^{\\frac{x}{a}}+e^{-\\frac{x}{a}}\\right) पर एक स्थिर बिंदु A(0, a) से बिंदु P(p, q) तक की धरी की लंबाई को l और इस कण्डर के और, x-अक्ष, y-अक्ष और x=p रेखा द्वारा घेरे गए क्षेत्र को S कहा जाता है। इस स्थिति में, S=a l को साबित करें।'
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'गणित सकारात्मक 219 (1)\\[\egin{aligned} y^{\\prime} & =2 \\cos 2 x+2 \\cos x=2\\left(2 \\cos ^{2} x-1\\right)+2 \\cos x \\\\ & =2\\left(2 \\cos ^{2} x+\\cos x-1\\right)=2(\\cos x+1)(2 \\cos x-1) \\end{aligned}\\] 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi के सीमा में y^{\\prime}=0 होने वाले x के मान हैं \\cos x=-1 से \\quad x=\\pi, \\quad \\cos x=\\frac{1}{2} से \\quad x=\\frac{\\pi}{3}, \\quad \\frac{5}{3} \\pi 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi पर y की वृद्धि और घटन का सारणी निम्नलिखित है।'
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'निर्देशांक समीकरण किस प्रकार की कक्षा का प्रतिनिधित्व करता है? समरुपी निर्देशांकों में उत्तर दीजिए। (a) '
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'(1) \\( r^{2}-6 r \\cos \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{3}\\right)+5=0 \\)'
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'मध्य O को केंद्र मानकर, व्यास 5 वाले वृत्त के ऊपर बिंदु Q परिक्रमण करता है, और इसके बाद बिंदु P व्यास 1 वाले वृत्त के ऊपर बिंदु Q के केंद्र में परिक्रमण करता है। समय t पर, x अक्ष के सकारात्मक दिशा के साथ OQ, QP द्वारा बने कोणों को प्रत्येक t, 15t माना जाए। OP x अक्ष के सकारात्मक दिशा के साथ बनाए गए कोण ω के लिए dω/dt प्राप्त करें।'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'निम्नलिखित वक्रों पर बिंदु P और Q पर टंजेंट सीधीयों की समीकरण ढूँढें:'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
"1. सीधी रेखा पर एक बिंदु की गति संख्या रेखा पर अंकित बिंदु P की चलन, समय t पर उसकी निर्देशांक x है, तो x t का कार्य है। इस कार्य को x=f(t) माना जाए: (1) वेग v = dx/dt = f'(t), त्वरण α = dv/dt = d^2x/dt^2 = f''(t) (2) गति |v|, त्वरण का मान |α|"
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, यदि x=a tan y का संतान है, जहां y (-π/2 < y < π/2) के बीच है, और फिर y=f(x) का संबंध है, तो ∫[0, a] f(x) dx कीजिए।'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'कृतिक कार्य y=√(a(x-p)) और y=√(ax+b) की ग्राफ का समांतर स्थानांतरण का विवरण करें।'
A. ...
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'एक वास्तविक संख्या के लिए ए कीमत को सेट करें। इसलिए कि कार्य f(x) = ax + cos x + 1/2 sin 2x कोई अधिकतम मान नहीं रखता है इसलिए, a के मान की मर्यादा का निर्धारण करें।'
A. ...
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'समग्रता -1<x<1 पर परिभाषित निम्नलिखित समीकरण के लिए, नीचे दिए गए प्रश्नों का उत्तर दें।'
A. ...
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'x y समतल में वक्र C: x=sin t, y=sin 2 t(0<t<π/4) के लिए, (1) C पर बिंदु P(sin α, sin 2 α) पर खींची गई रेखा ℓ की समीकरण ढूँढें। (2) x y समतल की मूलबिंदु O और C पर बिंदु P(sin α, sin 2 α) को जोड़ने वाली रेखा, और टैंजेंट रैखिक ℓ का कोण θ (0<θ<π/2) है, तो cos α का tan θ में प्रकट करें।'
A. ...
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'यहाँ a, b, c, k वास्तव संख्याओं की स्थायिता है, जहाँ a ≠ 0 और k ≠ 0। दो समीकरणों f(x) = ax³ + bx + c और g(x) = 2x² + k के लिए सम्पोषित कार्य का समीकरण g(f(x)) = f(g(x)) सभी x के लिए सही है। a, b, c, और k के मान निकालें।'
