Álgebra Avanzada - Matrices y Operaciones de Matrices

'Encuentra el término general de la sucesión \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada por las siguientes condiciones'

"¿Cuáles son los principales contenidos de 'Álgebra Lineal'?"

'La sucesión {a_{n}} está definida por a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n. Determine la función cuadrática f(n) para que la sucesión {a_{n}-f(n)} forme una progresión geométrica con una razón común de 2, y exprese a_{n} en función de n.'

'32'

'Ejercicio 40: Resolver las fórmulas de recurrencia (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} y (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}. Dadas las condiciones iniciales a_{1} + b_{1} = 4 y a_{1} - b_{1} = 2, encontrar a_{n} y b_{n}.'

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'La desigualdad se cumple cuando 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} con igualdad si \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'Ejemplo 37 Relación de Recurrencia entre 3 Términos Adyacentes (1)\nEncuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada por las siguientes condiciones.\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'Para una sucesión geométrica con una razón común positiva, la suma de los primeros 3 términos es 21, y la suma de los siguientes 6 términos es 1512. Encuentre el primer término y la suma de los primeros 5 términos de esta sucesión.'

'Ejemplo 51 | Demostración de Desigualdad'

'Si la suma desde el primer término hasta el enésimo término de una secuencia {an} se representa por Sn = 3n(n+5), encuentre el término general an.'

'Cuando m=6, x=-2; cuando m=10, x=-8,0; cuando m=-6, x=4; cuando m=-10, x=2,10'

'Encuentra el término general de la secuencia (1).'

'Defina una secuencia {a_n} de la siguiente manera.'

'Encuentra el primer término a y la diferencia común d de una secuencia aritmética donde la suma de los primeros 5 términos es 20 y la suma de los primeros 20 términos es 140.'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones: a1=-1, an+1=an+4n-1'

'Si la suma de los primeros n términos de una secuencia {a_n} satisface 3 S_n = a_n + 2n - 1, responde las siguientes preguntas:'

'Encuentra el primer término y la razón común de una secuencia geométrica donde la suma de los primeros tres términos es 6 y la suma de los términos segundo al cuarto es -12.'

'Encontrar los componentes de dos vectores. Para los dos vectores \\( \\vec{a}=(2,1) \\) y \\( \\vec{b}=(4,-3) \\), determinar los componentes de los vectores \ \\vec{x} \ y \ \\vec{y} \ que satisfacen las condiciones \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ y \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \.'

'En el tetraedro PABC, sea H el pie de la perpendicular desde el punto A al plano PBC, y sea PA=a, PB=b, PC=c.'

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'En una fiesta con 5 participantes, donde cada persona prepara un regalo y luego los sortea para compartirlos, ¿cuántas formas hay en las que solo dos personas específicas, A y B, reciben sus regalos preparados, mientras que los tres restantes reciben regalos diferentes a los que prepararon? Además, el número de formas en las que solo una persona recibe su regalo preparado es .'

'Defina la secuencia $a_{n}$ de la siguiente manera. $a_1=1, n a_{n+1}-(n+2) a_{n}+1=0 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$. Además, defina la secuencia $b_{n}$ como $b_{n}=2 a_{n}-1 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$. Además, defina la secuencia $c_{n}$ como $c_{n}=\x0crac{b_{n}}{n(n+1)} (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$. (1) Expresar $b_{n+1}$ en términos de $b_{n}$ y $n$. (2) Encontrar el término general de $c_{n}$. (3) Encontrar el término general de $a_{n}$. [Universidad Rikkyo]'

'Encuentra el término general de la sucesión {an} determinada por las siguientes condiciones.'

'Dadas dos secuencias {a_n} y {b_n} definidas de la siguiente manera, responda las siguientes preguntas. a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n, (1), b_{n+1}=a_n+3b_n. (1) Encuentra el término general de las secuencias {a_n+b_n} y {a_n-b_n}. (2) Encuentra el término general de las secuencias {a_n} y {b_n}.'

'Suponiendo que la ganancia por 1kg de los productos P y Q es un millón de yenes y 3 millones de yenes, respectivamente. Ahora, consideremos la ganancia diaria. Aquí, se asume que a es un número positivo. (i) Cuando a = 1, los valores de x, y que maximizan la ganancia son (x, y) = (ノハ, ヒフ). (ii) Cuando a toma qué valor, produciendo solo el producto Q sin producir el producto P puede maximizar la ganancia, y la máxima ganancia en ese momento es de 厼 millones de yenes. (iii) La condición suficiente y necesaria para que x, y maximicen la ganancia solo sea (x, y) = (テト, ナニ) es ム.'

'Capítulo 1 Secuencias-327'

'(1) Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ y el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \, donde \ \\alpha \\neq \\ beta \ [Referencia del Ejemplo Importante 41].'

'Derivar tres ecuaciones de diferencia simultáneas: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ (ver ejemplo importante 43), obteniendo ecuaciones de la forma $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$, o derivando relaciones de recurrencia que involucren solo $a_{n}$ o $b_{n}$ (relaciones de recurrencia entre términos adyacentes 3).'

'La suma de los primeros hasta los términos n-ésimos de la secuencia {an} está expresada como Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...). (1) Encuentre an. (2) Demuestre que ∑(k=1)^(n) k ak es múltiplo de 3.'

'Consideremos el siguiente [problema]. Por favor, encuentre el término general de la secuencia \\\left\\{a_{n}\\right\\}\ determinada por cada condición.'

'Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.'

