Álgebra Avanzada - Números Complejos y el Plano Complejo

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'Si una ecuación de n-ésimo grado con coeficientes racionales tiene p+q√r como solución, explique otra solución y demuestre sus propiedades.'

'Encuentra el número complejo z tal que al elevarlo al cuadrado sea igual a 3+4i.'

'No se puede determinar si el promedio general de puntos de la escuela secundaria es diferente al promedio del condado'

'Al dividir x^{2025} por x^{2}+1, sea el cociente Q(x) y el resto a x + b (a, b son números reales); entonces x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b. Al sustituir x=i en ambos lados, obtenemos i^{2025} = a i + b. Aquí, i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i. Por lo tanto, i = a i + b. Dado que a y b son números reales, a=1, b=0. Por lo tanto, el resto requerido es x.'

'Proporcione los números de página para los términos relacionados con los números complejos, por favor.'

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'Encuentra el valor de la siguiente expresión.'

'Cuando a < 1 / 4, M = -3a + b + 1, cuando 1 / 4 ≤ a < 1, M = 2a√a + b, cuando a ≥ 1, M = 3a + b - 1'

'Los enteros a, b satisfacen la ecuación (a+bi)^{3}=-16+16i. Aquí, i es la unidad imaginaria.\n(2) Encuentra el valor de i/(a+bi)- (1+5i)/4.'

'Encuentre las condiciones para que la función tenga valores extremos y el rango de valores para que la función no tenga valores extremos'

'Ejemplo 19 | Discriminante de ecuaciones de segundo grado (2)'

'Hay 3 monedas de 100 yenes cada una y 3 monedas de 50 yenes cada una, totalizando 6 monedas, y un dado. Cuando se lanzan al mismo tiempo estas 6 monedas y 1 dado, se obtiene el premio multiplicando el valor absoluto del producto de la cantidad total de las monedas que muestran cara y el resultado del dado n menos 2. Por ejemplo, si las 6 monedas muestran cara y el dado muestra 6, el monto total de las monedas que muestran cara es de 450 yenes multiplicado por 4, lo que resulta en 1800 yenes como premio.'

'Encuentra el valor de la ecuación dada cuando \ x=1+\\sqrt{2} i \: \\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'Expresa los siguientes cálculos en la forma de a+bi.\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'Para un número complejo z, encuentre todos los números complejos z tales que z^2 = i.'

'Defina la secuencia {a_n} como {a_1=3, a_{n+1}=(a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3, ...)}'

'Básico 35: División de números complejos'

'Defina una secuencia {a_n} de la siguiente manera. Sea a_1 = 2. Para cualquier número natural n, la coordenada x del punto de intersección de la línea que pasa por (0,1), (a_n,0) y la línea y = x se denomina a_{n+1}.'

'(1) Encuentra los valores de los números reales \ x, y \ que satisfacen la ecuación \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\).'

'Dado el valor de 26 x como -1/2 y 2/3, resolver'

'Ejemplo 1 Demostración de desigualdad'

'En matemáticas, los números reales x, y, z satisfacen el sistema de ecuaciones {x+y+z=-1, x^2+y^2+z^2=7, x^3+y^3+z^3=-1} 1). En este caso, xy+yz+zx=⧁, xyz=1. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones (1) tiene ⧁ conjuntos de soluciones, entre los cuales satisfacen x<y<z es (x, y, z)=1.'

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'Básico 34: Números complejos conjugados y su suma/producto'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones.'

'Determina el rango de valores para la constante k que satisfacen las siguientes condiciones: (1) La función f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 tiene puntos críticos. (2) La función f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 no tiene puntos críticos.'

'Encuentra la suma y el producto de cada uno de los siguientes números y su número complejo conjugado.'

'Encuentra los números complejos que representan el punto que divide el segmento de línea que conecta dos puntos A(α) y B(β) internamente en la proporción m:n y externamente.'

'Sea a un número real positivo, y sea w=a\\(\\left(\\cos \\frac{\\pi}{36}+i \\sin \\frac{\\pi}{36}\\right)\\). Defina la secuencia de números complejos \\\left\\{z_{n}\\right\\}\ como \\(z_{1}=w, z_{n+1}=z_{n} w^{2 n+1}(n=1,2,\andotsandots)\\)'

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'Cuando un número complejo z satisface z+1/z=√2, encuentra el valor de z^20+1/z^20.'

'(1) En el plano complejo, supongamos que α es un número complejo no real y β es un número real positivo. Sea C el lugar geométrico de los números complejos z que satisfacen la relación α*conj(z) + conj(α)*z = |z|^2. Demuestra que C es un círculo que pasa por el origen.'

