Geometría Plana - Similitud y Congruencia

'En el triángulo ABC, donde 43AB=6, AC=4, y cosB=3/4, responde a las siguientes preguntas: (1) Encuentra la longitud del lado BC. (2) Cuando el ángulo C es agudo, encuentra el área del triángulo ABC. (3) Para el triángulo ABC de (2), determina los radios de su circunferencia y círculo incrito.'

'Ilustre las regiones representadas por las siguientes desigualdades.'

'Denotando el radio del círculo inscrito como r, el radio del círculo circunscrito como R, y h=r/R. Además, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ.'

'Puntos de División Internos y Externos\nEncuentra las coordenadas de los puntos que dividen interna y externamente el segmento de línea AB en la proporción de m a n.\nPunto de división interno $\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\nPunto de división externo $\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

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'El cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo, ∠ABC=∠DAB, por lo tanto ∠ADC=∠BCD. Como CD es común, AD=BC. Los arcos de igual longitud tienen ángulos centrales iguales, entonces ∠ACD=∠BAC. Sea ∠ACD=∠BAC=θ(0<θ<α), entonces ∠ACB=π-(α+θ), ∠CAD=α-θ. En el triángulo ABC, por la ley de los senos, AB/sin{π-(α+θ)}=2*1, BC/sinθ=2*1. Por lo tanto, AB=2sin(α+θ), BC=2sinθ. Además, en el triángulo ACD, por la ley de los senos'

'Práctica (1) Cuando el triángulo PAB con los puntos A(0, -2), B(0, 6) y el punto P como vértices se mueve de manera que AP:BP=1:3, encuentra la trayectoria del punto P.'

'Comprender las coordenadas de los puntos de división internos y externos entre dos puntos.'

'Al reducir la Figura A a 1/4, se obtiene una figura similar, que al colocarse en (1) a (3) de la Figura A, resulta en la Figura B. Luego, al reducir la Figura B a 1/4, se obtiene una figura similar, que al colocarse nuevamente en (1) a (3) de la Figura A, resulta en una forma auto-similar. Aplica esta forma auto-similar al patrón del triángulo de Pascal.'

'Encuentra el ángulo agudo formado por las dos líneas y=5x(1) y y=\\frac{2}{3}x(2).'

'Convierte los siguientes ángulos de grados a radianes y de radianes a grados.'

'TR 132\nEncuentre el ángulo formado por las rectas 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) y \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nSuponiendo que el ángulo formado por las dos líneas es agudo.\nDeje que el ángulo formado por las líneas (1) y (2) con la dirección positiva del eje \ x \ se denote como \ \\alpha, \eta \'

'Encuentra la trayectoria de un punto P equidistante de los puntos A(-1,-2) y B(-3,2).'

'DAR un paso adelante'

'Usa la fórmula de adición para encontrar los valores de sin 75° y tan 15°. Dado que 75° no es un ángulo estándar en el transportador, no se puede calcular directamente utilizando las definiciones trigonométricas. Al expresar 75° en términos de la suma o diferencia de ángulos como 30°, 45°, 60°, etc., puedes utilizar la fórmula de adición para determinar las funciones trigonométricas de 75°.'

'¿Las siguientes dos rectas son paralelas o perpendiculares?'

'(1) La coordenada x de los puntos de intersección de las parábolas P₁ y P₂ se calcula mediante la ecuación x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, que se reduce a x² - (t+1)x + t = 0. Resolviendo esto, obtenemos (x-1)(x-t) = 0, que nos lleva a x=1, t. Cuando 0<t<1, S es el área de la región roja en el diagrama, dada por'

'Condición para que dos rectas sean perpendiculares\nPara las rectas y=m_{1} x+n_{1} y y=m_{2} x+n_{2}, las rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1.'

'Cuando se especifica el tamaño de un ángulo representado por un radio, se determina la posición del radio, pero a la inversa, aunque se determine la posición del radio, hay innumerables ángulos que puede representar, no solo uno. Esto se debe a que el radio regresa a su posición original después de una rotación completa.\\n\\nEl ángulo formado por el radio OP y la línea inicial OX se denota por $\\alpha$, entonces el ángulo representado por el radio OP es $\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$ es un número entero $) \\) \\( \\cdots,-300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$ que es el mismo para radios'

'El punto de división y el punto de división externo m, n son números positivos. Cuando un punto P en el segmento de recta AB satisface AP: PB = m: n, se dice que el punto P divide el segmento de recta AB en la proporción m: n, y el punto P se llama punto interno del segmento de recta AB. Además, cuando un punto Q en la extensión del segmento de recta AB satisface AQ: QB = m: n (m≠n), se dice que el punto Q divide el segmento de recta AB en la proporción m: n, y el punto Q se llama el punto externo del segmento de recta AB. Por lo general, se cumple lo siguiente:\nDivisión interna\nDivisión externa cuando m>n'

'Encuentra la trayectoria del punto P tal que la proporción de sus distancias desde los puntos O(0,0) y A(3,6) es 1:2.'

'Encuentra las coordenadas de los siguientes puntos.'

'Mi casa está más cerca de la casa del Sr. A.'

'Elija una capa de los puntos A a F en el punto Y que sea igual a la capa e en el punto X en la Figura 2, y proporcione el símbolo.'

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'El área sombreada del triángulo en la figura a la derecha (4) se denomina K. Suponiendo que el área del cuadrilátero ABCD es 1, el área del rectángulo BCQP también es 1, por lo que el área del rectángulo RPQS también es 1. El área del triángulo RPQ es 1/2. Además, los triángulos RBU y QSU son similares, con una proporción de similitud de RB:QS = 2:1, por lo tanto, RU:UQ = 2:1. Además, los triángulos PBT y QST son congruentes, por lo que se sabe que PT = TQ. Por lo tanto, K es 1/2 veces el área del triángulo RPQ, que es 1/6 veces, por lo que K = 1/2 * 1/6 = 1/12. Por lo tanto, el área del cuadrilátero ABCD es 12 veces K.'

'4 Figuras Planas - Proporciones de Lados y Áreas (1) Como se muestra en el diagrama a la derecha, marca el centro del círculo como O y une O con los puntos E, F, G y H en la circunferencia. Además, dado que el triángulo ABD es equilátero, los ángulos marcados con símbolos son de 60 grados, y los ángulos marcados con • son de 60 ÷ 2 = 30 grados. Por lo tanto, todos los triángulos rectángulos con ○ y son la mitad de los triángulos equiláteros. Por lo tanto, centrándose en el triángulo ODH, HD:OD = 1:2 y centrándose en el triángulo AOD, OD:AD = 1:2, por lo que si se toma la longitud de HD como 1, la longitud de OD es 1 × 2/1 = 2 y la longitud de AD es 2 × 2/1 = 4. Por lo tanto, AH:HD = (4-1):1 = 3:1.'

'Responda a las siguientes preguntas.'

'Problema sobre la medición de longitud y precisión (1) La escala divide 39 mm en 20 partes iguales y tiene la línea de graduación más fina dibujada en ella, por lo que el intervalo de una graduación es de 39 ÷ 20=1.95 (mm).'

'En la Figura 10, la distancia entre XY es de 65-30=35 (incrementos) según el micrómetro del ocular, y es de 50 incrementos según el micrómetro del objetivo. Un incremento en el micrómetro del objetivo es de 10 micrómetros, por lo que con 50 incrementos, se convierte en 10 x 50 = 500 micrómetros. Por lo tanto, la longitud visible para cada incremento en el micrómetro del ocular es de 500 ÷ 35 = 14.28..., que es igual a 14.3 micrómetros.'

'En cuanto a la parte subrayada en la línea 4, las oraciones de A a C describen cualquiera de los montes Rausudake, Iwakisan, o Choukaisan. Elija la combinación correcta de oración y montaña de las siguientes opciones y responda con el número correspondiente.'

'Al investigar esta tierra, se descubrió que la longitud de AC es de 15 metros, la longitud de BC es de 18 metros, y el tamaño del ángulo B es exactamente el doble del tamaño del ángulo C. En este caso, ¿a qué distancia está T de B?'

'Cuando se corta este sólido con un plano que pasa por los puntos P, Q y F, el plano interseca el borde AE en el punto R.'

'A continuación, traza una línea perpendicular a la línea que une el centro O y el punto B, pasando por el punto B. El punto donde se cruzan las dos líneas es el punto C. Como las longitudes de CA y CB siempre son iguales, se puede trazar un círculo con el punto C como centro y pasando por los puntos A y B. El arco de este círculo es el camino que siguió el extraterrestre Poan.'

'Considerando el mismo enfoque que en (2)(1), tenemos OI:ID=3:1, lo que significa que si se toma el área del triángulo HID como 1, entonces el área del triángulo HOI es 1 × 3/1 = 3. Por lo tanto, el área del cuadrilátero EFGH es 3 × 8 = 24. Además, el área del triángulo HOD es 1 + 3 = 4, por lo que el área del triángulo AOH es 4 × 3/1 = 12, y el área del triángulo AOD es 4 + 12 = 16. Por lo tanto, el área del cuadrilátero ABCD es 16 × 4 = 64, y la proporción de las áreas del cuadrilátero EFGH al cuadrilátero ABCD es 24:64 = 3:8.'

'(2) Si el triángulo CDB es congruente al triángulo FDE en la figura de arriba (3), encuentra la medida del ángulo FED.'

'El área del triángulo AFC es igual al área del triángulo AEC. Además, cuando se agregan ambos triángulos al triángulo ADC, las áreas del triángulo CDF y del triángulo AED también son iguales. Por lo tanto, el área del triángulo AED es de 3 × 1 ÷ 2 = 1.5 (cm^2), por lo que el área del triángulo CDF también es de 1.5 cm^2 y el área del cuadrado con CD como un lado es el doble del área del triángulo CDF, que es de 1.5 × 2 = 3 (cm^2).'

'En relación con dos micrómetros, elija una de las opciones para la visibilidad cuando la magnificación del objetivo aumenta de 10x a 40x, y proporcione el símbolo.'

'En el triángulo ABC, el ángulo B es recto y en el triángulo ACD, el ángulo C también es recto, y los ángulos marcados con puntos son iguales. El punto E es la intersección de las extensiones de los lados BC y AD. La longitud del lado AB es de 2 cm y la longitud del lado BC es de 1 cm. (2) ¿Cuál es la longitud de CE en cm?'

'(1) A medida que el valor de la distancia aumenta en la Figura 2, el valor de la iluminación disminuye. En otras palabras, a medida que la distancia entre la bombilla y el medidor de iluminación aumenta, la iluminación disminuye.'

'En la figura (2), Mark se mueve a lo largo de la circunferencia con X como centro inicialmente, mientras que Harry se mueve a lo largo de la circunferencia con Y como centro. En la figura (2), el triángulo OFX y el triángulo YOX son ambos triángulos que son la mitad de un triángulo equilátero, por lo que si establecemos XF=1, entonces OX=1×2=2, y XY=2×2=4. Por lo tanto, la proporción de los radios de las circunferencias en las que se mueven Mark y Harry es XF:YF=1:(4-1)=1:3. A continuación, el ángulo central de la parte en la que se mueve Mark es de 120 grados, y hay un total de 6 partes de este tipo. Además, el ángulo central de la parte en la que se mueve Harry es de 60 grados, y hay un total de 3 partes de este tipo. Por lo tanto, la proporción de las distancias que Mark y Harry recorren es {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, por lo que podemos determinar que la velocidad de Mark es 4/3=1 1/3 veces la velocidad de Harry.'

'En otro método de resolución, en la figura 4, los triángulos DBG y DCG son congruentes, siendo el ángulo BDG θ y el ángulo CDG φ, entonces θ + φ = 90 grados, por lo que la suma de 2θ y 2φ es 180 grados. Por lo tanto, el tamaño del ángulo ADB es de 2θ. Además, tomando el punto H en BD tal que AD = AH, los triángulos ATH y ATD son congruentes, lo que implica que el tamaño del ángulo AHT también es de 2θ. En consecuencia, a partir de los ángulos exteriores del triángulo ABH, encontramos que el tamaño del ángulo HAB es θ, como se muestra en la figura 5. En la figura 5, AC tiene una longitud de 15 metros, y las longitudes de DB y DC son iguales, haciendo que la longitud del segmento de línea negrita sea de 15 metros. Además, dado que AD = BH y DT = HT, la longitud de BT es la mitad de la longitud del segmento de línea negrita, que es 15 ÷ 2 = 7.5 metros. Cabe señalar que la longitud de BT es independiente de la longitud de BC.'

