Álgebra Fundamental - Operaciones Algebraicas (Aritmética, Exponentes, Raíces)

'Por favor muestra las fórmulas de suma y producto.'

'Por favor, calcula la multiplicación de los siguientes números complejos:\n(a + bi) * (c + di)\ndonde a, b, c y d son números reales.'

'Encuentra el término general de las secuencias {a_{n}}, {b_{n}} definidas por las siguientes condiciones.'

'Por favor, resuelve el siguiente problema.'

'Calcula la expresión de la secuencia a_n de acuerdo a las siguientes reglas: condición inicial a_1=5, si es par entonces a_n/2, si es impar entonces a_n+1.'

'Por favor, calcula la siguiente expresión: (6) [\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'Describe las propiedades de una ecuación identidad.'

'Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, encuentra los siguientes valores.'

'Encuentra el término general de las secuencias {a_{n}}, {b_{n}} determinadas por las siguientes condiciones.'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'Por favor, calcula la siguiente expresión: (4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'Práctica: Si el residuo de dividir un polinomio P(x) por (x+1)^2 es 18x+9, y el residuo de dividir por x-2 es 30 con un residuo de 9, encuentra el residuo al dividir P(x) por (x+1)^2(x-2).'

'Encuentra el término general de la secuencia {a_{n}}, {b_{n}} determinada por las siguientes condiciones.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Demuestra operaciones básicas con fracciones.'

'Ejercicio Integral'

'Calcular las siguientes expresiones.'

''

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'Realice el siguiente cálculo utilizando la aritmética de números complejos: (3 + 4i) + (1 - 2i).'

'Práctica (1) Sea n un número natural. Encuentra el residuo cuando se divide x^n-3^n entre (x-3)^2. Además, encuentra el residuo cuando se divide 31x^n-3^n entre x^2-5x+6. En (2), encuentra el residuo cuando se divide 3x^100+2x^97+1 entre x^2+1.'

''

'Encuentra la suma y el producto del número complejo dado y su conjugado para cada uno.'

'Encuentra el término general de las secuencias \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definidas por las siguientes condiciones.\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'Muestra el cociente y el residuo de la división polinomial.'

'La secuencia {p a_{n}+q b_{n}} es una progresión aritmética, con el primer término siendo p a_{1}+q b_{1}=p a+q b, y la diferencia común siendo p d+q e'

'Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definida por las siguientes condiciones.'

'Encuentra el quinto término de la secuencia {a_n} definida por las siguientes condiciones:'

'Encuentra la suma de los primeros 30 términos de una secuencia aritmética con término inicial 100 y diferencia común -8.'

'Encuentra el término general de la secuencia $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$.'

'Encuentra la suma S de los términos del 15 al 30 de una secuencia aritmética con una diferencia común de 1, donde el décimo término es 1 y el décimo sexto término es 5.'

'Encuentra el resto de la ecuación dada sustituyendo el polinomio en x = i.'

'Usando la división larga, encuentra el cociente y el resto cuando las siguientes ecuaciones se dividen por la ecuación de primer grado dentro de [ ].'

'Calcular las siguientes expresiones:'

'Encuentra el cociente Q(x) y el residuo ax + b al dividir x^{2020} + x^{2021} entre x^2 + x + 1'

'Práctica 29: Resuelve el siguiente problema. Dado un polinomio $P(x)$, cuando se divide por $(x-1)(2x+1)$, el cociente es $Q(x)$ y el resto es $ax+b$. La siguiente ecuación se cumple: $P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b$.'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'Al sumar c a ambos lados de la ecuación a>b obtenemos a+c>b+c, al sumar b a ambos lados de la ecuación c>d obtenemos b+c>b+d, por lo tanto a+c > b+d'

'Por favor, calcula la suma de los siguientes números complejos:\n(a + bi) + (c + di)\ndonde a, b, c y d son números reales.'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Por favor, calcula la resta de los siguientes números complejos.\n(a + bi) - (c + di)\ndonde a, b, c, d son números reales.'

'Encuentra el residuo al dividir los siguientes polinomios por la expresión lineal en [ ].'

'Expresa las tallas relativas de los siguientes conjuntos de números usando símbolos de desigualdad. \ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'Práctica libro 104 p.208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ Por lo tanto, \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ y por lo tanto \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ Así, \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'Encuentre la suma de 22: 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones.'

'Expresa el orden de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdad.'

'Relación de cuadrados'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Propiedades de la raíz cúbica de 63'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'Para dos secuencias {an}, {bn} y una constante p'

'Encuentra un término a partir de un término general'

'En el ejemplo 108, A resolvió el problema estableciendo x+y=k. Es imposible calcular los valores máximos y mínimos de x+y para todos los pares (x, y) contenidos en la región D. Por lo tanto... al establecer x+y=k y tratar (x, y) como puntos en la línea y=-x+k. En consecuencia, cuando la línea y=-x+k pasa por puntos en la región D (= cuando comparte puntos con la región D), es suficiente considerar los valores máximos y mínimos de la intersección y k. Ahora, bajo las mismas condiciones, consideremos los valores máximos y mínimos de 2x+y. Estableciendo 2x+y=k y examinando el movimiento de la línea y=-2x+k, se encuentra que el valor mínimo de k es, de manera similar a A, cuando la línea (2) pasa por el origen O. Sin embargo, el valor máximo de k no es cuando la línea (2) pasa por el punto (2,2), sino cuando pasa por el punto (10/3, 0).'

'Encuentra el dígito de las decenas de B(134)(20+1)^{100}.'

'Usando métodos de demostración disponibles, demuestra que la siguiente ecuación es verdadera.'

'División de polinomios'

'Explique el método para la división de números complejos.'

'Relación entre solución y coeficientes'

'Encuentra los siguientes valores.'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'Dado que 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010, y \\log_{10} 3 = 0.4771. ¿Cuántos dígitos tiene el número 2011? Además, encuentra el dígito principal de 2^{2011}.'

'Encuentra el residuo al dividir el polinomio P(x)=2 x^{3}-3 x+1 por las siguientes expresiones lineales: (a) x-1 (b) 2 x+1'

'Media Armónica'

'Exponentes de números racionales\nPara \ a>0, m, n \ como enteros positivos, y \ r \ como un número racional positivo, entonces \\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'Dado que el residuo es 17 cuando el polinomio P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20 se divide por x-4, encuentra el valor de la constante a.'

