Álgebra Avanzada - Funciones Exponenciales y Logarítmicas

'Resolver la siguiente ecuación:'

'Matemáticas II'

'(3) (2) desde $M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\nPor lo tanto, desde $d_{n}=2^{M_{n}}$ obtenemos d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nPor lo tanto $\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$ (constante).\nPor lo tanto, la secuencia $\\left\\{d_{n}\\right\\}$ es una progresión geométrica con primer término $d_{1}=a$ y razón común $r^{\\frac{1}{4}}$.'

'¿Cuáles fueron los logros de John Napier (1550-1617)?'

'(1) Sea $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$, entonces $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { y } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { Ahora } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { entonces } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'Tabla de Logaritmos Comunes: Tabla de logaritmos con base 10.'

'Encuentra la suma de la siguiente serie. Dado n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'Dado que la suma de los primeros 8 términos de una progresión geométrica es 54, y la suma de los primeros 16 términos es 63, hallar la suma de los términos 17 al 24 de esta progresión geométrica.'

'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'Problema de práctica: Sea log_{2} x=t, donde 1≤x≤8 corresponde a 0≤t≤3. Además, log_{1/2} x=-log_{2} x=-t. Defina y=t^{2}-2 t+3 como una función de t. Encuentre los valores máximo y mínimo de y dentro del rango 0≤t≤3.'

'Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas-147'

'Si \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \, expresa \ \\log_{15} 8 \ en términos de \ a \ y \ b \.'

'Función exponencial y función logarítmica'

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'Función exponencial'

'Encuentra el valor del logaritmo.'

'Demuestra que si 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1, entonces al menos uno de x, y, o z debe ser 1.'

'Confirmación de condiciones para ecuaciones logarítmicas y números reales'

'Encuentra los siguientes valores.'

'Encuentra el término general de la relación de recurrencia $a_{n+1}=3a_n+2n-1$.'

'Si deposita 1 millón de yenes con una tasa de interés anual del 1% capitalizado anualmente, ¿en cuántos años el monto total superará por primera vez 1.1 millones de yenes? Se permite usar la tabla de logaritmos comunes.'

'Aquí hay dos ejemplos donde se utiliza una serie geométrica infinita: 1. Trisección de un cuadrado Divide un papel cuadrado con un área de 1 en cuatro partes iguales en forma de cruz, y distribuye una a cada uno a A, B y C. Divide la restante en cuatro partes iguales nuevamente, y distribuye una a cada uno a A, B y C. Repite este proceso infinitamente, el área total del papel recibido por A, B y C se puede expresar como la siguiente serie geométrica infinita ∑(1/4)^n (de n=1 a ∞). Encuentra la suma de esta serie geométrica infinita.'

'Para que la secuencia $\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$ converja, determine el rango de valores reales de $x$. Además, encuentra el límite de la secuencia en ese momento.'

'(1) Eliminar A, B de la ecuación y=A \\sin x + B \\cos x -1 para obtener la ecuación diferencial ③ 213.'

'Para una pelota lanzada directamente hacia arriba a una cierta velocidad, sea h metros la altura sobre el suelo x segundos después del lanzamiento. Cuando el valor de h está dado por h=-5x²+40x, ¿en qué rango de valores de x se encuentra la pelota a una altura entre 35m y 65m del suelo?'

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'Para una secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, se asume que la suma desde el término inicial \ p a_{1} \ hasta el término n-ésimo \ p^{n} a_{n} \ de la secuencia \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ es igual a \ q^{n} \. Donde, \ p \\neq 0 \.\n(1) Encontrar \ a_{n} \.\n(2) Encontrar \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \.'

"(3) Sea y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1, entonces y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 es mayor que 0 para todos los números reales, lo que significa que y está aumentando. Por lo tanto, la ecuación x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 tiene 1 solución real."

'(2) Si \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \ , encuentra \ \\log _{12} 7 \ en términos de \a, b\.'

'Demuestra las siguientes ecuaciones:'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones, donde a es una constante positiva distinta de 1.'

'Resolver las siguientes desigualdades.'

'Cuando 1 < a < b < a^{2}, ordene: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1 en orden ascendente.'

'Responde las siguientes preguntas sobre las propiedades de las funciones logarítmicas.'

'Considere la escala de la escala logarítmica mostrada a continuación.'