'(2) Como se muestra en la figura 3, al extender BA y PQ se intersectan en el punto M, donde MF y AE se intersectan en el punto R. En el triángulo MAQ y el triángulo MBP en la figura, AQ mide 4 cm (8-4) de longitud, y BP mide 6 cm (8-2) de longitud. Por lo tanto, la proporción de similitud es AQ:BP = 4:6 = 2:3. Por lo tanto, la longitud de MA se calcula como 6*2/3-2=12 cm. Además, los triángulos MRA y FRE también son similares, con una proporción de similitud de MA:FE = 12:9 = 4:3, lo que significa que AR:RE = 4:3.'

'Dado que el triángulo ADC y el triángulo CDB son similares, CD=cm, lo cual puede ser expresado como 1:=:3. Además, si P:Q=R:S, entonces Q × R=P × S, por lo tanto × =1 × 3=3. Por lo tanto, el área del cuadrado con CD como un lado también puede ser calculado como 3 cm^2.'

'Determina el valor de p para que los dos vectores m=(1, p) y n=(p+3, 4) sean paralelos.'

'Demostración: En el triángulo ABC, si los lados BC, CA y AB son divididos internamente por los puntos P, Q y R en la proporción m:n (m>0, n>0), y si 24R, entonces los centroides de los triángulos ABC y PQR coinciden.'

'Indique las condiciones para que el segmento de recta AB y CD sean paralelos, así como las condiciones para que sean perpendiculares, para diferentes puntos A(α), B(β), C(γ), D(δ).'

'Para el rango de existencia del punto P en el triángulo OAB en el plano, si OP = sOA + tOB, entonces el rango de existencia del punto P es el siguiente: (1) Línea AB si y solo si s + t = 1; en particular, segmento de línea AB si y solo si s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (2) El perímetro y el interior del triángulo OAB si y solo si 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (3) El perímetro y el interior del paralelogramo OACB si y solo si 0 ≤ s ≤ 1, y 0 ≤ t ≤ 1.'

'En el plano xy, considera los puntos \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) y sea \ \\mathrm{P} \ un punto cuyo producto de distancias desde estos puntos es un valor constante de \ 2 a^2 \. Denota la curva de punto \ \\mathrm{P} \ como \ C \. Se da que \ a>0 \.\n(1) Encuentra la ecuación de \ C \ en términos de las coordenadas cartesianas \\( (x, y) \\).\n(2) Encuentra la ecuación polar de \ C \ con el origen como polo y el eje x positivo como línea inicial, en coordenadas polares \\( (r, \\theta) \\).\n(3) Demuestra que la porción de \ C \ excluyendo el origen se encuentra en el rango combinado del primer y tercer cuadrante en el plano.'

'Convierte las coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, θ).'

'En un ejercicio de práctica, 3 puntos A, B, C se encuentran en un círculo con centro O y radio 1, de tal manera que (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. Sea el ángulo AOB α y el ángulo AOC β. Determine: (1) Demuestra que OB es perpendicular a OC. (2) Encuentra cosα y cosβ.'

'En un triángulo equilátero ABC con lado a, sea P₁ el pie de la perpendicular desde el vértice A hasta el lado BC. Sea Q₁ el pie de la perpendicular desde P₁ hasta el lado AB; R₁ el pie de la perpendicular desde Q₁ hasta el lado CA; y P₂ el pie de la perpendicular desde R₁ hasta el lado BC. Al repetir este proceso, los puntos P₁, P₂, ..., Pn, ... estarán ubicados en el lado BC. Determine la posición límite del punto Pn. El ángulo es básicamente 26°.'

'(4) Ortocentro (en el caso de un triángulo agudo \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) el punto de intersección de tres alturas \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nSean \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ los puntos de intersección de la línea \ \\mathrm{AH} \ con el lado \ \\mathrm{BC} \ y la línea \ \\mathrm{CH} \ con el lado \ \\mathrm{AB} \ respectivamente, entonces \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ nos da\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nDe igual manera, \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nPor lo tanto, de (*) obtenemos \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nAsí, de \\left( ** \\) tenemos que \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'Encuentra las ecuaciones polares del círculo y la recta siguientes en coordenadas polares. Suponga que a>0.'

'Sea s distinto de 0. Para 3 puntos distintos O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t), donde los puntos P, Q están en el mismo cuadrante y OP // OQ, sea α el ángulo entre la recta OP y la dirección positiva del eje x. Encuentra el valor de tan α.'

'Problema 107: Aplicaciones de la trigonometría\nPara medir la altura de un edificio, se midió el ángulo de elevación del punto P más alto del edificio desde un punto a 10 metros de distancia y a una altura de 1.5 metros, resultando en 65 grados.\nUtilizando la tabla trigonométrica al final del libro, responde las siguientes preguntas:\n(1) Determina la altura de este edificio. Redondea al metro más cercano.\n(2) Desde un punto a 15 metros de distancia del edificio, determina el ángulo de elevación al punto P, siguiendo el mismo procedimiento.'

'En el triángulo ABC, ∠C=90°, AB:AC=5:4. En la extensión del lado BC más allá del punto C, se toma CD=376. Sea E el punto medio del lado AB, y sea BF la perpendicular trazada desde el punto B a la recta AD. Responde a las siguientes preguntas: (1) Demuestra que EF=EC. (2) Encuentra la proporción de áreas del triángulo ABC al triángulo CEF.'

'Demuestra que en un triángulo no equilátero ABC, cuando O es el circuncentro, G es el baricentro y H es el ortocentro, G se encuentra en el segmento OH y OG:GH=1:2.'

'Usando la regla del seno y la regla del coseno: Encuentra los lados y ángulos del triángulo.'

'Ejemplo básico 131 Área de un triángulo'

'Ángulo de circunferencia: El tamaño del ángulo de circunferencia para un arco es constante, la mitad del tamaño del ángulo central para ese arco.'

'Hay una piscina circular en un parque cercano. Un día, decidimos mi amigo y yo medir el área de esta piscina, así que salimos con una cinta métrica y tiza. Marcamos los puntos A, B y C en tres lugares en el borde de la piscina. Cuando medimos las distancias horizontales AB, BC, CA, fueron 9m, 6m, 12m respectivamente. 1. Encuentra el seno, coseno y tangente del ángulo ABC. 2. Encuentra el área de esta piscina.'

'Sea θ un ángulo agudo. Cuando uno de sin θ, cos θ, tan θ toma un valor específico, encuentra los valores de los otros 2 cocientes trigonométricos en cada caso.'

'En el triángulo ABC, donde AB = 3, AC = 2 y ∠BAC = 60°, sea D el punto de intersección entre el bisector del ángulo ∠A y BC. Encuentra la longitud del segmento AD.'

'Matemáticas I'

'La demostración es la siguiente: Conecta EP, FQ, EF y el bisector perpendicular de EF. Sea O el centro del círculo. Conecta OE, OF, las extensiones de AD y las extensiones de BC se intersecan en P. Conecta OF, la extensión de ED se intersecta en Q. Por el corolario del ejemplo 1, EF biseca ∠BOF y ∠EOQ, y ∠EOF=∠EOQ. Además, el triángulo EOF es congruente al triángulo POQ (por lado-ángulo-lado), por lo que EP^2 + FQ^2 = EO^2 + OF^2 = EF^2.'

'Demuestra que en el triángulo ABC, cuando los tamaños de los ángulos A, B, C se representan respectivamente por A, B, C, la ecuación cos((A+B)/2) = sin(C/2) es verdadera.'

'Teorema de Ceva\nCuando una línea que conecta los 3 vértices A, B, y C del triángulo ABC o puntos en o extendidos desde los lados BC, CA, AB interseca con los lados o sus extensiones, y los puntos de intersección son P, Q, R, entonces\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'En el triángulo ABC, pecado A: pecado B: pecado C=5:7:8. Por lo tanto, coseno C es (llenar el espacio en blanco). Además, si la longitud del lado BC es 1, el área del triángulo ABC es (llenar el espacio en blanco).'

'365'

'Relación entre lados y ángulos de un triángulo\nTeorema\n14\n1. En un triángulo\n 1. En un triángulo, el ángulo opuesto al lado más grande es mayor que el ángulo opuesto al lado más pequeño.\n 2. En un triángulo, el lado opuesto al ángulo más grande es más largo que el lado opuesto al ángulo más pequeño.\nEs decir, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"Cuando los círculos O y O' con radios 5 y 8 respectivamente son tangentes externamente en el punto A, y la línea tangente externa común de estos dos círculos interseca los círculos O y O' en los puntos B y C, respectivamente, dejando que la intersección de BA extendida y el círculo O' sea D. Demostrar: (1) AB es perpendicular a AC. (2) Demostrar que los puntos C, O', D son colineales. (3) Encontrar la proporción de AB:AC:BC."

'En el triángulo ABC, sea R el radio de la circunferencia circunscrita. Si A=30°, B=105°, a=5, encuentra los valores de R y c.'

'Número de rectángulos (incluyendo cuadrados) formados por la intersección de 7 líneas x=k(k=0,1,2,⋯6) y 5 líneas y=l(l=0,1,2,3,4) en el plano de coordenadas. Además, número de rectángulos con un área de 4.'

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'Ejemplo básico 70 Relación de áreas del centroide y triángulo'

'Ley de los cosenos'

'Ejemplo 124 Máximo ángulo de un triángulo En el triángulo ABC, encuentre la medida del ángulo más grande de este triángulo bajo las siguientes condiciones. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

'Usando la regla del seno, encuentra las longitudes de los otros lados del triángulo siguiente: A es de 45° y la longitud del lado opuesto a es 2.'

'(1) En \ \\triangle \\mathrm{ABC} \, encuentra lo siguiente.\n3106\n(A) Cuando \ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \, encuentra \ a \.\n(1) Cuando \ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \, encuentra \ b, c \.\n(2) En \ \\triangle \\mathrm{ABC} \, si \ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \, encuentra si \ C \ es un ángulo agudo, recto u obtuso.'

'Hay un origami en forma de triángulo equilátero ABC con un lado de 10 cm. Se toman los puntos D en el lado AB y E en el lado AC de manera que el segmento DE sea paralelo al lado BC. Al doblar el papel a lo largo del segmento DE, se define S como el área de la superposición entre el triángulo ADE y el cuadrilátero BCED. El valor máximo de S ocurre cuando la longitud del segmento DE es x cm, y en ese punto, S = y cm².'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'(2) En el triángulo ABC, donde AB=4, BC=3 y CA=2, permita que D y E sean los puntos donde el ángulo A y sus bisectrices del ángulo exterior intersectan la recta BC. Determine la longitud del segmento DE.'

'Dentro del ángulo agudo PR XOY, se dan 2 puntos A y B como se muestra en la figura de la derecha. En las semirrectas 480 X y OY, se toman los puntos P y Q respectivamente para minimizar AP + PQ + QB, ¿dónde se deben colocar P y Q respectivamente?'

'En el triángulo ABC de la derecha, G es el baricentro del triángulo ABC, y el segmento GD es paralelo al lado BC. Encuentra la proporción de áreas de los triángulos DBC y ABC.'

'Longitud del bisector de un ángulo en un triángulo'

'En el triángulo ABC, por el teorema del coseno\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { Por lo tanto }\n\\end{array}\n\\]\n'

'A partir de las condiciones dadas, al determinar los otros tres elementos de un triángulo, los métodos para usar los teoremas basados en las condiciones son los siguientes: 1. 1 lado y sus ángulos adyacentes (obtener b, c, A a partir de las condiciones de a, B, C) A = 180° - (B + C); Teorema del seno: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 lados y el ángulo incluido (obtener a, B, C a partir de las condiciones de b, c, A) Teorema del coseno a² = b² + c² - 2bc cosA para encontrar a; Teorema del coseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A+B); 3. 3 lados (obtener A, B, C a partir de las condiciones de a, b, c) Teorema del coseno cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) para encontrar A; Teorema del coseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A + B).'

'En el triángulo ABC, cuando sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encuentra la medida del ángulo más grande en este triángulo.'

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'Demuestra lo siguiente en un triángulo ABC con ángulo agudo (AB > AC) con la bisectriz del ángulo A AD, la mediana AM, la perpendicular AH:'

'Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Si AB=8, BC=3, BD=7, y AD=5, encuentra la longitud de A y el lado CD. Además, encuentra el área S del cuadrilátero ABCD.'

'En el triángulo ABC, si C es 45 grados, b es raíz de 3, y c es raíz de 2, encontrar A, B y a.'

'(3) Dado que $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$, tenemos que $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$, por lo tanto $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$. Además, $\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$, entonces $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$, por lo tanto $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$. Por lo tanto, $\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$.'

