Geometría Sólida - Propiedades de Figuras Tridimensionales (Poliedros, Cilindros, Conos, Esferas)

'Encuentra la locus del centro del círculo C, el cual es tangente y circunscribe al círculo dado por (2) y toca el eje x.'

'Región representada por desigualdades'

'Considerando un cilindro inscrito en una esfera con un radio de 2, y su altura sea 2x. (1) Expresa el radio a de la base del cilindro en función de x. (2) Expresa el volumen V del cilindro en función de x. (3) Encuentra el valor máximo de V. [Instituto de Tecnología de Hokkaido]'

'2019 Intento 1 de la Academia de Educación Shibuya Makuhari Middle School (26) El observador está de pie frente al acantilado. El observador se enfrenta al sureste en el Acantilado A, suroeste en el Acantilado B, y al norte en el Acantilado C.'

'¿Por qué no se mide la elongación de una barra de metal con una regla? Explica brevemente en unas 20 palabras.'

'Según el párrafo (1), en la región los estratos van descendiendo de sur a norte, por lo tanto, en la dirección este-oeste, los estratos están casi apilados horizontalmente. Por lo tanto, en el acantilado C orientado al sur, cada estrato parece estar casi inclinado.'

'¿Por qué se utilizan suelos elevados para evitar la humedad y las inundaciones?'

'Demuestra que la forma dada por la ecuación polar \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ es la misma que la forma dada por la ecuación de números complejos \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ y esboza el contorno de esta forma.'

'Ecuaciones de 3 esferas'

''

'Hay dos superficies esféricas $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$ y $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Sea el círculo $C$ la intersección de las superficies esféricas $S_{1}, S_{2}$. Hallar:\n(1) Las coordenadas del centro $P$ y el radio $r$ del círculo $C$\n(2) La ecuación del plano $α$ que contiene al círculo $C$'

'Sea el punto en el círculo C con radio 1 centrado en el origen como \\( (\\cos \\theta, \\sin \\theta) \\) sea P. Sea el círculo que es tangente al círculo C en el punto P y también tangente al eje y sea S, y sea (u, v) las coordenadas de su centro Q. (1) Expresar u y v en términos de \ \\cos \\theta \ y \ \\sin \\theta \, respectivamente. (2) Sea el área del círculo S denotada por \\( D(\\theta) \\). Determinar \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\).'

'En el espacio de coordenadas con el punto O como origen, tomemos A(5,4,-2).'

'Consideremos un cubo con vértices O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1) en el espacio de coordenadas. Denotemos al punto P como el punto de trisección del lado OA en la proporción 3:1, al punto Q como el punto de división del lado CE en la proporción 1:2, y al punto R como el punto de división del lado BF en la proporción 1:3. El plano que pasa por los puntos P, Q, R se llama α.'

'Encuentra la ecuación de la esfera que pasa a través de los puntos (1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,0), (2,1,0). Además, determina las coordenadas de su centro y el radio.'

'En el tetraedro ABCD, AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD², y ∠ADB=90°. Sea G el centroide del triángulo ABC.'

'Considerando un rectángulo ABCD en el espacio donde las coordenadas del punto A son (5,0,0) y las coordenadas del punto D son (-5,0,0), con la longitud del lado AB siendo 5. Además, tanto la coordenada y como la coordenada z del punto B son positivas, y la longitud de la proyección perpendicular desde el punto B al plano xy es 3. Por favor, encuentre las coordenadas de los puntos B y C.'

'Encuentra el área por la que pasa el segmento de recta que conecta un punto en la curva representada por la ecuación polar $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ y el polo $\\mathrm{O}$. Conceptos básicos 182, Matemáticas $\\mathrm{C}$ p. 303 Referencia'

'Encuentra la ecuación de una superficie esférica que pase por los puntos (0,0,0), (6,0,0), (0,4,0) y (0,0,-8). También, determina las coordenadas de su centro y el radio.'

'Calcular el número de caras (f), aristas (e) y vértices (v) del poliedro formado al cortar todos los vértices de un icosaedro regular con un plano que pase por los puntos medios de cada arista.'

