उन्नत फलन - घातीय और लघुगणकीय फलन

'किसी बहुपद f(x) के लिए, पहचान f(f(x))={f(x)}^{2} सत्य है। इस शर्त को पूरा करने वाले सभी f(x) को ढूंढें, जहां f(x) हमेशा शून्य नहीं होता है।'

'(3) पहले अंश को $a$ और सामान्य अनुपात को $r(r>0)$ माना जाता है। शर्तों के अनुसार\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\n(2) से $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\n(1) को स्थानांतरित करने पर $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\nइसलिए\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nकारकी विच्छेदन देता है $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\nअतएव $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\nक्योंकि $r>0$ है, इसलिए $r^{3}=8$, इससे $r=2$ है।(1) में $r=2$ को स्थानांतरित करने पर $7 a=21$, इसलिए $a=3$\nइसलिए, पहला मान 3 है, और पहले 5 मानों का योग $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$ है'

'लघुगणक कार्य y=log_a x के ग्राफ की विशेषताएँ पहचानें।'

'निशाने (2, -2) पर टैंजेंट रेखा का समीकरण y - (-2) = -3(x - 2) है, जिसे y = -3x + 4 से सरलित किया जा सकता है। 2 रेखाओं (1) और (2) के पारस्परिक समांधान का x आवधारण किया गया है x = -3x + 4 से, इसलिए निर्धारित क्षेत्र का नाम S है, जिसमें S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3।'

'फ़ंक्शन एक अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है जब x = -√a, और एक न्यूनतम मूल्य प्राप्त करता है जब x = √a, -2a√a + b।'

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'2 कर्वों के छाने का x-आयाम है, x^3-3x^2+2x=ax(x-2) का समाधान। x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2) के कारण x(x-1)(x-2)=ax(x-2)। इसलिए x(x-2)(x-1-a)=0। इसलिए x= 0,2, a+1। a>1 क्योंकि, दो कर्वों की मुख्य आकृति दाईं तस्वीर में दिखाई गई रूप में है, दो क्षेत्रों के क्षेत्रफल S1, S2 बराबर हone की शर्त है S1=S2, अर्थात् S1-S2=0।'

'समाधान y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1) का न्यूनतम मान।'

'उदाहरण को सुलझाएं \ \\log_{a} x = b \। यहाँ, \ a \ और \ b \ निरंतर हैं, और \ x \ परिवर्तन है।'

'x की 4 वीं डिग्री कार्य f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x का विचार करें, जहां a और b वास्तविक संख्याएं हैं।'

'क्षेत्र 2 ≤ x ≤ 16 में फ़ंक्शन y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 की अधिकतम और न्यूनतम मान तथा उस समय के x मान ढूंढें।'

'उदाहरण 152 विभिन्न फ़ंक्शनों की अधिकतम और न्यूनतम (विभेदन 2 का उपयोग करना) (1) फ़ंक्शन f(x)=2^{3x}-3*2^{x} की न्यूनतम मान और उसका संबंधित x मान ढूँढें। (2) फ़ंक्शन f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) की अधिकतम मान और उसका संबंधित x मान ढूँढें।'

'चक्रवृद्धि गणना\nवार्षिक ब्याज दर को r मानते हुए, प्रत्येक वर्ष चक्रवृद्धि गणना का उपयोग करके निम्नलिखित को खोजें:\n(1) n वर्षों के बाद कुल राशि S येन होने के लिए मुख्य धन T येन\n(2) प्रति वर्ष की शुरुआत में P येन बचाएं, और n वर्षों बाद कुल मुख्य राशि Sn येन है'

'कार्य f(x) की न्यूनतम मान खोजें।'

'उदाहरण 31 | प्रोडक्ट और पावर्स का संबंधित पुनरावृत्ति (लघुता का उपयोग करके)'

'निम्नलिखित कार्यों की ग्राफ़ बनाएं। साथ ही, इन कार्यों और \ y=\\log _{4} x \ के बीच संबंध का वर्णन करें।'

"गणित II -247 अभ्यास 80 ⇒ इस पुस्तक पेज 302 f'(x)=3x^2+2ax इसलिए, बिंदु P(t, f(t)) पर स्पर्शक लेख t की समीकरण y-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(x-t) जब ℓ_t मूल के माध्यम से गुजरता है -(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(-t) 2t^3+at^2-b=0 स्पष्टीकरण करने पर 2t^3+at^2-b=0 तीन वर्षात्मक कार्यक्रम के चार्ट में, क्योंकि संपर्क के विभिन्न बिंदुओं के लिए विभिन्न स्पर्शक लागू होते हैं, इसलिए समीकरण (1) का केवल एक वास्तव समाधान होना चाहिए। अब, g(t)=2t^3+at^2-b ले। उस व्यवस्था की खोज करें जो कर्व y=g(t) के साथ एकमात्र एक साझा बिंदु है और t-धुरी। g'(t)=6t^2+2at=6t(t+a/3) g'(t)=0 और t=0,-a/3 करने पर [1] जब a=0 हो g'(t)=6t^2 ≥ 0 इसलिए, क्योंकि g(t)=2t^3-b में सीधासी बढ़त है, ऐसा कुछ नहीं b की मान, कर्व y=g(t) तीन वर्षात्मक कार्यक्रम के साथ एक ही साझा बिंदु है। [2] जब a≠0 हो 0,-a/3 के छोटे से, अ, मुख्यतः बेटा को लें, फिर g(t) की हिस्सेदारी तालिका निम्नलिखित है। कर्व=एक ही बिंदु होने के लिए t-धुरी और त के साथ तुलना करें की स्थिति ऐसी है -ब(a^3/27 - b) > 0 अर्थात ब(a^3/27 - b) < 0 अतः b < 0 और b < a^3/27 या b > 0 और b > a^3/27 इसलिए हमें यह शर्त है जब a=0 हो, b सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जब a≠0 हो, b < 0 और b < a^3/27 या b > 0 और b > a^3/27 इसलिए, बिंदु (a, b) का क्षेत्र जिसमें वह स्थित है, उसे दिखाने के लिए उस चित्र में दिखाई देता है जैसा कि दाएं तरफ के चित्र के ढालान खंड में होता है। कृपया ध्यान दें कि सीमा रेखा केवल मूल को शामिल करती है और अन्य बाहरी स्थानों को छोड़ती है।"

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 जब x=-s, s [1] s>0 है f(x) की वृद्धि और वृहत्तमता की तालिका दाहिने तरफ के रूप में है। (i) जब 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = बढ़ तेकघट शीर्ष & घटाना न्यूनतम & एबाधतेकघट f(x) x=s पर कमतम मान है इसलिए g(s)=f(s)=s^3 / 3 - s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) जब s ≥ 2 f(x) x=2 पर कमतम मान है इसलिए g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] जब s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 इसलिए 0 ≤ x ≤ 2 f(x) x=0 पर कमतम मान है इसलिए g(0)=f(0)=0"

'निम्नलिखित प्रत्येक समूह के संख्याओं का मामूली आकार असमितियों का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'(1) समीकरण का समाधान करें, 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकरण को हल करें।'

'बेस परिवर्तन सूत्र'

