उन्नत फलन - त्रिकोणमितीय फलन और उनके अनुप्रयोग

'अभ्यास 8 III (2)'

'\ \\sin \\theta=x \ मानकर, \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ है, समीकरण है \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ जो कि \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ चाहिए शर्त है, 2 गुणात्मक समीकरण \\( (*) \\) कम से कम -1 से x तक 1 रील संख्या समाधान होना चाहिए। लेट \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), और \\( f(x)=0 \\) का भिन्नांक \ D \ लेते हैं। 1] दोनों समाधान -1 <x <1 के रेंज में होने की शर्त, फ़ंक्शन \\( y=f(x) \\) का चित्र x के आक्ष के -1 से x <1 के भाग के साथ कम से कम छूना चाहिए (सहित स्पर्श के मामले शामिल हैं), और निम्नलिखित (i)---(iv) साथ साथ स्थिर हों। (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ आवाज \ <1 \'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के अस्तित्व की शर्तें'

'y = \\sin k \\theta की अवधि ढूंढें।'

'कीमत 39 ⇒ पृष्ठ 187 इस पुस्तक में। (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'निम्नलिखित समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। ध्यान दें कि θ के दायरे 0≤θ≤π है। (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 को cosθ के अभिव्यक्ति में व्यक्त करें।'

'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \$से$1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta$प्राप्त होता है, जिससे$\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta$ होता है। \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x, g(x)=a x(x-2) (यहां, a>1) के लिए साहसिक.'

'(1) समीकरण $\\sin 3 x=-\\sin x$ को संतुलित करने वाले $x$ के सभी मान खोजें।'

'f(x)=x^{3}-3 x+1 के वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'

'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणीय समीकरण और चेबिशेव के बहुपद'

'106 4 sin^4 α'

'मान लें कि फ़ंक्शन f वास्तविक संख्या x, y के लिए f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} को पूरा करता है। n वास्तविक संख्या x1, x2, ... xn के लिए समीकरण f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} को पूरा करता है।'

'रेडियन माप का उपयोग करके, निम्नलिखित कोणों को रेडियन में बदलें।'

'कार्य y = टैन kθ की अवधि खोजें।'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ से cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 इसलिए cos θ = ±1/√5'

'निम्नलिखित स्थितियों के आधार पर त्रिकोणीय कार्यों की गणना करें। (1) π<θ<2π, अतः sin θ<0, इसलिए sin^2 θ+cos^2 θ=1, इसलिए sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 और tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) sin3x = -sinx से, हमें 3sinx - 4sin^3x = -sinx मिलता है, जिसे 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0 में सरल किया जा सकता है। इसलिए, sinx = 0, ±1। 0 ≤ x ≤ 2π के लिए, x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π।'

'प्रश्न 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{क्या}\'

'रेडियन का उपयोग करके निम्नलिखित रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करें।'

'रेडियन और त्रिकोणमितीय फलन\nरेडियन r, केंद्रीय कोण θ वाले क्षेत्रिय स्पर्श की लम्बाई और क्षेत्र का पता लगाएं।\nस्पर्श की लम्बाई: rθ\nक्षेत्र: 12r^{2}θ'

'विषम और सम फंक्शन के निश्चित ऐकारिक गुणों का प्रमाण करें:'

'उदाहरण 47 | त्रिकोणीय कार्य ग्राफ़ (1)\\nनिम्नलिखित कार्यों का ग्राफ़ बनाएं।\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'

'उदाहरण 98 | त्रिकोणमितीय समीकरण और असमिकाएं (4)'

"यदि y = ax² + bx + c (a ≠ 0) है, तो y' = 2ax + b होगा, जिससे, रेखा का समीकरण होगा y - (aα² + bα + c) = (2aα + b)(x - α), अर्थात y = (2aα + b)x - aα² + c। उसी तरह, एक और रेखा का समीकरण होगा y = (2aβ + b)x - aβ² + c। समकक्ष बिन्दु P का x अंक है निम्नलिखित समीकरण का समाधान: (2aα + b)x - aα² + c = (2aβ + b)x - aβ² + c। a ≠ 0, α ≠ β से x = a(β² - α²) / 2a(β - α) = (α + β) / 2।"

'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'स्थानांक तख्त पर, सामान्य कोण θ के त्रिकोणमितीय समीकरण sinθ, cosθ, tanθ को परिभाषित करें।'

'अभ्यास उदाहरण 3 10 त्रिकोणमितीय कार्यों और चेबीशेफ पॉलिनोमियल्स (जारी)'

'उदाहरण 55 | तीन कोणों के तांगेंट का योग सूत्र'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों, त्रिकोणमितीय असमिकाओं और त्रिकोणमितीय कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मानों को निकालने वाली समस्याएं हल करें।'

'उदाहरण 54 | त्रिकोणीय समीकरणों के मान (जोड़ने का सिद्धांत)'

'मैंने आवश्यकता के अनुसार समरूप आकृतियों को प्रतिष्ठित करने के बारे में सोचा।'

'0≤θ<2π के लिए, y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन क्या है?'

'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणमितीय फलन और चेबीशेव पोलिनोमियल (जारी) cos5θ की 5वीं डिग्री पोलिनोमियल खोजने के लिए'

'उदाहरण 97 | त्रिकोणमितीय समीकरण (सम और गुण के सूत्रों का उपयोग करना)'

'निम्न त्रिकोणमिति पहचानिये:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'मैंने एक आवृत्तीय कार्यकला को प्रस्तुत करने के लिए अनंत त्रिकोणमितीय समीकरणों का उपयोग करने का विचार किया।'

'(1) किसी भी कोण θ के लिए, उन बिंदुओं (x, y) का क्षेत्र चित्रित करें जो -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1 को पूरा करते हैं, और इसके क्षेत्रफल को निर्धारित करें। (2) किसी भी कोणों α, β के लिए, उन बिंदुओं (x, y) का क्षेत्र चित्रित करें जो -1≤x²cosα+ysinβ≤1 को पूरा करते हैं, और उसके क्षेत्रफल को निर्धारित करें। [हितोत्सुबाशी विश्वविद्यालय]'

'दिए गए समीकरण में त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम जांच करें, और ज्यामिति के आवेदनों को समाविष्ट करके समस्याओं का समाधान करें।'

'त्रिकोणमितीय कार्य और चेबीशेव पोलिनोमियल्स'

'(3) $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ से $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$ मिलता है, इसलिए $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$ है। $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2(\\cos ^{2} \\theta)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$। $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ से $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$ मिलता है, इसका समाधान करने पर $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$ मिलता है। क्योंकि $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$ होता है, इसलिए $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$ (1) से, वापस स्थानांतरित करने पर $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$ मिलता है।'

None

'(2) 15 ^ {\\circ} \\sin = \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) \\sin = 60 ^ {\\circ} \\\\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\ 15 ^ {\\circ} \\cos = \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) \\cos = 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'अभ्यास उदाहरण 10 त्रिकोणमितीय समीकरण और चेबीशेव की बहुपद (जारी)'

'उदाहरण 50 => पृष्ठ 180\n(1) यह θ धुरी के बारे में सममिट्टी य=cosθ की चित्रण है। चित्र दाएं ओर दिखाया गया है। इसके अलावा, अवधि 2π है।'

'शर्त से, tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾 है'

'दो सीधी रेखाओं और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच बनने वाले कोण को वर्ण करने वाले कोण को बताएँ α और β। हमें खोजने वाले एकुश कोण θ है, tanα=√3/2, tanβ=-3√3। इसलिए, tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3। क्योंकि 0<θ<π/2, इसलिए θ=π/3'

'124\n—गणित II\n(2) बाएं हाथ = \\ frac { \\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}= \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{ \\ cos ^{2} \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta} इसलिए, \\ frac { \\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+ \\ frac { \\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nइसलिए, मौलिक अवधि 2 \\pi है\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nइसलिए, मौलिक अवधि \\pi है'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'प्रश्न 145 सीमा में एक समीकरण के निकटतम और उच्चतम मान होने की शर्तें'

'समीकरण दिया गया है \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] अतः, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) इससे \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ मिलता है । इस दरम्यान, \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ के लिए, \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ से हमें मिलता है \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ और \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ से हमें मिलता है \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] इसलिए, समाधान है \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमिकाओं का हल करें।'

