Fundamentos de Probabilidad - Variables Aleatorias

'Dado que la frecuencia relativa R sigue la misma distribución que la proporción de la muestra, R se aproxima a una distribución normal N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n) es decir, N(1/6, 5/36n). Por lo tanto, si definimos Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n)), Z se aproxima a una distribución N(0,1). Por lo tanto, \\[P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60) \\]\n\\[\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array} \\]\nPor lo tanto, el valor requerido es cuando n=500\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 \\]n=2000\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 \\]n=4500\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'Por favor, crea una tabla que describa la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.'

'Muestrear de una población seleccionando un ítem a la vez con reemplazo cada vez se conoce como muestreo con reemplazo. Por el contrario, continuar muestreando sin reemplazo después de seleccionar se conoce como muestreo sin reemplazo. Seleccionar aleatoriamente una muestra de tamaño n de una población, y asignar los valores de las variables en esos n elementos como X₁, X₂, ..., Xₙ. Al muestrear con reemplazo, se puede considerar como un experimento repetido de seleccionar aleatoriamente una muestra de tamaño 1 n veces. Por lo tanto, X₁, X₂, ..., Xₙ son variables aleatorias independientes que siguen cada una la distribución de la población.'

'Encuentra el punto correspondiente para z = 5.93 basado en la tabla dada.'

'¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de boletos ganadores dibujados antes de sacar dos boletos perdedores en una lotería donde hay n (n es un entero mayor o igual a 3) boletos, de los cuales 582 son boletos perdedores? '

'La tasa de apoyo del partido político A entre los votantes elegibles a nivel nacional es del 32%. Deja que la variable aleatoria Xk corresponda al valor de 1 si la k-ésima persona seleccionada al azar apoya al partido A, y 0 si no lo hace, de un total de 100 votantes muestreados al azar. Encuentra el valor esperado E(X̄) y la desviación estándar σ(X̄) de la media muestral X̄.'

'¿Cuál es la probabilidad p_{n+1} de que dos partículas estén en el mismo punto después de (n+1) segundos?'

'Cuando dos variables aleatorias X e Y, el producto XY también es una variable aleatoria, y X e Y son independientes entre sí, se cumple el siguiente teorema. E(XY) = E(X)E(Y)。'

'Utilice símbolos para expresar la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor mayor o igual a a y menor o igual a b.'

'Ejemplo 67 Proporción de Muestra y Distribución Normal'

'Capítulo 2 Inferencia Estadística 8. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad 9. Transformación de Variables Aleatorias 10. Suma de Variables Aleatorias y Esperanza 11. Distribución Binomial 12. Distribución Normal 13. Población y Muestra, Media Muestral y su distribución 14. Estimación 15. Prueba de Hipótesis'

'Cuando se lanza un dado n veces, sea R la frecuencia relativa de obtener un 1. Encuentra el valor de P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) para n=500, 2000, y 4500.'

'¿Qué es una variable aleatoria continua?'

'Transformación de variables aleatorias\nX es una variable aleatoria, a y b son constantes.\nCuando Y=aX+b\nE(Y)=aE(X)+b\nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'Supongamos que la distribución conjunta de dos variables aleatorias X e Y se da de la siguiente manera:'

'Para dos variables aleatorias X, Y, si X e Y son independientes entre sí, entonces V(X+Y) = V(X) + V(Y).'

'Elija una de las dos definiciones de la distribución binomial negativa y calcule la probabilidad de la cantidad de ensayos X hasta que ocurra el evento A k veces, o la cantidad de fallos Y.'

'Al tomar una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población que sigue una distribución normal con una media poblacional de 58 y una desviación estándar poblacional de 12, calcule las siguientes probabilidades.'

'Supongamos que la probabilidad de que ocurra el evento A en una prueba sea p. En un experimento repetido de n pruebas, la probabilidad de que A ocurra exactamente r veces es ${}_n C_r p^r q^{n-r}$, donde q=1-p. En el análisis matemático A, estudiamos sobre las probabilidades en experimentos repetidos. En un experimento repetido, el número de veces que ocurre un evento se denota como X, convirtiendo a X en una variable aleatoria. Profundicemos en esto.'

'Dado que el tamaño de la muestra n es 900, el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional m es X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))'

'Calcular el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional m.'

'El rango de la variable aleatoria X es 0 ≤ X ≤ 1, y su función de densidad de probabilidad es f(x)=a(2-x). Donde a es una constante positiva.\n(1) Encuentra el valor de a.\n(2) Encuentra el valor esperado E(X) y la varianza V(X) de la variable aleatoria X.'

'En el intervalo de confianza A <= m <= B, ¿qué efecto tendrá el intervalo de confianza del 99% E <= m <= F para la media de la población m obtenida de la misma muestra en comparación con A <= m <= B? Por favor seleccione una de las siguientes opciones:'

'Cuando se lanzan dos dados al mismo tiempo, vamos a llamar X al número más pequeño. Calcula lo siguiente: Si salen números iguales, toma ese número como X.'

'Arroje tres dados de tamaños grande, mediano y pequeño simultáneamente. Use los números en los dados grande, mediano y pequeño como los dígitos de las centenas, decenas y unidades, respectivamente, para crear un entero de tres dígitos. Encuentre los siguientes valores esperados:\n(1) Valor esperado de la suma de los dígitos\n(2) Valor esperado del entero de tres dígitos'

'Sea n un número natural mayor o igual a 8. De 1, 2, ..., n, selecciona aleatoriamente 6 números distintos y ordénalos de menor a mayor como X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6}.\n(1) Encuentra la probabilidad p_{n} de que X_3=5.\n(2) Encuentra el número natural n que maximiza p_n.'

'Juicio por prueba de hipótesis (2)'

'El punto P está inicialmente en el origen O en la recta numérica, y cada vez que se lanza un dado, si sale un número par, se mueve 3 unidades en la dirección positiva, y si sale un número impar, se mueve 2 unidades en la dirección negativa. Cuando se lanza el dado 10 veces, la probabilidad de que el punto P esté en el origen O es A. Además, cuando se lanza el dado 10 veces, la probabilidad de que la coordenada del punto P sea menor o igual a 19 es B.'

'La probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 6 lanzamientos es ${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$. La probabilidad de obtener todas las caras en 6 lanzamientos es $(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$. La suma de estas probabilidades es $\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$.'

'Se desea investigar la efectividad de un medicamento administrado para una enfermedad determinada. Suponiendo que la proporción de los juzgados como efectivos después de administrar el medicamento es del 33% al 63%. Seleccionando al azar n individuos de pacientes con la enfermedad, definiendo una variable aleatoria X_i como 1 si se observa la efectividad del medicamento en el i-ésimo paciente, y 0 en caso contrario.\n(1) Determinar la media y varianza de la media muestral \ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \.\n(2) Seleccionando al azar 400 individuos de pacientes con la enfermedad, se observó que 320 individuos tenían la efectividad del medicamento. Determinar el intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población, redondeando en el tercer decimal. Suponer que el tamaño de la muestra de 400 es suficientemente grande. [Universidad de Kyushu]'

'La tasa de aprobación del partido A entre los votantes de una ciudad determinada es del 64%. Cuando se seleccionan aleatoriamente 100 personas de los votantes de esta ciudad, vamos a definir una variable aleatoria X_k que asigna un valor de 1 si la k-ésima persona seleccionada apoya al partido A y 0 si no.'

'Al extraer muestras de tamaño 2 de la población {A, B, C, D}, enumere todas las muestras posibles en cada caso. (1) Con reemplazo (2) Sin reemplazo: [1] extraído consecutivamente [2] extraído simultáneamente (3) 1!'

'En una bolsa, hay 1 bola blanca, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Cuando se extraen 2 bolas de la bolsa sin reemplazo, sea X el número de bolas rojas extraídas e Y el número de bolas azules extraídas. Encuentra la distribución conjunta de X e Y.'

'Dadas las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias X e Y en la siguiente tabla, encuentra Var(3X+2Y) y Var(6X-4Y). Suponiendo que X e Y son independientes.'

'Considerando a todos los estudiantes de la Universidad P como la población, con una proporción de madres de 0.2 para personas del condado A, y un tamaño de muestra aleatorio de 400, la variable aleatoria X sigue una distribución binomial B(400,0.2). Por lo tanto, el valor esperado E(X) y la desviación estándar σ(X) de X son E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'Encuentra P(190 ≤ X ≤ 220).'