A. ...
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'पैरामीट्रिक समीकरण x=f(t), y=g(t) द्वारा प्रतिनिधित करने वाली कर्व पर θ=θ1 को समर्पित बिंदु पर टैञ्जेंट रेखा की समीक्षा करें।'
A. ...
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'एक सकारात्मक वास्तविक संख्या को a माना जाए। निर्देशांक तल में, वक्र y=sin x (0 ≤ x ≤ π) और x-अक्ष द्वारा घेरी गई क्षेत्रफल को S और वक्र y=sin x (0 ≤ x ≤ π/2), वक्र y=a cos x (0 ≤ x ≤ π/2) और x-अक्ष द्वारा घेरी गई क्षेत्रफल को T कहा जाए। S:T=3:1 के रूप में होने वाले a के मान को अज्ञात करें।'
A. ...
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'स्थिर a की मान निर्धारित करें, ताकि समीकरण f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) का अधिकतम मान \\sqrt{3} हो।'
A. ...
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'कुर्व y=x+\\sqrt{x} को स्पर्शित करने वाली रेखा की समीकरण निकालें, जिसका ढाल \\frac{3}{2} हो।'
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'समय t पर बिंदु P की वेग और त्वरण के मात्रांकन को खोजें, जब बिंदु P के संदर्भ में निर्दिष्ट हैं x=4कोस t, y=sin 2 t और t=π/3।'
A. ...
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'निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिनिधित वक्र की रूपरेखा का आकार बनाएं (अवतलता की जांच की आवश्यकता नहीं है)। (1) x=sin θ, y=cos 3 θ (2) x=(1+cos θ) cos θ, y=(1+cos θ) sin θ'
A. ...
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'\\( f(x) \\) की निर्धारित अंतरण: यदि \\( f(x) \\) एक सम-समीकरण है, तो \\( \\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \\int_{0}^{a} f(x) dx \\)। यदि \\( f(x) \\) विषम समीकरण है, तो \\( \\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \\)। निर्धारित अंतरणों द्वारा प्रतिष्ठित समीकरणों में, निरंतर \ a, b \ धातु हैं।'
A. ...
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'समीकरण y=|x|√(4−x) की वृद्धि और घटन के बारे में, x<0 के लिए y=−x√(4−x) का पालन करते हुए, y कैसे परिवर्तित होता है उसका विवरण दें। साथ ही, एक वृद्धि-घटन सारणी बनाएं।'
A. ...
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'यह एक पथ और कोण के वे�न दर पर सवाल है।\nमूलबिंद O के केंद्र में, अर्धव�न्ड 5 वाले वृत्त के ऊपर बिंदु Q घ�ं� रहा है, और औ� केंद्र और अर्धव�न्ड 1 वाले वृत्त के ऊपर बिंदु P घूम रहा है। समय t पर, x अक्ष के सकारात्मक दिशा के साथ OQ, QP द्वारा बनाए गए कोण यथार्थ हैं t, 15t। कोण ω के �पेक्ष में OP द्वारा x अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ, \\frac{dω}{dt} का पता लगाएं।'
A. ...
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'समय t पर एक गतिशील बिंदु P के निर्देशांक (x, y) जब x=sin t और y=(1/2)cos 2 t हैं, उस समय की अधिकतम मान ढूंढें।'
A. ...
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'द मोइवर के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें।'
A. ...
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'ऐसे वास्तविक संख्या x और प्राकृतिक संख्या n के लिए जो 0 ≤ x ≤ 2π को पूरा करते हैं, उनके लिए जैसे Sn = ∑ (cos x - sin x)^k (k=1 से n)। x के लिए ऐसी श्रृंखला {Sn} जिसमें संकुचित होती है के रेंज का पता लगाएं, और उस रेंज में x होने पर lim n→∞ Sn को पता करें।'
A. ...
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'निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरण किस प्रकार की वक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं? कार्तीय निर्देशांक समीकरण का उत्तर दें।'
A. ...
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'निम्नलिखित कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें:'
