Análisis Vectorial (Geometría de Curvas y Superficies) - Producto Punto y Producto Cruz

'Encuentra el producto escalar y el ángulo \ \\theta \ entre dos vectores \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\).'

'Para demostrar la condición de que los puntos \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ estén alineados, muestra la siguiente propiedad:'

'Sea $\\mathrm{ABCD}$ la base de una pirámide cuadrangular $\\mathrm{OABCD}$ tal que $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Para cuatro números reales no nulos $p, q, r, s$, sean los puntos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ definidos por $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Demuestra que si los cuatro puntos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ yacen en el mismo plano, entonces $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$.'

'En el tetraedro OABC, sea L el punto que divide el lado AB en la proporción 1:3, M el punto que divide el lado OC en la proporción 3:1, N el punto que divide el segmento CL en la proporción 3:2, y P la intersección de los segmentos LM y ON. Si OA=a, OB=b, OC=c, exprese ON y OP en términos de a, b y c.'

''

'Los vectores a y b en el plano de coordenadas no son paralelos. Consideremos a y b como vectores de posición correspondientes a los puntos A y B, respectivamente. Además, para números reales positivos x e y, consideremos x a y y b como vectores de posición correspondientes a los puntos P y Q. Cuando el segmento de recta PQ divide al segmento de recta AB en la proporción 2:1, encontrar el valor mínimo de xy. Todos los vectores de posición se consideran con respecto al origen O.'

'La ecuación vectorial de una recta perpendicular al vector n (que no es igual a cero) y que pasa por el punto A(vector a) es n·(p-a)=0'

'Definición del producto cruz'

'Definición del producto escalar, Producto escalar y componentes \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nDefinición del producto escalar\nSi el ángulo entre \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ es \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) , entonces\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nProducto escalar y componentes\nSi \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) , entonces\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nAdemás, si el ángulo entre \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ es \ \\theta \ , entonces\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'Problema de prueba sobre movimiento circular uniforme\nEl punto P se mueve en una trayectoria circular con radio r centrada en el origen O, comenzando desde el punto fijo P₀, de modo que OP rota a una velocidad de ω radianes por segundo.\n(1) Encuentra la magnitud v de la velocidad de P.\n(2) Demuestra que el vector velocidad de P y el vector aceleración son perpendiculares.'

'Dado que los vectores a y b cumplen con |a|=5, |b|=3, |a-2 b|=7. Si el ángulo entre a-2 b y 2 a+b es θ, encuentra el valor de cos θ.'

'Encuentra el producto punto y el ángulo $\\theta$ entre los dos vectores $\\vec{a}=(-2,1,2)$ y $\\vec{b}=(-1,1,0)$.'

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'Para vectores no nulos a y b, tales que a+2b y a-2b son ortogonales, y |a+2b|=2|b|.'

'Describe las condiciones para que los vectores a y b sean perpendiculares.'

'Dentro de \\triangle \\mathrm{ABC} hay un punto \\mathrm{P} tal que 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}. (1) ¿Dónde se encuentra el punto \\mathrm{P}? (2) Encuentra la proporción de áreas de \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB}.'

'En un cuadrado ABCD con longitud de lado 2, encuentra los siguientes productos punto.'

'Demuestre utilizando vectores que la ecuación 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 se cumple en el paralelogramo ABCD.'

'Dado 4 puntos A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5).'

'Ejemplo básico 22 Ejemplo estándar 33'

'En el tetraedro OABC, sea P el punto medio del lado OA, Q el punto medio del lado BC, R el punto que divide el segmento PQ en la proporción 1:2, y S el punto de intersección de la recta OR y el plano ABC. Si OA=vector a, OB=vector b, OC=vector c, entonces expresa OS en función de los vectores a, b y c.'

'Capítulo 2 Vectores en el Espacio - 39\n(1) Sea P(x, y, z) y \\overrightarrow{AP}=(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1)\nDado que el punto P está en la recta AB, \\overrightarrow{AP}=t\\overrightarrow{AB} para algún número real t\n\\overrightarrow{AB}=(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4), entonces\n\\[\\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=t\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4\\right)\\]\nEsto da \\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=\\left(\\frac{3}{2} t, \\frac{5}{2} t, -4 t\\right)\nPor lo tanto, x=\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, y=\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, z=-4 t+1\nDado que el punto P está en el plano yz, el componente x de \\overrightarrow{OP} es 0\nAsí, \\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}=0 da t=-\\frac{1}{3}\nPor lo tanto, las coordenadas del punto P son \\left(0, -\\frac{7}{3}, \\frac{7}{3}\\right)\n(2) De (1), \\overrightarrow{OH}=(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, \\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, -4 t+1). Dado que AB ⊥ OH, tenemos \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{OH}=0\nPor lo tanto, \\frac{3}{2}\\left(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{5}{2}\\left(\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}\\right)-4(-4 t+1)=0\nAl resolver esto obtenemos t=\\frac{2}{7}\nAsí, las coordenadas del punto H son \\left(\\frac{13}{14}, -\\frac{11}{14}, -\\frac{1}{7}\\right)'