'लॉगरिथ्मिक समीकरणों की गुणधर्म\nलॉगरिथ्मिक समीकरण की गुणधर्म और ग्राफ \ y=\\log _{a} x \ जहां \ a>0, a \\neq 1 \।\n(1) डोमेन सभी सकारात्मक संख्याएँ है, रेंज सभी वास्तव संख्याएँ है।\n(2) बिना घटाव के बीच से गुजरता है \\( (1,0),(a, 1) \\), और \ y \ अक्ष इसका असंता सीरा है।\n(3) जब \ a>1 \ हो, तो जब \ x \ बढ़ते हैं, तो \ y \ भी बढ़ जाते हैं।\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nजब \ 0<a<1 \ हो, तो जब \ x \ बढ़ता है, तो \ y \ कम होता है।\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'निम्नलिखित समवाक्यों को सरल बनाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरल बनाएं:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'कार्य y =9^ x-2 \\ cdot 3 ^ {x +1} +81 (-3≤x≤3) की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'सामान्य लघुगणित की परिभाषा बताएं।'

'निम्नलिखित समाकलन को सरल रूप में कीजिये।'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरल रूप में करें।'

'घातांक फ़ंक्शन\nघातांक फ़ंक्शन \ y=a^{x} \ की गुणधर्म और उसकी चित्रिका\n\ a>0, a \\neq 1 \।\n(1) परिभाषा विश्व है सभी वास्तव संख्याएँ, मानस्थल है सकारात्मक संख्याएँ।\n(2) बिंदु \\( (0,1),(1, a) \\) से होकर गुजरता है, और \ x \ अक्ष इसकी असंत सीधी है।\n(3) \ a>1 \ होने पर, \ x \ बढ़ने पर \ y \ भी बढ़ता है।\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nजब \ 0<a<1 \ हो, तो \ x \ बढ़ने पर \ y \ घटता है।\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित समझौते करें।'

'वह समीकरण जिसे f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t पूरा करने वाले फ़ंक्शन f(x) खोजें। सही-पक्ष को पुनः व्यवस्थित करके हमें f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a मिलता है। इसमें a और b को स्थिर माने, तो a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}। इससे ए की मानके a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t यहाँ से 2 a-6 b-3=0 मिलता है। दूसरे हाथ, b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1, तो a+b+1=0 (1), समीकरणों को समाधान करने से a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8} मिलता है, जिससे f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x को एक स्थिर माना जा सकता है।'

'कृपया प्रमाणीय फ़ंक्शन y=a^{x} की डोमेन और रेंज का वर्णन करें।'

'लघुगणक समीकरण'

'निम्नलिखित मानों को खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'y=a^x के मूल ग्राफ और y=3^x और y=3^{-x} के ग्राफ के बीच संबंधों का अध्ययन करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरलीकरण करें।'

'लोगरिद्स और उनकी गुणधर्म\nलोगरिद्स की परिभाषा\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { निर्धारित मान हैं। } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'निम्नलिखित अपूर्ण धाराओं का मान निकालें।'

'कोण करें C1: y=a e^{x}, C2: y=e^{-x}। जब स्थिर a का 1≤a≤4 सीमा में बदलता है, तो C1, C2, और y-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र को D1 और सी1, C2 और x=log 1/2 रेखा द्वारा घेरे गए क्षेत्र को D2 माना जाता है। (1) जब D1 क्षेत्र की विस्तार 1 है, तो a का मान खोजें। (2) D1 और D2 क्षेत्रों के क्षेत्रों के योग की न्यूनतम मान और संबंधित a का मान खोजें।'

'अन्तर (1)… विभेदय का उपयोग करके साबित करें'

"समीकरण f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x (जहाँ A, B कई हैं) के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) f'(x) ढूंढें। (2) f''(x) को f(x) और f'(x) के अभिव्यक्ति में व्यक्त करें। (3) ∫ f(x) dx ढूंढें।"

'निम्न अनिशीत ध्रुवाकरणों का मान निकालें।'

'प्रसिद्ध कार्य और उससे संबंधित सीमा\nकार्य \ y=\\frac{\\log x}{x} \ की सीमा है, \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \।'

'निम्नलिखित अनिशीत अंतरक का पता लगाएं। (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'सिद्ध करें कि अगर a > 0, b > 0 है, तो असमानता b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) मान्य है।'

'यदि \\( f(x)=-e^{x} \\) है। एक वास्तव संख्या \ b \ के लिए, बिंदु \\( (0, b) \\) से गुजरने वाली कुर्व \\( y=f(x) \\) की टंजेंट की संख्या का पता लगाएं। हालांकि, \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \ का उपयोग किया जा सकता है।'

'निम्नलिखित में से निर्धारित अंतरक का मूल्य निकालें। $$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'वास्तविक संख्या a, b, c के लिए, F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1। साथ ही, तात्विक समतली में इकाई वृत्त से बिंदु 1, -1 को हटा कर T लाया जाता है।'

'एक स्थिर k के लिए, समीकरण लॉग(sin x+2)-k=0 के वास्तव समाधानों की संख्या का पता लगाएं, 0<x<2π के लिए।'

'परावलोकन ग्राफ़ की खींचाई कैसे मिश्रण विधि का उपयोग करके ग्राफ़ खींचने की समस्या में, समीकरण की निम्नलिखित 3 पैटर्न थे:'

'उल्टे कार्य और क्षेत्र खोजें।'

'लेट n को किसी भी सकारात्मक पूर्णांक बनाएं, और दो फ़ंक्शन f(x), g(x) वे वस्तुएं हैं जो दोनों n बार मिलिमेंट हैं। [काफी बड़ा] (1) उत्पाद f(x)g(x) का 4 वां विभाजक पाएं d^4/dx^4{f(x)g(x)}। (2) उत्पाद f(x)g(x) के n वें विभाजक d^n/dx^n{f(x)g(x)} में f^(n-r)(x)g^(r)(x) का संदर्भ निकालें, और गणित प्रविष्टि को सही साबित करें महज़ो गणित प्रविष्टि करें। यहाँ, r एक नकाम संख्यात्मक पूर्णांक है जो n से अधिक नहीं है और f^(0)(x)= f(x), g^(0)(x)= g(x)। (3) समीकरण ह(x)=x^3e^x का नवीं विभाजक h^(n)(x) पता करें, जहाँ n≥4।'

'यदि a > 0, b > 0 है और f(x) = log ((x + a) / (b - x)) है। सिद्ध करें कि कर्व y = f(x) अपने अवतल बिंदु के बारे में सममित होता है।'

'निम्नलिखित अपरिहार्य समिकरणों को हल करें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के उल्टे फ़ंक्शन पता करें। साथ ही, उनका ग्राफ़ बनाएं।'

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'समान की मानों का परिवर्तन, अधिकतम और न्यूनतम, समान ग्राफ़'

'न को एक पूर्णांक मानें। निम्नलिखित समीकरणों को सत्य साबित करें: जहां, \ \\cos ^{0} x = 1 \, (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\)।\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \ (n \\geqq 1)'

'किसी किस्म के तरीकों से लाज़ीज़ मुद्दे \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ को कैसे हल किया जा सकता है? महत्वपूर्ण उदाहरण 141 (1) में, हमने समझा था कि \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ को हल किया था, लेकिन इसके अलावा भी कई अन्य विधियाँ हैं। पहले, आइए पिछले पृष्ठ में उक्त विधि का आधार देकर \ x=\\tan \\theta \ को बदलने का तरीका देखते हैं।'