A. ...
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'पीआर कर्व की रूपरेखा बनाएं (गर्दन को ध्यान में नहीं रखना चाहिए)।'
A. ...
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'योग गणित का उपयोग करके, निम्नलिखित द्विगुण कोण सूत्रों का प्रमाण स्थापित करें: 1. 2. 3. '
A. ...
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'दिए गए समीकरण को कार्टेशियन संदर्भ में समीकरण में परिवर्तित करें और उसे चित्रित करें।'
A. ...
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'क्या k मान जिसके लिए y=1/(x-1) और y=-|x|+k के ग्राफ़ का 2 या अधिक बिंदु साझा करते हैं, का दायरा खोजें।'
A. ...
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'पोलर समीकरण r^2=a^2 cos 2θ (a>0) द्वारा प्रतिनिधित वक्र को क्या कहा जाता है? साथ ही, उस वक्र को रेखांक निर्देशांक में प्रदर्शित करने वाला समीकरण प्रदान करें।'
A. ...
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'(2) मूल से गुजरने वाली y=x*cos(x) की वक्र की सभी स्पर्शयांक रेखाएँ ढूंढें।'
A. ...
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'72 वां वक्र को ध्रुवीय समीकरण ढूंढें\nजिसके माध्यम से ध्रुवीय निर्देशांक (a, 0) वाले बिंदु A पास हो और OX द्वारा ऊपरी रेखा l। बिंदु P से l तक ऊंचाई बनाने के लिए ऊंचाई PH, जिसमें उपकेंद्रता e = OP/PH है\n(1) मान को स्थिर करने वाले बिंदु P का ट्रेक्शें है जो O को एक फोकस के रूप में लेता है। इसका ध्रुवीय समीकरण है r = ea/(1+e*cosθ)\nकर्व पर बिंदु P के ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) हों, जिसमें OP=r है\n(1) से हमें PH=r/e मिलता है, और PH=a-r*cosθ है\nइसलिए r/e = a-r*cosθ होता है, जिससे (*) निकलता है\n(*) 0 < e < 1 के लिए उद्वान होता है, e = 1 के लिए पराबोला होता है, और e > 1 के लिए हाइपरबोला होती है'
A. ...
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'16\n(1)\n\\[\n\egin{array}{l}\ny^{\\prime}=\\cos 2 x \\cdot(2 x)^{\\prime}=2 \\cos 2 x \\\\\ny^{\\prime \\prime}=2(-\\sin 2 x) \\cdot(2 x)^{\\prime} \\\\\n=-4 \\sin 2 x \\\\\n\\text { इसलिए } y^{\\prime \\prime \\prime}=-4 \\cos 2 x \\cdot(2 x)^{\\prime} \\\\\n=-8 \\cos 2 x \\\\\n\\end{array}\n\\]'
A. ...
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'दी गई उपभोक्ति का उपयोग करके, एस्केल्प्स के उपर 2 बिंदु R और S हैं, इसे साबित करो।'
A. ...
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'निम्नलिखित वृत्त और रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल S ढूंढें। (1) y=sin x, y=sin 3 x (0 ≤ x ≤ π)'
A. ...
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'उदाहरण 53 | पैरामीट्रिक व्यक्तिकरण में वक्र (1) जांचें कि बिंदु P(x, y) किस प्रकार की वक्र खींचता है जब कोआर्डिनेट निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रस्तुत किए गए हों।'
A. ...
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'निम्नलिखित वक्रों पर दिए गए t मानों के संबंधित बिंदु पर टैंजेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।'
A. ...
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'बिंदु Q की निर्देशांक हैं (α+1/2sin2α, 0), जिसे बिंदु P(πt, 0) से प्रदर्शित किया जाता है। यदि हम Q(X, 0) को सेट करें, तो X के लिए सूत्र ढूंढें। इसके अलावा, वेग v(t) का सूत्र दिखाएं।'
A. ...
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'निम्नलिखित कोणों या मानों का अभिनिर्धान करने के लिए विभेदक का उपयोग करें।'
A. ...
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'जब कोआर्डिनेट में एक बिंदु P का समय t का फ़ंक्शन के रूप में एक्स=\\frac{1}{2} \\sin 2t और y=\\sqrt{2} \\cos t दिया जाता है, तो वेग वेक्टर v, त्वरण वेक्टर α, और |v| की कम से कम मान का पता लगाएं।'
