Análisis Vectorial (Geometría de Curvas y Superficies) - Conceptos Básicos de Vectores

'Práctica (1) Encuentra las coordenadas del punto Q obtenido al rotar el punto P(-2,3) alrededor del origen por 5/6π.'

'(1) Sea A(-3), B(7), C(2). Encuentre las distancias entre los puntos A y B, B y C, C y A respectivamente. (2) Encuentre las coordenadas de los puntos R que dividen el segmento de línea PQ que conecta dos puntos P(-4) y Q(8) en una proporción de 1:3, los puntos S que dividen el segmento de línea en una proporción de 3:1 externamente, y el punto medio M del segmento RS.'

'Cálculo Diferencial 186 Condiciones para que dos curvas sean tangentes'

'Ilustre el radio de los siguientes ángulos e indique en qué cuadrante se encuentra cada ángulo.'

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'Encuentra la distancia entre dos puntos.'

"He aprendido sobre las propiedades de los vectores en el plano y en el espacio. Vamos a resumir y comparar todo excepto por la 'reflexión' de D.470."

'Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes. (1) Vectores a=(2,1) y b=(1,-1) (2) Vectores a=(2,1) y c=(4,2)'

'En el espacio se toman 4 puntos A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2). La recta que pasa por los puntos A y B es ℓ, y la recta que pasa por los puntos C y D es m.'

'(3) Línea que pasa por un punto fijo A(vector a) y perpendicular a un vector no nulo n'

'¿Qué es un vector vertical?'

'(1) La línea paralela al vector d que no es cero y que pasa por el punto fijo A(vector a) se representa como p=a+td, donde d es el vector de dirección de la línea'

'Encuentra los vectores de posición de los 26 puntos de intersección.'

'Varios métodos para encontrar el vector de posición de un punto de intersección'

'Encuentra el rango de existencia del extremo de un vector. (4)'

'Igualdad y magnitud de vectores'

'Explique tres reglas básicas de operaciones con vectores.'

'Encuentra la ecuación de una recta que pase por el punto (1,2,-3) y sea paralela al vector d=(3,-1,2).'

'(1) En un plano hay 4 puntos diferentes A, B, C, D y un punto O que no está en la recta AB. Si OA=a, OB=b, OC=3a-2b y OD=-3a+4b, entonces demuestra que AB es paralelo a CD.'

"En un cubo con longitud lateral 1, denominado como ABCD-A'B'C'D', permita que los puntos P, Q, R dividan los bordes AB, CC', D'D' en la proporción de a:(1-a), y defina los vectores AB=x, AD=y, AA'=z. Dado que 0<a<1, (1) exprese los vectores PQ y PR en términos de los vectores x, y, y z. (2) Encuentre la proporción de |vector PQ| a |vector PR|. (3) Determine el ángulo entre los vectores PQ y PR."

'En el paralelogramo ABCD, si 2 veces el vector BP es igual al vector BC, y 2 veces el vector AQ más el vector AB es igual al vector AC, ¿qué forma tiene el cuadrilátero ABPQ?'

'En un triángulo equilátero ABC con lado de longitud 2, sean L, M y N los puntos medios de los lados AB, BC y CA respectivamente. Encuentra todos los siguientes vectores representados por los 6 puntos A, B, C, L, M, N:'

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'Operaciones de vectores'

'Cuando se definen dos vectores linealmente independientes \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ en un plano, cualquier punto \ \\mathrm{P} \ puede ser representado de manera única como \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad(s, t \ son números reales \\( ) \\ldots \\ldots \\cdot(A) \\). En este caso, el par de números reales \\( (s, t) \\) se llama coordenadas oblicuas, y el punto definido por (A) se denota como \\( \\mathrm{P}(s, t) \\). En particular, cuando \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}},|\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}|=|\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}|=1 \, las coordenadas oblicuas se convertirán en las coordenadas \ x y \ con la extensión de \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \ como eje \ x \ y la extensión de \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ como eje \ y \. 【Ejemplo Básico 38(1)】 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+2 t=3 \\ldots \\ldots \ Es decir, los puntos \ \\mathrm{P} \ que satisfacen \\( \\mathrm{P}(s, t), s+2 t=3 \\) se encuentran en la recta en el plano cartesiano dada por \ x+2 y=3 \. Los puntos de intersección de esta recta con los ejes coordenados son \\( \\mathrm{C}(3,0) \\) y \\( \\mathrm{D}\\left(0, \\frac{3}{2}\\right) \\). Considerando los puntos C, D con las mismas coordenadas en el plano de coordenadas oblicuas, tenemos \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\frac{1}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\frac{2}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \Por lo tanto, la ecuación de condición (*) para el punto \ \\mathrm{P} \ se convierte en \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{s}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{OD}},\\frac{s}{3}+\\frac{2}{3} t=1 \, y el rango para la existencia del punto \ \\mathrm{P} \ es la línea CD.'

