Teoría Básica de Números - Números Primos y Factorización

'Explica el Teorema del Factor.'

'Demuestra usando el teorema binomial que la siguiente ecuación es verdadera: { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'Máximo común divisor (polinomios): Un polinomio que se divide de manera uniforme en todos los polinomios dados, de dos o más polinomios.'

'(1) Demuestra que si m es un número primo, entonces d_{m}=m.\n(2) Demuestra por inducción matemática que para todos los números naturales k, k^m-k es divisible por d_{m}.'

'Demuestra que para todos los números naturales n, la expresión 4^{2n+1} + 3^{n+2} es un múltiplo de 13.'

'Matemáticas II\n(1) De (α-2)(α+3)=0, obtenemos α=2,-3\n(2) De α=2, k=8 y de α=-3, k=-27\nPor lo tanto k=8,-27'

'Práctica (1) Demuestra que cuando n es un número natural, 4^(2n+1) + 3^(n+2) es múltiplo de 13.'

'(1) Cuando se divide $k ^ 3$ por $n$ y se obtiene un cociente $q$ y un resto $r$, entonces $k ^ 3 = qn + r (0≤r≤n-1)$ Cuando $n$ y $k$ son coprimos, $n$ y $k ^ 3$ también son coprimos. Por lo tanto, $r≠0$, por lo que $1≤r≤n-1$ Al dividir ambos lados de (1) por $n$ obtenemos $\\frac{k ^ 3}{n} = q + \\frac{r}{n}$ Dado que $1≤r≤n-1$, sabemos que $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$. Por lo tanto, 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1, por lo tanto $\\left[\\frac{k ^ 3}{n}\\right] = \\left[q + \\frac{r}{n}\\right] = q$'

'(2) Demostrar que para todos los k, k^m - k es divisible por d_m. [1] Cuando k=1, 1^m - 1 = 0 y d_m ≠ 0, por lo que 0 es divisible por d_m. Por lo tanto, (1) es válido. [2] Supongamos que (1) es válido para k=l, es decir, l^m - l es divisible por d_m. Al considerar k=l+1, (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} Según la suposición, l^m - l es divisible por d_m. Además, d_m es el máximo común divisor de {m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)}, por lo que estos términos también son divisibles por d_m. Por lo tanto, (l+1)^m - (l+1) es divisible por d_m. Por lo tanto, cuando k=l+1, también se cumple (1). A partir de [1], [2], se puede concluir que (1) es válido para todos los números naturales k.'

'Demuestre lo siguiente cuando p es un número primo:\n(1) Para los números naturales k que satisfacen 1 ≤ k ≤ p-1, p_kC_k es un múltiplo de p.\n(2) 2^p-2 es un múltiplo de la fuerza.\n[Universidad de Tohoku Gakuin]'

"Definamos una palabra de longitud n como tres letras (a, b, c) dispuestas horizontalmente n veces. Aquí, n=1,2,3, … etc. Por ejemplo, abbaca y caab son palabras diferentes de longitud 4. Entre esas palabras de longitud n, consideremos a las que contienen un número impar de a's como xn, y al resto como yn. Encuentra los valores de xn e yn."

'En el ejercicio 55 (1) [1], cuando m=2, d_2 es el número natural más grande que divide al coeficiente binomial {2 C_1} = 2, por lo tanto d_2=2, y d_m=m es verdadero. [2] Cuando m es un número primo mayor o igual a 3, {m C_1} = m, por lo tanto es suficiente mostrar que {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} son múltiplos de m. Para k=2,3,…,m-1, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} así, k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1}. Dado que m es un número primo mayor o igual a 3, y 2 ≤ k ≤ m-1, k y m son coprimos. Por lo tanto, {m C_k} es un múltiplo de m. Por lo tanto, d_m=m es verdadero. De [1], [2], si m es un número primo, entonces d_m=m.'

'Ejercicio Integral'

'(3) \ m, n \ son números naturales, y \ p \ es un número primo, por lo tanto, \ m, n, p \ son números reales no nulos. Por lo tanto, a partir de (1), tenemos \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \. Además, en la ecuación \ a^{m} = b^{n} \, donde \ 1 < a < b \, tenemos\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { lo que implica } a^{m} > a^{n} \\\\\\\La base \ a \ es mayor que 1, por lo tanto \ m > n \. Así, a partir de (2), obtenemos \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \, y por lo tanto\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'Sea α, β las soluciones de (1), y sea f(x)=x^2+2ax+a-1. La condición para que α, β estén entre las dos soluciones de (2) es que, bajo las condiciones de (3), f(α)<0 y f(β)<0.'

'Cuando los números reales no nulos $x, y, z$ satisfacen $3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$, encuentre el valor de $\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$.'

'Suponga que los enteros a, b no son múltiplos de 3, y sea f(x) = 2x^3 + a^2x^2 + 2b^2x + 1. Demuestre que no existe un entero x que satisfaga f(x) = 0.'

'Dado que $4^{x}=6^{y}=24$, encuentra el valor de $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$.'

'¡Reflexionemos sobre las raíces repetidas! En matemáticas, las raíces repetidas se refieren al caso en que b^2-4ac=0 en la ecuación cuadrática ax^2+bx+c=0. En la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, x=-b±√(b^2-4ac)/(2a), cuando b^2-4ac=0, tanto √(b^2-4ac) como -√(b^2-4ac) son 0, lo que resulta en la raíz x=-b/(2a).'