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'दिया गया है कि \ a \ 0 नहीं है और \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \। इस समय, \ A, B \ के मानों को प्राप्त करें।'

'a, b निरंतर हैं, ab ≠ 1। y = (bx + 1) / (x + a) का इनवर्स फ़ंक्शन मूल फ़ंक्शन से मेल खाता है उस शर्त की खोज करें।'

'मौलिक 11: उलट फ़ंक्शन को मूख्य फ़ंक्शन से बराबर होने की स्थिति'

'इसे सिद्ध करें कि n 2 या इससे अधिक प्राकृतिक संख्या है।'

'किसी निश्चित ∫e^{2x+e^x} dx का उपाधि खोजें।'

'सिद्ध करें कि यहाँ एक ऐसी बिंदु श्रृंखला है जो चित्र में P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) को पूरा करती है, और श्रृंखला P₁, P₂, ... किसी निश्चित बिंदु के ओर अनंतता से करीब जाती है।'

'सिद्ध करें x>0 के लिए असमीकरण \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10}'

'अनिश्चित अंकगणित में प्रतिस्थापन और भाग के भौतिक'

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'यदि x-अक्ष पर स्थित बिंदु (a, 0) से, y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}} समीकरण के ग्राफ़ पर स्पर्श रेखा खींची जा सकती है तो, स्थिर a के मान की सीमा का पता लगाएं।'

'समाधान करें: f(x)=3 cos 2x+7 cos x की अंतराल [0, π] पर अंशिका \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\)।'

'क्या यह रेखा और उदक में सुधार का समाधान निकल सकते हैं जो नीचे दी गई रेखा और उदक को बराबरी अंतराल के साथ x-अक्ष के दिशा में -3 और y-अक्ष के दिशा में 1 के साथ ले जाने से प्राप्त होते हैं।'

'व्यवसाय y चॉकलेट बेचने पर कुल लागत c(y) को c(y)=y^{2} के रूप में दिया गया है। कंपनी ए का लाभ (राजस्व और कुल लागत के बीच का अंतर) अधिकतम होने पर विक्रय मूल्य p और मात्रा y के मान ढूंढें।'

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'मात्री परिवर्तन'

'विकास 159 में चर परिवर्तन का उपयोग करें'

'उदाहरण 30 में, हम प्रत्येक शब्द के मामिलों को युक्तिकृत करते हैं पहले ही गणना करने से पहले। हालांकि, उदाहरण 31 (1) में, हम मामिलों के मामिलों को युक्तिकृत किए बिना ही गणना करते हैं। इस दृष्टिकोण के लिए कारण पर विचार करें।'

None

'लेट S(a) क्षैतिजीकृत करने वाले क्षेत्र की विस्तृति हो जो रेखा के माध्यम से पारित होती है (1,2) से गुजरने वाली और ढाल a और य = x^2 गोलाध्याय। a के मान को प्राप्त करें जो सीमा 0 ≤ a ≤ 6 में बदलता है जो S(a) को कम से कम बनाता है।'

'निम्नलिखित समीकरणों की ग्राफ बनाएं और इनका y=3^x समीकरण के स्थानीय संबंधों का वर्णन करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का हल करें:'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ का खींचें और समीकरण y=log_{2} x के साथ उनके स्थानीय संबंध का वर्णन करें।'

'निम्नलिखित समरूपों को सरलीकृत करें।'

'लॉगरिद्थ्मिक फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम (1): निम्नलिखित लॉगरिद्मिक फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम ढूँढें।'

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'लॉगरिद्म के गणना के संबंध में'

'समीकरण y = log_2(x/2)log_2(x/8)(1/2 ≤ x ≤ 8) की अधिकतम मान, न्यूनतम मान और उस समय x के मान को खोजें।'

'जानिए कि f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) का अनुक्रम -1 ≤ x ≤ 1 में अधिकतम मान 5 है और न्यूनतम मान -7 है, स्थिर a, b की मान निर्धारित करें।'

'डेटा 1 से, 1.95 का सामान्य लघुत्तम भिन्न निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें।'

'सिद्ध करें कि जब यादृच्छिक परिमाण X सामान्य पंजी N(m, σ^2) का पालन करता है, तो \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] की मान m और σ के मानों के बावजूद केवल k का एक सम्बन्ध बन जाता है।'

'निम्नलिखित लोगरिदमिक फ़ंक्शन की ग्राफ और गुण का वर्णन करें।'

'समझे गए फ़ंक्शन y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1 का विचार करें, जिसे 1550 1/3 ≤ x ≤ 3 के लिए परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन y के अधिकतम और न्यूनतम मान और उसके लिए x मान ढूंढें।'

'लोगरिद्मिक फ़ंक्शन की गुणधर्मों का वर्णन करें।'

'कार्य y = x ^ 2 (x > 0) का ग्राफ, न्यूनाधिक और लघुगामी स्केल का उपयोग करें।'

'बेस परिवर्तन सूत्र: निम्नलिखित लघुगणितों का आधार परिवर्तित करें।'

'दो पराबोलों से घेरे गए क्षेत्र को S(a) द्वारा निर्धारित किया गया है। दो पराबोलों के समांतर बिंदुओं का x-आयतन α और β (α < β) हो, तब दाएं तस्वीर से:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nद्विघाती समीकरण (1) के समाधान x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3 हैं। क्योंकि α और β (1) के समाधान हैं, \nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nइसलिए, S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nक्योंकि -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8), सीमा 0 < a < 9/2 में, -2a^2 + 9a a = 9/4 पर अधिकतम है, और इस बिंदु पर S(a) भी अधिकतम है।\nइसलिए, S(a) a = 9/4 पर अधिकतम है\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8।'

'बेसिक लॉगरिद्म अवधारणाओं पर निम्नलिखित सवालों का उत्तर दें। दिए गए समीकरणों पर निर्भर करके लॉगरिदम की गणना करें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन के ग्राफ की चित्रित करें और फ़ंक्शन y=log_{2} x के साथ उनके संबंध का वर्णन करें।'

'लघू समीकरणों के समाधान की अस्तित्व की शर्तें: निम्नलिखित लघू समीकरण के समाधान की अस्तित्व की शर्तें निर्धारित करें।'

'(3) समीकरण f(x)=0 के भिन्न वास्तव समाधानों की संख्या n कोणीत्पन्नता y=f(x) और x-अक्ष के बीच संकरण बिंदु के बराबर है। (1) से, जब a≤0 हो, n=1, और (2) से, जब a>0 हो, न्यूनतम मान -4√2a3/2+16 a के मान पर निर्भर करता है, सकारात्मक, 0, या नकारात्मक हो सकता है, इसलिए n=1,2,3। इसलिए, (1) और (2) को सारित करते हुए, यदि n=1 हो, तो a<0, a=0, a>0 सभी संभावित हैं; अगर n=2 हो, तो केवल a>0 संभावित है; अगर n=3 हो, तो केवल a>0 संभावित है।'

'नीला चार्ट में कई समस्याओं को समाहित करने का कारण क्या है?'