'Las raíces primitivas 6 de 1. Por ejemplo, en el caso de n=6, buscamos las soluciones de z^6 = 1 que se convierten en raíces primitivas 6. Las soluciones de z^6 = 1 son los seis valores z_0, z_1, ..., z_5 según se da en la respuesta al ejemplo básico 105 en la página 528.'

'Considera la secuencia de números complejos \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \.'

'Traduce la pregunta dada a los siguientes idiomas.'

'La transformación de z a w representada por la siguiente ecuación se llama transformación fraccional de primer orden (o transformación de Möbius).'

'En nuestra vida diaria, la electricidad de corriente alterna se utiliza ampliamente. En el cálculo de circuitos de corriente alterna, a veces se utilizan números complejos y ecuaciones diferenciales, así que echemos un vistazo a eso. Tenga en cuenta que el siguiente contenido incluye temas de nivel universitario, por lo que es suficiente con tener una comprensión general.'

'Resuelve la ecuación z^6=1 usando la forma polar.'

'Dada la sucesión {a_{n}}, donde a_{1}=3, a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1}.'

'En el plano complejo, hay 4 puntos A(2+4i), B(z), C(conjugado de z), D(2z). Encuentra el valor del número complejo z cuando el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.'

'En el plano complejo, para los 3 puntos A(1+i), B(3+4i), C, cuando el triángulo ABC es equilátero, encuentra el número complejo z que representa el punto C.'

'Sea z un número complejo. Demuestra que |z|=1 cuando z+1/z es un número real. También, encuentra todos los números complejos z que hacen que z+1/z sea un número natural.'

'Cuando las dos ecuaciones cuadráticas $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ y $x^{2}-2 m x-m=0$ tienen solo una solución común, el valor de $m$ es $\\qquad$, y la solución común es $x=$ $\\square$.'

'Hay 12 boletos de lotería, entre los cuales hay n boletos ganadores (0 ≤ n ≤ 12). Cuando se extraen ^3161 boletos de estos boletos, los boletos ganadores obtienen 3 puntos y los boletos perdedores obtienen -1 punto. Encuentra el rango de valores de n para los cuales la puntuación esperada es mayor o igual a 1.'

'Determina el valor de la constante c de tal manera que el valor mínimo de la función f(x) = -x^2 + 4x + c sea -50 en el rango (-4 ≤ x ≤ 4).'

'Para un número complejo \\\alpha=a+bi\ y su conjugado complejo \\\overline{\\alpha}=a-bi\, se cumplen las siguientes propiedades.'

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'La secuencia {an} se define por a1=2, an+1=3an-n²+2n. Al considerar una función cuadrática g(n) para que la secuencia {an}-g(n) sea una progresión geométrica con una razón común de 3, exprese an en función de n.'

'Encuentra el rango de valores para c para que la ecuación x^3-6x+c=0 tenga dos soluciones positivas distintas y una solución negativa.'

'Sea i la unidad imaginaria, x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i. Sea y el conjugado de x. Encuentra los siguientes valores.'

'Sea Sn la suma de la primera hasta la n-ésima término de una progresión geométrica con una razón común positiva. Si S2n=2 y S4n=164, encontrar el valor de Sn.'

'La secuencia {an} se define como a1=2 y la fórmula de recurrencia an+1=2-an/(2an-1).'

'Sea i la unidad imaginaria, y sea x=√3+√7i. Sea y el conjugado complejo de x. Encuentra los siguientes valores.'

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'Encuentra las dos soluciones porque la proporción de las dos soluciones es 3:2.'

'Encuentre el rango de números reales a para los cuales al menos una de las ecuaciones tiene raíces complejas'

'Existen exactamente dos números complejos z=x+yi (x, y son números reales) tales que al elevar al cuadrado z se iguala a i. Encuentra estos z.'

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'En relación a las escalas logarítmicas (1), (2), al enfocarse en las escalas opuestas a y c, así como b y d, la relación a/c = b/d siempre se cumple, lo que muestra que la proporción de escalas opuestas es constante. Además, al observar la escala logarítmica (3), la relación cf = de siempre se cumple.'

'Encuentre las condiciones bajo las cuales se pueden trazar tres tangentes distintas desde el punto \\((a, b)\\) a la curva \y=x^{3}-x\, e ilustre el rango de puntos \\((a, b)\\) que satisfacen esta condición. [Universidad de Kansai]'

'La fórmula recurrente a_{n+1}=2 a_{n}-n de la página anterior no parece encajar en ninguno de los 3 patrones superiores tal cual está. Incluso si substituimos a_{n+1} y a_{n} por α y consideramos la ecuación característica α=2α-n, todavía obtenemos α=n, sin poder proceder como en el Ejemplo Básico 30. Por lo tanto, veamos detenidamente la respuesta a la izquierda.'