'El cuadrilátero ABCD está circunscrito al círculo O. Sean P, Q, R, S los puntos de intersección de los lados AB, BC, CD, DA con el círculo O respectivamente, y sean a, b, c, d las longitudes de los segmentos de línea AP, BQ, CR, DS. Cuando ninguna de las tres líneas AC, PQ, RS son paralelas entre sí:\n(1) Sea X el punto de intersección de AC y PQ, demuestra que AX: XC = a: c.\n(2) Sea Y el punto de intersección de AC y RS, demuestra que AY: YC = AX: XC.'

'Describa las propiedades del triángulo A: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'

'En un triángulo isósceles, los dos ángulos de la base son iguales. Además, el bisector del ángulo del vértice de un triángulo isósceles biseca la base perpendicularmente. Usando esta información, resuelve el siguiente problema: En el triángulo isósceles ABC, si el ángulo del vértice ∠A = 100 grados, ¿cuál es la medida del ángulo de la base ∠B?'

'En el triángulo ABC, un punto O dentro del triángulo está conectado a los tres vértices, intersecando con los lados BC, CA y AB en los puntos D, E, F, y la extensión de FE pasa por el punto E para intersecar con la extensión del lado BC en el punto G.'

'Problema 381. Comparación del perímetro de un triángulo'

'En el triángulo ABC, cada lado es tangente a un círculo en los puntos P, Q, R como se muestra en la figura de abajo. Encuentra las longitudes de los segmentos AQ y BC.'

'Ejemplo básico 133: Longitud del bisector del ángulo en un triángulo (2)'

'Inversa del Teorema de Ceva'

'En el triángulo ABC, si el punto P divide el lado BC en la razón m:n, el punto Q divide el lado CA en la razón l:m, y el punto R divide el lado AB en la razón n:l, entonces las líneas AP, BQ y CR se intersectan en un punto. Demuestra esto usando la versión inversa del teorema de Ceva.'

'Demuestra que la siguiente igualdad se cumple en el triángulo ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'En el triángulo ABC, sea D el punto donde la bisectriz del ángulo B intersecta el lado AC. Encuentre la longitud del segmento BD.'

'Puntos clave para resolver problemas de ángulos'

'Ejemplo básico 68 Uso del circuncentro y ortocentro\nSea H el ortocentro del triángulo acutángulo ABC, O el circuncentro, y OM la línea perpendicular de O al lado BC. Además, tome el punto K en el círculo circunscrito al triángulo ABC de modo que el segmento CK se convierta en un diámetro del círculo. Demuestra lo siguiente:\n1. BK = 2OM\n2. El cuadrilátero AKBH es un paralelogramo\n3. AH = 2OM'

'Cuadrilátero inscrito en un círculo'

'Usando la inversa del teorema de Ceva, demuestre que las tres medianas de un triángulo se intersecan en un punto.'

'Demuestra la inversa del teorema básico 90 de figuras'

"Matemáticas A\nse refiere a la situación en la que los 4 puntos A', P, Q, B' están alineados. Por lo tanto, al encontrar el punto A simétrico al punto A' con respecto a la semirrecta OX, y el punto B simétrico al punto B' con respecto a la semirrecta OY, obtenemos el punto de intersección P de la línea A'B' y la semirrecta OX, y el punto de intersección Q de la línea A'B' y la semirrecta OY."

'En el triángulo ABC, con AB=8, BC=3, CA=6, sea D el punto donde la bisectriz del ángulo A interseca la línea BC. Encuentra la longitud del segmento CD.'

'En un triángulo acutángulo ABC, sean BD y CE las alturas trazadas desde los vértices B y C hacia sus respectivos lados opuestos. Si BC=a, exprese el ángulo A en función de los ángulos. Puede utilizar la propiedad de que si en un segmento de línea PQ el ángulo PRQ=90°, el punto R se encuentra en el círculo con PQ como diámetro.'

'PRACTICE 6° AC=BC, AB=6 En el triángulo ABC isósceles rectángulo donde AC=BC y AB=6, se crean dos rectángulos con alturas iguales como se muestra en la figura a la derecha. Encuentra el valor máximo de la suma de las áreas de los dos rectángulos cuando se hacen máximos.'

'Demuestra que en el triángulo agudo ABC, con ortocentro H y circuncentro O, punto medio del lado BC como M, y punto medio del segmento AH como N, la longitud del segmento MN es igual al radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, usando el hecho de que AH=2OM.'

'En el diagrama, si AR:RB=3:4 y BP=PC, encuentra AQ:QC.'

'Dada la recta AB de longitud a y dos segmentos de recta de longitudes b y c, traza un segmento de recta de longitud \ \\frac{a c}{b} \.'

'¿Cuándo aplicar el teorema del seno y el teorema del coseno? Tanto el teorema del seno como el teorema del coseno se pueden usar para encontrar longitudes de lados y tamaños de ángulos, y a veces puede ser confuso cuál usar. ¿Hay un método para determinarlo?'

'Encuentra la longitud del segmento de línea BF.'

'Demuestra que cuando la longitud de la diagonal AC del cuadrilátero ABCD es menor que cualquiera de sus lados, la longitud de la diagonal BD es mayor que cualquiera de sus lados.'

'En el punto H en el suelo nivelado PR, un poste se encuentra perpendicular al suelo. Al ver la parte superior del poste desde los puntos A y B, los ángulos de elevación son de 30 grados y 60 grados respectivamente. Además, en el levantamiento del suelo, se sabe que la distancia entre A y B es de 20 metros, y ∠AHB=60 grados. Determine la altura del poste. Suponga que no se considera la altura de los ojos.'

'Capítulo 4: Geometría y Medición EX En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, donde DA = 2AB y ∠BAD = 120°, y E es la intersección de las diagonales BD y AC, E divide el segmento BD en 3:4.\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ? AB.\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB.\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : potencia : 2.\n(4) Si el radio del círculo es 1, entonces AB = ?, y el área del cuadrilátero ABCD es S = ?.'

'En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AB=2, BC=1, CD=3 y cos∠BCD=-1/6. Encontrar la longitud de AD y el área del cuadrilátero ABCD.'

'Para el segmento de línea AB dado, trazar los siguientes puntos. (1) Punto E que divide el segmento de línea AB internamente en la proporción 3:2 (2) Punto F que divide el segmento de línea AB externamente en la proporción 3:1'

'En el triángulo ABC, donde AB=3, BC=4 y CA=6, sea D el punto donde el bisector del ángulo externo de A interseca la línea BC. Encuentra la longitud del segmento BD.'

'Encuentra las áreas del triángulo ABC y del paralelogramo ABCD en la figura dada.'

'Problema básico 122 Solución de triángulos (1) Para cada caso, encuentre las longitudes de los lados restantes y los ángulos del triángulo ABC. (1) a=√3, B=45°, C=15° (2) b=2, c=√3+1, A=30°'

'Regla del seno'

'Hanako y Taro decidieron trabajar juntos en el siguiente [problema] e intentar pensar usando software de dibujo gráfico.'

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'Demuestra que en el triángulo ABC, si los ángulos ∠A, ∠B, ∠C se denotan por A, B, C respectivamente, entonces la ecuación (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 es cierta.'

'(4) Encuentre el triángulo con el radio de la circunferencia circunscrita más pequeño.'

'El término pendiente se utiliza para describir la inclinación de las carreteras y ferrocarriles. Utilizando las razones trigonométricas, responda a las siguientes preguntas. (1) La pendiente de una carretera a menudo se expresa en porcentajes (%). El porcentaje indica cuántos metros aumenta la elevación al moverse 100 metros horizontalmente. En una carretera específica, hay un letrero que indica un 23%. ¿Cuál es el ángulo aproximado de la pendiente de esta carretera? (2) La pendiente de un ferrocarril a menudo se expresa en partes por mil (‰). El ‰ indica cuántos metros aumenta la elevación al moverse 1000 metros horizontalmente. En una línea de ferrocarril específica, hay un letrero que indica un 18‰. ¿Cuál es el ángulo aproximado de la pendiente de esta línea de ferrocarril?'

'Relación entre los lados y ángulos de un triángulo'

'En \ \\triangle ABC \, donde \ \\angle C=90^\\circ \ y \ AB:AC=5:4 \, se construye un punto \ D \ en la extensión del lado \ BC \ de manera que \ CA=CD \. Sea \ E \ el punto medio del lado \ AB \, y sea \ BF \ la perpendicular desde el punto \ B \ a la recta \ AD \. Responde a las siguientes preguntas: ［Universidad de Miyazaki］\n(1) Demuestra que \ EF=EC \.\n(2) Encuentra la proporción de las áreas de \ \\triangle ABC \ y \ \\triangle CEF \.'

'De (5) BC = 9, BD: DC = 4: 5, obtenemos BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. Por lo tanto, BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2) Por la ley de cosenos'

'En el triángulo ABC, muestra la relación entre a², b² y c² en función del rango del ángulo A.'

'Por favor explique los significados de los siguientes términos: ángulos correspondientes, ángulos verticales, ángulos agudos, ángulos obtusos, ángulos interiores, ángulos exteriores, congruentes, similares, bisectriz perpendicular, bisectriz de ángulos, triángulo acutángulo, triángulo rectángulo, triángulo obtusángulo, cuerda, arco, ángulo central, ángulo inscrito, tangente a un círculo, lado opuesto, diagonal, paralelogramo.'

'Demuestra que el triángulo ABC es similar al triángulo AEF.'

'En el triángulo ABC, con BC=5, CA=3, AB=7. Si D y E son los puntos donde el ángulo A y su bisectriz del ángulo exterior intersecan la recta BC, se debe encontrar la longitud del segmento DE.'

'Por favor, utiliza las propiedades y definiciones del circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro para responder a los siguientes problemas de triángulos.'

'Solución alternativa (igual hasta el paso 11)\n (1) De \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ de manera similar\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n Por lo tanto, \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} por lo tanto \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'Converso del Teorema de Menelao'

'Dado un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, donde AB=8, BC=3, BD=7 y AD=5, encuentra la longitud de CD. Además, calcula el área S del cuadrilátero ABCD.'

'Ejemplo Básico 1142 Ángulos Formados por Líneas\n(1) Encuentra el ángulo α formado por la recta y=-1/√3x y la dirección positiva del eje x, y el ángulo β formado por la recta y=1/√3x y la dirección positiva del eje x. También, encuentra el ángulo agudo formado por las dos rectas. Supón que 0° < α < 180°, 0° < β < 180°.\n(2) Encuentra el ángulo agudo θ formado por las dos rectas y=-√3x y y=x+1.'

'En el triángulo ABC isósceles rectángulo, donde AC = BC y AB = 6, se construyen dos rectángulos con longitudes verticales iguales como se muestra en el diagrama a la derecha. ¿Cuál es el valor máximo de la suma de las áreas de los dos rectángulos cuando se construyen para obtener la suma máxima?\nSegún las condiciones dadas, AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nComo se muestra en el diagrama, sea D, E, F, G los puntos, y sea x la longitud vertical de los rectángulos:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nAdemás, dado que 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, lo que implica 0 < x < 3√2 / 2\n\nSea y la suma de las áreas de los dos rectángulos:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nEn (1), y alcanza su valor máximo de 6 en x = √2.'

'Usando el teorema de Menelao en el triángulo ABC y la recta DF'

'Condición de similitud de triángulos: Dos triángulos son similares si se cumple una de las siguientes condiciones. [1] La proporción de los tres lados es igual. [2] Dos pares de lados son proporcionales y los ángulos incluidos son iguales. [3] Dos pares de ángulos son iguales.'

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'Demuestra que en el triángulo ABC, si M es el punto medio del lado BC y los bisectores de ∠AMB y ∠AMC intersectan los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente, entonces DE // BC.'

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'Sobre un rombo con una suma de longitudes de diagonales de 10 cm:\n(1) Encuentra el área máxima.\n(2) Encuentra el perímetro mínimo.'

'Teorema 2: En el triángulo ABC con AB ≠ AC, la intersección del bisector del ángulo exterior de ∠A y la prolongación del lado BC divide el lado BC en la proporción de AB: AC.'

'En el triángulo ABC, sea D el punto medio del lado AB, E el punto medio del segmento CD, y F el punto de intersección de AE y BC. Encuentra la proporción de AE a EF.'

'Resuelve el siguiente problema sobre un triángulo.'

'¡Domina el uso de los diagramas de Venn y conquista el ejemplo 49!'

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'El cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo, con AB=4, BC=2, y DA=DC.'

'Ejemplo 378\nEn el triángulo ABC con AB=10, BC=5, CA=6, permita que ∠A y sus bisectores de ángulo externos se intersequen con el lado BC o su extensión en los puntos D y E. Encuentre la longitud del segmento DE.'

'¡Domina la Ley del Seno y conquista el Ejemplo 126!'

'Encuentra cosA usando la regla del coseno, y luego calcula el área y la altura del triángulo utilizando el resultado.'

