Teoría Básica de Números - Números Racionales e Irracionales

'Ejercicio pregunta 13 El dígito principal\n505\nPara un número real no negativo a, donde 0 ≤ r < 1, y a-r es un entero, el número real r se denota por {a}. En otras palabras, {a} representa la parte decimal de a. (1) Encuentra un número entero positivo n que haga que la parte decimal de {n log_10 2} sea menor que 0.02. (2) Encuentra un número entero positivo n donde el dígito principal de 2^n en la representación decimal es 7. Se da que 0.3010 < log_10 2 < 0.3011 y 0.8450 < log_10 7 < 0.8451. [Universidad de Kioto]'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'¿Es la tangente de 1 grado un número racional?'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'Cuando x=π, y=π/12, el valor máximo es 25/12 π; cuando x=0, y=5/12 π, el valor mínimo es 5/12 π'

'Polinomio con coeficientes racionales'

'x = (3 ± √21) / 3'

'Cuando 1 ≤ a < (3 + √6) / 3, M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'Encuentra la raíz cuadrada de un número negativo. Supongamos que a es un número real positivo.'

'Encuentra la suma de la siguiente serie.'

'(1) Supongamos que existe un número racional x que satisface 3^{x}=5. Dado que 3^{x}=5>1, implica que x>0. Por lo tanto, x puede ser expressado como x=\x0crac{m}{n} donde m y n son enteros positivos. Cuando ambos lados se elevan por n, obtenemos 3^{m}=5^{n} (1). El lado izquierdo es un múltiplo de 3, pero el derecho no es un múltiplo de 3, lo cual lleva a una contradicción. Por lo tanto, x que satisface 3^{x}=5 no es un número racional.'

'(1) Si a > 0 y x > 0, entonces a^{1/2x} > 0, a^{-1/2x} > 0'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'Calcular.'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'Demuestra que la solución a la ecuación $3^{x}=5$ no es un número racional.'

'¿Es la tangente de 1 grado un número racional?'

'Raíces cuadradas de números negativos'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'Investigar Secuencias Aritméticas y Geométricas'

'Calcule la siguiente suma: \\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。'

''

'Expresa los siguientes conjuntos de números en términos de desigualdad.\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'Encuentra la raíz cuadrada de (1) a (3). Además, calcula (4) a (6).'

'Expresa los siguientes conjuntos de números en términos de desigualdad.'

'Encuentra las siguientes cuatro sumas.'

'Resuelve las siguientes desigualdades: (1) $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$ (2) $5^{x+3}>\\frac{1}{25}$ (3) $2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'Cuando x=√10, y=10, el valor máximo es 1/2'

'Encuentra el valor correspondiente al número 5.67 en la tabla a continuación.'

'Encuentra la raíz cuadrada de (1) a (3). Realiza los cálculos para (4) a (6).'

''

'Expresa los tamaños relativos de los siguientes conjuntos de números usando símbolos de desigualdad.'

'(8) En la Figura 6, hay una diferencia de 0.05 mm entre la longitud de la escala principal de 2 mm y el incremento mínimo de 1 mm de la escala de nonio, que es 2 - 1.95 = 0.05 (mm). Por lo tanto, cuando las líneas de escala de la escala principal y la escala de nonio están alineadas y hay un desajuste de un incremento en la escala de nonio, se produce una diferencia de 0.05mm en la longitud medida (valor de medición). Como resultado, la longitud que se puede leer con el calibrador en la Figura 6 es en incrementos de 0.05mm.'

'(1) Valor máximo \\\sqrt{2}\, valor mínimo \-\\sqrt{2}\\\n(2) Valor máximo 5, valor mínimo -5'

'Cuando el número complejo z satisface |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, ilustra el rango en el que se mueve el punto z en el plano complejo.'

'¿Qué es el número natural?'

'Sean α y z números complejos, con |α|>1. Compara las magnitudes de |z-α| y |αz-1|.'

'Sobre π: El hecho de que π sea un número irracional puede ser demostrado dentro del alcance de las matemáticas de la escuela secundaria utilizando métodos como la prueba por contradicción y la integración por partes. Aquí presentamos la demostración de Neve publicada en 1947. Suponiendo que π es un número racional, π = {b} / {a} (a, b son números naturales). Sea f(x) = {1} / {n!} x ^ {n} (b - a x) ^ {n} = {a} ^ {n} / {n!} x ^ {n} (π - x) ^ {n}, considere la integral definida I = ∫_ {0} ^ {π} f(x) sinx dx. Primero, demostramos que I es un entero. Para I, mediante el uso repetido de la integración por partes, dado que f(x) es un polinomio de 2n grado'

'Encuentra el argumento \ \\theta \ del número complejo \ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \. Asegúrate de que \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \.'