'Más de 10723 piezas'

'Sea n un número natural mayor o igual a 3, demuestra la desigualdad 4^{n}>8 n+1 (A).'

'¿Cuál de los siguientes es un factor del polinomio 2x^3+5x^2-23x+10?'

'La condición necesaria y suficiente para la existencia de números reales x, y que satisfacen las ecuaciones x² - xy + y² = k y x + y = 1 es k ≥ 0.'

'Cómo encontrar los valores de k para los cuales P(k) = 0'

'Básico 57: Encontrar coeficientes a partir de condiciones divisibles'

'Expresa el tamaño de los siguientes conjuntos de números en orden utilizando símbolos de desigualdad.'

'Si depositas 1 millón de yenes con una tasa de interés anual del 1% compuesta anualmente, ¿en cuántos años el monto total de capital e intereses superará por primera vez 1.1 millones de yenes? Puedes utilizar una tabla de logaritmos común.'

'Examen de aritmética de la Escuela Secundaria Makuhari del Instituto de Educación de Shibuya del año 2020'

'Ordene los enteros mayores que 1 que no son ni números cuadrados ni números cúbicos en orden ascendente. 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots ¿Cuál es el entero 2020 cuando se cuenta desde el más pequeño?'

'(4) Cuando el lado del cuadrado negro está entre 1 cm y 100 cm, la cantidad de cuadrados blancos es al menos 8 ((1+1) x 4 = 8) y como mucho 404 ((100+1) x 4 = 404). Un número que no puede expresarse como la suma de enteros consecutivos, aparte de 1, es un entero que no tiene divisores impares. Este tipo de número se puede expresar como un producto de números primos, como 2 x ・・・ x 2. Por lo tanto, dentro del rango mencionado, hay 8 (piezas), 16 (piezas), 32 (piezas), 64 (piezas), 128 (piezas) y 256 (piezas), con longitudes laterales correspondientes de los cuadrados negros de 1 cm, 3 cm, 7 cm, 15 cm, 31 cm y 63 cm, respectivamente.'

"¿Qué significa '百八の煩脳'?"

'El embajador es bien recibido cada vez que visitaba al primer ministro.'

'En cuanto a la pregunta 5, la parte subrayada como d, la tasa de cambio entre moneda extranjera y otra moneda se conoce como tipo de cambio. Para las siguientes afirmaciones X e Y sobre este tema, elija la combinación correcta de las opciones a continuación para responder.'

'Cada 6 puntos × 2'

'(2) Cuando 3240 se expresa como un producto de números primos, 3240 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5.'

'Ordene de menor a mayor los enteros mayores que 1 que no son cuadrados perfectos, como 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ... ¿Cuál es el número 300 al contar desde el más pequeño?'

None

'(1) Demuestra que la desigualdad $2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$ se cumple usando el teorema del binomio. (2) Encuentra el valor de $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$.'

'Línea de referencia línea compuesta'

'Demuestre que para dos enteros a y b, si a+b y ab son coprimos, entonces a y b son coprimos.'

'Encuentra la cantidad de números naturales menores o iguales a 56 que son coprimos con 56.'

'Sean a y b números naturales, donde a + b = p + 4 y ab^{2} = q. Encuentra los números primos p y q que satisfacen estas condiciones.'

'Demuestra que entre 26 enteros distintos elegidos de 1 a 50, siempre habrá un par de números cuya suma sea 51.'

'Demuestra que n^{2}+1 es un múltiplo de 5 si y solo si el resto de dividir n por 5 es 2 o 3.'

'Sobre los divisores positivos de PR 3500'

'Un número primo es un número natural mayor que 1, que no tiene divisores positivos aparte de 1 y él mismo, mientras que un número que no es primo se llama número compuesto. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, etc., son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9, etc., son números compuestos.'

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None

'Bajo las condiciones dadas, cuando p=3k+2, el número natural p que hace que p, 2p+1 y 4p+1 sean todos números primos es p=3. Para números primos p mayores o iguales a 5, es evidente que o bien 2p+1 o 4p+1 será un múltiplo de 3.'

'Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:\n(2) Los divisores positivos de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28, lo que da un total de 6 divisores. Por lo tanto, esta es una proposición verdadera.\n(3) Cuando n=36, n es un múltiplo de 4 y 6, pero no de 24. Por lo tanto, esta es una proposición falsa (con n=36 como contraejemplo).'

'Utilizando las propiedades de los números primos'

'Demostración sobre números primos relativos'

'Demuestra que el producto de enteros consecutivos es un múltiplo de 2.'

'Estoy confundido sobre cómo abordar problemas de números primos. La definición de números primos, "Enteros mayores que 2 que no tienen divisores positivos aparte de 1 y ellos mismos," es simple. La clave es cómo utilizar esta definición de manera efectiva. Primero, entendamos las siguientes propiedades (1) y (2): (1) Los divisores de un número primo p son ±1 y ±p (hay 2 divisores positivos: 1 y p), (2) Los números primos son mayores que 2 y el único número primo par es 2. Además, todos los números primos mayores que 3 son impares. Al utilizar la propiedad de que "los divisores del número primo p son ±1 y ±p", podemos considerar cuatro casos (A) a (D) para cuando (n-3)(n-9) es un número primo p. Presta atención a la relación n-9<n-3 y 1<p,-p<-1, donde solo (B) n-9=1 y (C) n-3=-1 son posibles. En particular, ten cuidado con errores como n-9=-1 en casos negativos.'