'¿Qué distancia recorriste horizontalmente al caminar 80 metros en una pendiente con una inclinación de 8° desde la horizontal? Además, ¿a cuántos metros descendiste verticalmente?'

'Cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, podemos usar la regla del coseno.'

'Dado un triángulo equilátero ABC con longitud de lado 1. Se toma un punto P en el arco BC que no incluye el vértice A, de manera que PA=a, PB=b, PC=c (b>c). Calculemos el valor de a²+b²+c². Dado que ∠APB=∠APC=α grados, se puede aplicar la regla del coseno en el triángulo ABP.'

'Desde dos puntos A y B, que están a 1 km de distancia en el mar, ambos puntos ven la misma cima de la montaña C. Desde el punto A, el ángulo de elevación hacia el este es de 30 grados, mientras que desde el punto B, el ángulo hacia el noreste es de 45 grados. Encuentra la altura CD de la montaña. Supón que el punto D está directamente debajo de C, y los puntos A, B, D están en el mismo plano horizontal. Además, supón que sqrt(6)=2.45.'

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'Si 90° < A < 180°, en el diagrama a la derecha, el segmento BD es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. En este caso, \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ lo que significa que \ \\angle BDC = 180° - A \, por lo tanto \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, por lo tanto \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'Existen tres casos para la relación de posición entre la recta `ℓ` y el plano `α`.'

'Determinar la forma de un triángulo a partir de la igualdad de lados y ángulos'

'El punto H es el incentro del triángulo DEF porque es la intersección de los bisectores de los ángulos DFE y FDE.'

'Por favor, explique las propiedades de los bisectores de ángulos y las razones en un triángulo.'

'En el triángulo ABC, si a²cosA sinB=b²cosB sinA se cumple, ¿cómo es la forma del triángulo ABC?'

'En el triángulo ABC, si se cumple que a²cosA sinB = b²cosB sinA, ¿qué forma tiene el triángulo ABC?'

'Sea O el circuncentro del triángulo acutángulo ABC. Si la bisectriz del ángulo BAO intersecta el círculo circunscrito del triángulo ABC en el punto D, demuestra que AB es paralelo a OD.'

'Dibuje una perpendicular desde el punto D hasta el lado AB, llamemos a la intersección H, entonces AH=BH=\\frac{1}{2}. Por lo tanto, usando (2), \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. Enfoquémonos en el triángulo DAH.\n\nHaciendo referencia a esto, dibuje una perpendicular desde el vértice A hasta el lado BC, llamemos a la intersección E, entonces BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nPor lo tanto, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. El bisector del ángulo de un triángulo isósceles biseca la base perpendicularmente.'

'Hay dos círculos tangentes en el punto P. Como se muestra en la figura a la derecha, dos líneas que pasan por el punto P intersecan el círculo exterior en los puntos A y B, y el círculo interior en los puntos C y D. Demuestra que AB es paralelo a CD.'

'En el diagrama de la derecha, L, M, N son los puntos de tangencia de los lados de △ABC con el círculo inscrito, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Sea r el radio del círculo inscrito, exprese las longitudes de AC y BC como r. (2) Encuentre el valor de r.'

'En el triángulo ABC, cuando b=2√6, c=3√2+√6, y A=60°, encuentra la longitud del lado restante y el tamaño del otro ángulo.'

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'En el trapezoide ABCD, donde AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3. Sea E la intersección de la recta que pasa por D paralela a AB y el lado BC, y sea ∠DEC=θ. Encuentra los siguientes valores.'

'Capítulo 7: Aplicaciones a Triángulos\n135\nEn el triángulo ABC, donde AB = 7, BC = 4√2, y ∠ABC = 45°, con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC denotado como O.\n(1) CA = $es un cuadrado, y el radio del círculo circunscrito O es$.\n(2) En el arco BC del círculo circunscrito O, excluyendo el punto A, se toma un punto D tal que CD = √10. En este caso, dado que ∠ADC = $, y AD = x, entonces x = √.'

'En el triángulo ABC, dejemos que el punto D divida el lado AB en la proporción 3:2, y el punto E divida el lado AC en la proporción 4:3. Siendo P la intersección de BE y CD, y F la intersección de la línea AF y BC. Encontrar la proporción BF:FC.'

'Dado que L, M, N son los puntos de tangencia de los lados del triángulo ABC con el incírculo, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Expresa las longitudes de AC y BC en términos de r, el radio del incírculo. (2) Encuentra el valor de r.'

'Desde los puntos A y B, se observaron los puntos C y D en el lado opuesto del canal como se muestra en el mapa de la derecha. Se asume que los puntos A, B, C y D están a la misma altura.\n(1) Encuentra las longitudes de BD y BC (metros).\n(2) Encuentra la longitud de CD (metros).\n\nLas respuestas pueden permanecer en forma de raíz cuadrada.\n& 〜GUÍA Utiliza el teorema del seno y el teorema del coseno para encontrar triángulos aplicables.\n(1) En el triángulo ABD, se conoce un lado y dos ángulos, lo que permite el uso del teorema del seno.\n(2) En el triángulo BDC, se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, lo que permite el uso del teorema del coseno.'

'Ejemplo 123: Triángulo rectángulo y valores trigonométricos'

'Demuestre que en el triángulo ABC, si ∠B > ∠C, entonces b > c.'

'Capítulo 3 Propiedades de las figuras\nAdemás, en ∆AFE y ∆ABC\n∠A es común, ∠AFE=∠ABC\nPor lo tanto, dado que dos conjuntos de ángulos son iguales, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nPor lo tanto, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) De (1), sea el área del cuadrilátero AFGE T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nPor lo tanto, de (1) y (2), ∆ABC/T=12S/4S=3\nPor lo tanto 3 veces'

'En la figura de la derecha, calcula los valores del seno, coseno y tangente del ángulo θ.'

'Usando el triángulo rectángulo ABC a la derecha, encontrar los valores del seno, coseno y tangente de 15 grados.'

'En la figura de la derecha, el punto I es el incentro del triángulo ABC. Calcula lo siguiente: (1) α (2) CI:ID'

'(1) Dado α=90°, AB=2, BC=3, encuentra los tamaños de los tres ángulos de △ABC.\n(2) Dado α=70°, β=γ, encuentra las longitudes de los tres lados de △ABC.'

'En la figura dada, encuentra el valor de α. Aquí, (1) establece que BC = DC y (3) menciona que el punto O es el centro del círculo.'

'Expresar en función de las razones trigonométricas de ángulos agudos'

'Teorema 1: La intersección del bisector interno del ángulo A del triángulo ABC con el lado BC divide el lado BC en la proporción de AB:AC.'

'Sea el cuadrilátero ABCD inscrito en el círculo O, donde AB=2, BC=3, CD=1, y ∠ABC=60°. Encuentra:\n(1) La longitud del segmento AC\n(2) La longitud del lado AD\n(3) El radio R del círculo O'

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"En matemáticas, prueba lo siguiente: En el diagrama anterior, la línea AB toca los círculos O y O' en los puntos A y B respectivamente. Si los radios son r y r' (r < r'), y la distancia entre los centros de los dos círculos es d, entonces prueba que AB es igual a sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."

'El área de un triángulo se puede calcular como la mitad de la base multiplicada por la altura. Expresemos esta fórmula utilizando trigonometría.'

'Hay una pendiente recta con una longitud de 125 metros. Al subir esta pendiente, la altura aumenta en 21.7 metros. ¿Cuál es el ángulo de inclinación aproximado de esta pendiente? Además, ¿cuál es la distancia horizontal de esta pendiente en metros? Considera usar razones trigonométricas.'

'Radio y área del círculo inscrito en un triángulo'

'Responda a la siguiente pregunta. Encuentre los otros elementos del triángulo cuando a=√3+1, A=75°, C=60° o cuando a=√3-1, A=15°, C=120°.'

'(2) Cuando el centróide y el incentro del triángulo ABC coinciden, llamemos a ese punto O. Dado que O es el centróide, OB=OC. Por lo tanto, ∠OBC=∠OCB. Además, el punto O también es el incentro del triángulo ABC.\n\n[\nComenzando el sistema de ecuaciones\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\nTerminando el sistema de ecuaciones\n\\]\n\nDe manera similar, se puede deducir que\ncentroide\n\ncentroide\n\\angle A=\\angle C\n\nPor lo tanto, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nAsí, el triángulo ABC es un triángulo equilátero.'

'Desde el borde del techo de un edificio de 20m de altura, mirando hacia abajo en un punto específico, el ángulo formado con el plano horizontal es de 32°. Encuentra la distancia entre ese punto y el edificio. Además, encuentra la distancia entre ese punto y el borde del techo del edificio. Redondea a dos decimales.'

'Utiliza el teorema de los ángulos en un círculo para derivar los ángulos interiores de cada triángulo, y utiliza la ley de los cosenos y la ley de los senos.'

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'En el triángulo ABC, donde AB=4, BC=5 y CA=6, sea D y E los puntos donde el ángulo A y su bisectriz del ángulo exterior se intersecan con la línea BC. Encuentra la longitud del segmento DE.'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'En el triángulo ABC, AB=AC=1, ∠ABC=72°. Se toma el punto D en el lado AC de manera que ∠ABD=∠CBD.\n(1) Encuentra la medida de ∠BDC.\n(2) Encuentra la longitud del lado BC.\n(3) Encuentra el valor de cos 36°.'

'En el triángulo ABC, los puntos D y E son los puntos medios de los lados BC y AC, respectivamente. Además, supongamos que AD y BE se intersectan en F, el punto medio del segmento AF es G, y la intersección de CG y BE es H. (1) Si BE=6, encuentra las longitudes de los segmentos FE y FH. (2) Encuentra la proporción de las áreas del triángulo EHC al triángulo ABC.'

'■ Incentro ...... Punto de intersección de los biseactrices de los ángulos internos de un triángulo\nBisectrices de ángulos\nEl punto P está en el biesectriz del ∠ ABC P está en la biesectriz de dos líneas ⇔ Está a igual distancia de BA y BC - En otras palabras, el biesectriz de ∠ ABC es un conjunto de puntos equidistantes de las dos líneas BA y BC.'

"Dadas dos circunferencias O y O' tangentes externamente en el punto A. Si la tangente a la circunferencia O' en el punto B interseca la circunferencia O en dos puntos C y D como se muestra en el diagrama, probar que AB biseca el ángulo exterior de ∠CAD."

'En la figura de la derecha, suponga que ambas hipotenusas tienen una longitud de 1. Encuentre las longitudes de los lados restantes y llene los espacios en blanco. Luego, verifique los valores del seno, coseno y tangente para 30, 45, 60 grados.'

'Encontrar la longitud del lado restante con 2 lados y 1 diagonal dados'

'En △ABC, con el radio de la circunferencia circunscrita siendo R, encuentra lo siguiente: (1) Cuando a=10, A=30°, B=45°, encuentra C, b, R. (2) Cuando b=3, B=60°, C=75°, encuentra A, a, R. (3) Cuando c=2, R=√2, encuentra C.'

'En △ABC, donde el radio de la circunferencia circunscrita es R, encuentre lo siguiente.'

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'En el triángulo ABC, sea D el punto que divide el lado BC en la relación 3:2, y sea E el punto que divide el lado AB en la relación 4:1. Sea P la intersección de los segmentos de línea AD y CE, y sea F la intersección de la línea BF y el lado CA.'

'Teorema del Cuadrilátero Cíclico\nEl tamaño del ángulo cíclico correspondiente a un arco es constante, siendo la mitad del ángulo central correspondiente a dicho arco. En otras palabras, en la figura de la derecha, $\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ En particular, cuando $\\mathrm{AB}$ es un diámetro, $\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\nConverso del Teorema del Cuadrilátero Cíclico\nPara 4 puntos $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$, si los puntos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ yacen en el mismo lado de la recta $\\mathrm{AB}$\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nentonces los 4 puntos $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ están en el mismo círculo.'

'Capítulo 6 Razones trigonométricas - 115 TR 121'

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"Hay tres triángulos rectángulos similares ABC y A'B'C'. Dado que las proporciones de los lados correspondientes son iguales, se cumplen las siguientes tres ecuaciones con respecto a las proporciones. Vamos a considerar estas tres proporciones: (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'Capítulo 3 Propiedades de Figuras Geométricas - 195\n(2) El punto E es el punto medio del lado AC, por lo tanto, el triángulo ABC = 2 triángulo EBC\nAdemás, dado que BF:FE = 2:1, BE:FE = 3:1\n\n\triángulo EBC = 3 triángulo EFC\\]\nAdemás, FH:HE = 2:1, por lo tanto, FE:HE = 3:1, por lo tanto, el triángulo EFC = 3 triángulo EHC\nPor lo tanto\n\\[\egin{aligned}\ntriángulo ABC & = 2 triángulo EBC = 2 \\cdot 3 triángulo EFC \\\\\n& = 6 triángulo EFC = 6 \\cdot 3 triángulo EHC \\\\\n& = 18 triángulo EHC\n\\end{aligned}\\nConsecuentemente triángulo EHC: triángulo ABC = 1:18\n— debido a tener una altura común\n\ triángulo ABC: triángulo EBC = AC:EC \\n\ triángulo EBC: triángulo EFC = BE:FE \\n\ triángulo EFC: triángulo EHC = FE:HE \'

'En el diagrama de la derecha, sea ∠A = α, ∠B = β. Encuentra los valores del seno, coseno y tangente de α y β.'

