Geometría Plana - Propiedades de Formas Básicas (Puntos, Líneas, Ángulos, Triángulos, Cuadriláteros, Círculos)

'Encuentra el valor de k que representa un círculo que pasa por el origen (0,0).'

'Comprende la explicación de la distancia entre 1 punto. Encuentra las fórmulas para la distancia entre el origen O y el punto P(a), y entre los puntos A(a) y B(b).'

'(1) ¿Qué tipo de forma representa la ecuación $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$?\n(2) Para que la ecuación $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ represente un círculo, determine el rango de valores para la constante $p$.'

'(1) Encuentra las coordenadas del punto medio de la cuerda formada por la intersección de la recta x+y=1 y el círculo x^{2}+y^{2}=4, y determina la longitud de la cuerda.'

'(1) Pasando por el eje x y el eje y, y pasando por el punto A(-4,2). (2) Pasando por el punto (3,4), tocando el eje x, y teniendo su centro en la recta y=x-1.'

'Grafique la región que satisface las desigualdades $x^{2}+y^{2}>1$ y $|x| + |y| > 1$, y explique su relación.'

'Ejemplo 29 | Forma de un triángulo Para 4 puntos A(4,0), B(0,2), C(3,3), D, responda a las siguientes preguntas.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de división internos, puntos de división externos y centroide en el Ejemplo 30'

'Práctica (63 => Este Libro p.137) (2) Sean las coordenadas del punto P (x, y), entonces de AP^2+BP^2=18 obtenemos {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18, simplificando obtenemos x^2+y^2-4y=0, lo que implica x^2+(y-2)^2=2^2. Por lo tanto, los puntos que satisfacen la condición están en el círculo (1). A la inversa, cualquier punto en el círculo (1) satisface la condición. Por lo tanto, la trayectoria deseada es un círculo con centro en (0,2) y radio 2.'

'Para el segmento de línea que conecta A (-3) y B (6), encuentre las coordenadas de los siguientes puntos: (1) Punto que divide internamente en la proporción 2:1 (2) Punto que divide externamente en la proporción 2:1 (3) Punto que divide externamente en la proporción 1:2 (4) Punto medio'

'Tomando la línea BC como el eje x y el punto P como el origen, las coordenadas de los vértices del triángulo ABC pueden expresarse como: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\ndonde b ≠ 0, c > 0. Verifica la ecuación 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²).'

'¿Qué es un diámetro?'

'Encuentra la ecuación de un círculo que toca tanto el eje x como el eje y.'

'Encuentra las trayectorias de los siguientes puntos Q y R con respecto al punto P moviéndose sobre la parábola y=x^2 y los dos puntos A(3,-1), B(0,2).'

'Dado que el punto (3,4) está en la línea 3x-2y-1=0, la recta deseada pasa por los puntos (-7,-11) y (-1,6).'

'Práctica (2) La parábola y=x^2 y la recta y=m(x+2) se intersectan en dos puntos distintos A y B. Encuentra la trayectoria del punto medio del segmento AB a medida que varía el valor de m.'

'Encuentra la ecuación estándar de un círculo.'

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'Cuando el capítulo 3 (28 t) toma todos los valores reales, para los tres puntos A(t, t^{2}), B(t, t-2), C(t+√3, t^{2}-t-1), responda a las siguientes preguntas:\n(1) Demuestre que para cada número real t, A y B son puntos distintos.\n(2) Encuentre todos los valores de t que hacen que el triángulo ABC sea un triángulo rectángulo.\n(3) Determine el rango de valores de t que hacen que el triángulo ABC sea un triángulo agudo.'

'La ecuación de la mediatriz perpendicular del segmento de línea BC es y-0=-2(x-5), lo que se simplifica a y=-2x+10. Al resolver las ecuaciones (4) y (5) simultáneamente, obtenemos x=4, y=2. Por lo tanto, el centro del círculo circunscrito está en el punto (4,2) y el radio es sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5. Por lo tanto, la ecuación que buscamos es (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25.'

'Círculo con centro (-2, 3) y radio 3'

'Cuando los puntos de intersección de 22 círculos, un círculo que pasa por los puntos de intersección de un círculo y una línea, y las ecuaciones de las líneas en términos de x, y se escriben como f(x, y), la curva representada por la ecuación f(x, y) = 0 (incluyendo los casos en los que representa una línea) se llama la curva f(x, y) = 0 y la ecuación se llama la ecuación de la curva.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(4,6) en el círculo.'

'Encuentra los valores de la constante k para los cuales las rectas no forman un triángulo.'

'Los resultados de (1) a (3) indican que las coordenadas del centroide G de △PQR cambian desde $\\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right)$ hasta $\\left(-1, \\frac{5}{3}\\right)$.'

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'Dado que la longitud de la perpendicular trazada desde el punto (2,1) hasta la recta kx + y + 1 = 0 es √3, encontrar el valor de la constante k.'

'Encuentra las ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares a la línea 4x+3y-6=0 que pasan por el punto de intersección de las líneas 2x-y-1=0 y x+5y-17=0.'

'Intersección en los puntos (-1, 3) y (3, -1)'

'Encuentra la distancia entre los siguientes dos puntos.'

'(2) (1) De (1), en el triángulo △AOB donde ∠AOB = 90°, el círculo que pasa por los puntos A, B, O tiene AB como su diámetro.'

'Ejemplo de práctica 17 Área de un sector'

'Encuentra la longitud del arco y el área de un sector con un radio de 4 y un ángulo central de 150°.'

'Problema (1) En el plano de coordenadas, cuando los puntos A(a, 2), B(5, 1), C(-4, 2a) están alineados, encuentra el valor de la constante a.'

'(1) Toca tanto el eje x como el eje y, pasando por el punto A(-4,2). (2) Pasando por el punto (3,4), tocando el eje x, con el centro en la línea y=x-1.'

'Problema para encontrar las coordenadas del punto P. Encuentra las coordenadas del punto P (x, y) que se encuentra en la línea que conecta dos puntos A (6, -3) y B (1, 7).'

'Fuera del círculo (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5. Incluyendo el límite.'

'Las coordenadas del centroide G del triángulo ABC con vértices A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son (\\frac{x1+x2+x3}{3}, \\frac{y1+y2+y3}{3})'

'Matemáticas II, río 36 libros p.119\n(1) El radio r es la distancia entre el centro (-5,4) y el origen, por lo que r^2=(-5)^2+4^2=41\nPor lo tanto, la ecuación del círculo que buscamos es (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) El centro es el punto medio del diámetro, por lo que sus coordenadas son (-3+3)/2, (6+(-2))/2 que es (0,2)\nEl radio r es la distancia entre el centro (0,2) y el punto A(-3,6), por lo que r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nPor lo tanto, la ecuación del círculo que buscamos es x^2+(y-2)^2=25\nOtra solución (2) En la circunferencia, deja que P(x, y) sea un punto diferente de A, B, entonces AP ⊥ BP así, cuando x ≠ -3, x ≠ 3, (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nPor lo tanto, (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 que es x^2+(y-2)^2=25\nEsta ecuación se cumple cuando x=-3, x=3, es decir, los puntos (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) la satisfacen, por lo que esta es la ecuación del círculo que buscamos.'

'Para un ángulo estándar, determine si la siguiente proposición es verdadera y explique por qué.\n"No existen ángulos mayores de 360 grados"'

'Tomando OP como el radio.'

'(5) Una línea paralela al eje y es perpendicular al eje x. Dado que la coordenada x del punto por el que pasa es 5, entonces x=5'

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'Ejemplo importante 58: Puntos de intersección de la parábola y el círculo\nSea r una constante positiva. Considere la parábola y=x^{2} y el círculo x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}, y responda a las siguientes preguntas:\n(1) Cuando r=2, encuentre todas las coordenadas de los puntos de intersección entre la parábola y el círculo.\n(2) Investigue cómo cambia el número de puntos de intersección entre la parábola y el círculo a medida que r varía sobre todos los valores reales positivos.'

'Encuentra los valores de a cuando las rectas (a-2)x+ay+2=0 y x+(a-2)y+1=0 son paralelas, coincidentes o perpendiculares.'

'Comprende la fórmula para la distancia entre 2 puntos en un plano. Encuentra la fórmula para la distancia entre los puntos O(0; 0), A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}).'

'Para los dos círculos \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \:\n(1) Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través de los dos puntos de intersección de los dos círculos.\n(2) Encuentra el centro y radio del círculo que pasa a través de los dos puntos de intersección de los dos círculos y el punto (1,3).'

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'(1) Encuentra la ecuación de un círculo con centro (-5,4) que pase por el origen.\n(2) Encuentra la ecuación de un círculo con diámetro AB donde A(-3,6) y B(3,-2).'