'Las rectas del problema se pueden dibujar como 2 líneas mostradas en la figura, por lo que el ángulo entre la recta y la dirección positiva del eje x es \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { o } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Demuestra que la ecuación a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 es verdadera cuando a+b+c=0.'

'Encuentra el residuo al dividir el polinomio $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ entre $x-2$.'

'Determinar un polinomio usando una ecuación de división'

'Encuentra el término general de la secuencia que representa la suma desde el primer término hasta el término n-ésimo como Sn'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones. a1=1, an+1=an+n^2'

'Para x=3+2i e y=3-2i, encuentre los valores de x+y, xy, y x^2+y^2, respectivamente.'

'Muestre los métodos generales de suma, resta y multiplicación de números complejos.'

'Encuentra el valor de la raíz enésima.'

'Expresa las siguientes expresiones en la forma r*sin(θ+α), donde r>0, -π<α≤π.'

'Encuentra la suma S de una serie aritmética con el primer término 3, diferencia común -5, hasta el undécimo término.'

'Cuando el polinomio P(x)=3x^{3}-ax+b se divide por x-2, el resto es 24, y cuando se divide por x+2, el resto es -16. Encuentra los valores de las constantes a, b.'

'¡Domina la división de polinomios y conquista el ejemplo 7!'

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'Encuentre el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones. (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'Encuentra los valores de los números reales x e y que satisfacen las ecuaciones.'

'Usando la división larga, encuentra el cociente y el resto cuando el siguiente polinomio A es dividido por la ecuación lineal B.'

'Encuentra los valores de los números reales x e y que satisfacen la ecuación (2+i)(x+yi)=3-2i.'

'Suma y resta de fracciones'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'Cuando el polinomio P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4 se divide por x+1 y el residuo es -2, encuentre el valor de la constante a.'

'Encuentra el cociente Q y el residuo R cuando se divide el polinomio A por B. Además, expresa el resultado en la forma A=BQ+R. \n(1) A=4x^{3}-3x-9, B=2x+3 \n(2) A=1+2x^{2}+2x^{3}, B=1+2x'

'Encuentra la suma \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\).'

'La pendiente de la recta 2x+5y=3 es -2/5. Encuentra la pendiente de una recta perpendicular a esta recta, y deriva su ecuación.'

'Estándar 56: Determinación del resto de la división de polinomios'

'(4) Suma y resta\nCuando se suman o restan fracciones con denominadores diferentes, es necesario convertirlas para que tengan el mismo denominador antes de realizar el cálculo.\nEl proceso de igualar los denominadores de dos o más fracciones se llama hallar un denominador común.\nEjemplos:\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'Demuestra que la desigualdad se cumple.'

'Expresa las siguientes expresiones usando la notación ∑.'

'Lección 33: Suma, Resta y Multiplicación de Números Complejos'

'(1) Encuentra el residuo cuando el polinomio P(x) = 2x^3 - 3x + 1 es dividido por las siguientes expresiones lineales:\n(A) x-1\n(B) 2x+1\n(2) Si el residuo es 17 cuando el polinomio P(x) = 1/2x^3 + ax + a^2 - 20 es dividido por x-4, encuentra el valor de la constante a.\n(3) Dados que el residuo es -5 cuando el polinomio P(x) = x^3 + ax^2 + x + b es dividido por x+2, y el residuo es 20 cuando es dividido por x-3, encuentra los valores de las constantes a y b.'

'7 puntos x 3'

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'Elige la respuesta correcta de las siguientes opciones.'

'172 (1) \\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'En el plano complejo, hay un triángulo OAB con tres puntos O, A y B como vértices. Aquí, O es el origen. Sea P el centro de circunferencia del triángulo OAB. Si los números complejos representados por los puntos A, B y P son respectivamente α, β y z, y se da que αβ=z, entonces determine las condiciones que α debe cumplir e ilustre la forma descrita por el punto A(α) en el plano complejo.'

'Expresa las siguientes expresiones usando z y su conjugado z-barra: (1) a (2) b (3) a-b (4) a^2-b^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'Sean z y w números complejos tales que |z|=2,|w|=5. Si la parte real de z \x08ar{w} es 3, encuentra el valor de |z-w|.'

'Encuentra el término general del siguiente sistema de ecuaciones de recurrencia lineal: \\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\cos \\frac{5}{12}\\pi\\left(\\cos \\frac{7}{12}\\pi+i\\sin \\frac{7}{12}\\pi\\right)'

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'Para los vectores dados $\\ vec{a} = (11,23)$ y $\\ vec{b} = (-2,-3)$, ¿cuál es el valor de t, número real, que minimiza $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$? Además, encuentra el valor mínimo de $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$.'

'Un vector es un segmento de recta dirigido que va desde el punto A hasta el punto B. Un vector es una cantidad definida solo por su dirección y magnitud, denotada como a = AB. Responde las siguientes preguntas: 1. Encuentra la longitud del segmento de recta dirigido que representa la magnitud del vector a, |a| a. 2. Describe la dirección de ka cuando k > 0. 3. Explica las propiedades del vector cero 0.'

'Transforma las siguientes expresiones en una forma que no incluya sqrt.'

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'(1) Encuentra el valor de las siguientes expresiones cuando \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \:\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[Universidad de Osaka] Básico 25,113'

'Suma y resta de polinomios'

'Suma y resta de polinomios'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n(2)\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(A) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'En la carrera de velocidad en atletismo, el tiempo que se tarda en correr 100 metros (en adelante, tiempo) está relacionado con la distancia recorrida por paso (en adelante, zancada) y el número de pasos por segundo (en adelante, paso). La zancada y el paso se determinan mediante las siguientes ecuaciones.'

'Utilizando la ley de productos'

'Al sumar en lugar de restar la expresión -2x^{2}+5x-3 a un polinomio determinado, el resultado resultó ser -4x^{2}+13x-6. Encuentra la respuesta correcta.'

'Encuentra el número total de formas de organizar los números cuando hay 68 números, con 1 apareciendo 3 veces, 2 apareciendo 3 veces y 3 apareciendo 2 veces.'

'Permutación de números (basada en la condición del ordenamiento de números)'

'Considera la cantidad de formas de dividir un grupo de personas en grupos, asegurando que cada grupo tenga al menos una persona.'