'Cuando \ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \, expresar \ \\vec{x}-\\vec{y} \ en términos de \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.'

'En el espacio, encuentra el vector unitario t que es ortogonal al eje x, forma un ángulo de 45 grados con el eje z positivo y tiene un componente y positivo.'

'Cuando un punto P se mueve en el plano y sus coordenadas (x, y) son funciones del tiempo t, responde las siguientes preguntas:\n1. Deriva la ecuación vectorial que representa la velocidad.\n2. Deriva la ecuación vectorial que representa la aceleración.'

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'Encuentra el vector de posición del punto de intersección de las líneas.'

'Condición de colinealidad\nCuando dos puntos A, B son diferentes\nCuando el punto P está en el segmento de recta AB\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ para algún número real k'

'Dados tres puntos A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), encuentra lo siguiente:'

'Sean las coordenadas polares del punto A (r₁, θ₁) y las coordenadas polares del punto B (r₂, θ₂). Encuentre la distancia AB entre el punto A y el punto B.'

'Explique las condiciones para que dos vectores sean paralelos.'

'(2) D, E, F son puntos en los segmentos de línea OA, OB, OC respectivamente, de modo que OD = 1/2 · OA, OE = 2/3 · OB, y OF = 1/3 · OC. Si el plano que contiene los puntos D, E, F interseca la línea OQ en el punto R, entonces exprese el vector OR en términos de los vectores a, b y c.'

'Sean los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero ABCD K, L, M, N respectivamente, y los puntos medios de las diagonales AC, BD S, T respectivamente. (1) Si los vectores de posición de los vértices A, B, C, D son a, b, c, d respectivamente, expresar el vector de posición del punto medio del segmento KM usando a, b, c, d. (2) Al expresar los vectores de posición de los puntos medios de los segmentos LN, ST usando a, b, c, d, demostrar que los tres segmentos KM, LN, ST se intersecan en un solo punto.'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'Condiciones para ser colineales, coincidentes\n(1) Condiciones colineales\nCuando dos puntos diferentes A, B, si un punto P está en la línea AB, entonces existe un número real k tal que el vector AP = k vector AB.'

'Ecuaciones vectoriales'

'En el cubo OAPB-CRSQ, sea 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR. Expresa ⃗OA en función de 𝑝, 𝑞, 𝑟.'

'En el paralelepípedo ABCD-EFGH, sea P el punto medio de la diagonal AG, y sea el vector AB igual a a, el vector AD igual a b, y el vector AE igual a c. Expresa los vectores AC, AG, BH y CP en términos de a, b y c.'

'Encuentra los vectores de posición de los 26 puntos de intersección'

'Dado que \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \, tenemos un rectángulo \ \\mathrm{ABCD} \. Si \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \, expresa el vector unitario paralelo a \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ en términos de \ \\vec{b}, \\vec{d} \.'

'Explique los conceptos fundamentales. En particular, proporcione una explicación detallada de los vectores de posición, los puntos medios de los segmentos de línea y los centroides de los triángulos.'

'Sea z un número complejo. Encuentra el rango de puntos para z que forman un triángulo agudo en el plano complejo con los puntos A(1), B(z) y C(z^2), y descríbelo.'

'(1) Explique las siguientes operaciones vectoriales con respecto a los conceptos básicos de vectores espaciales.\n\n- Igualdad\n- Adición\n- Sustracción\n- Vector inverso\n- Vector cero\n- Multiplicación por escalar'

'Explica la diferencia de vectores y su representación.'

'Conceptos básicos\n3. Vector de posición del centróide de un triángulo\nSean los puntos A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) los vértices del triángulo ABC y sea G el vector de posición del centróide. Entonces\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(2) Línea que pasa por dos puntos diferentes A(𝐚) y B(𝐛)'

'Ejercicio 1 Encuentra todos los siguientes vectores representados usando los 6 vértices del hexágono regular ABCDEF con una longitud de lado de 1 y el punto de intersección O de las diagonales AD y BE.'

'Para el triángulo OAB, sea OP = sOA + tOB. Determine el rango de existencia del punto P cuando los números reales s, t cumplen las siguientes condiciones.'

'¿Cuál es la relación entre estos dos vectores?'

"En el triángulo ABC con vértices A(a), B(b), C(c), siendo D el punto que divide el lado BC en la razón 2:3 y E el punto que divide el lado BC externamente en la razón 1:2. Si G es el centroide del triángulo ABC y G' es el centroide del triángulo AED. Expresa los siguientes vectores en términos de a, b y c.\n(1) Vectores de posición de los puntos D, E, G'\n(2) GG'"

'Cuando |𝑎|=3, encuentra un vector unitario paralelo a 𝑎.'

'Por favor, explique la descomposición de vectores.'

'Rango de existencia del punto final de un vector'

'Encuentra la distancia entre el origen O y el punto P(2,3,1).'