'Dadas las circunferencias, designadas como C_1 y C_2, respectivamente. (1) Sea (x_1, y_1) las coordenadas del punto de tangencia en la circunferencia C_1, tal que x_1^2 + y_1^2 = 9'

'Ejemplo importante 49 Distancia entre un punto en una parábola y una recta\nDados dos puntos A(0,1) y B(2,5) y la parábola y=x^{2}+4x+7. Sea un punto P moviéndose sobre la parábola.\n\nEncuentra el valor mínimo del área S del triángulo PAB.'

'Dibuja el rango de existencia del punto (a, b) en el plano ab cuando el segmento de línea que conecta los puntos A(1,-2) y B(-2,1) interseca la parábola y=x^{2}+ax+b en solo un punto que no sea A ni B.'

'Calcular la distancia entre dos puntos en un plano.'

'La ecuación de la recta AB es x/a + y/b = 1. Si se considera el punto P(a, b) y la distancia entre el punto P y la recta AB como d, encuentre el valor máximo de d.'

'Número de puntos de la cuadrícula'

'Sea la ecuación del círculo requerido (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0). La condición para que el círculo (2) sea tangente al círculo C es 0<r<5 y √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r, por lo tanto r=5-√4=3. Por lo tanto, la ecuación requerida es (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'Encuentre las coordenadas del punto Q:\n\nSea las coordenadas del punto Q (x, y).\n(1) Sea OP=r, y el ángulo entre OP y la dirección positiva del eje x sea α, entonces r cosα=-2, r sinα=3.\nPor lo tanto, x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π.'

'Coordenadas de los puntos\nSean los puntos A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) dados.\nEncuentra la distancia entre dos puntos.\nAB=√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)\nEn particular, la distancia entre el origen O y A es OA=√(x₁² + y₁²)'

'Ejemplo 55 Condiciones de tangencia y ecuaciones de círculos y líneas'

'Tomando el punto B como origen y el borde BC como el eje x, las coordenadas de cada vértice se pueden representar como A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a). Demuestra que PA² + PC² = PB² + PD².'

'En un plano, hay n círculos de modo que cualquier par de círculos se intersecan y ningún trío o más de círculos se intersecan en el mismo punto. ¿En cuántas partes se divide el plano por estos círculos?'

'Rango de paso de puntos y curvas'

'Pregunta similar Tomando un punto P(1/2, 1/4) en el plano de coordenadas. Cuando dos puntos Q(α, α^2) y R(β, β^2) en la parábola y=x^2 se mueven de manera que los tres puntos P, Q, R formen un triángulo isósceles con QR como base, encuentra la trayectoria del baricentro G(X, Y) del triángulo PQR. [Universidad de Tokio]'

'La parábola y el círculo tienen 4 puntos compartidos cuando el vértice de la parábola está en el segmento de línea que conecta el punto (0, -37/4) y el punto (0, -3) (excluyendo los extremos) como se muestra en la figura. Por lo tanto, -37/4 < a < -3.'

'Dos círculos tangentes a los ejes coordenados y una recta'

'Tomando la recta BC como el eje x y el bisector perpendicular del lado BC como el eje y, el punto medio L del lado BC se convierte en el origen O, y las coordenadas de cada vértice se pueden representar como A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0). En este caso, L(0,0), M((a+c)/2, b/2), N((a-c)/2, b/2), por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección que dividen las tres medianas AL, BM, CN en una proporción de 2:1 son ((a/3), (b/3)), ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), todos los cuales son ((a/3), (b/3)), por lo que las tres medianas AL, BM, CN se intersecan en este punto.'

'Práctica 1: Encuentra el radio y el área total de los incírculos de triángulos equiláteros'

'Ilustra el radio de los siguientes ángulos. Además, identifica en qué cuadrante se encuentran.'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nPor lo tanto, BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2, por lo que el triángulo ΔABC es un triángulo isósceles rectángulo con ∠C=90∘.'

'Encuentra la ecuación de una recta'

'Práctica Deja que el número real t satisfaga 0<t<1, considera los 4 puntos O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) en el plano de coordenadas. Además, define el punto D en el segmento AB de manera que ∠ACO=∠BCD. Encuentra el área máxima del triángulo ACD. [Universidad de Tokio]'

'Cuando el punto (x, y) se mueve dentro de un círculo con radio 1 centrado en el origen, represente el rango de movimiento del punto (x+y, x y).'

'Para el círculo $C: x^{2}+y^{2}=25$, responda las siguientes preguntas:\n1. Encuentra la ecuación de un círculo con centro en $(12,5)$ que sea tangente externamente al círculo $C$.\n2. Encuentra la ecuación de un círculo con centro en $(1,-\\sqrt{3})$ que sea tangente internamente al círculo $C$.'

'Encuentra la longitud del arco y el área de un sector con radio 4 y ángulo central de 150 grados.'

'Sean a y b números reales positivos. Las parábolas C1: y = x^2 - a y C2: y = -b(x - 2)^2 son tangentes a la recta ℓ en el punto P(x0, y0). Definimos S1 como el área encerrada por la recta x = 0, la parábola C1 y la recta tangente ℓ, y S2 como el área encerrada por la recta x = 2, la parábola C2 y la recta tangente ℓ. Responde a las siguientes preguntas\n(1) Expresa a, x0, y0.\n(2) Expresa la proporción de áreas S1 : S2 en términos de b.'

'Distancia entre un punto y una recta'

'Represente en un gráfico el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen y=x+1 con una línea recta como límite. También, represente en un gráfico las regiones de puntos que satisfacen y>x+1 e y<x+1.'

'Encuentra las coordenadas de un punto P en el eje x equidistante de los puntos A(-1,2) y B(3,4).'

'Encuentra la ecuación de un círculo que pase por el punto (2,1) y sea tangente al eje x y al eje y.'

'Ejemplo básico 70: Dados A(-2,1), B(6,-3), C(1,7), encuentra las coordenadas de los siguientes puntos.'

'Considera el siguiente problema.'

'Investiga cómo cambia el número de puntos de intersección entre el círculo (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 y la recta y=2x-3 dependiendo del radio r.'

'Ejemplo estándar 103'

'Dado los tres vértices A(5,-2), B(1,5), C(-1,2), encontrar las longitudes de los tres lados del triángulo ABC y determinar qué tipo de triángulo es.'

'Representa gráficamente la región representada por las siguientes desigualdades.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente trazada desde el punto A(3,1) al círculo x^2+y^2=2 y las coordenadas del punto de tangencia.'

'Sean A y B los puntos de intersección de la parábola y=9-x^{2} y el eje x. Cuando un trapecio se inscribe en el área delimitada por esta parábola y el eje x, con el segmento AB como base, determina el área máxima de este trapecio.'

'Encuentra el número de puntos de la cuadrícula dentro del área encerrada por y = -x^2 + 8x e y = x (incluyendo el límite).'

'Un círculo con centro en C(a, b) y una distancia constante r(>0) desde C es una colección de puntos con C como centro y radio r. El círculo con centro C se llama simplemente círculo C, y la ecuación satisfecha por cualquier punto (x, y) en el círculo se llama su ecuación. Intentemos encontrar la ecuación de este círculo. La condición para que un punto P(x, y) esté en el círculo C es CP = r, expresada en coordenadas como √((x-a)^2 + (y-b)^2) = r, al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Dado que ambos lados de (2) son positivos, (1)⇔(2)⇔(3), por lo tanto (3) es la ecuación del círculo deseado. La forma de la ecuación (3) con conocimiento del centro (a, b) y radio r se llama forma básica de la ecuación del círculo. La ecuación de un círculo con radio r y centro en (a, b) es (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. La ecuación de un círculo con radio r y centro en el origen es x^2 + y^2 = r^2. Al fijar a=b=0 en 1 se obtiene 2. Cuando r=1, se le llama círculo unitario. Además, 1 se puede considerar como una traslación de 2 paralela a a a lo largo del eje x y a lo largo del eje y.'

'Sea el círculo (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 C.\n(1) Cuando el círculo (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 es C₁, determine la relación de posición entre C y C₁.'

'El punto D está en el cuarto cuadrante, el círculo D es tangente al eje x y al eje y, por lo tanto, las coordenadas del punto D pueden asumirse como (d, -d) y el radio es d. Dado que el punto D está debajo de la recta l, tenemos 3d - 4d - 12 < 0. La distancia entre el punto D y la recta l es |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5. Dado que el círculo D es tangente a la recta l, la distancia entre el punto D y la recta l es (d + 12) / 5 = d. Por lo tanto, d = 3.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto A en el círculo con A(0,3) y B(8,9) como diámetro.'

