उन्नत फलन - अवकलन और समाकलन की मूल बातें

"पहले साल की यूनिवर्सिटी कोर्स 'कैलकुलस' का उद्देश्य क्या है?"

'मध्य बिंदु 2 बिंदुओं का औसत है, केन्द्रबिंदु 3 बिंदुओं का औसत है। S लाइन सेगमेंट AB को 1:2 अनुपात में बाहरी बिंदु माना जा सकता है।'

'अभ्यास 82\nनिम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले कार्य p(x) और q(x) ढूँढें।\n- p(x) की अवकलन 3 है\n- p(0) = 3\n- q(x) की अवकलन 4x + k है\n- q(0) = 2\nसाथ ही, q(x) = f(x)g(x) को द्वैध फ़ंक्शन के रूप में पूरा करने और p(x) = f(x) + g(x) को एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में पूरा करने वाले फ़ंक्शन f(x) और g(x) को ढूँढें। उनके लिए करेस्पण्डिंग k मान का निर्धारण करें।'

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'[2] दिया गया है कि $2-x<x<2+x$, अर्थात $x>1$ होने पर'

'f(0)=1, g(0)=2 को संतुष्ट करने वाले 2 बहुपद f(x) और g(x) के लिए p(x)=f(x)+g(x), q(x)=f(x)g(x) मानते हैं।'

'कृषि तकनीकी गुण के लिए अनुसंधान करें। निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार अधिकतम या न्यूनतम वैल्यू निर्धारित करें: 1. यदि f(x) x=a के आसपास अधिकतम मान तक पहुंचता है। 2. यदि f(x) x=a के आसपास न्यूनतम मान तक पहुंचता है।'

'निम्नलिखित प्रकरण का मान निकालें।'

"(2) y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 से y' = 3 x^{2} - 4 x - 1 मिलता है। x = 1 के लिए y' = -2। इसलिए, टंजेंट रेखा ℓ का समीकरण है y = -2(x - 1)। दिया गया है x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1), इसलिए x(x - 1)^{2}=0 है, इससे x=0,1 मिलता है"

'फ़ंक्शन $f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t$ के $0 \\leqq x \\leqq 2$ में अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'क्षेत्रीय अनिश्चित इंटीग्रल \\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\) को x के शब्दों में व्यक्त करें।'

'कार्य h(x)=2x^2-x+3 का पहला परिवर्तन ढूंढें।'

"निश्चित इंटीग्रल और आयतन\nकिसी ठोस आयत के बीच दो समांतर तलों \\\alpha, \eta\ के बीच आयतन को V लिया जाता है। \\\alpha, \eta\ के लिए लंब रेखा \x\ अक्ष के रूप में ली जाती है, \\\alpha, \eta\ के समांतर्ता बिंदुओं की रेखांकन की निर्धारित व्यवस्था \a, b\ है। साथ ही, \a \\leqq x \\leqq b\ माना जाता है, और जब यह ठोस प्लेन \x\ अक्ष के लंबवत और जिसमें छेदन का समझौता \x\ है, फिर ऑर `सी'(समझौता अक्ष ) गणक के साथी प्लेन की आकृति क्षेत्र से संबंधित क्षेत्र \\(S(x)\\) को `लेबल' का नाम दिया गया हैवृत्तक आयतन \V \ निम्नलिखित निश्चित इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है।\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{जहाँ} a < b \\]"

'एक गोल रबर गुब्बार है जिसकी अक्षर r हर सेकंड 0.1 सेमी की दर से फैल रही है। एक अक्षर 1 सेमी के रेडियस से शुरू करके, 3 सेमी तक पहुँचने पर गुब्बार के वॉल्यूम V की समय t के साथ परिवर्तन दर को निकालें।'

'निर्वाचन से कार्य की निर्धारण'

'अभ्यास 85 | II | \ \\Rightarrow \ पुस्तक \ p.340 \'

'गोले के पृष्ठीय क्षेत्र की दर का पता लगाएं। (1) गोले की त्रिज्या को t मिनट बाद r सेंटीमीटर माना जाए। शर्त के अनुसार, r=t+10, इसलिए S=4πr^2=4π(t+10)^2। इसलिए, dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'

'(2) $f(x)=2 x+\\int_{0}^{1}(x+t) f(t) d t$'

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'बढ़ाने या घटाने वाले समीकरणों का उपयोग करके या ग्राफ़ का उपयोग करके, हम अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढ सकते हैं, या समीकरणों के वास्तविक समाधानों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं।'

'समीकरण $\\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1$ को पूरा करने वाले फ़ंक्शन $f(x)$ और स्थिरांक $a$ के मान खोजें।'

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'यहाँ a, b निरंतर हैं। निम्नलिखित असमिक्षा को सिद्ध करें।\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'

'निम्नलिखित कार्यों को प्रदान किए गए चरों के साथ विभाजित करें।'

'उदाहरण: जब चार असमितियों x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10 को एक साथ पूरा करते हैं, तो x + y के अधिकतम और न्यूनतम मान और x, y के मान ढूंढें।'

'विकास शिक्षा विकास 187 चौथे डिग्री के समीकरण के अतिकवर्ती सम्मिलन और ग्राफ़'

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'निम्नलिखित कार्यों का विभाजन [] में दिए गए चरों के साथ कीजिए:'

'आउटकम अवस्थिति और उत्पीड़न, मानक विचलन और मानक अंतर की समझ को गहरा करें।'

'विभेदन कैलकुलस'

'विभाजन की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन f(x)=x^{2}-6 x+7 का x=a पर विभाजक ढूंढें। साथ ही, विभाजक 2 होने वाले a का मान निर्धारित करें।'

'निम्न अनिशित चक्रवृद्धियों की मान की खोज करें।'

'ऐसा समीकरण ढूंढें जिसे पूरा करने वाला समीकरण \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\) है और फ़ंक्शन \\( f(x) \\) और स्थिर \ a \ का मूल्य।'

'निम्नलिखित कार्यों की अवकलन कीजिए। (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'

'निम्न शर्तों को पूरा करने वाला द्विघातीय समीकरण f(x) खोजें।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतरणों को खोजें। इसमें, (3) में α एक स्थिर मान है।'

'तांजेंट समीकरण: तांजेंट समीकरण ढूंढें। क्या यह समीकरण है जो कक्षा y=f(x) पर बिंदु A(a, f(a)) पर तांजेंट रेखा का समीकरण है?'

'परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समीकरणों की अवकलनीय ढेर कीजिए। (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें और x=2 पर विभेदक ढूँढें।'

'मिनिमम और मैक्सिमम मानों की स्थिति पर आधारित तीसरे श्रेणी के समीकरण के सीफ़िशिएंट्स का निर्धारण'

"इसने 'यहाँ क्रमबद्ध करने में STEP' समस्या प्रकार के आधार पर नियम, सूत्र आदि का उपयोग कैसे भिन्न करें और सारांश दिया है। यह सूत्र, सिद्धांतों की पुष्टि और संगठन के लिए प्रयोग किया जा सकता है।"

'जिस समस्या को हल करने के लिए अधिक सोचने की शक्ति की आवश्यकता होती है, उस दृष्टिकोण को विस्तारित करने का तरीका विस्तार से समझाता है।'

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't के लिए फ़ंक्शन S(t) को, S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x के रूप में परिभाषित किया जाता है। 0 ≤ t ≤ 1 पर S(t) का अधिकतम और न्यूनतम मान, और उस समय का t मान खोजें।'

'निम्नलिखित निश्चित योगराशियों को जांचें।'

'क्रमिकीकरण विधि'

'विकास अध्ययन विकास 185 द्विघातीय फ़ंक्शन के ग्राफ की स्पर्श रेखा'

'r और h के आकार वाले वृत्ताकार कोन का आयाम V है। V को h का कार्य के रूप में विचार करके, h=3 पर अवकलन कीजिए।'

'[ ] में दिए गए चरों के साथ निम्नलिखित समीकरण का विभेदन करें।'

'मूल और मानक उदाहरण समस्याएँ हल करने के बाद, समझ को कैसे गहरा करना चाहिए?'

"मान दो बहुपद f(x) की समीकरण f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1) को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।"

'कार्यों का विभाजन और इसकी गणना मूल 173 वेरिएबल्स के साथ अन्य छोड़कर x'

'विकास अध्ययन विकास 188 3-र्द फ़ंक्शन के चरम मान होने की शर्तें'

'वह समीकरण खोजें जो f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t को संतुष्ट करता है।'

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'दो वक्रों के बीच क्षेत्र की गणना करें।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकित क्षेत्रों को खोजें।'

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"यदि F(x) f(x) की आर्कफंक्शन है, तो निम्नलिखित स्थिति [1], [2] सत्य मानती है। x > 0 के लिए f'(x) और f(x) निकालें। [1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"

'समाधान और वृद्धि-घटना के विश्लेषण के लिए फ़ंक्शन क्षेत्र'

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'निम्न अनिश्चित रियमान का मोल करें।'

"समीकरण f(x) उस समय x>-2 के लिए एक निरंतर दूसरे घातांक f''(x) वाला है। साथ ही, x>0 के लिए f(x)>0, f'(x)>0 पूरी करता है, और किसी भी सकारात्मक संख्या t के लिए तत्व (t, f(t)) पर वक्र y=f(x) की स्पर्शट रेखा और x अक्ष की छोटी P की x आधारीय उसके बराबर होती है।"

'क्षेत्र से समीकरण के संकेत निर्धारित करें।'

'निम्न अपरिभाषित अंतर की मान्यता करें।'

'फ़ंक्शन f(x) को x=a पर विभिन्नता प्राप्त होने की परिभाषा दीजिए।'

"f(x)=x^(1/3) (x>0) को ध्यान में रखते हुए, (1), (2) उपायों से, डेरिवेटिव f'(x) को ढूंढें।"

"जब समान्तर f(x) f(0)=0, f'(x)=x cos x को पूरा करता है, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) f(x) खोजें। (2) 0 <= x <= π के लिए f(x) का अधिकतम मान ढूंढें।"

'समीकरण f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt का -2≤x≤2 के रेंज में अधिकतम और न्यूनतम मान और x के मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित अपरिभाषित अंतरणों का मान निकालें।\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'

'सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए f(x)>0 को प्रतिकूल सिद्ध करें।'

'निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध का सामान्य पद खोजें।'

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'दो चरों a, b के असमीकरण का सामना करने के लिए, निम्नलिखित विधियों को विचार किया जा सकता है।'

'समीकरण y=x/√(4+3x^2) का विन्यास ढूंढें। [मियाजाकी विश्वविद्यालय]'

'√2/3 वाले एक कोन में, कोन की परिधि का न्यूनतम क्षेत्रफल खोजें। साथ ही, इस न्यूनतम पर कोन के वृत्तीय आधार का त्रिज्या और ऊचाई भी निर्धारित करें।'

'निम्न अनिशित समिकरण खोजें।'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतरक की मान्यता करें।'

'समय t पर समय t पर समय t के तरह लगातार चलने वाले बिंदु पी की आवृत्ति x को x = f(t) के रूप में व्यक्त करें। फिर निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:'

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'कूड़ाकरन में घुमते शरीर का आयतन (1) निर्धारित करें।'

'किसी विशिष्ट अंतराल में विभाजनीय सम्बन्धित x होने वाले फ़ंक्शन y=f(x) के लिए, जब x का मान बढ़ता है, और जब चालकर रेखा का मान बढ़ता है, तो उस समय y=f(x) का कोना नीचे की ओर सम्मिश्रित कर दिया जाता है; और जब चालकर रेखा का मान कम होता है, तो उस समय y=f(x) का कोना ऊपर की ओर सम्मिश्रित किया जाता है; लेकिन, वास्तविक परिभाषा निम्नलिखित है: किसी ऐसे अंतराल के लिए एक समांतर f(x) को नीचे बुलबुले कहा जाता है जिसमें कि किसी विशेष अंक x_{1}, x_{2} और कोई सामंजस्यिक सामाजिक स्थिति s+t=1, s ≥ 0, t ≥ 0 के लिए कोई सामাজिक स्थिति s, t के लिए f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2}) हो, और y=f(x) ऊपर कोण जिस अंतराल पर f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2}) हो। जो किसी भी क्षेत्र में एक क्षेत्र के रूप में नीचे बुलबुले वाले हो, उसे धनात्मक कार्य कहा जाता है, जबकि ऊपर के ओर के क्षेत्र को उदास कहा जाता है।'

'पानी के निर्वहन की मात्रा और अंतर की गणना करें।'

'निम्नलिखित कार्य का विभेदन करें। (1) y = (x ^ 2 + 1) ^ 3'

'निर्धारण के अनुसार परिवर्तन की गणना करने का तरीका समझाएं।'

'कृत्य और भाजक के विभेदन के नियम की व्याख्या करें।'

'बिंदुवार गुणितक का उपयोग करके निम्नलिखित निश्चित निर्वाचित ढाल का पता लगाएं।'

'निम्न अनिशीर्षक निर्देशकों को खोजें।'

'(1) \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x'

'कुर्व की टैंजेंट और परिप्रेक्षण के क्षेत्र का आयतन खोजें।'

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'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

'निम्नलिखित अनिशीत अंतर ढूंढें।'