'(1) Como se muestra en la figura, para un pentágono regular y puntos A, B, H, cuando ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, y θ = 1/2 × 72° = 36°, usando el resultado de la pregunta anterior, la longitud de un lado es\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, redondeando a AB = 11.8. La longitud de la perpendicular es OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, redondeando a OH = 8.1.'

'En el triángulo ABC, encuentra lo siguiente. Donde el área del triángulo ABC se denota como S. 76 (1) Cuando A=120°, c=8, S=14√3, encuentra a, b (2) Cuando b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5, encuentra sinA, a (3) Cuando a=13, b=14, c=15, y la longitud de la línea perpendicular desde el vértice A hasta el lado BC se denota como h, encuentra S, h'

'Demuestra que cuando tres líneas diferentes x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 se intersecan en un punto, los tres puntos (1,1), (4,5), (a,b) están en la misma línea.'

'Encuentra la trayectoria del punto P tal que la proporción de sus distancias desde los puntos A(0,0) y B(5,0) sea 2:3.'

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'Encuentra el valor de a cuando el triángulo ABC es un triángulo isósceles.'

'(1) Dado que las pendientes de las dos líneas son iguales, las dos líneas son paralelas.\n(2) De y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3, podemos determinar que las pendientes de las dos líneas son 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1, por lo tanto, las dos líneas son perpendiculares.'

'¿Qué es un radián?'

'Encuentra el lugar geométrico del punto P que cumple con las siguientes condiciones: (1) La suma de los cuadrados de las distancias de los puntos A(-4,0) y B(4,0) al punto P es 36. (2) La razón de las distancias de los puntos A(0,0) y B(9,0) al punto P es PA:PB=2:1. (3) El punto P varía de tal manera que el triángulo PAB con los puntos A(3,0) y B(-1,0) como vértices satisface PA:PB=3:1.'

'Cuando el punto P está en la recta x+y=5, encuentra las coordenadas del punto P que minimizan la longitud de la línea quebrada AP + PB que conecta los puntos A(2,5) y B(9,0).'

"Las coordenadas del punto de intersección de dos líneas dadas por las ecuaciones (1) ax + by + c = 0 y (2) a'x + b'y + c' = 0 se obtienen como las soluciones de las ecuaciones simultáneas (1) y (2)"

'Cuando el punto P satisface la condición AP:BP = 2:3 y el segmento de línea AB conecta A(0,0) y B(5,0), encuentre el lugar geométrico del punto P.'

'Para la forma A_{n+1}, enfóquese en la columna más a la derecha. Al colocar una baldosa horizontalmente en la esquina inferior derecha, se obtienen tres posibles configuraciones como se muestra en la Figura 3, donde la parte restante coincide con A_{n}, y dos posibles configuraciones como se muestra en la Figura 4, donde la parte restante coincide con B_{n}.'

'Encuentra el ángulo formado por 2 rectas (1) Encuentra el ángulo θ (0<θ<π/2) formado por las rectas y=3x+1 e y=1/2x+2. (2) Encuentra la pendiente de la recta que forma un ángulo con y=2x-1 de π/4.'

'En (2) 0 <α <π/2, el radio que representa el ángulo α es igual al radio que representa 6α. Encuentre la magnitud del ángulo α.'

'Dados tres puntos A(6,1), B(2,3), y C(a,b), encuentra los valores de a y b cuando el triángulo ABC es equilátero.'

'Demostrar que el centroide del triángulo DEF coincide con el centroide del triángulo ABC cuando se toman los puntos D, E y F en los lados BC, CA y AB del triángulo ABC respectivamente, de manera que BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37. [Universidad de Kinki]'

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'Puntos simétricos en una línea'

'Demuestra que en el triángulo ABC, los puntos P y Q dividen el lado BC en tres partes iguales, de manera que BP=PQ=QC. Demuestra que se cumple la siguiente relación: $$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'En el triángulo ABC, con AB=15, BC=18, AC=12, encuentre el punto de intersección D del bisector del ángulo A y el lado BC. Determine las longitudes de los segmentos BD y AD.'

'Explique la Regla del Seno y la Regla del Coseno, y resuelva un problema de ejemplo.'

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'Por la Regla del Seno y la Regla del Coseno'

'Por favor explique la relación de los ángulos correspondientes cuando dos líneas son paralelas.'

'Cuando c=√6, encuentra los ángulos del triángulo. Los resultados obtenidos usando la ley del coseno son A=75°, C=60°.'

'Al trazar la perpendicular OI desde el vértice O hasta el triángulo DEG, descubrimos que I es el centro del círculo circunscrito del triángulo DEG. Dado que GI es el radio del círculo circunscrito del triángulo DEG, por la ley de los senos, tenemos GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Por lo tanto, OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. Por favor, realiza los siguientes cálculos.'

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'Práctica En el punto A, que está a la misma altitud que una torre determinada, se midió que el ángulo de elevación hasta la parte superior de la torre era de 30 grados. Además, en el punto A, a una distancia de 114m, hay un punto B donde el ángulo KAB es de 75 grados y el ángulo KBA es de 60 grados. En este momento, la distancia entre A y K es de x metros, y la altura de la torre es de y metros.'

'En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AD // BC, AB=3, BC=5, y ∠ABC=60 grados, encontrar lo siguiente:\n(1) La longitud de AC\n(2) La longitud de CD\n(3) La longitud de AD\n(4) El área del cuadrilátero ABCD'

'Según el teorema del seno, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, por lo tanto \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, así que \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'En el triángulo ABC, cuando a=√2, b=2, y A=30°, encuentre c, B y C. Similar al ejemplo básico 154, cuando se dan dos lados y un ángulo de un triángulo, este no puede determinarse de forma única. Primero, formule una ecuación para c usando la regla del coseno. Dado que c tendrá dos posibles valores, encuentre B y C para cada caso. Consulte la discusión en la página derecha para una solución alternativa usando la regla del seno.'

'En el triángulo △ABC, sea M el punto medio del lado BC.'

'Teorema del seno\nEn \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ , si el radio del círculo circunscrito es \ R \ , entonces\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'En el segmento de línea AB de longitud 6, se toman dos puntos C y D de tal manera que AC=BD. Se da que 0<AC<3. Encuentra el valor mínimo de la suma S de las áreas de tres círculos con diámetros AC, CD y DB, y la longitud del segmento AC en ese momento.'

'Desde un lugar en el mar hasta un faro situado en la cima de un acantilado con una altura de 30 metros, el ángulo cenital es de 60 grados, y desde el mismo lugar hasta el ángulo cenital de la parte inferior del faro es de 30 grados, encontrar la altura del acantilado.'

'El área del triángulo ABC es 12√6, y la razón de sus longitudes de lado es AB:BC:CA=5:6:7. En este caso, ¿cuál es el valor de sin∠ABC, denotado como , y cuál es el radio del círculo inscrito del triángulo ABC, denotado como ?'

'Como se muestra en la figura, observando los puntos P y Q en la orilla opuesta del río desde los puntos A y B separados por 100 metros, se obtuvieron los siguientes valores: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°. Responda las siguientes preguntas en este caso.'

'Los vértices B, E, G están todos en la superficie de la esfera S, y BG es el diámetro de la esfera S, por lo que el triángulo EBG es un triángulo rectángulo con ∠BEG = 90°. Comenzando desde EG = 1, realiza los siguientes cálculos.'

'En el triángulo ABC, si ∠A = 60 grados, AB = 7, AC = 5, entonces sea D el punto donde la bisectriz de ∠A interseca el lado BC. Encuentra la longitud de AD.'

'Desde un lugar en la superficie del mar hasta la cima de un faro de 30 metros de altura, el ángulo de elevación a la punta es de 60 grados, y el ángulo de elevación a la parte inferior del faro es de 30 grados. Encuentra la altura del acantilado.'

'Por favor, menciona tres condiciones para la congruencia de triángulos.'

'Determinar las condiciones para que exista el triángulo.'

'En el triángulo ABC, ¿qué tipo de triángulo es cuando se cumplen las siguientes ecuaciones?'

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'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} o c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'Una persona con una altura de 1.5 metros de pie en terreno llano quería saber la altura de un árbol. El ángulo de elevación desde el punto A hasta la parte superior del árbol era de 30°, y el ángulo de elevación desde el punto B, que estaba a 10 metros más cerca del árbol, era de 45°. Calcula la altura del árbol.'

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'Razón de la distancia entre el Sol y la Luna'

'En el triángulo ABC, cuando a=1+√3, b=2, C=60°, encuentra:\n(1) La longitud del lado AB\n(2) La medida del ∠B\n(3) El área de △ABC\n(4) El radio del circuncírculo\n(5) El radio del incírculo'

'En la antigua Grecia, el estudio de la trigonometría avanzó junto con la astronomía. El astrónomo griego Aristarco utilizó la siguiente relación para buscar la proporción aproximada de distancia entre el Sol y la Luna.'

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'Considere un triángulo escaleno ABC, con el lado más largo siendo BC y el lado más corto siendo AB, donde AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c). Sea S el área del triángulo ABC.'

'Traduce la pregunta dada a varios idiomas.'

'Regla del seno y regla del coseno'

'Cuando m>0, n>0, el punto P se encuentra en el segmento AB, y AP: PB=m: n, se dice que el punto P divide internamente el segmento AB en la proporción m: n [Para más detalles, consulte Matemáticas A]. Tomemos AB=k, representando la longitud del otro lado como k. Utilice la similitud de los triángulos formados por las diagonales de un cuadrilátero inscrito.'

'En el triángulo ABC, sea S el área. Encuentra lo siguiente. Se asume que el triángulo (2) no es un triángulo obtuso.'

'Sean las áreas de los triángulos AID, BEF y CGH respectivamente T1, T2 y T3. En este caso, ¿cuál de las siguientes opciones encaja en lugar de S?'

'En el triángulo ABC, siendo R el radio del círculo circunscrito. Cuando A=30°, B=105°, a=5, encuentra los valores de R y c.'

'Demuestra las siguientes ecuaciones en el triángulo ABC'

'En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo con DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD= la raíz cuadrada de 3 veces AB, AE= AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:raíz cuadrada de 3:2, (4) Si el radio del círculo es 1, entonces AB= raíz cuadrada de 3 y el área del cuadrilátero ABCD es S=3.'

'Como se muestra en la figura de la derecha, dibuje los cuadrados ADEB, BFGC y CHIA con los lados AB, BC y CA como un lado de cada cuadrado, y luego conecte los puntos E y F, G y H, I y D.'

'Calcule la pendiente de esta línea de ferrocarril. La pendiente de la línea de ferrocarril es del 18%, y al moverse 1000m horizontalmente, la elevación aumenta en 18m. Calcule el ángulo de la pendiente θ utilizando trigonometría.'

'ángulo entre dos líneas'

'Pregunta básica 124 Ángulo máximo de un triángulo'

'Por favor, explique la diferencia entre la regla del seno y la regla del coseno.'

'Dado \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\, podemos encontrar que \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\. En la circunferencia de radio 1, los puntos donde la coordenada \y\ es \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ son \\\mathrm{P}\ y \\\mathrm{Q}\. Por lo tanto, el \\\theta\ deseado corresponde a \\\angle \\mathrm{AOP}\ y \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'

'Figuras y Medición\n157\nEX 394\n(1) Utilizando el diagrama de la derecha, encuentra el valor de \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) Utilizando el diagrama de la derecha, encuentra los valores de \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \ y \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nPista: Para encontrar las razones trigonométricas de ángulos especiales, puedes crear un triángulo rectángulo que incluya ese ángulo.'

'Problema 218 Ejemplo Básico 136 Radio del Circuncírculo e Incírculo de un Triángulo\nEn △ABC, donde AB=6, BC=7, CA=5, encontrar el radio R del circuncírculo y el radio r del incírculo.'