A. ...
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'निम्नलिखित समीकरणों के वृद्धि और वृहत्ता, चार्ट की उत्तलता और अवतलता की जांच करें, असंततियों का विश्लेषण करें और चार्ट के सामान्य आकार का डिजाइन करें। (1) (2) (3) (4) '
A. ...
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'PR निर्देशांक तल पर एक बिंदु P (x, y) की गति, जहां x = ωt - sinωt और y = 1 - cosωt समय t के फ़ंक्शन के रूप में है (2103 के रूप में व्यक्तित), बिंदु P की गति का पता लगाएं। साथ ही, उस गति का पता लगाएं जिस पर बिंदु P सबसे तेज़ी से गतिमान होता है।'
A. ...
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'विभिन्न ग्राफ की सामान्य संकेतलाक्षण बनाने की प्रक्रिया'
A. ...
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"क्षेत्रफल विषय 157 से सम्बंधित समीकरण के सीधैसी निशान निर्धारित करें\nर को सकारात्मक धनात्मक संख्या माना गया है। दो कर्वों y=r sin x, y=cos x (0 ≤ x ≤ π/2) के समांतरण का x आधारीत मान आल्फा है, और इन दो कर्वों और y-धिरा द्वारा घेरे गए आकृति के क्षेत्र को 'S' कहा जाता है।\n(1) आल्फा के रूप में S को व्यक्त करें।\n(2) आल्फा का निर्देशिका किए बिना r के सूत्र में sin^2α को व्यक्त करें।\n(3) S=1/2 के लिए r के मान का पता लगाएं।\n[Osaka Institute of Technology के समान]\nमौलिक 152"
A. ...
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'जब A और B को प्रतिस्थापन किया जा सकता है, तो AB=BA, इसलिए (AB)B=(BA)B=B(AB)\\ nइसलिए, AB और B प्रतिस्थापनीय हैं।'
A. ...
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'सिद्ध करें कि कोण APB का द्विभाजक वेग वेक्टर v के लगभग ऊपरी भिंगा, जहां बिंदु P (x, y) समय t पर xy-समतल पर चलता है जिसकी निर्देशिका x=5cos(t), y=4sin(t) और वेग v है, और बिंदु A (3, 0) और B (-3, 0) लिए गए हैं।'
A. ...
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'उदाहरण 160 संवेगीय समानांकन में वक्र और क्षेत्र (2)\nसंवेगीय चर t के द्वारा, x=2cos t-cos 2t, y=2sin t-sin 2t (0≤t≤π) दाईं चित्र में वक्र और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र S को प्रस्तुत किया जाता है।'
A. ...
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'कोआर्डिनेट प्लेन के बारे में जानकारी वाले पन्नों को खोजें।'
A. ...
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'क्रिया \\( f(x) \\) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित करें।'
A. ...
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'सिद्ध करें कि समीकरण x + sinx + 1 = 0 का (-π/2, 0) अंतराल में एक ही वास्तविक वर्ग है।'
A. ...
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'(1) \\( f(x)=\\sin x-\\frac{2}{\\pi} x \\) की वृद्धि और वृहत्त का अध्ययन करें। (2) सींच का सिद्धांत उपयोग करें। (3) प्राकृतिक लघुगणना लें।'
A. ...
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'वेक्टर ओए = (1,0), पी = (0,1) का उपयोग करके वेक्टर ओपी का प्रतिनिधित्व करें।'
A. ...
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'त्रिकोणमितीय, लॉगरिदमिक, और घातांकीय कार्यों की मानक'
A. ...
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'स्थिर a के मान की निर्धारण करें, आपको f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) का अधिकतम मान \\sqrt{3} होने चाहिए।'
A. ...
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'a>0 के लिए, ध्रुवीय समीकरण r=αθ(θ≥0) द्वारा प्रतिनिधित वक्र को क्या कहा जाता है? साथ ही, इस वक्र की विशेषताएँ क्या हैं?'
A. ...
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'x = sin a t, y = sin b t द्वारा प्रतिनिधित वक्र को क्या कहा जाता है, जहाँ ए और बी गुणांक हैं?'