'Encuentra los valores de las constantes a y b de modo que el rango de la función y=√(2x+4) sea 1≤y≤3.'

"La proposición 'Sea n un entero. Si n^2 es un múltiplo de 7, entonces n es un múltiplo de 7' es verdadera. Utiliza esta proposición para demostrar que √7 es un número irracional."

'Ejemplo básico 23 Racionalizar el denominador Simplifique las siguientes expresiones racionalizando el denominador.'

'Cuando se dividen 3 personas en 3 grupos de 3 cada uno, si eliminamos la distinción entre A, B y C, entonces cada conjunto puede ser organizado de 3! maneras, ¿cuál es el número total de formas de dividirlos?'

'Dado x=(√2+√3)/(√2-√3), y=(√2-√3)/(√2+√3), encuentra los valores de las siguientes expresiones.'

'Si la parte entera de 1+√10 es a, y la parte decimal es b. Encuentra los siguientes valores: (1) a, b; (2) b + 1/b, b² + 1/b²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'Demuestra que cuando la fracción a = m / n (donde m, n son enteros y n>0) se convierte en un decimal infinito, a es un decimal periódico.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) Demuestra que $\\sqrt{5}$ es irracional.'

'√3 es un número irracional. Encuentra los valores de los números racionales a, b que satisfacen 7+a√3/2+√3=b+9√3.'

'(1) En orden \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57 (A) 20/3'

'En una ciudad con 6 carreteras de norte a sur y 4 carreteras de este a oeste, consideremos el camino más corto desde el punto P hasta el punto Q. Durante este viaje, lance una moneda: si sale cara, muévase hacia el este 1 cuadra, si sale cruz, muévase hacia el norte 1 cuadra. La probabilidad de obtener cara o cruz es igual, siendo ambas 1/2. Además, antes de llegar al punto Q, si la moneda cae en cara en la intersección más oriental o en cruz en la intersección más septentrional, no se puede continuar y se debe permanecer en esa intersección.'

'PRACTICA 23'

'La suma, diferencia, producto y cociente de dos números reales a y b son siempre números reales. Por ejemplo, incluso al sumar números racionales, el resultado siempre es un número racional. Explica que las operaciones aritméticas siempre son posibles dentro del rango de los números racionales y reales. Sin embargo, la división no considera dividir entre 0.'

'Demuestra que la suma de un número racional y un número irracional es irracional.'

'(1) Simplifique \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'Demuestra que √5 es un número irracional.'

'Volumen \ \\frac{4}{3} \, Distancia \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'Determina el rango de la constante a y encuentra las coordenadas de los puntos de intersección.'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x= \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'Demuestra que la suma de un número racional y un número irracional es irracional.'

'En un juego donde se lanza repetidamente una moneda, y se gana un premio cuando cae de cara 3 veces, con un máximo de 5 lanzamientos permitidos y no más lanzamientos después de la tercera cara, ¿cuántas secuencias posibles hay para ganar el premio si el primer lanzamiento resulta en cruz?'

'Investiga la veracidad de las siguientes proposiciones. Sin embargo, utiliza conjuntos para investigar (2) y (3).\n(1) Para números reales a, b, si el cuadrado de a es igual al cuadrado de b, entonces a es igual a b\n(2) Para números reales x, si |x|<3, entonces x<3\n(3) Para números reales x, si x<1, entonces |x|<1'

'Ejemplo 98: Determine el rango de existencia de soluciones para una ecuación cuadrática con soluciones en los rangos 0 < x < 1 y 1 < x < 2.'

'(A) \ \\frac{1}{7} \'

'Explique las propiedades de las raíces cuadradas.'

'Una raíz cuadrada de un número positivo a tiene dos raíces, que son iguales en valor absoluto pero difieren en signo. La raíz cuadrada de 0 es 0. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 5 es sqrt{5} y -sqrt{5}. Ejemplos de cálculos con raíces cuadradas incluyen: sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}. sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}.'

''

'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones.'

'Cuando x=(2+√3)/(2-√3) y y=(2-√3)/(2+√3), encuentra los valores de las siguientes ecuaciones.'