"यदि f(x)=(x-1)^2 Q(x) हो तो प्रमाण करें कि f'(x) x=1 पर विभाज्य है जहां Q(x) एक बहुपद है।"

"मान की परिभाषा और विशेषताएँ समझाएं। साथ ही, सम्बंध f(x) के विमाल्क (f'(x)) की परिभाषा का सूत्र प्रदान करें।"

'निम्नलिखित अनिश्चित अंकगणित का मान निकालें।'

'निम्न अनिश्चित अंतर को खोजें।'

'निम्नलिखित कार्यों को विशेषज्ञता के परिभाषानुसार विभाजित करें। (अतिरिक्त प्रश्न)'

'निम्नलिखित अनिशीत अंतरक में फायदा निकालें।'

'वास्तविक संख्याओं x और y के लिए, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 का न्यूनतम मान ढूंढें, और उस समय x और y के मान निर्धारित करें।'

'एक ही आइटम के दोहराव और वृत्तीय परिवर्तन'

'निर्धारित कांस्त्य a की मान तय करें ताकि पैराबोला y=x^{2}-ax+a+1 x-अक्ष से स्पर्श करे। साथ ही, स्पर्श बिंदु के समय की आवधानियों का पता लगाएं।'

'आवश्यक और पर्याप्त शर्तों की पुनरावलोकन'

'पराबोला y=3x^2-6x+5 को कैसे अनुवादित किया जाना चाहिए ताकि पराबोला y=3x^2+9x के साथ एक हो?'

'ग्राफ चलते समय फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम'

'पूर्ण डोमेन को ध्यान में रखते हुए किसी समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम मान क्या होता है?'

'दो-प्रामाणिक समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम'

'x=0 पर अधिकतम मान 0 है, x=2 पर न्यूनतम मान 8(a+1) है'

'कोई स्थिर मान a को निर्धारित करें, समीकरण f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x की न्यूनतम मान m(a) खोजें।'

'[3] ग्राफ़ 3 बिंदुओं के माध्यम से गुज़रता है (1,3), (2,5), (3,9)\nमान लें कि ढांचा y= ax^{2}+bx+c है\n(1,3) से गुज़रने पर हमें 3=a*1^{2}+b*1+c मिलता है\n(2,5) से गुज़रने पर हमें 5=a*2^{2}+b*2+c मिलता है\n(3,9) से गुज़रने पर हमें 9=a*3^{2}+b*3+c मिलता है\nइस समीकरण समुच्चय को हल करके, हम a, b, c के मान निकाल सकते हैं, और 2 वीं डिग्री की फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं।'

"किसी प्रस्ताव और इसके विपरीत, उल्टी और विरुद्ध के बीच संबंधों की व्याख्या करें, और निम्नलिखित प्रस्ताव S के विपरीत, उल्टा, और विरुद्ध को खोजें: प्रस्ताव S: 'यदि x सम है, तो x 2 से विभाज्य है।'"

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के अत्यधिक मूल्यों का पता लगाएं।'

"(2) यदि y' = -4x - 8 = -4(x + 2), y' = 0 है, तो x = -2 पर y का वृद्धि और घटन का पत्र दाईं ओर की तरह होता है। इसलिए, इसका मतलब y x = -2 पर अधिकतम मान -4 प्राप्त करता है।"

'क्रियाकलाप $f(x)=x^{3}+\x0crac{3}{2} x^{2}-6 x$ के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'स्थिर k के मान का सीमा मांगें, जब f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} सर्वोच्च मान नहीं होता है।'

'f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1 लें। साबित करें कि वक्र y = f(x) को वक्र पर बिंदु A(2,3) के सम्मुख सममित है।'

'मान खोजें जो स्थिर a को जिस तरह से क्षेत्र के रूप में y=x^{3}+x^{2} और सरल रेखा y=a^{2}(x+1) द्वारा घेरे गए क्षेत्रों को बराबर बना देता है। यह दिया गया है कि 0<a<1।'

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"(2) y' = 3x^2 + 2x - 1 = (x + 1)(3x - 1) y' = 0 तब x = -1, 1/3, y का वृद्धि और घटन तालिका निम्नलिखित है। इसलिए, y x = -1 पर अधिकतम मान प्राप्त करता है और x = 1/3 पर न्यूनतम मान प्राप्त करता है।"

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'निम्नलिखित बिंदुओं (4, -1), (6, 3), (-3, 0) से होने वाले वृत्त की समीकरण ढूँढें।'

'एक बाहु की लम्बाई 1 सेमी का वर्गकोण है, प्रति सेकंड 1 मिमी की दर से बढ़ रहा है। 10 सेकंड के बाद इस वर्गकोण के क्षेत्रफल और आयतन की परिवर्तन दर (सेमी²/सेकंड, सेमी³/सेकंड) को प्राप्त करें।'

'कोण y = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 और x-अक्ष के परिवर्तन बिंदु के x आधार हैं समीकरण 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0 के समाधान हैं। P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 है; इसलिए, P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0। इसलिए, P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1)। P(x) = 0 के समाधान x = 1, 2, -1/2 हैं। इसलिए, कोण दाएं चित्र में दिखाई देता है, और खोजने के लिए क्षेत्र S है S = ∫(-1/2 से 1)(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2) dx + ∫(1 से 2)(-(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2)) dx = [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](-1/2 तक 1) - [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](1 से 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2 ^ 4/2 - 5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2) - (1/2(-1/2) ^ 4 - 5/3(-1/2) ^ 3 + 1/2(-1/2) ^ 2 + 2 * (-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (- 61/96) = 253/96'

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'गणित II'

'दिए गए कार्य की अत्यधिक मान की खोज करें। साथ ही, उसका ग्राफ़ भी बनाएं। (1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'

'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { (1) } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'

'वक्ता f(x) और g(x) के लिए फ़ंक्शन खोजें जो शर्तों को पूरा करते हैं f(0)-g(0)=1, {0}^{x}{f(t)+g(t)} d t की पहले अंशिका का डेरिवेट है 5 x^{2}+11 x+13, और {0}^{x} {f(t)-g(t)} की डेरिवेट हाल की पूर्णांक है x^{2}+x।'

'फ़ंक्शन f(x)=∫(t^2-2t-3)dt के लिए संभावित मानों की श्रेणी खोजें जब -3≤x≤3।'

'क्रिया y=x^{3}-4x की रेखांकन की खोज करें जिसका माप -1 है।'

'उदाहरण समस्या 190 में एक संवाहक के एक सिरे की हरकत के मामले में, मान लें a > 0। x=-x³+3x² फ़ंक्शन के लिए 0≤x≤a, निम्नलिखित की खोजें:\n(1) अधिकतम मान।\n(2) न्यूनतम मान।'