'En el triángulo ABD, según el teorema del seno, BD/sin120° = 2 × 1, por lo tanto BD = 2 sin120° = √3. Por otro lado, BD = √7 × AB, por lo tanto √7AB = √3, así que AB = √3/√7 = √21/7. Por lo tanto, S = triángulo ABD + triángulo CBD = 1/2 × k × 2k sin120° + 1/2 × 3k × 2k sin(180°-120°) = √3/2 × k² + 3√3/2 ×k² = 2√3 k² = 2√3 AB² = 2√3 (√3/√7)² = 7√3/7, el radio del círculo circunscrito R = 1, el ángulo BCD = 180°-ángulo BAD = 180°-120° = 60°, y la suma de las diagonales del cuadrilátero inscrito es 180°.'

'Conceptos básicos de la trigonometría'

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'Matemáticas I'

'Demuestra que la igualdad cos (A+B)/2 = sin (C/2) es válida cuando los tamaños de los ángulos A, B y C del triángulo ABC se representan como A, B y C respectivamente.'

'¿Cuál se aplica, la ley del seno o la ley del coseno?'

'En el triángulo ABC, sea R el radio de la circunferencia circunscrita. Si A=30°, B=105°, y a=5, encuentra los valores de R y c.'

'En el triángulo ABC con AB=6, BC=4, CA=5, sea D el punto donde el bisector del ángulo B intersecta el lado AC. Encuentra la longitud del segmento BD.'

'En el triángulo ABC, donde AB = 3, AC = 2, y ∠BAC = 60°, sea D el punto de intersección entre el bisector del ángulo A y BC. Encuentra la longitud del segmento AD.'

'Problema de medición 126 (Plano) (1) (1) (0) Desde dos puntos A y B separados por 100 metros, se tomaron mediciones para identificar dos puntos P y Q en la orilla opuesta de un río, con valores obtenidos como se muestra en la figura. (1) Encuentra la distancia entre A y P. (2) Encuentra la distancia entre P y Q. Conceptos básicos 107, 120, 121 Las distancias y dirección (segmentos y ángulos) se pueden considerar como lados y ángulos de triángulos. Considera en cuál triángulo del diagrama enfocarte, y piensa cuándo aplicar la regla del seno o del coseno.'

'En el triángulo ABC, si sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7, encuentra la proporción de cos A: cos B: cos C.'

'Ejemplo básico 133 Longitud del bisector del ángulo en un triángulo (2)'

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'Ejemplo Básico 106 Triángulo Rectángulo y Razones Trigonométricas\nEn el triángulo ABC mostrado en la figura, encuentre lo siguiente:\n(1) Los valores de sinθ, cosθ, tanθ\n(2) Las longitudes de los segmentos AD y CD'

'(2) En el triángulo ABC, por la ley del coseno'

'Se tomaron mediciones desde los puntos A y B, que están separados por 50 metros, hasta los puntos P y Q en la orilla opuesta del río, dando como resultado los valores mostrados en el diagrama. Calcule la distancia entre los puntos P y Q.'

'En el triángulo ABC, si se cumple que 7/sin A=5/sin B=3/sin C, encuentra la medida del ángulo más grande en el triángulo ABC.'

'Longitud del bisector del ángulo en un triángulo'

'En un triángulo isósceles ABC donde el ángulo A es de 36 grados y BC = 1, la intersección del bisector del ángulo C y el lado AB se llama D.\n(1) Encuentra las longitudes de los segmentos DB y AC.\n(2) Encuentra las longitudes de los segmentos DB y AC nuevamente. Usando el resultado del punto (1), determina el valor del coseno de 36 grados.\n[Fuente: Universidad de Kobe Gakuin]\nBásico 106'

'Problema Ejemplo 140 Área Mínima de un Triángulo\nSe tiene un triángulo equilátero ABC con lado de longitud 2. Se colocan los puntos D en el lado AB y E en el lado CA de forma que AD=CE. Sea S el área del cuadrilátero DBCE.\n(1) Encuentra la longitud mínima del segmento DE y la longitud del segmento AD en ese punto.\n(2) Encuentra el valor mínimo de S y la longitud del segmento AD en ese punto.\nDados los datos básicos 66, 121, 131'

'Tomamos el punto E en el lado BC de tal manera que AB // DE, entonces el cuadrilátero ABED es un paralelogramo.'

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'Usa la ley del seno para encontrar el ángulo más grande del triángulo ABC. Las condiciones dadas son las siguientes: sen A : sen B : sen C = 5 : 16 : 19.'

"La palabra utilizada para describir la pendiente de las carreteras y ferrocarriles es gradiente. Usando la 'tabla de razones trigonométricas', responda la siguiente pregunta. (1) La pendiente de una carretera se expresa a menudo en porcentaje (%). El porcentaje representa cuántos metros aumenta la elevación cuando se recorren 100 metros horizontalmente. En una carretera en particular, hay un letrero que indica un 23%. ¿Aproximadamente cuántos grados tiene la pendiente de esta carretera?"

'(1) En el triángulo ABC, si la bisectriz del ángulo A interseca el lado BC en el punto D, demuestra que BD:DC = AB:AC.'

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'Encuentra las longitudes de los lados restantes y los tamaños de los ángulos del \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ en cada uno de los siguientes casos: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'

'(2) En el triángulo ABC, con BC = 6, CA = 5 y AB = 7, sea D el punto de intersección del bisector del ángulo ∠A y el lado BC. Usando (1), encuentra la longitud del segmento AD.'

'Sea D el punto que divide el lado AB del △ABC en la proporción 1:2 internamente, E el punto que divide el lado AC en la proporción 2:1 internamente, y F el punto que divide el lado BC en la proporción t:(1-t). Aquí, t es un número real que satisface 0<t<1.'

'En el tetraedro ABCD, sea P, Q, R, S los puntos que dividen internamente los bordes AB, CB, CD, AD en la proporción t:(1-t) [0<t<1].'

'En el plano de coordenadas TR, cuando los extremos A y B de un segmento AB de longitud 6 se mueven a lo largo del eje y y el eje x respectivamente, se debe determinar la trayectoria del punto P que divide el segmento AB en una proporción de 3:1.'

'Explique las siguientes curvas:\n(1) Elipse $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ desplazada de forma paralela al eje $x$ por 2 unidades y al eje $y$ por -3 unidades; centro en el punto (2, -3); focos en los puntos (2+√5, -3), (2-√5, -3)\n(2) Hipérbola $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{25}=1$ desplazada de forma paralela al eje $x$ por -2 unidades y al eje $y$ por -3 unidades; vértices en los puntos (0, -3), (-4, -3); focos en los puntos (√29-2, -3), (-√29-2, -3); asíntotas en las líneas $5x+2y+16=0$, $5x-2y+4=0$\n(3) Parábola $y^{2}=4x$ desplazada de forma paralela al eje $x$ por -2 unidades y al eje $y$ por 1 unidad; vértice en el punto (-2, 1), foco en el punto (-1, 1); directriz es la línea $x=-3"'

'Coordenadas polares y ecuaciones polares'

'(4) En el plano de coordenadas, sea la curva representada por la ecuación polar $r=2 \\cos \\theta$ denominada como $C$ y los puntos en $C$ con coordenadas polares $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right)$ y $(2,0)$ sean denominados como $\\mathrm{A}$ y $\\mathrm{B}$, respectivamente. Además, sea $\\ell$ la recta que pasa por $\\mathrm{A}$ y $\\mathrm{B}$, y sea $D$ el círculo centrado en $A$ con radio igual a la longitud del segmento $\\mathrm{AB }$.\n(1) Encuentra la ecuación polar de la recta $\\ell$.\n(2) Encuentra la ecuación polar del círculo $D$.'

'Demuestra que los puntos medios de las diagonales AG y BH del paralelogramo ABCD-EFGH coinciden.'

'Trayectoria de puntos con una razón constante de distancias desde un punto y una recta'

'En el triángulo OAB, el punto D divide internamente el lado AB en la proporción 2:1, el punto E es la imagen del punto D bajo simetría sobre la línea OA, y el punto F es la intersección de la perpendicular desde el punto B a la línea OA. Sea el vector OA como a y el vector OB como b de manera que |a|=4 y a⋅b=6.'

'Un círculo con el punto medio del lado BC como centro y pasando por el punto A.'

'(2) Demuestra que \\\overrightarrow{\\mathrm{GU}}\ es perpendicular al plano QTV.'

'Práctica de matemáticas C 108 El punto Q se encuentra en la circunferencia de un círculo con diámetro OP, por lo tanto, ∠OQP=π/2 y PQ=1. Por lo tanto, △OPQ=1/2 OQ·PQ=1/2 OQ, lo que implica que solo necesitamos considerar la longitud máxima del segmento OQ. Sin embargo, el punto Q se encuentra en una elipse con el eje mayor en el eje y, y la longitud del segmento OQ disminuye monótonamente con respecto a s, donde 0 ≤ a ≤ s. Por lo tanto, cuando a=0, es decir, el punto P se encuentra en el eje y, la longitud del segmento OQ es máxima.'

'Intenta demostrar las siguientes propiedades de la figura utilizando el plano de números complejos.\nPara el cuadrilátero ABCD\n(1) AB·CD+AD·BC≥AC·BD se cumple.\n(2) La igualdad se cumple en (1) cuando el cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo.'

'(1) Encuentra el ángulo θ formado por los dos planos α y β. Nota que 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'Usando el plano complejo, demuestra los siguientes teoremas: (1) En el triángulo ABC, sean D y E los puntos medios de los lados AB y AC, respectivamente. Entonces, BC // DE y BC=2DE (Teorema de los puntos medios). (2) En el triángulo ABC, sea M el punto medio del lado BC. Entonces, se cumple la ecuación AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) (Teorema de la mediana).'

'En el espacio, hay cuatro puntos O, A, B, C que no están en el mismo plano. Sea s y t números reales que satisfacen 0<s<1,0<t<1. Punto A0 que divide el segmento de línea OA en una proporción de 1:1, punto B0 que divide el segmento de línea OB en una proporción de 1:2, punto P que divide el segmento de línea AC en una proporción de s:(1-s), y punto Q que divide el segmento de línea BC en una proporción de t:(1-t). Además, asumamos que los cuatro puntos A0, B0, P, Q están en el mismo plano. (1) Expresión de t en función de s. (2) Dado que |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60°, y ∠POQ=90°, encuentre el valor de s.'

'Ejemplo 36 Longitud mínima de una línea quebrada (espacio)\nEn el espacio de coordenadas, considerar los puntos A(1,0,2), B(0,1,1).\n(1) Cuando el punto P se mueve en el plano xy, encontrar el valor mínimo de AP+PB.\n(2) Cuando el punto Q se mueve en el eje x, encontrar el valor mínimo de AQ+QB.'

'En el paralelogramo ABCD, el punto E divide el lado AB en la proporción 3:2, el punto F divide el lado BC en la proporción 1:2, y el punto medio del lado CD es M. Sea P la intersección de los segmentos CE y FM, y Q la intersección de la línea AP y la diagonal BD. Si el vector AB se representa como a y el vector AD como b, expresa los vectores (1) AP y (2) AQ en términos de a y b.'

'Ejemplo 23 Relación posicional del centroide, circuncentro y ortocentro de un triángulo\nSea G el centroide del triángulo ABC y E el circuncentro, demuestra lo siguiente:\n[Universidad de Yamanashi]\n1. Vector GA + Vector GB + Vector GC = Vector 0\n2. Vector EA + Vector EB + Vector EC = Vector EH, sea H el ortocentro del triángulo ABC.\n3. Los tres puntos E, G y H son colineales y EG:GH = 1:2'

'Ejemplo 106 Dilataciones de Elipse y Círculo'

'Encuentra las coordenadas del punto R, que está equidistante de los puntos O(0,0,0), F(0,2,0), G(-1,1,2) y H(0,1,3).'

'Encuentra la ecuación polar de una recta con un ángulo α con la recta inicial.'

'Ejemplo 132: Utilizando la representación paramétrica para encontrar el área mínima del triángulo formado por la tangente de la elipse y los ejes de coordenadas'

'Demuestra las condiciones cuando el triángulo ABC es un triángulo isósceles con AB=BC.'

