Álgebra Fundamental - Ecuaciones Algebraicas (Lineales, Cuadráticas)

'Resolver las siguientes ecuaciones:'

'Determinación de coeficientes a partir de las soluciones imaginarias de una ecuación'

'Sea x la cantidad a ser pagada al final de cada año, encontrar el valor de x tal que el saldo al final de cada año sea cero.'

'Encuentra la ecuación cúbica con raíces 1, 2, y 3.'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes líneas:\n(1) Una línea que pase por el punto (6,-4) y sea paralela a la línea 3x + y - 7 = 0\n(2) Una línea que pase por el punto (-1,3) y sea perpendicular a la línea x - 5y + 2 = 0'

'Por lo tanto, el valor de la expresión dada es'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'Determina los tipos de soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas. Donde a es una constante. (1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'Para la ecuación $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$, determine el rango de la constante $k$ para que la ecuación tenga las siguientes raíces:'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.'

'Cuando 0 ≤ α < π/2, sin α es la coordenada y del punto P en la figura [1], y 2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) representa los ángulos de los radios OQ y OR.\n∠ AOQ=∠ BOP= π/2 - α, por lo tanto\n2β₁ = π/2 - α, 2β₂ = 2π - (π/2 - α)\nPor lo tanto, β₁ = π/4 - α/2, β₂ = 3/4π + α/2\n\nCuando π/2 ≤ α ≤ π, sin α es la coordenada y del punto P en la figura [2], y 2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) representa los ángulos de los radios OQ y OR.\n∠AOQ=∠BOP=α - π/2, por lo tanto 2β₁ = α - π/2, 2β₂ = 2π - (α - π/2)\n\nPor lo tanto, β₁ = -π/4 + α/2, β₂ = 5/4π - α/2\nPara 0 ≤ α < π/2\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(π/4 - α/2) + 1/3(3/4π + α/2) = 11/12α + 3/8π\n\nEntonces, 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 < 5/6π\nPara π/2 ≤ α ≤ π\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(-π/4 + α/2) + 1/3(5/4π - α/2) = 13/12α + 7/24π\nPor lo tanto, 5/6π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\nDe (1) y (2), para 0 ≤ α ≤ π, 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\ny = sin(α + β₁/2 + β₂/3) se maximiza\nα + β₁/2 + β₂/3 = π/2, es decir, 11/12α + 3/8π = π/2, entonces α = 3/22π y el valor de y en este punto es 1.'

'Determine los tipos de soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Practica resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'Encuentra los valores de la constante $m$ para los cuales la ecuación cuadrática $x^2 - mx + 3m = 0$ tiene solo soluciones enteras, y determina todas esas soluciones enteras.'

'Encuentra la suma y el producto de las dos soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Resuelve el siguiente problema de práctica: Encuentra las soluciones a la ecuación cuadrática.'

'Ejemplo importante 23 | Soluciones de Ecuaciones Cuadráticas y el Valor de las Ecuaciones Sea que las dos soluciones de la ecuación cuadrática $x^{2}+n x+p=0$ sean $a, b$, y que las dos soluciones de $x^{2}+n x+q=0$ sean $c, d$. Aquí, $p, q$ son enteros, y $n$ es un número real. (1) Expresar $(c-a)(c-b)$ en términos de $p, q$. (2) Demostrar que $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ es un cuadrado perfecto (puede expresarse como el cuadrado de un entero).'

'Calcula la probabilidad p_{n+2} después de (n+2) segundos usando p_n y p_{n+1}.'

'Sea D el discriminante de la ecuación cuadrática x^2-k x+3 k-4=0 (1), entonces D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16. Para que la ecuación cuadrática (1) tenga soluciones complejas, la condición es D<0, por lo tanto k^2-12 k+16<0.'

'Dadas las tres líneas, donde a y b son constantes: x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1. Demuestra que cuando estas tres líneas pasan por el mismo punto, los tres puntos (-1,1), (3,-1), (a, b) son colineales.'

''

'Resolver ecuaciones trigonométricas utilizando fórmulas de suma y producto.'

'(1) Resolver la ecuación: $6x^{2}-61x+153=0$.'

'En secuencia, 4x + 3y - 17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0'

'Basándose en las siguientes condiciones, resuelva el problema.'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \\( (x_{1}, y_{1}) \\) y es perpendicular al eje \ x \.'

'Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 tiene una solución imaginaria α, explique acerca de los números complejos conjugados y muestre sus propiedades.'

'(1) Sea $\\alpha$ y $\eta$ las dos soluciones de la ecuación cuadrática $x^{2}+3x-6=0$. Determina una nueva ecuación cuadrática con soluciones $2\\alpha+\eta$ y $\\alpha+2\eta$. (2) Si $\\alpha$ y $\eta$ son las soluciones de la ecuación cuadrática $x^{2}+px+q=0$, y una de las ecuaciones cuadráticas con soluciones $\\alpha^{2}$ y $\eta^{2}$ es $x^{2}-4x+36=0$, encuentra los valores de las constantes reales $p$ y $q$.'

'Encuentra los valores de α, β, γ que satisfacen las siguientes ecuaciones: \ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'Encuentra todos los valores enteros de $m$ para los cuales la ecuación cuadrática $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ tiene soluciones enteras.'

'Práctica: Partiendo del origen O en la recta numérica, lanza una moneda, moviéndote 2 unidades en la dirección positiva si sale cara, y 481 unidades en la dirección positiva si sale cruz. Deja que la probabilidad de llegar al punto n sea denotada como pn. Aquí, n es un número natural.\n(1) Determina la relación entre pn, pn-1 y pn-2 para n mayor o igual a 3.\n(2) Encuentra el valor de pn.'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'(1) (6, 4) (2) En orden (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'Matemáticas II'

'Al tomar el recíproco de ambos lados de la relación de recurrencia obtenemos \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ Si dejamos \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} entonces tenemos \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} \\ Al rearranjar esto obtenemos \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) También, \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 Por lo tanto, la secuencia \\ \\{b_{n}+2\\} forma una secuencia geométrica con primer término 3 y razón común 3, donde \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} lo que implica \\ b_{n} = 3^{n} - 2 Por lo tanto, \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'(2) Sean las coordenadas x de dos puntos de intersección A y B α y β, respectivamente. Al eliminar y de y=x^{2} y y=m(x+2), obtenemos x^{2}-mx-2m=0. α y β son dos soluciones reales diferentes de esta ecuación cuadrática. Sea D el discriminante, entonces D=(-m)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-2m)=m(m+8). Dado que D>0, tenemos m(m+8)>0, lo que implica m<-8 y 0<m. Además, basándonos en la relación entre las soluciones y los coeficientes, α+β=m. Por lo tanto, si tomamos las coordenadas del punto medio del segmento de recta AB como (x, y), entonces x=(α+β)/2=m/2. Además, y=m(x+2). Al eliminar m de (2) y (3), obtenemos y=2x(x+2), que es y=2x^{2}+4x. Además, a partir de (1) y (2), sabemos que x<-4 y 0<x. Por lo tanto, la trayectoria buscada es la parte de la parábola y=2x^{2}+4x donde x<-4 y 0<x.'

'Cuando se transforma la ecuación de un círculo, \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\), por lo tanto, el centro de C es el punto (2,1), con un radio de \\\sqrt{2}\.'

'Sea 14k un número real, consideremos la ecuación cuadrática en x, x^{2}-kx+3k-4=0.'