'दिए गए समीकरण में, f(x)=x^3-x^2 के लिए x का 1 से 1+h तक परिवर्तन होने पर, औसत परिवर्तन दर 4 होने के लिए h की मान निर्धारित करें।'

"और उदाहरण 178 का भरपूर करें: डेरिवेटिव्स की गणना (2)\nपृष्ठ 278 पर फ़ॉर्मूला का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों की डेरिवेटिव्स निकालें।\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\nपृष्ठ 278 'STEP UP'"

'पृष्ठ 278 परिणाम का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें।'

'जब x [-3, 3] की सीमा में हो, तो फ़ंक्शन f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt के संभावित मान की रेंज जांचें।'

'निम्नलिखित कार्यों की डेरिवेटिव्स खोजें और प्रत्येक के लिए x=0,1 पर डेरिवेटिव की गणना करें।(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'

'{an} दिया गया श्रेणी है, जहाँ a1=2 और an+1=3an-n^2+2n है। 3 की समानांतर अनुपात वाली एक ज्यामिति श्रेणी बनाने वाले क्वाड्रेटिक फ़ंक्शन g(n) को विचार करके, n के लिए an की एक अभिव्यक्ति खोजें।'

'निर्धारित करें स्थिर a, b, c की मान, जिससे कि कार्य f(x) = ax^2 + bx + c निम्नलिखित 3 स्थितियों को पूरा करता है।'

'किसी फ़ंक्शन f(n) को ऐसे ढूंढें जो निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है: b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'

'297 मूल उदाहरण 189 अधिकतम और न्यूनतम मान से संकेत निर्धारित करें'

None

'सामान्य समाधानों की खोज में समस्या'

'जब x ≥ 0 और y ≥ 0 होता है, तो फ़ंक्शन f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 की न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, इस समय x और y के मान की गणना करें।'

'निम्न अनिशित अवकलितांकन खोजें: \\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट ऐन्शिकक निरक्षण का गणना करें:\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} dx \n\\]\nयहाँ x = a - t, तो -dx = dt। x और t के बीच संवाद इस प्रकार है:\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n इसलिए,\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} dt = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\frac{a}{2} - b \\]'

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'किसी निश्चित इंटीग्रल द्वारा प्रतिनिधित किए गए कार्य की अधिकतम और न्यूनतम मान (1) ढूंढें\n वास्तविक संख्याओं a, b के लिए, विशिष्ट इंटीग्रल $\\int_{-\\pi}^{\\pi} (x-a \\sin x - b \\cos x)^{2} dx$ का न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उस समय a और b के मानों का निर्धारण करें।\n[शिंशू विश्वविद्यालय]'

'अभ्यास 101 ⇒ पुस्तक पेज 452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'

'निम्नलिखित समीकरणों की अत्यधिक मान की खोज करें।'

'यहां सीखने जो कुछ है। बहुपदों से निहित फ़ंक्शनों के अलावा, एकामिक साधारित फ़ंक्शन के सिवाए, आम तौर पर किसी भी जनरल फ़ंक्शन को मात्रा करना मुशकिल होता है,हालांकि यो उनका त्रिल लिया जा सकता है. इस अध्याय में, हम तीसरे अध्याय के डिफरेंशिएशन फॉर्मूलों आदि के मूल्यांकन पर अधारित अधिक संख्या के फ़ंक्शनों के इंटिग्रेशन के अध्ययन करेंगे। इंटिग्रेशन विधियों में, साम्य फ़ंक्शनों की अनिशित सीमाएँ भी स्कूली गणित के क्षेत्र से पार जा सकती हैं, तो सभी फ़ंक्शन हमेशा इंटिग्रेट किए जा सकते नहीं हैं। फिर भी, इंटिग्रेट किए जा सकने वाले फ़ंक्शनों की शरेणी गणित द्वितीय से कहीं अधिक व्यापक है।'

'निम्नलिखित अनिशीत धारा की गणितिक मान निकालें।'

'निम्नलिखित कार्यों का विभिन्न करें।'

'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { इसलिए, } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'

'निम्न अपरिभाषित अंतर की मान्यता करें।'

'निम्न कोई निर्दिष्ट अंतरवर्ती ढलाईयों को खोजें।'

'(2) \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ माने जाए तो} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{ इसलिए } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}।'

'श्वार्ज का असमानता'

"(x एक t से असंबंधित चर है) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"

'विभेदन के अनुप्रयोग अध्याय 4\n19 वेग और त्वरण, अनुमान\nअध्ययन/मैकलोरिन विस्तार, यूलर का सूत्र\nअभ्यास'

''

'निम्न अनिशीत अंतर को खोजें।'

'मान लें कि बिंदु P संख्या रेखा पर चलता है और समय t पर इसकी गति 12-6t है। t=0 से t=5 तक चलने वाले बिंदु P द्वारा तय किये गए दूरी की गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों की विभाजन का अभ्यास करें।'

''

'कॉलम 40 में निर्दिष्ट अंकगणित संख्याएं करें'

"समीकरणों की बढ़ोतरी और घटाव\nगणित II में, हम एक कठिनता रेखा y=f(x) को उसके स्पर्श रेखा के माध्यम से करीबी ढंग से विचार करते हैं। गणित II में, हम इसे मेन मान के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्धांतात्मक रूप से साबित कर सकते हैं।\nसमीकरण f(x) बंद सीमा [a, b] पर सतत है और ओपन सीमा (a, b) पर विभाज्य है।\n1. यदि खुले सीमा (a, b) में हमेशा f' (x) > 0 हो, तो f(x) बंद सीमा [a, b] पर मोनोटोनिक रूप से बढ़ेगा।\n2. यदि खुले सीमा (a, b) में हमेशा f' (x) < 0 हो, तो f(x) बंद सीमा [a, b] पर मोनोटोनिक रूप से घटेगा।\n3. यदि खुले सीमा (a, b) में हमेशा f' (x) = 0 हो, तो f(x) बंद सीमा [a, b] पर स्थिर होगा।"

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'माध्यात्मक मानों से प्रतिनिधित फ़ंक्शन की अवकलनी कैसे निकाली जाए,इस पर विस्तार से व्याख्या कीजिए।'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतरक का पता लगाएं।'

'अध्याय 6: अंतःकरण के अनुप्रयोग'

'निम्नलिखित अनिशीत अंतरक का मान निर्धारित करें'

"जब समय t के फ़ंक्शन के रूप में बिंदु P की निर्देशांक (x, y) दिए गए होते हैं, तो x अक्ष और y अक्ष के लिए P से लंबवृत्त PQ और PR खींचने पर, समय t पर Q की वेग का dx/dt=f'(t) होता है, और R की वेग का dy/dt=g'(t) होता है। इन वेगों से बनी एक संयोजक v को समय t में बिंदु P की वेग या वेग संयोजक कहा जाता है। v की मात्रा, |v|, को गति कहा जाता है।"