A. ...
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'65 (1) \ \\frac{d y}{d x}=-\\tan \\theta \\\n(2) \ \\frac{d y}{d x}=\\frac{1+t^{2}}{2 t} \'
A. ...
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'कृपया पीले चार्ट सीरीज की विशेषताएं वर्णित करें।'
A. ...
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'रेखा ओए की समीकरण है y = x. सीरे C पर बिंब P(x, x^3) (0 ≤ x ≤ 1) से रेखा ओए के लिए लंब रेखा PH नीचे लगाई जाती है। PH = h और OH = t। इसलिए, 0 ≤ x ≤ 1 के लिए, x ≥ x^3।\\[h = \\frac{|x - x^3|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{x - x^3}{\\sqrt{2}}\\]सही त्रिभुज ओपीएच में, OH^2 = OP^2 - PH^2, इसलिए t^2 = OP^2 - h^2।\\[= \\{x^2 + (x^3)^2\\} - \\left(\\frac{x - x^3}{\\sqrt{2}}\\right)^2 = \\frac{(x + x^3)^2}{2}\\]क्योंकि t ≥ 0, तो t = \\frac{x + x^3}{\\sqrt{2}}। क्योंकि OA = \\sqrt{2}, इसलिए अवश्यक घुमाव के ठोस का आयाम है\V = \\pi \\int_{0}^{\\sqrt{2}} h^2 dt\\]\\[\egin{\overlineray}{l||l}\\hline t & 0 \\longrightarrow \\sqrt{2}\\hline x & 0 \\longrightarrow 1\\hline\\end{\overlineray}\ (1) से हम पाते हैं dt = \\frac{1 + 3x^2}{\\sqrt{2}} dx। इसलिए\\[V = \\pi \\int_{0}^{\\sqrt{2}} h^2 dt = \\pi \\int_{0}^{1} \\left(\\frac{x - x^3}{\\sqrt{2}}\\right)^2 \\cdot \\frac{1 + 3x^2}{\\sqrt{2}} dx\\]\\[\egin{array}{l}\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}} \\int_{0}^{1} \\left(3x^8 - 5x^6 + x^4 + x^2\\right) dx\\\\\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}}\\left[\\frac{x^9}{3} - \\frac{5}{7}x^7 + \\frac{x^5}{5} + \\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1}\\\\\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{16}{105} = \\frac{4\\sqrt{2}}{105}\\pi\\end{array}\\]'
A. ...
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'न極 समीकरण r=a+b cos θ द्वारा प्रदर्शित वक्र को क्या कहते हैं? साथ ही, जब a=b होता है तो वक्र का विशेष नाम क्या है?'
A. ...
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'(3) \\( \\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{x}=\\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{\\sin \\frac{x}{\\pi}} \\cdot \\frac{\\sin \\frac{x}{\\pi}}{\\frac{x}{\\pi}} \\cdot \\frac{1}{\\pi} \\)\\nयहां, \ \\sin \\frac{x}{\\pi}=t \ मान लें तो, जब \ x \\longrightarrow 0 \, तो \ t \\longrightarrow 0 \ होता है। इसलिए, \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{\\sin \\frac{x}{\\pi}}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sin t}{t}=1 \\)'
A. ...
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"(1) हो तो , इसलिए, y का वृद्धि/घटना सारणी निम्नलिखित है: \n x & \\cdots & -1 & \\cdots & 0 & \\cdots & 1 & \\cdots y' & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\hline y & \\searrow & स्थानीय न्यूनतम & \\nearrow & स्थानीय अधिकतम & \\searrow & स्थानीय न्यूनतम & \\nearrow \nइसलिए, का पर स्थानीय न्यूनतम मान 0 है, पर स्थानीय अधिकतम मान 1 है, और पर स्थानीय न्यूनतम मान 0 है।"
A. ...
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'इसलिए, \ \\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1 \ होना चाहिए। उल्टे, अगर \ \\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1 \, तो कर्व \\( y=\\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\sin (x+\\alpha) \\) और रेखा \ y=1 \ के बीच से कटती है, और उन कटाव के आसपास \\( f^{\\prime}(x) \\) की चिन्हांकिता बदलती है। इसलिए, \\( f(x) \\) के अत्यधिकता होती है। ठीक इसलिए, आवश्यक शर्त है\n\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1\\nजो कि यह है \ \\quad a^{2}+b^{2}>1 \'
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'समानांतरी बिंदु के स्थिति वेक्टर की खोज कैसे करें'