'69 (2) es -2 en la dirección del eje x y -3 en la dirección del eje y'

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'(1) Mueva 4 unidades a lo largo del eje x y -7 unidades a lo largo del eje y \n(2) Mueva -5/2 unidades a lo largo del eje x y -35/4 unidades a lo largo del eje y'

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"Dibuja los puntos P(z), A(α), P'(-z), B(z+α), C(z-α) en el plano complejo, donde z=3+2i y α=1-i."

'Para los puntos A(1,2,3), B(-3,2,-1), y C(-4,2,1), encuentra lo siguiente:'

'Representación de curva paramétrica'

'En el rectángulo ABCD, AB = 3 y AD = 4. Sea el vector AB como b y el vector AC como c. (1) Si E es el punto medio del lado AD, expresar el vector DE usando b y c. (2) Expresar un vector unitario d en la misma dirección que c usando c.'

'Escribe la representación de componentes de vectores'

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'Relación entre puntos y vectores en el espacio\nPara dos puntos \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\),\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'Coordenadas Polares ↔ Coordenadas Cartesianas'

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'(1) Encuentra la ecuación de una recta que pase por el punto A(3,1) y sea perpendicular al vector n=(3,-7).'

'Organiza el STEP aquí'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'Para los vectores $\\ vec a, \\ vec b$ a la derecha, representa los siguientes vectores:'

'En el hexágono regular ABCDEF, con AB→=a y AF→=b. Representa los siguientes vectores en términos de a y b. (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto C(1,-5) y es perpendicular a la recta AB, donde A(3,1) y B(-2,2), usando vectores.'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'Vamos a centrarnos en los resultados del ejemplo de la página anterior.'

'Pregunta de ejemplo'

'Explique la representación de componentes de vectores en el espacio.'

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'En el tetraedro OABC, si OA=a, OB=b y OC=c. Si M es el punto medio de AB, N es el punto que divide a BC en la razón 3:1, y G es el centroide del triángulo OAB. Expresa los vectores MN y GN en términos de a, b y c.'

'Consideremos una línea recta que pase por un punto y tenga una pendiente (dirección) dada. Sea g la línea que pasa por el punto A(\\\vec{a}\) y es paralela a un vector no nulo \\\vec{d}\. Para cualquier punto P(\\\vec{p}\) en la línea g (excluyendo el punto A), se cumple lo siguiente.'

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'Problema matemático: Encontrar el vector de posición del centroide G del triángulo OAB. Dado que el punto G es el centroide del triángulo, el vector de posición del punto G se puede calcular de la siguiente manera.'

'Para los puntos \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\), encontrar lo siguiente:\n(1) Distancia entre los puntos \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \\n(2) Coordenadas del punto \ \\mathrm{P} \ que divide el segmento \ \\mathrm{BC} \ en la proporción 1:3\n(3) Coordenadas del punto \ \\mathrm{Q} \ que divide el segmento \ \\mathrm{AB} \ externamente en la proporción 2:3\n(4) Coordenadas del punto medio R del segmento CA\n(5) Coordenadas del baricentro G del triángulo \ \\triangle \\mathrm{PQR} \'

'Para los puntos A(0,3,7), B(3,-3,1), C(-6,2,-1), encuentra lo siguiente:\n(1) Distancia entre los puntos A y B\n(2) Coordenadas de un punto que divide el segmento de línea AB en la razón 2:1\n(3) Coordenadas de un punto que divide el segmento de línea AB externamente en la razón 3:2\n(4) Coordenadas del punto medio del segmento de línea BC\n(5) Coordenadas del baricentro del triángulo ABC'

'Vector inverso'

'La línea perpendicular al vector \ \\vec{n} \\nFinalmente, consideremos expresar la línea usando el producto punto.\nPasando a través del punto \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\), y un vector no nulo \ \\overrightarrow{0} \ perpendicular al vector \ \\vec{n} \ se denota como línea \ g \, y cualquier punto en la línea \ g \ se denota como \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) de manera que \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ o \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) representa la ecuación vectorial de una línea que pasa a través del punto \ \\mathrm{A} \ y es perpendicular al vector \ \\vec{n} \. Además, \ \\vec{n} \ es referido como el vector normal de la línea \ g \.\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \ es verdadero solo cuando el punto P coincide con el punto A.\nEl vector normal de la línea \ g \ es perpendicular a ésta.\nAhora, resolvamos un problema de ecuación vectorial.'

'Encuentra los vectores de posición de los puntos de división internos y externos.'

'La pirámide \\\mathrm{OABCD}\ con base \ \\mathrm{ABCD} \ satisface\ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \, y para cuatro números reales \ p, q, r, s \ diferentes de 0, definimos los cuatro puntos \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ como \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. Demuestra que si \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ están en el mismo plano, entonces \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \.'

'Práctica'

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'Dado los puntos P(5,-3,7) y Q(7,1,2), encontrar los componentes y la magnitud del vector PQ.'