"उन असमिति को जिसमें त्रिकोणमितीय समीकरण शामिल हो 'त्रिकोण असमिति' कहा जाता है, और त्रिकोण असमिति को हल करना उन कोणों की सीमा (समाधान) ढूंढने का काम करता है जो उस असमिति को पूरा करते हैं।"

'चित्र y=tanθ का y-अक्ष की दिशा में आधा हो गया है। दाईं चित्र में चित्रित है। अवधि π है और असंतुलनरेखा है θ=π/2+nπ (n पूर्णांक है)।'

'त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध'

'सम और द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें (3 गुणा कोण सूत्र)।'

'0≤θ<2π के लिए निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले Υ के मान ढूंढें:'

'जब \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\ हो, तो निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें।'

'त्रिकोणीय समीकरण sin, cos, और tan की परिभाषाएं समझाएं।'

'इसके आधार पर दिए गए सूत्रीय संबंधों को सिद्ध करें: (i) टैन(θ) = साइन(θ) / कॉस(θ) (ii) साइन^2(θ) + कॉस^2(θ) = 1 (iii) 1 + टैन^2(θ) = 1 / कॉस^2(θ)'

'समीक्षा करें कि फ़ंक्शन y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π)'

'सम्मिलन सूत्र, दोहरे कोण और आधा कोण सूत्रों को याद करने का तरीका'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों को मास्टर करें और उदाहरण 123 को जीतें!'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [चतुर्थ चरण \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [तृतीय चरण]'

'उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान्यता'

'यदि α द्वितीय त्रिभुज का कोण है और sinα=3/5 है, और β तृतीय त्रिभुज का कोण है और cosβ=-4/5 है, तो sin(α-β) और cos(α-β) के मान ढूंढें।'

'समीकरण \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\ को सिद्ध करें।'

'जोड़ प्रिन्सिपल को मास्टर करें और उदाहरण 130 को विजयी बनाएं!'

'\2\\sin x=t\ को लेते हुए, अत: \0 \\leq x<2 \\pi\, अतः \-1 \\leq t \\leq 1\। इसके अतिरिक्त, (1) से हमें मिलता है \\n\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\, \t\ की मान सीमा का ध्यान रखें। द्विघातीय समीकरण को मूल रूप में परिवर्तित करें। इसलिए, \y\ \t=1\ पर अधिकतम मान 2 लेता है, \t=-\\frac{1}{4}\ पर न्यूनतम मान \-\\frac{9}{8}\ लेता है।'

'0≤θ<2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमीकरण का समाधान करें। (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'त्रिकोणमितीय समीकरण जो सत्य हैं, जहाँ n पूर्णांक है।'

'निम्नलिखित कार्यों का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम (t=sinθ+cosθ का उपयोग करें)'

'जब 0 ≤ θ < 2π हो, तो निम्नलिखित समीकरण और असमीकरणों का समाधान करें।'

'फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम मानों और उनके संबंधित Υ अक्षर की मूल्यें खोजें। (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'त्रिकोणमितीय समीकरण ग्राफ (3) ... स्केलिंग और स्थानांतरण'

'कार्य y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2) की अधिकतम मान, न्यूनतम मान और उस समय के थीटा के मान खोजें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरण और असमिकाएँ (प्रतिस्थापन का उपयोग)'

'त्रिकोणमिति से त्रिकोणमितीय कार्यों तक का विस्तार कीजिए, और सामान्य कोण θ के लिए sinθ, cosθ, tanθ की परिभाषा दीजिए।'

'दो रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण को तंज़ के योग फार्मूला का उपयोग करके ढूंढें'

'ऊपर दिए गए चित्र में (1) y=a sin bθ और (2) y=a cos bθ की चार्ट दिखाई गई है। स्थिर a और b के मान खोजें। ध्यान दें कि a>0, b>0।'

'त्रिकोणमितीय कार्यों के सापेक्ष संबंध'

'डबल कोण और हाफ कोण सूत्र और त्रिकोणमितीय मान'

'समीकरण y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π) की अधिकतम और न्यूनतम मान और उस समय के Υ के मान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले θ के मान खोजें।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए, निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित करने वाले Υ के मान ढूँढें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण (संयोजन का उपयोग करके)'

'विस्तृत करके य = cos^2 ठी के ग्राफ को य-अक्ष की दिशा में 2 गुणा करके, y = 1 से निर्मित रेखा पर आधारित है, हमे एक ग्राफ प्राप्त होता है जो y = cos^2 θ के ग्राफ को नीचे एक इकाई से स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है, फिर ठी-अक्ष के समानांत्रित होकर 2 गुणा किया जाता है, और ज़्यादा नीचे एक इकाई आक्ष पर स्थानांतरित किया जाता है, इसलिए समीकरण y = a(cos^2 θ - b) +1 होता है। वह विकल्प खोजें जो ग्राफ से मेल खाता है।'

'बीटा=एल्फा के लिए ऊपर दिए गए 3 जोड़ने के सिद्धांतों का उपयोग करें: (1) सूत्रों का उपयोग करके निम्नलिखित की गणना करें: (a) sin 2एल्फा (b) cos 2एल्फा के लिए एक और संवाद प्रस्तुत करें: cos^2एल्फा - sin^2एल्फा, 2 cos^2एल्फा - 1, 1 - 2 sin^2एल्फा (c) tan 2एल्फा (2) सभी मानों को θ/2 से बदलकर गणना करें: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'समीकरण y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) की अधिकतम और न्यूनतम मान और उनके संबंधित Υार्थ तकनीकी संख्या ढूंढें। साथ ही, समीकरण का ग्राफ़ भी खींचें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान (संयोजन का उपयोग)'

'ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन्स से संबंधित समीकरण (sin^2θ + cos^2θ = 1 का उपयोग करते हुए)'

"अबतक सीखे गए त्रिकोणमिति वाले किसी भी कोण \ \\theta \ का माप, जैसे \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \ के रिश्तों का उपयोग करके किया जाता है। यह '1' डिग्री के यूनिट को लेकर कोण गणितीय प्रणाली कहलाता है।"

'त्रिकोणमिति में, साइन और कोसाइन का उद्घातन को योग और भिन्न, और उसके लिए फॉर्मूला है।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों को शामिल करने वाली असमियाओं का प्रणाली'

'3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 को cos² θ से विभाजित करने के बाद सूत्र प्राप्त करें, और 0 ≤ θ ≤ π/3 सीमा में अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'फ़ंक्शन f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π) के लिए'

'जब x > 1 हो, तो 4(x²-1) > 0, 1/(x²-1) > 0, होने के कारण हम औसत से अधिक या बराबर ज्यामितिकी मान के सिद्धांत के आधार पर इस असमानता का निष्कर्ष निकाल सकते हैं। 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8। इसलिए 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, समानता x>1 के लिए होगा जब 4(x²-1)=1/(x²-1)। इस स्थिति में (x²-1)²=1/4। स्वरूप x > 1, इसलिए x²-1=1/2, अर्थात x²=3/2, तो x=√(3/2)=√6/2। इसलिए, 4x² + 1/((x+1)(x-1)) का न्यूनतम मान 8 है, जिसमें x की मान 2√(3/2) = √(6)/2 है।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें।'

'मूल उदाहरण 124 0 ≤ θ < 2π के लिए, निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें।'

'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों की खोज करें।'

'यदि समीकरण $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ में $x=1$ पर अधिकतम मान 0 है और कण्ट की चित्रण $y=f(x)$ दाएं चित्र की तरह दिखाई देता है,'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'त्रिकोणमितीय समीकरण का ग्राफ और समतल स्थानांतरण / स्थायीकरण'

'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को साबित करें।'

'आपके चारों ओर त्रिकोणमितीय कार्य'

'निम्नलिखित कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान और उसके लिए कर चुके मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित मानों को खोजें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों में असमिकाओं का समूह'

'निम्नलिखित 0 से π तक के क्षेत्र में, निम्नलिखित ग्राफों में !न्याय के ग्राफ से मेल नहीं खाता है? उत्तर समूह पाए नहीं जा रहा है: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का परिवर्तन'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम (द्वारीक समीकरण में कम करना)'

'रेडियन का मूलभूत, चाप की लंबाई और क्षेत्रफल'

'समीकरण y=3sinθ+4cosθ का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'त्रिकोणमितीय कार्य चित्र (1) - ज़ूम इन/आउट'

'जब 0 ≤ θ ≤ π और sinθ+cosθ=√3/2 होता है, तो निम्नलिखित समीकरण के मान को निकालें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का उपयोग करती हुई असमिकाएँ (sin^2θ + cos^2θ = 1 का उपयोग)'

'द्विगुण कोण सूत्रों को सिद्ध करें।'

'गणित करें कि वफल y=|x^2-1| और रेkखा y=3 द्वारा घेरा गया क्षेत्र।'

'सिद्ध करें कि \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \।'

'कहा जाता है कि पढ़ाई को मजेदार महसूस करना महत्वपूर्ण है, लेकिन इस दृष्टिकोण का स्मृति पर कैसे असर पड़ता है?'