'डिजिटल सामग्री का उपयोग करके आप कैसे अपनी सीखने को और गहरा कर सकते हैं?'

'अभ्यास सवाल 67 (2) \\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'

'अनिश्चित अंकगणित की खोज करें। (3), (4) में, (a≠0, b≠0)। (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'

'दिए गए पाठ का कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'अनिश्चित ऐन्कशेल \ \\int e^{x} \\cos x dx \ ढूंढें।'

'दिया गया y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x)'

'समीक्षा करें कार्य 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2। (1) f(x) की द्वितीय विवरणी को f^{\\prime \\prime}(x) मानते हुए दिखाएं कि समीकरण \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) लागू होता है। (2) निश्चित ऐंशिक लिखित \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x।'

'समीकरण f(x)=x-1-log x के वृद्धि और घटन का अध्ययन करें, और सिद्ध करें कि x>0 के लिए असमीयता log x ≤ x-1।'

"एफ'(एक्स) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'ऊपर [4] [6] का उपयोग करते हुए, नीचे दिए गए निश्चित अंकित को ढूंढने की कोशिश करें।'

'निम्नलिखित अप्रान्त अंतरक की पुनरावृत्ति कीजिए। (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 165) मात्रा और इंटीग्रेशन कुर्व y = e^x का 0 ≤ x ≤ 2 अंश y-अक्ष के चारों में 1 घुमाकर एक कंटेनर बनाता है, जिसमें प्रति इकाई समय में a (एक सकारात्मक स्थिर) दर से पानी भरा जाता है। h होने पर जल का आयात V और जल की तल क्षेत्रफल S हो। (1) ∫(log y)^{2} dy का पता लगाएं। (2) V को S के संबंध में व्यक्त करें। (3) जब S π हो तो जल की सतह का विस्तार की दर ढूंढें। [शिबौरा प्रौद्योगिकी संस्थान] मार्गदर्शन (3) जल की सतह का विस्तार की दर dS/dt है, लेकिन लगता है S को t के रूप में व्यक्त करना कठिन है। इसलिए, हिंट (2) का उपयोग करके, समाधान ढूंढने के लिए dV/dt = dV/dS * dS/dt का उपयोग करें।'

''

'निम्नलिखित अप्रिय समाकलन खोजें।'

'(1) कार्य $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$ की परिवर्तनीय की खोज करें। (2) $x y$ तल पर, बिंदु $P$ को समीकरण $x^{2}-y^{2}=1$ द्वारा प्रस्तुत वक्र $C$ पर स्थित है और पहले त्रिभुज में है। यदि मौलिक $O$ और बिंदु $P$ को जोड़ने वाली रेखा खंड $OP$, x अक्ष, और वक्र $C$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल $\\frac{s}{2}$ है, तो बिंदु $P$ की निर्देशांकों को $s$ के भाव में व्यक्त करें।'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { मान लें } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'फ़ंक्शन का उल्टा कैसे निकाला जाता है?'

'साबित करें कि यह असमीकरण x > 0 के लिए सत्य है।'

'प्रश्न 152 पृष्ठ 530 परिधि में समीकरण (1) का उपयोग करें, जहाँ (1) है V=2π∫₀ᴨx{cosx-(-1)}dx।'

'(2) \\\\ इसे \ e^{x}+1=t \ मानते हैं, तो \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'प्रतिस्थापन इंटीग्रेशन सूत्र (2) का उपयोग करके, निम्नलिखित अंतर को ढूंढें।'

'(2) एक अनुक्रम \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ को यही निर्धारित करता है कि \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\)। \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ होने के कारण \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\) होता है, सिद्ध करें कि अनुक्रम \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ संचरित होता है और उसकी सीमा मान खोजें। यहां, \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \ यह उपयोग किया जा सकता है।'

'इसलिए \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nअतएव \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] इसे हल करने से \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nइसलिए \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'निम्नलिखित असमीकरण को सिद्ध करें।'

'महत्वपूर्ण सवाल 115 इनवर्स फंक्शन और निश्चित अंकगणित\nx≥0 पर परिभाषित होने वाले फ़ंक्शन y=e^{x}+e^{-x} का उल्ट फ़ंक्शन y=g(x) मानकर, ∫_{2}^{4} g(x) dx को ढूंढें।'

'अभ्यास 102 \\Rightarrow पृष्ठ 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ मान रखें \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nइसलिए \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nइसके फलस्वरूप \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nअतः \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'क्योंकि (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2) है, इससे x e^(x^2) विषम सम्बन्ध है।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'ऐसा वास्तव संख्या x के मान का वर्ग जिसमें प्रदर्शि {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n} अखंडित होता है करें। साथ ही उस सीमा में की कम से कम मान की खोज।'

'क्योंकि यह रेखा बिंदु (0, Y(a)) से गुजरती है, इसलिए Y(a) = (a^2 + 1)e^(-a^2/2)'

'वेक्टर v और एल्फा ढूंढें।'

'अभ्यास 163'

''

'(1) $y = x ^ {2}, y = \\ sqrt {x}$ द्वारा घेरी गई क्षेत्र द्वारा बनाए गए ठोस का आयतन $V$ पता करें। $y$-अक्ष के चारोंतर में।\n(2) कर्व $y = \\ log 3 x$ को $C$ द्वारा चिह्नित किया जाए। $C$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र, मौलिक $O$ से होने वाली सांत $\\ ell$, और $x$-अक्ष के चारोंतर में बनाए गए ठोस का आयतन $V$ पता करें। $y$- अक्ष।'

'गणित II\n407\n[2] \ p>2 \ के लिए\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\n[1], [2] से, S की परिवर्तन सूची निम्नलिखित रूप में है।\nइसलिए, \ S \ \ p=\\frac{4}{3} \ पर न्यूनतम है, और इसका न्यूनतम मान है\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & स्थानिक न्यूनतम & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { जब } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

'(5) यदि \ \\log x=t \ रखा जाए तो \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'निम्नलिखित मुख्य अंकित समीकरण का हल करें।'

'उदाहरण 143 क्षेत्र से समीकरणों का निर्धारण'

'निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करने वाला फ़ंक्शन खोजें।'

'माध्य विचलन सिद्धांत का उपयोग करके, निम्न प्रस्तावनाओं को सिद्ध करें:'

'दिए गए मात्रा को कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'निम्न अंकित अंकगणितीय ढांचे (4) का उपयोग करके निम्नलिखित अंकगणित निश्चित करें।'

'क्रम्ण x=1/√e पर समीकरण के अति मूल्य का पता लगाएं।\n(1) x=1/√e पर, समीकरण का न्यून मूल्य -1/(2e) है\n(2) x=-4/3 पर, समीकरण का अधिकतम मूल्य 4√6/9 है, x=0 पर, समीकरण का न्यून मूल्य 0 है'