'Encuentra el término general de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada por las siguientes condiciones.'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'Por favor encuentra la solución para x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).'

'¿Cuál es la ecuación de la parábola obtenida al trasladar la parábola y = 1/2 x^2 de manera que pase por el punto (1,5) y su vértice se encuentre en la recta y = -x + 2?'

'Cuando el punto z se mueve a lo largo de un círculo con centro en el origen O y radio 2, ¿qué tipo de forma traza el punto w = \\frac{2z-i}{z+i}?'

'Explique cómo manejar el vector de posición correspondiente a la adición de números complejos α + β en el plano complejo.'

'Encuentra el número complejo que representa el punto obtenido al rotar el punto 2+2i alrededor del punto i para los siguientes ángulos.'

'Me gustaría resumir qué tipo de movimiento geométrico representan los cálculos de números complejos.'

'Plano complejo'

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'Resolver la ecuación z^6=1.'

'Para los puntos A(-1+i) y B(3+4i), encuentra (2) el punto medio M del segmento de recta AB.'

'Ejemplo 90 | Forma de un triángulo (3)'

'Encuentra la suma y diferencia de los números complejos α=3+4i y β=1+2i, y dibuja los puntos que representan en el plano complejo.'

'Cuando un número complejo z satisface |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, ilustra el rango de movimiento del punto z en el plano complejo.'

'Cuando (*) tiene dos soluciones imaginarias que son conjugadas entre sí, representadas como $z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma$ es imaginario)$,$ podemos determinar a partir de la relación entre las soluciones y los coeficientes que $\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a$ y $\\gamma \\overline{\\gamma}=b$, lo cual implica que $a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$. En este caso, $D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$, y dado que $\\gamma-\\overline{\\gamma}$ es puramente imaginario, siempre tenemos que $D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$. Al combinar $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$, obtenemos $|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$, o de manera equivalente, $\\left.\\left\\lvert\\,(Parte real de$\\gamma)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$. Por lo tanto, el rango de valores posibles para la solución imaginaria z de (*) es $\\left.\\left\\lvert\\,(Parte real de$z)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$.'

'Cuando un punto z en el plano complejo se mueve a lo largo de la circunferencia excluyendo el punto -1 del círculo unitario, ¿qué tipo de forma dibuja el punto w representado por w=\\frac{2z+1}{z+1}?'

'En este capítulo, aprendimos sobre la suma, resta, multiplicación y división de números complejos. A continuación, representemos los números complejos como puntos en el plano de coordenadas y pensemos en el significado geométrico de los números complejos. Específicamente, consideraremos la interpretación geométrica de la suma, resta, valor absoluto y conjugado de números complejos, así como aprenderemos sobre la forma polar para tratar el producto y cociente de números complejos, y exploraremos diversas figuras en el plano complejo.'

'A partir del resultado de (1), la condición para la existencia de un número complejo z que satisface (2) es α≤-2, -1≤α. Por lo tanto, |α|≤2 implica α=-2, -1≤α≤2.'

'Aquí, todos los caracteres se consideran números complejos. La transformación de z representada en la ecuación a w se denomina conversión de fracción de primer orden.'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. El argumento 𝜃 debe cumplir 0 ≤ 𝜃 < 2π.'

'Para un número complejo z diferente de -1, cuando el número complejo w se define como w= z/z+1, encuentre la forma trazada por w a medida que z se mueve a lo largo del eje imaginario. Además, encuentre la forma trazada por w a medida que z se mueve en el círculo |z-1|=1 en el plano complejo.'

'Cuando los puntos O(0), A(3+4i), B(1+2i) no son colineales, y el resultado de la suma se denota como C(α+β), ¿cómo será el cuadrilátero OACB?'

'En el plano de los números complejos, si el punto P(z) y el punto Q(w) son simétricos respecto a la recta que pasa por el origen O y el punto A(α) (α ≠ 0), entonces exprese w en términos de α y z.'

'(2) Para un número complejo $z$ que no es un número real, demuestre que $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ es un número puramente imaginario.'

'Demuestra que para cualquier número complejo z, la expresión z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z es un número real.'

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'Expresa el conjugado de un número complejo z en forma polar.'

'Para la función f(x)=(x+1)/(x^2+2x+a), encuentre el rango de valores para la constante a que satisfacen las siguientes condiciones:'

'Sea \ z \ un número complejo no nulo. 85 (1) Si representamos a \ z \ con un valor absoluto de \ r \ y un argumento de \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\), determina los valores de \ r \ y \ \\theta \ tales que \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ sea un número real.'

'Multiplicación de números complejos y rotación (2)'

'La cuestión 12 trata sobre la validez del método de Newton para encontrar las soluciones reales (valores aproximados) de la ecuación f(x)=0 cuando f(x) es una función cóncava.'