'भौतिक परिवर्तन और रासायनिक परिवर्तन के बीच क्या अंतर है, इसका वर्णन कीजिए।'

'sin(45 डिग्री) का मान निकालें।'

'(1) ऊपर दिए गए उदाहरण में, बिंदु P के त्वरण का मात्रा निर्धारित करें।'

'वक्र \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\) के ध्रुव समीकरण का पता लगाएं। साथ ही, इस वक्र के आम आकार का तराशा बनाएं, मूल \ \\mathrm{O} \ को ध्रुव और \ x \ अक्ष के सकारात्मक हिस्से को प्रारंभिक रेखा के रूप में ध्यान में रखते हुए।'

'कृपया y=√(ax) के ग्राफ (जहां a ≠ 0) की विशेषताएं वर्णित करें।'

'फ़ंक्शन ग्राफ़ के रूप की हार को बनाते समय ध्यान देने योग्य बिंदु'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'यदि a>0 हो और f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) हो, हासिल करें कि जब y=f(x) फ़ंक्शन और इसके इनवर्स फ़ंक्शन y=f^{-1}(x) दो विभिन्न बिंदुओं को साझा करें तो a की मान की सीमा क्या होगी।'

'निश्चित संक्रियांतरण विधि में महत्वपूर्ण बिंदु'

'मूलबिंदु के चारों ओर घड़ी की दिशा में π/6 रेडियन की मात्रा से घूमाकर प्राप्त की गई कर्व C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 की मानक ढूंढें।'

'समाधान कीजिए फ़ंक्शन के मान , श्रेणी और फ़ंक्शन का चित्रण\n(3) फ़ंक्शन f(x)=sin(π cos x) रखें।\n(1) f(π + x) - f(π - x) का मान निकालें।\n(2) f(π / 2 + x) + f(π / 2 - x) का मान निकालें।\n(3) 0 ≤ x ≤ 2π के सीमा में y=f(x) का चित्र बनाएं (अवकड़ जांचने की आवश्यकता नहीं है)।\n[टोक्यो विज्ञान विश्वविद्यालय के समान]'

'समीकरण C का भ्रमण करें: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4) में फ़ंक्शन मानों की परिवर्तन, अधिकतम और न्यूनतम।'

'यहाँ किसी वजह से ठीक से गणितीय अंकगणित $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ और $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ की हो सकती है, $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ और $x=a \\sin \\theta$ को क्यों दर्शाना चाहिए?'

'समीकरण y = x + 1 + 1 / (x - 1) की असंतुलन रेखा की खोज करें।'

'कुर्व x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) द्वारा घेरे गए क्षेत्र को x-धुरी के आसपास एक बार घुमाकर प्राप्त ठोस का आयात V ढूंढें।'

'ऑयलर की सूत्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों को घातांकीय समीकरणों में व्यक्त करें और निम्नलिखित समीकरणों का निर्धारण करें।'

'निम्न अनिशित अंतर का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वक्रों को आयताकार निर्देशांकों में व्यक्त करें।'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'मूल 2: फ्रैक्शन फ़ंक्शन का स्थानांतरण और निर्धारण'

'जब समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर समय t पर '

'जब फ़ंक्शन $y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$ का ग्राफ़ बिंदु $(-2, \x0crac{9}{5})$ से गुज़रता है और यह दो रेखाएँ $x=-\x0crac{1}{3}$, $y=\x0crac{2}{3}$ असंतुआरों के रूप में होती है, तो स्थिरांक $a, b, c$ के मान ढूंढें।'

'दिखाएँ कि एक उभयरेखा A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) की परिफेरी पर गति से चलने वाले बिंदु P(x, y) के लिए निम्नलिखित वाक्य सत्य हैं।'

'जब किसी बिंदु P के निर्धारित समय t पर जोड़ते हुए इसके नियमों से दी जाए, तो बिंदु P की वेग और त्वरण की मात्रा का पता करें।'

'जब समय t पर स्थिति में गतिशील बिंदु P के निर्देशांक (x, y) को {x=सिन t y=12 कॉस 2 t}रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो पॉइंट P की वेग की अधिकतम मात्रा का पता लगाएँ।'

'\ 0<a<b<2\\pi \ के लिए सिद्ध करें कि \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ असमीकरण स्थित है।'

'जब बिंदु P संख्या रेखा पर चलता है, तो समय t के रूप में उसका निर्देशांक x x=2cos(πt+π/6), t=2/3 पर वेग v और त्वरण α का पता लगाएं।'

'मूल बिंदु O पर बने निर्देशांक समतल में, माध्य बिंदु $P(1, \\frac{\\sqrt{3}}{2})$ के साथ, कण्ट C: $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ पर है।'

'यदि समीकरण f(x)=x^{2} का हलंत 0<x<2 क्षेत्र में 2 से अधिक वास्तव संख्या समाधान है तो फ़ंक्शन f(x) निरंतर है और f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3।'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'ज्यामिति 0°≤θ≤180° के लिए। निम्नलिखित समीकरण का समाधान कीजिए।'

''

'0° ≤ θ ≤ 180° करें। निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें।'

''

'निम्नलिखित कोणों का साइन, कोसाइन और टैन्जेंट ढूंढें।'

'त्रिकोणमिति सारणी का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का क्या होगा θ।'

''

'त्रिभुज ABC में, यदि sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19 है, तो इस त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण का पता लगाएं।'

''

'निम्नलिखित ग्राफ़ों द्वारा प्रस्तुत द्विघातीय समीकरण मिलते हैं।'

'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय कार्यों को 0 डिग्री से 90 डिग्री के बीच के कोणों के लिए व्यक्त करें। साथ ही, इनके मान को निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सारणी का उपयोग करके निकालें।'

'2) अपेक्षेक सूत्र के लिए a की गणना की जाती है।'

''

'त्रिभुज ABC में, अगर sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7 है, तो cosA: cosB: cosC का अनुपात निकालें। (टोहोकू गाक्यूइन विश्वविद्यालय)'

'त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करें और परिणाम दिखाएं।'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'0° ≤ θ ≤ 180°के लिए, निम्नलिखित असमितियों को पूरा करने वाले Υ की श्रेणी खोजें।'

'आएबीसी में त्रिभुज में, अगर sinA: sinB: sinC = 5: 7: 8 है, तो cosC = __।'

'चित्र (1) से P(-1, 1) तक'

'2sinθ = √2 से sinθ = 1 / √2 तक। अर्धवृत्त के ऊर्ध्व-अक्ष 1 पर, जहां y अग्रह कल्पना 1 / √2 है, वहां के बिंदु P और Q। आवश्यक θ है ∠AOP और ∠AOQ।'

'त्रिकोणमितीय अनुपात का विस्तार: 0° से 360° तक के श्रेणी में कोण होने पर त्रिकोणमितीय अनुपातों को ढूंढें।'

'(4) समीकरण का समाधान करें। दिया गया है 0 ≤ θ ≤ 180°। समीकरण का समाधान करें: √2 sinθ = tanθ'

'त्रिभुज ABC में, अगर sin A:sin B:sin C = 3:5:7 है, तो cos A:cos B:cos C का अनुपात ढूंढें।'

'त्रिकोणीय अनुपात की परिभाषा और संबंध का वर्णन करें। (1) त्रिकोणीय अनुपात की परिभाषा (2) त्रिकोणीय अनुपातों के संबंध (3) विशेष कोणों में त्रिकोणीय अनुपात'

'एक्सटेंडेड उदाहरण और अभ्यास पेज का उपयोग कब किया जाएगा?'

'मापक परिवर्तन'

'फ़ंक्शन ग्राफ़ और संकेतिक ढांचे के गति की विश्लेषण में, सीखने के लिए दृश्यिक छवियों को संख्यात्मक समीकरणों से कैसे जोड़ा जा सकता है, इसके लिए कौन सा डिजिटल सामग्री प्रयोग की जा सकती है?'