'Utilización del concepto de (todo) - (no)'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'En lugar de restar de un polinomio (-2x^2+5x-3), por error se sumó la expresión, lo que resultó en -4x^2+13x-6. Encuentra la respuesta correcta.'

'Encuentra la expresión para restarle a (2) y obtener 8x^2-5xy+5y^2.'

''

'Muestra la propiedad conmutativa en la suma.'

'Número de cuadriláteros y combinaciones'

'116 4-√7/3'

'Combine términos semejantes en el polinomio dado. Identifique el grado y término constante al enfocarse en los caracteres en [ ].'

'Después de aprender sobre el manejo de expresiones que involucran valores absolutos, condiciones necesarias y suficientes, por favor intente el siguiente problema.'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

''

'Realiza los siguientes cálculos de polinomios siguiendo las reglas de suma, resta y multiplicación de polinomios:'

'¿De cuántas formas se pueden dividir 8 manzanas en cuatro bolsas etiquetadas como A, B, C y D, con la posibilidad de que algunas bolsas estén vacías?'

'Las preguntas que implican la suma, resta y multiplicación de polinomios a menudo surgen, donde se nos pide sumar, restar o encontrar el producto de diferentes polinomios. Profundicemos nuestro entendimiento a través de un ejemplo.'

'Determina los coeficientes y grados de los siguientes monomios. Además, analiza el significado de las letras dentro de los corchetes.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Calcular las siguientes expresiones cuando A=2x^{3} +3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3} -15x^{2} + 7x. (1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'Simplifique la siguiente expresión. Donde n es un número natural. (1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'Calcula las siguientes 18 expresiones.'

'Acostúmbrate a completar el cuadrado'

'Capítulo 2 Números reales, Desigualdades lineales: Cálculos relacionados con expresiones que contienen raíces cuadradas de 5'

'Calcular la suma y la resta de los polinomios A y B.'

'Combine los términos semejantes de (2x + 3x) para obtener 5x.'

'Diga el grado y coeficiente de los siguientes monomios. Además, al enfocarse en la letra dentro de los corchetes, diga el grado y coeficiente de esa letra.'

'Encuentra la suma A + B y la diferencia A - B de los polinomios A y B.'

'Estándar 5: Suma y resta de polinomios (2)'

'Capítulo 1: Cálculo de Ecuaciones - Suma y Resta de Polinomios 1'

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'Explique las propiedades básicas de los conjuntos A y B, y demuestre la Ley de De Morgan.'

'Cuando $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$, calcule las siguientes expresiones. (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$'

'Utilizando la ley de la suma.'

'(4) Multiplica cada lado de -1<y<3 por -2 para obtener -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'Realiza la multiplicación de monomios. Utiliza la ley de los exponentes.'

'Calcule la suma y la resta de los polinomios dados A y B.'

'Calcula la siguiente expresión: (8)(√6 + 2)(√3 - √2)'

'Usando las siguientes reglas de multiplicación, corrija las declaraciones incorrectas en la tabla.'

"Si se distinguen cinco fragancias de forma secuencial como teniendo las mismas marcas para el 1.º y el 4.º, y para el 2.º, 3.º y 5.º, se representa en el patrón de la derecha. Este patrón se llama 'Suma'. Hay un total de 52 patrones que representan la distinción de cinco fragancias. Cada uno de ellos se asocia con los nombres de los capítulos de El cuento de Genji, excluyendo 'Kiritsubo' y 'Yumeutsutsu'. Estos son conocidos como los patrones de incienso de Genji. Por favor, considera cuántos patrones existen cuando hay dos tipos de fragancias. ¿Cuántos patrones existen cuando las 5 fragancias se dividen en 3 y 2 respectivamente? También, considera el escenario de dividirlas en 4 y 1."

'Explique brevemente el concepto de valor absoluto.'

'Calcula las siguientes expresiones:'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'La práctica hace al maestro'

'Calcula la siguiente expresión: (2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'(1) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden dividir 8 jugos diferentes entre A y B, asegurando que cada uno reciba al menos 1 jugo? \n(2) ¿De cuántas maneras se pueden dividir 8 jugos diferentes en 2 grupos?'

'Calcula la siguiente expresión: (7)(√20 + √3)(√5 - √27)'

'Calcular expresiones que contienen raíces cuadradas. Calcular la siguiente expresión: \ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

''

'Realice la suma y resta de polinomios. Por ejemplo, calcule el siguiente problema.'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Utilizando la ley de productos.'

'Calcula la siguiente expresión: (3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'Simplifica la expresión utilizando las leyes de los índices.'

'¿Cuántas formas hay de que al lanzar tres dados de tamaños diferentes simultáneamente, todos muestren números impares?'

'Calcula las siguientes ecuaciones en formato vertical.'

'Evaluar las siguientes expresiones.'

'(1) ¿Cuántas formas hay de colocar a 10 personas en 2 habitaciones, A o B? También se permite que todos estén en la misma habitación.\n(2) ¿Cuántas formas hay de dividir a 10 personas en 2 grupos, A y B?\n(3) ¿Cuántas formas hay de dividir a 10 personas en 2 grupos?'

'Calcula la siguiente expresión: (1) 3√3 - 6√3 + 5√3'

'Explica el cálculo de la siguiente expresión: 500x z^3 por \\frac{1}{4} x^2 y^4 por \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'Considerando a 3 mujeres como un grupo, el número total de permutaciones circulares de 10 hombres y un grupo de mujeres es (11-1)!=10! maneras. En cualquier caso, la disposición de las 3 mujeres tiene 3! maneras. Por lo tanto, la probabilidad requerida es (10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22.'

'Hay 1 jade rojo, 2 jades azules, 2 jades amarillos y 2 jades blancos.\n(1) ¿Cuántas formas hay de colocar los 7 jades en forma circular?\n(2) Cuando se enhebran los 7 jades y se hacen pulseras, ¿cuántas pulseras diferentes se pueden crear?'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Comparación de potencias y raíces de potencias: Compare la magnitud de las siguientes potencias y raíces de potencias.'

'Encuentra S_n cuando n es par e impar: S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2) cuando n es par, S_{n}=-\x0crac{1}{2}(n+1)^{2} cuando n es impar'

'Para una serie geométrica \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ con una razón común de 2 y un término inicial de 1, encuentre la suma \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \.'

