Geometría Sólida - Volumen y Área Superficial

'Tomemos el eje x, y el punto P en el eje x. La sección transversal por un plano perpendicular al eje x que pasa por el punto P forma un triángulo rectángulo isósceles PQR. Sea x la coordenada del punto P, entonces PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}. Por lo tanto, denotemos el área del triángulo PQR como S(x), entonces S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2}). Basándonos en el área de este triángulo, encontremos el volumen V.'

'Consideremos una caja rectangular con longitudes de lado a, b y c. Cuando el lado de longitud b se usa como eje de rotación y la caja gira 90 grados, el sólido formado por todos los puntos por los que pasa la caja se denota como V. (1) Expresa el volumen de V en términos de a, b y c. (2) Cuando a+b+c=1, encuentra el rango de valores posibles para el volumen de V. [Universidad de Tokio]'

'Corte este sólido con un plano perpendicular a la base que pase por los puntos Q y S, y luego corte con un plano perpendicular a la base que pase por los puntos T y R, y pinte solo las caras creadas por los cortes. Denomine al sólido que contiene los puntos A, B, C como sólido X, Y, Z respectivamente. Si la relación de volumen entre el sólido Y y el sólido Z es de 4:1, responda a las siguientes preguntas.'

'¿Cuántas veces cabe el volumen del tetraedro O-KLMN en el volumen del prisma rectangular ABCD-EFGH?'

'(3) Los puntos P, Q, R se toman en los lados AE, BF, CG de tal manera que AP:PE=2:1, BQ:QF=1:1, CR:RG=1:2. La Figura 2 muestra la adición de los puntos P, Q, R a la Figura 1. Cuando se forma un sólido cortando la pirámide OKLMN con un plano que pasa por los puntos P, Q, R, ¿qué múltiplo del volumen de la pirámide OKLMN es el volumen del sólido que incluye el punto O?'

'(2) Si un cubo es cortado simultáneamente por un plano que pasa a través de los puntos P, R y T, y por un plano que pasa a través de los puntos Q, R y T, encuentra la proporción de los volúmenes del sólido formado por el punto B y el sólido formado por el punto E, en la proporción más simple de enteros.'

'Responda a las siguientes preguntas. El volumen de un cono se calcula como (área de la base) × (altura).\n(1) Al ensamblar este diagrama desplegado, ¿cuáles bordes tocan el borde A? Por favor, responda usando símbolos de los bordes I a K.\n(2) ¿Cuántos bordes tiene el sólido C?\n(3) Llamemos D a un cubo con un borde de 6 cm de longitud.\nExpresa la relación de volumen entre el sólido C y el cubo D en la forma más simple de enteros.'

'Cuando un plano que pasa por los puntos P, Q y F corta este sólido, el plano interseca el borde AE en el punto R.'

'¿Cuantas veces es la superficie inferior del tanque de agua A en comparación con la superficie inferior del tanque de agua B?'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'En la geometría tridimensional Z, si la proporción entre el área de la parte coloreada y el área de la parte no coloreada es de 1:4, ¿cuál es la proporción más sencilla de las áreas de la superficie de sólido X y sólido Z?'

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'En un problema de encontrar el volumen de una figura sólida, calcula los volúmenes de las siguientes formas geométricas.'

'Cuando un plano que pasa por los puntos medios de los lados AE, BF, CG, DH corta la pirámide O-KLMN, ¿cuál es la proporción del área de la sección de corte al área del rombo ABCD?'

'Como se muestra en el diagrama, hay un sólido con todas las caras planas, donde el borde AB es paralelo al borde EF, el borde BC es paralelo a FG, el borde CD es paralelo a GH, y el borde DA es paralelo a HE.'

'Sea p, q números reales positivos. Dados en el espacio de coordenadas con el origen O, tres puntos P(p, 0, 0), Q(0, q, 0), R(0, 0, 1) que satisfacen ∠PRQ=π/6'

'Dado los puntos A(1, -2, -3), B(2, 1, 1), C(-1, -3, 2), D(3, -4, -1). Determina las coordenadas de los otros vértices del paralelepípedo con los segmentos de línea AB, AC y AD como tres bordes.'