'Considera las siguientes condiciones para los enteros a, b, c (*). ∫(x²+bx)dx = ∫(x²+ax)dx al integrar de a a c y de b a c. (1) Expresa c² en términos de a, b cuando los enteros a, b, c cumplen (*) y a≠b. (2) Encuentra todos los pares de enteros (a, b) que cumplen (*) y a<b cuando c=3. (3) Demuestra que cuando los enteros a, b, c cumplen (*) y a≠b, c es un múltiplo de 3.'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} definida por las siguientes condiciones.'

'Practica 2 curvas y = 2x^{3} + 2x^{2} + a, y = x^{3} + 2x^{2} + 3x + b son tangentes con la recta tangente que pasa por el punto (2,15), encuentra los valores de las constantes a, b y la ecuación de la recta tangente.'

'Ejercicio 39: x² = x + 3, es decir, x² - x - 3 = 0 tiene dos soluciones α, β (α < β), y a partir de la relación entre las soluciones y los coeficientes obtenemos α + β = 1, αβ = -3. Demuéstralo. Además, demuestra que la fórmula de recurrencia es a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0. Finalmente, encuentra a_{n}.'

''

'Por favor, demuestre que una ecuación con coeficientes reales de grado impar tiene al menos una solución real.'

'Un conjunto de problemas de matemáticas 62'

'Encuentra el valor de la siguiente expresión.'

'(3) A partir de la suma de dos números α+β=-4 y del producto αβ=13, encuentra la ecuación cuadrática y sus soluciones.'

'Clasificar el número de soluciones de la ecuación \\( \\sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π) \\) según el valor de la constante a.'

'Sea a el primer término y d la diferencia común, entonces el décimo término es 1 y el décimo sexto término es 5, por lo tanto a+9d=1, a+15d=5. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene a=-5, d=2/3. Sea Sn la suma de los términos desde el primer término hasta el término n. Por lo tanto, S30=1/2*30{2*(-5)+(30-1)*2/3}=140, y S14=1/2*14{2*(-5)+(14-1)*2/3}=-28/3. Por lo tanto, S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'Práctica 38: Transforma la relación de recurrencia en a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n}). Por lo tanto, la secuencia {a_{n+1} + 4a_{n}} tiene un término inicial de a_{2} + 4a_{1} = 9, una razón común de -4, demuestra que es una secuencia geométrica. Además, demuestra que a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}. Finalmente, encuentra el valor de a_{n}.'

'Para la ecuación cuadrática $a x^{2}+b x+c=0$ con dos soluciones $\\alpha, \eta$, tenemos $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$ y $\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$.'

'Sean $D_{1}$, $D_{2}$ y $D_{3}$ los discriminantes de las tres ecuaciones, respectivamente. Determine el rango de valores para a que hagan que cada discriminante tenga raíces complejas. Utilice los resultados de los discriminantes basados en las ecuaciones.'

'Tres números reales a, b, c forman una progresión aritmética en el orden a, b, c y una progresión geométrica en el orden b, c, a. Cuando el producto de a, b y c es 125, encuentra los valores de a, b y c.'

'De la ecuación C2, tenemos (x-3)^2 + (y-a)^2 = a^2 - 4a + 5. Encuentra las condiciones para que esta ecuación intersecte la línea y=x+1 en dos puntos distintos.'

'Libro de práctica de Matemáticas II página 61'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\nSea D el discriminante de esta ecuación cuadrática\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\nDado que D<0, esta ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Por lo tanto, el círculo (A) y la recta (3) no tienen puntos de intersección.'

'y = bx - a² / 4'

'Cuando a = 1, la ecuación para C₂ es x^2-6x+y^2-2y+8=0. Ahora, dejemos que k sea una constante y consideremos la siguiente ecuación: k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0. Encuentra las condiciones para que esto forme una línea.'

'La condición para que ambas soluciones sean mayores que 4 es D>0 y (α-4)+ (β-4)>0 y (α-4)(β-4)>0'

'Dado que el punto medio del segmento de línea PQ es (3+p)/2, (4+q)/2 está en la línea ℓ, por lo tanto'

'Una ecuación cúbica con raíces repetidas'

'Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado: x^{4}=4'

'Demuestra que al menos uno de \ a, b, c \ es 1 cuando \ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \.'

'Por favor explique las soluciones de la ecuación (x-3)^{2}(x+2)=0 y su raíz repetida.'

'Sea $Q(x)$ un polinomio de segundo grado. El polinomio $P(x)$ no puede dividir a $Q(x)$, pero {$P(x)$}^2 puede ser dividido por $Q(x)$. Demuestra que la ecuación cuadrática $Q(x)=0$ tiene una raíz repetida.'

'Dado que el número real es positivo, se cumple que $x-2>0$ y $3-x>0$. Por lo tanto, $2<x<3$. Y dado que $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$.'

'Interprete esto como resolver para b en la ecuación de segundo grado'

'Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, encuentra el siguiente valor.'

'Ejemplo importante 27 | Soluciones de dos ecuaciones'

'Para la verdura A, cada una contiene 8g de nutriente x₁, 4g de nutriente x₂ y 2g de nutriente x₃, mientras que para la verdura B, cada una contiene 4g de nutriente x₁, 6g de nutriente x₂ y 6g de nutriente x₃. Seleccionar algunas de cada uno de estos dos tipos de verduras para mezclar y hacer jugo de verduras. El objetivo es tener al menos 42g de nutriente x₁, al menos 48g de nutriente x₂, y al menos 30g de nutriente x₃ en las verduras seleccionadas. Al hacer jugo con la menor cantidad posible de verduras de tipo A y B, la combinación del número de verduras A, a, y verduras B, b, es'

'Para todos los números naturales n, derive cn + 1 utilizando an + bn + cn = 1.'

'Lago 37 libro p. 119 Encontrar la ecuación del círculo en la forma x^2+y^2+lx+my+n=0. El círculo pasa por el punto A(8,5), entonces 8^2+5^2+8l+5m+n=0; pasa por el punto B(1,-2), entonces 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0; pasa por el punto C(9,2), entonces 9^2+2^2+9l+2m+n=0. Simplificando se obtiene 8l+5m+n=-89, l-2m+n=-5, 9l+2m+n=-85. La solución a estas ecuaciones es l=-8, m=-4, n=-5. Por lo tanto, la ecuación requerida es x^2+y^2-8x-4y-5=0. Otra forma es que el circuncentro del triángulo ABC es el centro del círculo deseado. La ecuación del bisector perpendicular de AB es y-3/2=-1(x-9/2), por lo tanto y=-x+6. También se puede verificar sustituyendo x=y=0 en 4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2. De (1)-(2) ÷ 7 obtenemos l+m=-12, de (1)-(3) obtenemos l-3m=-4, por lo tanto 4m=-16, etc.'

'Ejemplo 4 | Tres números formando una progresión aritmética\nHay tres números que forman una progresión aritmética, con una suma de 18 y un producto de 162. Encuentra estos tres números.'

'Si se denota por V el volumen de un paralelepípedo rectangular, donde V = x y z se deriva de las ecuaciones (2), (3), (4), x, y, z son las raíces de la ecuación cúbica t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0. La condición para la existencia de los números positivos x, y, z es que la ecuación (5) tenga tres raíces positivas.'