'(2) En el plano complejo, para los puntos \\alpha, \eta, muestre los siguientes puntos: (a) \\alpha+\eta (b) \\alpha-\eta (c) 2\\alpha+\eta (d) -(2\\alpha+\eta)'

'Expresa el número complejo z=a+bi en forma polar.'

'Multiplicación de números complejos y rotación (2)\n(1) Para dos puntos z=3+i, w=2-i, encuentra el número complejo que representa el punto obtenido al rotar z alrededor del centro de w por π/6.'

'Sea a, c números reales, y β un número complejo. Cuando a ≠ 0 y |β|² > ac, la ecuación az¯z+β¯z+βz¯+c=0 representa un círculo con centro en -β/a y radio √(|β|²-ac)/|α|, y cuando a = 0 y β ≠ 0, la ecuación β¯z+βz¯+c=0 representa una línea. Para más detalles, consulta la página de soluciones p.109. En el ejercicio, sea k un número real y α=-1+i. Un punto w se mueve en el plano complejo satisfaciendo la ecuación w¯α-¯wα+ki=0. Encuentra el valor máximo de k cuando la trayectoria del punto w tiene al menos un punto en común con un círculo de radio 1 centrado en 1+i.'

'(1) Supongamos que un número complejo z se da en la forma z=r(cosθ+isinθ), donde r es un número real positivo y θ es un número real. Demuestra las condiciones necesarias y suficientes para que las secuencias {xn} y {yn} converjan a 0 de manera simultánea.'

'Suponiendo que la ecuación (1) tiene una solución compleja con un valor absoluto de 1, z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta, entonces de la ecuación (2) obtenemos'

'En el plano complejo, se representa un número complejo $\\alpha=a+bi$ como un punto $A(\\alpha)$. Ahora, en este plano, se define el vector de posición del punto $A$ con respecto al origen $O$ como $\\vec{p}$. Por lo tanto, el número complejo $\\alpha$ corresponde al vector de posición $\\vec{p}$. Para dos números complejos $\\alpha, \eta$, se tiene $A(\\alpha), B(\eta)$, $\\overrightarrow{OA}=\\vec{p}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{q}$, luego la igualdad de los números complejos $\\alpha, \eta$ puede entenderse como la igualdad de vectores de posición $\\vec{p}, \\vec{q}$.'

'Para los puntos A(-1+i) y B(3+4i), encuentre el número complejo que representa el siguiente punto: (1) Punto P que divide el segmento de línea AB en la proporción 2:1'

'Para el triángulo ABC con vértices en los puntos A(α), B(β) y C(γ) en el plano complejo, si la ecuación 903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα se cumple, ¿qué tipo de triángulo es ABC?'

'Muestra las condiciones cuando un número complejo z o z1, z2, z3, z4 se encuentran en el círculo unitario.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Explica el significado geométrico del producto de números complejos.'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'Al practicar en el plano complejo, dejemos que los números complejos a, b, c representen los puntos A, B, C respectivamente, de modo que estos puntos no sean colineales. Sean α, β, γ constantes complejas, expresar β/α y γ/α en términos de a, b, c y sus números complejos conjugados a̅, b̅, c̅ cuando el número complejo z satisface la ecuación αz+β z̅+γ=0.'

'En el plano complejo, sea los números complejos que representan los vértices del triángulo 0, α, β para O, A, B respectivamente.'

'En el plano complejo, encuentra el punto representado por el número complejo α=3+4i, y encuentra el punto representado por el número complejo obtenido al multiplicarlo por -2.'

'En este capítulo》 En Matemáticas I, aprendimos sobre la suma, resta, multiplicación y división de números complejos. En este capítulo, aprenderemos cómo se representan los números complejos como puntos en el plano complejo y los significados geométricos de la suma, resta, valor absoluto y números complejos conjugados. Además, para considerar el producto y el cociente de números complejos, aprenderemos sobre la representación geométrica de números complejos en el plano complejo en forma polar y estudiaremos varias formas en el plano complejo.'

'Multiplicación de números complejos y rotación (2)\n(1) Para dos puntos z=3+i y w=2-i, encuentra el número complejo que representa al punto z rotado en sentido horario por π/6 alrededor del centro del punto w.\n(2) Cuando el número complejo que representa al punto 3-2i después de rotar alrededor del centro de 1+i por un ángulo θ (0 ≤ θ < 2π) es (4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2, encuentra el valor de θ.'

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'¿En qué caso un número complejo z tiene un argumento indeterminado?'

'Por lo tanto, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$, así $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'Calcular las siguientes expresiones.'