'Dibuja la posición de los siguientes puntos en coordenadas polares:'

'Describe el rango de existencia del punto P mientras se mueve satisfaciendo las condiciones s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0.'

'Encuentra la condición necesaria y suficiente para que un punto P (vector 𝑝) se encuentre en la recta AB que pasa por dos puntos distintos A (vector 𝑎) y B (vector 𝑏).'

'Ejemplo importante 63 | Longitud de la común perpendicular\nEn el espacio de coordenadas, el punto A(1,3,0) se encuentra en la recta l paralela al vector a=(-1,1,-1), y el punto B(-1,3,2) se encuentra en la recta m paralela al vector b=(-1,2,0). Sea P un punto en la recta l y Q un punto en la recta m. Encuentra el valor mínimo de la magnitud |PQ| del vector PQ, y las coordenadas de los puntos P y Q en ese instante.'

'La condición para que los vectores sean paralelos (\ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) es que existe un número real \ k \ tal que \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'

'Para △OAB, dejamos →OP=→OA+t→OB. Encuentra el rango de existencia del punto P cuando los números reales s, t satisfacen las siguientes relaciones: (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'

'Dado el segmento de línea AB y el punto P, ¿cuál es la ubicación del punto P cuando AP + 3BP + 4AB = 0?'

'Práctica 38:\n(1) (A) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) por lo tanto\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'Tomemos el punto medio de la diagonal RT como G, y consideremos los vectores OP=p, OR=r y OS=s.'

'Explique las reglas de las operaciones con vectores y utilice esas reglas para demostrar propiedades.'

'Encuentra el vector de posición p del punto P, que divide el segmento de línea que conecta los puntos A(a) y B(b) en m:n.'

'En este caso, con O como origen, $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ por lo tanto $H(3,2,-2)$'

'Explique y señale las condiciones para que los vectores sean paralelos.'

'Encuentra el vector de posición g del centroide G del triángulo ABC, con A(a), B(b), C(c) como los vértices.'

'Si \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, y \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \ entonces cualquier vector \ \\vec{p} \ puede ser representado de forma única como \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, donde \ s, t \ son números reales.'

'Problema (CHEQUEO)'

'Página 15 | Ecuación de vectores y posición de puntos (2)'

'Vector de posición y condición de colinealidad\nPara 2 puntos \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\), el vector de posición de un punto que divide el segmento de línea \ \\mathrm{AB} \ en la proporción \ m: n \.\nDivisión interna: \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, división externa: \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nCondición de colinealidad\nCuando los puntos \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ son distintos, existe un número real \ k \ tal que el punto \ \\mathrm{P} \ está en la línea \ \\mathrm{AB} \\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ para algún número real \ k \'

'Con la información dada, encontrar las expresiones y relaciones de varios vectores.'

'Explique cómo se puede descomponer un vector arbitrario p utilizando dos vectores no paralelos a y b.'

'Encuentra las ecuaciones paramétricas para la siguiente curva.'

'Un segmento de línea dirigido AB se representa como el vector →AB. Además, los vectores también se pueden representar utilizando una sola letra con una flecha, como →a, →b. ¿Cómo representamos la magnitud de los vectores →AB, →a?'

'Dadas las coordenadas de un punto y los componentes de un vector \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)'

'Para el segmento de línea que conecta el punto A(vector a) y el punto B(vector b) como AB, exprese los vectores de posición de los siguientes puntos en términos de los vectores a y b.'

'¿Cómo se escribe el vector OA + vector AC?'

'Sea \\((x, y, z)\\) las coordenadas del punto C. Utilizando la condición de que el cuadrilátero \ \\mathrm{ABCD} \ es un paralelogramo, encuentre las coordenadas de C.'

'Encuentra el rango de movimiento del punto P bajo las siguientes condiciones.'

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'Encuentra la ecuación vectorial de una recta que pase por el punto A(𝑎→) y sea paralela al vector 𝑑(𝑑 ≠ 𝑎→).'

'En el triángulo OAB, encuentre el rango de puntos P que satisfacen las siguientes condiciones.'

'Dado el segmento de línea AB y el punto P. Cuando se cumple la siguiente ecuación, ¿dónde se encuentra el punto P?'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'En el plano XY, las coordenadas del punto A son (1,0), las coordenadas del punto B son (cos 𝛼, sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π), y las coordenadas del punto C son (cos 𝛽, sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π) sin perder generalidad. Por lo tanto, OA=(1,0), OB=(cos 𝛼, sin 𝛼), OC=(cos 𝛽, sin 𝛽).'

'Sea p una constante positiva, y sean los vectores a=(1,1) y b=(1,-p). Ahora, si el ángulo entre los vectores a y b es de 60 grados, encuentra el valor de p.'