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'(3) La figura formada por el segmento de línea AP que pasa es la región negra en el dibujo de la derecha, incluyendo la línea de frontera. Aquí, G y H son los puntos de intersección de las dos líneas tangentes trazadas desde el punto A hasta el círculo K. cos ∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2, 0 < ∠AEH < π, por lo tanto ∠AEH = π / 3. Además, ∠AEH = ∠AEG, por lo tanto ∠GEH = 2/3π. Por lo tanto, el área S de la figura formada por el segmento de línea AP que pasa es S = 2 * △AEH + (área del círculo K) - (área del sector EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'

'Estas dos tangentes pasan por el punto P(x_{0}, y_{0})'

'La ecuación de la tangente en el punto P(x1, y1) es (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a), y x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. Cuando x=a, con y1 ≠ 0, obtenemos y = b^2(x1 - a)/(a y1). Cuando x=-a, con y1 ≠ 0, obtenemos y = -b^2(x1 + a)/(a y1). Por lo tanto, Q(a, b^2(x1 - a)/(a y11)), R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). Por lo tanto, el centro del círculo C1 con diámetro QR es (0, -b^2/y1), y si el radio es r, entonces r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). Por lo tanto, la ecuación del círculo C1 es x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'

'Dado que $\\mathrm{FP}: \\mathrm{PH}=e: 1$, entonces $\\mathrm{FP}^{2}=e^{2} \\mathrm{PH}^{2}$, por lo tanto'

'En el triángulo ABC, deja que el punto L divida el lado AB en la proporción 2:1 y deja que M sea el punto medio del lado AC. Deja que P sea la intersección de los segmentos CL y BM, y deja que N sea la intersección de la línea AP y el lado BC. Expresa el vector AP y AN en términos de los vectores AB y AC. Además, encuentra la proporción AP:AN.'

'Encuentra las coordenadas polares del punto Q.'

'Si el cuadrilátero ABDC es un paralelogramo, encuentra los valores de a, b, c a partir del vector AB = CD.'

'Encuentra el ángulo agudo formado por las siguientes dos líneas.'

'(1) En el triángulo ABC donde AB=8, BC=7, y CA=5, sea I el incentro. Expresa el vector AI en términos de los vectores AB y AC.'

'El punto Q se mueve sobre la circunferencia con radio 5 centrada en el punto O, y el punto P se mueve sobre la circunferencia con radio 1 centrada en el punto Q. En el tiempo t, los ángulos que forman OQ y QP con la dirección positiva del eje x son respectivamente t y 15t. Si el ángulo que forma OP con la dirección positiva del eje x es ω, encontrar dω/dt.'

'En un tetraedro regular ABCD con longitud de borde 2, encuentra el producto punto del vector AB y el vector AC.'

'Encuentra la ecuación de la recta que biseca el área del triángulo ABC con vértices A(20,24), B(-4,-3), y C(10,4) y que pasa a través del punto P que divide el segmento BC en la proporción 2:5.'

'Punto de división interna y punto de división externa\nLas coordenadas del punto que divide el segmento de línea AB en la proporción m:n son\nDivisión interna ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nDivisión externa ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'

'En el plano de coordenadas, las parábolas C₁: y=-p(x-1)²+q y C₂: y=2x² son tangentes a la misma línea en el punto (t, 2t²). Aquí, p y q son números reales positivos, y t está en el rango 0 < t < 1.'

'Encuentra las coordenadas de un punto P que esté a la misma distancia de los puntos A(3,3), B(-4,4) y C(-1,5).'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra las coordenadas del punto P en el eje y equidistante de los puntos A(3,-4) y B(8,6).'

'¿Cuál es el significado del problema dado?'

'(2) En el triángulo ABC, sea D el punto que divide al lado BC en la proporción 1:3. Demuestra que la ecuación 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} se cumple.'

'Para un punto P(x, y) en el plano xy que no sea el origen O, vamos a dejar que el punto Q cumpla las siguientes condiciones: (A) Q se encuentra en la semirrecta OP con O como punto de inicio. (B) El producto de las longitudes de los segmentos de línea OP y OQ es 1. (1) Expresa las coordenadas de Q en términos de x e y. (2) Determina el lugar geométrico de Q a medida que el punto P se mueve alrededor del círculo con la ecuación (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2, excluyendo el origen. (3) Determina el lugar geométrico de Q a medida que el punto P se mueve alrededor del círculo con la ecuación (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'

'Encuentra las coordenadas de un punto P que esté equidistante de los puntos A(3,3), B(-4,4) y C(-1,5).'

'Dado tres puntos distintos A, B y C en la circunferencia de un círculo con centro O y radio 1 en el plano. Demuestra que el radio r del círculo inscrito en el triángulo ABC es menor o igual a 1/2.'

'En el plano xy de matemáticas, hay dos puntos P y Q en una semirrecta con el origen O como punto de partida, que satisfacen OP · OQ = 4. Cuando el punto P se mueve a lo largo de la curva (x-2)² + (y-3)² = 13, (x, y)≠(0,0) excluyendo el origen, encuentra la trayectoria del punto Q.'

'Encuentra la trayectoria de puntos que están en una proporción de distancia de 2:1 desde los puntos A(-4,0) y B(2,0).'

'Ilustra los radios de los siguientes ángulos. Además, identifica en qué cuadrante se encuentran.'

'El ángulo α es tal que 0<α<π/2 y el radio que representa a α coincide con el radio que representa a 6α. Encuentre la magnitud del ángulo α.'

'(5) Encuentra la ubicación de los puntos donde el ángulo subtendido en los puntos fijos A y B es un ángulo constante α.'

'En el triángulo ABC, sea la longitud de los lados BC, CA, y AB a, b, c respectivamente. Si el triángulo ABC está inscrito en un círculo de radio 1 y ∠A = π/3, encuentra el valor máximo de a + b + c.'

'Curva del seno que aparece en la forma formada al cortar un cilindro'

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'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Demuestra que en el triángulo ABC, donde los tamaños de los ángulos A y B son α y β respectivamente, y las longitudes de sus lados opuestos se denotan como a y b, la desigualdad b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 se cumple cuando 0 < α < β < π.'

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'Considera Matemáticas III\nAdemás, considera la curva cónica cuando el valor de 𝑡 es la solución. Demuestra que es una hipérbola o elipse, y encuentra las coordenadas de los focos.'

'Basado en la política de edición de gráficos, por favor resuelve el siguiente problema:\n2. Encuentra la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. (Usando el teorema de Pitágoras)\nProblema: Encuentra la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con longitudes de lado de 3 cm y 4 cm.'

'Traduce la pregunta dada a varios idiomas.'

'Expresa X, Y en términos de x, y y θ cuando el punto P(X, Y) se rota alrededor del origen O por un ángulo θ para obtener el punto Q(x, y).'

'En cuanto a las coordenadas polares, encuentra las ecuaciones polares del siguiente círculo y línea. Supón que a>0.'

'Sean las coordenadas polares de los puntos A, B, C, y D respectivamente (r₁, θ+π/6), (r₂, θ), (r₃, θ), y (r₄, θ+π/3). El triángulo ABC es un triángulo isósceles con AB=AC, y el triángulo DBC es un triángulo isósceles con DB=DC.'

'Para un triángulo $\\triangle ABC$ con longitud de lado 2 y $\\cos A=\\frac{7}{9}$, sea la longitud del lado $AB$ igual a $x(0<x<1)$ y el área de $\\triangle ABC$ sea $S$. [Similar a la Universidad de Educación de Aichi] (1) Expresa $S$ en función de $x$. (2) Encuentra el valor máximo de $S$. Además, determina las longitudes de los tres lados de $\\triangle ABC$.'

'Por favor, indique la condición para que los puntos A(α), B(β), C(γ), D(δ) sean tales que AB y CD sean perpendiculares.'

'En el trapecio isósceles ABCD con AD // BC, donde AB=2 cm, BC=4 cm, y ∠B=60°. Si ∠B se incrementa en 1°, ¿en cuánto aumentará el área S del trapecio ABCD? Suponga que π=3.14.'

'En coordenadas polares, encuentre la ecuación polar de la loci de puntos P donde la relación de distancia desde el polo O y la línea g es constante, pasando por el punto A(3, π) y perpendicular a la línea inicial.'

'A través del punto O, encuentre la ecuación polar de una línea que forma un ángulo con la línea inicial y α.'

'Condiciones para que un cuadrilátero esté inscrito en un círculo'

'En el plano complejo, sean tres puntos O(0), A(α), B(β) que formen un triángulo OAB, donde ∠AOB = π/6 y OA/OB = 1/√3. Entonces, se cumple α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'

'Dado que el triángulo ABC con vértices A(-1), B(1), C(√3i) forma un triángulo equilátero y el triángulo PQR con vértices P(α), Q(β), R(γ) forma un triángulo equilátero. Probar que la ecuación α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 es verdadera.'

'Determine el valor de a para que las líneas AB y AC sean perpendiculares.'

'Como se muestra en la derecha, cuando OP1=1, y P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2, ... continúan indefinidamente, ¿a qué punto se acercan infinitamente los puntos P1, P2, P3, ...?'

'En el triángulo OAB, se divide el lado AB en la razón 2:1 en el punto D, el punto E es el punto simétrico del punto D con respecto a la línea OA, y el punto F es la intersección de la perpendicular desde el punto B a la línea OA y la línea OA. Sea el vector OA=a, el vector OB=b, con |a|=4 y a∙b=6. (1) Expresar el vector OF usando el vector a. (2) Expresar el vector OE usando los vectores a y b.'

'En un plano, hay un triángulo OAB con OA=8, OB=7, AB=9 y un punto P, donde OP=sOA+tOB está expresado (s, t son números reales).'

'Demuestra que los puntos A, B y C satisfacen AB ⊥ AC.'

'Para el rango de existencia de puntos en el plano dentro del triángulo OAB, si \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \, entonces el rango para el punto P es'

'Cuando la longitud del segmento de línea AB es 8, el punto A se encuentra en el eje x y el punto B se mueve a lo largo del eje y, encontrar la trayectoria del punto P que divide el segmento de línea AB en una proporción de 3:5.'

'(2) En el hexágono regular ABCDEF, exprese el vector FB en función del vector AB y el vector AC.'

'Hay un pentágono regular con lado de longitud 1 en el plano, y sus vértices son secuencialmente A, B, C, D, E. Responde las siguientes preguntas:\n(1) Demuestra que el borde BC es paralelo al segmento de línea AD.\n(2) Sea F la intersección de los segmentos de línea AC y BD. Describe la forma del cuadrilátero AFDE y proporciona su nombre y razón.\n(3) Encuentra la proporción de las longitudes de los segmentos de línea AF y CF.\n(4) Si el vector AB=a y el vector BC=b, expresa el vector CD en términos de los vectores a y b.'

'Encuentra la distancia entre los puntos A y B cuando las coordenadas del punto A son (3, π/4) y las coordenadas del punto B son (4, 3π/4) en coordenadas polares.'

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'En un triángulo equilátero ABC con longitud lateral a, sea P1 el pie de la perpendicular desde el vértice A hasta el lado BC, Q1 el pie de la perpendicular desde P1 hasta el lado AB, R1 el pie de la perpendicular desde Q1 hasta el lado CA, y P2 el pie de la perpendicular desde R1 hasta el lado BC. Al repetir este procedimiento, se determinan los puntos P1, P2, ..., Pn en el lado BC. Encuentra el punto hacia el cual se acerca Pn.'

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'En el triángulo ABC, hay un punto P en el interior. Si Q es la intersección de AP y el lado BC, tal que BQ:QC=1:2, y 24AP:PQ=3:4. Demuestra que la ecuación 4PA+2PB+PC=0 es válida.'

'Supongamos que el perímetro del triángulo ABC es 36 y el radio del círculo inscrito en el triángulo ABC es 3. Encuentra el área del triángulo QBC cuando el punto Q satisface la condición 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'

'En el triángulo OAB, sea el punto que divide el lado AB en la proporción 2:1 D, sea el punto simétrico al punto D respecto a la línea OA E, y sea F la intersección de la perpendicular desde el punto B hasta la línea OA con la línea OA. Sea →OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6. (1) Expresa →OF en términos del vector a. (2) Expresa →OE en términos de los vectores a y b.'

'En el cuadrilátero ABCD con AD // BC y BC=2AD, demuestra (1) que los puntos P y Q están en la línea AB. (2) Muestra que los puntos P, Q y D son colineales.'

'El punto Q divide internamente el lado AC del triángulo ABC en la proporción 1:2, y el punto P divide al lado BC en la proporción m:n (m>0, n>0). Sea R el punto de intersección de los segmentos AP y BQ. Una línea que pase por el punto R interseca los lados AB y AC en los puntos D y E respectivamente. Además, sea vec{b}=→AB, y vec{c}=→AC.\n(1) Expresa el vector AR en términos de m, n, vec{b} y vec{c}.\n(2) Sea k=AB/AD+AC/AE. Muestra la relación entre m y n de manera que k sea constante independientemente de la posición del punto D en el segmento AB, y encuentra el valor de k en esa situación.'

'Demuestra que el incentro P(z) del triángulo OAB con vértices O(0), A(α) y B(β) cumple la ecuación z=|β|α+|α|β/|α|+|β|+||β-α|.'