'Para la solución (II), reducir los grados como se hace en la solución (IV) también es un buen método.'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'Calcule las siguientes expresiones. (1) \ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2) \ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) Realiza los siguientes cálculos:\n\nAquí, $\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) Realiza el siguiente cálculo:\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3a+2}$'

'Determine los valores de las constantes a, b, c, d, e para que la primera expresión sea divisible por la segunda expresión.'

'Calcula las siguientes expresiones:'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

'(4) Calcular $\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones.\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'Calcula las siguientes expresiones y encuentra las soluciones:\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'Encuentra el cociente y el resto'

'Encuentra el valor de las siguientes expresiones:\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'Demostrar: (1) Demuestra que cuando a: b=c: d, la ecuación (a+c)(d+f)=(a+c+e)(b+d+f) es verdadera. (2) Demuestra que cuando a/b=c/d=e/f, la ecuación (a+c)/(b+d)=(a+c+e)/(b+d+f) es verdadera.'

'Encuentra el número que, al ser elevado al cuadrado, da como resultado 8i.'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'¿Qué debo hacer? Hanako: Dado que el residuo al dividir P(x) entre (x-1)^{2} es 2x+3, podemos expresarlo como s x^{2}+t x+u=. (i) Elija una expresión que encaje en el espacio en blanco de las siguientes opciones. (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) Determine los valores de s, t, u, de modo que s=, t=, u=. Rellene con los números correctos.'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Encuentra el residuo al dividir el polinomio dado por la ecuación lineal especificada. (1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"Si a < 0, b < 0, vamos a hacer a = -a', b = -b', donde a'> 0, b'> 0, entonces"

'Expresa las siguientes expresiones en la forma de r\\sin (\\theta+\\alpha), donde r>0, -\\pi<\\alpha\\leq\\pi.'

'Calcular los siguientes cálculos. Tenga en cuenta que a>0, b>0.'

'Encuentra los valores de b_n, c_n y a_n usando la siguiente serie de pasos: (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'Encuentra la suma de una serie geométrica con término inicial 1 y razón común 2, expresada como log₂(a₁) + log₂(a₂) + ... + log₂(aₙ).'

'Cuando un polinomio A se divide por el polinomio 2x^{2}-1, y el cociente es 2x-1 con un residuo de x-2, encuentra A.'

'(3) Utilizando la ley distributiva $(a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'Cuando el polinomio $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ se divide por $x^{2}+x+1$ y el resto es $-x+3$, encuentre los valores de las constantes $a, b$.'

'Encuentra el cociente y el residuo al dividir el polinomio $x^3-2x^2-45x-40$ entre el polinomio $x-8$.'

'Determina si la siguiente ecuación es una identidad.'

'Encuentra la suma y el producto del número complejo dado y su conjugado para cada uno de los siguientes:'

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'Sean dos números reales a, b positivos. Además, i es la unidad imaginaria.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Demostración de una ecuación con condiciones'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

''

'Elige la opción de 0 a 3 que coincida con A.'

'Reescribe los siguientes ángulos en términos de radianes y viceversa.'

'Calcular la siguiente expresión: (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'El beneficio máximo en ese momento es a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (millón de yenes)'

'Lanza una moneda una vez, obteniendo 1 punto por cara y 2 puntos por cruz. Repite este experimento n veces, divide la suma de puntos por 3, la probabilidad de que el resto sea 0 es a_{n}, la probabilidad de que el resto sea 1 es b_{n}, y la probabilidad de que el resto sea 2 es c_{n}. (1) Encuentra a_{1}, b_{1}, c_{1}. (2) Expresa a_{n+1} en términos de b_{n} y c_{n}. (3) Expresa a_{n+1} en términos de a_{n}. (4) Expresa a_{n} en términos de n.'

'Al lanzar al mismo tiempo 2 monedas de 50 yenes, 4 monedas de 100 yenes y 1 moneda de 500 yenes, calcula el valor esperado y la desviación estándar del total de monedas que salen cara.'

'Demuestra que la secuencia donde el término n-ésimo es 5n+1 es una secuencia aritmética, y encuentra su primer término y diferencia común.'

'Ejemplo básico 19: Identidad de ecuaciones fraccionarias (descomposición en fracciones parciales)'

'Ejemplo Básico 55 Evaluar el valor de un polinomio de grado superior (reduciendo el grado usando división)\nPara P(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2, responda las siguientes preguntas:\n(1) Demuestre que para x=-1+i se cumple x^{2}+2 x+2=0.\n(2) Encuentre el cociente y el residuo al dividir P(x) por x^{2}+2 x+2.\n(3) Encuentre el valor de P(-1+i).'

'¿Cuál es el resto cuando se divide el polinomio P(x) por la expresión lineal ax+b?'

'Encuentra el cociente y el residuo al dividir el polinomio A entre el polinomio B para los siguientes valores de x:'

'Demuestra que la ecuación a³(b-c) + b³(c-a) + c³(a-b) = 0 es verdadera cuando a+b+c=0.'

'Para esta división, la siguiente ecuación se cumple.'

'Expresa las relaciones de tamaño relativas de los siguientes conjuntos de números usando símbolos de desigualdad.'

'Muestra la suma y resta del número complejo z = a + bi.'

'Escoge 3 cartas de las 9 cartas con números del 1 al 9 escritos en ellas y arréngalas para formar un número de 3 dígitos.'

'(2) Relación entre el tamaño y el signo de la diferencia 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'Encuentra el término general de la secuencia {a_n} determinada por las siguientes condiciones.'

''

'Por favor, resuelva el problema usando la siguiente regla de exponentes: Regla de exponentes: a^{r} a^{s}=a^{r+s} Específicamente, cuando a es 3, r es 2, y s es 4, encuentre el valor de a^{r+s}.'

'Simplifique las siguientes fracciones y exprese en forma más simple.'