'Encuentra los componentes de cada vector, donde 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\, \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, y \\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'

'Encuentra la ecuación de una línea'

'Ejemplo 37 | Vectores unitarios perpendiculares a dos vectores'

'En el triángulo acutángulo ABC, con A(→a), B(→b), C(→c), BC=a, CA=b, AB=c. Si el incentro del ángulo A se denota como IA(→iA), expresa el vector →iA en términos de →a, →b y →c.'

'(1) Encuentra la distancia entre el punto P(0,1,4) y el punto Q(-4,5,0).'

'Ecuaciones vectoriales'

'Obtenga la ecuación vectorial de una recta que pase por el punto A (vector a) y sea perpendicular al vector n (n no es igual al vector cero).'

'Dado que el punto S está en el plano PQR,'

'En el triángulo ABC con vértices A(a), B(b) y C(c), donde el punto P divide el lado AB en la proporción 2:1, el punto Q divide el lado BC externamente en la proporción 3:2, y el punto R divide el lado CA externamente en la proporción 1:3. Sea G el baricentro del triángulo PQR. Expresa los siguientes vectores en términos de a, b y c: (1) Vectores de posición de los puntos P, Q, R (2) Vector PQ (3) Vector de posición del punto G'

'El punto Q divide el segmento de línea OP externamente en la proporción 4:1, así que'

'Demuestra que la desigualdad |vector AP| + |vector AQ| + |vector AR| ≥ 3/√2 se cumple para los 4 puntos P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) en números reales.'

'Verifique las coordenadas del punto P (x, y) y tome el punto Q.'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'Dado que los vectores \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\, y \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (donde O es el origen), con \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\ y \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\, grafica los vectores \\\vec{a}\ y \\\vec{b}\ en el plano de coordenadas.'

'(1) Expresar \ \\overrightarrow{G U} \ como \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Ecuación vectorial de un círculo'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes rectas:'

'Consideremos un triángulo equilátero ABC con lado de longitud 1 en el plano. Para un punto P, definimos el vector v(P) como v(P)=→PA−3→PB+2→PC. Demuestra: (1) v(P) es un vector constante independiente de P. (2) ¿Para qué figura se encuentra el punto P cuando |→PA+→PB+→PC|=|v(P)|?'

'Realice la adición, sustracción, multiplicación escalar y operaciones de vectores entre dos puntos utilizando los componentes del vector.'

'Sean los centros de los círculos C1 y C2, O1 y O2 respectivamente. ¿Cuál es el vector desde el centro O1 hasta el centro O2?'

'Para cualquier punto P en la línea, suponga que OP = p. En este caso, ¿cuál es la ecuación vectorial de la línea?'

'Traduce la expresión dada a varios idiomas.'

'Cuando cuatro puntos O, A, B, C no están en el mismo plano, si $\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$, entonces cualquier vector $\\vec{p}$ puede ser representado de manera única como $\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$, donde $s$, $t$, $u$ son números reales.'

'Encuentra las coordenadas del punto Q después de rotar el punto P(3, -1) alrededor del punto A(-1, 2) como centro por -π/3.'

'Por favor proporcione la fórmula para calcular la distancia AB entre los puntos A(r1, θ1) y B(r2, θ2).'

'Dibuja los siguientes puntos en coordenadas polares y encuentra las coordenadas cartesianas.'

'(1) Encuentra las coordenadas del punto B después de rotar el punto A(2,1) alrededor del origen O por π/4 radianes.\n(2) El punto P fue el centro de rotación cuando el punto A(2,1) se rotó por π/4 radianes hasta las coordenadas (1-√2, -2+2√2). Encuentra las coordenadas del punto P.'

'El punto P se mueve a lo largo de la circunferencia de un círculo con radio r centrado en el origen O, partiendo desde el punto fijo P0, de tal manera que OP rota a una velocidad angular constante ω por segundo.'

'Comprensión de los conceptos básicos de vectores (definición de vectores, propiedades y operaciones básicas).'

'En el plano de coordenadas, hay tres puntos fijos A, B, C y un punto móvil P, con el vector AB=(3,1), el vector BC=(1,2), y el vector AP representado como (2t, 3t) usando el número real t.'

'Tema importante 40 | Comparación de las magnitudes de los vectores'

'Encuentra la distancia entre los siguientes dos puntos.'

'\ \\triangle OAB \, encuentra el rango de la existencia del punto \ P \ que satisface las siguientes ecuaciones. \\n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\leqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'

'Encuentre la magnitud de los siguientes vectores.'

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'Concepto de vectores posicionales en el espacio'

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'Sobre las soluciones para vectores de posición y condiciones para estar en el mismo plano'

'Capítulo 1 Vectores en un plano - En el triángulo OAB, determine el rango de puntos P que satisfacen las siguientes ecuaciones:\n1) OP = sOA + tOB, s + t = 1/3, s ≥ 0, t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB, 3s + 2t = 4, s ≥ 0, t ≥ 0'

'En el espacio de coordenadas PR, hay 4 puntos O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2). Encuentra el vector p que es perpendicular tanto a los vectores OA y BC, con una magnitud de 3√3.'