'उदाहरण 163 एक कर्व पर स्थिर गति से चलने वाला बिंदु\n547\nस्थानीय समतल पर एक बिंदु P है। बिंदु P बांधकर शुरू हो रहा है (0,1) से, कर्व y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) पर प्रति सेकंड 1 इकाई की गति से चल रहा है। t सेकंड बाद बिंदु P की निर्देशांक (f(t), g(t)) होती है। f(t), g(t) की खोज करें।\n[Shinkei]\n0 सेकंड से t सेकंड तक की दूरी l को व्यक्त करने के लिए दो तरीके की सोचें।\n[1] हर सेकंड 1 इकाई की गति से चलने की वजह से, l=t\n[2] जैसा कि कर्व y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) पर चल रहा है, बिंदु P की t सेकंड बाद x निर्देशांक p मानें, तो\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"x>0 के मामले में, अगर f'(x)=0 है, तो x+π/4=kπ, अर्थात x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...)। f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)} से मिलता है"

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'किसी भी बेस a के साथ लघुगणितीय समीकरण log_a x की परिवर्तनीय कीचवा ढूंढिए।'

''

'निम्नलिखित अंकगणित का हल करें।'

'य = पी एक्स + क्यू की रेखा के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त स्थिति खोजें ताकि य = लॉग एक्स के ग्राफ के साथ कोई साझा बिंदु न हो।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन का उल्टी कार्य का पता लगाएं।'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'अभ्यास 97 \\Rightarrow पुस्तक p.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'\ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ को गाउस इंटीग्रल कहा जाता है जिसका मान \ \\sqrt{\\pi} \ है।'

'170 (2) (उ) f(x)=-e^{-x}+1'

'f(x) = 1 / (1 + x^2) के लिए nवें विभेदक और पुनरावर्तन सूत्र को गणित प्रमाण से साबित कीजिए।'

'अभ्यास (1) दो कर्वों y=logx और y=a/x^{2} (a>0) के परिवर्तन के x आधारभूत कोआर्डिनेट का पता लगाएं, p द्वारा दिखाया गया, a को 144p के आधार में व्यक्त करें।'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'गणित में दिया गया व्यक्ति \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nएक अलग समाधान है \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\), इसलिए\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) समीकरण \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\) को सिद्ध करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'एक्स-अक्ष पर गति करने वाले 2 बिंदु P, Q हैं। समय t=0 पर 2 बिंदु मूल बिंदु O पर हैं, समय t पर P की वेग v_P(t), Q की वेग v_Q(t) लगभग इस प्रकार हैं v_P(t)=a t(0 ≤ t), v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t)। (1) Q निश्चित रूप से P को पीछे छोड़ देता है। (2) Q जब तक P की पीछा करता है, उस समय के भीतर, P और Q के बीच की अधिकतम दूरी और समय ढूंढें।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित किया जाता है।'

'28 एन को किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के रूप में लें, और दो फ़ंक्शन f(x) और g(x) को n बार डिफरेंशियेबल फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है।'

'किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या m और n के लिए, Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx लेते हैं।'

'(1) $8\\log 2-1$ (2) $\\frac{1}{\\log 2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) x ≥ 0 पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) = log(x+√(1+x^2)) की导数 f'(x) ढूंढें। (2) θ ≥ 0 के लिए डिफ़ाइंड पोलर समीकरण r=θ द्वारा परिभाषित कर्व की भाग की लंबाई ढूंढें जिसका 0 ≤ θ ≤ π है।"

''

'143 (1) x=0, π/2 पर अधिकतम मान 1 है; x=π, 3π/2 पर न्यूनतम मान -1 है\n(2) x=log_{2} (भिन्न) √5 ± 1/2 पर न्यूनतम मान 1-10√5 है'

'ऐसे बिंदुओं $(x, y)$ की श्रेणी को चित्रित करें जो अधिकता $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$ को संतुष्ट करती है।'

"मान 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6 को संतुष्ट करने वाले स्थायी a, b, और c के मान ढूंढें जिनके लिए तीसरी शक्ति कार्य f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c शर्त को पूरा करती है।"

'लोगरिथ्मिक कार्य का अधिकतम और न्यूनतम'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरलीकरण करें।'

'लॉगरिद्मिक समीकरण के समाधान की संख्या'

'गणक समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम'

'निम्नलिखित समार्थकों की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) a>0, a \\neq 1 के लिए। फ़ंक्शन y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2 के लिए, a^{x}+a^{-x}=t कहते हैं। t की तुलना में y का व्यक्त और y का न्यूनतम मान ढूंढें। (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'उन फ़ंक्शन्स f(x) और g(x) को खोजें जो दिए गए शर्तों को पूरा करते हैं।'

'समीकरण y=log_4(x+2)+log_2(1-x) की अधिकतम मान और उस समय का x मान ढूंढें।'

'प्रश्न 2: लघुगणितीय समीकरण'

'जानिए कि F(x) x=1 पर 5 का अधिकतम मान लेता है और x=2 पर 4 का न्यूनतम मान लेता है, जब α एक सच्चाई संदर्भ है और f(t) एक 2 आदी कार्य है।'

'निम्नलिखित लघुगणितों के मान निकालें।'

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'(1) जब \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3 हो, तो x^{2} + y^{2} का न्यूनतम मान ढूँढें।\n(2) यदि सकारात्मक वास्तव संख्या x, y के लिए xy=100 पूर्ण हो, तो (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} का न्यूनतम मान और उस मामले में x और y के मान ढूँढें।\n(3) f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (यहाँ, ab=8, a>b>0) के रूप में निर्धारित है। यदि f(x) का न्यूनतम मान -1 है, तो a^{2} की मान ढूँढें। [वासेडा विश्वविद्यालय]'

'निम्नलिखित संकेतों को सरलीकृत करें।'

'अ और ब को स्थायी मान लें। निम्नलिखित असमीकरण को साबित करें।'

'लेट a>0, a≠1, b>0। 2 वाँ समीकरण 4x²+4xlogₐb+1=0 का 0<x<1/2 सीमा में केवल एक ही समाधान होने वाले सभी (a,b) बिंदुओ को निर्देशित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का हल करें, संयुक्त समीकरण। (3) में, इसे मानते हुए कि 0<x<1, 0<y<1।'

None

'उल्टा कार्य और उसका ग्राफ'

"g(x) की शर्तों से, g(x) यानी f'(x) के संकेत की जांच करें, और f(x) के वृद्धि और घटने का पत्र बनाएं।"

'पूरे वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित दो विभिन्न फ़ंक्शंस, f(x) और g(x), निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं।'

'जब n एक सकारात्मक पूर्णांक हो, तो I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx है। (1) I_{1} ढूंढें। (2) 2 \\leqq x \\leqq 3 के लिए, \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| के मानों की सीमा ढूंढें। साथ ही, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n} ढूंढें। (3) I_{n+1} को I_{n} के आधार पर व्यक्त करें। (4) \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n} ढूंढें। 〔क्वांसाई गाकुइन विश्वविद्यालय〕'

'अभ्यास लेट \ n \ को एक पूर्णांक होने दें। निम्नलिखित समीकरणों को सिद्ध करें। जहां, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\)।\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'स्थिर a के लिए मान की परिसीमा ज्ञात करें जिससे बिंदु (a, 0) से कर्व y=e^{-x^{2}} की तांजेंट रेखा खींची जा सके।'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'अंकित घन y = 2 x - x^{2} और x-अक्ष के द्वारा घेरे गए क्षेत्र का आयताकार जिसे y-अक्ष के चारों ओर एक बार घुमाकर प्राप्त किया गया ठोस का आयतन ढूंढें।'