'त्रिकोणमितीय कार्यों का सारांश'

'साइन नियम या कोसाइन नियम?'

'साइन नियम और कोसाइन नियम की समीक्षा करें!'

'क्रमसिक, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'जरूरी और पर्याप्त शर्तों के बीच संबंध की व्याख्या करें।'

'त्रिभुजों के अनुप्रयोग'

'0°, 90°, और 180° के लिए साइन, कोसाइन, और टैंजेंट की पूरक\n\nजब θ=0° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₀ जो कोऑर्डिनेट्स (1,0) हैं, सिन 0°=0, कोस 0°=1, टैन 0°=0\n\nजब θ=90° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₁ जो कोऑर्डिनेट्स (0,1) है, सिन 90°=1, कोस 90°=0\n\nजब θ=180° हो, तो त्रिकोणमितीय संवैधानिक अनुपातों के भरपूरीकरण के लिए r=1 और बिंदु P₂ जो कोऑर्डिनेट्स (-1,0) हैं, सिन 180°=0, कोस 180°=-1, टैन 180°=0'

'कोण ढूंढने के लिए त्रिकोणमिति सारणियों का उपयोग करें'

'निम्नलिखित का पता लगाएँ।\n(1) \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \ के मान\n(2) ऐसे तेवर जिन्हें पूरा करते हों \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \eta=0.7314 \, और \ \\tan \\gamma=8.1443 \ एक्यूट कोण \ \\alpha, \eta, \\gamma \\n(3) दाहिनी तस्वीर में \ x \ के मान और कोण \ \\theta \ के लगभग मान। जहां, \ x \ को दो दशमलव स्थानों तक गोल करें।'

'त्रिभुज AED के sinθ का पता लगाएं।'

' θ 0° से 180° तक त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ आपसी संबंध है'

'गणित समस्या का समाधान करें'

'साइन समानुपात सूत्र से कोसाइन का मान निकालें'

'वांछित समाधान है क्योंकि फ़ंक्शन y=|x^2-6x-7| का चित्र या y=2x+2 के चित्र से आपस में कटता है या पूर्णतः ऊपर है,'

'डी मोर्गन कानून का उपयोग करके, सेट A, B, और C के साथ एक विशिष्ट उदाहरण दें।'

'छःवीं अध्याय त्रिकोणमितीय अनुपात-117'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'त्रिभुज ABC में, अगर sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC सत्य है, तो सबसे बड़े कोण का माप निकालें।'

'त्रिकोणमिति सममिति वाला मान'

'15° के त्रिकोणीय संवेग'

'(1) त्रिकोणमिति पूर्णांक का उपयोग करके, 128° के लिए साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट के मान ढूंढें।\n(2) sin 27°=a के लिए समायोजन करें। 117° का कोसाइन a के आधार पर प्रकट करें।'

'वह थीटा (त्रिकोणमिति समीकरण) जो त्रिकोणमिति पहचान को पूरा करता है'

'त्रिभुज ABC के कोण A, B, और C के लिए, जिन्हें A, B, और C के रूप में दर्शाया जाता है, निम्नलिखित समीकरण सटीक हैं।'

'साइन नियम या कोसाइन नियम?'

'जब θ एक एक्यूट कोण हो तो त्रिकोणमितीय संबंध'

'निम्नलिखित दो समीकरण भी मान्य हैं। \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] इसे ज्यामिति सिद्धांत के रूप में संक्षेपित करना: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] ज्यामिति सिद्धांत से त्रिभुज ABC में निम्नलिखित समीकरण सिद्ध करें। \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'त्रिभुज ABC के आंतरीय कोन A, B, C के लिए निम्नलिखित समीकरण साबित करें:'

'साइन थीअरम और कोसाइन थीअरम की समीक्षा करें!'

'विकर्ण कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की मानें खोजें'

'इस समीकरणों का समाधान करें: sin aθ = sin bθ, sin aθ = cos bθ'

'समाधान खोजने के लिए किताब का उपयोग कैसे करें इसे समझाएं।'

'क्योंकि $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3}, \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi, \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$, इसलिए $\\ frac {1} {2} < \\ sin 1 < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1,0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$. इसलिए, $\\ sin 1, \\ sin 2, \\ sin 3, \\ sin 4$ में सबसे कम सकारात्मक मान $\\ sin 3$ है, और अधिकतम मान $\\ sin 2$ है।'

'निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'

''

'हम विचार करें कि एक मनोरंजन पार्क में मौजूद कॉफ़ी कप की गति (पथ) और त्रिकोणमितीय समिक्षा के बीच कैसा संबंध है। जब डिस्क 1 एक पूर्ण घड़ी की सांद्रदिशावर्ती घूरण पूरा करता है, जबकि आधे त्रिज्य वाला डिस्क 2 दो विपरीत-घड़ी की घूरण खत्म करता है, तो डिस्क 2 पर प्वाइंट सी कैसा पथ खींचता है?'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमीकरण का समाधान करें। (1) cos 2θ=√3 cosθ+2 (2) sin 2θ<sinθ'

'तिहाई गुणांक की ग्राफ बनाने का तरीका - वृद्धि और घटने का पत्र बनाना'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान (1)'

''

'समीकरण 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2) को सिद्ध करें।'

'त्रिकोणमितीय कार्य का मान (1)'

'अधिक का सिद्धांत उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'अध्याय 4 त्रिकोणमितीय कार्य 195'

'उदाहरण 128 जोड़ने का उपयोग'

'1372वीं समान समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2)।'

'दिए गए पाठ का विभिन्न भाषाओं में अनुवाद करें।'

'कर्व y=x^3-2x+1 और रेखा y=x+k के बीच 3 अलग बिंदु साझा करते हैं। मान k के लिए सीमा ढूंढें।'

''

'दो कोणों α,β का योग या अंतर को α,β के त्रिकोणमिति रूपों में प्रकट किया जाता है। इसे त्रिकोणमिति के जोड़ने का सिद्धांत कहा जाता है।'

'जब 0 ≤ θ < 2π हो, तो निम्नलिखित समीकरण या असमीकरण का समाधान करें। 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'ऐसे मान ढूंढें जिनसे फ़ंक्शन $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ का अधिकतम मान $3+\\sqrt{7}$ है और न्यूनतम मान $3-\\sqrt{7}$ है।'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि'

'उदाहरण 118(3) का ग्राफ़, य=सिनθ को θ दिशा में 1/2 गुणा करने की क्यों नहीं है?'

'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों के मान की गणना करें।'

'फ़ंक्शन \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \ के लिए:'

''

'निम्नलिखित (1) और (2) कार्यों की ज़रफ दी गई है। A से H तक मान कैसे निकाले। (1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ का खींचाव करें और उनका काल निकालें:'

'अध्याय 7 इंटीग्रल कैलकुलस\nकोणीय y=\\frac{1}{2}x^{2} को C के रूप में चिह्नित करें, और C पर बिंदु P(a,\\frac{1}{2}a^{2}) को रखें। यहां, a>0। बिंदु P\nको ध्यान में रखें और C की टैंजेंट को l कहें, और Q को l के और x-अक्ष के छोर का ऐक्षिकारण कहें। इसके साथ ही, Q बिंदु से जाने और l के लिए लंबवत रेखा कहलाने वाले को m कहना। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) रेखा l और m की समीकरण खोजें।\n(2) रेखा m और y-अक्ष के छोर के छोर को A कहना। त्रिभुज APQ क्षेत्र को S के रूप में परिभाषित करें। इसके अतिरिक्त, y-अक्ष, रेखाखण्ड AP, और कर्व C द्वारा घेरे गए क्षेत्र को T के रूप में परिभाषित करें। S-T और संबंधित a मान की न्यूनतम मान निर्धारित करें।'

'त्रिकोणमितीय समाधानों का ग्राफ (1)'

'sin 1, sin 2, sin 3, sin 4 में से, नकारात्मक मान A है। सकारात्मक मानों का न्यूनतम मान B है, और अधिकतम मान C है।'

'त्रिकोणमितीय कार्य संबंध'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\pi'

''

'अभ्यास 190° के लिए a>1 मान रखा जाए। x जिसके लिए 1≤x≤a है के लिए y=2x^{3}-9x^{2}+12x समीकरण के लिए (1) न्यूनतम मान का पता लगाएं। (2) अधिकतम मान का पता लगाएं।'