'Pasa por el polo O y encuentra la ecuación polar de la recta que forma un ángulo α con la línea inicial.'

'Cuando el punto z se mueve en la siguiente figura, ¿qué tipo de figura dibuja el punto w representado por w=(-√3+i) z+1+i? (1) Un círculo con radio 1/2 centrado en -1+√3i (2) La bisectriz perpendicular del segmento de línea que conecta los 2 puntos 2,1+√3i'

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'En el cuadrilátero ABCD, donde AD // BC y BC = 2AD. Responde a las siguientes preguntas cuando los puntos P y Q satisfacen las condiciones.'

'Demuestra que el incentro del triángulo OAB con puntos diferentes O(0), A(α), B(β) como vértices es P(z), donde z satisface la ecuación z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α|).'

'En el triángulo OAB, sea C el punto que divide el lado OA en una proporción de 2:1, y sea D el punto que divide el segmento BC en una proporción de 1:2. Sea E el punto de intersección de la recta OD y el lado AB. Expresa los siguientes vectores en términos del vector OA y el vector OB.'

'En el paralelogramo ABCD, dejemos que E sea el punto que divide el lado AB en la proporción 3:2, F sea el punto que divide el lado BC en la proporción 1:2, y M sea el punto medio del lado CD. Sea P la intersección de la línea CE y la línea FM, y Q la intersección de la línea AP y la diagonal BD. Si el vector AB=a y el vector AD=b, expresa el vector (1) AP y (2) AQ en términos de a y b.'

'(4) Cuando el punto E y el punto F son iguales, dado que el punto E es el centroide del triángulo ABC, la línea AE pasa por el punto medio del lado BC. Además, según (2), AE es perpendicular a BC. Por lo tanto, la línea AE es el bisectriz perpendicular del lado BC. Por lo tanto, el triángulo ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. Por lo tanto, AB: AC = 1:1'

'(3) Dado que $\\ sqrt {3} \\ cos \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {3} {2}, \\ sqrt {3} \\ sin \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}$, las coordenadas del punto A son $\\ left (\\ frac {3} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} \\ right)$, por lo tanto, la pendiente de la línea OA es $\\ frac {1} {\\ sqrt {3}}$, por lo que la pendiente de la línea requerida es $- \\ sqrt {3}$. Por lo tanto, la ecuación es\n$[y- \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} = - \\ sqrt {3} \\ left (x- \\ frac {3} {2} \\ right)]$\no sea $\\ sqrt {3} x +y = 2 \\ sqrt {3}$\nSustituyendo $x = r \\ cos \\ theta, y = r \\ sin \\ theta$\n\n$[\\ sqrt {3} r \\ cos \\ theta + r \\ sin \\ theta = 2 \\ sqrt {3}]$'

'En el triángulo OAB, dejemos que el punto C divida el lado OA en la razón 2:3, y el punto D divida el lado OB en la razón 4:5. La intersección de los segmentos AD y BC es el punto P, y la intersección de la línea OP y el lado AB es el punto Q. Si \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\ y \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\, expresa \\\overrightarrow{OP}\ y \\\overrightarrow{OQ}\ en términos de \\\vec{a}\ y \\\vec{b}\. [Sim. Univ. Kinki]'

'Sea \ a>0 \. Considere la curva \ K \ representada por la ecuación polar \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (cardioide). Responda a las siguientes preguntas.'

'Cuando una línea que pasa por el centroide G del triángulo ABC intersecta los lados AB y AC en los puntos 25D y E respectivamente, donde D es diferente de los puntos A y B, y E es diferente de los puntos A y C, demuestra que DB/AD + EC/AE = 1.'

'(4) Para el plano PQR y el borde OD, se cumple lo siguiente. Cuando q=1/4, ¿cuál es el plano PQR? Cuando q=1/5, ¿cuál es el plano PQR? Cuando q=1/6, ¿cuál es el plano PQR?'

'(1) Demostración: En el tetraedro OABC, para t que satisface 0<t<1, sea K, L, M, N los puntos donde los bordes OB, OC, AB, AC son divididos internamente en una proporción de 43t:(1-t). Demostrar que el cuadrilátero KLNM es un paralelogramo.'

'Representación de componentes del producto escalar'

'Al resolver para y en (1), obtenemos y = ±(b/a)√(x² - a²), por lo tanto y = ±(b/a)x√(1 - a²/x²). A medida que x tiende a infinito, y tiende a ±(b/a)x. Lo mismo ocurre cuando x es negativo y su valor absoluto tiende a infinito. Por lo tanto, las dos líneas y = (b/a)x y y = -(b/a)x son las asíntotas de la hipérbola (1) (las líneas a las que una curva se acerca a medida que se acerca). Estas asíntotas también son las dos líneas representadas por (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0 con 1 en el lado derecho de (1) reemplazado por 0.'

'Encuentra la condición para demostrar que AB es paralelo a CD.'

'Similitudes y diferencias entre plano y espacio 2'

'Encuentra las condiciones para que el cuadrilátero PQSR sea un paralelogramo.'

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'Considere un triángulo equilátero ABC con longitud de lado 1 en el plano. Para un punto P, el vector v(P) está dado por v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'

'Los siguientes 4-7 son hechos básicos sobre una elipse.'

'(2) Si ∆ABC se denota como S,'

'En el plano complejo, dado A(0), B(β), C(γ), encuentre los números complejos que representan los puntos E y G.'

'Para los puntos A(1,2), B(2,3), C(-1,2), encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A y es perpendicular a BC. Encuentra el ángulo agudo α formado por las rectas x-2y+3=0 y 6x-2y-5=0.'

"A medida que k varía de 1 a 2, el segmento de recta A'B' se desplaza paralelamente desde el segmento AB hasta CD como se muestra en el diagrama."

'En el trapezoide ABCD mostrado a la derecha, donde AD=a y BC=b. Sea E un punto que divide AB en la razón m, y sea F la intersección de CD con la línea a través de E paralela a AD, entonces EF=(na+mb)/(m+n) se cumple.'

'¿Qué curva resultará de encoger o agrandar el círculo x^2 + y^2 = 4 de las siguientes maneras?\n(1) Encogiendo a la mitad a lo largo del eje y\n(2) Agrandando por un factor de 3 a lo largo del eje x'

'Sea O el centroide del triángulo ABC. Una recta l que pasa por el punto O pero no por el vértice A corta los lados AB y AC en los puntos P y Q respectivamente. Si S es el área del triángulo ABC y T es el área del triángulo APQ. Determine la ecuación de la recta l que minimiza T/S, y encuentre el valor mínimo de T/S.'

'(1) Círculo con radio 1 centrado en el punto que divide el segmento AB en una relación de 2:3\n(2) Círculo con diámetro AD, donde el punto D divide el lado BC en una relación de 3:2'

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'Dentro del triángulo rectángulo ABC0 con un ángulo interior de 90 grados, se están construyendo una serie infinita de cuadrados B0B1C1D1, B1C2D2, y así sucesivamente. Permita que la longitud de un lado del enésimo cuadrado Bn‑1BnCnDn sea an, y que su área sea Sn. Para cada número natural k mayor que 1, se cumple ak=ralpha(k-1), donde a0=1.'

'Demuestra que en el trapecio ABCD, AD // BC y AD: BC = 1:2.'

'En un triángulo equilátero OAB con un lado de longitud 1, se encuentran puntos P y Q en los lados OA y OB respectivamente. Cuando el área del triángulo OPQ es exactamente la mitad del área del triángulo OAB, encuentra el rango de valores posibles para la longitud de PQ.'

'Encuentra las coordenadas del punto Q, que divide el segmento de línea AB en la razón m:n.'

'En el hexágono regular $\\mathrm{ABCDEF}$, expresa $\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}$ en términos de $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ y $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$.'

'Pregunta 62\n(1) Determine los puntos D que dividen internamente el segmento de línea BC en la proporción 5:4, y los puntos E que dividen internamente el segmento de línea AD en la proporción 2:1.\n(2) Encuentra la proporción de V_{1} : V_{2}.'

'(1) Triángulo rectángulo isósceles con BA=BC\n(2) Triángulo equilátero\n(3) Triángulo rectángulo con ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'

'En el plano complejo, dejemos que los puntos que representan z1, z2, z3, z4, z5 se designen como A, B, C, D, E respectivamente. De los siguientes (0) a (5), los correctos son (E) y (G). (0) △ABC es un triángulo equilátero. (1) △BCD es un triángulo equilátero. (2) △OCE es un triángulo rectángulo. (3) △BCE es un triángulo rectángulo. (4) El cuadrilátero ABDC es un paralelogramo. (5) El cuadrilátero AOEC es un paralelogramo.'

'Demuestra los siguientes teoremas utilizando el plano complejo: (1) En el triángulo ABC, con los puntos medios de AB y AC como D y E respectivamente, se cumple que BC // DE y BC = 2DE (Teorema de los Puntos Medios). (2) En el triángulo ABC, cuando el punto medio de BC es M, se cumple la ecuación AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) (Teorema de la Mediana).'

'Demuestra que en el triángulo isósceles ABC, tomando el punto D en la base BC y dibujando la cuerda ADE de la circunferencia del triángulo ABC. En este punto, el cuadrado de AB es igual a AD por AE.'

'238'

'Dibujar similitud con 64 métodos similares'

'(2) En el triángulo $ABC$, el punto $D$ se encuentra en la extensión del lado $BC$, los puntos $E$ y $F$ se encuentran en los lados $AC$ y $AB$ respectivamente, cumpliendo las siguientes condiciones: $\\frac{BD}{DC}=\\frac{AB}{AC} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{CE}{EA}=\\frac{BC}{BA} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{AF}{FB}=\\frac{AC}{BC} \\cdots \\cdots$'

'Pregunta 51 | Tamaño de los lados y ángulos en un triángulo\nEn el triángulo ABC, sea M el punto medio del lado BC y D el punto de intersección del bisector del ángulo A y el lado BC.\nDemuestra lo siguiente (1), (2):\n(1) AB > BD\n(2) Si AB > AC, entonces ∠BAM < ∠CAM'

"Ejercicio 44: Sea el punto de intersección de AB y PQ R, y el punto de intersección de PQ y CD sea R'. Dado que AD//BC, tenemos PR:RQ=AP:BQ, PR':R'Q=PD:QC, AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC, PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. Por lo tanto, AP:BQ=PD:QC."

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'Teorema de Pitágoras y su inversa: En el triángulo ABC, si BC=a, CA=b, AB=c, entonces ∠C=90° si y solo si a²+b²=c².'

'Ejemplo importante 102 Forma de un triángulo'

'En el triángulo ABC, según el teorema del coseno, cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. A partir de (1), AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90, y dado que AD > 0, entonces AD = 3 \\sqrt{10}. Sea ∠ADB = θ. En el triángulo ABD, según el teorema del coseno, AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cos θ. Además, BD:CD = 2:3, por lo que CD = \\frac{3}{2}BD. En el triángulo ADC, según el teorema del coseno, AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. Por lo tanto, 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'

'Explique y demuestre las condiciones para la similitud de triángulos.'

'En el triángulo \ \\triangle ABC \, si los puntos \ P \ y \ Q \ se encuentran en o en la extensión de los lados \ AB \ y \ AC \ respectivamente, entonces se cumplen las siguientes propiedades: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'

'En △ABC, dado que OA=OC, el ángulo OCA=ángulo OAC=40°, por lo tanto α=180°-2×40°=100°. Además, dado que OA=OB, OB=OC, el ángulo OAB=ángulo OBA=β, y el ángulo OBC=ángulo OCB=25°. Por lo tanto, en △ABC, 2×40°+2×25°+2β=180°, entonces 2β=50°, por lo tanto β=25°. Otra solución: Primero encontrar β, luego según el teorema del ángulo inscrito, α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'

'Si el radio del círculo circunscrito es R, según el teorema del seno, 6/sin C = 2R, entonces R = 8/√7 = 8√7/7. Si el radio del círculo inscrito es r, entonces △ABC = r/2(6+4+5), △ABC = 15√7/4, por lo tanto r = √7/2.'

'Problema de práctica: El punto M divide el lado AB del triángulo ABC en la proporción 1:2, y el punto N divide el lado BC en la proporción 3:2. La intersección del segmento de línea AN y CM es O, y la intersección del segmento de línea BO y el lado AC es P. Si el área del triángulo AOP es 1, encuentra el área del triángulo ABC.'

'Problema de encontrar longitudes $a, b$ o ángulos $x, y$ en el diagrama:\\n$i. En (1)$, $DE // BC$,\\n$ii. En (2)$, $AD // BC, AD=BC$, y $AE$ biseca $\\angle A$,\\n$iii. En (3)$, $\triangle ABC$ es un triángulo equilátero, con $AD=EC$.'