A. ...
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'द मुआयर के सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों को साबित करें।'
A. ...
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'हाइपरबोला के सामान्य आकार को खोजें और इसकी मिश्रण की दिशा निकालें।'
A. ...
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'म बराबर n बराबर 0 है तो 2पाई, म असमान नहीं है और m=-n है तो पाई, m=n और n असमान 0 है तो पाई, m असमान ±n है और फिर 0 है'
A. ...
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'किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ उसकी विशेषताओं का एक संक्षिप्त प्रस्तुति प्रदान करता है, इसलिए ग्राफ़ की रूपरेखा बनाते समय इसकी विशेषताएँ स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है। जोड़ने के समय ध्यान रखने योग्य कुछ बिंदुओं पर विचार करें, जैसे की फ्लेक्शन पॉइंट और असीम्प्टोट्स, जो गणित II में शामिल नहीं की गई थीं।'
A. ...
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'योगनियमों का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें:'
A. ...
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'पैरामीटर t को हटाकर गोलाकार के पैरामीट्रिक प्रतिनिधान को केवल x और y के शब्दों में व्यक्त करें x= a(1-t^2)/(1+t^2), y= 2 b t/(1+t^2) (a>0, b>0)।'
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'x y कोआर्डिनेट तल पर, रेखा y=x के संबंध में, वृत्ति y=2/(x+1) को सममित्र वृत्ति C1 कहा जाता है, और रेखा y=-1 के संबंध में, वृत्ति y=2/(x+1) को सममित्र वृत्ति C2 कहा जाता है। वृत्ति C2 की असिम्प्टोट रेखा और वृत्ति C1 के छोर के इंटरसेक्शन प्वाइंट का सम्यक्ष्ट कोआर्डिनेट ढूँढें, □ है।'
A. ...
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't के द्वारा प्रतिनिधित निम्नलिखित वक्र को विचार करें।'
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'पैरामीट्रिक रूप में प्रतिनिधित कर्व के लिए, t को हटाएं और x और y के समीकरण ढूंढें। (1) x=3t+1, y=2t-1 (2) x=t-1, y=t^{2}-2t'
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'नियामक तल में एक बिंदु और दूरी यात्री\nबिंदु P xy में स्थानांतरित होता है, समय t पर ब बिंदु के निर्देशांक x=t-sint, y=1-cost द्वारा प्रदर्शित किए जाते हैं। t=0 से t=π तक बिंदु P द्वारा निकटता की दूरी s खोजें।'
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'जब बिंदु P निरंतरता समतल पर चलता है, तो इसके निर्देशांक (x, y) समय t का फ़ंक्शन हैं, जहाँ x=sin(t) और y=1/2cos(2t)। P के वेग वेक्टर v, त्वरण वेक्टर α, और |v| की अधिकतम मान का पता लगाएं।'
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'त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा और इसके आपसी संबंधों के बारे में बताएं।'
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'ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरण |x+1|+|x-3|=5 का समाधान करें।'
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'अभ्यास 41: (1) इस द्वि-रूपी समीकरण की विभाज्यता को डी मान लें, दो विभिन्न वास्तव समाधान होने की शर्त डी>0 है। इसलिए, sin θ का सीमा ढूंढें (2) 0<t≤1 के सीमांत में, साबित करें कि f(t)=−2(1+√3)t+4+√3 हमेशा सत्य होता है। (3) g(x)=x²−4(cos θ)x−2(1+√3)sin θ+4+√3 के लिए, दो विभिन्न वास्तव समाधानों के लिए और जिनमें दोनों नकारात्मक हैं, Υ की सीमा ढूंढें।'
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'निम्नलिखित द्विघात समीकरण के लिए दो भिन्न वास्तव समाधान होने की शर्त क्या है? \\[\\sin^{2} \\theta-1 \\cdot(\\cos^{2} \\theta-\\sin \\theta)=0\\]'