''

'एक $x y$ तल में, बिना किसी भी मान लेने के, क्रिया $y=f(x)$ हमेशा दो निश्चित बिंदुओं से गुजरती है। इन दो निश्चित बिंदुओं के स्थान क्या हैं? $f(x)$ में अधिकतमों को नहीं लेते $a$ के मान का अंतराल निर्धारित करें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों की आवृत्ति की व्याख्या कीजिए।'

'120° त्रिभुज ABC के आंतरिक कोन A, B, C के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'१९५ डिग्री के साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट मान निकालें।'

'निम्न शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रम {an} की सामान्य पद्धति खोजें और वक्तुओं में जो बदलाव हैं उनका उपयोग करें।'

'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय कार्यों के मान की गणना करें।'

'सवाल 139 का प्रश्न: गुण से योग, और योग से गुण की सूत्रों का प्रमाण'

'पारिस्थितिकी श्रेणी y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2) के अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं, और वही मान जो अधिकतम और न्यूनतम मान देते हैं।'

''

'दिए गए कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं। साथ ही, उस समय के लिए Υ के मान का भी पता लगाएं।'

'आधे कोण सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों की गणना करें। (1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'हम त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण (द्विघात समीकरण) के समाधान की विचारधारा करें। बुनियादी उदाहरण 124 की तरह, कई त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरणों को कैसे हल करना है, उसका एक तरीका है।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें। (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (संज्ञात युग्म एक ही क्रम में)'

'त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ (2)'

'दिए गए मानों को 0 से $\\ frac {\\ pi} {4}$ के कोण के त्रिकोणमिति के रूप में व्यक्त करें। (1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'यदि f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x है। (1) x वाई समतल में, वक्र y=f(x) हमेशा दो स्थिर बिंदुओं से गुजरती है। इन दो स्थिर बिंदुओं की निर्धारित निधियाँ प्राप्त करें। (2) f(x) में अधिकतम/न्यूनतम मान न होने के लिए a की मान की रेंज निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को सिद्ध करें।'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'

'जोड़े का सूत्र'

'निम्नलिखित समीकरणों को $r \\sin(\\theta+\\alpha)$ के रूप में व्यक्त करें। यहाँ, $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$ है।\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"OB'=r, OB' और x अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण अल्फा है"

'सिद्ध करें कि निम्नलिखित समीकरण जब t = tan(θ/2) होता है (t ≠ ±1), तब सही होते हैं।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का प्रमाण'

'दिए गए कोणों को रेडियन में परिवर्तित करें।'

'कृपया महत्वपूर्ण मामले स्टडीज पर काम करते समय ध्यान देने वाले महत्वपूर्ण बिंदुओं का विस्तृत विवरण प्रदान करें।'

'निम्नलिखित प्रत्येक उत्तर समूह के लिए एक चुनें।, ध्यान दें कि विकल्पों की क्रमबद्धता महत्वपूर्ण नहीं है।'

'चलो आपकी वृद्धि रेखा बनाते हैं।'

'निम्नलिखित त्रिकोणीय अनुपातों को 45° से छोटे कोणों के संदर्भ में व्यक्त करें।'

'चित्र (अ) में, \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \ की मान का पता लगाएं।'

'0° से 180° के बीच, निम्नलिखित असमितियों को संतुष्ट करने वाले Υ के मान की श्रेणी खोजें।'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nअर्ध-वृत्त के रेडियस 1 पर, जहां \ y \ अक्ष कोआर्डिनेट \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ है, वहां बिंदु P और Q हैं जैसा कि दाएं चित्र में दिखाया गया है। निर्धारित काणों हैं \ \\angle AOP \\text { और } \\angle AOQ\\\nइसलिए\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'जैसे Άंगुλ Ώ तेज़ कोण है। sin θ = 12/13 होने पर cos θ और tan θ के मान ढूंढें।'

'दाईं तरफ के चित्र का उपयोग करके, sin 15°, cos 15°, tan 15° के मान का पता लगाएं।'

'0°<θ<180° मानें। जब 4cosθ+2sinθ=√2 हो, तो tanθ का मान निकालें।'

'0°≤θ≤180° लें। जब sinθ, cosθ, tanθ में से एक विशिष्ट मान लेता है, तो दूसरे 2 मान खोजें।'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों के बीच संबंध (1)'

'जो दो अलग-अलग वास्तविक समाधान हैं, उनचाहते दो वास्तविक समाधानों वाली द्विघात समीकरण x^2-(cosθ)x+cosθ=0-1<x<2 सीमा के भीतर हैं, उसके लिए ΅θ΅ की मान की श्रेणी खोजें।'

'अग्र द्विघात को थीटा के रूप में लें। जब tanθ=√7 हो, तो (sinθ+cosθ)² का मान पता करें।'

'निम्नलिखित कार्यों का ग्राफ़ बनाएं।'

'sin 140 डिग्री + cos 130 डिग्री + tan 120 डिग्री का मान क्या है।'

'त्रिकोणमिति एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग दूरस्थ वस्तुओं तक की दूरी और ऊँचाई जैसी चीजें मापने के लिए किया जाता है जो सीधे मापा नहीं जा सकता है, और इसका इतिहास प्राचीन काल से है। यहाँ, हम त्रिकोणमिति का उपयोग करके पहाड़ की ऊंचाई की गणना करने के तरीके पर चर्चा करेंगे।'

'जब 0° ≤ θ ≤ 180° हो, तो निम्नलिखित असमिकाएँ संतुष्ट करने वाले Υ के मानों की श्रेणी खोजें। (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'जब 0° < θ < 90° होता है, तो y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70° की मान निकालें।'

'\\इसलिए\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'निम्नलिखित फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम मानों को और उसके संबंधित Υ मानों को ढूंढें।'

''

'साइन नियम के अनुसार'

'त्रिकोणमिति सारणी का संदर्भ लेते हुए, निम्नलिखित सवाल का उत्तर दें। जब Υ = 37° होता है, तो sin θ, cos θ, tan θ के मान का पता लगाएं।'

'दाईं तरफ की चित्रित छवि का उपयोग करके, sin 22.5 डिग्री, cos 22.5 डिग्री, और tan 22.5 डिग्री के मान ढूंढें।'

'जब 0° ≤ θ ≤ 180° हो, तो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करने वाले Υ का मान ढूंढें: (6) √3 tanθ + 1 = 0'

'0° ≤ θ ≤ 180° के लिए, y=sin^2θ+cosθ-1 की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उन बिंदुओं पर Υ के मान की मान्यता भी ढूंढें।'

'प्रस्ताव "अगर p तो q" में, परिस्थिति p को पूरा करने वाला समुदाय को P मानें, और परिस्थिति q को पूरा करने वाला समुदाय को Q मानें। जब प्रस्ताव "अगर q तो p" सही होता है, तो इसके विरुद्ध भावनात्मक, ∎ सही होती है। खाली स्थान में निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प भरना उचित है।'

'निम्नलिखित त्रिकोणीय अनुपात खोजें।'

'त्रिकोणमिति सममिति के मान'

''

'व्यापक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और परिवर्तन'

'PR 0° ≤ थीटा ≤ 180° के लिए, निम्नलिखित में से प्रत्येक का समाधान करें। (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'मौलिक त्रिकोणमितीय संबंध 108 तीर्थ कोन θ तीक्ष्ण कोण है। (1) जब sin θ = 2/√13 हो, तो cos θ और tan θ के मान ढूंढें। (2) जब tan θ = √5/2 हो, तो sin θ और cos θ के मान ढूंढें।'

'विशेष कोनों के त्रिकोणमितीय समांतर'

'त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग'

'निम्नलिखित त्रिकोणीय अनुपात को 0° से लेकर 90° तक के कोणों के त्रिकोणीय अनुपात के रूप में व्यक्त करें, और इनके मान को त्रिकोणीय त表 का उपयोग करके प्राप्त करें। (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'

'प्रश्न 5 (2) त्रिभुज ABC में द्वितीय सबसे बड़े कोण की टैंजेंट ढूंढें।'

'त्रिकोणमितीय संबंध (0° <= θ <= 180°)'

'उदाहरण 57 कार्य बनाएं'

'त्रिकोणमितीय समीकरण और मान'

'जब θ 75° है, तो tan θ का मान ढूंढें।'