'Para el número complejo z, la función e^z se define reemplazando 11 por x en la expresión'

"Práctica 67 |II| Libro p.558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) La ecuación polar r=θ(θ≧0) nos da x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ donde dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ Por lo tanto, la tabla de valores crecientes y decrecientes de x, y con respecto a θ es como sigue. θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ máximo local ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ máximo local ↘ Sin embargo, \\cos α−α sin α=0 es la condición de verificación \\sin β+β\\cos β=0"

'Por lo tanto, encuentra las coordenadas del punto Q.'

'Uso del teorema del valor intermedio\n(1) Demuestra que la ecuación \\( 3^{x}=2(x+1) \\) tiene al menos una solución real en el rango \ 1<x<2 \.\n(2) Deja que \\( f(x), g(x) \\) sean funciones continuas en el intervalo \ [a, b] \. Si \\( f(a)>g(a) \\) y \\( f(b)<g(b) \\), muestra que la ecuación \\( f(x)=g(x) \\) tiene al menos una solución real en el rango \ a<x<b \.'

'Por favor, traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'En el Capítulo 2, consideremos constantes a, b tales que 100<a<b. Definimos x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...). Encuentre (1) Demuestre la desigualdad b^n < a(x_n)^n < 2b^n. (2) Encuentre el límite lim n->∞ x_n.'

'Ecuación dada 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3, x=0\\right)\\)'

'Expresa el tamaño de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdad.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'31 Funciones Logarítmicas'

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'Valores de expresiones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas'

'Logaritmo común utilizado en la vida cotidiana'

'Límites de secuencias (5) ... usando el teorema del apretón y el teorema binomial'

'Sea fn(x) = (log x)^n (donde n es un entero mayor o igual a 3). Aquí, log x es el logaritmo natural. Cuando la curva y = fn(x) tiene un punto de inflexión (x_0, 8), encuentre los valores de n y x_0, y dibuje la forma general de la curva (incluyendo la concavidad). [Universidad de Desarrollo Laboral]'

'Demuestra que la ecuación 3^x=2(x+1) tiene al menos una solución real en el rango de 1<x<2.'

'Practica deja que n sea un número natural mayor o igual a 2.'

'(2) Divergir'

'Sea n un número natural. Muestra que la n-ésima derivada f^{(n)}(x) de la función f(x)=x^{2} e^{x} se puede expresar como f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}, donde a_{n} es una constante, y encuentra el valor de a_{n}.'

'Encuentra los valores de las constantes a y b de modo que y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x) y y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x se cumplan.'

'Lanza n bolas en 2n cajas. Supongamos que cada bola será colocada en una de las cajas con igual probabilidad. Sea p_{n} la probabilidad de que cada caja contenga como máximo 1 bola. Encuentra el límite \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \.'

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None

'Calcula el número de dígitos de 3^n para un número natural n y encuentra su límite.'

'Dadas las constantes \ a, b \ donde \ 0 < a < b \. Sea \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\), demostrar (1) la desigualdad \\( b^{n} < a\\left(x_{n}\\right)^{n} < 2b^{n} \\). (2) Encontrar \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \.'

'Traduce el texto dado del problema 309 en matemáticas del japonés al español'

'102 (ウ) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'

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'(3) log 2'

'(1) Sea a una constante no nula. Para x≥0, encuentra f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1).'

'Investiga la convergencia y divergencia de las siguientes series geométricas infinitas, y encuentra la suma si converge.'

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'91 raíz cuadrada de 3 veces pi'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'Acerca del número e'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime} = e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime} = 3 e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 9 e^{3 x} \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime} = 9 e^{3 x} \\cdot (3 x)^{\\prime} = 27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'Demuestra que la ecuación 3^x = 2(x+1) tiene al menos una solución real en el rango 1<x<2.'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'Crear un recipiente PR. Vierta agua suavemente en este recipiente a una velocidad de a por unidad de tiempo. Deje que V represente el volumen de agua cuando la altura del agua es h, el radio del agua es r, el área del agua es S y el volumen del agua es V después de un tiempo t desde que se comenzó a verter. (1) Expresar V. (2) Expresar las tasas de cambio dh/dt, dr/dt, dS/dt de h, r, S con respecto al tiempo t usando a y h.'