'Ejemplo 42 | Ecuación de una recta que pasa por un punto fijo\nSea k una constante. La recta (2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0 pasa por un punto fijo independientemente del valor de k. Las coordenadas de ese punto fijo se representan con A. Además, cuando la pendiente de esta recta es 1/3, el valor de k se representa con B.\n[Universidad de Fukuoka]'

'a³ - a² - b = 0 o 9a + 27b - 1 = 0 donde a ≠ 1/3'

'La base es un número positivo que no es igual a 1.'

'Encuentre la condición para que una de las ecuaciones tenga raíces complejas.'

'Ejercicio Integral'

'Encuentra la ecuación cuadrática usando la suma y el producto de dos números.'

'Ejemplo 18 El valor de la ecuación simétrica (2)\nPara las dos raíces $\\alpha, \eta$ de la ecuación de segundo grado $2 x^{2}+4 x+3=0$, encuentra los valores de las siguientes expresiones.\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'Ejemplo 38 Relación de Recurrencia Entre 3 Elementos Adyacentes (2)'

'Muestre las soluciones y el discriminante de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 con coeficientes reales.'

'Encuentra la ecuación cuando la recta que pasa por los puntos de intersección de 2x - y - 1 = 0 y x + 5y - 17 = 0 se vuelve paralela a 4x + 3y - 6 = 0.'

'(1) Encuentra la ecuación cuadrática a partir de la suma de dos números α+β=7 y el producto αβ=3, y resuelve las raíces.'

'Resolver el siguiente problema.'

'(1) Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática usando la suma y el producto de dos números.'

'Ejemplo 17 | Valor de Expresiones Simétricas (1)\nEcuación de segundo grado x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\nSi las dos soluciones de la ecuación son \\alpha, \eta, entonces encuentra los valores de las siguientes expresiones.\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'En (2), la relación entre las raíces y los coeficientes es α+β=-p y αβ=q. En x²+qx+p=0, la relación entre las raíces y los coeficientes es α(β-2)+β(α-2)=-q, α(β-2)+β(α-2)=p, y 2αβ-2(α+β)=-q. Por lo tanto, 2q+2p=-q, lo que implica 2p+3q=0. De (2), obtenemos αβ+αβ-2(α+β)+4=p, y de (1), obtenemos q(q+2p+4)=p, por lo tanto p=-3/2q. Sustituyendo (6) en (5) y simplificando, obtenemos 4q²-11q=0, lo que lleva a q(4q-11)=0. Resolver esto da q=0 y 11/4. Cuando q=0, de (6) encontramos p=0. En este caso, α=0 y β=0, lo cual contradice la suposición de que α y β no son iguales. Cuando q=11/4, de (6) encontramos p=-33/8.'

'Sean D1 y D2 los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2), respectivamente.'

'Simplificar la ecuación a'

'Dado que el punto (1,2) está sobre la recta (3), entonces a+2b=1'

'Encuentra el rango de valores posibles para y para satisfacer y=-2x+3 para x dentro del rango -3 ≤ x ≤ 2.'

'Demuestra la siguiente ecuación:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \ndonde a + b + c = 0.'

'Muestra la relación entre las soluciones de una ecuación cúbica y los coeficientes.'

'Determina el valor de la constante k que cumple con las siguientes condiciones:\n(1) Una solución es el doble de la otra solución\n(2) Una solución es el cuadrado de la otra solución'

'Para números reales a, b, sea f(x) = x^3 - 3 a x + b. Sea M el valor máximo de |f(x)| para -1≤x≤1.'

'Sea (a, b) las coordenadas del punto P. La coordenada x de los puntos donde la recta con pendiente m que pasa por el punto P interseca la curva C es la solución real de la ecuación x^3 - x = m(x-a) + b. Cuando esta ecuación tiene tres soluciones reales distintas, la recta ℓ interseca la curva C en tres puntos distintos.'

'Práctica'

'Encuentra el valor de k que satisface las siguientes condiciones.'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por dos puntos distintos \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\).'

'Suponiendo que la secuencia dada es una progresión aritmética con el primer término como 5 y diferencia común como -7. Si el término n de esta progresión aritmética es -1010, entonces 5+(n-1)×(-7)=-1010. Al resolver esta ecuación, se obtiene 7n=1022, lo que significa que n=146 (un número natural). Por lo tanto, la secuencia dada puede ser una progresión aritmética. Además, -1010 es el término 146.'

'Texto matemático dado convertido a varios idiomas.'

'Práctica 39⇒Este libro p.91\\ Desde la relación entre las soluciones y coeficientes de una ecuación cúbica \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'Cuando la ecuación $x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$ representa un círculo\n(1) Encuentra el rango de valores para la constante $k$.\n(2) Cuando $k$ varía dentro de este rango, encuentra la trayectoria del centro del círculo.'

'Para todos los valores de x, y, y z que satisfacen x-2y+z=4 y 2x+y-3z=-7, es necesario determinar las constantes a, b y c de manera que se cumpla la ecuación ax^2+2by^2+3cz^2=18.'

'Encuentra los valores de las constantes a, b, y c que satisfacen las ecuaciones x - 2y + z = 4 y 2x + y - 3z = -7 para todos los valores de x, y, y z que satisfacen esas ecuaciones.'

'Determina los valores de las constantes a, b, c para que la ecuación 3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c sea una identidad en términos de x.'

'Encuentre el número de soluciones reales distintas para las siguientes ecuaciones cúbicas.'

'Confirmar ecuaciones logarítmicas y condiciones de exponentes'

'Cuando la ecuación cúbica $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ tiene una raíz doble, encuentra el valor de la constante $a$.'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes líneas.'

'Encuentra los dos números que tienen la suma y el producto como sigue:'

'Desarrollo 52: Problema de demostración sobre las soluciones de una ecuación cuadrática'

'Determine los tipos de soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas. Tenga en cuenta que k en (4) es una constante.'

'Encuentra las condiciones bajo las cuales el polinomio dado P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 es divisible por x = 2 y x = -1.'

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'Cuando la ecuación cuadrática $x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$ tiene dos soluciones diferentes ambas mayores que 1, encuentre el rango de valores para la constante $a$.'

'Para la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ con dos soluciones $\\alpha, \eta$ y el discriminante $D$:\n1. $\\alpha, \eta$ son dos soluciones positivas distintas $\\Longleftrightarrow D > 0$ y $\\alpha + \eta > 0$ y $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ son dos soluciones negativas distintas $\\Longleftrightarrow D > 0$ y $\\alpha + \eta < 0$ y $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ son soluciones con signos opuestos $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'Considera los signos de las diferencias \\\alpha-k, \eta-k\ de las raíces reales \\\alpha, \eta\ de una ecuación cuadrática y un número real \k\\n\nPresta atención a los signos de la suma \\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\) y el producto \\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)'

'Encuentra la cantidad de soluciones reales distintas para las siguientes ecuaciones cúbicas.'

'Determina el rango de valores para la constante $m$ de manera que la ecuación cuadrática $x^{2}+2mx+6-m=0$ tenga dos raíces reales distintas y ambas sean mayores que 1.'

'Determina el rango de valores para la constante m de modo que la ecuación cuadrática $x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$ cumpla con las siguientes condiciones: (1) Tiene dos raíces positivas. (2) Tiene dos raíces negativas diferentes. (3) Tiene raíces con signos opuestos.'

'Sean a, b constantes. Encuentra los valores de a y b cuando el polinomio x^3-x^2+ax+b es divisible por el polinomio x^2+x+1.'

