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Números y Álgebra
Álgebra Avanzada - Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Q.03
'(3) (2) desde \n\n\n\nPor lo tanto, desde obtenemos d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nPor lo tanto (constante).\nPor lo tanto, la secuencia es una progresión geométrica con primer término y razón común .'
A. ...
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'¿Cuáles fueron los logros de John Napier (1550-1617)?'
A. ...
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'(1) Sea , entonces \n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { y } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { Ahora } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { entonces } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'
A. ...
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'Tabla de Logaritmos Comunes: Tabla de logaritmos con base 10.'
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'Encuentra la suma de la siguiente serie. Dado n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'
A. ...
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'Dado que la suma de los primeros 8 términos de una progresión geométrica es 54, y la suma de los primeros 16 términos es 63, hallar la suma de los términos 17 al 24 de esta progresión geométrica.'
A. ...
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'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'
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'Problema de práctica: Sea log_{2} x=t, donde 1≤x≤8 corresponde a 0≤t≤3. Además, log_{1/2} x=-log_{2} x=-t. Defina y=t^{2}-2 t+3 como una función de t. Encuentre los valores máximo y mínimo de y dentro del rango 0≤t≤3.'
A. ...
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'Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas-147'
A. ...
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'Si \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \, expresa \ \\log_{15} 8 \ en términos de \ a \ y \ b \.'
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'Demuestra que si 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1, entonces al menos uno de x, y, o z debe ser 1.'
A. ...
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'Confirmación de condiciones para ecuaciones logarítmicas y números reales'
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'Encuentra el término general de la relación de recurrencia .'
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'Si deposita 1 millón de yenes con una tasa de interés anual del 1% capitalizado anualmente, ¿en cuántos años el monto total superará por primera vez 1.1 millones de yenes? Se permite usar la tabla de logaritmos comunes.'
A. ...
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'Aquí hay dos ejemplos donde se utiliza una serie geométrica infinita: 1. Trisección de un cuadrado Divide un papel cuadrado con un área de 1 en cuatro partes iguales en forma de cruz, y distribuye una a cada uno a A, B y C. Divide la restante en cuatro partes iguales nuevamente, y distribuye una a cada uno a A, B y C. Repite este proceso infinitamente, el área total del papel recibido por A, B y C se puede expresar como la siguiente serie geométrica infinita ∑(1/4)^n (de n=1 a ∞). Encuentra la suma de esta serie geométrica infinita.'
A. ...
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'Para que la secuencia converja, determine el rango de valores reales de . Además, encuentra el límite de la secuencia en ese momento.'
A. ...
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'(1) Eliminar A, B de la ecuación y=A \\sin x + B \\cos x -1 para obtener la ecuación diferencial ③ 213.'
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'Para una pelota lanzada directamente hacia arriba a una cierta velocidad, sea h metros la altura sobre el suelo x segundos después del lanzamiento. Cuando el valor de h está dado por h=-5x²+40x, ¿en qué rango de valores de x se encuentra la pelota a una altura entre 35m y 65m del suelo?'
A. ...
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'Para una secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, se asume que la suma desde el término inicial \ p a_{1} \ hasta el término n-ésimo \ p^{n} a_{n} \ de la secuencia \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ es igual a \ q^{n} \. Donde, \ p \\neq 0 \.\n(1) Encontrar \ a_{n} \.\n(2) Encontrar \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \.'
A. ...
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"(3) Sea y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1, entonces y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 es mayor que 0 para todos los números reales, lo que significa que y está aumentando. Por lo tanto, la ecuación x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 tiene 1 solución real."
A. ...
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'(2) Si \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \ , encuentra \ \\log _{12} 7 \ en términos de \a, b\.'
A. ...
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'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones, donde a es una constante positiva distinta de 1.'
A. ...
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'Cuando 1 < a < b < a^{2}, ordene: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1 en orden ascendente.'
A. ...
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'Responde las siguientes preguntas sobre las propiedades de las funciones logarítmicas.'
A. ...
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'Considere la escala de la escala logarítmica mostrada a continuación.'