'Hay un recipiente con forma de hemisferio de radio 2 lleno de agua. Cuando se inclina suavemente un ángulo α, el nivel del agua disminuye en 197h(2) y la proporción de agua derramada respecto al agua restante en el recipiente se vuelve 11:5. Encuentra los valores de h y α. Proporciona la respuesta para α en radianes.'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la siguiente forma alrededor del eje x una vez. (2) El círculo x^{2}+(y-2)^{2}=4 y su interior'

'Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor de la recta y=x. Considera las siguientes condiciones: el sistema de desigualdades 0 <= x <= t, x² - x <= y <= x, 0 <= t <= 2.'

'Cuando el volumen de una esfera aumenta en un 1%, ¿en qué porcentaje aproximado aumentan el radio r y el área de superficie S de la esfera?'

'Volumen de un tetraedro'

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'Calcule el volumen de la curva representada por las ecuaciones paramétricas y el sólido de revolución.'

'En el espacio tridimensional, el triángulo OAB con vértices O(0,0,0), A(1,0,0) y B(1,1,0) se rota alrededor del eje x para formar un cono V. Calcular el volumen del sólido formado al rotar el cono V alrededor del eje y.'

'Hay dos cilindros circulares infinitamente extendidos con secciones transversales que son círculos de radio a. Ahora, suponga que estos dos cilindros se intersecan con sus ejes centrales formando un ángulo de π/4. Calcule el volumen de la intersección (parte común).'

'Sea r un número real positivo. En el espacio xyz, considera el conjunto de puntos que satisfacen el siguiente sistema de desigualdades: x^{2} + y^{2} \\le r^{2}, y^{2} + z^{2} \\ge r^{2}, z^{2} + x^{2} \\le r^{2}. Encuentra el volumen del sólido considerando la sección transversal por el plano x = t (0 \\le t \\le r).'

'Calcule el volumen de un sólido de revolución en el espacio de coordenadas (2).'

'Encuentra el volumen de un sólido representado por un sistema de desigualdades.'

'Revisión'

'Pintar cada cara de un tetraedro y un octaedro con colores. Cada cara se pinta con un solo color. Además, las formas de rotar y combinar colores se consideran iguales. Cuando hay 12 colores, ¿cuántas formas hay de pintar un tetraedro para que todas las caras tengan colores diferentes? A [ ]. Además, cuando hay 8 colores, ¿cuántas formas hay de pintar un octaedro para que todas las caras tengan colores diferentes? B [ ].'

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'¿Cuántas formas diferentes hay de colorear las caras de los poliedros dados? Asumiendo que las coloraciones equivalentes por rotación se consideran iguales. (1) Método de colorear cada cara de una pirámide cuadrangular con 5 colores diferentes (2) Método de colorear cada cara de un prisma triangular con 5 colores diferentes'

'Ejemplo Básico 138 Altura y Volumen de un Tetraedro Regular\nSea ABCD un tetraedro regular con longitud de arista a.\n(1) Expresa la altura de este tetraedro en términos de a.\n(2) Expresa el volumen de este tetraedro en términos de a.'

'Hay un cubo con un lado de 6 cm. Determina el volumen de un octaedro regular formado por la intersección de las diagonales de cada cara de este cubo.'

'A partir de \ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \, podemos deducir que \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \. El punto en el semicírculo con radio 1, donde la coordenada x es \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \, es el punto \ \\mathrm{P} \ en la figura. El ángulo \ \\theta \ que buscamos es \ \\angle \\mathrm{AOP} \.'

'Un cono con altura 4 y radio de base √2 es tangente a una esfera O en su lateral y también en el centro M de su base. Encuentra el volumen V y el área superficial S de la esfera O.'

'Relación de volumen entre un cubo y una tetrahedron número 102'

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'En el tetraedro ABCD mostrado a la derecha, AD=2, BD=4, CD=6, los ángulos ADB=ADC=BDC=90 grados, encontrar los siguientes valores.'

'En el tetraedro ABCD, donde AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°, encuentre los siguientes valores:\n(1) Volumen V del tetraedro ABCD\n(2) Área S del △ABC\n(3) Longitud d de la perpendicular caída desde el vértice D al plano ABC'

'Hay una lámina delgada de metal en forma de rectángulo donde la longitud es el doble del ancho. Desde las esquinas de esta lámina, se cortan cuadrados con un lado de 1 cm para crear una caja rectangular sin tapa. Para que el volumen de la caja esté entre 4 cm³ y 24 cm³, ¿en qué rango debería estar la altura?'