'Encuentra el primer término y la razón común de una serie geométrica tal que la suma de los primeros tres términos sea -7 y la suma de los términos desde el tercero hasta el quinto sea -63.'

'Ecuación de grado superior: Encuentra el valor de la constante $a$ y la otra raíz de la ecuación $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$, dado que una de las raíces es $x=2$.'

'Identidad con Condición'

'Para la ecuación cuadrática $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$, responde las siguientes preguntas.\n(1) Determina el rango de valores para la constante $m$ cuando la ecuación tiene dos soluciones complejas.\n(2) Encuentra los valores de la constante $m$ y la raíz repetida cuando la ecuación tiene una raíz repetida.'

'Sean α y β las dos soluciones de la ecuación cuadrática x^{2}-3x+4=0. Encuentra los valores de las siguientes expresiones:'

'Muestra la fórmula para resolver la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 y encuentra sus raíces.'

'Resolver las siguientes ecuaciones para 0 ≤ θ < 2π: (1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'Determina los valores de las constantes a, b y c de manera que la ecuación x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c se cumpla como una identidad con respecto a x.'

'Si las tres soluciones de la ecuación cúbica $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ se denotan como $α, β, γ$, encuentra los valores de $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ y $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$.'

'Cuando la ecuación cúbica $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ tiene una raíz repetida, encuentra el valor de la constante $a$.'

'Encuentra la suma y el producto de las dos soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas.\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes rectas:'

'Básico 62: Resolución de ecuaciones de alto grado (2) - Utilización del teorema del factor'

'Solución: Utilizando la fórmula x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, donde a = 1, b = -3, c = -3. Respuesta: x = 3 o x = -1.'

''

'Determina los tipos de soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas. Aquí, k en la ecuación (4) es una constante.'

'Encuentra la solución y la respuesta para 2x^{2}+4x-1=0.'

'176 (1) y = 4x - 9 (2) y = -2x, y = 6x - 16'

'Muestra la relación entre las soluciones de una ecuación cuadrática y sus coeficientes. Si las soluciones de la ecuación cuadrática son α y β para ax^2+bx+c=0, entonces utilizando la fórmula de las soluciones, demuestra las siguientes relaciones:\n\n1. Suma de las soluciones α+β\n2. Producto de las soluciones αβ'

'Encuentra el término general de la secuencia definida por la recurrencia $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$.'

''

'Si las dos soluciones de la ecuación cuadrática x^2 + 2x - 4 = 0 son α y β, ¿cuál es la ecuación cuadrática con soluciones α + 2 y β + 2?'

'Encuentra los valores de x e y cuando la identidad (k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0 se cumple para todos los valores de k.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ cuando la ecuación cuadrática $x^{2}-a x+4=0$ tiene dos soluciones distintas, ambas menores que 3.'

'Extensión 53: Soluciones enteras de ecuaciones cuadráticas (utilizando la relación entre soluciones y coeficientes)'

'Resolver la ecuación de alto grado x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0.'

'Ejemplo Básico 62 Determinar los coeficientes de un Polinomio de Grado 64 (1) ... Condiciones para Soluciones Reales La ecuación de tercer grado $x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$ tiene -1 y -3 como soluciones. (1) Encontrar los valores de las constantes $a$ y $b$. (2) Encontrar otras soluciones para esta ecuación.'

'Cuando la ecuación cuadrática $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ tiene dos soluciones positivas distintas, encuentra el rango de valores para la constante $a$.'

'Considere el polinomio P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r. Cuando las soluciones de la ecuación cúbica P(x)=0 son -2 y dos números naturales α, β(α<β), encuentre los valores de α, β, q y r.'

'Cuando la ecuación cuadrática x^2+2mx+15=0 tiene las siguientes raíces, encuentra el valor de la constante m y las dos raíces.'

'Encuentra la fórmula para las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.'

'Encuentre el valor de la constante $m$ y las dos soluciones cuando las dos soluciones de la ecuación cuadrática $3 x^{2}+6 x+m=0$ satisfacen las siguientes condiciones:'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las 25 condiciones. (1) a1=1, an+1=2an-3 (2) a1=1, 2an+1-an+2=0'

'Considere la ecuación cúbica $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$.'

"Encuentra información sobre 'ecuaciones de alto grado' basándote en la siguiente tabla."

'\ 67 a=1,10 \'

'Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Encuentra el valor de la constante m y las dos soluciones de la ecuación cuadrática $3x^{2}+6x+m=0$ de manera que cumpla las siguientes condiciones: (1) Una solución es tres veces la otra. (2) La proporción entre las dos soluciones es 2:3.'

'Solución a una ecuación cuadrática'

'Encuentra la ecuación de un círculo que pase por tres puntos.'

'Desarrollo 69: Solución de Ecuaciones de Orden Superior (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'Demostrando la ecuación A=B de 3 maneras\n\nLa ecuación A=B puede tener condiciones asociadas, pero básicamente es una identidad. Hay tres formas de demostrar la ecuación, las siguientes son:\n\n(1) Comparando ambos lados, transformando el lado más complejo para derivar el lado más simple.\n\nA=⋯⋯ Transformación ⋯⋯ = B\n(o B =⋯⋯ Transformación ⋯⋯ = A)\n\nPor lo tanto A = B\n\n(2) Transformando ambos lados por separado para obtener la misma expresión C.\n\nA=⋯⋯ Transformación ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ Transformación ⋯⋯ = C\n\nPor lo tanto A = B\n\n(3) Transformando A - B para mostrar A - B = 0.\n\nA - B =⋯⋯ Transformación ⋯⋯ = 0\n\nPor lo tanto A = B'

'Sea TR números reales y sea la ecuación x ^ {3}-2 x ^ {2} + ax + b = 0 tiene a x = 2 + i como una raíz. Encuentra los valores de a, b y todas las raíces de la ecuación.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ cuando la ecuación $a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$ tiene soluciones reales.'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes líneas:\n(1) Pasando por el punto (3, 0) con una pendiente de 2\n(2) Pasando por el punto (-1, 4) con una pendiente de -3\n(3) Pasando por el punto (3, 2) y perpendicular al eje x\n(4) Pasando por el punto (1, -2) y paralela al eje x'

'La función $y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$ toma el valor mínimo $b$ en $x=a$. Encuentra el valor de $|a+b|$.'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'Determina los valores de las constantes a, b y c de manera que la siguiente ecuación sea una identidad en x: (1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'Investigar las condiciones para que una ecuación cúbica tenga raíces repetidas'

'Sustituye el tercer ecuación en la primera ecuación para obtener la siguiente ecuación: a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25. Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: a^{2} - 7a + 12 = 0. Por lo tanto, obtenemos las siguientes soluciones: (a - 3)(a - 4) = 0, entonces a = 3, 4. Sustituyendo estos valores en la tercer ecuación, obtenemos lo siguiente: cuando a = 3, b = 4; cuando a = 4, b = -3. Por lo tanto, las ecuaciones de las tangentes son las siguientes: 3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'Básico 43: El valor de dos soluciones de una ecuación simétrica'

'Cuando el valor máximo de la función f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) es 10, y el valor mínimo es -10, encuentre los valores de las constantes a, b.'