'En el \ \\triangle \\mathrm{OAB} \, dado que \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ y el ortocentro se denota como H. Definiendo \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a} \ y \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \, responde a las siguientes preguntas:'

'Encuentra el producto punto y el ángulo $\\theta$ entre los vectores $\\vec{a}$ y $\\vec{b}$.(1) $\\vec{a}=(3,4), \\vec{b}=(7,1)$(2) $\\vec{a}=(1, \\sqrt{3}), \\vec{b}=(-\\sqrt{3},-1)$(3) $\\vec{a}=(\\sqrt{2},-2), \\vec{b}=(-1, \\sqrt{2})$(4) $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(6,3)$'

'En el triángulo rectángulo ABC, con vectores AB = a, AC = b y BC = c, encuentre los productos punto a⋅b, b⋅c y c⋅a.'

'Encuentra el valor de $x$ que hace que $\\ vec {a} = (x + 2,1)$ y $\\ vec { b} = (1, -6)$ sean perpendiculares.'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'Independencia y dependencia una vez'

'El punto P se mueve a lo largo del lado OA, por lo tanto, se puede representar como OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1). Además, el punto Q se mueve a lo largo del lado BC, por lo tanto se puede representar como OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1). Encuentre el valor mínimo del cuadrado de PQ en este momento.'

'En el espacio de coordenadas con el origen como centro, sea A(5,4,-2). ¿Qué tipo de figura representa el conjunto de puntos P(x, y, z) que satisfacen $|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$? Además, exprese la ecuación en términos de x, y, z.'

'Resuelva el siguiente problema de vectores. \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ conduce a \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'Dado que \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{PH}} \, tenemos que \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PH}} = 0 \, lo que implica \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). Por lo tanto, \ k = 4 \'

'Encuentra el ángulo θ entre los vectores a y b de tal manera que a-(2/5)b sea perpendicular a a+b, y a sea perpendicular a a-b.'

'(1) Demostración:'

'Ejemplo 10 Cálculo del producto interno (definición)'

'En el tetraedro ABCD, sea M el punto medio del borde AB y N el punto medio del borde CD.\n(1) ¿Existe un punto P que satisfaga la ecuación PA + PB = PC + PD? Proporciona una prueba y responde.'

'Ecuaciones de producto interno en problemas de forma de triángulo'

'Explique el método para calcular el producto punto de vectores y realice el cálculo utilizando un ejemplo específico.'

"Ejemplo 18 Encuentra el vector de posición del ortocentro de un triángulo\nEn el triángulo OAB, con OA=5, OB=6, AB=7, y ortocentro H. Sea el vector OA 'a' y el vector OB 'b', responde las siguientes preguntas:\n1. Encuentra el producto punto a·b.\n2. Expresa el vector OH en términos de a y b."

'En el tetraedro OABC, sea ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC. Los puntos medios de los segmentos OA, OB, OC, BC, CA, AB se denotan como L, M, N, P, Q, R respectivamente, y sea ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR.'

'La ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A (un vector a) y es perpendicular a n (que no es igual al vector cero) es: n · (p - a) = 0.'

'Calcule el producto escalar de vectores y explique su significado geométrico.'

'Demuestra la desigualdad del décimo vector'

'(1) Dado que \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, entonces \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. Encuentra el número real \ k \ y determina los valores de \ a \ y \ b \ cuando \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) y \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\).'

'Definir el producto escalar y los componentes donde \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \.\nEl ángulo entre \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ se denota por \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\).\nEntonces, el producto escalar de \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ se representa por \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nPara \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\), el producto escalar de los vectores es \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\nAdemás, el coseno del ángulo \ \\theta \ se define como \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'

'Dado P(0, s, 0), Q(t+1, t+3, -t). Calcular PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2. Cuando s-t-3=0 y t+1/2=0, es decir, s=5/2, t=-1/2, el valor mínimo es 1/2. Por lo tanto, PQ alcanza un valor mínimo de 1/sqrt(2) cuando s=5/2, t=-1/2. En otras palabras, cuando P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2), el valor mínimo es 1/sqrt(2).'