'Encuentra lo siguiente para el tetraedro OABC:'

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'Encuentra el volumen máximo de un cilindro circular recto inscrito en una esfera de radio 6. Además, determina la altura del cilindro en ese momento.'

'Calcular el volumen de un tetraedro regular'

'Responde las siguientes preguntas cuando cada vértice del icosaedro regular W con longitud de borde 1 yace en la superficie de una esfera S. El icosaedro tiene todas las caras congruentes de triángulos equiláteros, y cada vértice es compartido por 5 de estos triángulos.'

'Dado un cubo con longitud de arista 1, ABCD-EFGH, un plano que contiene los puntos A, C, F, e intersecciona la línea BH en los puntos P, y una línea perpendicular que cae desde el punto P hasta el plano ABCD intersecando en el punto Q.'

'Encuentra el volumen de un cilindro y un cono cuando el área de la base es S y la altura es h. Además, encuentra el volumen y el área superficial de una esfera con radio r.'

'Construya el tetraedro PABC con el triángulo equilátero ABC de lado 3 como base, donde PA=PB=PC=2. Deje caer una perpendicular PH desde el vértice P a la base ABC.'

'En el tetraedro ABCD, donde AB=3, BC=√13, CA=4, DA=DB=DC=3, traza una perpendicular DH desde el vértice D al triángulo ABC. Encuentra la longitud del segmento DH y el volumen del tetraedro ABCD.'

'Sea ABC un triángulo equilátero con lado de longitud 3, y PABC un tetraedro con PA=PB=PC=2. Se baja una línea perpendicular PH desde el punto P a la base ABC.'

'Calcular la altura y el volumen de un tetraedro regular\nEn un tetraedro regular ABCD con longitud de arista a, trazar una perpendicular AH desde el vértice A al triángulo BCD.\n(1) Expresar la longitud h de AH en función de a.\n(2) Expresar el volumen V del tetraedro regular ABCD en función de a.\n(3) Expresar la longitud de la perpendicular trazada desde el punto H al triángulo ABC en función de a.'

'Sea I el centro de la esfera inscrita. Los cuatro tetraedros IABC, IACD, IABD, IBCD son congruentes, entonces'

'Hallar el volumen de un tetraedro regular'

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'Hay un cubo A. Reduzca A verticalmente en 1 cm, horizontalmente en 2 cm y extienda la altura en 4 cm para crear un prisma rectangular B. Además, extienda A verticalmente en 1 cm, horizontalmente en 2 cm y reduzca la altura en 2 cm para crear un prisma rectangular C. Cuando el volumen de A es mayor que el volumen de B pero no es mayor que el volumen de C, encuentre el rango de la longitud de un lado de A.'

'Por favor, calcula el volumen del icosaedro regular W.'

'Altura y volumen de un tetraedro regular'

'En el tetraedro ABCD, AB = AC = 3, ∠BAC = 90°, AD = 2, BD = CD = √7, y el punto medio de BC es M. En este caso, BC = cuadrado, DM = triángulo, ∠DAM = grados de rectángulo, y el volumen del tetraedro ABCD es trapecio.'

'Encuentra el área de un triángulo y su aplicación en geometría sólida'

'Encuentra el volumen del tetraedro ABCD.'

'En el tetraedro regular ABCD con longitud lateral 3, se traza una perpendicular AH desde el vértice A hasta la base BCD. Dado que el punto E en el lado AB tiene AE=1, encuentra:\n(1) sin∠ABH\n(2) El volumen del tetraedro EBCD'

'Encuentra el volumen del tetraedro OABC. Además, encuentra la distancia entre el punto O y el plano ABC.'

'¿Cuál es el porcentaje de aumento del radio cuando el volumen de una esfera aumenta en 1%?'

'(2) Sea el volumen del contenedor $Q$ igual a $V_{1}$. Para el tetraedro $ABCD$ con longitud de borde $b$...'

'En el rango de 0 ≤ x ≤ π, ¿cuál es el volumen V del sólido formado al girar la forma encerrada por las curvas y=sin x, y=sin 2x alrededor del eje x?'