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'महत्वपूर्ण उदाहरण 94 | त्रिकोणमितीय अनुपातों को शामिल करने वाले समीकरणों का सिद्धांत\nसमीकरण sin²θ - p cosθ - 2 = 0 के लिए, θ के लिए 90° ≤ θ ≤ 180° सीमा में समाधान होने के लिए स्थिर p के मान की श्रेणी का पता लगाएं। [सोका विश्वविद्यालय]'
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"120\nगणित I\n(1) (समीकरण) \ =\\cos ^{2} \\theta+4 \\cos \\theta \\sin \\theta+4 \\sin ^{2} \\theta \\n\\[ \egin{aligned}\n& \\quad 4 \\cos ^{2} \\theta-4 \\cos \\theta \\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta \\\\= & 5 \\cos ^{2} \\theta+5 \\sin ^{2} \\theta=5\\left(\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta\\right) \\\\= & 5 \\cdot 1=5\n \\end{aligned} \\]\n(2) ' \\quad' (समीकरण) = \\( \\left(1+\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}+\\frac{1}{\\cos \\theta}\\right) \\left(1+\\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}-\\frac{1}{\\sin \\theta}\\right) \\)\n\\[ \egin{array}{l}\n=\\frac{\\cos \\theta+\\sin \\theta+1}{\\cos \\theta} \\cdot \\frac{\\sin \\theta+\\cos \\theta-1}{\\sin \\theta} \\\n=\\frac{(\\sin \\theta+\\cos \\theta)^{2}-1}{\\sin \\theta \\cos \\theta} \\\n=\\frac{\\left(\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta+2 \\sin \\theta \\cos \\theta\\right)-1}{\\sin \\theta \\cos \\theta} \\\n=\\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta}{\\sin \\theta \\cos \\theta}=2\n \\end{array} \\]"
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'दाएं चित्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'
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'0° ≤ θ ≤ 180° केवल होते समय, समीकरण y=sin²θ-cosθ की अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें। साथ ही, उस समय के Υवे की मान भी प्राप्त करें।'
A. ...
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'90 नोटबुक पृ॰ 181 (1) sin^2θ=1−cos^2θ, तो 4(1−cos^2θ)−4 cosθ−1=0। सुधार करने पर, 4cos^2θ+4 cosθ−3=0| इसलिए, (2 cosθ−1)(2 cosθ+3)=0, 0°<θ<90° सीमा में, जहाँ 0<cosθ<1 है, इसलिए 2 cosθ+3 ≠ 0। इसलिए, 2 cosθ−1=0, जिससे cosθ=1/2। θ के लिए समाधान करके हमे Υ=60° मिलता है। (2) 3 tanθ=2 cosθ से, हमे 3•sinθ/cosθ=2 cosθ मिलता है, जिससे 2 cos^2θ−3 sinθ=0। क्योंकि cos^2θ=1−sin^2θ, हमे 2(1−sin^2θ)−3 sinθ=0 मिलता है। cosθ को हटाकर और sinθ के रूप में व्यक्त करना। t की रेंज पर ध्यान देना। एक ही sin में व्यक्त करना। इस समय cosθ≠0 है, इसलिए सरलीकरण के लिए दोनों पक्षों को cosθ से गुणा करें। एक ही sin में व्यक्त करें।'
A. ...
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उस वृत्त की ध्रुवीय समीकरण ज्ञात करें जिसका केंद्र A के ध्रुवीय निर्देशांक \( \left(2, rac{\pi}{2}
ight) \) और त्रिज्या 3 है।
A. ...
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पैरामीट्रिक रूप में दिए गए व्रत से पैरामीटर को समाप्त करके मानक समीकरण निकाले।
A. ...
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केंद्र \( \left(3, rac{\pi}{6}
ight) \) और त्रिज्या 2 वाला वृत्त का ध्रुवीय समीकरण ज्ञात करें।
1. आकृति के किसी बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक \( (r, heta) \) मान लें।
2. बिंदु P के आकृति से संबंधित शर्त को एक समीकरण के रूप में व्यक्त करें। में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर ध्यान दें।
A. ...
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निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरण किस प्रकार का वक्र दर्शाते हैं?