'Capítulo 3 Propiedades de las Figuras EX ⊕ 91 La figura a la derecha [1] es un poliedro obtenido al cortar 8 vértices con un plano que pasa por los puntos medios de cada arista de un hexaedro regular. Denotemos a este poliedro como X. La figura a la derecha [2] es un poliedro obtenido al cortar vértices con un plano que pasa por los puntos medios de cada arista del poliedro X. Denotemos a este poliedro como Y. (1) Determine el número de caras, aristas y vértices del poliedro X, respectivamente. (2) Determine el número de caras, aristas y vértices del poliedro Y, respectivamente.'

'Encuentra la longitud del lado de un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1.'

'Encuentra la longitud de un lado de un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1.'

'Ejemplo de problema 141 de encontrar el valor mínimo de una línea fracturada en un tetraedro\nDado un tetraedro ABCD con AB=BC=CA=8, AD=7. Cuando cos∠CAD=11/14, encontrar lo siguiente:\n(1) La longitud del lado CD\n(2) El tamaño de ∠ACD\n(3) Para el punto E en el lado AC, encontrar el valor mínimo de BE+ED'

'La figura de la derecha [1] es un poliedro obtenido al cortar ocho vértices de un hexaedro regular con un plano que pasa por los puntos medios de cada borde. Llamemos a este poliedro X. La figura de la derecha [2] muestra el poliedro obtenido al cortar el poliedro [1], al cual llamaremos Y.'

'En el cuboide de la figura de la derecha, AD=AE=1, EF=√3. (1) Encuentra el borde perpendicular al borde BF.'

'Considera un cono circular recto con un radio de base de 2 y una altura de \ \\sqrt{5} \. Sea \ \\mathrm{O} \ el vértice de este cono, y \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ los dos extremos del diámetro de la base. Además, sea \ \\mathrm{P} \ el punto medio del segmento de línea \ \\mathrm{OB} \. Encuentra la distancia más corta en la superficie lateral del cono desde A hasta P.'

"En la figura de la derecha, la línea AB es tangente a los círculos O y O' en los puntos A y B, respectivamente. Si los radios de los círculos O y O' son 5 y 4, y la distancia entre los centros O y O' es 6, encuentra la longitud del segmento AB."

'Pinte cada cara de un tetraedro regular y un hexaedro regular con pintura. Solo se pinta un color en cada cara. Además, se considera que al rotarlo 323 grados para que coincida con la coloración es lo mismo. Cuando hay 12 colores, hay 7 formas de pintar las caras del tetraedro regular de manera que cada cara tenga un color diferente. Cuando hay 8 colores, hay mil millones de formas de pintar las caras del hexaedro regular de manera que cada cara tenga un color diferente.'

'El diagrama a la derecha muestra una figura sólida formada al cortar un prisma rectangular en un plano que contiene los bordes DH, BF.'

'Cada cara de un cubo debe ser pintada de tal manera que las caras adyacentes tengan colores diferentes. Sin embargo, las rotaciones del cubo que resultan en la misma coloración se consideran iguales. (1) ¿Cuántas formas hay de pintar usando los 6 colores diferentes? (2) ¿Cuántas formas hay de usar los 5 colores diferentes?'

'Por favor, encuentre el número de caras f, aristas e, y vértices v del poliedro formado al cortar todos los vértices de un dodecaedro regular con un plano que pase por los puntos medios de cada arista.'

'Utilice la condición de que la suma de los ángulos opuestos es de 180° para demostrar que un cuadrilátero está inscrito en un círculo.'

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"En la figura de la derecha, la línea AB toca los círculos O y O' en los puntos A y B respectivamente. Si los radios de los círculos O y O' se denotan como r y r' (r < r'), y la distancia entre los centros de los dos círculos es d, entonces demuestra que AB = √(d^2 - (r' - r)^2)."

'Determine el número de caras f, de aristas e, y de vértices v de los siguientes poliedros convexos:\n(1) Un poliedro convexo que consiste en 12 pentágonos regulares y 20 hexágonos regulares\n(2) Un poliedro convexo formado al cortar todas las esquinas con un plano que pasa por puntos que trisecan cada arista de un tetraedro regular, como se muestra en la figura de la derecha'

'La luz emitida por linternas y similares se expande en forma cónica, pero al iluminarse con el ángulo correcto, el borde del área iluminada se convierte en una parábola. Este fenómeno ocurre porque al cortar un cono de manera paralela a su generatriz, resulta en una parábola en el borde de corte.'