'Demuestra que sqrt(3) es un número irracional. Supongamos que sqrt(3) es racional, es decir, existen dos números naturales m y n sin divisores comunes excepto 1, tal que sqrt(3) = m/n. Por lo tanto, m = sqrt(3)n. Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos m^2 = 3n^2, por lo tanto m es múltiplo de 3. Así, existe un número natural k tal que m = 3k. Sustituyendo esto, obtenemos 9k^2 = 3n^2, que se simplifica a n^2 = 3k^2, implicando que n es múltiplo de 3, lo que lleva a una contradicción. Por lo tanto, sqrt(3) es irracional.'

'Usa la prueba por contradicción para demostrar la siguiente proposición: Al menos uno de x al cuadrado y x al cubo es un número irracional.'

'(1) Sea a, b, c y d números racionales, √l un número irracional. Demuestra que b=d cuando a+b√l=c+d√l. Además, demuestra que a=c en este caso. (2) Encuentra los valores de los números racionales x e y que satisfacen (1+3√2)x + (3+2√2)y = -5-√2.'

'Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones.'

''

'(1) Para un cierto número natural n, √n es un número racional, verdadero. (2) Para todos los números reales x, x^2 ≠ x + 2, falso'

'Eliminar las raíces cuadradas dobles en las siguientes expresiones:'

'Expresa los decimales periódicos 0.2, 1.21, 0.13 como fracciones.'

'Responda la siguiente pregunta. 127 (1) Encuentre las longitudes de los otros lados de un triángulo con longitud b=2√7.'

'Explique la condición p y su negación.'

'Usando el hecho de que √3 es un número irracional, demuestra que 1+2√3 también es irracional.'

'(1) Sean a, b números racionales. Cuando a+b \\sqrt{3}=0, demuestra que \\sqrt{3} es un número irracional para probar que a=b=0. \n(2) Encuentra los valores de los números racionales x, y que satisfacen (2+3 \\sqrt{3}) x+(1-5 \\sqrt{3}) y=13.'

''

'Explica la definición de los números irracionales y enumera dos de sus características.'

'¿Qué es una raíz cuadrada? Por favor explique con ejemplos específicos.'

'Demuestra que √3 es un número irracional. Supongamos que √3 es un número racional y puede representarse como √3 = p/q, donde p y q son enteros coprimos. Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos 3 = p^2/q^2, al reorganizarlo obtenemos 3q^2 = p^2. Por lo tanto, p^2 es un múltiplo de 3, según la suposición, p es un múltiplo de 3, por lo que puede escribirse como p = 3m. Al sustituirlo de nuevo obtenemos 3q^2 = 9m^2, dividiendo por 3 obtenemos q^2 = 3m^2, lo que significa que q también es un múltiplo de 3. Esto contradice el hecho de que p y q sean coprimos, por lo que la suposición es incorrecta y √3 es irracional.'

'Eliminar las raíces cuadradas dobles en las siguientes expresiones.'

'Encuentra el término general de la secuencia 1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30.'

'Calcular cada expresión.'

'139\n(1) \ \\frac{\\sqrt{3}-1}{4} \'

'117\nEncuentra los valores de a y b, donde a = (6 ± √14)/2 y b = (6 ∓ √14)/2\n(los signos son iguales en ambos casos)'

'Sean a y b números reales distintos de cero. ¿Las siguientes igualdades son válidas cuando a>0 y b>0, pero qué sucede en otros casos? Por favor investigar los siguientes escenarios: [1] a>0, b<0 [2] a<0, b>0 [3] a = √(a/b) (2) √(a) / √(b) = √(a/b) (3) √(a) √(b) = √(ab)'

'Sobre la sucesión 1/1, 1/2, 3/2, 1/3, 3/3, 5/3, 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 1/5, ...'

'562 cm o (1+√3) cm'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) Resumen'

'Encuentra los siguientes valores:\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'Sea a una constante positiva diferente de 1. Si a^x=8 y a^y=25, expresa log_{10} 500 en términos de x e y.'

"En problemas donde se deben determinar los coeficientes de una ecuación de alto grado, los siguientes [1], [2] son la base para resolver el problema. Primero, vamos a entender este punto más importante. x=α es una solución a la ecuación f(x)=0 si y solo si f(α)=0 (se cumple al sustituir) ⇐[1]⇔ f(x) tiene x−α como un factor ⇐[2] El método de solución más básico es la estrategia de [1], que es 'sustituir la solución'. En los problemas de ejemplo 61, 62, primero mostramos las respuestas usando esta estrategia. Sin embargo, cuando la solución es imaginaria como en el ejemplo 62, los cálculos después de la sustitución pueden volverse algo complicados."