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'Encuentra el entero positivo más pequeño cuyo número de divisores positivos es 28.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Número de números naturales coprimos'

'Encuentra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 72 y 120.\nDivide por los factores primos comunes entre los 12 números.\nPor ejemplo, continúa dividiendo entre 2.\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\nCalcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.'

'Encuentra todos los números naturales p tales que los tres números p, 2p+1, 4p+1 son todos primos.'

'Sean p y q números primos con p<q. Además, sean m y n enteros positivos tal que m≥3 y n≥2. Supongamos que entre los enteros de 1 a p^m * q^n, la cantidad de enteros que son múltiplos de p o q es 240. Encuentra el conjunto de (p, q, m, n) que satisfacen estas condiciones.'

'Ejemplo Básico 106 Número de Divisores Positivos\n(1) Encuentra el número de divisores positivos de 630.\n(2) Si un número natural N se factoriza en factores primos, donde los factores primos incluyen p y 7, y no hay otros factores primos. Además, N tiene 6 divisores positivos, y la suma de los divisores positivos es 104. Encuentra los valores del factor primo p y del número natural N.'

'Números perfectos y números primos'

'(2) Supongamos que a es un entero positivo, y que p = a^2 + 1 es un número primo. Entonces, n^2 + 1 es múltiplo de p si y solo si el residuo de dividir n por p es a o p - a.'

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'Demuestra que para dos enteros coprimos a y b, a+b y ab también son coprimos.'

'Encuentra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 2 enteros o 3 enteros utilizando la factorización en números primos.\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

None

'Encuentra la cantidad de números naturales menores que 432 que son coprimos con 432.'

'(2) Demuestra que si un número natural P no es divisible por 2 ni por 3, entonces P^2-1 es divisible por 24.'

'Encuentra el número de números naturales menores que 735 que son coprimos con 735.'

'Para encontrar el resto cuando se divide 13 a la potencia de 15 entre 5.'

'Sean a y b números naturales. Demuestra que si ab es múltiplo de 3, entonces a o b es múltiplo de 3.'

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'Pinte en el orden de D → A → B → C → E. Hay 6 formas de pintar D → A → B (3!). Para cada una de estas, hay 1 forma de pintar C, y 1 forma de pintar E. Por lo tanto, el número total de formas de pintar es 6 × 1 × 1 = 6.'

'Encuentre el número de divisores positivos del número entero positivo 756.'

'El problema (2) descompone el número natural N en factores primos, donde los factores primos son p y 5, y no hay otros factores primos. Además, N tiene 8 divisores positivos, y la suma de los divisores positivos es 90. Encuentra los valores del factor primo p y del número natural N.'

'Condición para que los tres números sean primos'

'Cuando la factorización prima de un número natural N es N=p^a * q^b * r^c ......, el número de divisores positivos de N es (a+1)(b+1)(c+1) ......'

'Hay un acertijo para adivinar la edad: Mi edad da un resto de 1 al dividirla por 3, un resto de 4 al dividirla por 5 y un resto de 1 al dividirla por 7. Por favor, adivina mi edad. Es menor que 105 años.'

'Demuestra que el producto de cuatro enteros consecutivos n(n+1)(n+2)(n+3) es múltiplo de 24.'

'Permutación'

'Demuestra que 2n-1 y 2n+1 son coprimos para cualquier número natural n.'

'Demuestre que cuando un número natural P no es divisible ni por 2 ni por 3, entonces P^2-1 es divisible por 24.'

'Omisión 73'

'Demuestra la condición para que los tres números sean primos'

'Principio de los cajones (método de asignación de habitaciones)'

'Sea n un número natural. Encuentre todos los valores de n que hagan que las siguientes expresiones sean números primos:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'¿Cuáles son los desafíos al descubrir números primos grandes?'

'Encuentra el número natural más pequeño n tal que √(378n) se convierta en un número natural.'

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'Cuando un entero se puede expresar como el producto de varios enteros, cada entero en el producto se llama factor del entero original. Los factores que son números primos se llaman factores primos, y expresar un número natural en forma de un producto que contenga solo números primos se llama factorización prima.'

'Primos gemelos y primos trillizos'

'Encuentra el entero positivo más pequeño para el cual el número de divisores positivos es 28.'

'Cómo encontrar números primos (criba de Eratóstenes)\nSi un número natural n no es divisible por todos los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada, entonces n es un número primo.\nUsando esta regla, considera un método para encontrar todos los números primos menores o iguales a 50.'

'Cantidad de divisores y suma'

'Factorización'

'¡Vamos a revisar los conceptos básicos de la factorización!'

'Fundamentos 11: Factorización extrayendo factores comunes'

'(1) Demuestra que el producto de dos enteros consecutivos es un múltiplo de 2.'

'Cuando dos enteros a y b no tienen factores primos comunes, su máximo común divisor es 1. Si el máximo común divisor de dos enteros a y b es 1, entonces a y b se consideran primos entre sí.'

'14 (1) 144 maneras\n(2) 720 maneras\n(3) 1440 maneras'

'Resumamos los pasos básicos de la factorización prima. Para aplicar las fórmulas de factorización prima:'

'¿Cuántas formas hay de que el producto de los resultados al lanzar un dado dos veces sea múltiplo de 12?'

'De a≥1 y b≥1, se tiene que a+b>a+b-1≥1. Además, dado que a+b-1 es un número primo, a+b-1=1. Por lo tanto, a+b=p. Dado que a≥1 y b≥1, se obtiene que a=1 y b=1. Así, a partir de (2), se obtiene que p=2, que es un número primo. Por lo tanto, los valores de a y b que hacen que p sea un número primo son a=1 y b=1.'