'Demuestre que para cuatro puntos O, A, B, C en el espacio que no están en el mismo plano, si el vector OA=a, el vector OB=b, y el vector OC=c, entonces cualquier vector p puede expresarse de forma única en la forma p=s*a+t*b+u*c (donde s, t, u son números reales).'

'|𝛼 + t𝛽| es mayor o igual a 0, por lo tanto, cuando se minimiza |𝛼 + t𝛽|^2, |𝛼 + t𝛽| también se minimiza. Por lo tanto, |𝛼 + t𝛽| toma el valor mínimo de √26 en t=-1. Otra solución es tomar el punto O como origen, 𝛼 = OA, y 𝛽 = OB. El punto C determinado por 𝛼 + t𝛽 = OC pasa por el punto A y se encuentra en una línea paralela a OB. Por lo tanto, para que |𝛼 + t𝛽| sea minimizado, (𝛼 + t𝛽) debe ser perpendicular a 𝛽. En este caso, tenemos (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0, lo que nos lleva a resolver (2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0, lo que resulta en 3t + 3 = 0, por lo tanto t = -1. En ese punto, |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26. Por lo tanto, |𝛼 + t𝛽| logra el valor mínimo de √26 en t=-1.'

'Referencia adicional\nReferencia: Encuentra el producto cruz \\vec{u} de \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} y \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. Valor máximo y mínimo del producto punto de vectores\n2. Vectores con trayectoria, región\n3. Volumen máximo del tetraedro\n4. Tratamiento de ecuaciones vectoriales\n5. Figuras geométricas en el espacio (superficie esférica)\n6. Límite de un punto que se mueve en el plano complejo\n7. Rango de existencia de puntos en el plano complejo\n8. Problemas de fusión de propiedades de números complejos y enteros\n9. Representación paramétrica y trayectoria\n10. Problemas de fusión de plano complejo, ecuaciones y curvas'

'Ejemplo 11 | Cálculo del producto punto (Componentes)'

'(2) continuación'

'En un tetraedro regular ABCD con longitud de arista 2, encuentra el producto escalar del vector AB y el vector AC.'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+ \\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| = \\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}= \\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'Dadas las coordenadas A(r1,θ1) y B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0]. Utilizando el teorema del coseno, encuentra la distancia AB entre el punto A y el punto B.'

'¿Cómo se expresa que los vectores a y b son iguales cuando tienen la misma magnitud y dirección?'

'En general, los vectores en el espacio \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ satisfacen las siguientes condiciones: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'Segmento de línea AB y punto P. ¿Cuál es la posición del punto P cuando se cumple la siguiente ecuación?'

'En el espacio de coordenadas con el punto O como origen, ¿qué tipo de figura representa el conjunto de puntos P(x, y, z) que cumplen las siguientes condiciones? Además, exprese las ecuaciones en x, y, z:\n(1) Cuando A(3,-6,2), el punto P cumple |→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0.\n(2) Cuando A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), el punto P cumple →AP⋅(→BP+2→CP)=0.'

'Pregunta 31 | Ecuación vectorial de un círculo\nPara el triángulo OAB en el plano y cualquier punto P, las siguientes ecuaciones vectoriales representan un círculo. ¿Qué tipo de círculo es?\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'

'Para los puntos O(0,0,0), A(2,1,-2), B(3,4,0), encontrar un vector perpendicular tanto al vector OA como al vector OB con una magnitud de √5.'

'Muestre lo siguiente.'

'(1) ¿Qué tipo de forma representa la ecuación vectorial |3→OA+2→OB-5→OP|=5 para dos puntos distintos A, B y cualquier punto P en el plano? (2) Hay puntos P y un triángulo ABC en el plano. Encuentra el conjunto de puntos P que cumplen la condición 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC.'

'Demuestra que en un plano, para cuatro puntos distintos A, B, C, D, y un punto O que no está en la línea AB, donde OA=a, OB=b. Y si OC=3a-2b, OD=-3a+4b, entonces AB∥CD.'

'Dado el cuadrilátero ABCD y el punto O, con OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Si a + c = b + d y a · c = b · d, determine la forma de este cuadrilátero.'