'Posición de los puntos en el espacio\nAl igual que en el plano se representan los puntos con un par de números reales, en el espacio también se pueden describir los puntos usando coordenadas, las cuales consisten en una terna de números reales. Consideremos un punto C en el espacio y definamos tres rectas numéricas mutuamente ortogonales en el punto O como se muestra en el diagrama. Estas se llaman el eje x, el eje y y el eje z respectivamente, conocidos en conjunto como los ejes de coordenadas. Adicionalmente, el punto O se llama el origen.\nEl plano determinado por el eje x y el eje y se conoce como el plano xy, el plano determinado por el eje y y el eje z es el plano yz, y el plano determinado por el eje z y el eje x es el plano zx.\nEn un plano de coordenadas, hay dos ejes, el eje x (horizontal) y el eje y (vertical), pero en el espacio de coordenadas, se agrega el eje z (altura). Estos tres ejes juntos se denominan plano de coordenadas.'

'Por favor responda (A a C) que se ajuste en la siguiente tabla.'

'Al pasar un plano a través de los puntos medios de cada arista del dodecaedro regular y cortar todos los vértices, determina el número de caras f, aristas e, y vértices v del poliedro resultante con 21 caras.'

'Para un poliedro convexo con 8 vértices y 6 caras, veamos cuántos aristas tiene.'

'Calcular el número de caras f, aristas e y vértices v del poliedro convexo formado al cortar todos los vértices de un octaedro regular con un plano que atraviesa los puntos que trisecan cada borde.'

'Elige el término matemático que corresponde a un poliedro regular de los siguientes términos matemáticos.'

'Demuestra que en una pirámide cuadrada correcta A-BCDE en la que todos los lados tienen la misma longitud, cuando se denota el punto medio del lado AD como M, el lado AD es perpendicular al plano MEC.'

'En el prisma pentagonal ABCDE-FGHIJ mostrado en el diagrama, responda a las siguientes preguntas.'

'En problemas relacionados con poliedros, se utiliza el teorema de poliedros de Euler para aclarar la relación entre vértices, aristas y caras.'

'El Teorema del Seno es un teorema que expresa la relación entre el seno de los tres ángulos internos de un triángulo y las longitudes de sus tres lados. Para demostrar este teorema, se utiliza el teorema de los ángulos inscritos aprendido en la escuela secundaria.'

'Para un cono circular recto inscrito en una esfera de radio 1, encuentre la altura, el radio de la base y el área lateral para maximizar.'

'Imagina cortar un tubo de papel enrollado en diagonal. ¿Cómo crees que se verá el borde cuando se despliegue el papel? Aquí, asumimos que el radio de la base es 1 y que el ángulo entre el borde cortado y la base es π/4 (=45 grados).'

'En la pirámide O-ABCD, con la longitud de un lado de la base siendo 2a y la altura siendo a. Encuentra lo siguiente:\n(1) La longitud de la línea perpendicular AE trazada desde el vértice A hasta el borde OB\n(2) Para el punto E en (1), encuentra la medida del ángulo AEC y el área del triángulo AEC'

'Para facilitar el cálculo del área dividiendo'

'Cuando todos los vértices de un icosaedro regular W con longitud lateral 1 están en la superficie de una esfera S, responda las siguientes preguntas. Un icosaedro regular tiene todas las caras con triángulos equiláteros congruentes, con cada vértice compartido por 5 triángulos.'

'Matemáticas I'

'(1) Por la regla del coseno'

'Consideremos un prisma triangular recto T con base en el triángulo ABC donde AB=2, AC=3 y BC=t(1<t<5). Un prisma triangular recto se define como un prisma en el que todos los bordes son perpendiculares a la base. Además, supongamos que hay una esfera S contenida dentro de T y tangente a todas las caras de T.'