'Cuando S_{2}=2 S_{1}, \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9, es decir (m+3)^{3}=54. Dado que m es un número real, m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'Cuando k=0, hay una solución real; cuando k=-1, hay una raíz repetida; cuando -1<k<0, 0<k, hay dos soluciones reales distintas; cuando k<-1, hay dos soluciones imaginarias distintas.'

'Básico 42: Suma y producto de las dos soluciones a una ecuación cuadrática'

'Sea k una constante. Determina los tipos de soluciones de la ecuación kx^2 + 4x - 4 = 0.'

'Encuentra los valores de m para que las líneas l1 y l2 sean paralelas o perpendiculares.'

'Encuentra el número de soluciones reales distintas de las siguientes ecuaciones cúbicas:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'Encuentre los valores de x e y de manera que (k+2)x-(1-k)y-k-5=0 sea válida para cualquier valor de k.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'La condición para tener solo soluciones imaginarias es'

'Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática x^2=k. Aquí, k es cualquier número real.'

'Si el segundo término es 4 y la suma de los términos desde el primer término hasta el tercero es 21 en una serie geométrica con término inicial a y razón r, entonces el término inicial es a= y la razón r=.'

'Considerando q, r como números reales, veamos el polinomio P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r. Si las soluciones de la ecuación 333 P(x)=0 son -2 y dos números naturales \\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\), encuentra \ \\alpha, \eta \ y \ q, r \. [Similar al examen del centro]'

'Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'La solución al ejemplo 3x^2+3x+1=0 es'

'Desarrollo 54: Rango de existencia de soluciones de una ecuación cuadrática (2)'

'Resuelve las siguientes ecuaciones:'

'A y B resolvieron la misma ecuación cuadrática en términos de x. A obtuvo erróneamente el coeficiente de x² como 26-2/3, con una solución de 1. B obtuvo erróneamente el término constante como -1/3, con una solución de 1/2. Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática correcta original.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ cuando la ecuación cúbica $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ tiene tres raíces reales distintas.'

'Considera la ecuación cuadrática $x^{2}+(m+1)x+m-1=0$.'

'Estándar 65: Determinación de coeficientes de ecuaciones de orden superior (2) - Condiciones para soluciones imaginarias'

'Encuentra el valor de la constante $a$ cuando la ecuación cúbica $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ tiene una raíz doble.'

'Estándar 49: Rango de existencia de soluciones de una ecuación cuadrática (1)'

'Encuentra el primer término y la razón común de una sucesión geométrica tal que la suma desde el tercer término hasta el quinto término sea -63 y la suma desde el primer término hasta el tercer término sea -7.'

'Básico 41: Condiciones para que una ecuación cuadrática tenga raíces complejas, raíces repetidas'

'Si las tres soluciones de la ecuación cúbica $x^{3}-2 x+1=0$ son $\\alpha, \eta, \\gamma$, encuentra el valor de las siguientes expresiones.'

'Estudio de Extensión - Desarrollo 192 La cantidad de soluciones reales de una ecuación cúbica (3) Utilizando valores extremos'

'58 dividido por, en orden de restos (1) x^2+2x-6, -10 (2) x^2-5x+4, 3'

'Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ que representa la suma \ S_{n} \ desde el primer término hasta el término n.'

"Cuando la función f(x) representada por un polinomio satisface f'(x)-f(x)=x²+1, f(x) es una función de grado , y f(x)= ."

'Estándar 40: Discriminación de tipos de soluciones de ecuaciones cuadráticas (2)'

'Al reorganizar la ecuación x-2y+6=0, podemos expresarla como y=\\frac{1}{2}x+3, representando así una línea con una pendiente de \\frac{1}{2} e intersección en y de 3.'

"Determine el rango de la constante 'm' para que la ecuación cuadrática $x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$ cumpla con las siguientes condiciones: (1) tenga dos raíces positivas, (2) tenga dos raíces negativas distintas, (3) tenga raíces de signos diferentes."

'Expansión 66: Relación entre las soluciones de una ecuación cúbica y sus coeficientes'

'Capítulo 3 Ecuaciones de alto grado - 49\nEX Deje que a, b, c, d sean constantes reales. El polinomio P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d deja un resto de 29 al dividirlo por x^{2}-1 y un resto de 3x + 4 al dividirlo por x^{2}+1. En este caso, a=->, b=-1, c=d=√. [Universidad de Shonan]\nPermita que Q(x) sea el cociente cuando P(x) se divide por x^{2}-1, y permita que R(x) sea el cociente cuando P(x) se divide por x^{2}+1. Entonces, se cumplen las siguientes ecuaciones.\n\nP(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + x+2\nP(x) = (x^{2}+1)R(x) + 3x+4\nP(1) = 3, P(-1) = 1, P(i) = 4+3i'

'Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de dos puntos diferentes (x1, y1) y (x2, y2).'

'Encuentra la suma y el producto de las dos raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

''

'Encuentra dos números cuya suma es 2 y el producto es -4.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ cuando la ecuación cúbica $x^{3}-3a^{2}x+4a=0$ tiene tres raíces reales distintas.'

'Desarrollo 68: Condiciones para que una ecuación cúbica tenga tres raíces reales distintas'

'Demuestra que la ecuación a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b es verdadera cuando a+b+c=0.'

''

'En relación a la parte subrayada g, el Ministerio de Tierra, Infraestructura, Transporte y Turismo también llevó a cabo el año pasado una convocatoria de subvención con el objetivo de promover la adopción de vehículos de próxima generación. Elija la combinación correcta de las siguientes declaraciones X・Y con respecto a los vehículos de próxima generación como verdadera o falsa.'

'Elija la expresión apropiada para representar la distancia movida por el bloque A con respecto al bloque C, y proporcione el símbolo.'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, Figura omitida'

'Demuestra que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución de número real en el rango dado.'

'Si a es un número real, encuentra el número de soluciones reales de la ecuación f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a.'

'Por favor, elimine el denominador y resuelva la siguiente ecuación:\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'Encuentra un polinomio de quinto grado f(x) que cumpla simultáneamente con las condiciones (A) y (B).'

'Sean a, b números reales, y supongamos que la ecuación cúbica x^3+ax^2+bx+1=0 tiene una raíz imaginaria α. Demuestra que el conjugado del número complejo α, denotado por α¯, también es una raíz de esta ecuación. Expresa la tercera raíz β y los coeficientes a, b en términos de α y α¯.'

'Encuentra la velocidad, la aceleración, la posición y la distancia recorrida (movimiento lineal).'

'Demuestre que cuando a > 1, las dos soluciones de la ecuación a x^2 − 2 x + a = 0 (1) se denotan como α y β, y las dos soluciones de la ecuación x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) se denotan como γ y δ. Si A(α), B(β), C(γ), D(δ), demuestre que los cuatro puntos A, B, C, D están en una circunferencia común.'

'Fundamentos 8: Soluciones algebraicas para ecuaciones e inecuaciones irracionales'

'Para un punto $(a, b)$ en la hipérbola $x^{2}-4 y^{2}=4$ con una recta tangente que tiene una pendiente $m$, responde a las siguientes preguntas. Supón que $b \neq 0$.\n(1) Encuentra la relación entre $a, b, m$.\n(2) Denotemos como $d$ la distancia entre un punto en esta hipérbola y la recta $y=2x$. Encuentra el valor mínimo de $d$. Además, determina las coordenadas del punto en la curva que proporciona el valor mínimo de $d$.[Universidad de Kanagawa]'

'¿Qué forma geométrica se forma por el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes ecuaciones?'