'¿Cuántas veces como máximo se puede dividir 60! por 3 y cuántos ceros consecutivos aparecerán al final de 50! al calcularlo?'

'(1) Demostración: Supongamos que el entero n no es un múltiplo de 3, entonces n puede ser representado como 3k±1 (k es un entero). Así, n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k), que debe ser un múltiplo de 3.'

'Factoriza sacando los factores comunes.'

'95 (1) n=21 (2) n=30,270'

'Encuentra el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros usando el algoritmo de Euclides: (1) 221, 91 (2) 418, 247 (3) 1501, 899'

'Encuentra todos los valores de p para los cuales 51, 2p+1 y 4p+1 son números primos. Comprueba si 2p+1 y 4p+1 son primos cuando p es un número primo.'

'Demuestra que para dos números naturales a y b, si a y b son coprimos, entonces a+b y ab también son coprimos.'

'Demuestra que para cualquier número natural a y k, a y ka+1 son coprimos.'

None

'¿Qué tipo de problemas son buenos para abordar después de resolver ejemplos básicos y estándar?'

'Por favor, responda a las siguientes preguntas: (1) Calcule el resultado de 60!, y determine la cantidad máxima de veces que puede ser dividido por 3. (2) Calcule 50!, y determine cuántos ceros consecutivos aparecen al final.'

'Demuestra lo siguiente para números naturales a, b:\n(1) Si a y b son primos entre sí, entonces a^2 y b^2 son primos entre sí.\n(2) Si a+b y ab son primos entre sí, entonces a y b son primos entre sí.'

'Demuestra que para cualquier número natural n mayor o igual a 2, n^4+4 no es un número primo.'

'Usa los símbolos $\\subset ,=$ para describir la relación entre los dos conjuntos $A, B$. A=\\{n \\mid n es un número primo menor o igual a 7 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'Para las siguientes preguntas matemáticas: (1) Usando el cociente de dividir 10 por 2, dividir 4 por 2 y dividir 2 por 2, con el método de contar el número de múltiplos de 2, ¿cuál es la cantidad máxima de veces que 10! puede ser dividido por 2? (2) Usando el cociente de dividir 10 por 5, calcular 10! y determinar cuántos ceros consecutivos aparecen al final?'

'(1) Encuentra la cantidad de divisores positivos de 720.\n\n(2) Descompone un número natural N en factores primos, donde los factores primos son 2 y 3, sin ningún otro factor primo. Además, se sabe que N tiene exactamente 10 divisores positivos. Encuentra todos los números naturales N que cumplen con estas condiciones.'

'Un número primo es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos aparte de 1 y él mismo. Un número compuesto es un número natural mayor que 2 que no es un número primo.'

'¿Cuántas cadenas se pueden formar usando las 8 letras de TANABATA?'

'Pregunta A (2) Encuentra dos números naturales representados como 6m y 6n, donde m y n son números naturales coprimos. Dado que 6m>6 y 6n>6, tenemos que m>1 y n>1. Dado que 4536=6m·6n, obtenemos mn=126. Dado que mn no es un cuadrado perfecto, m no puede ser igual a n, por lo tanto, 1<m<n. Resolviendo pares de m y n que satisfacen esta condición, obtenemos (m, n) = (2,63), (3,42), (6,21), (7,18), (9,14). Entre estos pares, los coprimos son (2,63), (7,18), (9,14). Por lo tanto, los dos números naturales requeridos son 12,378 o 42,108 o 54,84.'

'¿Cómo se convierte el número binario 101 a decimal?'

"¿Cuántas formas posibles hay de organizar las 8 letras de la palabra 'addition' horizontalmente en una sola fila?"

'¡Domina el método para determinar múltiplos y conquista el ejemplo 85!'

'Encuentra el número natural más pequeño que tiene 8 divisores positivos.'

'ENTRENAMIENTO 99 (1) Sea n un número natural. Encuentra todos los valores de n para los cuales las siguientes expresiones resultan en un número primo. (a) n^{2}+6 n-27 (b) n^{2}-16 n+39 (2) Sean a, b números naturales, y sea p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b. Encuentra todos los valores de a, b para los cuales p es un número primo.'

'(1) ¿Cuántos números naturales N existen que tengan 3 dígitos al representarlos en base-5?'

'Encuentra el número natural más pequeño con 4 divisores positivos.'

'Respuesta: Sección de matemáticas 50 omitida 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

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'Encuentra todos los valores de p para los cuales p, 2p+1 y 4p+1 son todos números primos.'

'Permutación con orden determinado. Permutación estándar 20 con orden determinado.'

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'Demuestra que a y k a+1 son coprimos cuando a y k son números naturales.'

'Cuando dividimos el Ejemplo 83 en valores máximos y mínimos, obtenemos los siguientes resultados.'

'Problema de encontrar soluciones enteras para una ecuación diofántica lineal (3) (usando el algoritmo de Euclides).'

'¡Repasemos cómo encontrar soluciones enteras para ecuaciones diofánticas lineales! Cuando no se encuentran fácilmente soluciones enteras, se puede utilizar el método de sucesivas divisiones. Al retroceder los cálculos del método de sucesivas divisiones en orden inverso, se pueden encontrar soluciones enteras.'

'Suponiendo que a y b no son primos entre sí, es decir, a y b tienen un factor primo común p, entonces a=pk, b=pl (k, l son números naturales).'

'¿Cuántas formas hay de que el número 1 no aparezca en ninguno de los dados al lanzar dos dados al mismo tiempo?'