'La empresa X, que opera un sistema de intercambio de bicicletas, planea establecer dos ubicaciones, A y B, en un pueblo. Cada ubicación tendrá una gran cantidad de bicicletas de alquiler, y los usuarios pueden tomar prestadas de y devolver a cualquier ubicación. Cada día, todas las bicicletas en las ubicaciones A y B solo se alquilan una vez y se devuelven a cualquier ubicación el mismo día. Se asume que la proporción de bicicletas devueltas a cada ubicación permanece constante. Específicamente, el 70% de las bicicletas prestadas desde A se devuelven a A, y el 30% se devuelven a B. Para las bicicletas prestadas desde B, el 20% se devuelve a A y el 80% se devuelve a B. Sean an y bn las proporciones del número de bicicletas en las ubicaciones A y B, respectivamente, respecto al número total de bicicletas después del final del día n. Si las proporciones iniciales de bicicletas en A y B son del 20% y 80%, respectivamente, responde a la siguiente pregunta: (1) Encuentra an.'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'Calcula la siguiente expresión:'

'Encuentra el valor de la siguiente expresión: \\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'Transforma el lado derecho dado a'

"Si a < 0, b > 0, sea a = -a' donde a' > 0, entonces"

'Asigna 4 y 14 a a, respectivamente.'

'Expresa las relaciones de tamaño relativo de cada conjunto de números usando desigualdades.'

'Usando la división larga, encuentre el cociente y el resto cuando el polinomio A se divide por el polinomio B. (1) A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, B=x+3 (2) A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, B=2 x-1'

'Organice los términos semejantes en los siguientes polinomios y determine los grados y términos constantes de las letras dentro de los corchetes en los polinomios (2) y (3).'

'Simplifica las siguientes expresiones eliminando la doble raíz cuadrada.'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Sea 12 un número real, y b una constante positiva. Encuentra el valor mínimo m de la función f(x) = x^{2} + 2(ax + b|x|). Además, traza un gráfico de m con a en el eje horizontal y m en el eje vertical a medida que cambia el valor de a.'

'Asuntos básicos\n3 raíces cuadradas\n(1) El número cuyo cuadrado es igual a a se llama la raíz cuadrada de a.\n(2) Propiedades 1. Cuando a ≥ 0, (√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2. Cuando a ≥ 0, √(a²) = a; cuando a < 0, √(a²) = -a, es decir, √(a²) = |a|\n(3) Fórmulas Cuando a > 0, b > 0, k > 0\n3. √a * √b = √(a * b); 4. (√a) / (√b) = √(a / b); 5. √(k² * a) = k * √a\n\nRacionalizando el denominador Transformar una expresión que contiene una raíz en el denominador en una que no contenga una raíz se llama racionalizar el denominador.'

'Por favor, calcula los siguientes ejemplos usando las leyes de los exponentes.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Por favor, proporcione un ejemplo de suma y resta de polinomios.'

'Encuentra el valor de las siguientes expresiones.'

'Encuentre el valor de las siguientes expresiones.'

'Reglas básicas para cálculos de polinomios'

'Simplifique las siguientes expresiones eliminando las raíces cuadradas dobles.'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'Elimine las raíces cuadradas en la siguiente expresión y simplifique: $\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ (donde $-2<x<\\frac{3}{4}$).'

'Sea a = b = c números reales, y define A, B, C como A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}. Expresa abc en función de A, B, C.'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'Calcular las siguientes expresiones matemáticas.'

'A partir del teorema del seno, $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$, entonces\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\nA partir del teorema del seno\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\nPor lo tanto\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'Encuentra la ecuación de una parábola que se obtiene al trasladar 2 unidades en la dirección del eje x y -1 unidad en la dirección del eje y, de tal manera que se superponga con la parábola y=-2 x^{2}+3.'

'Encuentra el valor de PR(2) sin 160° cos 70° + cos 20° sin 70°.'

'Suma, resta y multiplicación de polinomios'

'Simplifique las siguientes ecuaciones eliminando las raíces cuadradas.'

''

'En la parte (1) del Ejemplo Básico 13, piense en cómo consolidar y reemplazar expresiones comunes.'

'Enumere las leyes básicas de la suma y multiplicación de polinomios.'

'Utilizando (3)(2), Taro decidió determinar el precio de un okonomiyaki para maximizar las ganancias. Encuentra el valor de x que maximiza las ganancias y calcula las ganancias en ese punto.'

'Suma y resta de polinomios\nLa suma A+B se obtiene sumando todos los términos de A y B, y si hay términos similares, se combinan y simplifican.\nLa resta A-B se considera como A+(-B), donde el signo de cada término en B se cambia y se suma a A.\nCálculo vertical\nComo se muestra a la derecha, también es aceptable alinear términos similares y realizar cálculos verticales. En este caso, dejar espacio para los términos de grado faltantes.'

'En los ejemplos básicos 6 y 12, se introduce un método de combinar expresiones comunes y luego proceder con cálculos. Por favor explique el método que usaría para avanzar en la solución.'

'Calcular expresiones que involucran raíces cuadradas'

'(1) Muestre las expresiones para reemplazar x por x+1 e y por y-2. (2) Para la función f(x) = -2x^2 + 1, muestre la función resultante.'

'Encuentra el próximo valor de |x+2|+|x-2|.'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'El siguiente cálculo es incorrecto. Enumera todas las igualdades incorrectas y explica la razón por la que se consideran incorrectas.'

'Al restar -2x^2 + 5x - 3 de un cierto polinomio, pero por error al sumar esta expresión, resultó en -4x^2 + 13x - 6. Encuentra la respuesta correcta.'

'(1) Cuando $x=3$, $f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$. (2) Cuando $x=0$, $f(0)=-2 \\cdot 0+1=1'

'Por favor, explique la suma, resta, producto y cociente de dos números racionales.'

'Es posible crear factores comunes a través de la manipulación de términos.'

'Dado x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\, encontrar los valores de x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}, x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}, x^{6}+\\frac{1}{x^{6}}. [Universidad Rikkyo]Dado que x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{y} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\nPor lo tanto, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3}, por lo tanto x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'Encuentra la suma de A + B.'

'Realiza los siguientes cálculos:\n(1) A+B\n(2) A-B\ndonde A=5x^3-2x^2+3x+4, B=3x^3-5x^2+3'

'Cuando los valores de dos números a y b están en el rango de -2 ≤ a ≤ 1 y 0 < b < 3, encuentra el rango de valores posibles para 1/2a - 3b.'

'Encuentra el vector x que satisface las siguientes ecuaciones y exprésalo en términos del vector a:\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'Tres puntos A, B y C son colineales si y solo si AC=kAB, donde k es un número real.'