'(2) En el espacio, cuando el centro de una esfera con radio 1 se mueve a lo largo de un lado de un cuadrado con lado de longitud 4 por una vuelta, encontrar el volumen V de la parte de la esfera que pasa a través.'

'En el espacio de coordenadas, considera un cuadrado S con vértices A(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0), y D(-1,-1,0) determinados por las desigualdades |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 en el plano xy. Deja que V1 sea el sólido formado al rotar el cuadrado S alrededor de la línea BD y V2 sea el sólido formado al rotar el cuadrado S alrededor de la línea AC.'

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'Ejemplo práctico 20: Volumen del sólido de revolución alrededor de la diagonal de un cubo'

'Considere un cono circular recto con el origen como centro y un círculo con el radio como base, que incluye un prisma triangular con los vértices A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1), F(-1,0,1). Encuentre el volumen mínimo de este cono y el radio r de su base en ese momento.'

None

'Sea S una esfera con radio 1 centrada en el origen O en el espacio de coordenadas. Para puntos A, B, C, D moviéndose en S, sea F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2).(1) Sea →OA= a, →OB= b, →OC= c, →OD = d, donde existe una constante k diferente de a, b, c, d, tal que F=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d). Encuentra el valor de la constante k.(2) Encuentra el valor máximo M de F cuando los puntos A, B, C, D se mueven en S.(3) Cuando las coordenadas del punto C son (-1/4, √15/4, 0) y las coordenadas del punto D son (1, 0, 0), determina todos los pares de puntos A y B en S donde F=M.'

'Cuando se utiliza un segmento de línea que conecta el punto P(x, 0) y Q(x, sinx) como un lado para formar un triángulo equilátero en un plano perpendicular al eje x. A medida que el punto P se mueve a lo largo del eje x desde el origen O hasta el punto (π, 0), encuentre el volumen del sólido formado por este triángulo equilátero.'

'Encuentra el radio r de un cono que minimiza el volumen de un cono circular recto.'

'El tetraedro ABCD y el punto P satisfacen la ecuación AP+3BP+2CP+6DP=0.'

'Ejercicio 3 Volumen máximo de un tetraedro\nEn el tetraedro OABC, donde |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, ∠AOB=90°, ∠AOC=α, ∠BOC=β. Se da que 0°<α<90°, 0°<β<90°, y α+β>90°.\n(1) Expresa los productos escalar OA⋅OC, OB⋅OC en términos de a, b, c, α, β.\n(2) Sea CH la perpendicular trazada desde el punto C al plano que contiene △OAB.\nSi OH=kOA+lOB (donde k, l son números reales), expresa k, l en términos de a, b, c, α, β.\n(3) Expresa el volumen V del tetraedro OABC en términos de a, b, c, α, β.\n(4) Cuando a, b, c son constantes y α, β satisfacen α+β=120°, encuentra el valor máximo de V.'

'Ejemplo de problema 20 Volumen del sólido de rotación alrededor de la diagonal de un cubo'

None

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la elipse $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \\geqq 0)$ y la región delimitada por el eje y alrededor del eje y una vez. Aquí, $a>0, b>0$.'

'(3) Encontrar el valor absoluto de la coordenada $x$ del punto A. Los puntos B y P están en el plano $yz$. Encontrar la altura del tetraedro POAB y calcular su volumen.'

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'Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar la región encerrada por la recta y=x y la parábola y=x^2-x alrededor de la línea OA como el eje, donde A es el punto de intersección entre la recta y la parábola (excluyendo el origen O).'

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'Volumen del Sólido de Revolución: Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar la curva y = √x alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = 1.'

'Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar el área encerrada por la curva y=-2x^2-1, el eje x y las dos líneas x=-1 y x=2 alrededor del eje x.'

'Un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH con longitudes de los bordes AB=x, AD=y, y AE=z está en el espacio. Si la longitud de la diagonal AG es 3 y el área de la superficie S es 16, entonces'

'Encuentra el volumen del sólido formado por un tetraedro regular que se dibuja cuando se conectan los puntos P(x, 0) y Q(x, 4-x^2) como un lado en un plano perpendicular al eje x. A medida que P se mueve a lo largo del eje x desde el origen O hasta el punto (2,0).'