'Una parábola y = 2x^{2} + ax + b se desplazó paralelamente 2 unidades a lo largo del eje x y -3 unidades a lo largo del eje y, y se superpuso con la parábola y = 2x^{2}. Encuentra los valores de las constantes a y b.'

'Taro, un corredor de velocidad en la carrera de 100m, decidió centrarse en la pregunta (1) y pensar en la mejor zancada y paso para mejorar su tiempo.'

'Dado que \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \, se obtienen las siguientes ecuaciones: \ 2 s+u=1 \ (1), \ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \. Encuentra los valores de s, t, u, y expresa \ \\vec{p} \.'

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'Para la matriz A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right], encuentra su matriz inversa.'

'De entre estas matrices, ¿cuáles son del mismo tipo? Además, ¿cuáles son iguales?'

'Explique la definición de la matriz inversa.'

'Para las matrices A, B, C, D, responda a las preguntas (1) a (3).'

'Este es un problema de encontrar la matriz inversa.'

'En general, en la multiplicación de matrices, la ley conmutativa no se cumple (AB ≠ BA). Por lo tanto, no es posible manipular libremente expresiones como polinomios. Lo que se puede usar incondicionalmente son la ley asociativa (AB)C = A(BC) y la ley distributiva (A+B)C = AC + BC, C(A+B) = CA + CB, que se pueden utilizar para manipular expresiones. Para matrices A, B donde AB=BA (es decir, conmutativas), se pueden realizar cálculos como en expresiones ordinarias.'

'Suma de series infinitas usando relaciones de recurrencia'

'¿Existe una matriz inversa para las matrices dadas? En caso afirmativo, encuéntrala.'

'Matriz inversa\nCondiciones para la existencia de una matriz inversa y sus componentes'

'Considere la secuencia {a_{n}} determinada por las condiciones (i)(ii).'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ Por lo tanto, $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ Referencia: La igualdad se cumple cuando $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$.'

'Cuando A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right), elija dos matrices diferentes para la multiplicación y calcule el resultado.'

'Cuando las matrices A y B satisfacen AB=BA, se dice que A y B son conmutativas.'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'¿Existe una matriz inversa para las siguientes matrices? En caso afirmativo, encuéntrala.'

'Enumere tres propiedades básicas de la matriz inversa.'

'Demuestra que Δ(AB) = Δ(A)Δ(B) para matrices A y B.'

'Práctica'

'El valor máximo es 9/4 cuando x=y=3√3; El valor mínimo es -4 cuando x=81, y=1/3'

'Sea 28n un entero positivo. Sea f(n) el número de puntos de la red P(x, y, z) en el espacio xyz que satisfacen el siguiente sistema de desigualdades donde x, y, z son enteros, cuando n tiende a infinito. Encuentra el límite de lim_{n -> ∞} f(n)/n^3. El sistema de desigualdades es el siguiente: {x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n}.'

'Basado en las matrices dadas, calcular la matriz X.'

'Para el triángulo ABC, vamos a denotar los productos punto de los vectores AB, BC, y CA como el vector AB·vector BC=x, el vector BC·vector CA=y, y 320 vector CA·vector AB=z. Expresa el área del triángulo ABC en términos de x, y, y z.'

'Pregunta 1, Libro p. 609\n(1) A: una matriz de 2x2\nB: una matriz de 2x3\nC: una matriz de 3x2\nD: una matriz de 3x3\n(2) El vector de la tercera fila es (1, -3), el vector de la segunda columna es \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\) (3) a_{12} = 5, \\quad a_{32} = -3, \\quad a_{33} = 2'

'En vectores \ \\vec{x}, \\vec{y} \, cuando \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\), encuentra \ \\vec{x} \ y \ \\vec{y} \.'

'Expresa la función hiperbólica que pasa por los puntos (-2,3) y (1,6), con la recta x=-3 como asíntota, en la forma y=(ax+b)/(cx+d).'

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'Matemáticas C\n(2) $\\vec{x} + 2\\vec{y} = \\vec{a}$\n(1), $\\vec{x} - 3\\vec{y} = \\vec{b}$\nSea (2)\nDe (1) $\\times 3 +$ (2) $\\times 2$ obtenemos $5\\vec{x} = 3\\vec{a} + 2\\vec{b}$\nPor lo tanto\n$\\vec{x} = \\frac{1}{5}(3\\vec{a} + 2\\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{3(1,1) + 2(1,3)\\} = (1, \\frac{9}{5})$\nAdemás, de (1)-(2) tenemos $5\\vec{y} = \\vec{a} - \\vec{b}$\nPor lo tanto\n$\\vec{y} = \\frac{1}{5}(\\vec{a} - \\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{(1,1) - (1,3)\\} = (0, -\\frac{2}{5})$\nResolviendo las ecuaciones simultáneas\n$x, y$\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'

'Expresa x e y en términos de a y b, satisfaciendo 2x+5y=a, 3x-2y=b.'

'Pregunta 5: Por favor resuelve la siguiente ecuación de matrices.'

'Encuentra el ángulo \ \\theta \ entre \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ cuando \ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ y \ \\vec{a}+\\vec{b} \ son ortogonales, y \ \\vec{a} \ y \ \\vec{a}-\\vec{b} \ son ortogonales.'

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'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { Por lo tanto, } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) Por lo tanto \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'Utilizando la ecuación de recurrencia para encontrar el número de casos.'

'Para cada uno de los siguientes casos, determina si existe una estrategia ganadora para el jugador A o B.'

'Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.'