'Hay puntos A(-1,3) y B(5,11).'

'Encuentra el valor de a cuando los dos círculos se tocan entre sí.'

'Encuentra la ecuación de una recta tangente al círculo x^2 + y^2 = 9 y paralela a la recta 4x + 3y - 5 = 0.'

'Para los puntos A(0,1) y B(4,-1): (1) Encuentra la ecuación de un círculo C1 con centro en la recta y=x-1 que pasa por los puntos A y B. (2) Encuentra la ecuación de un círculo C2 simétrico al círculo C1 encontrado en (1) con respecto a la recta AB. (3) Sean P y Q puntos en los círculos C1 y C2, respectivamente. Encuentra la longitud máxima del segmento de línea PQ. [Universidad de Gunma]'

'Hay un paralelogramo ABCD con vértices A(-2,3), B(5,4) y C(3,-1). Encuentra las coordenadas del vértice D y del punto de intersección P de las diagonales.'

'Encuentra la ecuación del siguiente círculo:\n(1) Un círculo con centro en (1,1) que es tangente a la recta 2x-y-11=0'

'Dados los puntos A(6,0) y B(3,3), cuando el punto P se mueve en el círculo x^2+y^2=9, encuentra el locus del centroide G del triángulo ABP.'

"Sean C y C' los dos puntos de intersección A, B, y el punto medio del segmento de línea AB sea M. Por lo tanto, la longitud del segmento OM es igual a la distancia entre el origen O y la línea ℓ."

'Usando las coordenadas (p, q) del punto B, determinar la condición para que la línea AB sea perpendicular a la línea ℓ cuando la pendiente de ℓ es 2.'

'Cuando exactamente 2 rectas tangentes pueden trazarse desde el punto P(1, ) hasta la curva C, responda las siguientes preguntas. (i) Encuentre las ecuaciones de las 2 rectas tangentes. (ii) Deje que Q y R sean los puntos de tangencia entre las rectas encontradas en (i) y la curva C. Suponga que la coordenada x de Q es menor que la coordenada x de R. Encuentre el área S de la figura encerrada por el segmento de recta PQ, el segmento de recta PR y la curva C.'

'Investiga la relación posicional entre los siguientes círculos y líneas, y encuentra las coordenadas de los puntos de intersección si existen.'

'¿Qué tipo de formas representan las siguientes ecuaciones?'

'Supongamos que hay cuatro círculos en el plano coordenado que tocan el eje x, el eje y y la recta 3x + 4y - 12 = 0. Organice los radios de estos círculos en orden ascendente y explique la relación entre el centro de cada círculo y la recta.'

'Encuentra la pendiente de la línea que forma un ángulo de \\frac{\\pi}{4} con la línea x - \\sqrt{3} y = 0.'

'Para el punto A(-2, -3), encuentra las coordenadas del punto Q que es simétrico al punto P(3, 7).'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P en el círculo siguiente.'

'Sean A el punto de intersección de las dos rectas \ 3 x+2 y-4=0 \ (1) y \ x+y+2=0 \ (2). Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y B(3,-2) para (1). Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y es paralela a la recta \ x-2 y+3=0 \ para (2).'

'Dado A(-2,-3), B(3,7), C(5,2), encuentra las coordenadas de los siguientes puntos.'

'Vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto (a, b) en el círculo x^2 + y^2 = r^2.'

'Sea la línea 3x+2y-4=0 la (1) y x+y+2=0 la (2), con A como punto de intersección de las dos líneas. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A y el punto B(3,-2).'

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'¿Cuál es la forma del triángulo ABC formado por los siguientes 3 puntos?'

'Encuentra las ecuaciones de los siguientes círculos:\n1. Círculo con centro en (2, -3) y radio 1\n2. Círculo con centro en (3, 4) que pasa por el origen\n3. Círculo con diámetro definido por los puntos (3, 1) y (-5, 7)\n4. Círculo con centro en (5, 2) tangente al eje y'

'Encuentra el centro y el radio del círculo que pasa por los dos puntos de intersección de los dos círculos \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) y es tangente a la recta \ y=x \.'

'El Punto A está en el primer cuadrante, el Círculo A es tangente al eje x e y, por lo tanto, las coordenadas del punto A pueden ser (a, a), con el radio siendo a. Dado que el punto A está por debajo de la línea l, tenemos 3a + 4a - 12 < 0. La distancia entre el punto A y la línea l es |3a + 4a - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7a + 12) / 5. Dado que el círculo A es tangente a la línea l, la distancia entre el punto A y la línea l es a, por lo tanto, (-7a + 12) / 5 = a, lo que lleva a a = 1.'

'¡Domina las fórmulas para las coordenadas de puntos de división interna y externa y conquista el ejemplo 74!'

'Círculo y línea'

'Para qué valores de la constante k el círculo C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 pasa por los puntos A(x, y) y B(x, y)? Aquí, . El segmento de línea AB será un diámetro del círculo C solo cuando k=.'

'Explique qué es el tercer cuadrante.'

'Muestre los límites de la región representados por las desigualdades.'

'Problema para encontrar la relación de posición entre una recta y un círculo, junto con las coordenadas de sus puntos de intersección.'

'Encuentra las ecuaciones de los siguientes círculos.'

"La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos de intersección C y C' es \\square x+\\square y=15. Además, el área S del triángulo con los dos puntos de intersección y el origen O como vértices es S=\\square."

'¿Qué tipo de formas representan estas ecuaciones?'

'¿Las siguientes dos rectas son paralelas o perpendiculares?'

'¡Domina la fórmula para la distancia entre un punto y una recta, conquista el ejemplo 83!'

'Ilustra el radio del ángulo θ y especifica en qué cuadrante se encuentra el ángulo'

'Cuando el triángulo ABC es un triángulo rectángulo con vértices A(1,1), B(2,4) y C(a,0), encuentra el valor de la constante a.'

'Encuentra las coordenadas del punto P en la circunferencia del círculo con la ecuación x^2-2x+y^2-4y+4=0 que está más cerca del punto A(-1,1). Además, encuentra la distancia entre los puntos A y P.'

'Punto en un plano'

'(2) Triángulo rectángulo isósceles donde \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \'

'Sobre los puntos A(0,1) y B(4,-1)'

'Capítulo 4: Figuras y Ecuaciones'

'Problema de encontrar la distancia entre dos puntos en un plano.'

'Encuentra las coordenadas de los siguientes puntos.'

'Dado el círculo TR: x^{2}+y^{2}=1, denotado como C_{0}, y sea C_{1} el círculo obtenido al trasladar C_{0} 2a unidades en la dirección positiva del eje x, donde a es 0<a<1. Además, sean A y B los dos puntos de intersección de C_{0} y C_{1} en el primer cuadrante, y sea P(s, t) un punto en C_{0} distinto de los puntos A y B. Encuentra la trayectoria del centroide G del triángulo PAB a medida que P se mueve en la parte de C_{0} que excluye los dos puntos A y B.'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ es un triángulo isósceles'

'La posición del punto P en un plano se representa mediante un par de números reales, por ejemplo, (a, b). Este par (a, b) se llama las coordenadas del punto P, donde a es la coordenada x y b es la coordenada y. El punto P con coordenadas (a, b) se denota como P(a, b). En esta sección, aprendamos sobre los puntos en un plano. El plano con coordenadas se divide en 4 partes por los ejes de coordenadas. Estas partes se llaman cuadrantes, y se nombran como el primer cuadrante, el segundo cuadrante, el tercer cuadrante y el cuarto cuadrante en sentido antihorario. Nótese que los ejes de coordenadas no se incluyen en ningún cuadrante. En el diagrama, (+, +) indica los signos de las coordenadas x y y en cada cuadrante.'

'En este caso, la distancia entre el centro (0,0) del círculo (1) y la recta (2) es igual al radio del círculo √k, por lo tanto'

'Encuentra el número de tangentes que se pueden trazar desde el punto P(1, ) a la curva C: y=x^3-x.'

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'Dado el centro y el radio de un círculo, encuentra la ecuación del círculo.'

'Encuentra la ecuación de un círculo con centro (a, b) y radio r.'

'Encuentra el círculo que pasa por la intersección de 2 círculos'

'Demuestra que para un triángulo acutángulo ABC, se cumple la siguiente ecuación: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.'

'Encuentra el lugar geométrico del punto medio P del segmento de recta que conecta el punto A(2,0) y el punto Q a medida que el punto Q se mueve a lo largo del círculo x^2 + y^2 = 1.'

'Examine las relaciones de posición entre los siguientes círculos y líneas, y si hay puntos comunes, encuentre sus coordenadas.'