"क्योंकि पुनर्गत फ़ंक्शन f(x) को x=1 और x=2 पर स्थानीय अधिकतम होता है, इसलिए f'(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। और फिर, g(x)=3x/(2√(x^2+1))+1 के रूप में, g'(x)=3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1) है। y=f(x) और y=g(x) की कोण(0,1) पर एक साझा स्पर्श रेखा के लिए शर्त है f'(0)=g'(0)।"

'उस समीकरण का निश्चित योगफल (definite integral) ढूंढें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:\n\n1. f(x) एक विषम समीकरण y है जहां f(-x)=-f(x) हमेशा लागू रहता है।\n2. निश्चित योगफल का सीमा [-a, a] है।'

'( )'

'निम्नलिखित परिभाषित अंकित ढालन की गणना करें। \\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'

'अभ्यास 38 ↠ यह पुस्तक पृष्ठ 341 h(x)=f(x)-g(x)। अंतराल [a, b] पर निरंतर समीकरण f(x), g(x) पर विचार करें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए f(x) x=x पर अधिकतम है, x=x² पर न्यूनतम है, और g(x) x=x³ पर अधिकतम है, x=x⁴ पर न्यूनतम है।'

'निम्नलिखित निश्चित अंकगणित की मान खोजें \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'

'गणित II\n\n[प्रश्न 1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx की इच्छा की जाती है।\n(1) जब m - n ≠ 0, अर्थात m ≠ n हो\n\nsin(mx)cos(nx) को परिवर्तित करके समस्या का हल करें:\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx की गणना करें।\n\nजब m+n जी है, I क्या है?\nजब m+n विषम है, I क्या है?\n\n(2) जब m - n = 0, अर्थात m = n हो\n\nइस मामले में, I क्या है?'

'निम्न अनिशित समिकरणों को हल कीजिए।'

'निम्नलिखित अनिशीत अंतर ढूंढें।'

'x, y के परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित समीकरण दिखाएं: \\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'

'दिया गया है कि \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\), तो हमें\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'

'क़र्व y=\\frac{4x}{x^{2}+1} की धवलता का निरीक्षण करें और अंतःपरिवर्तन बिंदु ढूंढें।'

'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'

''

'660<t<3 के लिए, समय {0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y} द्वंद्व असमिकाओं द्वारा प्रतिष्ठित क्षेत्र को x-अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त ठोस की आयतन V(t) हो। dV(t)/dt=π/4 के बराबर t और V(t) की मान का पता लगाएं।'

'निम्न अंकल की तलाश करें।'

'टेलर का उसूल'

'सूत्र (5) का उपयोग करके निम्नलिखित अभिलेख का पता लगाएं।'

'गणित I'

'अभ्यास पुस्तक 65 पृ. 394'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणित का मोल निकालें।'

'सामान्य वितरण वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्र का निर्धारण करें (गौसियन अंतर)'

''

'निम्न अपूर्ण धाराएँ मूल्यांकित करें। यहाँ, एक स्थिर मान के लिए एक है।'

'निम्न अनिशीत अंतिरिक्षों को खोजें। ध्यान दें कि (4) में x t से असंबद्ध है।'

''

'अंतराल c ≤ y ≤ d में f(y) हमेशा 0 से अधिक या तुल्य है।'

'स्थिर a के लिए मान की श्रेणी खोजें ताकि समीकरण f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 के लिए चरम मान हों।'

'निम्नलिखित कार्यों के अत्यंत मान की खोज करें और उनके ग्राफ के सामान्य आकार की रूपरेखा बनाएं। (1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'

'किसी भी द्विघातीय समीकरण $f(x)$ के लिए ध्रुवीय $\\alpha, \eta(\\alpha<\eta)$ की मानें ढूंढें ऐसे किसी विचार हैं $\\int_{0}^{1} f(x) dx=\\frac{1}{2}\\{f(\\alpha)+f(\eta)\\}$।'

'श्वार्ट्ज़ का असमानता'

'निम्न अपरिपक्व ऐतिहासिकों को अन्त करें।'

'क्रमानुक्रम के संदर्भ में फ़ंक्शन की वृद्धि और घटने, और अधिकतम और न्यूनतम की अवधारणा का विवरण करें।'

'a को एक सकारात्मक स्थिर मान माना जाए। पराबोला y=x^{2}+a पर किसी भी बिंदु P पर टैंजेंट रेखा और पराबोला y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र को स्थिर साबित करें और स्थिर मान की प्राप्ति करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों के अत्याधिक मूल्य ढूंढें और उनकी ग्राफ बनाएं।'

'गणित \\\Pi\ से शुरू करके, हमें (2) \\(\\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1\\) मिलता है, जो हमें देता है \\[\\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1\\], और (2) के दोनों पक्षों को \x\ के साथ विभाजित करने से हमें \\(f(x)=3 x^{2}-2\\) मिलता है। इसके अतिरिक्त, (2) में \x=a\ को रखकर, बाएं ओर 0 बन जाता है, इसलिए \0=a^{3}-2 a+1\, इसलिए \\((a-1)(a^{2}+a-1)=0\\), इसलिए \a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}\, इसलिए \\(f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}\\)। \\[\egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array}\\] \\\leftarrow\ कारक सिद्धांत उपयोग करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करने वाले समीकरण f(x) और स्थिर मान a की मान ढूंढें: (1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'

'निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करने वाले सम्बंध का पता लगाएं f(x)।'

'निम्नलिखित समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं। साथ ही, x के संबंधित मान भी खोजें।'

'अपरिपक्षीय अंतरणों की गुणक विशेषताएँ स्थायी k और l का उपयोग करके समझाएं।'

'समुचित संख्या पदों की निर्धारण (2) [सांख्यिक प्रतिस्थापन विधि] 16 का सेट'

'चरम मान ढूंढने का तरीका समझाएं।'

'2x^{3}-3x^{2}-12x+5 फ़ंक्शन के x=1 पर विघात को ढूंढे।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'2x^n का अनिश्चित योग है ∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (जहाँ n 0 या एक सकारात्मक पूर्णांक है)'

'कर्व y = x^2 और y = 2x के बीच क्षेत्र ढूंढें।'

'इसलिए, जब रेखा (2) बिंदु (10, 50) से गुजरती है, तो रेखा (2) की y-अंतर्वार l/3 की मान सर्वाधिक होगी। इस समय, l भी सर्वाधिक होगी। इसलिए, लाभ x+3y (x, y) = (10, 50) पर सर्वाधिक होगा।'