'Si AB=x, AD=y, AE=z, y el paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH está en el espacio. Si la longitud de la diagonal AG es 3 y el área de la superficie S es 16'

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'Un recipiente en forma de cono circular recto invertido con un radio de 5 cm y una altura de 10 cm. Se vierte agua suavemente en el recipiente a una velocidad de 2 cm³/s. Determine lo siguiente cuando la profundidad del agua alcance los 4 cm:\n(1) La velocidad a la que sube el nivel del agua\n(2) El aumento porcentual en el área de la superficie del agua'

'Volumen del sólido obtenido al rotar S1 alrededor del eje x una vez'

'Encuentra el volumen V del siguiente sólido de revolución.'

'El punto A en el segmento de línea PQ está dado por OA = OP + sPQ (0 <= s <= 1)'

'En un espacio tridimensional, hay tres puntos O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,√3,1). Se encuentran en el plano z=0, y un círculo con centro en O y radio 1 como W. Cuando el punto P se mueve a lo largo del segmento de recta OA y el punto Q se mueve alrededor o dentro del círculo W, satisfaciendo ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, todos los puntos R forman un sólido V_A. De manera similar, cuando el punto P se mueve a lo largo del segmento de recta OB y el punto Q se mueve alrededor o dentro del círculo W, satisfaciendo ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, todos los puntos R forman un sólido V_B. Además, se denota como V la parte superpuesta de V_A y V_B. (1) Expresa el área de la sección transversal del sólido V cortada por el plano z=cosθ(0≤θ≤π/2) usando θ. (2) Determina el volumen del sólido V.'

'Encuentra el volumen $V$ del sólido obtenido al girar la región encerrada por la curva $x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta$ (para $-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$) alrededor del eje $x$ una vez.'

'Encuentra el volumen de una forma tridimensional \ V \.'

'Hay dos cilindros infinitamente extendidos en ambos lados, con secciones cortadas que forman círculos de radio a. Ahora, asumamos que estos cilindros se intersecan formando un eje central con un ángulo de π/4. Encuentre el volumen de la parte de intersección (parte común). [Fuente: Universidad de Mujeres Japonesas]'

'Volumen de un sólido formado al rotar una línea en el espacio de coordenadas'

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'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la región encerrada por la parábola y=x^{2}-2 x y la recta y=-x+2 alrededor del eje x una vez.'

'Considera un prisma triangular con vértices A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1) y F(-1,0,1) y un cono circular recto con el círculo en el plano xy centrado en el origen como la base. Encuentra el volumen mínimo de ese cono y el radio r de la base en ese momento.'

'Problemas de aplicación de máximo y mínimo (2) ... El tema es figuras espaciales'

'Cuando el segmento de recta que conecta los puntos P(x,0) y Q(x, sin x) forma un triángulo equilátero con un lado de longitud 1, y este triángulo yace en un plano perpendicular al eje x. A medida que el punto P se mueve a lo largo del eje x desde el origen O hasta el punto (π, 0), encuentra el volumen del sólido formado por este triángulo equilátero.'

'Cuando el volumen V de una esfera aumenta en un 1%, ¿en qué porcentaje aproximado aumentan el radio r y el área superficial S de la esfera?'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al girar las siguientes formas alrededor de la línea y=x: (1) El área encerrada por la parábola y=x^2 y la línea y=x. (2) El área encerrada por la curva y=sin x (0 <= x <= pi) y las dos líneas y=x y x+y=pi.'

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'Desafío del problema'

'Ejemplo básico 171 Cantidad de agua derramada de un contenedor'

'Curva C: y=x^3 pasa por 2 puntos O(0,0) y A(1,1). Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la región encerrada por la curva C y el segmento de línea OA alrededor de la línea OA.'

'Volumen de un tetraedro regular'

'Hay un cilindro con un radio de base de a y una altura de a. Cuando el plano que contiene el diámetro AB de la base e inclinado a 30 grados respecto a la base divide el cilindro en dos sólidos, encuentra el volumen V del sólido más pequeño.'

'En el espacio de coordenadas EX, existe un cilindro que satisface simultáneamente las desigualdades $x^{2}+y^{2} \\leqq 1$ y $0 \\leqq z \\leqq 3$. Cuando este cilindro se divide en dos sólidos por un plano que pasa por el punto $(1,0,1)$ y que contiene al eje y (formando un ángulo de $\\frac{\\pi}{4}$ con el plano 2133), encuentre el volumen $V$ del sólido que contiene el punto $(1,0,0)$.'