'निम्नलिखित कार्यों का उल्ट कार्य खोजें। साथ ही, उनके ग्राफ़ खींचें।'

"समीकरण f(x) का पूरक समीकरण g(x) को लेना है। जब f(1)=2, f'(1)=2 है, तो g(2) और g'(2) के मान की गणना करें।"

'सिद्ध करें कि \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n एक प्राकृतिक संख्या है, C एक समांतर स्थिर ) \\)।'

"जब f(x) एक दो बार विभाज्य समीकरण है, तो f' (\\tan x) और f''(\\tan x) का उपयोग करके \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) का वर्णन करें।"

'समाधान फ़ंक्शन f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (k एक स्थायी है) के साथ कीजिए: (1) x=-2 पर f(x) का स्थायी अधिकतम/न्यूनतम होने पर k का मान खोजें। (2) f(x) के लिए संभावित मानों की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विभेदन करें। यहां, (6) में a एक स्थिर मान है।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

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'निश्चित संख्या a के मान का रेंज ढूंढें ताकि बिंदु (a, 0) से कर्व y=xe^x को छूत सके।'

'अपरिनिर्धारित निरक्षित करें \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \।'

'अभ्यास करें कि n एक प्राकृतिक संख्या है। निम्नलिखित समीकरणों का n वां विभिन्नक का परिनाम निकालें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को साबित करने का अभ्यास करें:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'प्राकृतिक संख्या n का उपयोग करके, समीकरण y=(1-7x)^{-1} की एनथ परिवर्तनीय y^{(n)} को ढूंढें।'

'f(x) का वह हिस्सा ढूंढें जो 3/1x3 + 2log|x| के बराबर है।'

'समष्टि\n$n$ 2 या उससे अधिक प्राकृतिक संख्या है। समीकरण \n$y=e^{x}$\n(1) और $y=e^{nx}-1$\n(2) के बारे में \n54 \n(1) (1) और (2) के ग्राफ़ पहले चरण में केवल एक समकोण पर पाए जाने का सिद्धान्त स्थापित करें। \n(2) (1) में प्राप्त समकोण की निर्धारित निर्देशिका है $(a_{n}, b_{n})$। $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$ और $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$ का पता लगाएं। \n(3) पहले चरण में (1) और (2) के ग्राफ़ों की और $y$ अक्ष के द्वारा घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल को $S_{n}$ कहें। इस समय $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$ निकालें।'

'समाधान f(x)=a e^{2 x}(जहां a एक स्थायी है), करने के लिए समीकरण y=f(x) पर बिंदु (b, f(b)) पर तांजेंट रेखा y=x है और (3, 15) से गुजरती है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

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'फ़ंक्शन f(x)=e^(kx)/(x²+1) (यहाँ k एक स्थिर मान है) के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।'

'सिद्ध करें कि समीकरण f(x) = ax + xcosx - 2sinx का केवल एक अत्यंतिक बिंदु है जो π/2 और π के बीच है। जहां -1 < a < 1।'

'निम्नलिखित अनिशित योगांकों को विकल्पित करें।'

'न को एक प्राकृतिक संख्या मानें। समीकरण y=\\frac{1}{1-7x} का n वां विभक्ति ढूंढें।'

'फ़ंक्शन f(x)=\\sqrt{x^{2}-1} के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। मान लें कि x>1। (1) x के लिए c का सूत्र व्यक्त करें जो \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x को संतोषप्रद करता है। (2) जब (1) सही हो, तो \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} और \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1} ढूंढें। [शिनशु विश्वविद्यालय के लगभग]'

"किसी डिफरेंशियल योग्य फ़ंक्शन $f(x)$ को ध्यान में रखते हुए एक संबंधित संबंध $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$ का समाधान ढूंढें। $f(x)$ की मानकी $f'(x)$ निकालें, तो $f'(x)= \\square$। साथ ही, क्योंकि $f(0)=1$, इसलिए $f(x)= \\square$ होगा।"

'(1) नंबर लाइन पर एक बाइंड 1 से आरंभ करके $v=t(t-1)(t-2)$ गति के साथ समय $t$ सेकंड के बाद चलने वाला बिंदु P है। 3 सेकंड के बाद P का स्थान A पर पर होगा और P द्वारा यात्रा की दूरी B है।\n\n(2) यदि गुरुत्वाकर्षण की त्वरण ग है। $t$ सेकंड के बाद एक उड़ान भर रॉकेट है, जिसे वर्तमान में $v_{0}$ की प्रारंभिक गति के साथ भूमि से सीधे ऊपर की दिशा में चलाया गया। $t$ सेकंड के बाद रॉकेट की गति और ऊचाई निकालें।'

'समीक्षा करें कि फ़ंक्शन y=(-x+1) e^{-x+1} का ग्राफ़ का पूर्वापेक्षित आकार क्या होगा। यहां lim _{x → ∞} x e^{-x}=0 दिया गया है।'

'जब सीधी रेखा y=x को वक्र y=a^x का स्पर्शक होती है, तो a का मान और स्पर्श बिंदु की निर्धारण करें। यहाँ, a>0 है और a 1 के बराबर नहीं है।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को सिद्ध करें, यहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। [टोहोकु विश्वविद्यालय]'

'एक जैसा करने द्वारा (1)'

'गणितीय और लघु से गणितीय फलनों की अवकल संख्याएं\n\a>0, a \\neq 1\ सही करें।\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'निम्नलिखित असमेकता को सिद्ध करें'

''

''

'n को 2 या उससे अधिक की प्राकृतिक संख्या माना जाए। फ़ंक्शन y=e^x ... (1), y=e^(nx)-1 ... (2) के बारे में विचार करें\n(1) प्रमाणित करें कि (1) और (2) के ग्राफिक्स केवल पहले क्वाड्रेंट में एक ही टिकाने को धारण करते हैं।\n(2) मान लेने के लिए कि (1) में प्राप्त होने वाली टिकाने की निर्देशिका (a_n, b_n) है। lim n → ∞ a_n और lim n → ∞ n a_n का मान निकालें।\n(3) पहले चतुर्थांक में, (1) और (2) के ग्राफ़ और y-अक्ष के द्वारा घेरे गए क्षेत्र को S_n के रूप में चिह्नित करें। lim n → ∞ n S_n का मान निकालें। [टोक्यो प्रौद्योगिकी संस्थान]'

'निम्नलिखित समाको मात्रक ढूंढें।'

'अभ्यास (2) प्राकृतिक संख्या n के लिए, सिद्ध करें कि (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} सत्य है।'

'जब क्यूर्व्स y = x^2 - 2x और y = log x + a के संरेखित होते हैं, तो स्थिर संख्या a का मान पाएं। इसके साथ ही, संरेखित बिंदु पर संरेखा की समीकरण ढूंढें।'

''

'उदाहरण (1) को मिट्टीकरण करके बदलें और फिर समेकन करें।'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ एक पूर्णांक है जो 0 से अधिक है)। यह सिद्ध करें कि \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\)। यहाँ जहाँ \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \।'