'Dado que el centro del círculo C3 es el origen O, la distancia entre el círculo C y el círculo C3 es PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\nSi r3 es el radio del círculo C3, debido a que el círculo C3 está inscrito en el círculo C, tenemos que r3 < 3 y √5 = 3 - r3\nPor lo tanto, r3 = 3 - √5\nPor consiguiente, la ecuación del círculo C3 es x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'Grafica las regiones representadas por las siguientes desigualdades.'

'Existe un paralelogramo ABCD con los vértices A(-2,3), B(5,4) y C(3,-1). Encuentra las coordenadas del vértice D y el punto de intersección P de las diagonales.'

'Encuentra las coordenadas del punto medio y la longitud del segmento cortado por el círculo con centro (2, 1) y radio 2 de la recta y=-2x+3.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente trazada desde el punto A(7,1) al círculo x^2+y^2=25.'

'Encuentra la ecuación de un círculo que pase por los puntos (0,2) y (-1,1) con su centro en la recta y=2x-8.'

'Cuando una parábola (1) y un círculo (2) tienen 4 puntos en común, encuentra el rango de r.'

'Encuentra el centro y el radio del círculo que pasa por los dos puntos de intersección de los dos círculos x^2+y^2=2 y (x-1)^2+(y+1)^2=1, y que es tangente a la recta y=x.'

'En la Figura 6, ¿cuál es la longitud que se puede leer con el vernier en incrementos de cuántos milímetros?'

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'¿Cuáles son los valores en el eje vertical para los puntos (2) y (3)?'

'2021 Academia Shibuya de la Escuela Secundaria de Makuhari (1ra vez) (4)\nComo se muestra en la Figura 5-1, hay un prisma rectangular $ABCD-EFGH$ con una base de rombo y todas las caras laterales rectangulares. Los puntos $K, L, M, N$ están ubicados en los bordes $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, con $AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$.\nAdemás, el punto O está ubicado en la diagonal $EG$ del rombo $EFGH$, con $EO: OG = 1: 5$.\nConectando cada vértice del cuadrilátero $KLMN$ al punto O se crea una pirámide O-KLMN. Responde a las siguientes preguntas. El volumen de la pirámide se puede calcular como (área de la base) x (altura ÷ 3).'

'Explica la diferencia entre una estrella roja brillante y una estrella roja oscura.'

'Hay un triángulo rectángulo ABC como se muestra en la figura 2, y cuadrados con lados de AD, BD y CD respectivamente. En este caso, ¿cuál es el área del cuadrado con CD como un lado en centímetros cuadrados?'

'¿Cuál es el tamaño de la célula A en la figura 12 (longitud entre PQ) en micrómetros? Utilice el valor obtenido en (5) y responda en enteros.'

'península'

'(3) Como se muestra en el gráfico de la derecha, el acantilado B está a 48m sobre el nivel del mar y a una distancia de 70m al norte desde el punto A, el acantilado C está a 53m sobre el nivel del mar y a una distancia de 70m al sur desde el punto A, simplemente anote sus respectivas posiciones.'

'(2) La línea dibujada por el punto O se convierte en una línea gruesa. En primer lugar, el ángulo central de un semicírculo con un radio de 6 cm está entre (2) y (3). Al agregar la parte entre 8 y 9 (que es igual a la longitud de un arco de 60 grados), se obtiene un total de 180×3+90+60×2 = 750 grados. Además, el arco entre 3 y 4 tiene un radio de 12+6=18 cm y un ángulo central de 30 grados. Por lo tanto, la longitud de la línea dibujada por el punto O se calcula como 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 cm.'

'En la figura 5-1, hay un triángulo rectángulo con el ángulo A, donde AB=3 cm y AC=6 cm, y un triángulo isósceles rectángulo con el ángulo D, donde DE y DF son ambos 6 cm. Responde a las siguientes preguntas sobre la forma geométrica formada al combinar estos triángulos rectángulos. Toma el valor de Pi como 3.14. Además, ten en cuenta que el volumen de un cono se puede calcular multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo entre 3.'

'La altura sobre el nivel del mar de la capa de ceniza volcánica X es de 53 metros en el acantilado A y 44 metros en el acantilado B. Cuando se marcan con círculos en un gráfico, se ve como se muestra en el gráfico de la derecha.'

'(4) Un conjunto de puntos donde la diferencia de distancia desde A hasta la fuente de sonido y desde B hasta la fuente de sonido es constante en 350m forma una línea, indicando la presencia de la fuente de sonido. Esto se representa con (I). Una curva donde la diferencia de distancia de dos puntos a la fuente de sonido es constante se llama hipérbola.'

'No cabe en papel A3'

'Los cometas son cuerpos celestes en el sistema solar que orbitan alrededor del sol como los planetas. Los cometas tienen la característica distintiva de que se iluminan repentinamente al acercarse al sol desde muy lejos en el sistema solar y se oscurecen abruptamente y desaparecen a medida que se alejan. Además, como se muestra en la Figura 6, los cometas presentan una apariencia diferente con una larga cola ondeante, a diferencia de otros cuerpos celestes. La cola de un cometa se extiende en la dirección opuesta al sol. (5) Supongamos que se descubre un nuevo cometa y es visible inmediatamente después del atardecer de ese día. Describa la apariencia de la cola del cometa como una línea recta.'

'(3) La fuente de sonido A se encuentra en la posición alcanzada en 1 segundo, y la fuente B se encuentra en la posición alcanzada en 2 segundos. Por lo tanto, al trazar un círculo con un radio de 350 × 1 = 350 metros centrado en A, y un círculo con un radio de 350 × 2 = 700 metros centrado en B, los dos puntos de intersección de estos dos círculos indicarán la posición de la fuente de sonido.'

'Elija una afirmación correcta que se pueda inferir del gráfico en la Figura 4.'

'Encuentra la longitud de cada lado del triángulo siguiente.'

'Ecuación de un plano perpendicular a dos ejes de coordenadas'

'Triángulo rectángulo con un ángulo C igual a 90 grados'

'Sean las coordenadas polares del punto A (r₁, θ₁) y las del punto B (r₂, θ₂). Encuentra el área del triángulo OAB, denotada por S.'

'En el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio del lado AB, E el punto que divide el lado BC en 1:2, y F el punto que divide el lado CD en 3:1. Si →AB=b y →AD=d'

'Se da un hexágono regular ABCDEF de lado 1. Cuando el punto P se mueve a lo largo del lado AB y el punto Q se mueve a lo largo del lado CD de manera independiente, encontrar el área por donde puede pasar el punto R, que divide el segmento PQ en la proporción 2:1.'

'Aunque es posible sustituir z=x+yi directamente en la ecuación (3)(2) y calcularlo, el cálculo se vuelve muy complicado (ver la primera consideración después de la respuesta). Por lo tanto, primero consideramos la ecuación de una elipse con congruencia a la forma C y teniendo el foco en el eje x, luego la rotamos para encontrar la ecuación de C. (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 Las coordenadas de los focos son, \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}, por lo que es (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0). La longitud del eje mayor es 2\\cdot2 y la longitud del eje menor es 2\\cdot1, por lo tanto, el área a encontrar es \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi.'

'La tangente en cualquier punto de la curva C en el primer cuadrante siempre intersecta las partes positivas del eje x, eje y, y los puntos de intersección se denotan como Q y R, respectivamente. El punto P divide el segmento QR internamente en la proporción 2:1.'

'Para coordenadas polares, encontrar las ecuaciones del siguiente círculo y línea: (1) Un círculo con centro en el punto A(3, π/3) y radio 2. (2) Una línea que pasa por el punto A(2, π/4) y es perpendicular a OA (O es el polo).'

'(2) 128\nEn el trapezoide isósceles \ \\mathrm{ABCD} \ donde \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \, cuando aumenta \ \\angle \\mathrm{B} \ en \ 1^{\\circ} \, ¿en qué medida aumenta el área \ S \ del trapezoide \ \\mathrm{ABCD} \? Suponga que \ \\pi=3.14 \.'

'Encuentra la distancia entre dos puntos.'

'Encuentra el vector de posición del ortocentro de un triángulo.'

'En el espacio de coordenadas, tomemos A(1,0,2) y B(0,1,1). Cuando el punto P se mueve a lo largo del eje x, encuentra el valor mínimo de AP+PB.'

'En el plano de coordenadas, el círculo C pasa por el punto (0,0), su centro yace sobre la recta x+y=0, y además es tangente a la hipérbola xy=1. Encuentra la ecuación del círculo C. Aquí, se dice que un círculo y una hipérbola se tocan en un punto si las tangentes del círculo y de la hipérbola coinciden en ese punto.'