'Calcule las siguientes expresiones. (5) (sqrt{3}+sqrt{-1})(1-sqrt{-3})'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'Pregunta 95 sqrt{15} dividido por 2 < r < 4'

'Calcula las siguientes expresiones. Suponga que a>0, b>0.'

'Encuentra la suma de la secuencia desde el primer término hasta el término n-ésimo.'

"(2) Indica la conversa, contrapositiva e inversa de 'Si xy es irracional, entonces al menos uno de x, y es irracional', y determina sus valores de verdad."

'Usando el hecho de que √3 es un número irracional, demuestra que 1/√2 + 1/√6 es irracional.'

''

'Usando la demostración por contrapositiva del Proposición 61, demuestra que \ \\sqrt{7} \ es un número irracional, y luego demuestra que \ \\sqrt{5}+\\sqrt{7} \ es un número irracional. Principio básico 2. Es difícil mostrar directamente que un número es irracional (es decir, no es racional). Por lo tanto, asumimos que la proposición a demostrar es falsa, derivamos una contradicción y demostramos que la proposición es verdadera.'

'En △ABC, donde a=1+√3, b=2, y C=60°. Encuentra lo siguiente:\n(1) Longitud del lado AB\n(2) Medida de ∠B\n(3) Área de △ABC\n(4) Radio de la circunferencia circunscrita\n(5) Radio del círculo inscrito\n[Similar a la Universidad de Educación de Nara]\np. 285 EX118,119'

'Acerca del valor de √2'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'Para las siguientes proposiciones, proporciona la contrapositiva y la contrapositiva inversa, y determina si son verdaderas o falsas.'

'Utilice la racionalización de denominadores.'

'Encuentra el valor de (3) (1+√3)^3.'

'En el ejemplo 28, al racionalizar el denominador de x se obtiene x=5-2√6, y al racionalizar el denominador de y se obtiene y=5+2√6.'

'Demuestra cada parte del siguiente problema. (2) Suponiendo que √n y √(n+1) son ambos números racionales. Demuestra que √n y √(n+1) son ambos enteros positivos. (3) Suponiendo que √(n+1) - √n es un número racional. Muestra las propiedades de √n y √(n+1). Resuelve el siguiente problema. Deriva a x + y de (a x + y)/(1 - a) = a y resuelve la ecuación.'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'Simplifique las siguientes expresiones racionalizando los denominadores.'

'Proporcione un contraejemplo para las siguientes proposiciones.'

'Practica simplificar las siguientes expresiones racionalizando los denominadores.'

'Explique las propiedades de los números reales y las raíces cuadradas.'

'Sea A el conjunto de números racionales y B el conjunto de números irracionales en 33®. Deje que ∅ represente el conjunto vacío. Elija el símbolo adecuado ∈, ∋, ⊆, ⊇, ∪, ∩ para completar los espacios en blanco a continuación.'

'Demuestra que \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ es un número irracional. Se supone que \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ son conocidos como irracionales.'

'Demuestra que para los números racionales a, b, c, d y un número irracional x, si a+bx=c+dx, entonces a=c y b=d.'

'Ejemplo básico 27 Parte entera y decimal'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'De las condiciones dadas, AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}. Tomando los puntos D, E, F, G como se muestra en la figura, sea x la longitud del lado vertical del rectángulo, entonces DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x, FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x. Además, dado que 0<CE<AC, tenemos que 0<2 x<3 \\sqrt{2}, lo que significa 0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}. Sea y la suma de las áreas de los dos rectángulos, entonces y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6. El valor máximo de y es 6 cuando x=\\sqrt{2}. Por lo tanto, el valor máximo de la suma de las áreas de los dos rectángulos es 6.'

'Prueba usando la prueba por contradicción'

'Racionaliza los denominadores y simplifica las siguientes expresiones:'

'Demuestra que la suma de un número racional y un número irracional es un número irracional.'

'Demuestra que PR√2+√3 es irracional. Supongamos que √2 y √3 son ambos irracionales.'