'सभी वास्तविक संख्याओं पर व्याख्यात एक फ़ंक्शन y=f(x) दिया गया है, जो दो बार विभिन्न है और हमेशा f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x) को पूरा करता है, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) F(x)=e^x f(x) के रूप में एक फ़ंक्शन F(x) को परिभाषित करें, दिखाएं कि F’’(x)=-F(x)। (2) F’’(x)=-F(x) को पूरा करने वाला फ़ंक्शन F(x) {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} को एक स्थिर मान बनाएगा, और lim_{x -> ∞} f(x) ढूंढें। [कोची महिला विश्वविद्यालय]'

'समीकरण सिद्ध करें \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\)।'

'यदि प्रत्येक कोने वाले एक घन की एज लम्बाई ए है। प्रति सेकंड b की दर से बढ़ती है, तो t सेकंड के बाद क्यूब के आयतन को V करें, जहाँ V=(a+bt)^3। बढ़ने के बाद t सेकंड गुजरने के बाद क्यूब के आयतन की दर है?'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'इसलिए, वक्र y=log(x+2) पर बिंदु (t, log(t+2)) पर टैंजेंट का समीकरण है y-log(t+2)=1/(t+2)(x-t) जो की य=1/(t+2)x+log(t+2)-t/(t+2) पर सरल होता है। 2 टैंजेंट्स (1) और (2) बराबर होने की शर्त है कि e^s=1/(t+2) ...(3), -(s-1)e^s=log(t+2)-t/(t+2) <= (1), (2) की ढाल और y-अंतराल प्रत्येक बराबर हो। (3) से, t+2=1/e^s, इसलिए t=1/e^s-2। (4) में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर -(s-1)e^s=-s-e^s*(1/e^s-2), इसलिए (s+1)-(s+1)e^s=0, जिससे (s+1)(1-e^s)=0, इसलिए s=-1, e^s=1, सो s=0,-1। (1) में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर, टैंजेंट्स के आवश्यक समीकरण हैं s=0 के लिए y=x+1 s=-1 के लिए y=x/e+2/e।'

'नीचे दिए गए कर्व पर से टंगन्ट रेखा की समीकरण तथा संपर्क के बिंदु के संदर्भ में टंगेंट स्पर्शन की समीक्षा करें।'

None

'कृपया समीक्षा करें कि \\( x^{q}(q>0) \\) और \ e^{x} \ फ़ंक्शन का वृद्धि का गति तुलना करें।'

''

'उल्टा समाधान का डिफरेंशियल कोई पता करें।'

'फ़ंक्शन f(x) = x e^{-2x} के अत्यधिक मान और वक्र y=f(x) के ढलान से सम्बंधित अंक की स्थान अभिलेखित करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का वृद्धि और घटन का अध्ययन करें।'

'पूरे वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित दो विभाज्य समीकरण $f(x), g(x)$ निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करते हैं।'

'यहाँ a>0, b>0 और f(x)=log((x+a)/(b-x) है। प्रमाणित करें कि वक्र y=f(x) अपने बहुलक संकेत के बारे में सममित है।'

''

"यदि F(x) f(x) का अप्रिय समांतरी हो, तो निम्नलिखित स्थिति [1], [2] मान्य है। f'(x) खोजें, और 175f(x) की गणना करें। यहाँ दिया गया है कि x > 0। \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"

'कृपया फ़ंक्शन \ \\log x \ और \\( x^{p}(p>0) \\) का वृद्धि की दर का तुलन करें।'

'निम्नलिखित शर्तों के आधार पर f(x) की गणना करें'

'जब वास्तविक संख्याएं a, b 0 < a < b < 1 को संतोषपूर्वक करती हैं, तो 2^a - 2a/(a-1) और 2^b - 2b/(b-1) की तुलना करें।'

'क्षेत्र D उस चित्र में लाल रंग से भरे हिस्से है, इसलिए V1 = π∫1e a²(log x)² dx से [विस्तृत गणना छोड़ी गई] π(e-2)a² मिलता है। इसके अतिरिक्त, y= a log x से हमें log x = y/a मिलता है, इसलिए x = e^(y/a), इसलिए V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a। सभी गणनाओं को जोड़ने पर, हम अंततः पाते हैं π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a, क्योंकि a > 0 है, तो 2(e-2)a = e²+1, इसलिए a = (e²+1)/2(e-2)'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतरक का पता लगाएं।'

'प्रश्न (2) का उत्तर:'

'निम्नलिखित कर्व और रेखा सेगमेंट द्वारा बंद क्षेत्र S ढूंढें:'

'अभ्यास - निम्नलिखित समीकरणों में सबसे अधिक और कम से कम मान खोजें: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [कांसाई यूनिवर्सिटी के समान] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [नागोया सिटी यूनिवर्सिटी के समान]'

''

'वक्र C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t} के लिए\n(1) वक्र C की समीकरण x^{2}+1 x y- y^{2}=25 है।\n(2) \\frac{d y}{d x} को x और y के रूप में व्यक्त करें।\n(3) t= के लिए वक्र C पर बिंदु पर, \\frac{d y}{d x}=-2 है।'

'सिद्ध करें कि किसी भी वास्तव संख्या x के लिए, असमीकरण e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2) स्थिर है।'

'(1) अनिश्चित इंटीग्रल \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \ ढूंढें।'

'y = (x^2−1)e^x'

'यहाँ से g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2, हम g(2)=1 को प्राप्त करते हैं (1) से और g′(2)=1/f′(1)=1/2'

'हाइपरबोलों की विशेषताएं और उनके सामान्य आकार का वर्णन करें।'

'तीसरी शक्ति की समीकरण f(x)=x³+bx+c के लिए, g(f(x))=f(g(x)) को पूरा करने वाले सभी रैखिक समीकरण g(x) को ढूंढें।'

'लगातार $a>0, b$ को मस्तिष्क मान लें। वास्तविक संख्या $t$ के संबंध में समीकरण का परिक्षण करें'

'इनवर्स फ़ंक्शन खोजें।'

'मान मूल्य सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित का प्रमाण दें:\n\\nजब e^{-2}<a<b<1 हो, तो \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'निश्चित अंकगणित और पुनरावृत्ति संबंध 122 का विचार करें'

'स्थिर मान e को 5e लें और वृत्त 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 को C से संकेतित करें। e के मान को बदलते समय वृत्त C के बारे में निम्नलिखित कथनों में से कौन सही हैं?'