'Resuelve la ecuación \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \.'

'20 (1) \ |\\alpha|^{2} \\n(2) Omitido (3) El valor máximo cuando \ a=b \ es \ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \ y el valor mínimo es \ \\frac{3}{10} \'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e desigualdades.'

'Supongamos que dos números complejos w y z (z ≠ 2) satisfacen w = iz/(z-2).\n[Universidad de Hirosaki]\n(1) Cuando el punto z se mueve en la circunferencia de un círculo con radio 2 centrado en el origen, ¿qué forma traza el punto w?\n(2) Cuando el punto z se mueve en el eje imaginario, ¿qué forma traza el punto w?\n(3) Cuando el punto w se mueve en el eje real, ¿qué forma traza el punto z?'

'Sustancias radiactivas como el radio disminuyen en masa a una velocidad proporcional a la masa en cada instante. Expresa la masa x como una función del tiempo t con la constante de proporcionalidad k (k > 0) y la masa inicial A. Además, para el radio, tarda 1600 años en reducirse a la mitad. ¿Aproximadamente qué porcentaje de la cantidad inicial queda después de 800 años? Redondea al número entero más cercano.'

''

'Resuelve la desigualdad \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\. Considera \\\log _{2} x = a \.'

'Número de soluciones reales de una ecuación'

'Considera los números complejos z que satisfacen las condiciones (A) y (B) simultáneamente. (A) z + i/z es real (B) La parte imaginaria de z es positiva. (1) Sea |z|=r, expresa z en términos de r. (2) Encuentra el z para el cual la parte imaginaria de z es máxima.'

'Dado a ≠ 0. Para la función f(x) = 2ax - 5a^2, encuentra el valor de la constante a tal que f^{-1}(x) y f(x) sean iguales.'

'Suponiendo la existencia de una secuencia {a_{n}} y la suma desde el primer término hasta el término n-ésimo'

'Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

'Demuestra la relación entre las raíces y los coeficientes de la siguiente ecuación cuadrática. Para la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, siendo α y β las dos raíces. Entonces, α + β = -b/a y αβ = c/a.'

'Tarou, un corredor de 100 metros en la pista corta, decidió centrarse en (1) para determinar la mejor zancada y frecuencia de paso para mejorar su tiempo.'

'Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Encuentra el rango de valores para la constante a que satisfacen las condiciones dadas para las dos ecuaciones cuadráticas $x^{2}-x+a=0$ y $x^{2}+2ax-3a+4=0$.'

'Para determinar el rango en el cual existen las soluciones de una ecuación cuadrática, consideremos el gráfico que cumple las siguientes condiciones:'

'Sean a y p constantes. Encuentra las soluciones reales de las siguientes ecuaciones en x.'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.'

'¿De cuántas maneras se pueden dividir 12 libros diferentes de la siguiente forma?'

''

'Si las dos soluciones reales distintas de la ecuación cuadrática $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ se denotan como $\\alpha$ y $\eta$, y satisfacen $1<\\alpha<2<\eta$, determine el rango de valores de la constante $a$.'

'Cuando la ecuación $ax^{2}+bx+1=0$ tiene dos soluciones $-2,3$, encuentra los valores de las constantes $a, b$.'

'Para la ecuación cuadrática \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ con dos soluciones reales distintas \ \\alpha, \eta \ donde \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \, determine el rango de valores de la constante \ a \.'

'Determine la cantidad de soluciones reales de la ecuación cuadrática $2 x^{2}+3 x+k=0$.'

'Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.'

'Capítulo 1\nNúmeros y Expresiones\n23\nEjemplo\n(1) Encuentra la expresión que, al sumarse con 2x^2-3x+1, resulte en x^2+2x.'

'¿Cuál es el rango de la constante a cuando una de las soluciones reales de la ecuación cuadrática 2x^{2}-3ax+a+1=0 está en el rango 0<x<1 y la otra solución real está en el rango 4<x<6?'

'Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'¿Cuál es el rango de existencia de las raíces de una ecuación cuadrática?'

'Encuentra el número de soluciones reales para las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'Dadas las longitudes de las líneas a y b, encuentra la solución positiva de la ecuación cuadrática x^{2}-a x-b^{2}=0 y dibuja una línea con esa longitud.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ tal que la ecuación cuadrática $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ tenga dos soluciones reales distintas dentro del rango $-3<x<3$.'

'Determina el rango de valores para la constante $a$ cuando la ecuación cuadrática $x^{2}-2 a x+a+6=0$ satisface las siguientes condiciones: (1) Tiene raíces positivas y negativas. (2) Tiene dos raíces negativas distintas.'

'En todas las permutaciones formadas por las 8 letras de YOKOHAMA, encuentra el número de permutaciones que contienen al menos una de las secuencias AO u OA.'

'Transformar la expresión matemática dada en una forma diferente.'

'Capítulo 2 Conjuntos y proposiciones\n(2) Resolver la siguiente ecuación\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\ndonde p y q son números racionales.'

'¿Cuántas formas hay de que 4 hombres y 5 mujeres se alineen en una fila con las siguientes condiciones? (1) Los 4 hombres están juntos (2) Los hombres no están juntos'

'Por favor, indique la inversa, la contrapositiva y la negación de la proposición.'

'Determinar coeficientes a partir de valores máximo y mínimo (3)'

''

'54 (2), (3); (2) máximo en x=2 es 7, mínimo en x=0 es 3; (3) máximo en x=2 es 5, mínimo en x=-1,5 es -13'

'¿Cuál es el rango de valores de $k$ para los cuales las ecuaciones cuadráticas $x^{2}+x+k=0$, $x^{2}+k x+1=0$ tienen soluciones en números reales?'

'Dado x ≥ 0, y ≥ 0, y 2x+y=8, encuentra el valor máximo y mínimo de xy.'

'Utiliza la fórmula cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado.'

'Encuentra la función lineal basada en las siguientes condiciones para maximizar el beneficio.\n\n(1) Cuando x es 250, y es 300.\n(2) Cuando x es 300, y es 250.\n(3) También se cumple cuando x = 350, y = 200.\n\nAdemás, utilizando los ingresos xy y los gastos 120y + 5000, sea z el beneficio y encuentra el valor de x que maximiza z y el beneficio máximo en ese momento.'

'Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones.'

'Si una de las soluciones de la ecuación cuadrática $x^{2}+(a+4) x+a-3=0$ es $a$, encuentra la otra solución.'

''

'Resolver la siguiente desigualdad en términos de x. Donde a es una constante. \\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.'

'Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas'

'En una escuela en particular, se decidió vaciar completamente el agua de la piscina para limpiarla. Sin embargo, se asume que se drena una cantidad constante por minuto con una bomba. Deje que el volumen restante de agua en la piscina después de t minutos de drenaje sea V m³.'

'Resolver las siguientes ecuaciones.'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.'

'En una fiesta con 5 participantes, donde cada persona prepara un regalo y se realiza un sorteo para distribuir todos los regalos. El número de formas en las que dos personas específicas, A y B, reciben los regalos que prepararon, mientras que las tres personas restantes reciben regalos que no son los que prepararon se denota como A. El número de formas en que solo una persona recibe el regalo que preparó se denota como B.'

'Ejemplo básico 30 Número de soluciones enteras (Usando combinaciones con repetición)'

'Encuentra el rango de existencia de soluciones para una ecuación cuadrática con x < 2 y x > 2.'