'दी गई समीकरण f(x) और g(x) के लिए f(x) और g(x) खोजें'

'निम्नलिखित निर्धारित अंतरकालीन की मान्यता प्राप्त करें।'

''

'निम्नलिखित पारिस्थितिकियों के अत्यधिक मान की खोज करें और ग्राफ़ बनाएं।'

"निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला एक क्यूबिक समीकरण f(x) ढूँढें: f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2।"

''

'यहाँ a एक गैर शून्य स्थायी मान है, A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx, B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx। इस समय, A, B की मान निकालें।'

'अनवेकी और सीमा का सिद्धांत करें (सींक थियोरम का उपयोग करें)'

'अनिश्चित अंतरक के लिए प्रतिस्थापन और भागों के माध्यम से अंतरण'

'(1,0) से होने वाली कर्व y=f(x) पर x√x ढ़लान वाली स्पंद रेखा के बिंदु (x, y) पर मिट्टीय है। mishrit karke f(x) की खोज करें।'

'निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित x के लिए y की समीकरण क्षमता है, dy/dx और d^2y/dx^2 को x और y के अनुसार क्रमशः व्यक्त करें।'

'ए तथा ब को वास्तव संख्या माना जाए। जब ए और ब के मानों में परिवर्तन होता है, तो ∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx की सबसे कम मान और उस समय के ए और ब के मान का पता लगाएँ।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन कीजिए।'

'निम्नलिखित करीबी सूत्रों की व्याख्या करें:'

'(2) Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx की परिभाषा है। यहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। n >= 3 के लिए Iₙ का विवरण n और Iₙ-2 के लिए दिया गया है। साथ ही, I₃, I₄ की मानें निकालें। [Yokohama National University के समरूप]'

'(3) उत्पादों के योग का उपयोग करके हल करें: $\\int \\sin 3x \\sin 2x dx = -\\frac{1}{2} \\int (\\cos 5x - \\cos x) dx$।'

'निम्नलिखित कार्यों के अतिमम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों की द्वितीय और तृतीय महत्वकरण खोजें।'

'f(ax+b) की अनिश्चित अंकित कीजिए।'

'मौलिक समीकरणों के अप्रत्यासीरितक की खोज करें'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें।'

'कृपया परिवर्तनक की गणना करें।'

''

'निम्नलिखित कार्यों का अनिशित अंतर कीजिए।'

''

"समझिए कि फ़ंक्शन f(x) का प्रतिपादनी फ़ंक्शन g(x) हो। जब f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3 होता है, तो g''(2) का मान क्या है।"

'समीक्षा करें कि समाधान का वृद्धि और कमी। (2) $$ y=\\frac{x^{3}}{x-2} $$'

'समीकरण y=x^{3}sqrt{1+x^{2}} का विभेदन कीजिए।'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

"गणित (4) (1) से f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy से f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"

'कर्व y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1 के विपर्यास बिंदु खोजें।'

'फ़ंक्शन की परिवर्ती निर्धारित करें।'

'ऊपर के उदाहरण का उपयोग करके, निम्नलिखित निर्दिष्ट अंतःक्रियाओं को ज्ञात करें:\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'

'अंशीय गुणन के तरीके का उपयोग करके निम्नलिखित निश्चित ऐंशीय योगिता का मूल्यांकन करें। \\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है)'

'नि:स्थिर ऐक्यशुद्धि ढूंढें \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \।'

'अनिश्चित अंतिम रूपांतर खोजें।'

'एक समीक फ़ंक्शन $f(x)$ के लिए, $\\int_{-a}^{a} f(x) dx$ की मान निकालें। यहाँ, समीक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जो $f(-x) = f(x)$ को पूरा करता है।'

'द्वितीय क्रम के अनुमान सूत्र की व्याख्या करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का डिफ्रेंशिएट करें अवकलन की परिभाषा के अनुसार। (1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'

'तांगेंट और नॉर्मल के समीकरण\nकुर्व \\( y=f(x) \\) पर बिंदु \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) पर\n[1] तांगेंट का समीकरण है \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] नॉर्मल का समीकरण है, जब \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\)\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'

'गणितिक प्रमाणन का उपयोग करके सिक्वेंस $a_{n}$ में $0<a_{n}<2 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$ को साबित करें।'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन कीजिए।'

'मूल्यांकन करें `∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`।'

''

'औसत मान सिद्धांत'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विलोम ढेर निकालें।'

'f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt (0 ≤ x ≤ 2π) की अधिकतम मान और उस पर होने वाले x के मान की खोज करें।'

'कृपया फ़ंक्शन \ x^{p} \ और \\( x^{q}(0<p<q) \\) की वृद्धि दरों की तुलना करें।'

'निश्चित इंटीग्रेशन और पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके निम्नलिखित निश्चित अंकित को खोजें।'

'निम्नलिखित अपरिभाषित अंतर का पता लगाएं।'

'यदि कोई कण्डल का समीकरण F(x, y) = 0 हो या x=f(t), y=g(t) के रूप में पैरामीटरीकृत हो, तो कण्डल पर एक बिंदु (x1, y1) पर टैंजेंट रेखा का समीकरण y-y1=m(x-x1) है, यहाँ m स्लोप है जो वाहकीय dy/dx के (x=x1, y=y1) पर्याप्त होने पर प्राप्त होता है।'

'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'

"सिद्ध करें कि यदि फ़ंक्शन f(x) अंतराल [a, b] पर निरंतर है और अंतराल (a, b) पर विभाज्य है, तो ऐसा एक वास्तविक संख्या c मौजूद होती है जिससे [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c) जबकि a < c < b।"

'निम्नलिखित निश्चित योग्यांतर खोजें। (२) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'

'निम्न अपरिभाषित इंटीग्रल्स की तलाश करें।'

'विभेदन के नियमों का उपयोग करके अंतरक कैसे ढूंढा जाए, इसकी व्याख्या कीजिए।'

'समतल में बिंदु की गति'

'निम्नलिखित अनिशिष्ट अंतर को ढूंढें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन्स का विभेदन कीजिए। इस सवाल में, (6) जहां a एक स्थिर है।'

'अनिश्चित इंटीग्रल ढूँढें \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \।'

'सिद्ध कीजिए कि यदि सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए f(π-x)=f(x) को पूरा करने वाले सतत कार्य f(x) हों, तब ढलवं पर इंटीगरल 0 से π (x-π/2)f(x)dx=0 है। इसके अतिरिक्त, इसका उपयोग करके, निर्दिष्ट इंटीगरल ∫₀ᵠ प्राप्त कीजिए xsin³x / 4-cos²xdx।'

'निम्नलिखित समीकरण की द्वितीय विभाजक खोजें: (1) y=x^3−3x^2+2x−1'