'Dado tres números complejos distintos \ \\alpha, \eta, \\gamma \, si la ecuación \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) se cumple, responde a las siguientes preguntas.'

'(2) Si los números complejos $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ satisfacen $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ y $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$, encuentra el valor de $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$.'

'(g∘f)(x) = g(f(x)) = 2f(x) - 1 = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 (f∘g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2 = (2x - 1) + 2 = 2x + 1'

'1622 \\pi^{2} a'

'Solución al problema de ejercicio 60 (1) \\log \eta-\\log \\alpha-\\frac{2(\eta-\\alpha)}{\\alpha+\eta}'

'Encuentra la solución para (1): Calcular (g∘f)(x), (f∘g)(x).\nDemuestra (2): (h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x).\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}.'

'(2) - (1) multiplicado por 3 da (3), (4) da z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'Pregunta 6'

'Condiciones para que tres puntos A, B y C sean colineales y condiciones perpendiculares\nSea c una constante real. Representa los puntos A, B y C como α=1+i, β=-i, γ=-2+ci.\n(1) Determina el valor de c para que los puntos A, B y C sean colineales.\n(2) Determina el valor de c para que las líneas AB y AC sean perpendiculares.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Respuesta del problema de ejercicio 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'90 (2) \\((0, 1-a), (0, -1-a)\\)'

'Sea P(z) un punto en la recta que pasa por dos puntos distintos A(α) y B(β) en el círculo unitario. Demuestra la ecuación z+αβ𝑧¯=α+β.'

'Expresa la práctica z = sinα + i cosα (donde 0 ≤ α < 2π) en forma polar.'

'Suma y resta de matrices, multiplicación por escalar'

'Práctica'

'Respuesta del ejercicio 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x, g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'161 (4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'¿Qué es CHART?'

'Dado \n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \, al sustituir en \n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \, obtenemos\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\nSimplificando, obtenemos la siguiente ecuación:\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'Suma, resta y multiplicación escalar de matrices'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ Multiplicando ambos lados por \ z \ y simplificando, obtenemos\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\nResolviendo para \ z \, obtenemos \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'Para las matrices A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) y B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right), determine los valores de $x, y, z$ para satisfacer $AB=BA=O$.'

'Cuando $\\ vec {a} = (-2,1)$ y $\\ vec {b} = (3,-2)$, exprese el vector $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$ en componentes. Además, encuentre su magnitud.'

'(Solución alternativa)\n\nCuando z es un número real, basado en la ecuación cuadrática (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + 1 + 2, y (x + 1/x) ^ 3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x).\nConsiderando z como un número real: (-√2) ^ 3 + 3√2 = 0.\nPor lo tanto: √2.\n\nPor lo tanto, la ecuación de z^6 + 1/z^6 es igual a (z^3 + 1/z^3)^2 - 2 = √2 - 2 = 0.\nPor lo tanto, z^12 + 1/z^12 es igual a (z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2.'

'Considerando la curva alpha z + beta, cuando el punto z se mueve en el círculo con centro en el origen O y radio 1, representado por w = (1-i)z - 2i. ¿Qué tipo de forma dibujará el punto w?'

'Para $k=0,1,2$, dejemos que $z$ sea $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$'

'Sea k un número natural'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Respuesta al problema de ejercicio 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'Práctica (2) Sea \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\). Encuentra los valores máximos y mínimos de \ |\\vec{p}| \ cuando \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \.'

''

'Matemáticas C'

'Resolver en orden.'

''

'Dado que x = 1 + √2i, encuentra el valor de la siguiente ecuación.'

"Para un polinomio f(x) en términos de x, si f(3) = 2 y f'(3) = 1, encuentra el resto al dividir f(x) por \\\\underline{201}(x-3)^{2}."

'Veamos la división de polinomios.'

'Divide el polinomio P(x) por x-1 para obtener un resto de 5, y por x-2 para obtener un resto de 7. Encuentra el resto al dividir P(x) por x^2-3x+2.'

'Encuentra el cociente y el residuo al dividir el polinomio A entre el polinomio B.'

'División de 2 polinomios'

'Considerando la recta l: y=-2x, donde el punto A(a, b) tiene un punto simétrico B. Encuentra las coordenadas del punto B en términos de a, b. Además, determina la ecuación del camino trazado por el punto B a medida que el punto A se mueve a lo largo de la recta y=x.'

''

'Encuentra el resto al dividir el polinomio P(x) por la expresión cuadrática x^2+3x+2.'

'Sea n un número natural mayor o igual a 2, e i la unidad imaginaria. Cuando α=1+√3i, β=1-√3i, encuentre el valor de (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3}.'

'(2) Sea el polinomio P(x) dividido por x-3 y (x+2)(x-1)(x-3) con restos a y R(x) respectivamente. Dado que el coeficiente de x^2 en R(x) es 2. Además, cuando P(x) se divide por (x+2)(x-1) el resto es 4x-5. Encuentra el valor de a. [Similar a la Universidad de Hosei]'

'Demuestra que para cualquier número real a, b, c que satisfaga a+b+c≠0 y abc≠0, la ecuación 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) se cumple. En este caso, demuestra que para cualquier número impar n, la ecuación 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n también se cumple.'

'Cuando el polinomio P(x) se divide por x^2-1, el resto es 4x-3, y cuando se divide por x^2-4, el resto es 3x+5. Encuentra el resto cuando P(x) se divide por x^2+3x+2.'

'170 (ウ) \a-b\'

'Práctica (1) Divida el polinomio $2x^{3} + ax^{2} + x + 1$ por el polinomio $x^{2} + x + 1$ para obtener un cociente de $bx - 1$ y un resto de $R$. Encuentre los valores de las constantes $a, b$ y $R$. Tenga en cuenta que $R$ es un polinomio o una constante en términos de $x.'

'Cuando el polinomio P(x) se divide por x^{2}+5 x+4, el resto es 2 x+4, y cuando se divide por x^{2}+x-2, el resto es -x+2. En este caso, encuentra el resto cuando P(x) se divide por x^{2}+6 x+8.'

'Calcula las siguientes expresiones:\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'Encuentra el resto de la división de P(x) entre (x-1)(x+2).'

'(3) Formulario largo 10 multiplicación, división de fracciones'

''

'División y identidad de Tatsumoto 18'

'Encuentra el residuo cuando un polinomio lineal P(x) es dividido por un factor lineal (x-a).'