'Para la elipse $x^{2}+4 y^{2}=4$, ¿cuál es la trayectoria del punto $P(a, b)$ fuera de la elipse desde el cual dos tangentes dibujadas a la elipse se intersecan en ángulo recto?\n[Tipo Universidad de Tokio]\nBásico 155'

'Curva representada por variables paramétricas'

'Encuentra la figura geométrica representada por todos los puntos P(z) que satisfacen la ecuación $|z-\\alpha|=r(r>0)$.'

'En la curva \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1, sea \\mathrm{P} el punto en el primer cuadrante donde la tangente interseca el eje x y el eje y en los puntos \\mathrm{A}, \\mathrm{B} respectivamente. Si el origen es \\mathrm{O}, encuentra el valor mínimo de \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB}.'

'Encuentra las coordenadas y la longitud de la cuerda formada por la intersección de la siguiente recta y curva.'

'Conceptos Básicos 1 Ecuaciones en Coordenadas Polares y Líneas Rectas (1) Ecuación polar de un círculo con centro en el polo O y radio a r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) Círculo con centro en (a, 0) y radio a r=2a cos θ (3) Círculo con centro en (r₀, θ₀) y radio a r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) Recta que pasa por el polo O y forma un ángulo α con la recta inicial θ=α (5) Recta que pasa por el punto A(a, α) y es perpendicular a OA'

'(4) Para el plano PQR y el borde OD, las situaciones son las siguientes. Cuando q = 1/4, el plano PQR es . Cuando q = 1/5, el plano PQR es 又. Cuando q = 1/6, el plano PQR es ネ. Elija el que se ajuste a dos 〜 ネ, uno del 0 al 5, puede elegir la misma opción repetidamente.'

'Encuentra la trayectoria del centro P de un círculo que es tangente tanto al círculo $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ como a la línea $x=-3$.'

'Para la elipse \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\), las coordenadas de los focos son \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\). Los focos están en el eje x, con la longitud del eje mayor siendo 2a y la longitud del eje menor siendo 2b.'

'Demuestra que la diferencia de distancia desde cualquier punto en la hipérbola a sus dos focos es constante.'

'Indique la condición para que tres puntos distintos A(α), B(β), C(γ) estén alineados.'

'Supongamos que los dos extremos A y B de un segmento de línea de longitud 2 se mueven a lo largo del eje x y del eje y, respectivamente. Cuando $\\mathrm{BP}=1$, encuentra la trayectoria del punto P.'

'Pasando por el punto A(3, -4), encuentra la recta paralela a la recta l: 2x-3y+6=0 y llámala g. Determina la ecuación de la recta g.'

'En el hexágono regular ABCDEF, con centro en O, el punto P divide el lado CD internamente en la proporción 2:1, y el punto Q es el punto medio del lado EF. Si el vector AB es a y el vector AF es b, expresa los vectores BC, EF, CE, AC, BD, QP en términos de los vectores a y b.'

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'Cuando un punto P(z) se mueve a lo largo del perímetro de un círculo centrado en -i con un radio de 1 (excluyendo el origen), ¿qué tipo de forma traza el punto Q(w) representado por (3) 114 w=1/z?'

"Tema: Investigación de cuadráticas representadas por ecuaciones de números complejos y movimiento de rotación Matemáticas En el Capítulo 3 de matemáticas C, aprendimos sobre formas geométricas en el plano complejo, y en el Capítulo 4 aprendimos sobre las propiedades de las cuadráticas. Aquí, investigaremos casos en los que la forma representada por la ecuación del número complejo z es una cuadrática. Primero, confirmemos los conceptos básicos de las cuadráticas con el siguiente problema. CHECK 3-A Se debe encontrar la ecuación de la trayectoria del punto P con una distancia total de 6 desde los puntos F(√5, 0) y F'(-√5, 0)."

'Encuentra la ecuación vectorial de un círculo.'

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'Supongamos que △ABC es un triángulo equilátero con vértices A(-1), B(1) y C(√3 i). Demuestra que cuando △PQR con vértices P(α), Q(β), R(γ) también es un triángulo equilátero, la ecuación α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 se cumple.'

'Demuestra la ecuación de la recta tangente en el punto (x0, y0) en el círculo usando vectores.'

'En el triángulo △OAB con vértices O(0), A(1), B(ι), donde ∠O es el vértice del ángulo recto, demuestra que cuando se forma el triángulo △PQR por los puntos P(α), Q(β), R(γ) con ∠P como el vértice del ángulo recto, la ecuación 2α² + β² + γ² - 2αβ - 2αγ = 0 se cumple.'

'(2) La suma de las distancias desde el punto z hasta los 2 puntos (√3+3i)/2 y -(√3+3i)/2 es constante en 4, por lo tanto, la figura C es una elipse con los 2 focos en (√3+3i)/2 y -(√3+3i)/2. Sea c la distancia desde el origen, que es el centro de esta elipse, hasta los focos. Las coordenadas de los focos en el plano XY son (c, 0) y (-c, 0). Esta elipse es congruente con una elipse donde la suma de las distancias desde los puntos en la elipse hasta los 2 focos también es 4.'

'Consideremos un círculo C con radio a en el primer cuadrante del plano xy, que es tangente tanto a la recta l: y=mx(m>0) como al eje x. Además, consideremos círculos tangentes a la recta l, al eje x y al círculo C en un punto cada uno con un radio b, donde b>a. (1) Expresa t en función de m. (2) Expresa b/a en función de t. (3) Encuentra el límite lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1).'

'(1) Sea la longitud de los tres lados del triángulo ABC: AB=8, BC=7, CA=9. Sea el vector AB=b, el vector AC=c, y P el incentro del triángulo ABC. Expresa el vector AP en términos de b y c.'

'Teorema de los puntos medios: En el triángulo ABC, sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente. Entonces MN // BC y MN = 1/2 BC'

'Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Cuando AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, encuentre el área S del cuadrilátero ABCD.'

'Circuncentro de un triángulo'

'Determinar el rango de valores para x para que un triángulo con longitudes de lado 3, 5 y x se convierta en un triángulo agudo.'

'Se tiene un tetraedro regular OABC con una longitud de arista de 6. Sea L el punto medio del lado OA, M el punto que divide el lado OB en 2:1, y N el punto que divide el lado OC en 1:2. Calcular el área del triángulo LMN.'

'En el triángulo ABC, si B=30°, b=√2, y c=2, encuentra los valores de A, C y a.'

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'El centro del círculo que pasa por los puntos A, P y Q es el punto de intersección de los bisectores perpendiculares de dos cuerdas.'

'(2) ángulo agudo'

'Utilizando el teorema de la potencia de un punto, muestra las propiedades de las dos tangentes trazadas desde el punto P a un círculo.'

'Para un octágono regular, encuentra los siguientes números.\n(1) El número de cuadriláteros que se pueden formar conectando 4 vértices\n(2) El número de triángulos formados conectando 3 vértices que comparten un borde con el octágono regular'

'En la línea x=1, el punto T se encuentra donde la coordenada y es √3. El punto P es la intersección de la línea OT y un semicírculo con radio 1. El ángulo que buscamos es ∠AOP.'

'En un suelo rectangular con dimensiones de 240 cm por 396 cm, queremos cubrirlo con azulejos cuadrados de lado a cm sin dejar espacios. Encuentra el valor máximo de a en este caso. Además, determina la cantidad de azulejos que se pueden colocar.'

'Explique y demuestre las propiedades del circuncentro, incentro y baricentro de un triángulo.'

'Determina si los cuatro puntos A, B, C, D en el diagrama de la derecha están en el mismo círculo.'

'El radio del circuncírculo es \ \\frac{85}{8} \, y el radio del incírculo es 2'

'En un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AB = 8, BC = 10, y CD = DA = 3. Encuentra el área S del cuadrilátero ABCD.'

'79. En el triángulo ABC, AB=2, BC=4, CA=2√3. Sea AD la altura desde el vértice A al lado BC, y sean E y F los puntos de intersección del círculo con diámetro AD y los lados AB y CA, respectivamente. E y F son diferentes de A. [Universidad Médica de Tokyo Jikeikai]\n(1) Demostrar que los puntos E, B, C y F yacen en el mismo círculo.\n(2) Hallar el área del triángulo EBF.'

'Como se muestra en el diagrama, etiquete todos los vértices de un triángulo equilátero con lado 2 y cada punto medio de los lados del 1 al 6. Haga coincidir el resultado del primer lanzamiento de dados con este número. Conecte los puntos correspondientes a los números lanzados en los dados tres veces para crear una forma. Encuentre el valor esperado del área de la forma resultante.'

'Teorema 25 Teorema de la Potencia de un Punto II'

'\ \\triangle ABC \ es un triángulo rectángulo con \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ y con \ AD \ como diámetro de un círculo. Dibuja las líneas auxiliares \ AD, ED, EF, DF \.'

'Siendo p y q las longitudes de las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD, y siendo θ uno de los ángulos formados por las diagonales, expresa el área S del cuadrilátero ABCD en términos de p, q y θ.'

'Por favor explique sobre puntos dentro y fuera de un círculo y los tamaños de los ángulos.'

'En el triángulo ABC, O es el circuncentro. Encuentra los ángulos α y β en la figura de la derecha.'

'Condiciones para un paralelogramo: Un cuadrilátero es un paralelogramo si se cumplen cualquiera de las siguientes condiciones. [1] Dos pares de lados opuestos son paralelos. [2] Dos pares de lados opuestos son iguales. [3] Dos pares de ángulos opuestos son iguales. [4] Un par de lados opuestos es paralelo y tiene la misma longitud. [5] Las diagonales se cruzan en sus respectivos puntos medios.'

'En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, donde AB = BC = 1, BD = √7 y DA = 2, encuentra:\n1. La posición del punto A\n2. La longitud del lado CD\n3. El área del cuadrilátero ABCD S'

'Encuentra el circuncentro O del triángulo ABC.'

'Dado un cuadrilátero ABCD inscrito en el círculo PR con AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, encontrar el área S del cuadrilátero ABCD.'

'Determina la longitud mínima de la diagonal en un rectángulo con una longitud de 40 cm. Además, describe la forma del rectángulo en este mínimo. Suponiendo que la longitud vertical del rectángulo sea de x cm, entonces la longitud horizontal es de (20-x) cm. Dado que x>0 y 20-x>0, tenemos 0<x<20. Denotando la longitud de la diagonal como l cm, l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1) donde l^2 alcanza el valor mínimo de 200 en x=10. Dado que l>0, cuando l^2 se minimiza, también lo hace l. Por lo tanto, el valor mínimo de la longitud de la diagonal l es sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm). En este punto, la longitud horizontal también es de 10 cm, lo que convierte al rectángulo en un cuadrado.'

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'Tomar el punto O en el plano y definir dos líneas perpendiculares en el punto O, como se muestra en el diagrama a la derecha. Estas se llaman el eje x y el eje y, respectivamente. El punto O se llama el origen. En este caso, si el punto A se encuentra en las coordenadas (3, 2), proporcione su coordenada x y coordenada y.'

'En la figura a la derecha, etiquete todos los vértices de un triángulo equilátero de longitud de lado 2 y los puntos medios de cada lado con los números del 1 al 6, correspondientes a los lanzamientos de un dado. Lance el dado 3 veces y conecte los números obtenidos para formar una figura geométrica. Encuentre el valor esperado del área de la forma resultante.'

'En un plano, hay 10 líneas que no se cruzan, y ninguna pasa por el mismo punto que otras 3. Si 2 de esas 10 líneas son paralelas, determina la cantidad de puntos de intersección y triángulos formados por esas 10 líneas.'

'Ejemplo 4: Antena parabólica\nUna parábola se llama parábola en inglés. La superficie de una antena parabólica utilizada para la recepción de radiodifusión por satélite tiene la forma de la superficie que se forma al girar una parábola alrededor de su eje.'

"Los círculos O y O' con radios 5 y 8, respectivamente, son tangentes externamente en el punto A. Sean B y C los puntos donde la tangente externa común de estos dos círculos toca a los círculos O y O'. Extiende BA para que intersecte al círculo O' en el punto D.\n(2) Demuestra que los puntos C, O' y D son colineales.\n(3) Encuentra las razones de AB:AC:BC."

'Calcule el número de paralelogramos formados por 3 líneas paralelas y 5 líneas que las intersectan.'

'Distancia entre dos puntos\n(1) La distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el plano de coordenadas es\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nEn particular, la distancia entre el origen O y el punto A(x1, y1) es OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) La distancia entre dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) en el espacio de coordenadas es\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nEn particular, la distancia entre el origen O y el punto A(x1, y1, z1) es OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

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'Encuentra la distancia entre A y P.'

'Demuestra que los baricentros de los triángulos ABC y DEF coinciden.'

'El valor mínimo es 10√2 cm, cuadrado'

'Para el segmento de línea AB dado, dibuje los siguientes puntos.'

'Matemáticas I\nPor lo tanto, el área del triángulo (ABC) es\n\nEjemplo 1 Se nos da una hoja de papel en forma de triángulo equilátero con un lado de (10 cm). Supongamos que los vértices de este triángulo equilátero son (A, B, C), y que el punto (P) en el lado (BC) está a una distancia de (2 cm) desde el punto (B). Al doblar esta hoja de papel de triángulo equilátero de manera que el punto (A) coincida con el punto (P), los puntos de intersección de los dobleces con los lados (AB, AC) son (D, E) respectivamente. En este punto, si (AD=) es A(cm), (AE=) es B(cm), y el área de △ADE es C(cm^{2}).\n[De la Universidad de Kyoto Makie]'

'En el triángulo ABC, donde BC=17, CA=10, AB=9. Encuentra el valor de sinA, el área del triángulo ABC, el radio del circuncírculo y el radio del incírculo.'

'Ejemplo básico 85 Longitud del segmento cortado por la parábola desde el eje x\n(1) Encuentre la longitud del segmento cortado por el gráfico de la función cuadrática y=-x^{2}+3x+3 desde el eje x.\n(2) Demuestre que la longitud del segmento cortado por el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 desde el eje x es constante independientemente del valor de la constante a.'

'Dado que AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6, encontrar las longitudes de los lados del triángulo.'

'(2) En el triángulo ABC, si BC = 5, CA = 3, AB = 7. Sea D y E los puntos donde el ángulo A y su bisectriz exterior cortan la línea BC, respectivamente. Encuentra la longitud del segmento DE.'

'En un plano, hay 10 líneas tales que ninguna de ellas se intersecta en el mismo punto. Cuando exactamente 2 de las 10 líneas son paralelas, determine el número de puntos de intersección formados por estas 10 líneas y el número de triángulos formados.'

'Dibuja los siguientes puntos:\n(1) Punto P equidistante de los lados AB, BC, CA\n(2) Punto Q equidistante de los puntos A, B, C'

'Dibuja los siguientes círculos basados en el círculo O y el cordón AB mostrados a la derecha. Ten en cuenta que los puntos P y Q son diferentes de A y B, y no están en el bisector perpendicular del cordón AB.'

'Para un triángulo rectángulo con longitudes de los lados a, b, c, donde el radio circunscrito es 3/2 y el radio inscrito es 1/2, responda las siguientes preguntas. Asuma que a ≥ b ≥ c:'

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'Escribe los siguientes términos matemáticos y sus definiciones correspondientes en japonés.'

'La longitud del lado más corto es de al menos 1 metro y como máximo 3 metros'

'Encuentra la ecuación de la parábola obtenida al mover simétricamente la parábola y=-2x^2+3x-5 con respecto a las siguientes líneas o puntos.'

'Encuentra el ángulo θ formado por las siguientes dos líneas. Suponga 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) AB y FG (2) AE y BG (3) AF y CD'

'En un triángulo equilátero ABC con longitud de lado 1, se divide BC en la proporción 1:2 en D, se divide CA en la proporción 1:2 en E, se divide AB en la proporción 1:2 en F. Se define P como la intersección de BE y CF, Q como la intersección de CF y AD, y R como la intersección de AD y BE. Encuentra el área del triángulo PQR.'

'En el triángulo ABC, si AB = 6, BC = 7, CA = 5, encuentra el radio de la circunferencia circunscrita R y el radio del círculo inscrito r.'

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'En la semicircunferencia con un radio de 1, el punto cuya coordenada x es 1/2 es el punto P. El ángulo que estamos buscando es ∠AOP.'

'Encuentra las coordenadas del punto Q, que es simétrico al punto P(3, 4) con respecto a la recta y = 2x + 1.'

'Sea ABC un triángulo con longitudes de lados a, b, c. Si (a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6 y el área es 15√3, encuentra el radio de la circunferencia circunscrita R y el radio de la circunferencia inscrita r del triángulo ABC.'

'Incentro de un triángulo'

'En el triángulo ABC, con el radio de la circunferencia circunscrita denotado como R. Cuando A=30 grados, B=105 grados, y a=5, encuentre R y c.'

'Cuando se mueve simétricamente alrededor del origen, el vértice está en el punto \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\), formando una parábola cóncava,\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { también válido }\\right) \\]'

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'Encuentra la distancia entre los dos puntos siguientes.'

'Hay un papel de triángulo equilátero con un lado de longitud 10 cm. Sea A, B y C los vértices de este triángulo equilátero, y el punto P un punto en el lado BC tal que BP=2 cm. Al doblar este papel de triángulo equilátero de manera que el vértice A coincida con el punto P, las intersecciones de los lados AB, AC y el doblez se denominan D y E, respectivamente. En este punto, AD= cm, AE= cm, y el área del triángulo ADE es cm².'

'Para un triángulo ABC que no es equilátero, con circuncentro O, centroide G y ortocentro H, prueba lo siguiente: (1) Sea L el punto medio del lado BC, y M, N sean los puntos medios de los segmentos GH y AG respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero OLMN es un paralelogramo. Puedes usar el hecho de que AH=2OL. (2) Demuestra que el punto G está en el segmento OH. (3) Demuestra que OG:GH=1:2.'

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'Relación de posición entre una parábola y el eje x'

'Resumen para Determinar la Forma de un Triángulo'

"Hay dos círculos P y Q que se intersectan con dos círculos O y O'. Como se muestra en la figura de la derecha, trazar una línea desde el punto A, que está más allá de P del segmento QP, tangente al círculo O e intersecante con el círculo O', con los puntos de tangencia siendo C y los puntos de intersección siendo B y D. Si AB=a, BC=b, CD=c, exprese c en términos de a y b."

'Demuestra lo siguiente utilizando la inversa del teorema de Ceva:\n1. Las tres medianas de un triángulo se intersecan en un punto.\n2. Los tres bisectores de los ángulos de un triángulo se intersecan en un punto.'

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'El cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo O, con AB = 3, BC = CD = √3, coseno ∠ABC = √3/6. Encuentra: (1) La longitud del segmento AC (2) La longitud del lado AD (3) El radio R del círculo O'

'Encuentra el área de las siguientes formas.\n1. Paralelogramo ABCD con AB=2, BC=3 y ∠ABC=60 grados\n2. Octágono regular circunscrito alrededor de un círculo con radio 10'

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'En el triángulo ABC, cuando a=13, b=7, y c=15, encuentra A.'

'¿Qué forma maximiza el área de un triángulo rectángulo cuyas dos longitudes de los lados suman 16? Además, calcula el valor máximo.'

'Existen tres casos para la relación de posición entre un círculo y una recta. Aquí, r es el radio del círculo, y d es la distancia entre el centro del círculo y la recta. [1] Intersección en 2 puntos (2 puntos compartidos) 0 ≤ d < r [2] Tangente (1 punto compartido) 0 ≤ d < r [3] Disjuntos (sin puntos compartidos) 0 ≤ d < r Cuando solo hay un punto compartido, el círculo y la recta son tangentes, y esta recta se llama tangente, con el punto compartido siendo el punto de tangencia. Vamos a investigar primero las propiedades de las tangentes de un círculo.'

'Determinar las condiciones para que existan los triángulos'

'En el triángulo ABC, donde AB=6, BC=a, y CA=4, dejemos que M y N sean los puntos medios de BC y CA, respectivamente. (1) Encuentra el valor de a cuando AM=√10. (2) Cuando a es el valor de (1), encuentra la longitud del segmento BN.'

'(2) El lado más largo es CA, así que AB + BC = 18, CA < AB + BC, por lo tanto el triángulo ABC existe.'

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'ENTRENAMIENTO 112 (1)\nTomando el punto O en la plaza plana como origen, consideremos el plano de coordenadas con la dirección este como la dirección positiva del eje x y la dirección norte como la dirección positiva del eje y.\nEl punto A está ubicado 28 unidades al este del punto O. Además, el punto P está al sur de la línea que conecta los puntos O y A.\nEl punto P está a una distancia de 25 de O y a 17 de A.\n(1) Encuentra las coordenadas del punto A.\n(2) Encuentra las coordenadas del punto P.'

'Práctica 3: Incentro, Circuncentro, Centroide de un Triángulo'

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'Calcular los valores de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo'

'Prueba de que hay cuatro puntos en una circunferencia'

'Uno de los puntos de intersección de dos gráficas es el punto (-1,0)'

'Demuestra que los puntos B, C, F, E se encuentran en un círculo único cuando se traza una línea perpendicular AD desde el vértice A del triángulo agudo ABC hasta el lado BC, y se trazan líneas perpendiculares DE, DF desde D hasta los lados AB y AC, respectivamente.'

'En el triángulo rectángulo ABC, con AB > AC y ∠A = 90°, traza la perpendicular AD desde el vértice A hasta el borde BC.'

'En el pentágono ABCDE circunscrito alrededor de un círculo, donde AB = 7, BC = 3, CD = 5, DE = 6, ∠BCD = 120° y ∠A = 82°, encontrar:\n(1) La longitud del segmento BD\n(2) La longitud del segmento AD\n(3) La longitud del lado AE\n(4) El área del cuadrilátero ABDE'

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'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

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'Capítulo 7 Aplicaciones a Triángulos'

'En △ABC, supongamos que AB = 7√3 y ∠ACB = 60°. ¿Cuál es el radio del circuncírculo O de △ABC? Deje que el punto P se mueva en el arco AB que contiene el punto C del circuncírculo O.'

'(1) Encuentra las medidas de los tres ángulos del triángulo ABC donde ∠A=90°, AB=2, y BC=3.\n(2) Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo ABC donde ∠A=70° y ∠B=∠C.'

'(1) ∠C < ∠B < ∠A\n(2) CA = AB < BC'

'En el diagrama de la derecha, el punto I es el incentro del triángulo ABC. Encuentra lo siguiente: (1) 𝛼 (2) AI:ID'

'Considera un plano de coordenadas con el punto O como origen, hacia el este como la dirección positiva del eje x, y hacia el norte como la dirección positiva del eje y.'

'El gráfico de la función cuadrática y = ax^2 + 2ax + a + 6 (a≠0) intersecta al eje x en dos puntos P y Q, y la longitud del segmento de línea PQ es 2√6. Determine el valor de la constante a.'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

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"Cuando se piensa tal como se describe en la pregunta, no está claro dónde aplicar las propiedades de las formas aprendidas. En primer lugar, el punto A es el punto de tangencia de los dos círculos O y O', así que dibujemos las tangentes comunes de los dos círculos que pasan por el punto A. Al centrarse en una parte de la figura, las propiedades relevantes se harán evidentes."

'Usando el resultado de la pregunta anterior, encuentra la longitud de un lado del próximo polígono regular inscrito en un círculo con un radio de 10. Además, encuentra la longitud de la perpendicular trazada desde el centro O del círculo a un lado del polígono regular. Puedes usar tablas trigonométricas. Redondea el resultado a dos decimales.'

'En la figura dada, encuentra el valor de x. Aquí, PT es la tangente al círculo, y T es el punto de contacto.'

'PRACTICA 4 (3) En △ABC, BC=a, CA=b, AB=c, el radio del círculo circunscrito es 3, y el área es S. En este caso, S=ABc. Las opciones de respuesta son (0) 1/2 (1) 1/3 (2) 1/6 (3) 1/8 (4) 1/12'

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'(1) En el triángulo ABC, si a=1, b=√3, y A=30°, encuentra las longitudes del lado restante y el tamaño del ángulo.'

'Encuentra el área del cuadrilátero ABCD, donde 77^{3}AB = 5, BC = 6, CD = 5, DA = 3, y ∠ADC = 120^{\\circ}.'

'Dentro del ángulo XOY, hay un punto A tal que ∠XOA=30° y OA=3. Cuando se toman los puntos P y Q en OX y OY respectivamente, encuentre el valor mínimo de AP+PQ+QA.'

'En un suelo rectangular de 2m 40cm por 3m 72cm, desea colocar baldosas cuadradas de lado a cm sin ningún espacio. Encuentre el valor máximo de a. Además, determine la cantidad de baldosas que se pueden colocar.'

'Explica problemas relacionados con los lados y ángulos de un triángulo, y demuestra los siguientes teoremas:\n1. La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.\n2. La diferencia entre las longitudes de dos lados de un triángulo es menor que la longitud del tercer lado.'

'ángulo entre dos líneas'

"Demuestra que cuando un círculo O pasa por la cuerda común AB de dos círculos intersectantes O y O', y la cuerda CD del círculo O y la cuerda EF del círculo O', los cuatro puntos C, D, E, F son cíclicos. Se da que los cuatro puntos C, D, E, F no son colineales."