'61 a=2, b=-5 o a=-2, b=3'

'Resolver la desigualdad para x. Aquí, a es una constante. \ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \'

"Por favor proporciona 'Ecuaciones Diofánticas Lineales' y su página."

'Encuentra las coordenadas de los dos puntos de intersección de las dos parábolas y=x^2-x+1 y y=-x^2-x+3.'

'31 (1) \ x=6,-2 \\n(2) \ x \\leqq-5, \\quad \\frac{1}{5} \\leqq x \'

'Encuentra el número natural de 4 dígitos más grande que deja un resto de 2 al dividir por 11 y un resto de 5 al dividir por 6.'

'Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto: (1) $|x|=c$, (2) $|x|<c$, (3) $|x|>c$'

'Considera la proposición p⇒q (donde p es la hipótesis y q es la conclusión). Sea P el conjunto de todos los elementos que satisfacen la condición p, y sea Q el conjunto de todos los elementos que satisfacen la condición q. Que la proposición p⇒q sea verdadera es equivalente a P ⊆ Q. Por favor, determina el valor de verdad de esta proposición.'

''

'Para la función $f(x)=x^{2}+2x-a^{2}+5$, encuentra el rango de valores de $a$ que satisfacen las siguientes condiciones:'

''

'Cuando la ecuación cuadrática $x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0$ tiene raíces iguales, encuentre el valor de la constante $m$ y las raíces iguales en ese momento.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'Para x=3/2, el valor mínimo es 3/2, y no hay valor máximo.'

'Utiliza la fórmula para resolver una ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0 para resolver la ecuación.'

'Encuentra el valor de la constante k cuando la parábola y = x ^ 2 + (2k-3) x-6k corta un segmento de longitud 5 desde el eje x.'

'Hay una lotería donde se lanzan tres dados a la vez. Hay múltiples lugares para la lotería, cada uno con diferentes condiciones de ganar.'

'Encuentra el rango de valores para la constante m cuando la ecuación cuadrática x^2 + 3x + m - 1 = 0 no tiene soluciones reales.'

'Para la ecuación cuadrática $x^{2}+mx+9=0$, encuentra el rango de valores para la constante $m$ cuando presenta lo siguiente:'

'Por ejemplo, hay muchas soluciones enteras para la ecuación x+y=10. Encuentra cualquier tres soluciones enteras para esta ecuación.'

'Resolver la ecuación $x^{2}+3x-5=0$.'

'Cuando las soluciones de la ecuación cuadrática $x^{2}+2 m x-m+2=0$ son las siguientes, encuentra el rango de la constante $m$. (1) Teniendo dos soluciones reales distintas. (2) Teniendo soluciones reales. (3) Sin tener soluciones reales.'

'Capítulo 5 Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones Cuadráticas\nSea h metros la altura sobre el suelo de una pelota arrojada directamente hacia arriba a una cierta velocidad x segundos después del lanzamiento. Cuando el valor de h está dado por h=-5x^2+40x, ¿en qué rango de valores de x se encuentra la altura de la pelota entre 35 metros sobre el suelo y 65 metros sobre el suelo?'

'Encuentra los valores de \ a, b \ de manera que \ P=4 \ para el punto \ x, y \ con valores \\( (2, 1) \\).'

'Resuelve las siguientes ecuaciones. 1. Fundamento 86 - Resolver ecuaciones cuadráticas usando la factorización. 2. Fundamento 87 - Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula de las raíces. 3. Fundamento 88 - Condiciones para tener soluciones reales (1)'

'Resolver la ecuación x^2+3x-4=0.'

'Determina el rango de valores para la constante $a$ para que la ecuación cuadrática $x^{2}-(a-4)x+a-1=0$ cumpla con las siguientes condiciones: (1) tiene dos raíces negativas distintas. (2) tiene una raíz positiva y una raíz negativa.'

'24 (1) Inverso: Si al menos uno de x, y es un número negativo, entonces x+y=-3, Falso Contraexemplo: Si x≥0 y y≥0, entonces x+y≠-3, Contrapositiva: Si x+y≠-3, entonces x≥0 y y≥0.'

'2 (1) 5 expresiones(2)(ア)2 expresiones, término constante 2 y^{2} + 5 y - 12(1)2 expresiones, término constante 6 x^{2} - 6 x - 12(ら)2 expresiones, término constante -12'

'Cuando las raíces de la ecuación cuadrática $x^{2}+m x+9=0$ tienen las siguientes características, encuentre el rango de valores para la constante $m$.'

'La condición para que un gráfico siempre esté por encima del eje x es que el gráfico sea una parábola cóncava hacia abajo y no tenga puntos de intersección con el eje x. Por lo tanto, el discriminante de la ecuación cuadrática mx^2 + 3x + m = 0 se denota como D.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones. (1) |(√14-2)x+2|=4 (2) 3|x-1|≤4 (3) x+|3x-2|=3'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra el valor de la constante $m$ y la raíz repetida de la ecuación cuadrática $x^{2}-2mx+2(m+4)=0$ cuando tiene raíces repetidas.'

'Cuando la ecuación cuadrática $x^{2}+5x+7-m=0$ tiene dos raíces reales distintas, encuentra el rango de valores para la constante $m$.'

'Para la función f(x) = x ^ 2 - 2ax - a + 6 en matemáticas I TR, el rango de valores de la constante a para la cual f(x) > 0 para todos los números reales x es de A a T. Además, el rango de valores de a para el cual f(x) ≥ 0 siempre se cumple para -1 ≤ x ≤ 1 es de ウ a エ.'

'En dos desigualdades, primero reemplace > con = y luego resuelva la ecuación cuadrática. Para resolver la desigualdad cuadrática x^2-6x+3>0, primero resuelva la ecuación x^2-6x+3=0. Usando la fórmula de las raíces, x=(-(-3) ± √((-3)^2-1*3))/1=3 ± √6.\n\nLa solución para x^2-6x+3>0 es encontrar el rango de valores de x en el gráfico de y=x^2-6x+3 donde y>0, que es x<3-√6, 3+√6<x.'

'(2) Las dos desigualdades $x^{2}+mx+m+2<0$ tienen soluciones'

'Cuando x=-1, el valor máximo de 71(2) es 5, no hay valor mínimo.'

'(1) Resolver la ecuación 2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) Resolver para x=-1, \\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) Dado \\theta=60^{\\circ}, \\ 180^{\\circ} \\\\\\\n'

'La clasificación de las soluciones de una ecuación cuadrática se puede determinar examinando el signo del discriminante $D = b^{2} - 4ac$.'

'Encuentra el rango de constantes a que satisfacen las siguientes condiciones para las ecuaciones x^2+ax+a+3=0 (1) y x^2-2ax+8a=0 (2):'

'Encuentra el punto de intersección de las dos rectas 2x + 3y = 7 (1) y 4x + 11y = 19 (2), y la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,4).'

'Encuentra los valores de $a, b, c$ cuando la función de tercer grado $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ cumple con $(x-2)f^{prime}(x)=3 f(x)$.'

'Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.'

'(1) Encuentra las soluciones de la ecuación 2x^2 - 2√6x + 3 = 0.'

'Capítulo 1 Secuencias'

'Determine la cantidad de soluciones de la ecuación 4cos²x-2cosx-1=a dentro del rango -π < x ≤ π.'