'Encuentra un vector normal de la siguiente recta.'

'Dado que 4|a|=3, los vectores requeridos son'

'Encuentra el rango de existencia del punto P que satisface las siguientes condiciones.'

'Rango de existencia de puntos que satisfacen la ecuación vectorial y las coordenadas de intersección'

'Dados cuatro puntos A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b).'

'Demuestra que las siguientes ecuaciones se cumplen en el tetraedro ABCD: (1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'Aplicación de vectores a la geometría del plano'

'Ejemplo 21 | Representación de vectores espaciales\nEn el paralelepípedo ABCD-EFGH, sea P el punto medio de la diagonal AG, y sea →AB=𝑎, →AD=𝑏, →AE=𝑐. Expresar →AC, →AG, →BH, →CP en términos de 𝑎, 𝑏, 𝑐.'

'Encuentra las coordenadas del punto dado.'

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'Explique la condición para que dos vectores sean paralelos.'

'Usa las siguientes ecuaciones para demostrar propiedades de vectores:'

'En el triángulo ABC con vértices A(a), B(b), y C(c), donde el punto P divide el lado AB internamente en la proporción 2:1, el punto Q divide el lado BC externamente en la proporción 3:2, y el punto R divide el lado CA externamente en la proporción 1:3, y G es el centroide del triángulo PQR. Expresa los siguientes vectores en términos de a, b y c: (1) Vectores de posición de los puntos P, Q y R (2) Vector PQ (3) Vector de posición del punto G'

'Consideremos un círculo con centro en O. Hay 3 puntos A, B, y C en la circunferencia de este círculo tal que el vector OA + vector OB + vector OC = 0. Demuestra que el triángulo ABC es equilátero.'

'Descomposición de vectores En el paralelogramo ABCD, el punto E divide al lado BC en la proporción interna 2:1, el punto F es la intersección de las diagonales AC y BD, y el punto G es la intersección de los segmentos AE y BD. Sea el vector AB=b y el vector AD=d. (1) Expresar los vectores AE, AF, GC en función de b y d. (2) Si el vector AE=e y el vector AF=f, entonces expresar el vector BD en función de e y f.'

'Independencia lineal y dependencia lineal de vectores en el espacio'

'Cuando los tres vectores a, b y c no son colineales, encuentre la ecuación del plano que pasa por estos tres puntos.'

'En \ \\triangle \\mathrm{OAB} \, encuentra el rango de puntos \ \\mathrm{P} \ que satisfacen las siguientes ecuaciones:'

'Para los vectores a, b, c, grafica los siguientes vectores:\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'

'Sea \\( \\vec{a}=(1,-1,2) \\) y \\( \\vec{b}=(1,1,-1) \\). Encuentra la magnitud mínima de \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (donde \ t \ es un número real) y el valor correspondiente de \ t \.'

'Aplicaciones de vectores Sean s, t, u números reales en el mismo plano. Un punto P (p) está en el plano determinado por tres puntos A (a), B (b) y C (c) si y solo si ⇔CP⃗ = sCA⃗ + tCB⃗ ⇔ p⃗ = sa⃗ + tb⃗ + uc⃗, s + t + u = 1'

'Ejemplo importante 61: Ecuaciones de Rectas\nEncuentra las ecuaciones de las siguientes rectas:\n(1) Pasando por el punto A(1,3,-2) y paralela al vector d=(3,2,-4)\n(2) Pasando por los puntos A(0,1,1) y B(-1,3,1)\n(3) Pasando por el punto A(-3,5,2) y paralela al vector d=(0,0,1)'

'Cualquier punto en la recta se denota como P(x, y) con t como parámetro.'

'Encuentra la ecuación de la recta \ \\ell \ que pasa por el punto A(\ \\vec{a} \) y es paralela al vector no nulo \ \\vec{d} \.'

'Cualquier vector \ \\vec{p} \ en el plano se puede expresar en términos de dos vectores \\( \\vec{a}, \\vec{b} (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b}) \\), como sigue:'

'Realiza las siguientes operaciones de vectores: 1. Encuentra la suma del vector A = (3, 4) y el vector B = (1, 2). 2. Encuentra la diferencia entre el vector A = (3, 4) y el vector B = (1, 2).'

'La ecuación vectorial de un plano definido por tres puntos no colineales A(⃗a), B(⃗b), C(⃗c) y un punto arbitrario P(⃗p), con s, t, u como números reales, está dada por ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1 o ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'Cuando dos vectores a y b tienen la misma dirección y magnitud, se consideran iguales.'

'Encuentra el valor del número real $t$ para el cual el ángulo entre los vectores $\\vec{a} + t \\vec{b}$ y $\\vec{b} + t \\vec{a}$ es de $120^{\\circ}$, dado que $\\vec{a} = (3, 4, 5)$ y $\\vec{b} = (7, 1, 0)$.'