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'Cómo calcular el volumen'

'Al disminuir cada lado de un cubo con una longitud de lado de 5 cm en 0.02 cm, ¿cuánto disminuirá el área superficial y el volumen del cubo? Por favor, cálculelo hasta dos decimales.'

'En el espacio con el punto O(0, 0, 0) como origen, hay tres puntos A(1, 2, 0), B(0, 2, 3), C(1, 0, 3). Encuentra el volumen del tetraedro OABC.'

'394 Ejemplo 62 Ecuación del Vector y Razón de Volumen del Tetraedro'

'Considere los puntos P(u, u, 0) y Q(u, 0, √(1-u^2)) en el espacio 3D. A medida que u varía de 0 a 1, la superficie formada por el segmento de línea PQ se denota como S.'

'Sea V el volumen de la tetraedro OABC,'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar el área encerrada por la curva y = f(x), el eje y y la recta y = f(1) alrededor del eje y, donde f(x)=xe^x+e/2.'

'Resolver el problema matemático: Sea y = cos x (0 ≤ x ≤ π/2) una curva. El volumen del sólido formado al rotar la región encerrada por la curva, el eje x y el eje y alrededor del eje x se denota como V1. El volumen de un cono circular recto con un radio de base de 1 y una altura de π/2 se denota como V2. Calcular el valor de V = V1 - V2.'

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'Resuelve problemas de máximo y mínimo relacionados con la geometría sólida.'

'Encuentra el volumen V del sólido generado al rotar la región encerrada por dos curvas alrededor del eje x. Las curvas están definidas por y = f(x) y y = g(x) (a <= x <= b, donde f(x) >= g(x) >= 0).'

'Encuentra el volumen generado al rotar alrededor del eje y.'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al girar la región delimitada por la curva x=f(θ), y=g(θ), el eje x y las dos rectas x=a, x=b (a < b) alrededor del eje x utilizando el método de cilindros concéntricos.'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la región encerrada por la curva y=cosx (0 ≤ x ≤ π), y=-1, y el eje y alrededor del eje y una vez.'

'En el espacio con el origen O como centro, hay tres puntos A(1,2,0), B(0,2,3), C(1,0,3). Encuentra el volumen del tetraedro OABC.'

'Calcule el volumen del sólido obtenido al rotar la forma considerada en (2) (1) alrededor del eje y una vez.'

'Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje y. Explique usando la función g(y).'

'Encuentra el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada por curvas o líneas de PR alrededor del eje y una vez.'

'Traduce la pregunta dada a varios idiomas.'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la región encerrada por la curva x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2), y el eje x alrededor del eje x.'

'Explique cómo encontrar la altura de un cono circular recto.'

'Quiero colorear cada cara de un tetraedro regular. Sin embargo, se considera que girar el tetraedro para que coincida con el colorido es lo mismo.\n(1) ¿Cuántas formas hay de colorear usando los cuatro colores diferentes.\n(2) Entre las diferentes formas de colorear con tres colores, ¿cuántas formas hay de colorear usando los tres colores. Además, si puede haber un color entre los tres que no se usa, ¿cuántas formas hay de colorear.'

'Ejemplo 73 | Volumen de un poliedro\nUn poliedro con 6 cuadrados de lado 3 y 8 triángulos equiláteros como caras está inscrito en un cubo como se muestra en la figura. Encuentra el volumen de este poliedro. [Universidad de Setsunan] Guía Enfocarse en estar inscrito en un cubo. Considerar un poliedro formado al cortar todas las esquinas del cubo mediante un plano que pase por los puntos medios de cada borde del cubo.'

'Una lámina delgada de metal tiene una longitud que es el doble de su ancho. Desde las cuatro esquinas de esta lámina, se cortan cuadrados con un lado de 5 cm como se muestra en el diagrama y se doblan para crear un contenedor rectangular sin tapa. Cuando el volumen de este contenedor es de 1.5 L, ¿cuáles son las dimensiones originales de la lámina en centímetros?'

'Matemáticas I'

'Hay un tetraedro PABC con aristas de longitud 3. Encuentra el volumen de la forma restante después de quitar 4 tetraedros de lado 1 desde el interior.'