'निम्न अनिशित अंतरक का मान निकालें।'

None

'निम्नलिखित अनिशिष्ट अंटि-गुणितों को खोजें।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतःकलन (अनिशितिगत) का मूल्य निकालें। (1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों का उल्टा फ़ंक्शन खोजें और उनकी ग्राफ़ बनाएं।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन का विभेदन निकालें।'

'निम्नलिखित अनिश्चित रास्ते का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरणों का पता लगाएं।'

''

'जांचें कि क्या कार्य f(x) निरंतर है या अव्यवस्थित है। यहां, [x] वास्तविक संख्या x से अधिक नहीं होने वाली सबसे बड़ी पूर्णांक को दर्शाता है।'

'पूर्णांक PR n के लिए सिद्ध करें कि इस समीकरण का सत्यापन करें जब PR n 2 या इससे अधिक है। जहाँ, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \।'

'सिद्ध करें कि जब फ़ंक्शन y=log x होता है, तो y का nवाँ विलुप्ति (-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n है।'

'प्रश्न 99\n(1) x=e पर e^{1/e} का अधिकतम मान प्राप्त होता है'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

''

'कर्व y=log(log x) पर x=e^{2} पर स्पर्श रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'टेलर के सिद्धांत का उपयोग करके, तायलर प्रसारण f(x) = e^x का x = 0 के आसपास तीसरा क्रम दर्शाएं।'

'कृपया f(x)=1/x log(1+x) का विभेदन कीजिए।'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'कक्षा y=(3-x)e^{x} और x-अक्ष, और रेखा x=0, x=2 द्वारा घेरे गए क्षेत्र S का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतःकरण का पता लगाएं: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का विलोम निकालें।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतरक की मान्यता पता करें।'

'जब वास्तविक संख्याएं a, b, c, और d ad-bc≠0 को संतुष्ट करती हैं, कार्य f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d} के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। (1) f(x) का उल्ट कार्य f^{-1}(x) खोजें। (2) f^{-1}(x)=f(x) को पूरा करने और f(x)≠x होने वाले a, b, c, और d के बीच संबंध ढूंढें।'

''

"अंतराल $0<x<2\\pi$ में, जब $y'=0$ हो, हमें $\\sin x-1=0$ से $x=\\frac{\\pi}{2}$ मिलता है; और $2\\sin x+1=0$ से $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$ मिलता है। इसलिए, $y$ की वृद्धि और कमी का सारणी निम्नलिखित है।"

'अनिश्चित अंतरक को \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \ ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरण का विभेदन करें।'

'(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\) 。'

'दिए गए समीकरण का प्रतिलोम समीकरण ढूंढें और प्रतिलोम समीकरण की मौजूदगी की शर्तों की पुष्टि करें। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=\x0crac{a x+b}{c x+d} का प्रतिलोम खोजें। गुणाकार a d-b c \neq 0 की पुष्टि करें।'

'उस वास्तव संख्या x की श्रेणी खोजें जिसके लिए स्लिक यूल स्क्वायर {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n} कन्वर्ज होता है। साथ ही, उस समय पर सीमा मूल्य का पता लगाएं।'

'सिद्ध करें कि फ़ंक्शन f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) का ग्राफ़ परिवर्तन बिंदु के संबंध में सममित है।'

'सिद्ध करें कि यह समीकरण सत्य है जब n 2 से अधिक पूर्णांक है। जहाँ cos^0x=1 और tan^0x=1 हैं।'

'जब सतत समीकरण f(x) को पूरा करता है f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t, f(x) का पता लगाएं।'

'सूत्री अंकगणित (1) $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$ का मान निकालें।'

''

'निम्न अपूर्णक की मान निकालें।'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'सिद्ध करें कि असमीयता a^b > b^a e<a<b के लिए सत्य है।'

'निश्चित अंतरिक्ष \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \ का पता लगाएं।'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'-\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3} होता है, इसलिए \\ cos \\ theta \\ geqq 0 होता है'

'समीकरण f(x)=x^{1/x}(x>0) के अत्यधिक मान की खोज करें।'

'(6) प्रसिद्ध समान और सीमा के बारे में'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतिरिक्षों को खोजें।'

'प्राकृतिक संख्या n के लिए, S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1) का विचार करें।'

"(1) एक्सायम्पल y' = 3^x * log3 + 1\nक्योंकि 3^x > 0 और log 3 > 0 है, इसलिए y' हमेशा 0 से अधिक है।\nइसलिए, यह पूरे वास्तविक संख्याओं के सेट में बढ़ जाता है।"

'निम्नलिखित निश्चित अवकलयों का मान निकालें।'

'सिद्ध करें कि e^3 > 3^e।'

'इसलिए (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} का y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} है और (2) y=x^{x+1}(x>0) का y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1} है'

'निम्नलिखित कार्यों का विभेदन करें।'

'सकारात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, कक्ष y=e^{ax} को C माना। मूल से गुजरने वाली रेखा C पर बिंदु P में स्पर्श करती है। C, l और y-अक्ष द्वारा घेरे जाने वाले क्षेत्र को D कहा जाता है।'

'प्रसिद्ध समीकरण और सीमा के बारे में'

'निम्नलिखित दो फ़ंक्शन्स का उल्ट फ़ंक्शन खोजें। साथ ही, उनके ग्राफ़ को भी खींचें।\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'घातांकीय कार्य y=a^{x} और लघुतांकीय कार्य y=\\log_{a} x के परिमिति ग्राफ से समझा जा सकता है कि माख्य हैं।'

'अनिश्चित अंतर ढूंढें।'

'दिए गए कार्यों का प्रतिलोम कार्य खोजें।'

'आधुनिक उपभोक्ता समाज में, कस्टमाइज्ड उत्पादों की बजाय रेडी-मेड उत्पादों को ज्यादा क्यों चुना जाता है?'

'अनिश्चित फ़ंक्शन की अनिश्चित इंटीग्रल(2)(विशेष स्थानांतरण इंटीग्रल) की गणना करें'

'एक बिंदु पी कोआर्डिनेट तल पर चल रहा है जिसकी आवंटित रेखांकन (एक्स, वाई) दिया गया है एक्स = 6e^{t}, वाई = e^{3t} + 3e^{-t}, जहाँ t कोई भी वास्तव संख्या है।\n1. दिए गए समीकरण से t को हटाकर x और y को पूरा करने वाला समीकरण y = f(x) निकालें।\n2. पॉइंट पी का भाग में वृत्त की छवि को दिखाएं।\n3. समय t पर बिंदु पी की गति v खोजें।\n4. समय t = 0 से t = 3 तक बिंदु पी द्वारा चले गए दूरी का निर्धारण करें।'

'समाधान करें f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0) के लिए निम्नलिखित प्रश्नों का।'

'N को प्राकृतिक संख्या माना गया है, और कार्य f(x) को f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x) के रूप में परिभाषित किया गया है। (1) पूर्णांक m, n के लिए, \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x का मूल्य निकालें। (2) \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x का मूल्य निकालें।'

'उन वास्तविक संख्याओं की श्रेणी ढूंढें जिनके लिए दी गई अनुक्रम संपन्न है। साथ ही, उस समय सीमित मूल्य निर्धारित करें।'

'(1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C का अवकल'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'निम्न अनिशित मात्रांकन का पता लगाएं:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'निम्नलिखित अनिश्चित अंतकिंतों का पता लगाएं।'

''

'त्रिभुज असमता द्वारा'

'उदाहरण 121 अनिश्चित अंतर कायमांक प्रणाली (3) (एक ही रूप पाया जाता है)'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट ऐंशिकाएं पता करें:\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'

मानक 70 | परवलय का समानांतर स्थानांतरण (2)

परवलय $y=x^{2}+4x+5$ को कैसे स्थानांतरित किया जाए ताकि यह परवलय $y=x^{2}-6x+8$ के साथ मेल खाए?

परवलय $y=-2 x^{2}+4 x-4$ को $x$ अक्ष के बारे में प्रतिबिंबित करके, और फिर $x$ अक्ष दिशा में 8 इकाई और $y$ अक्ष दिशा में 4 इकाई स्थानांतरित करने के बाद प्राप्त होने वाले परवलय का समीकरण ज्ञात करें।