'Encuentra los números complejos que representan los siguientes puntos. (1) El punto medio del segmento de línea AB que conecta los puntos A(-3+6i) y B(5-8i) (2) El punto P que divide el segmento de línea AB que conecta los puntos A(2-3i) y B(-7+3i) en la proporción 2:1, y el punto Q que divide externamente.'

'Explique la suma y resta de vectores.'

'Encuentra el ángulo θ formado por los dos planos. Donde 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'Sea el triángulo acutángulo OAB con el lado OA dividido en la razón k:(1-k) en el punto P, y el lado OB dividido en la razón l:(1-l) en el punto Q. Además, sea R la intersección de AQ y BP. Sea el vector OA representado por a, y el vector OB representado por b. 1) Expresa el vector OP y el vector OQ en términos de los vectores a y b. 2) Expresa el vector OR en términos de los vectores a y b.'

'Para el segmento de línea que conecta los puntos A(a) y B(b) como AB, exprese los vectores de posición de los siguientes puntos en términos de a y b.'

'Vector de posición y puntos de división internos・puntos de división externos\nSea el vector de posición \ \\vec{p} \ y denotemos el punto como \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\).\nEn el espacio, al igual que en un plano, se cumple lo siguiente:\n\nProblema 1: Para los puntos \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\), deduce las siguientes ecuaciones.\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. Encuentra el vector de posición de un punto que divide el segmento de línea \ \\mathrm{AB} \ en la proporción \ m: n \.\n3. Encuentra el vector de posición del punto medio del segmento de línea \ \\mathrm{AB} \ .\n4. Encuentra el vector de posición del centroide G del \ \\triangle \\mathrm{ABC} \.'

'Explica la descomposición de vectores.'

'Pregunta 71\n(1) Encuentra el punto (-3, -1, 7).\n(2) Encuentra el punto (18/11, 26/11, 12/11).'

'Encuentra el rango de existencia del punto P en el triángulo OAB que satisface las siguientes ecuaciones:\n(1) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n(2) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'Encuentra la distancia entre el punto A(r1, θ1) y el punto B(r2, θ2).'

'Vectores de posición, vectores y formas: Explique cómo los vectores de posición y los vectores forman figuras.'

'Práctica (1) Para dos vectores no nulos \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \, cuando \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ es perpendicular a \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \, y cuando se cumple \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \, encuentra el ángulo \ \\theta \ formado por \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \.'

'Sean \ \\vec{a} \ y \ \\vec{b} \ dos vectores no nulos que son perpendiculares. Sea el ángulo entre \ \\vec{a}+\\vec{b} \ y \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \. (1) Expresa \ \\sin ^{2} \\theta \ en función de \ x \ y \ y \ donde \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \. (2) Encuentra el valor máximo de \ \\theta \.'

"Un vector es una cantidad con magnitud y dirección. Este capítulo discute vectores basados en segmentos de línea dirigidos en un plano, representando vectores con pares de números (componentes), operaciones como 'producto punto', y aplicando vectores a la geometría. Comprender el concepto de 'independencia lineal' en vectores es crucial para prepararse para futuros estudios en matemáticas, física, economía y otros campos."

'Representa gráficamente la posición de los siguientes puntos representados en coordenadas polares: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\), \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\), \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\).'

'Tomemos el \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ como el origen, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (donde s y t son números reales).'

'Responde a las siguientes preguntas.'

'En el triángulo OAB, sea C el punto medio de OA y D el punto que divide OB en una razón de 1:3 externamente. Si el vector OA es a y 35 veces el vector OB es b, encuentra la ecuación vectorial de la siguiente línea.'

'En el paralelogramo \ABCD-EFGH\, cuando \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\, expresa \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ en términos de \\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\.'

'Encuentra la representación paramétrica de la siguiente recta con parámetro t.'

'Encuentra la representación paramétrica de la siguiente recta con parámetro t: pasa por el punto B(-4,3) y es paralela al vector d=(5,6).'

'Ecuación vectorial de un círculo: La ecuación vectorial de un círculo con centro C(c) y radio r es |p-c|=r'

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'Calcular la distancia entre los siguientes dos puntos.'

'Encuentra los componentes y magnitud del vector PQ para los puntos P(5,-3,7) y Q(7,1,2).'

'En este ejemplo, dados los vectores \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), expresar el vector \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) en la forma \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ números reales.'

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'Ilustra la suma, resta y multiplicación escalar de vectores.'

'Aprende sobre ecuaciones vectoriales y posiciones de puntos (1).'

'Ejemplo 14 | Igualdad de vectores y posición de puntos (1)'

'Sea N el punto que divide a AB en la proporción de 2:3. Sea P el punto de intersección del segmento de línea LM y ON. Si a es el vector OA y b es el vector OB, expresa ON y OP en términos de los vectores a y b.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'¿Cómo difiere el enfoque entre el Enfoque 1 y el Enfoque 2 para el Ejemplo Básico 24?'