'Demuestra que la suma de un número racional y un número irracional es irracional.'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'De \\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ se sigue que \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\. Sea \\\mathrm{T}\ el punto en la recta \x=1\ donde la coordenada \y\ es \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\. La intersección de la recta \OT\ y la semicircunferencia con radio 1 es el punto \\\mathrm{P}\ en la figura. El \\\theta\ requerido es \\\angle \\mathrm{AOP}\.'

'Simplificar la siguiente expresión.'

'Dado x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}, y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}, encuentra los valores de las siguientes expresiones.'

'Número de soluciones cuando 84 a > -1 / 8, número de soluciones cuando a = -1 / 8, número de soluciones cuando a < -1 / 8'

'Cuando x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}}, encuentre los valores de las siguientes expresiones.\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'Demuestra usando la prueba por contradicción que √3 es irracional.'

'79 (1) Dado z=√3+i, -√3-i (2) Dado z=2i, -√3-i, √3-i'

''

'(2) El punto z satisface la ecuación |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z, es decir, w=2(1+√3 i) z A partir de z =w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8, sustituya en el (1) para obtener |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1 , es decir, |(1-√3 i)/8||w-8|=1 |(1-√3 i)/8|=2/8=1/4, por lo tanto, |w-8|=4 Por lo tanto, el punto w traza un círculo centrado en el punto 8 con un radio de 4. Referencia 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)), por lo que el punto (2+2 √3 i) z es el punto obtenido al rotar el punto z alrededor del origen por π/3 y multiplicarlo por 4. Por lo tanto, el punto central 1-√3 i del círculo |z-(1-√3 i)|=1 se mueve al punto 8, y el radio del círculo es 4. Por lo tanto, el punto w traza un círculo centrado en el punto 8 con un radio de 4.'

"Por favor explique los siguientes términos: acotado, valor definido finito, segmento de línea dirigido, cónico focal, función racional, función positiva, suma de cuadrados, ángulo excéntrico, excentricidad, volumen de un sólido, limacón, divisor de cero, matriz cero, vector cero, lemniscata, continuo, serie de Leibniz, regla de L'Hôpital, teorema de Rolle"

'Para un número complejo \ \\alpha=a+b i \, donde \ \\overline{\\alpha}=a-b i \ es el conjugado de \ \\alpha \, demuestra lo siguiente:\n\n(1) Si \ \\alpha \ es un número real, entonces \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \. Si \ \\alpha \ es un número imaginario puro con \ \\alpha \\neq 0 \, entonces \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \.\n(2) Demuestra que \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ es un número real.\n(3) Demuestra que \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \.\n(4) Demuestra que \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \.'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\nDe (1), s^2/b^2 + t^2 = 1\nSustituyendo (2) en t^2 = 1 - s^2/b^2\nObtenemos s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1\nSimplificando obtenemos s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)\ns > 0, b > 0, por lo tanto s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\nDe (2), (3) obtenemos t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)\nt > 0, a > 0, b > 1, por lo tanto t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'La respuesta al problema de ejercicio es t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'Práctica 44\\n(1) (Solución 1) x=1/(y^2-2y) A partir de esto, obtenemos y^2-2y-1/x=0 Sea el discriminante de esta ecuación cuadrática D\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 implica 1/x+1 >= 0 Por lo tanto, x<=-1,0<x Así, cuando x<=-1,0<x tenemos y=1±√(1+1/x)'

'Respuesta de la pregunta de ejercicio 62 (1) a= \\ frac{9}{8}'

'Condiciones para que la desigualdad se cumpla'

'Solución al problema de ejercicios 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'Encuentra la raíz n-ésima de 1 y explica a qué posición en el círculo unitario corresponde cada valor.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de los siguientes problemas.'

'(1) \ z \ es todos los números reales excepto 0, 1 y -1'

'Lea la siguiente prueba para demostrar que e es un número irracional.'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'Demuestra la desigualdad e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'Ejercicio 41 III: Demuestra la desigualdad \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \.'

'(1) Omitido\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

"Por favor, explique la prueba de que 'e es un número irracional'. Muestre el procedimiento para demostrar que e es irracional utilizando el método de demostración por contradicción y series infinitas."

'Cuando α=√3+i y β=2-2i, exprese αβ y α/β en forma polar, donde el argumento θ está en el rango 0≤θ<2π.'

'Sean a, b números reales no negativos. Las siguientes ecuaciones se cumplen cuando a > 0, b > 0, ¿pero qué sucede en otros casos? Investigue en los siguientes casos.'