A. ...
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'Para el número complejo z, la función e^z se define reemplazando 11 por x en la expresión'
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"Práctica 67 |II| Libro p.558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) La ecuación polar r=θ(θ≧0) nos da x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ donde dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ Por lo tanto, la tabla de valores crecientes y decrecientes de x, y con respecto a θ es como sigue. θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ máximo local ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ máximo local ↘ Sin embargo, \\cos α−α sin α=0 es la condición de verificación \\sin β+β\\cos β=0"
A. ...
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'Por lo tanto, encuentra las coordenadas del punto Q.'
A. ...
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'Uso del teorema del valor intermedio\n(1) Demuestra que la ecuación \\( 3^{x}=2(x+1) \\) tiene al menos una solución real en el rango \ 1<x<2 \.\n(2) Deja que \\( f(x), g(x) \\) sean funciones continuas en el intervalo \ [a, b] \. Si \\( f(a)>g(a) \\) y \\( f(b)<g(b) \\), muestra que la ecuación \\( f(x)=g(x) \\) tiene al menos una solución real en el rango \ a<x<b \.'
A. ...
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'Por favor, traduzca el texto dado a varios idiomas.'
A. ...
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'En el Capítulo 2, consideremos constantes a, b tales que 100<a<b. Definimos x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...). Encuentre (1) Demuestre la desigualdad b^n < a(x_n)^n < 2b^n. (2) Encuentre el límite lim n->∞ x_n.'
A. ...
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'Ecuación dada 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3, x=0\\right)\\)'
A. ...
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'Expresa el tamaño de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdad.'
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'Valores de expresiones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas'
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'Límites de secuencias (5) ... usando el teorema del apretón y el teorema binomial'
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'Sea fn(x) = (log x)^n (donde n es un entero mayor o igual a 3). Aquí, log x es el logaritmo natural. Cuando la curva y = fn(x) tiene un punto de inflexión (x_0, 8), encuentre los valores de n y x_0, y dibuje la forma general de la curva (incluyendo la concavidad). [Universidad de Desarrollo Laboral]'
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'Demuestra que la ecuación 3^x=2(x+1) tiene al menos una solución real en el rango de 1<x<2.'
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'Practica deja que n sea un número natural mayor o igual a 2.'
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'Sea n un número natural. Muestra que la n-ésima derivada f^{(n)}(x) de la función f(x)=x^{2} e^{x} se puede expresar como f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}, donde a_{n} es una constante, y encuentra el valor de a_{n}.'
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'Encuentra los valores de las constantes a y b de modo que y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x) y y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x se cumplan.'
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'Lanza n bolas en 2n cajas. Supongamos que cada bola será colocada en una de las cajas con igual probabilidad. Sea p_{n} la probabilidad de que cada caja contenga como máximo 1 bola. Encuentra el límite \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \.'
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'Calcula el número de dígitos de 3^n para un número natural n y encuentra su límite.'
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'Dadas las constantes \ a, b \ donde \ 0 < a < b \. Sea \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\), demostrar (1) la desigualdad \\( b^{n} < a\\left(x_{n}\\right)^{n} < 2b^{n} \\). (2) Encontrar \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \.'
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'Traduce el texto dado del problema 309 en matemáticas del japonés al español'
A. ...
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'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'
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'(1) Sea a una constante no nula. Para x≥0, encuentra f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1).'
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'Investiga la convergencia y divergencia de las siguientes series geométricas infinitas, y encuentra la suma si converge.'
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'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'
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'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime} = e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime} = 3 e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 9 e^{3 x} \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime} = 9 e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'
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'Demuestra que la ecuación 3^x = 2(x+1) tiene al menos una solución real en el rango 1<x<2.'
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'Crear un recipiente PR. Vierta agua suavemente en este recipiente a una velocidad de a por unidad de tiempo. Deje que V represente el volumen de agua cuando la altura del agua es h, el radio del agua es r, el área del agua es S y el volumen del agua es V después de un tiempo t desde que se comenzó a verter. (1) Expresar V. (2) Expresar las tasas de cambio dh/dt, dr/dt, dS/dt de h, r, S con respecto al tiempo t usando a y h.'