'त्रिभुज एबीसी में, अगर sin A: sin B: sin C = 5:16:19 है, तो इस त्रिभुज में सबसे बड़े कोण का आकार फ़िन्ड करें।'

'प्रश्न 10'

'निम्नलिखित कोणों की सोख, कोसिन, और टेन्जेंट ढूंढें। (1) 135 डिग्री (2) 150 डिग्री (3) 1'

'त्रिभुज ABC में, यदि ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 डिग्री है, तो निम्नलिखित असमिकरण सत्य है: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1 को सिद्ध करें'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान'

'निम्नलिखित त्रिकोणमिति के बीच संबंधों का सिद्धांत करें: $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$।'

'निम्नलिखित में से sin 44° के बराबर दो विकल्प चुनें। (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'

'0° ≤ θ ≤ 180° के लिए, निम्नलिखित समीकरण को पूरा करने वाले Υ के मान ढूँढें: 2sinθ = √2'

''

'28 डिग्री कोण के लिए असमानता sin 29 डिग्री < tan 29 डिग्री < cos 29 डिग्री को सिद्ध करें।'

'0° ≤ θ ≤ 180° रखें। अगर sinθ+cosθ = 1/√5 है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान का पता लगाएं। (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'कृपया सूत्रों का उपयोग करके व्याप्त कोण त्रिकोणीय अनुपात को तीव्र कोण त्रिकोणीय अनुपात में कैसे बदलें का वर्णन करें।'

'निम्नलिखित कोणों का साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट ढूंढें।\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'दिए गए पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का कौन सा कर्व प्रस्तुत करता है?'

''

'उस आत्मा की ओर पलटें जिस आप बनना चाहते हैं।'

'x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0 की समीकरण की कर्व खोजें।'

'अध्याय 4 समीकरण और कक्षाएँ\n17 पराबोला\n18 दीर्घवृत्त\n19 हाइपरबोला\n20 द्विघातीय कक्षाओं का समांतर स्थानांतरण\n21 द्विघातीय कक्षाएँ और रेखाएँ\n22 कक्षाओं की पैरामीट्रिक व्याख्या\n23 ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय समीकरण'

'मूल उदाहरण और मानक उदाहरणों को हल करने के बाद क्या अच्छी बातें काम करने के लिए हैं?'

''

"समाज में गणित किस प्रकार सहायक है? गणित के 'उपयोगी' तरीके भी समय के साथ बदल गए हैं। पहले, जब गणित के उपयोग की चर्चा होती थी, यह अक्सर 'कटिंग-एज विज्ञान और प्रौद्योगिकी' की कीवर्ड के साथ जुड़ा रहता था। समाज में कटिंग-एज विज्ञान और प्रौद्योगिकी का महत्व स्वीकार्य है, लेकिन यह हमारे दैनिक जीवन में सामान्य रूप से देखने को नहीं मिलता था। हाल की स्थिति में इसमें बदलाव आया है। यह इसलिए है क्योंकि गणित हमारे दैनिक जीवन के विभिन्न पहलुओं में प्रवेश करने लगा है।"

'(1) क्योंकि cos(-x) = cos x और (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x है, इसलिए cos x एक सम फ़ंक्शन है और x^2 sin x एक विषम फ़ंक्शन है। इसलिए, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'कृत्रिम निर्देशांकों में निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वक्र का विवरण करें।'

'(50)(2) जब n विषम हो, तब $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$, और जब n सम हो, तब $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'(1) में, यदि फ़ंक्शन की सीमा 1 ≤ y < 3/2 है, तो डोमेन खोजें।'

'सकारात्मक संख्या a के लिए, उपवर्ती y=x^{2} पर बिंदु A(a, a^{2}) पर A के चारोंों को -30 डिग्री घुमाया गया रेखा को l रेखा कहते हैं। A कोण से छोड़कर या y=x^{2} के तीर्थांक पर B कोण की अंतरिक्ष बिंदु कहा जाता है। और साथ ही, बिंदु (a, 0) को C और मूल को सुरंग कहा जाता है। रेखा l की समीकरण को खोजें। साथ ही, लाइन सेगमेंट्स OC और CA और y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र क्षेत्रफल को S(a) कहा गया है, और रेखा सेगमेंट्स AB और CA और y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र क्षेत्रफल को T(a) कहा गया है। माने c=lim_{a→∞} T(a)/S(a)।'

'3) 0 ≤ θ < 2π संख्या Υ के लिए, z = cosθ + i sinθ का उपयोग करें। सिद्ध करें |1 - z|=2 sin (θ/2) समीकरण सही है।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले सम्मिश्र की उत्तलता और अवतलता को दिखाएँ।'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'महत्वपूर्ण उदाहरण\n13|ux + vy| का अधिकतम और न्यूनतम\nजब वास्तव संख्याएँ x, y, u, v x^2 + y^2 = 1 और (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1 समीकरणों को पूरा करती हैं, तो ux + vy की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

''

'निम्नलिखित x मानों पर कार्य की अवरुद्धि बिंदु खोजें।'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'पैरामीटर चर के द्वारा प्रतिनिधित वक्र को \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) कहा जाता है। इसे \ C \ से नामित किया जाता है।'

'समीकरण r=\\frac{1}{1+a \\cos θ} के लिए, (1) साबित करें कि जब a= ±1, तो यह एक पाराबोला को प्रस्तुत करता है, और जब |a|<1 होता है, तो यह एक उपवृत्ति को प्रस्तुत करता है। (2) साबित करें कि उपरी समीकरण द्वारा प्रस्तुत वक्र को y-अक्ष के स्थान y= ±1 पर काटने के बावजूद a के मान से कोई सम्बंध नहीं होता। (3) जब |a|<1 हो, तो उपवृत्ति के पहले क्वाड्रेंट में स्थित हिस्सा और x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा घेरे गए आकृति को D के रूप में चिह्नित करें। x-अक्ष के चारों ओर रखने से प्राप्त ठोस के आयत का आयात।'

'(2) (1) का विस्तार\nइसलिए, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} और \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} के बीच बने कोण को \\theta मानते हैं\n\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}}{\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}\n\\sin \\theta>0 है इसलिए\n\\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'0<θ<π/2 के मामले में, यदि dL/dθ=0, तो cosθ=1/√3। इस स्थिति को पूरा करने वाले Υ को α मानें, तो tanα=√(1/cos²α-1)=√2। (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2 से प्राप्त होता है कि tanθ₁<tanα<tanθ₂। अर्थात, θ₁<α<θ₂। इसलिए, Μ=λ<θ<θ₂ के लिए, L का वृद्धि और घटने का सारणी दिखाई देती है। इसलिए, Λ θ=α होने पर अधिकतम मान प्राप्त करता है। सिनα=√(1-cos²α)=√6/3 के रूप में, अवश्यीय अधिकतम मान 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3 है। इस स्थिति में, cosθ=1/√3।'

"समस्या 94 छोटे परिवर्तनों का उत्तर देना।\n(1) ΔABC क्षेत्र S कितना बढ़ेगा।\n(2) साइड CA की लंबाई y कितना बढ़ेगी।\nनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें।\nछोटे परिवर्तन के लिए सूत्र Δy≒y'Δx\nउत्तर: जब कोण B 1 डिग्री बढ़ जाता है\nS≒√3sin(x) से शुरू करके।"

'वास्तविक ध्रुव के बारे में अबिमुक्ति के द्वारा एक समधर्मी स्थान की संयोजना करें और मूल के चारों ओर -π/2 के क्रमांक को घुमाकर एक बिंदु के निर्धारित कोआर्डिनेट्स।'

'उदाहरण 41 | निर्दिष्ट समाकलन की गणना (2)\nनिर्दिष्ट अंतरक यदि ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx का मूल्य निर्धारित करें। यहां, m और n प्राकृतिक संख्याएं हैं।'

''

'उल्टा त्रिकोणीय समीकरण'

'समाधान कार्य f(x)=x sin 1/x(x>0) के गुण 134'

'प्रमाणित करें कि y=tan x (-π/2<x<π/2) के उल्ट सम्बन्ध के लिए y=g(x) है, तो g(1/2)+g(1/3)=π/4।'

'नीचे दिए गए सारणी से, समीकरण $y = f(x)$ के वृद्धि और अवृद्धि की पुष्टि करें, और अत्यंत मानों का पता लगाएं।'

'निम्न अनिशीत अंतिम रिक्त स्थिति का पता लगाए।'

'क्या शर्तें हैं जिनके तहत कर्व y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d के पास एक मल्टीपल कोसिन लाइन है।'

None

'sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5) के मान की गणना करें।'

'पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके अनंत श्रृंखला का योग ढूंढें'

'गणित समस्या को हल करने की तुलना किससे की जाती है?'