'Calcula las siguientes expresiones matemáticas.'

'(1) Sea a = 1/4, b = 3/4, y 2ab = 3/8, a^2 + b^2 = 5/8,\n\nSe espera que a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b.'

'Responda a las siguientes preguntas. Suponga que $\\sqrt{3}$ es un número irracional.\n(1) Demuestre que $\\log_{3} 4$ es irracional.\n(2) Encuentre un par de números reales $(a, b)$, donde $a$ y $b$ son irracionales, y $a^{b}$ es racional.'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'Encuentra los valores de θ para los cuales 21θ está entre 210° y π/2. Aunque cos θ no es un número racional, encuentra los valores de θ donde tanto cos 2θ como cos 3θ son números racionales.'

'Determinación del número de dígitos y del primer lugar decimal utilizando logaritmos comunes'

'(Dado que a > 0 y 9^a + 9^-a = 14, encuentra el valor de las siguientes expresiones: 1) 3^a + 3^-a 2) 3^a - 3^-a 3) 27^a + 27^-a 4) 27^a - 27^-a)'

'Encuentra los números racionales x, y que satisfacen la ecuación 20^x = 10^(y+1).'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'Pregunta 24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'Encuentra el número complejo z que satisface la ecuación z^2=2+2sqrt(3)i.'

'32 Logaritmos Comunes\n33 Problemas Avanzados Relacionados EJERCICIOS'

'Determinación de la cantidad de dígitos utilizando logaritmos comunes y la posición del primer dígito no cero en el decimal'

'El valor máximo es (9 + 4√3) / 9, y el valor mínimo es (9 - 4√3) / 9'

''

'Expresa las siguientes series de números en orden usando signos de desigualdad.'

'95 no es un número racional.'

'Sea a un número real positivo en el plano complejo, w=a(cosπ/36+isinπ/36). Define la secuencia de números complejos {zn} como z1=w, zn+1=znw^(2n+1) (n=1,2,…). (1) Encuentra el argumento de zn. (2) En el plano complejo, con el origen como O y representando zn como punto Pn. Encuentra los valores de n y a para los cuales △OPnPn+1 es un triángulo rectángulo isósceles para 1≤n≤17.'

'(3) x = √5/10 tiene un valor máximo de √5/2 en x = -1/2 y un valor mínimo de -1/2'

'Por favor, explique el método para expresar un decimal periódico como una fracción utilizando el concepto de serie geométrica infinita.'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) Representa la parte entera de un número real a (k ≤ a < k+1 y k es un entero) como [a]. Encuentra la cantidad de elementos distintos entre [f(1)], [f(2)], [f(3)], ..., [f(1000)]. Calcula según sea necesario utilizando log 10 = 2.3026.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Práctica ⊕ 31'

'Cuando una pelota se cae al suelo, rebota hasta el 3/5 de la altura de la caída.'

'Calcular la siguiente expresión.'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'Dado que el triángulo ABC con vértices A(-1), B(1), C(√3i) es un triángulo equilátero, y el triángulo PQR con vértices P(α), Q(β), R(γ) es también equilátero, demuestra que la ecuación α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0 es verdadera.'

'Gráfico y rango de funciones irracionales\nGráfico y puntos de intersección de números irracionales, desigualdades irracionales'

'(1) Cuando |x| es suficientemente pequeño, encuentra las aproximaciones de primer y segundo orden de las siguientes funciones.'

'Sean α y z números complejos, con |α|>1. Compara las magnitudes de |z-α| y |α z-1|.'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. El argumento 𝜃 debe satisfacer 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2. Supongamos que (1) es y=1/(x+3) y (2) es y=1/(3-x). Resolver esto nos da x=0. La solución requerida para la desigualdad es el rango de valores de x donde el gráfico de (1) está por encima del gráfico de (2) o donde tienen puntos en común. Por lo tanto, a partir de la figura, el rango de valores de x que estamos buscando es -3 < x ≤ 0, 3 < x.'

'Cuando a=-\\frac{24}{\\pi^{2}} y b=\\frac{12}{\\pi^{2}}, el valor mínimo es -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de |z+√3| cuando un número complejo z satisface |z-i|=1, y determina los valores correspondientes de z.'

'Cuando a= \\frac{2}{e+1}, el valor mínimo es \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'Cómo dividir un cuadrado en tres partes iguales'

'Propiedades de la raíz n-ésima de 1'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'Hay un tipo de crecimiento que no se puede expresar en números.'