'निम्नलिखित अनिशीत इंटीग्रेल का पता लगाएं।'

'निम्न अंकगणितों को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें।'

'प्राकृतिक संख्या n के लिए, S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1) को प्रवर्तित करें।'

'कर्व y=f(x) और y=g(x) द्वारा बाधित क्षेत्र की अवधि x=a और x=b के बीच की गणना करें।'

'(1) अर्ध कोण सूत्र का प्रयोग करके हल करें $\\int \\cos^{2} 2x dx=\\int \\frac{1+\\cos 4x}{2} dx$।'

'निम्नलिखित समीकरण की वृद्धि और वृहत्त महसूस करें :'

'मान लें कि प्रति वर्ष टोक्यो के बाहर रहने वाले लोगों का तीन में से एक हिस्सा टोक्यो में ले जाता है, और टोक्यो में रहने वाले लोगों का एक तिहाई टोक्यो से बाहर ले जाता है। an को टोक्यो के बाहर जनसख्या और bn को टोक्यो के अंदर जनसख्या मानते हुए, lim(n→∞)an/bn प्राप्त करें। इसे माना गया है कि वर्ष के बावजूद टोक्यो की अंदर और बाहर की कुल जनसंख्या स्थिर है।'

'(2) निश्चित अंकित गणक \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\) की मान निकालें।'

'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ तीन गुणा कोण सूत्र का उपयोग करके हल करें।'

'जब फ़ंक्शन y(x) का दूसरा विघातक y^{\\prime \\prime}(x) हो और x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1 को पूरा करता हो, तो y^{\\prime \\prime}(0) खोजें।'

'(4) $\\int_{1}^{e} \\frac{\\log x}{x} d x$'

'निम्नलिखित फ़ंक्शंसनों को विभिन्नीकरण करें डिफरेंशियल के परिभाषा के अनुसार।'

'कृपया फ़ंक्शन y=x^3√(1+x^2) का अंतर करें।'

'अभ्यास: निम्नलिखित वक्र या रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र को y-अक्ष के चारों घुमाकर प्राप्त ठोस का आयतन V ढूंढें।'

'उल्ट फ़ंक्शन मूल फ़ंक्शन के बराबर होने की शर्त है $f^{-1}(x)=f(x)$'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अनुक्रमिकाओं का मूल्यांकन करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का द्वितीय विघातन ढूँढें। (1) y=√[3]{x}'

'समष्टि समीकरण \\( f(x) \\) के लिए किसी भी वास्तव संख्या \ x, y \ पर शर्त \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\) पूर्ण करता है, और \ x=0 \ पर विभिन्निय है और \\( f^{\\prime}(0)=1 \\)।'

'गणित (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx जब इस तरह से मानोजक को खत्म किया जाता है...'

'निम्नलिखित समीकरणों की अत्यधिक मान का पता लगाएं।'

'निश्चित अंकगणित \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \ ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें: \ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'

'समाधान करें f(x) = ∫₀ˣ(1-t²) eˣᵗ dt फ़ंक्शन की अधिकतम मान। [टोक्यो यूनिवर्सिटी ऑफ़ मर्चेंटिल मरीन]'

'निश्चित योग्यता \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\) खोजें।'

"F'(t) = 1/(t²+1) माना जाए तो"

'मान फ़ंक्शन f(x) दी गई अंतराल [a, b] पर निरंतर है और अंतराल (a, b) पर विभाज्य है।'

'कैलकुलस की खोज किसने की थी?'

''

'हम य-अक्ष के लंबवत समतल के साथ काटकर आयतन की गणना करने की कोशिश करें। Y-अक्ष पर बिंदु Q लें, जहां OQ=y, आयतक्षेत्र को S(y) मानें, और फिर निम्नलिखित की गणना करें V= \\int_{0}^{a} S(y) dy।'

'निम्नलिखित समीकरणों के मानकों के अनुसार निम्नलिखित समीकरणों की अवकलन करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों के अत्यधिक मान ढूँढें।'

'(2) (1) में प्राप्त परिणाम को x का कार्य के रूप में ध्यान में रखकर, यह डिफरेंशियेट करने के द्वारा, x जब x 1 नहीं होता है, 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^(n-1) की समीक्षा करें।'

'f(ax+b) का अनिश्चित निर्धारित इंटीग्रल ढूंढें।'

'उल्टी फ़ंक्शन कैसे निकालें?'

'निम्नलिखित अनिश्चित निर्वाचनों का पता लगाएं।'

'(१) (१) का उपयोग करके, निम्नलिखित निश्चित अंकित ढाल का पता लगाएं।\n(अ) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'

''

''

''

'निम्नलिखित कार्यों की मिलान की विधि के अनुसार मात्री ज्ञात करें।'

''

'अनिश्चित अंतरिक का पता लगाएं: \ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'

'निम्न अनिशीत अंतरक को ढूंढें।'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतिरिक्ष ढूंढिए।'

''

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें। यहां, a एक स्थिर मान है।'

"योग्यता वाले अंतरण विधि का उपयोग करके परिपक्व अंश ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx ढूंढें।"

"मौलिक उदाहरण 53 डिफ़रेंशिएल और पहचान\nf(x) को 2 या उससे अधिक डिग्री का बहुपद माना जाए।\n(1) (x-a)^2 से विभाजित करने पर शेष को a, f(a), f'(a) के रूप में व्यक्त करें।\n(2) (x-a)^2 द्वारा विभाज्य होने की शर्त ढूंढें।"

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अवकलन कीजिए: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \'

'13 \\n(1)\\n\\\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\\\'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों का विभेदन कीजिए।'

'संयोजी फ़ंक्शन h(x) = f(g(x)) की मात्रक की खोज करें।'

'निम्नलिखित कार्यों की अत्यधिक मानों का पता लगाएं। (1), (3) निहोन जोशी डाइगाकू'

'जो आप बनना चाहते हैं, उससे पलटकर देखें।'

'धरोहर और मोड़ बिंदु'

'(1) निर्दिष्ट योग्यांक \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left|\\cos x-\\frac{1}{2}\\right| dx \ ढूंढें।'

'निम्न अनिश्चित योग्यों को खोजें।'

'(1) का उपयोग करके, निम्नलिखित निश्चित अनुकलन ढूंढें।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट इंटीग्रेल की गणना करें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के अत्यधिक मान का पता लगाएं।'

''

'निम्न अपरिसीमित धारा का मान निकालें।'

'उस वास्तव संख्या \ k \ को खोजें जो अंकित संपत्ति \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) को कम से कम करता है और उस समय किए गए अंकित सम्मेलन।'

'पैरामीट्रिक पहलु उत्थान का प्रयोग करके dy/dx की मान सीखें।'

''

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

"स्थिर a, b, c के लिए f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x} मान लें। सभी वास्तव संख्याओं x के लिए f'(x)=f(x)+x e^{-x} सत्य होने पर, a, b, c की मानें ढूँढें।"

'जब अनंत समश्रेणी संप्रेषित होती है, तो इसका योग्यता को f(x) के रूप में चिह्नित करें। समीक्षा करें कि फ़ंक्शन y=f(x) की चारों ओर कीसता किया जाता है।'

'अगर 1+x^{2}=u माना जाए तो, 2 x d x=d u होता है, इसलिए ∫ x cos(1+x^{2}) d x=1/2 ∫ cos u d u=1/2 sin u+C=1/2 sin(1+x^{2})+C'

'निम्नलिखित कार्यों की विभिन्निक कीजिए।'

'प्राचीन ग्रीस में क्यों डिस्कवर नहीं हुआ कैलकुलस?'