'इस अध्याय में सीखने की बात वह है जो आपने अब तक सीखा है। इस ज्ञान का उपयोग करके आगे आकारों की ज्यामितीय विश्लेषण किया जाना महत्वपूर्ण है। इस अध्याय में, हम वैकल्पिक आकारों की गुणों का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामितीय के तरीके का उपयोग करेंगे, मुख्य रूप से द्विघातीय रूपों जैसे की अंगरेजी में ellipses, hyperbolas, और parabolas की विशेषताओं का अध्ययन करेंगे। इसके अतिरिक्त, हम संक्षेप में आधिकारिक प्रतिनिधियों और ध्रुवीय निर्देशांकों को समीक्षा करने के उपायों पर भी चर्चा करेंगे।'

'(1) वक्र C पर एक बिंदु Q के संयोजीय समीकरण दिए गए हैं, जहां पैरामीटर t -π/2 से लेकर 0 तक है, जैसे (√2/cos t, √2 tan t). बिंदु Q पर टैंजेंट रेखा l की समीकरण है [√2/cos t x-√2 tan t y=2], जो बराबर है [x-sin t y=√2 cos t]'

'निम्नलिखित समीकरण के लिए अधिकतम मान, न्यूनतम मान और x का मान खोजें।'

'कर्व पर बिंदु अनंत दूर चलता जाता है, कर्व किसी निश्चित सीधी रेखा की ओर आती है, जिसे कर्व की असिम्प्टोट कहा जाता है।'

'जब $x$ अनंत बड़ा होता है, तो $y$ किसे नजदीक पहुँचता है?'

'S=4 के लिए, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ से \k=\\sqrt{3}\ मिलता है। इसलिए, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\ है। क्योंकि \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\ है, इसलिए, \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\। अतः, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\। जहाँ \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\ क्षेत्र में, वक्र \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\ और रेखा \x=\\theta\ द्वारा घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल को \T\ से भांति चिह्नित किया जाता है। निम्नलिखित शर्त सत्य होने के लिए, \T<4\, इसे \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\ होना चाहिए।'

'दिए गए अव्यक्ति समारोह को वर्गमूल समारोह की रूप में परिवर्तित करें।'

'उदाहरण 35 | समतल पर एक बिंदु की गति'

'कृपया बताएं कि कार्य f(x) क्यों अंतरालित है: f(x) = { x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों के विघातन का निम्नलिखित प्रकार है। कृपया ध्यान दें कि कोण रेडियन में है।'

'कॉस x लेने के क्रम me y = x की वक्र की सभी स्पर्श Rekhae ढूंढें जिनका मूल निशान द्वारा जाता हो।'

'एनथ पद a_{n} है a_{n} = \\cos n \\pi कोई प्राकृतिक संख्या हो। n=2k-1 के लिए, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1, n=2k के लिए, \\cos n \\pi=\\cos 2k \\pi=1 इसलिए, अनुक्रम \\{a_{n}\\} घूमता है। इसलिए, AN का n वाला पद a_{n}=(-1)^{n} है, जो 0 पर आकर्षित नहीं है, इसलिए, यह अनंत श्रृंखला विघटित है।'

'x y तल पर, मूलधन के रूप में मूलबिंदु, और व्यास की सकारांक भाग को शुरुआत रेखा के रूप में लेते हुए, कोणीय निर्देशिका r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) द्वारा प्रतिनिधित ध्रुव परिवर्तित करने वाली वाली कवृण्ट को C के रूप में लेते हैं। x अक्ष द्वारा घेरी गई आकृति और x अक्ष के द्वारा जो क्षेत्र है, उस क्षेत्र को x अक्ष के चारों ओर एक पूरे परिवर्तन के साथ घुमाने से प्राप्त ठोस का आयातन ढूंढें।'

'अभ्यास निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरण किस प्रकार की गर्भावली का प्रतिनिधित्व करते हैं? उत्तर को रैखिक निर्देशांक में दें।'

'समघात त्रिकोणमिति। 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π) को हल करें तो x=π/3, π'

'दिए गए सममिश्र पूर्वावेशिता के रखित क्षेत्र में यह है कि गुनीत्रिक समीकरण के वर्णावली y=sin x और रेखा y=t-x के संयोजन बिंदुओं का x-आव्धान अल्फा द्वारा सूचित किया जाता है, जहाँ sin alfa=t-alfa और 0<α<t। इस प्रकार, V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x+1/3 π sin^2 alfa·(t-alfa)। (1) से V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x + 1/3 π sin^3 alfa।'

'33θ को वास्तविक संख्या और n को पूर्णांक माना जाए। अगर z=sinθ+i*cosθ है, तो ज़ेडएन का तथाक भाग और काल्पनिक भाग cos(nθ) और sin(nθ) के रूप में व्यक्त करें।'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, इसलिए (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ से, समीकरण r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 को x = r cos θ, y = r sin θ के साथ व्यक्त करें'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) f′(t)=0 मान दें, तो sin(t−π/4)=0 तो t−π/4>−π/4 है, इसलिए t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'

'जब किसी फ़ंक्शन y को x=1-cosθ, y=θ-sinθ के रूप में पैरामीटर θ का उपयोग करके प्रस्तुत किया जाता है'

'जब 0 ≤ θ ≤ π हो, तो cos(θ/2) ≥ 0। जब 0 ≤ θ ≤ π/2 हो, तो cos(θ) ≥ 0। जब π/2 ≤ θ ≤ π हो, तो cos(θ) ≤ 0। साथ ही, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2))।'

'त्रिकोणमितीय कार्य'

'निम्नलिखित मानों को निकालें।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी ढूंढें। (1) sin θ = √3/2'

'प्रदर्शित करें कि निम्नलिखित शर्तों को पूरा होते हुए और cos 36 डिग्री का मान निकालें: (1) जब θ = 36 डिग्री हो, तो sin 3θ = sin 2θ'

'निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें।'

'समग्र अभ्यास भाग 2 गणित II अध्याय 4 त्रिकोणमितीय कार्यों'

'[ ] में मान्यतम और न्यूनतम मान, और उसके लिए x मान को निकालें।'

'दी गई फ़ंक्शन्स का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उन बिंदुओं पर Υ के मान भी निर्धारित करें। 1620 ≤ θ ≤ π का ध्यान रखें। (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

''

'समीकरण \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \ को सिद्ध करें।'

''

'निरंतर a के मान को निर्धारित करें जिससे फ़ंक्शन y=2sin3x+cos2x-2sinx+a के न्यूनतम मान की आपूर्ति मान के बराबर हो।'

'जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [अभ्यास \\( 156(2) \\) ] का सामान्य समाधान है'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

''

'(1) फ़ंक्शन y=f(x) के x=α पर अधिकतम मान, x=β पर न्यूनतम मान लेता है। दिखाएं कि दो बिंदुओं (α, f(α)) और (β, f(β)) को जोड़ने वाले रेखांक के बीच का बीचबिंदु M मात्रि y=f(x) पर होता है।'

'जोड़ने का सिद्धांत, डबल एंगल/हाफ एंगल सूत्रों को याद करने का तरीका क्या है?'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के ग्राफ़ बनाने की प्रैक्टिस करें और उनकी अवधियों को खोजें।'

'साबित करें कि जब सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ $\\alpha, \eta, \\gamma$ मानती हैं जो $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$ को संतुष्ट करती हैं, तो $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ का मान स्थिर होता है।'

'समीकरण sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ का समाधान'

'1. साइन समीकरण सूत्र: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. कोसाइन समीकरण सूत्र: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. टैन्जेंट समीकरण सूत्र: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) अगर \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \ है, तो \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \ के मान की गणना करें।'

'कोण $\\theta$ के त्रिकोणमितीय समीकरणों को खोजें।'

'निम्नलिखित समरूप की गणना करें।'

'जोड़ने का सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'

'समीकरण sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ का समाधान'

'जब θ निम्नलिखित मान हो तो, sin θ, cos θ, tan θ के मान निकालें।'

'(3) यदि सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ $\\alpha, \eta, \\gamma$ मान्य हो और $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$ को पूरा करती हैं, तो $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ का मान स्थिर होता है का प्रमाण दें।'