'Encuentra el valor de a que satisface las ecuaciones dadas.'

'Demuestra que la ecuación $ax+by+cz=0$ es verdadera cuando (2) $\\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b}$.'

''

'Las soluciones de la ecuación cúbica $x^{3}+a x^{2}-21 x+b=0$ son $1,3, c$. Encuentra los valores de las constantes $a$, $b, c$.'

'Encuentra el valor de a que satisface la siguiente ecuación. a=2'

'Respecto a las rectas l: 2x - y + 3 = 0, m: 3x - 2y - 1 = 0, responde a las siguientes preguntas.'

'Determinar el rango de la constante a para que las dos ecuaciones cuadráticas 9x^{2}+6ax+4=0 (1) y x^{2}+2ax+3a=0 (2) cumplan las siguientes condiciones. (1) Ambas tienen raíces complejas (2) Al menos una tiene raíces complejas (3) Solo (1) tiene raíces complejas'

'Cuando a = -1, x = 2, -1\nCuando a = 0, x = 0, 2\nCuando a = 8, x = -4, 2'

'Cuando la ecuación $x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0$ representa un círculo,'

'Encuentra el rango de valores para c para que la ecuación x^3-6x+c=0 tenga dos raíces positivas distintas y una raíz negativa.'

'Determina lo siguiente para la sucesión {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \} donde la suma de los primeros \ n \ términos, denotada como {\ S_{n} \}, satisface la relación {\ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \}:\n(1) Encuentra el primer término {\ a_{1} \}.\n(2) Encuentra la relación entre {\ a_{n} \} y {\ a_{n+1} \}.\n(3) Encuentra el término general de la sucesión {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}.'

'Encuentra todos los números reales $a$ tales que la ecuación cúbica $x^{3}+(a+2)x^{2}-4a=0$ tenga exactamente 2 raíces reales.'

'Utiliza la fórmula para resolver la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 para encontrar las soluciones.'

'Después de leer la conversación entre Hanako y Taro sobre el problema, responda la siguiente pregunta.'

'Determina los valores de las constantes a y b que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) Cuando x-1 es un factor de x^3-3x^2+a, el resto es 2.\n(2) Cuando 2x+1 es un factor de 2x^3-3x^2+ax+6, se divide uniformemente.\n(3) Cuando x+2 divide a x^3+ax^2-5x+b, el resto es 8, y cuando x+1 es un factor.'

'Transformar el texto dado en varios idiomas.'

'Determina el valor de la número real k de modo que la ecuación (1 + i)x^{2} + (k + i)x + 3 + 3ki = 0 tenga soluciones reales. Encuentra estas soluciones reales.'

'Los dos números que suman -2 y multiplican a 3 son las soluciones de la ecuación cuadrática x^2 + 2x + 3 = 0.'

'Encuentre el valor de la constante a tal que la ecuación 2x^3 - (3a + 1)x^2 + 2ax + 4 tenga dos raíces reales distintas.'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.'

'Capítulo 2\nNúmeros complejos y ecuaciones\nDemostrar que para las dos soluciones α, β de la ecuación cuadrática 2x^2 + 4x + 3 = 0, se cumple lo siguiente:\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10'

'Si la ecuación cuadrática $x^{2}+4 a x+8 a^{2}-20 a+25=0$ tiene raíces reales, entonces $a=\\{ \\text{constante} \\}$ y las soluciones son $x=\\{ \\text{constante} \\}$.'

'Crear una ecuación cuadrática con la suma como \ p \ y el producto como \ q \.'

'Encuentra los valores de los números reales x, y que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones.'

''

'Crea una ecuación cuadrática con las raíces α y β.'

''

'Cuando la ecuación $x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0$ tiene raíces en $x=-1,3$, encuentra los valores de las constantes $a, b$. Además, encuentra las otras raíces en este caso.'

'La suma y el producto de las dos raíces de la ecuación cuadrática $x^{2}+a x+b=0$ son las raíces de la ecuación cuadrática $x^{2}+b x+a=0$. Determine los valores de las constantes $a, b$.'

'La ganancia por día es (a x + 3 y) 10,000 yenes. Si dejamos ax + 3 y = l ....5), entonces (5) representa una recta con una pendiente de -a/3 y una intersección y de l/3.'

'Consideremos los valores máximo y mínimo de -3x+y bajo las mismas condiciones que A (llamémoslo C). Si expresamos -3x+y=k, entonces y=3x+k。'

'Sea A un polinomio. Cuando x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10 se divide por A, el cociente es A y el resto es 5x^2 - 4x + 1. Encuentra el polinomio A.'

'Determina los valores de las constantes a, b, c y d para que las siguientes ecuaciones sean verdaderas para x:'

'Encuentra el rango de valores para la constante p de modo que la ecuación x^3-3p^2x+8p=0 tenga tres soluciones reales distintas.'

'Para la ecuación cuadrática en términos de x, 8x^2-4x-a=0, con dos soluciones siendo sin θ y cos θ, encuentra el valor de la constante a y las 2 soluciones de la ecuación. [Similar a la Universidad de Keio] A partir de la relación entre las soluciones de la ecuación cuadrática y los coeficientes, sin θ+cos θ=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2}, sin θ cos θ=-\\frac{a}{8}. Al elevar al cuadrado ambos lados de (1) se obtiene sin^2 θ+2sin θ cos θ+cos^2 θ=\\frac{1}{4}, por lo tanto 1+2sin θ cos θ=\\frac{1}{4}, lo que implica que sin θ cos θ=-\\frac{3}{8}. Sustituyendo esto en (2) se obtiene -\\frac{a}{8}=-\\frac{3}{8}, por lo tanto a=3. Por lo tanto, la ecuación cuadrática dada es 8x^2-4x-3=0. Al resolver esta ecuación, las dos soluciones son x=(1±√7)/4.'

'Pregunta básica de columna 18 Determinación de los coeficientes de una identidad'

'Usa la relación de recurrencia para encontrar el término general de la secuencia.'

'Dada la ecuación cuadrática $3 x^{2}-2 x-4=0$ con dos raíces $\\alpha, \eta$, encuentra el valor de las siguientes expresiones.'

''

'Cuando (x + y) / 2 = (y + z) / 5 = (z + x) / 7 (no igual a 0), encuentre el valor de (xy + yz + zx) / (x^2 + y^2 + z^2).'

'La ecuación cuártica x^4+ax^3+7x^2+bx+26=0 tiene dos raíces comunes con la ecuación cuadrática x^2+2x+2=0 y la suma de las raíces comunes es 37. [Universidad de Creencias de Tokushima] (1) Encuentra los valores de las constantes reales a, b. (2) Encuentra las raíces restantes de la ecuación cuártica.'

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'Encuentre el rango de valores posibles para x dado que x, y, z son números reales que satisfacen x+y+z=0 y x^2-x-1=yz. Determine los valores máximos y mínimos de x^3+y^3+z^3 y los valores correspondientes de x.'

'（3）En una progresión geométrica donde el primer término a y la razón común r son números reales, si la suma desde el primer término hasta el término n es Sn, y cuando Sn=3 y Sn=27. Encuentra los valores de a, r.'

'En las matemáticas \ \\mathbb{I} \ EX\\nLas dos soluciones de la ecuación cuadrática \\( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) son \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. Encuentra la constante positiva \ a \ y los valores de \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. Dado que \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \.'

'(1) $x^{2}-14 x+45=0$'