(1)
(2) heta=-rac{\pi}{6}
(3)
(4) \( r(\cos heta+\sqrt{3} \sin heta)=4 \)
A. ...
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डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करके, कोसाइन और साइन से संबंधित निम्नलिखित तीन गुना कोण सूत्र निकालें। तीन गुना कोण सूत्र:
\cos 3 heta = 4 \cos ^{3} heta - 3 \cos heta
\sin 3 heta = 3 \sin heta - 4 \sin ^{3} heta
A. ...
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ध्रुवीय समीकरण r=rac{3}{1+2 \cos heta} द्वारा प्रदर्शित वक्र को कार्टेशियन निर्देशांक के और रूप में बदलें।
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(1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} \)
\[
egin{aligned}
\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} & =\cos \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right) \& =\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2} \& =i\n\end{aligned}\n\]
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निम्नलिखित माध्यिक समीकरण किस प्रकार के वक्र को व्यक्त करते हैं?
(१) x=rac{2}{1+t^{2}}, \quad y=rac{2 t}{1+t^{2}}
(२) x=t+rac{1}{t}, y=t^{2}+rac{1}{t^{2}}, \quad t > 0
A. ...
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दिए गए ध्रुवीय समीकरणों द्वारा व्यक्त वक्रों को कार्टेशियन निर्देशांक में बदलकर उत्तर दें।
(1) r=rac{4}{1-\cos heta}
(2) r=rac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3} \cos heta}
A. ...
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दिए गए ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रदर्शित वक्रों को निर्देशांक की समीकरण में व्यक्त करें।
(अ)
(ब) \( r^{2}\left(1+3 \cos ^{2} heta
ight)=4 \)
A. ...
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(6) \( x=\sin heta+\cos heta \cdots \cdots (1) \) और \( y=\sin heta-\cos heta \cdots \cdots (2) \) मान लें।
(1)+(2) से \sin heta=rac{x+y}{2} और (1)-(2) से \cos heta=rac{x-y}{2} प्राप्त होता है।
इन्हें में प्रतिस्थापित करने पर
\[\left(rac{x+y}{2}
ight)^{2}+\left(rac{x-y}{2}
ight)^{2}=1\]
सरल करने पर मिलता है, इसलिए वृत ।
A. ...
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हाइपरबोला का पैरामीट्रिक निरूपण खोजें। पैरामीट्रिक रूप में हाइपरबोला rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1 के बिंदुओं को व्यक्त करें।
A. ...
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द्विघाती वक्रों के पैरामीट्रिक निरूपण को संक्षेप में प्रस्तुत करें और प्रत्येक प्रकार की रेखा के लिए पैरामीटर को समाप्त करने की विधि को समझाएँ।
A. ...
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निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरण किन आकृतियों का प्रतिनिधित्व करते हैं? (1) (2) (3)
A. ...
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जटिल संख्या \( r(\cos heta+i \sin heta) \) से गुणा करना किस प्रकार के परिवर्तन को दर्शाता है?
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एक गणित \n(2) से \n(1) में प्रतिस्थापित करके \( \quad y^{2}=6(2 y-6) \)\nइसलिए \nइसलिए, \( (y-6)^{2}=0 \) से \nइस समय, (4) से \nइसलिए, इसमें संपर्क बिंदु \( (6,6) \) है।\n(3) (2) को 11 में प्रतिस्थापित करके\n4 x^{2}-(2 x+1)^{2}=4\nइसलिए, से\nx=-\frac{5}{4}\nइस समय, (2) से \nइसलिए, इसमें एक प्रतिच्छेदन बिंदु \( \left(-\frac{5}{4},-\frac{3}{2}\right) \) है।\n- को समाप्त करने की विधि अपनाने से विभाज्य संख्या से बचा जा सकता है।\n एक दोहरा समाधान भी है।\n(1) और (2) से y को समाप्त करने पर, x के संदर्भ में एक रेखीय समीकरण प्राप्त होता है।\n\longrightarrow (1) और (2) का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है जो संपर्क बिंदु नहीं है। ध्यान दें कि रेखा (2) हाइपरबोला (1) के एक समगामी, रेखा के समानांतर है।
A. ...
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डे मोइवर के प्रमेय का उपयोग करके, कोसाइन और साइन के निम्नलिखित तीन कोणीय सूत्रों को सिद्ध करें।
तीन कोणीय सूत्र
\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\]
\[\sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta