Álgebra Fundamental - Expansión y Factorización de Expresiones

'El término general de la expansión es\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\ndonde \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(a) El coeficiente del término \ a^{3} b^{2} c \ es, cuando \ p=3, q=2, r=1 \,\n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(b) El coeficiente del término \ a^{4} c^{2} \ es, cuando \ p=4, q=0, r=2 \,\n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'Encuentra el coeficiente del término especificado en las siguientes expresiones de expansión.(1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [término constante]'

'Encuentra el término general y el coeficiente de los términos específicos para las siguientes expresiones:'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'Resolver las siguientes ecuaciones:'

'El término general de la expansión \\( (a+b+c)^{n} \\) es\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\ndonde \ p+q+r=n \'

'(2) (Solución 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) El término general de la expansión es $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$ donde $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$.\nEl término con $x^{4}$ ocurre cuando $q+2 r=4$, es decir, cuando $q=4-2r$.'

'Encuentra el término general de la siguiente secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Expandir los siguientes polinomios.'

'Símbolo de suma \ \\Sigma \, Propiedades de \ \\Sigma \\nSímbolo de suma \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\nLas constantes \ p, q \ en esta propiedad son independientes de \ k \.\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\nLas constantes \ c, r \ en las fórmulas de las sumas de secuencias son independientes de \ n \.\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \nEn particular \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'Problemas de aplicación del teorema binomial'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'(A + B)^2 + (A - B)^2'

'Simplifique la siguiente fracción continua:\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'Expandiendo y simplificando la ecuación obtenida en (3) (2) se obtiene: x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0. Al sustituir y = x^2 se obtiene x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0, lo que se simplifica a x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0. Por lo tanto, x = 0, -m, α, β. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que la parábola y = x^2 y el círculo obtenido en (2) A, B, O no tengan otros puntos comunes es que x = -m sea una raíz de la ecuación x(x^2 - mx - 1) = 0.'

'Factoriza las siguientes ecuaciones cuadráticas en el rango de números complejos:\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'Encuentra el residuo de P(x) = x³-4x²+x-7 cuando x = -2'

'(1) Dado que las soluciones son \ \\alpha, \eta \, entonces'

'Divide P(x) entre (x+1)^{2}(x-2), siendo el cociente Q(x) y el residuo R(x), entonces se cumple la siguiente ecuación.'

'Determine los valores de las constantes a, b, c y d para que la ecuación (x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6 se convierta en una identidad en términos de x e y.'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\undefined\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\Por lo tanto \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'Además, x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'Encuentra el coeficiente del término especificado en las siguientes expresiones expandidas.(1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'Encuentra el término general de la expansión.'

'Dado que $f(y)=y^{2}+y-a-9$, se puede observar que $-3<-\x0crac{1}{2}<3$ con respecto al eje. A partir de $f(3)>0$, tenemos que $a<3$ y a partir de $f(-3)>0$, tenemos que $a<-3$. Por lo tanto, podemos concluir que $-\x0crac{37}{4}<a<-3$.'

'Problema de práctica: Encuentra los coeficientes de x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p en la expansión de (x₁+x₂+...+xᵣ)^p.'

'Expandir (a+b)ⁿ usando el teorema binomial.'

'Matemáticas I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} &= \\triangle \\mathrm{OAP} - \\int_{0}^{1}(-3x^{2}+3)dx + 2y_{1} \\\\ &= \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p + 3 \\int_{0}^{1}(x^{2}-1)dx + 2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p + 3\\left[\\frac{x^{3}}{3}-x\\right]_{0}^{1} + (2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p - 2 + (2-p)^{3} \\\\ &= -p^{3} + 6p^{2} - \\frac{21}{2}p + 6 \\end{aligned}\\]'

'(2) Las soluciones de la ecuación dada son \ \\alpha, \eta \, por lo tanto'

'Ejercicio 79 libro 302 p.302 y=a x^(3)-2 x El cuadrado de la distancia entre el punto (t, a t^(3)-2 t) en el punto y el origen es t^(2)+(a t^(3)-2 t)^(2)=a^(2) t^(6)-4 a t^(4)+5 t^(2)'

'Muestre las condiciones bajo las cuales la ecuación anterior es igual a 0.'

'Para un número real t, considera dos puntos P(t, t^{2}) y Q(t+1, (t+1)^{2}).'

'(2) A partir de f(a)=f(a+1) obtenemos a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'Encuentre el coeficiente del término especificado en la expansión dada. (1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, término constante]'

'Una ecuación cúbica Q(x) con un coeficiente de 1 para 19x^{3} da un residuo de -1 al dividirse por x-1, y un residuo de 8 al dividirse por x-2.'

'Para la secuencia \ \\{a_{n}\\} \ donde la suma de los términos desde el primer término hasta el término n-ésimo está dada por \ S_{n}=2 n^{2}-n \, responde a las siguientes preguntas:\n1. Encuentra el término general \ a_{n} \.\n2. Encuentra la suma \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \.'

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'Resuelve las siguientes ecuaciones.'

'Comprueba si las siguientes ecuaciones son identidades:\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

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'Expandir cada término del lado izquierdo de la ecuación compleja para mostrar que se simplifica a la ecuación simple del lado derecho.\n(2), (3) Dado que tanto el lado izquierdo como el derecho son igualmente complejos, transformarlos respectivamente para mostrar que se convierten en la misma expresión.'

'Factoriza x⁴+2x²-8 como (x²+4)(x²-2)'

'En matemáticas, es decir, (α-1)(β-1)(γ-1)=0, por lo tanto, al menos uno de α, β, γ es 1.'

'Encuentra el residuo al dividir el polinomio x^2020 + x^2021 por el polinomio x^2 + x + 1.'

'(2) Sea t=x+1/x, demuestre por inducción matemática que x^n+1/x^n se convertirá en una ecuación de grado n de t.'

'Calcular los índices dados'

'Sea k un número real. Para la ecuación cúbica f(x)=x^{3}-kx^{2}-1, sean las tres raíces de la ecuación f(x)=0 α, β, γ. Sea g(x) una ecuación cúbica con un coeficiente de 1 para x^{3}, y sean las tres raíces de la ecuación g(x)=0 αβ, βγ, γα.\n(1) Expresar g(x) en términos de α, β, γ.\n(2) Encontrar los valores de k para los cuales las dos ecuaciones f(x)=0 y g(x)=0 tienen una solución en común.'

'En el libro de práctica 8 (página 35), si el coeficiente del término cúbico de P se denota como a, y b, c como constantes, entonces P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c).'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'300'

'Práctica 56 (1) (Primera mitad) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 También αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 Por lo tanto P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (Segunda mitad) [1] Cuando n=1, P_1=2, cuando n=2, P_2=6 Por lo tanto, para n=1,2, P_n es un número par que no es múltiplo de 4. [2] Suponiendo n=k, k+1, cuando n=k, k+1, P_n es un número par que no es múltiplo de 4.'

'Sea el primer término a, la diferencia común d, y sea la suma desde el primer término hasta el término n-ésimo S_{n}. Se sabe que S_{5}=125 y S_{10}=500, por lo tanto 1/2・5{2a+(5-1)d}=125 y 1/2・10{2a+(10-1)d}=500. Por lo tanto, tenemos a+2d=25 ... (1), 2a+9d=100 ... (2). La solución de las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente da a=5, d=10'

'Para el polinomio f(x)=x^{4}-x^{2}+1, responda las siguientes preguntas.'

'Determina el valor de x, un número real, para que (1 + xi)(3 - i) sea (1) un número real o (2) un número imaginario puro.'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) El término general de la expansión de $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$ es $_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$. El término $x^{4} y^{3}$ es cuando $r=3$, y su coeficiente es'

'Expandir las siguientes expresiones: (a+b)³ y (a-b)³'

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'Determine los valores de las constantes a, b y c, para que la ecuación sea una identidad respecto a x.'

'Encuentra los coeficientes de los términos a^{3} b^{2} c y a^{4} c^{2} en la expansión de (a+2b+3c)^{6}.'

'La secuencia {P_{n}} está definida de la siguiente manera.'

'Por favor, enumere tres funciones básicas de la versión digital de los libros de referencia de estilo de gráficos.'

'Prueba de progresión aritmética'

'Practica, factoriza las siguientes expresiones.'

'¿Para que P pueda ser factorizado como un producto de ecuaciones lineales en x e y, α y β no deben ser ecuaciones lineales en y?'

'Expandir las siguientes expresiones. (1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'Usando el teorema binomial, demuestra la siguiente ecuación.'

'Dado que el vértice de la parábola y=x^2+bx+c yace en la recta y=x, podemos establecer las coordenadas del vértice como (k, k). Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y=(x-k)^2+k, es decir y=x^2-2kx+k^2+k. Las coordenadas x de los puntos de intersección de la parábola (1) y la parábola y=-x^2+4 son las soluciones reales de 2x^2-2kx+k^2+k-4=0, donde (1) y (2) tienen dos puntos de intersección distintos, por lo que sea D el discriminante de (3) entonces D>0. Calculando D/4=(-k)^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8, por lo tanto -k^{2}-2k+8>0, lo que implica k^{2}+2k-8<0, resolviendo lo cual da -4<k<2. En este caso, llamemos a las coordenadas x de los dos puntos de intersección α, β (α<β), por lo tanto α y β son soluciones de (3), entonces α+β=k y αβ=(k^{2}+k-4)/2. Por lo tanto, (β-α)^{2}=(α+β)^{2}-4αβ=k^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8=-(k+1)^{2}+9.'

'Considerando el caso cuando en matemáticas B 329 n=k+2'

'Por favor, demuestra la identidad de la función.'

'Transformación de las Relaciones de Recurrencia, Transformación matemática de la inducción de las Relaciones de Recurrencia\n- Términos adyacentes 2 \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) Para \ \\alpha \ que satisface \ \\alpha = p \\alpha + q \\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- Términos adyacentes 3 \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ con soluciones \ \\alpha, \eta \ entonces\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\nInducción Matemática\nEl procedimiento para demostrar la proposición \ P \ concerniente al número natural \ n \ que se cumple para todos los números naturales es el siguiente\n[1] Demostrar que \ P \ es verdadero cuando \ n=1 \.\n[2] Suponiendo que \ P \ es verdadero para \ n=k \, demostrar que también es verdad para \ n=k+1 \.'

'(3) Supongamos que existen números reales p, q, r, s, t, u que satisfacen la ecuación x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u). Al expandir el lado derecho, el coeficiente de x^{2 es p s, por lo que al comparar los coeficientes de x^{2 en ambos lados se obtiene p s=1. Por lo tanto, debe cumplirse que p no es igual a 0 y s no es igual a 0.'

'Sea a una constante real y consideremos dos círculos C1: x^{2}+y^{2}=4 y C2: x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0'

'Factoriza la siguiente expresión.'

'Encuentra el residuo al dividir el polinomio $P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$ por las siguientes expresiones lineales: (a) $x+1$ (b) $2 x-1$'

'Utilice el teorema del factor para factorizar las siguientes ecuaciones.'

'Por favor, encuentre los coeficientes de la siguiente expresión.(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'Expansión 51: Factorización de una expresión cuadrática de 2 términos (usando la fórmula de las raíces)'

'División Sintética\nConsidere el polinomio cúbico $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ dividido por el polinomio lineal $x-k$ resultando en un cociente $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ y un residuo $R$.\nLos coeficientes $l, m, n$ de este cociente y el residuo $R$ también se pueden obtener mediante un método llamado división sintética.\n\nDemostración Dado que la ecuación de división $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ se cumple\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\nEsta ecuación es una identidad con respecto a $x$.\nExpandiendo y simplificando el lado derecho\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\nComparando coeficientes en ambos lados\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\nPor lo tanto\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'Encuentra el coeficiente de un término con una expansión'

'Verifique si las siguientes ecuaciones son identidades.'

'Sea k una constante. Encuentra el valor de k cuando el coeficiente del término a^{2}bc^{2} en la expansión de (a+kb+c)^{5} es 60. Además, encuentra el coeficiente del término ac^{4} en este punto.'

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'Factoriza la siguiente expresión.'

'Determinación de coeficientes de identidad (1)...Método de comparación de coeficientes'

'[7!/(3!2!2!)]'

'Expande (a+b)^{4} usando el teorema del binomio y encuentra los coeficientes de cada término.'

'Sea {a_{n}} la secuencia: 1, 3, 8, 19, 42, 89, y sea {b_{n}} sus diferencias. Si las diferencias de la secuencia {b_{n}} forman una secuencia geométrica,\n(1) Encuentra el término general de la secuencia {b_{n}}.\n(2) Encuentra el término general de la secuencia {a_{n}}. Ejemplo básico 19'

'Usando el teorema binomial, encuentra la forma expandida de las siguientes expresiones.'

'Encuentra el coeficiente del término [x^{3} y^{2} z] en la expansión de la siguiente expresión.'

'Para que la ecuación $x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$ sea una identidad para todo $x$, determine los valores de las constantes $a, b, c$.'

'Determina los valores de las constantes a y b para que los siguientes polinomios sean divisibles por las expresiones dadas:'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Descomposición en fracciones parciales'

'Lección 61: Resolución de ecuaciones de grado superior (1) - Uso de la factorización'

'Encuentre el coeficiente del término dentro de [ ] en la expresión expandida.'

'En la factorización de polinomios de grado superior, encontramos el entero k que satisface P(k) = 0, y luego utilizamos el teorema del factor. Aquí nos enfocaremos en cómo encontrar el entero k que satisface P(k) = 0.'

'¿Cuál es el coeficiente de la expansión de (a+b+c)^{n}?'

'Encuentra el coeficiente del término [ ] en la expresión expandida.'

'Encuentra los polinomios A y B que satisfacen las siguientes condiciones:'

'Básico 45: Factorización de una ecuación cuadrática en el ámbito de los números complejos'

'Encuentra el coeficiente de [a b^{2} c^{2}] en la forma expandida de (a+b+c)^{5}.'

'Teorema del binomio'

'Verificar si las siguientes ecuaciones son identidades.'

'En Matemáticas I, aprendimos sobre la factorización y cómo usarla para resolver ecuaciones cuadráticas. Aquí, consideraremos métodos para resolver ecuaciones de grado 3 o superior utilizando el teorema del factor.'

'Si las dos soluciones de la ecuación cuadrática $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ son $\\alpha$ y $\eta$, encuentra los valores de las siguientes expresiones. (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'Transforma x^2+1/(x^2-1) en 4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4 y considera esto.'

'Expanda (a+b)^4 utilizando el teorema del binomio.'

'Determina los valores de las constantes a, b y c para que las siguientes ecuaciones sean una identidad en términos de x: (1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1}(2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'Dado que B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5, encuentra A.'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'La coordenada x de los puntos de intersección entre la curva C y la recta l está dada por la ecuación x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0. El lado izquierdo se puede factorizar como x+2, por lo que al factorizarlo obtenemos (x+2)^{2}(x-2)=0, lo que da x=2,-2. Por lo tanto, una de las coordenadas x de los puntos en los que la curva C intersecta la recta l, excluyendo los puntos de tangencia, es 2.'

'Considere la secuencia {a_n} desde el primer término hasta el quinto término, para n=1,2,3,4, tenemos a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}.... para todos los números naturales n que satisfacen (1). En este caso, a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) se cumple. a_{1}=11, a_{2}=101, de (2), cuando n es E, a_{n} es un múltiplo de 11, y cuando a_{n} es un múltiplo de 11, n es F.'

'Dado A, Q, y R, ¿cómo encontrar B?'

'Expandir la siguiente expresión.'

'Factorice las siguientes ecuaciones cuadráticas en el rango de números complejos:\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'Sea {a_{n}} una secuencia, defina b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n}'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'Encuentra el coeficiente del término [ ] en la expresión expandida. 6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'Demuestra que la ecuación a^{2}-bc=b^{2}-ca es válida cuando a+b+c=0.'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'Utilizando las fórmulas de suma y producto'

'En Matemáticas I, trabajamos con expresiones cuadráticas. En Matemáticas II, vamos a trabajar con expresiones de grado superior como ecuaciones cúbicas. Por lo tanto, empecemos aprendiendo sobre la expansión y factorización de expresiones cúbicas.'

'Encuentra el coeficiente del término x^4 en la expansión.'

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'Expandir y factorizar un polinomio de tercer grado'

'Si las dos soluciones de la ecuación cuadrática 2x²-3x+5=0 son α y β, entonces ¿cuál es la ecuación cuadrática con soluciones α² y β²?'

'Factoriza la ecuación cuadrática de 512 yenes usando la fórmula para las soluciones.'

'Determine los valores de las constantes a y b para que la siguiente ecuación sea una identidad en términos de x:'

'Usando el teorema del binomio, encuentra la expansión de las siguientes expresiones.'

'Factoriza la siguiente ecuación: \\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\).'

'¿Cuál es el coeficiente de [x^3] en la expansión de las siguientes expresiones?'

'Cómo encontrar el término general a partir de una relación de recurrencia.\\nResuelve las siguientes relaciones de recurrencia para encontrar el término general de la secuencia:\\n\\n1. Tipo de secuencia aritmética\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ es una constante \\]）\\n\\n2. Tipo de secuencia geométrica\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ es una constante \\]）\\n\\n3. Tipo de secuencia de diferencias\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) es el término general de la secuencia de diferencias \\]）\\n\\nAdemás,\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ y \ q \ son constantes, donde \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）\\nen la forma de una relación de recurrencia, y encuentra el término general de la secuencia.'

'Básico 59: Factorización de polinomios de alto grado'

'Encuentra la suma de los coeficientes de los términos de x^2, x^4 y x^6 en la forma expandida de (1+x)(1-2x)^5.'

'Encuentra el coeficiente de x^{11} en la expansión de 15^4(1+x+x^2)^{8}.'

'Factoriza la siguiente expresión.'

'Encuentre el cociente y el residuo cuando A sea dividido por B en cada uno de los siguientes casos:'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Sea \ \\left\\{a_{n}\\right\\}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots \ una secuencia. Sea \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ su secuencia de diferencias. Cuando la secuencia de diferencias de \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ es una progresión geométrica: (1) Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \. (2) Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Encuentra la forma expandida'

'Expandir y factorizar la expresión dada'

'Cuando a=2, (x-2y+1)(x+y+1), cuando a=-5/2, (x-2y-2)(x+y-1/2)'

'ENTRENAMIENTO 13 Encuentra la suma de las siguientes progresiones geométricas. (1) Primer término 4, razón común 1/2, número de términos 7 (2) Secuencia 3, -3, 3, -3, ..., número de términos n (3) Secuencia 18, -6, 2, ..., número de términos n'

'Encuentra el término general de la sucesión armónica {an}, donde el 2do término es 1 y el 5to término es 1/13.'

'Encontremos las soluciones de la ecuación x^4 + 8x^3 + 20x^2 + 16x - 12 = 0.'

'Además de agitar, menciona dos métodos para aumentar la velocidad de disolución de un sólido en agua sin cambiar la cantidad de agua y sólido.'

'La 【Figura 1】 muestra un diagrama de asientos de un aula. Hay un total de 9 asientos, y todos los estudiantes se sientan mirando hacia la pizarra. Para evitar que los estudiantes se sienten uno al lado del otro en frente, atrás, izquierda y derecha, los asientos se asignan de acuerdo. Por ejemplo, al numerar los asientos, si un estudiante se sienta en el Asiento 1, los demás estudiantes no pueden sentarse en los Asientos 2 y 4. Responde a las siguientes preguntas: (1) Cuando A, B, C, D, E, 5 estudiantes se sientan, ¿cuántas formas hay de asignar los asientos? (2) Cuando A, B, C, D, 4 estudiantes se sientan, ¿cuántas formas hay de asignar los asientos? (3) Cuando A, B, C, 3 estudiantes se sientan, ¿cuántas formas hay de asignar los asientos?'

'Encuentra la suma de 1+x+x^2+⋯+x^n.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Empieza por la meta de ser la persona que deseas ser.'

'Para la secuencia {an}, responda las siguientes preguntas: (1) Encuentre el término general de la secuencia {an^2 + bn^2}. También encuentre lim_{n -> ∞} (an^2 + bn^2). (2) Demuestre que lim_{n -> ∞} an = lim_{n -> ∞} bn = 0. Además, encuentre ∑_{n=1}^{∞} an, ∑_{n=1}^{∞} bn.'

'Valor aproximado y expresión aproximada'

'(Ejemplo) 5) Cuando x^2 = y^2 + 8'

'Encuentra el número de permutaciones que se pueden formar tomando cualquier combinación de 4 letras de la palabra matemáticas.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'¿Cuántas permutaciones que contienen tanto AA como OO hay en todas las permutaciones de los 8 caracteres de PR NAGOYAJO, y cuántas permutaciones no tienen los mismos caracteres adyacentes entre sí?'

'Factoriza las siguientes ecuaciones:'

'Calcular la siguiente expresión.'

"La cantidad de formas de dividir 4 A's, 5 B's y 2 C's en grupos es C_9^5 × C_4^2. Además, dado que no hay distinción entre los dos grupos de 2 personas cada uno, el número total de formas de división es"

'2 x^{2}-6 x+4'

'La cantidad de formas de elegir 3 estudiantes para poner en A es C_9^3'

'Completa el cuadrado para 3x^2 - 5x + 1.'

'19 (1) \\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2) \\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'Simplifique los términos semejantes de los polinomios dados. Además, identifique el grado y término constante al centrarse en los caracteres dentro de [ ].'

'Expandir la siguiente expresión.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'Factoriza la siguiente expresión: $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.'

'Factoriza la siguiente expresión.'

'Por lo tanto, el número de permutaciones requeridas es\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (formas) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'Factoriza la siguiente expresión.\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'Simplificar polinomio'

'Calcular la siguiente expresión.'

'Responda a las siguientes preguntas sobre subconjuntos de números reales.'

'Factoriza la siguiente expresión: $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'Factoriza las siguientes expresiones. (1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'Simplifique las siguientes expresiones en orden descendente de potencias de x.'

'Expandir la siguiente expresión.'

'Factoriza las siguientes expresiones:\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'Expandir la siguiente expresión: (4)((3 a-b)(9 a^{2}+3 a b+b^{2})).'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Expandir la expresión (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) y encontrar el coeficiente de xyz.'

'¿Cuál es el número total de permutaciones para la cadena dada?'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'Por favor completa el cuadrado para {1}/{3}x^{2}+2x+1.'

'Fórmulas de expansión'

'¿Cuántos términos se forman al desarrollar la expresión (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y)?'

'Calcula la siguiente expresión.'

'Expandir el producto de polinomios siempre se puede hacer utilizando repetidamente la propiedad distributiva, incluso para expresiones complejas. Sin embargo, la factorización a menudo puede conducir a callejones sin salida si se realizan cálculos sin considerar los pasos. Aquí, hemos compilado una lista de cómo priorizar la búsqueda de los pasos para la factorización. Se recomienda pensar en la factorización teniendo en cuenta estos puntos.'

'Dado A=5x³ -2x² +3x +4 y B=3x³ -5x² +3, calcular lo siguiente: (1) A+B (2) A-B'

'Por favor completa el cuadrado para -2 x^{2}+10 x-7.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza la siguiente ecuación: $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)\\)'

'Simplifica la siguiente expresión matemática.'

'Intersección y unión de 3 conjuntos\nLa intersección A∩B∩C es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, B y C.\nLa unión A∪B∪C es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de A, B y C.\nPropiedades de los 3 conjuntos\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(Extensión del Principio de Inclusión-Exclusión)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(Extensión de las Leyes de De Morgan)'

''

'Expanda la expresión (2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z) y encuentre el coeficiente de xyz.'

'(Ejemplo) Para la ecuación x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0)'

'Factoriza la siguiente expresión:\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

''

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Simplifique la expresión dada.'

'(5) Expandir la siguiente expresión: (x+y+z)(x-y-z)'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Teorema del binomio'

'Expresión simétrica'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Transforma las siguientes ecuaciones a la forma y=a(x-p)^{2}+q (completando el cuadrado).'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes ecuaciones.'

'12 (1) \\( (x-y)(2x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3x+y+2) \\) (3) \\( (x+2y-1)(3x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2y+z) \\)'

'Un rectángulo rodeado por 4 líneas se forma por una combinación de 2 líneas verticales y 2 horizontales, por lo que el número requerido es ${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{(unidades)}'

'¿Cuántos números enteros positivos de hasta 4 dígitos se pueden formar utilizando 6 números diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5)? Se permite el uso repetido del mismo número.'

'Entre la ciudad A y la ciudad B hay 5 rutas de autobús separadas. En los siguientes casos, ¿cuántas formas hay de hacer un viaje redondo de la ciudad A a la ciudad B?'

'Suponiendo que hay 4 cuentas blancas, 3 cuentas negras y 1 cuenta roja. Hay \ \\square \ formas de organizarlas en una fila, \ \\square \ formas de organizarlas en un círculo. Además, hay \ \\square \ formas de enhebrar estas cuentas y crear un lazo.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones:'

'Respuesta al Ejercicio 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'Factoriza $-3x^{3} + (9y + z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$ tanto como sea posible.'

'Calcula la siguiente expresión.'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'¿Cómo se llama a los números, letras y expresiones que se multiplican entre sí?'

'Fórmulas de expansión para expresiones cuadráticas'

''

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Expandir la siguiente expresión.'

''

'Organice las siguientes ecuaciones en orden descendente de potencias con respecto a x para (1), (2), y con respecto a a para (3).'

'Simplifique las siguientes expresiones en términos de x en orden descendente de potencias.'

'Completa el cuadrado para las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Dado el polinomio P=3x^3-3xy^2+x^2-y^2+ax+by.'

'La fórmula de expansión es (a^2) - (b^2)'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Expandir las siguientes expresiones usando las fórmulas de factorización.'

'La fórmula de expansión de (a-b)^{2} es a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'Factoriza las siguientes expresiones.'

"En la Sección 2, 'Multiplicación de polinomios', aprendimos cómo expandir expresiones en forma de productos de polinomios y representarlas como un único polinomio. Ahora, vamos a aprender el proceso inverso de expresar un polinomio como un monomio o un producto de polinomios."

'Expandir las siguientes expresiones.'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'Expandir la siguiente expresión: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)'

'La función que representa el gráfico cuando se mueve de forma simétrica con respecto al origen de la función y=f(x) es y=-f(-x). Si a y b son números reales, y m es el valor mínimo de la función f(x)=x^{2}+ax+b para 0 <= x <= 1, entonces expresa m en términos de a y b.'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'Transforma la ecuación dada y=-x^{2}+2 x'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Expandir la siguiente expresión: \n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'Por favor, calcula el siguiente polinomio por multiplicación: (x + 2)(x - 3)'

'Por favor, factorice los siguientes polinomios.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Determinar el grado y el coeficiente del monomio dado. Además, identificar el grado y el coeficiente de las letras dentro de los corchetes.'

'Completa el cuadrado para las siguientes ecuaciones cuadráticas'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Calcula la siguiente expresión: (4) (√3 + √5)²'

'¿De cuántas formas se pueden seleccionar un presidente, un vicepresidente y un tesorero de entre 7 miembros del club? Ten en cuenta que no se permite la doble función.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'A diferencia de antes, consideremos las permutaciones en las que se puede repetir el mismo elemento. Por ejemplo, si tomamos 3 caracteres de 2 tipos de caracteres A y B permitiendo duplicados, el número total de maneras de ordenarlos en una fila es 2^{3}.'

'Encuentra el valor de las siguientes expresiones.'

''

'Factoriza las siguientes expresiones.'

''

'(1) Expandir las siguientes expresiones.(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

''

'Factoriza las siguientes expresiones: (1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(A) -x^{2}+8x\n(1) -x^{2}+16\n(B) 2\n(I) 24'

'Factoriza las siguientes expresiones. (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'Transforma las expresiones dadas y encuentra los valores máximo y mínimo: (1) Transforma 3x^2 + 4y^2 y sustituye. (2) Encuentra los valores máximo y mínimo en función del rango de x e y. (3) Cuando x es un número real, transforma y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 y deja t = x^2 + 2x. Encuentra los valores máximo y mínimo.'

'En la expresión expandida, el coeficiente de x^5 es A, y el coeficiente de x^3 es B.'

'Divida a 10 estudiantes en varios grupos. En este caso, ¿cuántas formas hay de dividirlos en (1) 3 grupos de 2, 3 y 5 estudiantes cada uno. (2) 3 grupos de 3, 3 y 4 estudiantes cada uno. (3) 4 grupos de 2, 2, 3 y 3 estudiantes cada uno.'

''

'La ecuación de la parábola y=x^{2}+a x+b movida simétricamente respecto al origen se obtiene reemplazando x e y por -x y -y respectivamente, resultando en -y=(-x)^{2}+a(-x)+b, lo cual se simplifica a y=-x^{2}+a x-b. Moviendo la parábola y=-x^{2}+a x-b horizontalmente 3 unidades y verticalmente 6 unidades se obtiene la ecuación y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b, la cual se simplifica a y=-x^{2}+(a+6) x-3a-b-3. Dado que esto concuerda con y=-x^{2}+4 x-7, se tiene a+6=4 y -3a-b-3=-7, cuya solución es a=-2, b=10.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Permutación con los mismos elementos'

'Factoriza la siguiente expresión: (3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'(9) Factoriza la siguiente expresión: $(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'Factoriza las siguientes ecuaciones.'

'¿Cuántos términos se producirán al expandir (a+b+c)(x+y)(p+q)?'

'Cuando la parábola y=ax^{2}+bx+c se mueve de forma paralela al eje x por 2 unidades y de forma paralela al eje y por -1 unidad, se convierte en la parábola 33y=-2x^{2}+3. Encuentra los valores de los coeficientes a, b y c.'

'La fórmula de expansión de (a+b)^{2} es: a^{2} + 2ab + b^{2}'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones: (1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'¿De entre 4 estudiantes, cuántas formas hay de seleccionar un presidente y un vicepresidente? No se permite que el presidente y el vicepresidente ocupen ambos cargos.'

'Desarrolla la siguiente expresión: (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'

'(1) Expandir la expresión (x-2y+1)(x-2y-2)'

'Si hay 3 candidatos y 10 personas votan de forma anónima, ¿de cuántas formas se pueden dividir los votos?'

''

'1. (1) Grado 3, coeficiente $2$; $a$: Grado 1, coeficiente $2x^{2}$\n2. Grado 17, coeficiente $-\x0crac{1}{3}$; $y$: Grado 7, coeficiente $-\x0crac{1}{3}ab^{7}x^{2}$; $a$ y $b$: Grado 8, coeficiente $-\x0crac{1}{3}x^{2}y^{7}$'

'(3) x^{3}+2 x^{2}-9 x-18\nx^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x^{3}+2 x^{2})-(9 x+18)=x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)…'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Por favor, calcula el número de patrones para un tipo, tres tipos y cuatro tipos de incienso, y determina las posibilidades para cada escenario.'

'¿De cuántas formas se pueden dividir 12 personas de la siguiente manera?'

'Calcula la siguiente ecuación: (6)(4 + 2√3)(4 - 2√3)'

'Expandir la siguiente expresión.'

'(9) \\ ((x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2)'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes ecuaciones:'

'Factoriza las siguientes expresiones:'

'Explica el cálculo de la siguiente expresión: (a+b)^2 + (a-b)^2'

'Calcula la siguiente expresión: (5) (3√2 - √3)²'

'¿Cuál es la factorización de (4)(a-b)^{2}+c(b-a)?'

'Mueva simétricamente la parábola y=x^{2}+a x+b con respecto al origen, luego muévala paralelamente 3 unidades en la dirección del eje x y 6 unidades en la dirección del eje y, lo que resulta en la parábola y=-x^{2}+4 x-7. Encuentre los valores de a y b en este caso.'

'Completa el cuadrado para las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'¿De cuántas formas se puede dividir a 12 personas de la siguiente manera?'

'Matemáticas I'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Completa el cuadrado para las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'¿Cuántos términos se crean al expandir (a+b+c)(x+y)(p+q)?'

'Expande las siguientes expresiones.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Simplifique el polinomio y realice la adición y la sustracción.'

'Factoriza la siguiente ecuación.'

'Muestra la fórmula de expansión de (ax+b)(cx+d).'

'Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y=x^{2}-4 a x+4 a^{2}-4 a-3 b+9. Además, encuentra los números naturales a, b tales que la parábola no tenga ningún punto en común con el eje x.'

'Ejemplo básico 9, 10\nExpandir la siguiente expresión:\n(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'El producto de monomios se calcula utilizando la ley de los exponentes. Por ejemplo, 2 a b \\times 3 a^{2} b'

'Problema de agrupación con distinción y sin distinción'

'(1) $y=(x-1)^{2}-2[y=x^{2}-2 x-1]$\\n(2) $y=-(x-1)^{2}+2[y=-x^{2}+2 x+1]$'

'Expandir la siguiente expresión: (a+b+c)^2(a+b-c)^2'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'(5) x^{3}+x^{2}+3 x y-27 y^{3}+9 y^{2}\nx^{3}-27 y^{3}+{x²+3 x y+9 y²}=(x-3 y)[x²+x⋅3 y+(3 y)²]+x²+…'

'(1) \ x^{2}+x+\\frac{1}{4} \'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Dado que el coeficiente de 3^{3} x^{2} es -1, el gráfico pasa por el punto (1,1), y el vértice está en la línea y=x, encuentra la función cuadrática.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

''

'(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)'

''

'Cuando se divide la expresión A por x+2, el cociente es B y el resto es -5. Al dividir el cociente B por x+2, el cociente es 38x^2-4 y el resto es 2. Encuentra el resto cuando se divide la expresión A por (x+2)^2. Según las condiciones de la Universidad de Kanagawa: A=(x+2)B-5, B=(x+2)(x^2-4)+2. Sustituyendo (2) en (1) se obtiene: A=(x+2){(x+2)(x^2-4)+2}-5=(x+2)^2(x^2-4)+2(x+2)-5=(x+2)^2(x^2-4)+2x-1. Por lo tanto, cuando A se divide por la expresión cuadrática (x+2)^2, el resto es una ecuación lineal o una constante, por lo tanto, el resto requerido es 2x-1.'

'Encuentra el término general a_n de la secuencia {a_n} de manera que la suma S_n desde el primer término hasta el término n satisfaga la siguiente relación:'

''

'Sea la suma de los primeros n términos de esta progresión aritmética {an} igual a Sn. A partir de (1), a1 hasta a16 son números positivos, y a partir de a17 son números negativos; por lo tanto, Sn es máximo cuando n=16.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Calcular la suma: \\(\\sum_{l=5}^{9}(2+l^{2})\\)'

'Factoriza las siguientes expresiones: (1) $a^{3} b^{3}-b^{3} c^{3}$; (2) $(x+y)^{3}-(y+z)^{3}$; (3) $8 a^{3}-36 a^{2}+54 a-27$'

'Demuestra la siguiente ecuación.'

'Descomponga en factores las siguientes expresiones cuadráticas en el rango de los números complejos. (1) x^2 - 20x + 91 (2) x^2 - 4x - 3 (3) 3x^2 - 2x + 3'

'(2) \ x^{4}-16 x^{2}+16 \'

'\\(\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right)=(a x+b y+c z)^{2} \\)+(a y-b x)^{2}+(b z-c y)^{2}+(c x-a z)^{2} \\)'

'Dado que el polinomio f(x) dividido por (x-1)^2 da como cociente g(x) y como resto 3x-1, y que al dividir f(x) por 352(x-2) el resto es 6. Encuentra el resto al dividir g(x) por x-2, y el cociente de f(x) dividido por (x-1)(x-2) es ¿cuánto x-U?'

'Cuando el polinomio A se divide por x+2, el cociente es B y el residuo es -5. Cuando el cociente B se divide por x+2, el cociente es x^2-4 y el residuo es 2. Encuentra el residuo cuando el polinomio A se divide por (x+2)^2.'

'Usando la fórmula de expansión (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, factoriza x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}.'

'Expandir (x + 1)^6 utilizando el teorema del binomio da'

'Encuentra las siguientes sumas.'

'Problema: Encontrar el término general de la secuencia(1):\\egin{\overlineray}{l}a_{1}=1 \\\\a_{2}=3 a_{1}-1=3 \\cdot 1-1=2 \\\\a_{3}=3 a_{2}-1=3 \\cdot 2-1=5 \\\\a_{4}=3 a_{3}-1=3 \\cdot 5-1=14 \\\\a_{5}=3 a_{4}-1=3 \\cdot 14-1=41 \\end{\overlineray}\'

'El Teorema del Binomio es una fórmula en álgebra que se utiliza para expandir polinomios de la forma (a+b)^n. La expansión se refiere al proceso de multiplicar y sumar los términos del polinomio para obtener el resultado.'

'Encuentra el valor dentro de los corchetes en la expansión de las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'¿Cuál es la condición para que la expresión lineal x-k sea un factor del polinomio P(x)?'

'(1) Dado que P(-2)=-3, tenemos que P(x)=(x-1)(x+2)Q_{3}(x)+a(x+2)-3. (2) Dado que P(1)=4, tenemos que 3a-3=4, por lo tanto a=\\frac{7}{3}. Por lo tanto, el resto requerido es \\frac{7}{3}(x+2)-3=\\frac{7}{3}x+\\frac{5}{3}.'

'(a) Factorice las siguientes ecuaciones en el rango de números racionales:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(b) Factorice las siguientes ecuaciones en el rango de números reales:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(c) Factorice las siguientes ecuaciones en el rango de números complejos:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$'

'(3) \\( P(x)=\\{x(x+3)\\}\\{(x+1)(x+2)\\}-24 \\)'

'Factorice las siguientes expresiones en los rangos de (a) números racionales, (b) números reales y (c) números complejos:\n(1) x^{4}+2 x^{2}-15\n(2) 8 x^{3}-27'

'[Encuentra el coeficiente del término especificado en la expresión expandida]'

'Al sustituir x=-1 en x^{3}-x^{2}-5x-3 se obtiene (-1)^{3}-(-1)^{2}-5\\cdot(-1)-3=0 \\nPor lo tanto, x^{3}-x^{2}-5x-3 tiene un factor de x+1, lo que significa x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3) =(x+1)^{2}(x-3)'

'Encuentra el coeficiente de x^3 en el desarrollo de PR \\left(x^{2}-3 x+1\\right)^{10}.'

'Encuentra el término general de la siguiente secuencia: -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ...'

'Determinar el coeficiente de los términos especificados en la expresión expandida'

'(x+y)^{3} se expande a x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.'

"Sea PR una constante. Para la parábola $y=x^{2}+a x+3-a$, encuentre el camino del vértice a medida que 'a' varía para todos los valores reales. Al transformar la ecuación de la parábola, obtenemos $y=\\left(x+\\frac{a}{2}\\right)^{2}-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$. Sea P(x, y) el vértice de la parábola. Entonces $x=-\\frac{a}{2}$(1) y $y=-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$(1). De (1) se deduce que $a=-2 x$. Sustituyendo esto en (2), obtendremos $y=-\\frac{1}{4}(-2 x)^{2}-(-2 x)+3=-x^{2}+2 x+3$. Por lo tanto, el camino requerido es la parábola $y=-x^{2}+2 x+3$ con las coordenadas del vértice correspondientes $\\left(-\\frac{a}{2},-\\frac{a^{2}}{4}-a+3\\right)$."

'Utilizando la propiedad de que los números complejos conjugados también son soluciones, cuando la ecuación f(x)=0 tiene una solución imaginaria p+q i, entonces p-q i también es una solución.'

'Demuestra que al menos uno de x+y, y+z, z+x es 0'

'Factorice las siguientes ecuaciones cuadráticas en el rango de números complejos:\n(1) $15 x^{2}+14 x-8$\n(2) $x^{2}-2 x-2$\n(3) $x^{2}+2 x+3$'

'Encuentra los coeficientes de los términos en la expresión expandida'

'\\( x^{4}-16 =\\left(x^{2}-4\\right)\\left(x^{2}+4\\right) =(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right) \\)\\nPor lo tanto, la ecuación es\\n\\[(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right)=0\\]\\nAsí,\ x+2=0 \ o \ x-2=0 \ o \ x^{2}+4=0 \ por lo tanto\ x= \\pm 2, \\pm 2 i \'

'Encuentra el coeficiente del término a^2 b^3 c^2 en la expansión de la siguiente expresión: (a+b-2c)^7'

'Cuando S(x) se divide por (x+1)^{2}(x-3), el cociente se denota como Q_{1}(x).'