'द्वितीय विकल्प का उपयोग करके, निम्नलिखित कार्यों के अत्यंत मूल्यों का पता लगाएं।'

'सिद्ध करें कि जब y=cos x होता है, तो y का nवां विघातन cos(x+nπ/2) होता है।'

'यदि एक रेशनल फ़ंक्शन के अनिशित अंतरिक की अंतिम अनिशित इंटीग्रल की तलाश की जाए, तो संख्याकार का पायाभंक डिनामं कर होने पर हमें कैसे आगे बढाना चाहिए या अगर नियामक कई कारक का उत्पादन होने की रूप में हो, तो हमे कैसे काम करना चाहिए?'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

'निम्नलिखित कार्य का विभिन्न करें। (1) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}'

'विभिन्न समीकरणों के मानक का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों की मानक की गणना करें।'

'निम्नलिखित समस्या को हल करें: 0 से 2 तक t^3 के प्रामाणिक मान की निश्चित अनुक्रमणिका ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतरक का पता लगाएं: \n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \'

'अनुक्रम {an},{bn} संघटित होते हैं, जिसमें lim{n→∞} an=α, lim{n→∞} bn=β। निम्नलिखित गुणों की व्याख्या करें: 1) स्थिर गुणक lim{n→∞} k an=k α, यहां k एक स्थिर है 2) योग lim{n→∞}(an+bn)=α+β; अंतर lim{n→∞}(an-bn)=α-β 3) lim{n→∞}(k an+l bn)=k α+l β, जहां k, l धारित हैं 4) गुणा lim{n→∞} αn bn=α β 5) विभाजन lim{n→∞} an/bn=α/β, जहां β ≠ 0।'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतरक को खोजें।'

'निम्नलिखित कार्यों की डेरिवेटिव ढूँढें।\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}'

'गणित उदाहरण 134 की परिभाषित अंतर का गणना करें (समीकरण का उपयोग करना)'

'निम्नलिखित कार्यों के लिए प्रथम क्रम का अंदाजा लगाएं।'

'किसी फ़ंक्शन के लिए निकटता होने के शर्तों का विवरण दें।'

'निम्नलिखित समांतर में x के साथ विभिन्न करें:'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों की डेरिवेटिव ढूंढें।'

'निश्चित इंटीग्रल खोजें।'

'सम और विषम समांतर f(x) का परिघ के'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

None

'किसी क्षेत्र में दिए गए कार्य f(x) और अंतराल के लिए माध्यम मूल्य के सिद्धांत शर्तों को पूरा करने वाले c का मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन कीजिए।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणित का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतरकलितों का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित वक्रों की अवतलता की जाँच करें और किसी भी विकस्त संदर्भ को खोजें।'

'अंकित पद्धति के अनुप्रयोगों के अभ्यास का वर्ग 6 में निम्नलिखित क्रम में सूचीबद्ध करें: 28 क्षेत्रफल 29 आयतन 30 वक्र की लंबाई 31 गति और दूरी 32 उन्नत अवकलन समीकरण नॉर्मल वितरित वक्र से घेरे भाग के क्षेत्र को निकालने के लिए गाउसियन इंटीग्रेशन का उपयोग करें।'

'यदि a को वास्तविक संख्या माना जाए। तो ऐसे मानों की श्रेणी निर्धारित करें जिनके लिए समीकरण f(x)=ax+cosx+12sin2x का कोई अधिकतम/न्यूनतम नहीं होता है।'

'दुसरे विघात का उपयोग करके, समीकरण y=x^{3}-3 x+1 के अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित प्रमाणों का तृतीय विघातन ढूंढें:\n(1) y = sin 2x\n(2) y = sqrt(x)\n(3) y = e^(3x)'

'समझाने वाले वीडियो का उपयोग कैसे किया जा सकता है?'

'निम्न अपरिभाषित अंतर ढूंढिए।'

'f(x)=a+\\frac{b}{2x-1} का इन्वर्स फ़ंक्शन g(x)=c+\\frac{2}{x-1} है तो, स्थायी a, b, c के मान निर्धारित करें।'

'(1) का उपयोग करके, निम्नलिखित निश्चित अवकल साधें। (ई) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \'

'निम्नलिखित समीकरणों के अतिशय मान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित अनिशित अंकित योग्यता की गणना करें। \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2x}{3+\\cos^2 x} dx \'

'जब \ x^{2}-y^{2}=a^{2} \ होता है, तो \ x \ और \ y \ का उपयोग करके \ \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \ को व्यक्त करें। यहां, \ a \ एक स्थानीय है।'

'निम्न अनिशित अंतर का पता लगाएं।'

'कठिन समस्याओं को हल करते समय मददगार सोचने के क्या कुछ तरीके हैं? यह सीखने में कैसे फायदेमंद है?'

प्रस्तावना 'टोक्यो में रहना $\Longrightarrow$ जापान में रहना' सत्य है, लेकिन इस मामले में, 'टोक्यो में रहना' और 'जापान में रहना' के बीच संबंध को पर्याप्त और आवश्यक शर्तों के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है?

विस्तृत 85 | शर्तीय अधिकतम और न्यूनतम (1)

$x \geqq 0, y \geqq 0, 3x + 2y = 1$ होने पर, $3x^2 + 4y^2$ का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।

यदि दिकर्थ $y=3 x^{2}+6 x+2$ को $x$ अक्ष दिशा में 2 इकाई और $y$ अक्ष दिशा में -1 इकाई स्थानांतरित किया जाता है, तो स्थानांतरित परवलय का समीकरण $y=a x^{2}+b x+c$ के रूप में व्यक्त करें।

मानक उदाहरण: ऐसे मुद्दे जिन्हें हल करने के लिए कई ज्ञान का उपयोग करने जैसी कुछ अनुप्रयुक्त कौशल की आवश्यकता होती है।