'Expresa los siguientes números complejos z en forma polar. Nota que el argumento θ es 0≤θ<2π.'

'Para el triángulo ABC con vértices en 3 puntos A(α), B(β) y C(γ) en el plano complejo, ¿qué tipo de triángulo es el triángulo ABC cuando se cumplen las siguientes ecuaciones?\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

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'Si n es un número natural mayor o igual a 2, entonces i es la unidad imaginaria.'

'Encuentra el cociente del número complejo \\\frac{c+d i}{a+b i}\.'

'Número complejo'

'Demuestra que cuando una ecuación de grado n con coeficientes racionales tiene una solución de p+q√r, la otra solución es p-q√r.'

'Por favor realiza operaciones aritméticas con números complejos y calcula la raíz cuadrada de los números negativos.'

'Capítulo 2 Números complejos y ecuaciones Referencia Encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas con coeficientes de números complejos'

'Sea k una constante real, i=√-1 la unidad imaginaria. Encuentre el valor de k cuando la ecuación (1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0 tiene raíces puramente imaginarias.'

'Práctica\nSea k una constante real, i la unidad imaginaria √(-1). Encuentra el valor de k cuando la ecuación cuadrática de x, (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0, tiene raíces puramente imaginarias.'

'Si ω es una de las soluciones de la ecuación x^2+x+1=0, y α es la otra solución, entonces, según la relación entre las soluciones y los coeficientes, tenemos que ω+α=-1...(1) y ω*α=1.'

'Encuentra el valor máximo y mínimo de BC² bajo las siguientes condiciones: Condiciones: cuando \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \, entonces \ \\cos \\theta < 0 \'

'Encuentra el valor de x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 cuando x = (1 - √3i)/2.'

'Hay una serie geométrica infinita con números reales como su primer término y razón común, y la suma es 3. Además, hay una serie geométrica infinita donde cada término es el cubo del término correspondiente en la primera serie, y la suma es 6. Encuentra la razón común de la primera serie.'

'Resuelve la ecuación z^6=1 usando la forma polar.'

'En el plano complejo, dejemos que los vértices del triángulo O, A, B estén representados por los números complejos 0, α y β'

None

'En el plano complejo, dejemos que el punto A represente 6, el punto B represente 7+7i. Además, para un número real positivo t, dejemos que el punto P represente \\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7)\\.'

'Raíces n-ésimas de 1\nLas raíces n-ésimas de 1 (es decir, las soluciones a la ecuación z^n=1) son los siguientes n números complejos.\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'Considera la función de un número complejo z, f(z)=z+1/z. Cuando z satisface 1/3<=|z|<=2 y 0<=arg z<=π/4, encuentra el valor máximo y mínimo de la parte real de f(z).'

'Para el número complejo z = cos(2/7π) + i sin(2/7π), encuentra el valor de (4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6. También encuentra el valor de (1) 1/(1-z) + 1/(1-z^6). Si t=(z^2+1)/z, entonces demuestra que t es un número real y muestra que t es una raíz de la ecuación cúbica t^3+⏋⎹t^2-1␍t-ウ␍.'

'Para tres puntos A(α), B(β), C(γ) en el plano complejo\n(1) Cuando α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i, encuentra el tamaño de ∠ABC.\n(2) Cuando α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a es un número real), si a=⬜, entonces los puntos A, B, C son colineales; si a=1⬜, entonces AB⊥AC.'

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'Practica calcular las siguientes expresiones.'

'Muestra el cálculo de expresar el número complejo z en forma polar usando el Teorema de De Moivre en el plano complejo.'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. Supón que el argumento θ satisface 0 ≤ θ < 2π. (1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'Práctica'

'Sea α un número complejo con valor absoluto 1. ¿Bajo qué condiciones en z, (α+z)/(1+αz) será un número real?'

'Dos números complejos se pueden representar como \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \, donde los argumentos se presentan de tal manera que \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \. (1) Expresa \ \\alpha+1 \ en forma polar, donde el argumento \ \\theta \ satisface \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \. (2) Demuestra que \ \eta=-\\alpha \ se cumple cuando la parte real de \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ es igual a 0.'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. Suponga que el argumento theta está entre 0 y 2π.'

'(A) Expresa α y β en forma polar: α = cos(θ1) + i sin(θ1), β = cos(θ2) + i sin(θ2), donde 0 < θ1 < π < θ2 < 2π.'

'Encuentra el valor de z cuando el número complejo z satisface arg z = π/4 y |(z+i)/(1+2i)| = 1.'