'Hay un punto P en el eje x. Cuando se lanza un dado de seis caras y aparece un múltiplo de 6, P avanza 1 unidad en la dirección positiva del eje x, y cuando no aparece un múltiplo de 6, P avanza 2 unidades en la dirección negativa del eje x. Cuando se lanza el dado 4 veces, la probabilidad de que el punto P, partiendo del origen, esté en el punto x=-2 es A, y la probabilidad de que esté en el origen es B.'

'Encuentra la cantidad de divisores positivos y su suma de 648.'

'Encuentra el número natural de tres dígitos más grande que deja un residuo de 5 al dividir por 14 y un residuo de 7 al dividir por 9.'

'Encuentra el valor máximo de n para los niños de EX y los valores correspondientes de a, b'

'El método de factorización'

'Algoritmo de Euclides\nPara números naturales a y b, si a se divide por b y el resto es r, entonces el máximo común divisor de a y b es igual al máximo común divisor de b y r.\nAl utilizar este método repetidamente, podemos encontrar el máximo común divisor de dos números naturales. Este método se conoce como el algoritmo de Euclides o simplemente algoritmo de división.\nPor ejemplo, para encontrar el máximo común divisor de 319 y 143\nAl observar la división de 319 por 143 resultando en la ecuación 319=143*2+33, según el teorema, en lugar de encontrar el máximo común divisor de 319 y 143, podemos encontrar el máximo común divisor del divisor 143 y el resto 33. Continuando esta operación, los restos disminuirán. Además, dado que el resto es mayor o igual a 0, eventualmente el resto será 0. Cuando el resto sea 0, el divisor en ese paso es el máximo común divisor buscado.'

'Matemáticas A\nTR\n(1) Utilizando ecuaciones de congruencia, encuentre lo siguiente:\nEncuentre el resto cuando se divide 12^{1000} por 11\nEncuentre el dígito de las unidades de 13^{81}\n(2) Demuestre usando ecuaciones de congruencia que si los enteros a, b, c satisfacen a^2+b^2=c^2, entonces al menos uno de a y b es múltiplo de 3.'

'Divide 5390 por un número natural n de manera que el residuo sea 0 y el cociente sea un cuadrado de un número natural. Encuentra el valor mínimo de n que satisface esta condición.'

'Usando congruencias, encuentra lo siguiente:'

'Encuentra el número natural más pequeño que tiene 8 divisores positivos.'

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'Factorice el número natural N, donde los factores primos son 3 y 5, y no hay otros factores primos. Además, N tiene exactamente 6 divisores positivos. Encuentre todos los números naturales N que satisfacen estas condiciones.'

'Explique el método de contraposición para la demostración y demuestre la siguiente proposición T utilizando la contrapositiva:'

'Encuentra la cantidad de factores de 10000.'

'Encuentra la cantidad de divisores de 10000.'

'Sean a y b números naturales. Demuestra lo siguiente: (1) Si a y b son coprimos, entonces a^{2} y b^{2} son coprimos. (2) Si a+b y ab son coprimos, entonces a y b son coprimos.'

'Demuestra que para cualquier número natural a, a y a+1 son primos entre sí.'

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'Multiplica 150 por un número natural de dos dígitos n para que sea el cuadrado de un cierto número natural. Encuentra el valor máximo de n que cumple con esta condición.'

'Al lanzar tres dados al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras puede salir cada dado mostrando un número impar?'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'Encuentra el número de elementos en los siguientes conjuntos dentro de los números naturales menores a 500:\n(1) Conjunto de números divisibles por 3\n(2) Conjunto de números divisibles por 3, 5 y 7\n(3) Conjunto de números divisibles por 3 pero no por 5\n(4) Conjunto de números no divisibles ni por 3 ni por 5\n(5) Conjunto de números divisibles por 3 pero no por 5 o 7'

'(1) Encuentra el número de divisores positivos de 1800.\n\n(2) Cuando un número natural N se descompone en factores primos, sus factores primos son 3 y 5, sin otros factores primos. Además, N tiene exactamente 6 divisores positivos. Encuentra todos esos números naturales N.'

'Cuando los números reales no nulos x, y, z satisfacen 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, encuentre el valor de \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Determina la cantidad de soluciones reales distintas de la ecuación x^3-3x^2-9x+k=0.'

'Sea \ \\omega \ una de las soluciones imaginarias de la ecuación \ x^{3}=1 \. Entonces, \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1=\\square, \\omega^{100}+\\omega^{50}=\\square \.'

'Encuentra el término general de la secuencia 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ...'

'Si los números reales x, y, z no son cero y satisfacen 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, encuentra el valor de \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Encuentra el valor de p cuando la suma de fracciones irreducibles con números primos como denominadores entre 1 y 10 es 198.'

'Utilizando el teorema binomial, encuentra los siguientes valores:'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'Considera todos los enteros del 1 al 300.'

'Considera la sucesión $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$, encuentra el término general de esta sucesión.'

''

'Existen exactamente dos números complejos z=x+yi (donde x, y son números reales) tales que el cuadrado de z es igual a 8i. Encuentra estos z.'

'Suponiendo que es una progresión geométrica, la razón común es \\frac{6}{3}=2. Si el término n es 1500, entonces 3* 2^{n-1}=1500. Por lo tanto, 2^{n-1}=500, 500=2^{2}* 5^{3}, por lo tanto no hay un número natural n que satisfaga esta ecuación. Por lo tanto, no puede ser una progresión geométrica.'