'Encuentra el valor máximo del producto punto $\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$ cuando el punto A se mueve en la elipse $\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$. Aquí, A(x, y) y B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}), con O siendo el origen.'

'Demuestra la ecuación \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \'

'Utilización de vectores de proyección ortogonales'

'Práctica(2) Encuentra el ángulo \ \\theta \ formado por dos vectores no nulos \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ cuando existe un número real único \ t \ tal que \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ y \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ son perpendiculares.'

'Dados los vectores OA y OB. Encuentra el área del triángulo QBC si el punto Q satisface la condición 256 vector AQ + 3 vector BQ + 2 vector CQ = vector 0.'

'Encuentra un vector \\\vec{p}\ que sea perpendicular a ambos vectores \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) y \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) y tenga una magnitud de \\\sqrt{5}\.'

'Ortogonalidad y Producto Punto de Vectores'

'Demuestra que cuando \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\), entonces \ \\vec{a} / / \\vec{b} \.'

'La ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(𝑎) y es paralela a 𝑑(≠0) es 𝑝=𝑎+𝑡𝑑. Sección básica 1, p.343.'

'En el triángulo OAB, sea vec{a} = \\overrightarrow{OA} y vec{b} = \\overrightarrow{OB}, con |\\vec{a}|=3, |\\vec{b}|=5, y \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}. Encuentra el vector de posición que parte de O, donde el bisector del ángulo \\angle AOB se intersecta con el círculo de centro en B y radio \\sqrt{10}, utilizando vec{a} y vec{b}.'

'Dado el segmento de línea AB y el punto P. Cuando se cumple la siguiente ecuación, ¿dónde se encuentra el punto P? (2) AP-3BP+4BA=0'

'Demuestra que cuando A y B son vectores con el origen como punto de partida, la ecuación del vector del bisector del ángulo formado por los vectores OA=a y OB=b está dada por p = t(a/|a| + b/|b|), donde t es una variable.'

'Vectores paralelos y producto punto'

'Resolver el Ejemplo 20 (2) de la página 54 usando la información proporcionada'

'Encuentra el valor de t cuando el ángulo entre dos vectores \\( \\vec{a} = (1, t) \\) y \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) es de \ 30^{\\circ} \. Suponiendo que t > 0.'

'(1) La condición para $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ es $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Aquí, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times x + 2 \\times 6 = 3x + 12$. Por lo tanto, $3x + 12 = 0$. Por lo tanto, $x = -4$. (2) La condición para $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ es $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Aquí, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times(-1) + x \\times \\sqrt{3} = \\sqrt{3}x - 3$. Por lo tanto, $\\sqrt{3}x - 3 = 0$. Por lo tanto, $x = \\sqrt{3}$.'

'Práctica Dada la línea AB y el punto P. ¿Dónde se encuentra el punto P cuando se cumple la siguiente ecuación? (1) 3 vector AP + 4 vector BP = 2 vector AB'

'Cuando dos vectores a, b satisfacen (1) |a + b| = 4 y (2) |a - b| = 3, encuentre el valor de a·b.'

'En el plano, a partir de (1), se sabe que el ángulo ACB = ángulo CAD y el ángulo BFC = ángulo DFA. Esto implica la forma de los vectores BC // AD.'

'Practique mostrando lo siguiente en el caso en el que \ \\vec{a}, \\vec{b} \ son vectores de espacio no nulos, \ s, t \ son números reales no negativos, y \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \.'

'Producto escalar de vectores: \\( \\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \\) es'

'La ecuación vectorial del plano alfa que pasa por el punto A(vector a) y es perpendicular al vector no nulo n es n·(p-vector a)=0 (como se discute en la sección 1, página 387).'

'Demuestra las siguientes desigualdades.'

'Dado un cuadrilátero ABCD y un punto O, donde el vector OA es a, el vector OB es b, el vector OC es c, y el vector OD es d. Si a + c = b + d y a · c = b · d, determine la forma de este cuadrilátero.'

'Dado |a| = 3, |b| = 2, |a-2b| = sqrt{17}, encuentra el valor del número real t para el cual a+b y a+tb son perpendiculares.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra la ecuación polar de la recta que pasa por el punto \\( A(a, \\alpha) \\) y es perpendicular a OA.'

'Producto punto de vectores'

'Dado el plano ABC determinado por tres puntos A(1,1,0), B(3,4,5) y C(1,3,6) en el espacio tridimensional, si existe un punto P(4,5,z) en el plano, encuentra el valor de z.'