'Encuentra el cociente y el resto del polinomio A dividido por el polinomio B.'

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'(1) Encuentra los siguientes valores.'

'Encuentra los valores de las constantes a y b para la función f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1 de modo que la función sea divisible por (x-1)^2.'

'División de polinomios y determinación de polinomios'

'Determina el rango de números reales para los cuales la secuencia {\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}} converge. Además, encuentra el límite de la secuencia para esos valores de x.'

'Sea z ≠ 0. En el plano complejo, cuando el punto z y el punto z^5 son simétricos respecto al origen O, encuentra el valor de z. Además, en el plano complejo, encuentra el área del polígono con el vértice correspondiente al valor calculado de z.'

'Cuando el punto P(x, y) da una vuelta en sentido antihorario alrededor del círculo con radio 1 centrado en el origen, ¿cuántas vueltas dan respectivamente los puntos Q1(-y, x) y Q2(x^2 + y^2, 0) alrededor del origen en dirección antihoraria?'

'Defina las funciones f(n) y g(n) que toman valores enteros n de la siguiente manera: f(n)=1/2 n(n+1), g(n)=(-1)^{n}, defina la función compuesta h(n)=g(f(n)). Además, lance un dado de seis caras 4 veces, denote los resultados como j, k, l, m, y deje a=h(j), b=h(k), c=h(l), d=h(m), considere la función P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d.'

'Solución alternativa 1. Supongamos que z=x+yi(x, y) es un número real'

'La matemática es correcta'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) De la fórmula del resultado (2), obtenemos aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3). Por lo tanto, la sucesión {aₙ - 2/3} con término inicial a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3 y razón común -1/2 es una sucesión geométrica. Asi, aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾, por lo tanto aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3. Por lo tanto, limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Si g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 es divisible por (x-1)^{2}, expresa a y b en función de n, donde a y b son independientes de x.'

'Encuentra el valor de las siguientes expresiones:\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'Tenga en cuenta que α ≠ π'

'Encuentra la suma de la siguiente serie infinita.'

'Sean {a_{n}} y {b_{n}} secuencias que cumplen la siguiente relación.'

'¿Cuáles de los siguientes números complejos son reales y cuáles son puramente imaginarios? Asuma que αβ̅ no es un número real.'

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'Sean PR α, β números complejos. (1) Si α= |β|=1, α-β+1=0, encuentra los valores de α β y α/β+β/α. (2) Si |α|=|β|=|α-β|=1, encuentra el valor de |2 β-α|.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\) y \\vec{a} = \\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{b} = \\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{c} = \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right) \\) cuando \ \\vec{e}, \\vec{e}, \\vec{e} \\vec{e}_{3} \ se expresan usando \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ respectivamente. Además, exprese \\( \\vec{d}=(3,4,5) \\) usando \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.\\n[Universidad de Kinki]\\n(Segunda mitad) Expresar \ \\vec{d} \ usando \ \\overrightarrow{e_{1}}, \\overrightarrow{e_{2}}, \\overrightarrow{e_{3}} \ y sustituir los resultados de la primera mitad.'

'Condición de paralelismo de vectores: Cuando los vectores 𝐚≠0 ,𝐛≠0 , entonces 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 donde 𝑘 es un número real.'

'Cuando dos vectores no paralelos \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (donde \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) satisfacen \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\), encuentra los valores de los números reales \ s, t \.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la forma polar: (1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'Encuentra los valores de las constantes a, b y c cuando la función compuesta (g∘f)(x) = x se satisface.'

'Considera la siguiente secuencia de números complejos.'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\log \\frac{3}{4}'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. Donde el rango del argumento 𝜃 es 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) 2(sin(𝜋/3) + cos(𝜋/3)) (2) 𝑧 = cos(12/7)𝜋 + i sin(12/7)𝜋 entonces -3𝑧'

'(2) \\ (2(cos(π/10)+i sin(π/10)) \\)^{5}'

'Expresando 1+i y √3+i en forma polar, encuentra los valores de cos(5/12π) y sin(5/12π) respectivamente.'

'Denotemos c = a + tb para dos vectores a = (11, -2) y b = (-4, 3). El número real t varía.'

'Dado que α=2+i, β=4+5i, encuentra el número complejo γ que representa el punto β después de rotar π/4 unidades alrededor del punto α.'

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'(1) Demuestra que para cualquier número complejo z, z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z es un número real.\n(2) Muestra que para números complejos z no reales donde \\\overline{\\alpha} z\ no es real,\\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\ es un número imaginario puro.'

'Cuando \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \, expresar \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) en términos de \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \.'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'Dadas cuatro puntos distintos O, A, B y C que no están en el mismo plano, y para dos puntos P, Q, si ⃗OP=⃗OA-⃗OB y ⃗OQ=-5⃗OC, encontrar los valores de los números reales k, l tales que k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC sea verdadero.'

'Supongamos que la probabilidad de que ocurra el evento \ A \ en 231 intentos sea \\( p(0<p<1) \\). Si este experimento se realiza \ n \ veces, la probabilidad de que \ A \ ocurra un número impar de veces se denota como \ a_{n} \.'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. Donde el argumento θ satisface 0 ≤ θ < 2π. (1) z = -cosα + i sinα (0 ≤ α < π) (2) z = sinα - i cosα (0 ≤ α < π/2)'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

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'13'

'Transformar la función racional dada y=(6x+5)/(2x-1) a la forma estándar y=k/(x-p)+q.'

'(3) -\\frac{(b-a)^{11}}{2772}'

'Para los números complejos z y w que satisfacen |z|=|w|=1 y zw≠1, demuestra que (z-w)/(1-zw) es un número real.'

'Cuando p = 1, a_{n}=2 n, cuando p ≠ 1, a_{n}=\\frac{2\\left(p^{n}-1\\right)}{p-1}; -1<p<1'

'Sea z = x + y, donde x e y son números reales, tratado como una ecuación de números reales. La mayor ventaja de este enfoque es que permite estrategias de cálculo más fáciles al poder pensarse en números reales familiares. Sin embargo, los cálculos a menudo se vuelven más complejos. (Ejemplo 101, solución 1) En el ejemplo 100, z = x+y con x e y como números reales, también se pueden obtener soluciones (1), (2), (4), pero en comparación con el método 1, la cantidad de cálculo es mayor.'