'Demuestra que para todos los enteros positivos n, 3^(3n-2)+5^(3n-1) es un múltiplo de 7.'

'Demuestra que para todos los enteros positivos n, 3^{3n-2}+5^{3n-1} es un múltiplo de 7.'

''

'Sea k un entero positivo. Encuentra todos los valores de k para los cuales hay exactamente un entero n que satisface la desigualdad 5n^{2}-2kn+1<0.'

'Seleccione las opciones correctas de A a E a continuación.'

'Para las dos ecuaciones $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$, determine el rango de valores de la constante $a$ para que se cumplan las siguientes condiciones:\n(1) Ambas ecuaciones tengan soluciones reales\n(2) Al menos una de ellas no tenga soluciones reales\n(3) Solo una de ellas tenga soluciones reales'

'Expresar los símbolos y formas de representación del conjunto 44.'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de 2x+y cuando los números reales x e y satisfacen x²+y²=2. Además, determina los valores de x e y en ese momento.'

'Símbolo de Gauss y gráfico (símbolo de Gauss)'

'180 (1), (3)'

'Encuentra el rango de valores para la constante k de modo que la ecuación cuadrática x² + (2k-1)x + (k-1)(k+3) = 0 tenga raíces reales.'

'Entre tres números naturales consecutivos, el cuadrado del número más pequeño es igual a la suma de los otros dos números. Encuentra estos tres números.'

'(1) Dado que el significado de "grande" no está claro, no es posible determinar si es verdadero o falso. Por lo tanto, no es una proposición.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ tal que la ecuación cuadrática $x^{2}+(a-3)x-a+6=0$ no tenga soluciones reales.'

'Encuentra el número de puntos de intersección entre la parábola y = 2x^2 + 3x - a + 1 y el eje x usando la constante a.'

'Factorización de 2'

''

'Encuentra las soluciones para las desigualdades cuadráticas factorizadas. Encuentra las soluciones para las siguientes desigualdades.'

'Por favor, demuestra que la expresión $(a-b)(b-c)(c-a)$ tiene factores.'

'Encuentra una condición para tener una solución mayor que p y una solución menor que p.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Traducción de 17 (3) 1'

'(4) Dejen a₁, b₁ ser enteros positivos coprimos, y a₂, b₂ también ser enteros positivos coprimos. Definan los conjuntos Q₁ y Q₂ como\nQ₁={z | z es un número complejo representado como (cos(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π) + i sin(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π))^k usando un entero k}\nQ₂={z | z es un número complejo representado como (cos(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π) + i sin(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π))^k usando un entero k}\ny definan el conjunto R como\nR={z | z es un número complejo representado como un producto de elementos del conjunto Q₁ y del conjunto Q₂}. Si b₁ y b₂ son coprimos, el número de elementos n(R) en el conjunto R es cuadrado. Si b₁ y b₂ no son coprimos, y denotamos su máximo común divisor como d, entonces el número de elementos n(R) en el conjunto R es círculo.'

'11 (3) 0'

'Cuando $k=-\x0crac{1}{2}$'

'Suma de series infinitas usando la relación de recurrencia'

'Demuestra que \\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\).'

'En orden, es 10 (1) 2 (2);'

'(2) Sea l y k números naturales coprimos. Demuestra que los números complejos z^l, z^2l, z^3l, ..., z^kl son todos distintos.'

''

'Matemáticas'

'Derivando de la condición de que C gana la competencia, obtenemos $\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$. Dado que $p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$, al limpiar el denominador y simplificar obtenemos $5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$. Al resolver esta desigualdad llegamos a $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$. Observamos que $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$, y como $6<\\sqrt{41}<7$ implica $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$. Por lo tanto, con $0<p<1$, tenemos $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$. A continuación, encontramos el número natural $n$ que satisface la condición $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1). Al resolver obtenemos $54<-10+\\sqrt{4100}<55$. Dado que $n$ aumenta monótonamente, el menor $n$ que satisface (1) es $55$. Por lo tanto, el valor mínimo del $N$ requerido es 55.'

'En el caso de polinomios, también podemos utilizar la factorización para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, similar al caso de los enteros.'

'Cuando se toca una cuerda, al reducir su longitud a la mitad, el sonido sube una octava. Aquí, el ratio de longitudes de las cuerdas entre el do y el do de la octava superior se divide en 12 partes iguales, formando así la escala temperada de 12 tonos. Esta es una escala comúnmente utilizada.'

'Encuentra el residuo al dividir 29^51 entre 900.'

'Cuando los números reales positivos x, y satisfacen 9x^2 + 16y^2 = 144, el valor máximo de xy es √.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra el polinomio x tal que al dividirlo por x^2+1, el residuo sea 3x+2, y al dividirlo por x^2+x+1, el residuo sea 2x+3, con el grado mínimo de x siendo 48.'

'Encuentra todos los enteros positivos n para los cuales n^{n}+1 es divisible por 3.'

'Determinar los valores de las constantes a y b de modo que f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 sea divisible por (x-1)^{2}, donde n es un número natural.'

'91 (1) 4 piezas'

'El Teorema del Resto y el Teorema del Factor'

'169 (3) 2'

''

'Sea \ p \ un número primo, y sea un entero \ r \ que satisface \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \. Demuestra que \ p_r \ es divisible por \ p \.'