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'Dado que la altura del prisma triangular recto es 4, vamos a denotar el radio de la esfera como r, entonces 0 < r ≤ 2'

'Tetraedro y Esfera'

'Como se muestra en la figura, se toman tres puntos D, E y F fuera de △ABC de tal manera que △ABD, △BCE y △CAF formen triángulos equiláteros respectivamente. Sea S el área de △ABC, y las longitudes de los tres lados sean BC=a, CA=b, AB=c. Responde a las siguientes preguntas: (1) Sea ∠BAC=θ, expresa sinθ en términos de b, c y S, y expresa cosθ en términos de a, b y c. (2) Expresa DC² en términos de a, b, c y S. Es posible utilizar la identidad general cos(60°+θ)=\\frac{cosθ-√3 sinθ}{2}. (3) Sea T el promedio de área de los tres triángulos equiláteros, expresa DC² en términos de S y T.'

'Encuentra la longitud de un lado de un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1.'

'Hay un cono circular recto con un radio de base de 2 y una altura de √5. Sea O el vértice de este cono, A y B los extremos del diámetro de la base. Si el punto medio del segmento OB es P, ¿cuál es la distancia más corta de A a P en la superficie lateral?'

'Encontrar el valor mínimo de una línea rota en un tetraedro Ejemplo 141\nHay un tetraedro ABCD con AB=BC=CA=8, AD=7. Cuando cos∠CAD=11/14, encontrar lo siguiente:\n(1) La longitud del borde CD\n(2) El tamaño de ∠ACD\n(3) Para un punto E en el borde AC, encontrar el valor mínimo de BE+ED\nBásicos 121,137'

'Ejemplo 127 Problema de Medición (Espacial)\nComo se muestra en el diagrama a la derecha, un poste de electricidad está perpendicular a un plano que contiene los puntos A, B y C. Cuando se ve desde los puntos A y B, la parte superior del poste D tiene ángulos de elevación de 60° y 45° respectivamente. Dada la distancia entre A y B de 6m y ∠ACB = 30°, encuentra la altura del poste CD. Asuma que no se considera la altura de los ojos.'

'Tetraedro y Esfera\nConsideremos un tetraedro ABCD con longitud de arista a.\n(1) Expresa el radio R de la esfera circunscrita al tetraedro en términos de a.\n(2) Expresa el radio r de la esfera inscrita en el tetraedro en términos de a.'

'Encuentra la longitud del borde de un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1.'

'Hay un cono circular recto con un radio de base de 2 y una altura de √5. Sea O el vértice de este cono, A y B los dos extremos del diámetro de la base, y P el punto medio del segmento OB. Encuentra la distancia más corta de A a P en la superficie lateral.'

'En el espacio, un punto se define típicamente por sus coordenadas y su distancia al origen O.'

'Encuentra la ecuación de una superficie esférica con centro en el punto (a, b, c) y radio r.'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes esferas.'

'Traduce las coordenadas del centro y el radio en orden'

'Encuentre el número real a, y cuando el punto P se mueve sobre toda la esfera S,'

'Como se muestra en el diagrama, sean S, T, U los puntos de intersección del plano z=t (0<t<2/3) con la circunferencia del disco D y el segmento de línea CQ.'

'Ecuación de una esfera'

'Práctica: Dada la ecuación del plano $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ y dos esferas $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Encuentra lo siguiente. (1) La ecuación de una esfera que pasa por el origen y que incluye la intersección del plano $\\alpha$ y la esfera $S_{1}$ (2) La ecuación de un plano que contiene el círculo $C$ de intersección entre las esferas $S_{1}$ y S_{2 , junto con las coordenadas del centro $P$ del círculo $C$ y el radio $r$'

'¿Qué forma tiene el triángulo ABC formado por los tres puntos A(4,7,2), B(2,3,-2), C(6,5,-6)?'