'(1) Encuentra el coeficiente de [x^9] en el desarrollo de (2x^3 - 3x)^5'

'Cuando la constante es k, encuentre el valor de k cuando la ecuación cuadrática $x^{2}+3xy+2y^{2}-3x-5y+k$ puede factorizarse en el producto de ecuaciones lineales en $x,y$. También, encuentre el resultado de la forma factorizada.'

'Sea la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ una progresión aritmética con primer término 1 y diferencia común 3. Definamos \ S_{n} \ como la suma de los productos de dos términos distintos de los primeros \ n \ términos de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \. Por ejemplo, \ S_{3}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3} \. Encuentra \ S_{10} \.'

'Encuentra los coeficientes de los términos especificados en las siguientes expansiones.'

'Encuentra la solución de la ecuación (x + 1)(x + 3) = x(9 - 2x).'

'Hay 5 cartas con números del 1 al 5 escritos en ellas. Cuando se extraen simultáneamente 2 cartas, encontrar el valor esperado de los números en las cartas extraídas (E(5 X^{2}+3)) y la varianza (V(3 X + 1)).'

'Expandir (a + b)^n utilizando el teorema binomial.'

'(1) Sean a, b constantes. Supongamos que el polinomio en x, x^{3}+ax+b es divisible por (x+1)^{2}. Encuentra los valores de a y b. (2) Sea n un número natural mayor que 2. Determina los valores de las constantes a, b cuando el polinomio x^{n}+ax+b es divisible por (x-1)^{2}.'

'Factoriza el siguiente polinomio: x^3 - 6x^2 + 11x - 6.'

''

'(1) (Ecuación) \\( = \\frac{x^{2}-1}{x+1} = \\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} \\)\ = x-1 \ (2) Y Ecuación \=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\\frac{2 x}{x^{2}-1}+\\frac{1}{x^{2}-1} \\\(=\\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\\frac{x-1}{x+1} \\)'

'Encuentra el coeficiente de x³ en el desarrollo de (1) [Instituto de Tecnología de Aichi]'

'¿Cuál es la condición para que la expresión lineal ax+b sea un factor del polinomio P(x)?'

'Para asegurar que la primera expresión sea divisible por la segunda expresión, determine los valores de las constantes a, b, c, d, e.'

'En la fórmula $S_n = \\frac{a\\left(r^n-1\\right)}{r-1}$, con $a=-1, r=2, n=10$, la suma es\n\\[ \\frac{-1 \\cdot\\left(2^{10}-1\\right)}{2-1} = -(1024-1) = -1023 \\]\nEn la fórmula $S_n = na$, con $n=10, a=3$, la suma es\n\ 10 \\cdot 3 = 30 \'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'La ecuación dada es la siguiente:'

'Encuentra los valores de s, t, p, q para los cuales la función f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d satisface \\[\\int_{-3}^{3} f(x) d x=s \\cdot f(p)+t \\cdot f(q)\\]. Además, asegúrate de que p ≤ q.'

'Expandir las siguientes ecuaciones cúbicas y factorizar: (a+b)^{3}, (a-b)^{3}, (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}), (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})'

'Factoriza las siguientes expresiones:\n2. (1) (a) Producto: (3 x-y)(9 x^{2}+3 x y+y^{2})\n(b) Producto: 9(a+2 b)(a^{2}-2 a b+4 b^{2})\n(c) Producto: (2 x-y z)(4 x^{2}+2 x y z+y^{2} z^{2})\n(2) (x+4)^{3}'

'Demuestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas.'

'(1) \\((x-7)(x-13)\\)\n(2) \\((x-2-\\sqrt{7})(x-2+\\sqrt{7})\\)\n(3) \\(3\\left(x-\\frac{1+2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\left(x-\\frac{1-2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\)'

'Sea a una constante negativa. Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x)=2x³-3(a+1)x²+6a x en el intervalo -2 ≤ x ≤ 2.'

'Complete el espacio en blanco para que la ecuación se cumpla: (x-1)^{3}-7(x-1)^{2}+17(x-1)-9 = 314'

'Encuentre a_n usando los siguientes pasos: (1) a_{n}=2+\\frac{3}{n+2} (2) a_{n}=\\frac{3 \\cdot 5^{n}+1}{5^{n}-1}'

'Calcular las siguientes expresiones: (1) \\( \\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)} \\) (2) \ \\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2} \'

'Cuando k es una constante, encuentra el valor de k para que la ecuación cuadrática x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k se pueda factorizar en el producto de ecuaciones lineales en x e y. Además, encuentra el resultado de la factorización en ese caso.'

'(1) \ a_{n}=5^{n+1}-20 \\cdot 3^{n-1} \'

'Determina los valores de las constantes a, b, c para que la siguiente ecuación sea cierta para x e y: (1) x^2 + a x y + b y^2 = (c x + y)(x - 4 y)'

'Coeficiente del término x y^2 z en (2)(2x-\\frac{1}{2}y+z)^4'

''

'(1) \\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} \\) (2) \\( (a-1)(a^{2}+a+1)=a^{3}-1^{3}=a^{3}-1 \\)'

'Encuentra la suma de la secuencia aritmética: \\( \\sum_{k=5}^{14}(2k-9) \\)'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

''

'Para la figura B_{n+1}, enfóquese en la columna más a la derecha. Como se muestra en la Figura 1, cuando se colocan baldosas verticalmente en la parte sobresaliente, la parte restante coincide con la figura A_{n+1}. En este caso, hay a_{n+1} formas de colocar las baldosas. Por otro lado, como se muestra en la Figura 2, al colocar las baldosas horizontalmente en la parte sobresaliente, hay 3 formas de hacerlo, y la parte restante coincide con la figura B_{n}. En este caso, hay b_{n} formas de colocar las baldosas. Por lo tanto, b_{n+1} = a_{n+1} + b_{n}, por lo que b_{2} = a_{2} + b_{1} = 11 + 4 = 15'

'Encuentra los coeficientes de las siguientes expresiones:\n1. (1) x^{3}-x^{2}+\x0crac{1}{3} x-\x0crac{1}{27}\n(2) -8 s^{3}+12 s^{2} t-6 s t^{2}+t^{3}\n(3) 27 x^{3}+8 y^{3}\n(4) -a^{3}+27 b^{3}\n(5) 64 x^{6}-48 x^{4} y^{2}+12 x^{2} y^{4}-y^{6}'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Reescribe el lado derecho como'

'Si g(x) = (x^3 - 2x^2 - 45x - 40) / (x - 8), encuentre la parte decimal de g(2020). Aquí, la parte decimal de un número real a se define como a - n donde n es el entero mayor o igual a a.'