'Suponga que un número complejo z cumple con |z| ≤ 1. Sobre el número complejo w = z-√2, responda las siguientes preguntas: (1) ¿Qué tipo de forma traza el punto w en el plano complejo? Ilustre. (2) Si representamos el valor absoluto de w^2 como r y el argumento como θ, encuentre el rango de r y θ. Note que 0 ≤ θ < 2π.'

'432 Ejemplo Básico 85 Producto y Cociente de Números Complejos\nSea α=1-i, β=√3+i. Donde, el argumento es 0 ≤ θ < 2π.\n(1) Expresa αβ y α/β respectivamente en forma polar.\n(2) Encuentra arg(β^4), |α/β^4|.\n(3) Consulta p.429 Básicos 1 1, 2'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'Ordene los valores de la siguiente función en orden descendente: (11^1/10, 13^1/12, 15^1/14)'

'Demuestra la desigualdad \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'Encuentra el valor mínimo cuando t = 2/3.'

'Sea \ a \ una constante positiva. Encuentra el rango de valores de \ a \ tal que la desigualdad \ a^{x} \\geqq x \ se cumpla para todos los números reales positivos \ x \.'

'Si un número complejo z satisface |z|=1, entonces el valor máximo de |z^3-1/z^3| es a.'

'Expresando 1+√3i y 1+i en forma polar, encuentra los valores de cos(π/12) y sin(π/12) respectivamente.'

'9 dividido por 8'

'42 (1) 10√3\n(2) 1:3'

'Cuando z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \, el valor máximo es 3. Cuando z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\), el valor mínimo es 1.'

'Describe las propiedades de la raíz n de 1.'

'Diferencia de velocidad divergiendo hacia el infinito'

'34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \'

'144'

'Ejemplo 11 Decimales recurrentes'

'Expresa el decimal periódico siguiente como una fracción.'

'Demuestra que no existe un número natural n tal que tanto √n como √(n+1) sean números racionales.'

'Ejercicio 4 | II --> Libro p.59\n(2)\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'En el Ejemplo 31, la piedra tiene una probabilidad de \ \\frac{1}{2} \ de moverse desde el punto A hasta B y C respectivamente. De manera similar, tiene una probabilidad de \ \\frac{1}{2} \ de moverse desde el punto B hasta C y D. Observando las piedras que llegan a cada punto desde A y B hasta C, desde B y C hasta D, desde C y D hasta E, y así sucesivamente. Por lo tanto, se puede concluir que cuando la piedra se mueve desde el punto P, Q hasta el punto R, las probabilidades de llegar a los puntos P, Q, R son p, q, r respectivamente, entonces r=\\frac{1}{2} p+\\frac{1}{2} q. Usando esto, las probabilidades de llegar a cada punto se pueden calcular sucesivamente.'

'Por favor, lee la explicación sobre los números reales y sus propiedades y responde a las siguientes preguntas:\n1. ¿Cómo clasificas los números reales?\n2. ¿Cómo representas el punto P que corresponde a la coordenada a en la recta numérica?\n3. Por favor, define el valor absoluto.\n4. Define la raíz cuadrada y explica la diferencia entre la raíz cuadrada positiva y negativa.'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'Por favor, proporcione un ejemplo de cómo los números irracionales aparecen en problemas matemáticos específicos.'

'Del número 128 en Matemáticas I (3), considerando la desigualdad \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\], obtenemos que \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Al resolver la ecuación \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \ obtenemos que \ \\theta=30^{\\circ} \. Dado que la solución se encuentra en la línea \ x=1 \ con una coordenada \ y \ mayor o igual a \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \, el rango de soluciones es \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \'

'Practica demostrar lo siguiente usando la unicidad de la factorización en números primos.'

'Demuestra que la raíz cuadrada de 3 es un número irracional.'

'Sea x un número positivo. Un rectángulo con ambos lados siendo números racionales puede ser cubierto con un tipo de cuadrado. Es decir, para un rectángulo con longitudes de lado de 1 y x, si x es un número racional, puede ser cubierto con un tipo de cuadrado. Si no puede ser cubierto con un tipo de cuadrado, entonces la otra longitud del rectángulo es irracional. Usando este hecho, demuestra que √10 es irracional.'

'Encuentra el rango de la función y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5}.'

'42 √7 o 1+√6'