'Si a, b son números primos y la ecuación cuadrática 3 x^{2}-12 a x+a b=0 tiene dos soluciones enteras, encuentra los valores de a, b y las soluciones enteras.'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ la condición para que \ \\sqrt{d} \ sea un número entero es que el producto de \a c\ debe ser un cuadrado perfecto. Entre los números naturales \\(a, c(a>c>1)\\) más pequeños se tiene \ a=2^{3}, c=2 \ Si se elige \b=3\ entonces \d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\.'

'Si el residuo de dividir P(x) por (x-1)^{2} es una constante, encuentre el residuo al dividir P(x) por (x-1)^{2}(x+1).'

'1042'

'En un cuadrado en el plano complejo, si un par de vértices adyacentes son el punto 1 y el punto 3+3i, encuentra los números complejos que representan los otros dos vértices.'

''

'119 (1) 3'

''

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

None

'Demuestra que para todos los números naturales n, 2^n > n.'

'Condiciones reales e imaginarias puras del número complejo z\nSea z=a+bi (a, b son números reales)\n• z es real ⇔ z=̄z\nDado que ̄z=z es cierto, a-bi=a+bi, lo que implica -b=b, por lo tanto b=0, entonces z=a, y z es real.\nConsiderando esto en el plano complejo, el punto z y el punto ̄z son dos puntos simétricos respecto al eje real, estos dos puntos coinciden solo en el eje real, por lo tanto z es real.\n• z es imaginario puro ⇔ ̄z=-z y z≠0\nDado que ̄z=-z y z≠0 es cierto, a-bi=-a-bi, lo que implica a=-a, entonces a=0, por lo tanto z=bi, y dado que z≠0, entonces b≠0, por lo tanto z es imaginario puro.\nConsiderando esto en el plano complejo, el punto ̄z y el punto -z son dos puntos simétricos respecto al eje imaginario, estos dos puntos coinciden solo en el eje imaginario, excepto el origen O, todos los demás puntos son imaginarios puros, por lo tanto z es imaginario puro.'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101 (2) 4'

''

'Demuestra que para números naturales n, k que satisfacen 2 ≤ k ≤ n-2, el coeficiente binomial C(n, k) > n.'

'Usando la criba de Eratóstenes, demuestra que hay más de 750 enteros no primos por debajo de 1000.'

''

'El valor máximo de n se obtiene calculando la cantidad de ceros al final de 50!, que es igual a la cantidad de factor primo 5 al descomponer en factores primos 50!. Entre los números naturales del 1 al 50, la cantidad de múltiplos de 5 es 10 (la cantidad de múltiplos de 5^2 es 2, ya que 50 dividido por 5^2 es 2). Dado que no hay múltiplos de 5^n (n ≥ 3), la cantidad de factor primo 5 es 10+2=12. Por lo tanto, el valor máximo de n a encontrar es 12.'

'Demuestra que para cualquier número natural n, f(n) = 5^{3n} + 5^{2n} + 5^n + 1. Cuando n no es múltiplo de 4, f(n) es múltiplo de 13.'

'Describa los pasos del algoritmo de Euclides y proporcione un ejemplo específico, por favor.'

'Si a y b son primos entre sí, y a k es múltiplo de b, entonces k también es múltiplo de b.'

'Para un número primo p, encuentra el valor mínimo de p tal que n = p^14 y n ≥ 1900.'

'Demuestra que para cualquier número natural n, n^5 - n es un múltiplo de 15.'

'Sobre el producto de enteros consecutivos.'

'Ejercicio 6 III-> Libro p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'Los números naturales mayores que 2 se pueden factorizar en factores primos.'

'Ejemplo 75 | Uso de la factorización prima'

'Sea p un número primo. Encuentra todos los pares de números naturales (n, k) que satisfacen k ≤ n y tal que el coeficiente binomial C(n, k) = p.'

'Encuentra todos los tríos de números primos (a, b, c) donde 40-a-8 y b-c-8 son primos.'

'Los números mayores que 125 y múltiplos de 5 incluyen 150, 155, 160, 165, 130, etc. ¿Cuál es la cantidad de veces que el factor primo 5 aparece al factorizar 165!?'

'¿Cuántos números naturales del 1 al 100 son divisibles entre 2, 3 y 5? ¿Cuántos números naturales son divisibles entre 2, 3 o 5? ¿Cuántos números son divisibles entre 2 pero no entre 3 o 5?'

'(2) Demuestra que existen números no primos entre a, b, c.'

'Por favor resuelve el problema sobre la notación gaussiana y las desigualdades cuadráticas.'

'Encuentra los valores del número natural n para los cuales tanto n como n^{2}+2 son números primos.'

"Proporcione ejemplos de números compuestos para los cuales se cumple la afirmación inversa del Teorema Pequeño de Fermat 'Si el entero coprimo a no satisface a^{p-1} ≡ 1 (mod p), entonces p no es un número primo (sino un compuesto)': 9, 35."

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra los divisores de los siguientes números. (1) 36 (2) 14 (3) ¿Es 12345 un múltiplo de 3 o 9? (4) ¿Son 91 y 144 primos entre sí?'

'Encuentra todos los números impares a mayores que 423 y menores que 9999 para los cuales (a^2 - a) es divisible por 10000.'

'Demuestra que los números compuestos siempre tienen números primos como factores.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'En (3) (2), si eliminamos la distinción entre A, B y C, entonces las mismas cosas se pueden combinar de 3! maneras cada una, así que 1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280 (formas)'

'Un número primo p cumple la condición: m² - n² = p. Demuestra que existe un par único de números naturales (m, n) que cumplen esta condición.'

'Demuestre que p es un número primo mayor que 3.'