'रेडियन माप और त्रिकोणमितीय कार्य रेडियन'

'निम्न मूल्यों को निकालने का अभ्यास करें।'

'0 ≤ θ <2π के लिए निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी निकालें।'

'जब n एक प्राकृतिक संख्या हो और Υ एक वास्तव संख्या हो, तो निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें। (1) सिद्ध कीजिए cos(n+2)Υ-2cosΥcos(n+1)Υ+cosnΥ=0।'

'सम और विषम सम्बंधित निर्धारित अंकितों की गुणधर्मों की स्पष्टीकरण करें।'

'27 त्रिकोणमितीय साफितों का संयोजन'

'4 चक्रिय फ़ंक्शन\nफ़ंक्शन \\( f(x) \\) के लिए, यदि 0 नहीं स्थिर \ p \ मौजूद है ऐसा कि समीकरण \\( f(x+p)=f(x) \\) हर मान \ x \ के लिए सत्य है, तो फ़ंक्शन \\( f(x) \\) को चक्रिय फ़ंक्शन कहा जाता है और उसका चक्र \ p \ होता है। इस स्थिति में, क्योंकि \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\) होता है, इसलिए \ 2p, 3p, \\cdots \\cdots \ भी चक्र हैं, और चक्रिय फ़ंक्शन के लिए अनगिनत चक्र होते हैं।\n\nसमस्या: फ़ंक्शन \\( y = \\cos(5\\theta) \\) का चक्र गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाओं का समाधान करें।'

'त्रिभुज असमानता का समाधान खोजने की समस्या'

'निम्नलिखित समीकरण का समाधान कीजिए। साथ ही, इसका सामान्य समाधान भी ढूंढिए। (4) sinθ=-1'

'त्रिकोणमितीय समीकरणों की गुणाधीनता और ग्राफ़'

''

'निम्नलिखित समीकरणों की ग्राफ बनाने का अभ्यास करें। साथ ही, उनकी अवधियों का पता लगाएं।'

'(4) समीकरण से $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$, हमें $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$ मिलता है, और $\\cos \\theta \\neq 0$. इसलिए $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, सुधार करते हैं $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$, इससे हमें $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$ मिलता है। क्योंकि $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$ है, इसलिए $\\cos \\theta-2<0$ हमेशा होता है। ऐसा होने पर, $2 \\cos \\theta+1=0$, अर्थात $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$। क्योंकि $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$ है, इसलिए $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'

'एक स्थिर m की मान ढूंढें जिसके लिए कुर्व y=x^{3}-6x^{2}+9x और रेखा y=mx द्वारा घेरे गए दो आकृतियों की क्षेत्रफल समान है। यहाँ, 0<m<9।'

'[अधिकतम और न्यूनतम मान]'

'पुनरावलोकन... कई उदाहरणों में सीखे गए समाधानों की विशेषताओं को समाप्तीत रूप से समझाता है। समाधान को निर्धारित करने के लिए कुंजियों को समझकर, व्यक्ति अपनी समझ को गहरा कर सकता है।'

'जब \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \ है, तो अधिकतम मान \ \\frac{1}{4} \ है; जब \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \ है, तो न्यूनतम मान -2 है'

'¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ की अधिकतम मान को ¥( a) ¥ के सिरे से व्यक्त करें।'

'समीकरण y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}) की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उस समय θ का मान भी ढूंढें।'

'l को स्थिर रखते हुए Υ बदलें। मान लें tan θ = t, और अभिव्यक्ति r / (1 + cos 2θ) को t की एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें, और उसका अधिकतम मान खोजें।'

'243 x=-1 पर अधिकतम मान \\frac{5}{3} है, x=3 पर न्यूनतम मान -9 है'

''

'विभिन्न त्रिकोणमिति फलन\nत्रिकोणमिति फलन में, मूल रूप y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ के बीच के संबंध का विचार करें।\n\nसवाल: समीकरण y=2sin(3θ) के ग्राफ को थीटा-धिसाथ यहाँ वृद्धि या संक्षिप्त कैसे करें, y- धिसाथ पर कैसे परिवर्तित करें।'

'मूल विषय\n1. त्रिकोणमितीय समीकरणों के ग्राफ़\n(1) y=sin θ का ग्राफ\n(2) y=cos θ का ग्राफ\nθ एक वास्तविक संख्या है, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) y=tan θ का ग्राफ\nθ ≠ π/2+nπ (n एक पूर्णांक है), y सभी वास्तव संख्याएँ लेता है। रेखा θ=π/2+nπ (n एक पूर्णांक है) एक असिम्प्टोट है।\n\nडी. 216 में सीखने के अनुसार, एक इकाई वृत्त के परिधि पर एक बिंदु P(x, y) और रेखा x=1 और रेखा OP का क्रमिक बिंदु T(1, m) के रूप में मान सकते हैं। ओपी की त्रिज्या को कोण ओपी द्वारा प्रस्तुत करता है θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nइसका उपयोग करके, व्यक्तियों के y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ के ग्राफ बना सकते हैं। y=sin θ और y=cos θ के ग्राफ को साइन वक्र कहा जाता है, और y=tan θ का ग्राफ टैन्जेन्ट कर्व कहलाता है। इसके अतिरिक्त, लंबवृत्ती द्वारा (y-अक्ष) के प्रति, y=f(θ) के ग्राफ में, पार को x=θ-अक्ष के रूप में जाना जाता है। साथ ही, जब कोई वक्र एक सीधी रेखा के करीब आता है, तो उस रेखा को वक्र की असिम्प्टोट कहा जाता है।'

''

'उदाहरण 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'

'निम्नलिखित अभिव्यंजन की गणना करें।'

'0 ≤ x ≤ 3/4π के लिए, समीकरण y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx का अधिकतम मान, न्यूनतम मान और उस समय x के मान की गणना करें।'

'जब m सभी वास्तव संख्याओं के माध्यम से चलता है, तो निम्नलिखित दो रेखाओं के संवर्धन बिंदु P किस प्रकार की आकृति बनाते हैं? m x-y=0 (1), x+m y-m-2=0 (2) संवर्धन बिंदु P के निर्देशांक ढूंढने के लिए, (1), (2) को x और y के समकक्ष समीकरणों के रूप में मानकर उन्हें हल करें: x=(m+2)/(m^2+1), y=(m(m+2))/(m^2+1) इन दो समीकरणों से m को हटाने और x और y के बीच संबंध ढूंढने की कोशिश करने पर एक कठिन हिसाब ले आता है। इसलिए, आइए P के अस्तित्व के शर्तों पर विचार करें। यदि हम m का मान निर्धारित करते हैं, तो दो रेखाएं (1) और (2) सेट हो जाती हैं, और दो रेखाओं (1) और (2) की पारस्परिक बिंदु P की निर्धारण हो जाती है। उदाहरण के लिए, जब m=0 होता है, तो x=2, y=0; जब m=1 होता है, तो x=3/2, y=3/2। अतः, बिंदु (2,0) और (3/2, 3/2) चाहे रुप अंदर हैं। उलटे दृष्टिकोण से, यदि दो रेखाओं (1) और (2) का पारस्परिक बिंदु P है, तो यह मानता है कि ऐसा कोई वास्तव संख्या m है जो दोनों (1) और (2) को पूरा करता है। इसलिए, इसे समकक्ष समीकरणों (1) और (2) के हल का अस्तित्व वाली शर्त के रूप में सूचित करें। अर्थात, इसे समाहित करने के मान को संतुलित बनाने के लिए (1) को पूरा करें m के लिए, (1), (2) से m को हटाएं और x, y के बीच संबंध निकालें। ध्यान दें कि m को हटाने पर, m के लिए समाधान निकालते समय, x≠0 और x=0 के मामले पर ध्यान देना आवश्यक है। जब उत्तर देते हैं, तो छूट बिंदु का भी ध्यान रखना आवश्यक है।'

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'(2) (अ) P = 3sin2θ + 4cos2θ + 3'

'tan(x + y) + tan(x - y) का न्यूनतम मूल्य खोजें। [शर्तें] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2]।'

'उदाहरण 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'

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'f(x)= cos 2x (0 ≤ x ≤ π) समीकरण के निष्कर्ष की मानों का पता लगाएं'

'अगला समीकरण निम्नलिखित पद्धति का पालन करके साबित करें।'