'Un problema relacionado con la ecuación de un círculo en el plano complejo. Para la ecuación que representa un círculo |z-α|=r, al elevar al cuadrado obtenemos |z-α|^{2}=r^{2}, que al expandirlo conduce a z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0. Esta ecuación involucra números reales, por lo tanto, es necesario considerar una representación geométrica.\nA continuación, utilizando números reales a, c y un número complejo β, exploramos qué forma representa la ecuación a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0.\nCaso 1: Cuando α ≠ 0, |β|^{2}>a c, y a ≠ 0, esta ecuación representa un círculo con centro en -β/a y radio |β|^{2}-a c|a.\nCaso 2: Cuando a = 0, y \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0, la ecuación representa la ecuación de una recta A x + B y + c = 0 (interpretando el número complejo β como p + qi). La recta B es perpendicular a la línea que conecta los dos puntos (0, β) (consultar la línea 261).'

'Cuando tres puntos distintos A(α), B(β), C(γ) satisfacen las siguientes condiciones, encuentra las medidas de los tres ángulos del triángulo ABC.'

'Supongamos que hay tres números complejos distintos α, β, γ tales que la ecuación α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3) se cumple.'

'En el plano complejo, para los 3 puntos A(1+i), B(3+4i), y C, si AB = AC y ∠BAC = π/3, encuentra el número complejo que representa al punto C.'

'Encuentra el número complejo z que representa el vértice C de un triángulo equilátero ABC con el segmento AB como un lado en el plano complejo con los puntos A(-1+i) y B(√3-1+2i).'

'Encuentra el número complejo que representa el centroide del triángulo ABC con vértices A(α), B(β) y C(γ).'

'Encuentra el número complejo z que representa el vértice C de un triángulo equilátero ABC con el segmento AB como un lado, donde A(-1+i) y B(√3-1+2i) son dos puntos en el plano complejo.'

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'Demuestra que todas las soluciones de la ecuación zⁿ = α se pueden expresar como α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀.'

'Supongamos que entre tres números complejos distintos α, β, γ, se cumple la ecuación α³ - 3α²β + 3αβ² - β³ = 8(β³ - 3β²γ + 3βγ² - γ³).'

'Expresa los siguientes números complejos en forma polar. Supón que el argumento θ satisface 0 ≤ θ < 2π.'

'Para los puntos A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i), encuentra los números complejos que representan los siguientes puntos:\n(1) Punto P que divide el segmento de línea AB en la proporción 3:2\n(2) Punto Q que divide el segmento de línea AC externamente en la proporción 2:1\n(3) Punto medio M del segmento de línea AC\n(4) Vértice D del paralelogramo ABCD\n(5) Centroide G del triángulo ABC'

'En el plano complejo, hay tres puntos O(0), A(-1+3i) y B. Cuando △OAB es un triángulo isósceles rectángulo, encuentra el número complejo z que representa al punto B.'

'Práctica\nConsidere un número complejo α=cosθ+i sinθ donde el ángulo θ es mayor que 0 y menor que π/2. Sea z0=0 y z1=1, y defina la secuencia {zk} por zk-zk-1=α(zk-1-zk-2) para k=2,3,4,... en el plano complejo, donde zk(k=0,1,2,...) representa el punto Pk.\n(1) Expresar zk en términos de α.\n(2) Sea A(1/1-α), luego mostrar que los puntos Pk(k=0,1,2,...) están en un círculo con A como centro.'

'Valor absoluto'

'Calcule las siguientes expresiones.'

'Para un número complejo no nulo d, ¿qué tipo de forma representa la ecuación dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1) en el plano complejo?'

'Práctica'

'Sea a un número real positivo, w=a(cos(π/36) + i sin(π/36)). Defina una secuencia de números complejos {z_n}, z_1 = w, z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...). (1) Encuentre el argumento de z_n.'

'Cuando un número complejo z satisface z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i, utiliza las propiedades de los números complejos conjugados para encontrar z.'

'Sean α y β números complejos. (1) Cuando |α|=|β|=1 y α-β+1=0, encuentra los valores de αβ y α/β+β/α. (2) Cuando |α|=|β|=|α-β|=1, encuentra el valor de |2β-α|.'

'Calcula las siguientes expresiones.'

'En el plano complejo, el número complejo α = a + bi se corresponde al punto (a, b) en el plano de coordenadas. A este plano se le llama plano complejo. Entonces, ¿a qué punto en el plano complejo se corresponde el número complejo α = 3 + 4i?'

'Cuando un número complejo z cumple 3z + 2\x08ar{z} = 10 - 3i, encuentre z usando las propiedades de los números complejos conjugados.'

'Considera la secuencia de números complejos definida por la siguiente relación de recurrencia: z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n=1,2, ...). Aquí, i es la unidad imaginaria. (1) Encuentra z_2, z_3. (2) Expresa la relación de recurrencia anterior como z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α) y encuentra el número complejo α. (3) Encuentra el término general z_n. (4) Encuentra todos los números naturales n para los cuales se cumple que z_n = -(1 - √3 i)/2.'

'Encuentra el producto αβ y el cociente α/β de los siguientes números complejos.'

'En el plano complejo, 2 puntos A(α), B(β) están conectados por un segmento de línea AB que se divide en la proporción m:n. El punto que divide internamente en la proporción m:n es C(γ) y externamente es D(δ).'

'Multiplica el número complejo con valor absoluto de 2 y argumento de π/3 por z.'

'Encuentra el número complejo w2 obtenido al rotar el punto z = 4 - 2i en sentido antihorario π/3 radianes alrededor del origen y escalando la distancia desde el origen por un factor de 1/2.'

'Encuentra el número complejo z que satisface |z|=5 y |z+5|=2√5, luego calcula los siguientes valores. 31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'En este capítulo, aprendemos sobre cómo los números complejos se representan como puntos en el plano complejo, así como el significado geométrico de la suma, resta, valor absoluto y números complejos conjugados. Además, estudiamos la forma polar, la representación geométrica de los números complejos, y estudiamos varias formas en el plano complejo.'

'Cuando el número complejo z satisface |z-3-4i|=2, encuentra el valor máximo de |z| y el valor correspondiente de z.'

'Demuestra que para cualquier número natural \ n \, se cumple la desigualdad \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \.'

'Demuestra que para dos líneas distintas l y m en el plano complejo que no pasan por el origen, los puntos en la línea l siempre satisfacen la ecuación α z + ᾱ z = |α|².'

'Suponga que el punto z en el plano complejo se encuentra en el círculo unitario. Demuestre que z se puede representar como z = e^(iθ).'

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'Demuestra que para el número complejo z, donde z^3 no es un número real, z^3 - (conjugado de z)^3 es puramente imaginario.'

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'Demuestra que la desigualdad |(α-β)/(1-αβ)|<1 se sostiene para números complejos α, β con valor absoluto menor que 1.'

'En el plano complejo, representando los puntos como -1+2i, 3+i. Si consideramos al segmento AB como un lado, encuentre la representación en números complejos de los vértices C, D del cuadrado ABCD.'

'Demuestra que si la ecuación de cuarto grado ax^4+bx^2+c=0 tiene una solución compleja α, entonces el conjugado de α también es una solución de esta ecuación.'

'Sea i la unidad imaginaria y k un número real. Dado que α=-1+i, el punto z se mueve en el plano complejo a lo largo del círculo unitario con el origen como centro.'

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'Expresa el siguiente número complejo en forma polar, donde el argumento θ satisface 0 ≤ θ < 2π. 1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π).'

'Problema de práctica: En el plano complejo, permita que los números complejos a, b, c representen los puntos A, B, C respectivamente, donde los puntos no son colineales. Considere α, β, γ como constantes, exprese β/α y γ/α en términos de los números complejos a, b, c y sus conjugados a, b, c cuando el número complejo z satisface la ecuación αz+βz+γ=0 representando las siguientes figuras: (1) Línea AB (2) Línea que pasa por el punto C y es perpendicular a la línea AB'

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'Pregunta básica 106 Forma de un triángulo (1) Para el triángulo ABC con vértices A(α), B(β) y C(γ) en el plano complejo, si la ecuación β-α=(1+√3i)(γ-α) es verdadera, encuentre los tamaños de los tres ángulos interiores del triángulo ABC.'

'Sea α un número complejo con valor absoluto 1. ¿Para qué tipo de número complejo z (α+z)/(1+αz) se convierte en un número real?'

'En el plano complejo con origen O, los puntos que representan los números complejos α, β son A, B respectivamente. Donde α ≠ 0, β ≠ 0. Elija dos de las siguientes ecuaciones que aseguren que el triángulo △OAB siempre sea un triángulo isósceles rectángulo.'

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'Encuentra el cubo del número complejo z = 1 + i y exprésalo en forma polar.'

'Para el número complejo z que es diferente de -1, definimos el número complejo w como w=z/(z+1). Cuando el punto z se mueve a lo largo del círculo con radio 1 centrado en el origen, determina la figura formada por el punto w.'

'Considera la secuencia {an} determinada por las condiciones (i)(ii).'

'Ejemplo 89 Aplicación de figuras rotadas'

'Para los puntos A(-2-2i), B(5-3i), C(2+6i), encuentra los números complejos que representan los siguientes puntos.'