'Entre todos los estudiantes de la Universidad P, el 20% son de la prefectura de A. Sea X el número de residentes de la prefectura de A entre 400 estudiantes seleccionados al azar de la Universidad P. Encuentra el valor esperado y la desviación estándar de X.'

'Cuando se tira un dado de seis caras 360 veces, sea X el número de veces que sale 6. Determine la probabilidad de que X caiga dentro de los siguientes rangos. Suponga que √2 = 1.41.\n(1) 50 ≤ X ≤ 60\n(2) |X/360 - 1/6| ≤ 0.05'

'Supongamos una población de estudiantes donde la proporción de estudiantes que nunca han leído un libro es 0.5. En este caso, sea X la variable aleatoria que representa la cantidad de estudiantes que nunca han leído un libro en una muestra aleatoria de 100 estudiantes. ¿Qué distribución sigue X? Además, ¿cuál es la media (valor esperado) y la desviación estándar de X?'

'Se quiere investigar la efectividad de un medicamento administrado para una cierta enfermedad. Supongamos que la proporción de pacientes juzgados como tener un efecto después de recibir el medicamento es p. Seleccionar n pacientes con la enfermedad al azar, si se observa el efecto del medicamento en el i-ésimo paciente, entonces es 1, de lo contrario 0, definiendo la variable aleatoria Xi.'

'Se sabe que la proporción de niños recién nacidos a niñas en la ciudad A es igual. En un año en particular, al extraer al azar n individuos de los recién nacidos en la ciudad A, sea Xk la variable aleatoria que asigna un valor de 1 si el k-ésimo recién nacido es niño y 0 si es niña.'

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'Considera un juego en el que se lanza un dado, ganando 0 puntos por sacar 1 o 2, 1 punto por sacar 3, 4 o 5, y 100 puntos por sacar un 6. Sea X el residuo al dividir la puntuación total de 80 lanzamientos entre 100. Encuentra la probabilidad de que X sea menor o igual a 46. Dado que √5 = 2.24.'

'Hay una correlación positiva'

'La tabla a la derecha resume las puntuaciones de dos pruebas de matemáticas e inglés realizadas dos veces en una clase pequeña de 10 estudiantes, con un total de 100 puntos.'

"En el diagrama de dispersión a la derecha, 198 Ejercicio de Matemáticas 187 es un diagrama de dispersión de las calificaciones de un examen de 100 puntos en caracteres chinos y palabras en inglés en una clase de 30 personas. （1）Basándose en este diagrama de dispersión, determine si hay una relación de correlación entre las calificaciones de caracteres chinos y palabras en inglés. Si hay una correlación, indique si es positiva o negativa. （2）Basándose en este diagrama de dispersión, cree una tabla de distribución de frecuencia para las palabras en inglés. Sin embargo, las clases son '40 o más pero menos de 50', ..., '90 o más pero menos de 100'. Los puntos en el diagrama de dispersión están distribuidos hacia arriba y hacia la derecha en su conjunto. Cuente basándose en las líneas horizontales que aumentan de 10 en 10 puntos de palabras en inglés."

'El salto de esquí es un deporte en el que los atletas compiten en función de la distancia de su salto y la belleza de su postura en el aire. Los competidores deslizan por una pendiente y luego se lanzan al aire desde el borde de la misma. La distancia del salto (medida en metros) determina la puntuación X, mientras que la postura en el aire determina la puntuación Y. Consideremos 58 saltos en una competición específica.\n(1) Basándonos en los tres gráficos de dispersión en la Figura 1, selecciona las afirmaciones correctas:\n1. Existe una correlación positiva entre X e Y.\n2. El salto con la mayor velocidad V también tiene el mayor X.\n3. El salto con la mayor velocidad V también tiene el mayor Y.\n4. El salto con el menor Y no necesariamente tiene el menor X.\n5. Todos los saltos con X mayor o igual a 80 tienen una velocidad V de 93 o más.\n6. No hay saltos con Y mayor o igual a 55 y V mayor o igual a 94.'

'Configuración de variables aleatorias'

'Ejemplo 1. En un experimento de lanzar un dado una vez, el evento A: obtener un número impar, el evento B: obtener un número 4 o más alto, entonces A={1,3,5}, B={4,5,6}, por lo tanto A ∩ B={5} es impar y 4 o más alto. A ∪ B={1,3,4,5,6} es impar o 4 o más alto.'