'Comprueba si 91 y 144 son coprimos.'

'Encuentra los divisores de 36.'

'Supongamos que p es un número primo mayor que 3, y p + 4 también es un número primo.'

'Suponga que a, b y c no son múltiplos de 5.'

'Demuestra la fórmula para encontrar el enésimo número de Catalán (número de Catalán Cn). Además, encuentra el número de Catalán cuando n=4.'

'Demuestre la siguiente proposición: Si un entero n no es múltiplo de 3, entonces n² tampoco es múltiplo de 3.'

'Desafío aceptado. La solución también contiene =.'

'Ejemplo 49 | Clasificación de enteros por resto\nDemuestra lo siguiente:\n(1) Para cualquier entero n, n^{4}+5 n^{2} es múltiplo de 3.\n(2) El resto nunca es 3 al elevar al cuadrado un entero y dividir por 5.'

'Encuentra el número de elementos en los siguientes conjuntos entre los números naturales menores que 500.'

'Encuentra todos los factores de los números dados 25 y 36.'

'1) Calcula el resultado de 20 factorial, ¿cuántas veces se puede dividir por 2?\n2) Calcula el factorial de 25, ¿cuántos ceros consecutivos aparecerán al final?'

'Sea $n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$. Demuestra que $T(n)=n$ cuando $2^{m}-1$ es primo, y utiliza $1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$.'

'Si ab es un múltiplo del número primo p, entonces a o b es un múltiplo de p.'

'Problema de divisores y múltiplos: Encuentra el número de divisores positivos de un número natural N. Cuando la factorización prima de un número natural N es N=p^a q^b r^c ... ..., el número de divisores positivos de N es'

'Demuestre las condiciones para la existencia de soluciones enteras para la ecuación indeterminada 99 1 1'

'Dado que (3k + 1)(3k + 2) es el producto de dos enteros consecutivos, es un múltiplo de 2. Por lo tanto, se puede expresar como (3k + 1)(3k + 2) = 2l, y (p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1). Ya que p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4 son cinco enteros consecutivos, uno de ellos es un múltiplo de 5. Si asumimos p = 5, entonces p + 4 = 9, lo cual no es un número primo, llevando a que p + 4 no sea primo, por lo tanto p > 5, por lo tanto p, p + 4 son números primos mayores que 5, por lo tanto no son múltiplos de 5. Por lo tanto, uno de p + 1, p + 2, p + 3 es un múltiplo de 5. Por lo tanto, (p + 1)(p + 2)(p + 3) es un múltiplo de 5. Con 2 y 3, podemos concluir que (p + 1)(p + 2)(p + 3) es un múltiplo de 24, por lo tanto un múltiplo de 120.'

'Entre los números naturales menores que 30, hay 15 múltiplos de 2, 7 múltiplos de 2 al cuadrado, 3 múltiplos de 2 al cubo, y 1 múltiplo de 2 a la cuarta. Por lo tanto, el número de factores primos 2 en la factorización prima de 30! es'

'Ejercicio 15 III (→ Libro de texto p.84)'

'Encuentra todos los números primos $k$ tales que $k^{2}+2$ es un número primo, y demuestra que no hay otros casos.'

'(1) Encuentra el menor entero positivo n tal que n! / 1024 sea un entero.'

'Cuando hay dos pares de dados con solo dos caras iguales cada uno, el único caso en el que el producto de dos números diferentes entre 1 y 6 se convierte en un cuadrado perfecto es 2^2=1×4, por lo que los conjuntos que satisfacen esta condición son {1,2,2} y {1,1,4},{2,2,4} y {1,4,4}, en este caso k=4,16, lo que lleva a k=4,10,15,16,40,90,120'

'Entre los números naturales menores de 125, hay 25 múltiplos de 5, 5 múltiplos de 5^2 y 1 múltiplo de 5^3. Por lo tanto, el número de factor primo 5 en la factorización prima de 125! es'

'Demuestra que si dos números naturales a y b son primos entre sí, entonces a+b y a*b también son primos entre sí.'

'Encuentra todas las combinaciones de números del 0 al 5 donde la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.'

'Ejemplo importante 82 | Demostración de la irracionalidad'

'Demuestra que si 49 es un número primo, entonces $p^{4}+14$ no es un número primo.'

'La factorización en números primos de un número compuesto es única, excepto por el orden de los factores. Vamos a demostrar la unicidad de la factorización en números primos usando el teorema anterior. Prueba: Supongamos que la factorización en números primos del número compuesto a se representa de dos formas diferentes.'

'Explique el método para determinar si un número entero N es un número primo. Por ejemplo, verificar si 257 es un número primo.'

'Para cualquier número natural n mayor que 2, sea T(n) la suma de todos los divisores positivos de n (excluyendo a n mismo). Encuentra el valor de T(120).'

'Problema de números primos\nSea n un número natural. Demuestra que el único caso en el que n, n+2 y n+4 son todos números primos es cuando n=3.'

'Ejemplo clave 87 | Problema de demostración sobre la ecuación a^2+b^2=c^2\n\nSea a, b, c números naturales que no tienen ningún factor común excepto 1. Cuando a, b, c satisfacen la ecuación a^2+b^2=c^2, demuestra lo siguiente:\n(1) Uno de a, b es par y el otro es impar.\n(2) Si a es impar, entonces b es un múltiplo de 4.\n(3) Al menos uno de a, b es un múltiplo de 3.'

'Ejemplo importante 83 Número de números naturales relativamente primos'