'Encuentra el término general de las siguientes secuencias aritméticas.\n(a) 1, -\\frac{1}{2}, -2, -\\frac{7}{2},\n(b) p+1, 4, -p+7, -2p+10,\n(2) En una secuencia aritmética donde el noveno término es 26 y el décimo octavo término es 53, ¿qué término es 134 en la secuencia? Además, ¿cuál es el primer término que supera 1000?'

'Encuentra el término general de una secuencia aritmética. Deja que el primer término sea a y la diferencia común sea d.'

'Por favor factorice las siguientes expresiones. (1) $2(x-1)^{2}-11(x-1)+15$ (2) $x^{2}-y^{2}+4y-4$ (3) $x^{4}-10x^{2}+9$ (4) $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)-8$'

'Expandir la siguiente expresión.'

'Expandir la siguiente expresión.'

'La expresión dada (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 se factoriza en (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)'

'Expandir (x+y+1)(x^{2}-xy+y^{2}-x-y+1).'

'(2) \\[\egin{aligned}(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) & =(x-1)(x+1) \\times(x-2)(x+2) =(x^{2}-1) \\times(x^{2}-4) =(x^{2})^{2}-5 x^{2}+4 =x^{4}-5 x^{2}+4 \\]'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'\\[ (4) \\left(-2 a x^{3} y\\right)^{2}\\left(-3 a b^{2} x y^{3}\\right) =(-2)^{2} a^{2}\\left(x^{3}\\right)^{2} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 a^{2} x^{6} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 \\cdot(-3) a^{2+1} b^{2} x^{6+1} y^{2+3} =-12 a^{3} b^{2} x^{7} y^{5} \\]'

'Expande las siguientes expresiones.'

'Para números reales x, y que satisfacen |2x+y|+|2x-y|=4, el rango posible de 2x^2+xy-y^2 es 11 ≤ 2x^2+xy-y^2 ≤ 9.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza la siguiente ecuación.'

'Sea \u200b\u200ba un número real y b una constante positiva. Encuentra el valor mínimo m de la función f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|). Además, al cambiar el valor de a, traza un gráfico de a versus m para m.'

''

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'(1) Factoriza el lado izquierdo como'

'(1) Utilizando la identidad a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b), factorice a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c.'

'(3a-2b)^{2}'

'Factoriza las siguientes expresiones:\n(1) 3 x^{2}+10 x+3\n(2) 2 x^{2}-9 x+4\n(3) 6 x^{2}+x-1\n(4) 8 x^{2}-2 x y-3 y^{2}\n(5) 6 a^{2}-a b-12 b^{2}\n(6) 10 p^{2}-19 p q+6 q^{2}'

'¿Cuál es el valor de (4) (2√6+√3)(√6-4√3)?'

'Expanda la siguiente expresión.'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Factoriza la siguiente expresión (1) x^{2}-2 x y+y^{2}-x+y'

'Factoriza la expresión dada.'

'Al utilizar el método de la cruz para factorizar con la fórmula $a c x^{2}+(a d+b c) x+b d=(a x+b)(c x+d)$, se pueden encontrar los coeficientes $a, b, c, d$, lo cual es muy útil.'

'Factoriza la siguiente expresión.'

'Comenzando desde el hombro derecho'

'(3) \\ [(x-3 y+2 z)(x+3 y-2 z) = \\{x-(3 y-2 z)\\}\\{x+(3 y-2 z)\\} = x^{2}-(3 y-2 z)^{2} =x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}+12 y z]'

'Identifica el grado y término constante al enfocarte en la parte dentro de los [ ] en los siguientes polinomios:'

'Factoriza la siguiente expresión. (1) x^{6}-1'

'Comenzando desde la diagonal derecha, 6 a^{2}-a b-12 b^{2} =(2 a-3 b)(3 a+4 b)'

'Encuentra el valor de (5) (1-√7+√3)(1+√7+√3).'

'Expandir las siguientes expresiones: (1) (a+2)^{2} (2) (3 x-4 y)^{2} (3) (2 a+b)(2 a-b) (4) (x+3)(x-5) (5) (2 x+3)(3 x+4) (6) (4 x+y)(7 y-3 x)'

'La expansión de la expresión (2a-5b)^{3} es: 8a^{3}-60a^{2}b+150ab^{2}-125b^{3}'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Expandir la siguiente expresión.'

'Desde el hombro derecho colgando'

'(3) Encuentra la expresión cuya suma con 3x^2-2x+1 es x^2-x.\n(2) Por error, en lugar de sumar a^3+2a^2b-5ab^2+5b^3 a un polinomio específico, se restó resultando en -a^3-4a^2b+10ab^2-9b^3. Encuentra la respuesta correcta.'

''

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'Expandir la siguiente expresión: (x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)'

'Reglas de suma, resta y multiplicación de polinomios Sea A, B, C polinomios. Propiedad conmutativa A+B=B+A, AB=BA Propiedad asociativa (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) Propiedad distributiva A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Propiedad exponencial Sea m, n enteros positivos. 1. a^m a^n = a^(m+n) 2. (a^m)^n = a^(mn) (Referencia) a^0 = 1 3. (ab)^n = a^n b^n Fórmulas de expansión, factorización: 1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 3. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 4. (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd (Referencia) 5. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 6. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3'

'Factoriza las siguientes expresiones.'

'Calcular (x+b)(x+c)(b-c) + (x+c)(x+a)(c-a) + (x+a)(x+b)(a-b).'

'Práctica: Factoriza las siguientes expresiones.'

'\\[ (3) \\left(-2 a^{2} b\\right)^{3}\\left(3 a^{3} b^{2}\\right)^{2} =(-2)^{3}\\left(a^{2}\\right)^{3} b^{3} \\times 3^{2}\\left(a^{3}\\right)^{2}\\left(b^{2}\\right)^{2} =-8 a^{2 \\times 3} b^{3} \\times 9 a^{3 \\times 2} b^{2 \\times 2} =-8 a^{6} b^{3} \\times 9 a^{6} b^{4} =(-8) \\cdot 9 a^{6+6} b^{3+4} =-72 a^{12} b^{7} \\]'

'Factoriza la siguiente expresión.'

'Factoriza la siguiente expresión: (x+y+1)^{4}-(x+y)^{4}'

'Expandir las siguientes expresiones.'

'(3 x-4 y)(5 y+4 x)'

'Cuando a = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}, encuentra el valor de las siguientes expresiones.\n(1) a^{2}-a-1\n(2) a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1'

'(2)(2p-q)(4p^{2}+2pq+q^{2})'

'Factorice las siguientes expresiones:'

'Desde la faja derecha'