'Considera los cuatro puntos A(α), B(β), C(γ), D(δ) en el plano complejo formando un cuadrilátero ABCD. Supongamos que el cuadrilátero ABCD es un cuadrilátero convexo con todos los ángulos internos menores a 180 grados. Además, supongamos que los vértices del cuadrilátero ABCD están dispuestos en orden antihorario como A, B, C, D. Construye triángulos rectángulos isósceles APB, BQC, CRD, DSA con los lados AB, BC, CD, DA como sus hipotenusas en el exterior del cuadrilátero ABCD. (1) Encuentra el número complejo que representa al punto P. (2) ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que el cuadrilátero PQRS sea un paralelogramo en función de qué tipo de cuadrilátero ABCD sea? (3) Si el cuadrilátero PQRS es un paralelogramo, demuestra que el cuadrilátero PQRS es un cuadrado.'

'Sea α=2+i, β=4+5 i. Encuentra el número complejo γ que representa el punto obtenido al rotar β alrededor de α por π/4.'

'Explique la suma de números complejos α y β como α+β usando vectores de posición e ilústrelo utilizando un paralelogramo.'

'Ejemplo importante 77 | Uso de raíces de grado n'

'Plano de números complejos\nSea w = (1 + α) z + 1 + α. Cuando las líneas OW y OZ son perpendiculares, responde a las siguientes preguntas:\n(1) Encuentra el valor de |z-α|.\n(2) Encuentra el número complejo z para que △OAZ forme un triángulo rectángulo.\n[Tipo: Universidad de Yamagata]'

'Encuentra el término general de la secuencia de números complejos {zn} que satisface la siguiente relación de recurrencia.'

'Demuestra que la desigualdad |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 se cumple cuando el número complejo z=x+yi(x, y son números reales) con x≥0. Además, determina cuándo se cumple la igualdad.'

'Usando la forma polar z=r(cosθ+isinθ)'

'Por favor explique la relación entre los números complejos y los vectores en el plano, y demuestre que es una correspondencia uno a uno.'

'Encuentra el número complejo que representa los puntos A(-1+i) y B(3+4i).'

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'Sean a, b números reales y supongamos que la ecuación cúbica x^{3}+ax^{2}+bx+1=0 tiene una raíz imaginaria α. Demuestra que el número complejo conjugado de α también es una raíz de esta ecuación. Además, expresa la tercera raíz β y los coeficientes a, b usando α y el conjugado de α.'

'Resolver la relación de recurrencia de números complejos\n\ z_{1}=3 \ y la relación de recurrencia \\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\) que define una secuencia de números complejos \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \, y responder a las siguientes preguntas:\n(1) Encuentra \ z_{n} \.\n(2) Encuentra \ z_{21} \.'

'Sea 𝛼 = -2 + 2𝑖, 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖. Donde el argumento es 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) Expresa 𝛼𝛽 y 𝛼 / 𝛽 en forma polar respectivamente. (2) Encuentra 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ y |𝛼³ / 𝛽|.'

'La condición para que tres puntos que incluyen el origen O sean colineales es (1) ○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i. Encuentra el valor del número real x cuando los puntos A(α), B(β) y el origen O son colineales.'

'Expresa los números complejos 1+i y sqrt(3)+i en forma polar, y calcula los valores de cos(5/12π) y sin(5/12π) para cada uno de ellos.'

'Entendiendo las formas geométricas usando números complejos'

'Capítulo 3 Plano de números complejos 417\nSolución alternativa 2 A(3 i), B(-3), P(z) Sea |z-3 i|=2|z+3| por lo tanto AP=2BP por lo tanto AP:BP=2:1 El segmento AB se divide internamente en el punto C(α) en la proporción 2:1 y externamente en el punto D(β), por lo que el conjunto de puntos P es un círculo con C y D como diámetro. α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i Por lo tanto, el conjunto de puntos z es un círculo con -2+i y -6-3 i como diámetro. |z-3 i| representa la distancia entre los puntos A y P, y |z+3| representa la distancia entre los puntos B y P. Capítulo 3'

'El punto obtenido al girar el punto z alrededor del origen en un ángulo de θ es (cos θ + i sin θ) z'

'El número complejo \ \\alpha \ cumple con \ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \.'

'Investiga la convergencia y divergencia de las siguientes series infinitas, y encuentra su suma si convergen.'

'La relación entre los números complejos y los vectores en geometría'

'Dado los números reales x, y, z que satisfacen x+y+z=√5+2, xy+yz+zx=2√5+1, xyz=2, encuentre los valores de las siguientes expresiones: (1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'Para que la ecuación f(x)=0 tenga dos raíces negativas distintas, el gráfico de y=f(x) debe intersectarse con la parte negativa del eje x en dos puntos diferentes. Por lo tanto, todo lo siguiente debe ser verdadero simultáneamente.'

'Ejemplos de Números Catalanes 3... Formas de Dividir un Polígono en Triángulos'

'Encuentra la solución a la siguiente ecuación:'