'La perpendicular trazada desde el centro C(a, b, c) de la esfera al plano xy pasa por el centro (5/6, 5/6, 0) del círculo. Por lo tanto, las coordenadas x y y de los puntos C y el centro del círculo son iguales a a=5/6, b=5/6. Además, el radio de la esfera S es OC = √(〖(5/6)〗^2+〖(5/6)〗^2+c^2) = √(c^2 + 25/18). Por lo tanto, la ecuación de la esfera S es (x-5/6)^2 + (y-5/6)^2 + (z-c)^2 = c^2 + 25/18. Cuando el punto (t+2, t+2, t) está en la esfera S, (t+2-5/6)^2 + (t+2-5/6)^2 + (t-c)^2 = c^2 + 25/18, lo que simplifica a 9t^2 - 2(3c-7)t + 4 = 0. La condición necesaria y suficiente para que la recta l tenga puntos en común con la esfera S es que la ecuación cuadrática para t (1) tenga soluciones reales. Por lo tanto, al tomar D como el discriminante y resolver para D≥0 se obtiene (3c-1)(3c-13)≥0. A partir de esto, se deduce que c≤1/3 o c≥13/3. Por lo tanto, las condiciones que a, b, c deben cumplir son a=b=5/6 y (c≤1/3 o c≥13/3).'

'Suponiendo a>0. Encuentra lo siguiente para la esfera que pasa por los puntos O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) con ecuación 54.'

'Aquí hemos obtenido otra solución.\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=(x-1, y, z)$$\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=(x, y-2, z)+2(x, y, z-3)=(3x, 3y-2,3z-6)$$\n\nPor lo tanto, $$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{\\mathrm{CP}}})=0$$ conduce a $$ (x-1) \\times 3x + y \\times (3y-2) + z \\times (3z-6)=0$$\n\nPor lo tanto $$ \\quad x^{2}-x+y^{2}-\\frac{2}{3} y+z^{2}-2z=0 $$ Por lo tanto $$ \\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{9}+1 $$ es decir $$ \\quad\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{49}{36} $$\n\nPor lo tanto, el conjunto de puntos P es una superficie esférica con centro en $$ \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, 1\\right) $$ y radio $$ \\frac{7}{6} $$.'

'Explique las propiedades de una parábola y deduzca las propiedades de un punto P en la parábola.'

'Se da un hexágono regular ABCDEF con longitud de lado 1. Cuando el punto P se mueve en el borde AB y el punto Q se mueve en el borde CD de manera independiente, encontrar el área a través de la cual el punto R, dividiendo el segmento PQ en la proporción 2:1, puede pasar.'

'(2) Dado que la esfera es tangente a cada plano coordenado y pasa por el punto (5, -1, 4), el radio se denota como r, y las coordenadas del centro son (r, -r, r). Por lo tanto, la ecuación de la esfera es'

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,3) y es perpendicular a la recta dada por (4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3'

'Demuestra que los puntos donde los segmentos de línea AG_A, BG_B, CG_C y DG_D son divididos internamente en las razones 3:1 coinciden para el tetraedro ABCD con centroides G_A, G_B, G_C y G_D respectivamente para los triángulos BCD, ACD, ABD y ABC.'

'Sea la ecuación de la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=16$, y el plano $\\alpha: 6x-2y+3z=5$ que forma un círculo $C$. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de este círculo.'

'Ecuación de una esfera'

'Encuentra las coordenadas de los vértices del prisma rectangular OABC-DEFG a la derecha, excepto el punto O.'

'En el espacio de coordenadas, considere un círculo con un radio de 1 centrado en el origen en el plano xy. Llamemos S al cono (incluyendo su interior) con este círculo como su base y el punto (0,0,2) como su vértice. También, considere el punto A(1,0,2).'

'(2) El punto B pasa a través y el plano α es perpendicular al eje x. En el plano α, con el punto C(1,0,0) como centro y un radio CB = √(3²+4²) = 5 en el círculo, dejemos que R sea un punto móvil en el círculo. Entonces, CB = CR, QB = √(QC² + CB²), QR = √(QC² + CR²). Por lo tanto, QB = QR, por lo tanto, D(1,0,-5), entonces AQ + QB = AQ + QD ≥ AD. Dado que los puntos A, Q y D están en el plano zx, el valor mínimo de AQ + QD ocurre cuando Q está en la línea AD. Por lo tanto, el valor mínimo de AQ + QB es AD = √((1-2)² + (0-0)² + (-5-3)²) = √65.'

'En el cuboide ABCD-EFGH, demuestra que los puntos medios de los lados FB, BC, CD, DH, HE y EF están todos en el mismo plano.'

'Considere un triángulo ABC con tres vértices A, B, C en la curva K: y=1/x. Demuestra que el ortocentro H del triángulo ABC está en la curva K.'

'Encuentra el volumen de la parte en el espacio de coordenadas donde la distancia al eje x, eje y y eje z son todos menores o iguales a 1.'

'En el espacio de coordenadas, encuentra el volumen de la parte en la que la distancia al eje x, eje y y eje z son todos menores o iguales a 1.'

'En el espacio de coordenadas, encuentra el volumen de la región donde la distancia tanto al eje x como al eje y es menor o igual a 1.'

'Encuentre el área de la región en el plano z = t (-1 ≤ t ≤ 1) donde las distancias al eje x y al eje y son ambas menores o iguales a 1.'

'Dados las coordenadas polares del punto A como (10,0), y tomando a Q como cualquier punto en el círculo C con diámetro formado por el segmento de línea que conecta el polo O y el punto A. Trazar una perpendicular desde el polo O hasta la tangente del círculo C en el punto Q, siendo las coordenadas polares del punto P (r,θ), encontrar la ecuación polar de su trayectoria. Aquí, 0 ≤ θ < π.'

'Ejemplo 54: Ecuación de una Esfera (2)'

'Ejercicio 1: Demuestra que la suma 1/OP^2 + 1/OQ^2 es constante al trazar dos semirrectas perpendiculares desde el centro O de la elipse hasta los puntos de intersección P y Q.'

"Los puntos O, A', B' están en el plano xy, por lo tanto, la figura formada por la intersección de la superficie esférica S y el plano xy es un círculo que pasa por O, A', B'."

'Ecuación de una esfera - una esfera de radio r centrada en el punto (a, b, c) (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'Sea \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) un punto y \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) paralela a la recta \ \\ell \.\n(1) Encuentra las coordenadas del punto de intersección de la recta \ \\ell \ y el plano \ 2x-3y+z=0 \.\n(2) Encuentra la longitud del segmento cortado por la recta \ \\ell \ en la esfera \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\).'

"(2) Cuando t abarca todos los números reales, se denota como l la recta determinada por el punto (t+2, t+2, t) en el espacio xyz. Dado que la esfera S con centro en C(a, b, c) pasa por los puntos O(0,0,0), A'(2,1,0), B'(1,2,0) y comparte un punto con la recta l, encontrar las condiciones para a, b, c. [Universidad de Hokkaido]"

'En el espacio, el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia constante r de un punto fijo C se llama esfera con centro C y radio r.'

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'En el tetraedro $ABCD$, sean $G_A$, $G_B$, $G_C$, $G_D$ los centroides de los triángulos $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ respectivamente. Demuestra que los puntos donde los segmentos $AG_A$, $BG_B$, $CG_C$, $DG_D$ se dividen en la razón $3:1$ coinciden.'

'Hay cuatro puntos A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,4), D(0,0,2).'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la recta que pasa por los puntos A(3,1,-1) y B(-2,-3,2) con el plano xy, plano yz y plano zx.'

'(2) El plano ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0 toca una superficie esférica centrada en (3, 2, 1) con radio √5. Encuentra el valor de la constante a.'

'Dado que el centro es (1, -3, 2) y la esfera que pasa por el origen interseca con el plano z=k para formar un círculo con radio de √5. Encuentra el valor de k.'

'Aprendió sobre vectores en el plano, ahora está aprendiendo los conceptos básicos de vectores en el espacio y comprendiendo las ecuaciones de formas (líneas, esferas, etc.) en coordenadas espaciales.'

'Encuentra las coordenadas del centro y el radio del círculo formado por la intersección de una superficie esférica con centro (-1,5,3) y radio 4 con el plano x=1.'

'Encuentra la ecuación de la siguiente esfera.'

'Sea \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) los extremos de un diámetro de una superficie esférica \ S \ en el espacio de coordenadas. Cuando el punto \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) se mueve en la superficie \ S \, encuentre el valor máximo de \ 3x+4y+5z \. Además, determine las coordenadas de P en ese punto.'

'Para los puntos A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0), demuestra que: (1) El triángulo con vértices A, B, C es un triángulo equilátero. (2) Si los tres vértices de un tetraedro regular son A, B, C, encuentra las coordenadas del cuarto vértice D.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección entre la recta que pasa por los puntos A(2,4,0) y B(0,-5,6) y la esfera con centro en (0,2,0) y radio 2.'

'Dado que el centro de la esfera es (1, -2, 3a) y el radio es √13, cuando esta esfera interseca el plano xy, forma un círculo con un radio de 2. Encuentra el valor de a. También, determina las coordenadas del centro de este círculo.'

'(1) Encuentra las ecuaciones de las formas formadas por la intersección de una esfera con centro (-1,3,2) y radio 5 con el plano xy, el plano yz y el plano zx.'

'En el pentágono ABCDE regular con longitud de lado de 1, sea AB el vector b y AE el vector e.'

'En el plano complejo, si los puntos A y B representan respectivamente a -1+2i y 3+i, y si AB es un lado de un cuadrado, encuentra los números complejos que representan los vértices C y D del cuadrado ABCD.'

'Considera los 3 puntos O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2). Supongamos que el punto P(x,y,z) se mueve de tal manera que |PO|=|PA|=|PB|.'

'(2) La esfera con centro (1,-2,3a) y radio sqrt(13) se intersecta con el plano xy para formar un círculo de radio 2. Encuentra el valor de a. Además, encuentra las coordenadas del centro de este círculo.'

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'Para los puntos A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0): (1) Demostrar que el triángulo ABC es equilátero. (2) Si A, B y C son los tres vértices de un tetraedro regular, encuentra las coordenadas del cuarto vértice D.'

'Tomando a>0. Encuentra lo siguiente para la esfera que pasa por los puntos O(0,0,0), A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0): (1) Coordenadas del centro y radio (2) Ecuación de la intersección con el plano zx'

'Dado que una esfera con centro (2, -3, 4) y radio r interseca el plano XY para formar un círculo con un radio de 3. Determine el valor de r.'

'A continuación, considere un octaedro regular y una esfera tangente a todas sus caras, e imagine un corte transversal a través de un plano que contiene los puntos de contacto, como se muestra en el diagrama a la derecha [2]. Si el radio de la esfera es r, entonces el área del triángulo rectángulo en la parte de la malla es'

'Explica cómo encontrar la altura de una tetraedro.'

'Suponiendo la existencia de un cubo como se muestra en la figura derecha, el camino de A a D es una permutación de 3 hacia la derecha, 2 hacia arriba, y 1 hacia arriba,'

'Demuestra lo siguiente para el tetraedro ABCD:\n1. Sea M el punto medio de la arista AB.\n(A) La arista AB es perpendicular al plano CDM.\n(T) La arista AB es perpendicular a la arista CD.\n2. Sea P, Q, R, S los puntos medios de las aristas BC, AC, AD y BD respectivamente, entonces el cuadrilátero PQRS es un cuadrado.'

'Determina el número de caras f, aristas e y vértices v del politopo formado al cortar todos los vértices de un icosaedro regular con un plano que pasa por los puntos medios de cada arista.'

'Calcula el número mínimo de colores requeridos para un hexaedro regular.'

'Por favor, calcule la distancia más corta en el diagrama desplegado.'

'Demostración: A es el pie de la perpendicular del tetraedro.'

'Encuentra el número de caras f, aristas e, y vértices v del poliedro formado al cortar todas las esquinas mediante un plano que pase por los puntos medios de cada arista de un dodecaedro regular.'

'Por el teorema de la secante inversa, DA es una recta tangente al círculo que pasa por los puntos A, E, y F.'

'Considere el tetraedro ABCD en el espacio. Demuestre que existe una superficie esférica que pasa por los 4 vértices A, B, C, D.'

'Se quiere colorear cada cara de un cubo de manera que las caras vecinas tengan colores diferentes. Sin embargo, las rotaciones del cubo que resultan en el mismo color se consideran iguales.'