'Considerando un círculo C con radio r y vector de posición del centro →OA en el plano de coordenadas con EXO como origen. Sea →OP el vector de posición de un punto P en la circunferencia. Además, considerar un punto B fuera del círculo C con vector de posición →OB. Además, sea Q el punto medio de los puntos B y P, con vector de posición →OQ. Definir D como la forma trazada por el punto Q a medida que el punto P se mueve a lo largo de la circunferencia.\n(1) Encuentra la ecuación vectorial que representa al círculo C.'

'Determina el rango de existencia de puntos que satisfacen la ecuación vectorial. Por favor, responde utilizando un ejemplo de una forma geométrica espacial.'

'Encuentra el vector normal de la siguiente recta.'

'Aprende sobre ecuaciones de vectores y posiciones de puntos (2).'

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,3) y es perpendicular a la recta \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3.'

'Demuestra que el punto P se encuentra en la recta AB, donde AB está determinada por dos puntos diferentes A(a) y B(b).'

'Dados los puntos A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7). Sea E el punto simétrico de D con respecto al plano que pasa por los puntos A, B y C. Encuentra las coordenadas del punto E.'

'(1) Encuentra las coordenadas del punto simétrico al punto P(-3, 4, 1) con respecto al punto A(1, -2, 3).'

'Condición de colinealidad: Cuando dos puntos A, B son diferentes, el punto P se encuentra en la línea AB si y solo si el vector AP es igual a k veces el vector AB, donde k es un número real.'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A y es perpendicular al vector n. (2) A(1,3), n=(-1,2)'

'Encuentra las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas, con parámetro t.'

'Dadas dos puntos A(vector a) y B(vector b), encuentre el vector de posición del punto donde el segmento de recta AB se divide en m:n.'

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'En el espacio de coordenadas, formas y ecuaciones vectoriales: Explique la representación de formas en el espacio de coordenadas y el uso de ecuaciones vectoriales.'

'El punto P está en la recta AB si y solo si existen números reales s y t tales que el vector OP es igual a s veces el vector OA más t veces el vector OB, y s + t = 1'

'Encuentra la representación paramétrica de las siguientes rectas con el parámetro t. Además, exprésala sin el parámetro t.'

'Describe los componentes de vectores en el espacio, producto punto: Explica el cálculo de los componentes de vectores en el espacio y su producto punto.'

'Pregunta 46\n(1) Encuentra las coordenadas del punto (0, 1/4, 0).\n(2) Encuentra las coordenadas del punto (0, -21, 17/2).'

'Sea a = (0,1,2), b = (2,4,6). Para números reales t, donde -1 ≤ t ≤ 1, encontrar los valores de x que maximicen y minimicen la magnitud de x cuando x = a + tb.'

'Si $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$, encuentra el rango de valores reales para $k$ tal que $|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$ se cumple para todos los números reales $t$.'

'En el espacio, hay un triángulo ABC con vértices A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5). (1) Encuentra las longitudes de los segmentos AB, BC y CA. (2) Encuentra el área S del triángulo ABC.'

'Considere un plano α determinado por tres puntos no colineales A (vector a), B (vector b) y C (vector c) que no están en la misma línea. Cuando el punto P (vector p) se encuentra en el plano α, se cumple la siguiente ecuación vectorial. Demuéstralo.'

'El punto C divide el lado \\\mathrm{OA}\ del triángulo \\\triangle OAB\ en una razón de 3:1, y el punto D divide el lado \\\mathrm{OB}\ en una razón de 4:1. Sea P la intersección de los segmentos \\\mathrm{AD}\ y \\\mathrm{BC}\, y Q la intersección de los segmentos \\\mathrm{OP}\ y \\\mathrm{AB}\. Dado que \\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\ y \\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\, expresa \\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\ en términos de \\\vec{a}\ y \\\vec{b}\ y encuentra la proporción de BP a CP. Además, expresa \\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\ en términos de \\\vec{a}\ y \\\vec{b}\ y determina la proporción de \\\mathrm{OP}\ a \\\mathrm{PQ}\.'

'¿Cómo se llama la curva representada por la ecuación polar r = sin αθ? Además, muestra el cambio en el número de pétalos basado en el valor de a.'

'En el segmento de línea AB, cuando se especifica la dirección de punto A a punto B, se llama segmento de línea dirigido AB. En el segmento de línea dirigido AB, A se llama su punto inicial y B se llama su punto terminal. La longitud del segmento de línea AB se llama la magnitud o longitud del segmento de línea dirigido AB. Ignorando la diferencia de posición, centrándose solo en la dirección y magnitud se llama vector. Escriba el vector representado por el segmento de línea dirigido AB.'

'Por favor, resuelve el problema utilizando coordenadas.'

'(1) Encuentra la distancia entre dos puntos A(1,-1,3) y B(-1,0,1).'