'Si se define la suma parcial desde el primer término hasta el n-ésimo término como S_n'

'(1) \\frac{28 \\sqrt{2}}{3}-\\frac{32}{3}'

'Encuentra la función compuesta (f ∘ g)(x) de dos funciones f(x) y g(x). (1) Dadas f(x)=\\frac{x-1}{2x+3}, g(x)=\\frac{-x}{x+1}, encuentra (f ∘ g)(x). (2) Sea a, b números reales, y f(x)=\\frac{x+1}{ax+b}. Encuentra los valores de a, b que satisfacen (f ∘ f)(x)=x. (3) Sea a un número real donde a ≠ 0, y f(x)=\\frac{ax+1}{-ax}. Encuentra el valor de a que satisface (f ∘(f ∘ f))(x)=x. Aquí, (f ∘(f ∘ f))(x) significa f((f ∘ f)(x)). [Yamaguchi Hiroshi] Ejemplo 11'

'(2) 1-2 \\log 2'

'Encuentra el valor de P = (-1 + √3 i) / 2)^n + ((-1 - √3 i) / 2)^n. Donde n es un entero positivo.'

'Encuentre la suma y la diferencia de los números complejos α = a + bi, β = c + di.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Sean a, b constantes tales que 100<a<b. Definamos x_{n}= (a^{n}/b + b^{n}/a)^{1/n}(n=1,2,3, ...).'

'¿Qué tipo de figura traza el punto w con las siguientes ecuaciones?'

'13\n(3) \\( y^{\\prime}=-\\frac{(5 x+3)^{\\prime}}{(5 x+3)^{2}}=-\\frac{5}{(5 x+3)^{2}} \\)'

'Divide la circunferencia en 6 partes iguales, etiquetándolas en sentido horario como A, B, C, D, E, F, y coloca una piedra en el punto A como punto de partida. Tira un dado, si sale un número par, mueve la piedra 2 puntos en sentido horario, si sale un número impar, mueve la piedra 1 punto en sentido horario, continúa este juego hasta que la piedra regrese exactamente al punto A, lo cual se considera como alcanzar la meta.'

'Calcula el número total de permutaciones al seleccionar 3 de 5 números para crear un número par.'

'Calcula la suma A+B y la resta A-B de los siguientes polinomios:\n(1) A=7x-5y+17, B=6x+13y-5\n(2) A=7x^3-3x^2-16, B=7x^2+4x-3x^3\n(3) A=3a^2-ab+2b^2, B=-2a^2-ab+7b^2'

'Por favor resuelve el siguiente problema de matemáticas.'

'Convertir a la forma estándar. Mueve el coeficiente de \ x^{2} \ que es \ \\frac{1}{3} \ fuera del símbolo de valor absoluto.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'Calcule el total de permutaciones al seleccionar 3 números de 5 números para crear un múltiplo de 4.'

'Suma las siguientes expresiones: (1) 13x + 8y + 12 y x - 18y + 22'

'(2) Dado que $\\sin ^{2} \\theta+ \\cos ^{2} \\theta=1$, tenemos que $\\sin ^{2} \\theta=1- \\cos ^{2} \\theta=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}=\\frac{9}{25}$. Como $\\theta$ es un ángulo agudo, entonces $\\sin \\theta>0$, por lo tanto $\\sin \\theta=\\sqrt{\\frac{9}{25}}=\\frac{3}{5}$. Además, $\\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}$.'

'Elige 3 números diferentes de 0, 1, 2, 3, 4 para formar un número de 3 dígitos, denotado como N. Además, sea x el dígito de las centenas, y el dígito de las decenas y z el dígito de las unidades de este número de 3 dígitos N. Encuentra las siguientes probabilidades: (1) La probabilidad de que N sea un múltiplo de 3 (2) La probabilidad de que y > z'

'(1) 5+√3'

'(2) \\[ \\frac{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}}{\\sqrt{x} - \\sqrt{y}} = \\frac{(\\sqrt{x} + \\sqrt{y})^{2}}{(\\sqrt{x} - \\sqrt{y})(\\sqrt{x} + \\sqrt{y})} \\] \\[ \egin{array}{l} = \\frac{(\\sqrt{x})^{2} + 2 \\sqrt{x} \\sqrt{y} + (\\sqrt{y})^{2}}{(\\sqrt{x})^{2} - (\\sqrt{y})^{2}} = \\frac{x + 2 \\sqrt{x y} + y}{x - y} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) + 2 \\sqrt{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})} + (\\sqrt{7} - \\sqrt{5})}{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) - (\\sqrt{7} - \\sqrt{5})} = \\frac{2 \\sqrt{7} + 2 \\sqrt{7 - 5}}{2 \\sqrt{5}} = \\frac{2 \\sqrt{7} + 2 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{2}}{\\sqrt{5}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{2}) \\sqrt{5}}{(\\sqrt{5})^{2}} = \\frac{\\sqrt{35} + \\sqrt{10}}{5} \\end{array}\\]'

'Por favor, demuestre las siguientes reglas para la suma, resta y multiplicación de expresiones algebraicas.'

'(1) \2 a-2\'

'Por favor, resuelve un problema relacionado con el cálculo de la raíz cuadrada de los ejercicios del Capítulo 1 sobre números y expresiones.'

'Demuestra que si k ≠ l, entonces r(k) ≠ r(l).'

"Por favor, calcule las siguientes expresiones sumando y restando:\n(1) A+B = (3a^2-ab+2b^2) + (-2a^2-ab+7b^2)\n(2) A-B = (3a^2-ab+2b^2) - (-2a^2-ab+7b^2)\nEsta función se conoce como 'CHECK 3'."

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'Indica la conversa, la contrapositiva y la inversa de las siguientes proposiciones.'

"Existen 5 maneras de mostrar la mano, con 3 posibilidades 'Piedra, Papel, Tijeras' por persona, por lo que hay un total de 3 elevado a la potencia de 5 maneras. (1) Considera quién ganará y cómo ganará, calcula la probabilidad. (2) Considera qué 2 personas ganarán y cómo lo harán, calcula la probabilidad. (3) Calcula la probabilidad de un empate, lo que significa que el partido no resulta en una victoria o una derrota."

'Calcula las siguientes expresiones.'

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