'En el triángulo △ABC, donde el radio de la circunferencia circunscrita es R. Encuentra lo siguiente: (1) cuando a=10, A=30°, B=45°, encuentra C, b, R (2) cuando b=3, B=60°, C=75°, encuentra A, a, R (3) cuando c=2, R=√2, encuentra C'

'Triángulo isósceles de 74 grados, el valor máximo es 32'

'(1) ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros está inscrito en un círculo?\n(2) En el triángulo agudo ABC, se coloca el punto D en el lado BC (diferente de B y C), y se trazan perpendiculares DE y DF desde el punto D a los lados AB y AC respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero AEDF está inscrito en un círculo.'

'En un pueblo donde las calles son como un tablero de ajedrez, encuentra el camino más corto desde el punto A hasta el punto B.\n(1) ¿Cuántas rutas posibles hay?\n(2) ¿Cuántas de las rutas pasan por el punto C de (1)?\n(3) ¿Cuántas de las rutas de (1) no pasan por el punto C?'

'Explicación usando la condición de un cuadrilátero inscrito en un círculo\n(1) ¿Cuál de los cuadriláteros derechos ABCD puede ser inscrito en un círculo?\n(2) Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, y una línea paralela al lado AD interseca los lados AB, DC en los puntos E, F respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero BCFE también está inscrito en el círculo.'

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'Encuentra las ecuaciones de la parábola cuando la parábola dada en el ejemplo (1) se mueve simétricamente sobre el eje (1) (2) con respecto al origen.'

'■Circuncentro…Punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo\nEscuela secundaria\nBisectriz perpendicular de un segmento de línea\nEl punto P se encuentra en la bisectriz perpendicular del segmento de línea AB ⇔ PA=PB\nEn la misma línea\nEn otras palabras\n“La bisectriz perpendicular del segmento de línea AB es una colección de puntos equidistantes de los puntos A y B”'

'(1) ¿Cuántos triángulos se pueden formar al unir 3 vértices de un pentágono regular? ¿Cuántos de esos triángulos comparten 2 lados con el pentágono regular? (2) ¿Cuántos segmentos de línea se pueden formar al unir 2 vértices de un pentágono regular?'

'El punto P está en la semicircunferencia con un radio de √5, por lo tanto OP = √5\nEn el triángulo rectángulo OPQ, OQ² + 2² = (√5)², por lo tanto OQ² = 1 y OQ = 1\nPor lo tanto, las coordenadas del punto P son (-1,2)\n\nPor lo tanto, sin θ = 2/√5, cos θ = -1/√5, tan θ = 2/-1 = -2'

'¿Cuál es la forma que maximiza el área de un triángulo rectángulo cuyas dos longitudes de los lados suman 16? También determina cuál es su valor máximo.'

'Resumen de determinar la forma de un triángulo'

'En el tetraedro ABCD con longitud lateral 4, sea M el punto medio del lado CD y sea el ángulo AMB θ'

'Un ángulo ∠XOY=30° con un punto A donde OA=3 dentro del ángulo. Los puntos P y Q se toman en OX y OY respectivamente. Encuentra el valor mínimo de AP+PQ+QA.'

"En la figura de la derecha, los dos círculos O y O' son tangentes externamente. A y B son los puntos donde la tangente común de los círculos O y O' intersecta los círculos. Si los radios de los círculos O y O' son respectivamente 6 y 4, encuentra la longitud del segmento AB."

'En el triángulo 128 (3), cuando á=√6+√2, b=2, y C=45°, encuentra la longitud del lado restante y el tamaño del ángulo.'

'Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo con radio TR, donde las longitudes de los lados son AB=√7, BC=2√7, CD=√3, y 141DA=2√3. Encontrar: (1) el valor de cos B (2) la longitud de la diagonal AC (3) el área S del cuadrilátero ABCD'

'Hay 4 caminos que van de este a oeste y 4 caminos que van de norte a sur. ¿Cuántas rutas más cortas hay para los siguientes destinos: (1) De punto A a punto B. (2) Desde el punto A, pasando por los puntos C y D, hasta el punto B. (3) De las rutas más cortas de punto A a punto B, aquellas que pasan por al menos uno de los puntos C o D.'

'Una parábola y = x² y un círculo x² + (y - 5/4)² = 1 se tocan en dos puntos diferentes. Encuentra el área S de la región que encierra el arco más corto del círculo con los dos puntos tangentes como puntos finales y la parábola.'

'(1) Distancia entre el punto A y la recta BC\n(2) Área del triángulo ABC'

'Dada la curva y=9-x^2 interseca el eje x en los puntos A y B, y un trapecio ABCD está inscrito en la región encerrada por la curva y el segmento de línea AB. Encuentra el área máxima de este trapecio. Además, determina las coordenadas del punto C en ese momento.'

'Encuentra la longitud del arco y el área del siguiente sector:'

'Ejemplo básico 69 Coordenadas del centroide de un triángulo'

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'Encuentra el área del triángulo con los vértices O(0,0), A(x1, y1), y B(x2, y2).'

'Encuentra la ecuación de un círculo que pase por el punto (4,2) y sea tangente al eje x e y.'

'Encuentra la distancia entre dos puntos A(a) y B(b) en una recta numérica.'

'Encuentra las coordenadas del punto Q después de rotar el punto P(4, 2√3) alrededor del origen por π/6.'

'Encuentre las coordenadas de los siguientes puntos: (5, 1), (9, 5), (3, 9)'

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'Sea a una constante que satisface a > 1. Hay un punto M(2, -1) en el plano de coordenadas. Para un punto P(s, t) diferente de M, se toma el punto Q de manera que los tres puntos M, P, Q estén alineados y la longitud del segmento MQ sea a veces la longitud del segmento MP.'

'Considere un círculo con radio r y centro C, y una línea ℓ con distancia d desde C. Determine la relación de posición entre el círculo y la línea basada en la relación entre d y r.'

'¿Cuál será la forma de los puntos de intersección P(x, y) de las dos líneas l: tx-y=t y m: x+ty=2t+1 a medida que t varía en valores reales? Encuentra sus ecuaciones y gráficarlas.'

'Cuando la recta (3) comparte un punto con la región D, la pendiente m se maximiza cuando la recta es tangente al círculo C. Calcula la máxima pendiente m en este punto.'

'Encuentra la ecuación de los siguientes círculos.'

'Distancia entre un punto y una recta'

'Encuentra las coordenadas de un punto equidistante de los tres puntos A(1,5), B(0,2) y C(-1,3).'

'¿Qué desigualdad representa el área sombreada en la figura? Excluir la línea límite.'

'Considera dos puntos A(-1,2) y B(4,2) en el plano de coordenadas. Sea t un número real tal que 0 < t < 1. El punto P divide el segmento de línea OA en la proporción t:(1-t) y el punto Q divide el segmento de línea OB en la proporción (1-t):t. Encuentra la longitud mínima del segmento de línea PQ y el valor correspondiente de t.'

'Encuentra la ecuación de una recta tangente al círculo x^2+y^2=8 y perpendicular a la recta 7x+y=0.'

'Cuando la línea con pendiente -1 interseca la región D, y el círculo con centro (3,2) tiene una distancia a la línea menor o igual al radio 1. Encuentra el valor máximo de n en este caso.'

'Pasando por el punto A(3,1), sean P y Q los puntos de contacto de las dos rectas tangentes que tocan el círculo x^{2}+y^{2}=5. Encuentra la ecuación de la recta PQ.'

'Para los círculos \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) y \ x^{2}+y^{2}=4 \, ¿cuántas tangentes comunes tienen los dos círculos? ¿Cuáles son las ecuaciones de todas las tangentes comunes a los dos círculos?'

'Encuentra el rango de la constante k de modo que el círculo x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 (1) y la recta y = kx + 2 tengan un punto en común.'

'¿Tienen en común el círculo y la recta dados algún punto? Si es así, encuentra las coordenadas de ese punto.'

'Dado el radio y el radio que representa un ángulo, sea P el punto de intersección con un círculo de radio r.'

'Reducir el ángulo dado de 42140° a un ángulo en el círculo unitario en posición estándar.'

'El centroide del triángulo formado por el punto móvil de distancia 2 desde el origen con puntos fijos (5,0) y (0,3) yace en la curva x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0.'

'Encuentra las siguientes coordenadas: (\x0crac{3}{14}, 0) y (0,-\x0crac{3}{4}).'

'Para que el triángulo ABC con vértices A(1,1), B(2,4), y C(a, 0) sea un triángulo rectángulo, encuentra el valor de a.'

'Formas y Ecuaciones\nPara los tres puntos A(0,0), B(2,5), C(6,0), encontrar las coordenadas del punto P cuando se minimiza PA² + PB² + PC².'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente al círculo en el punto A (4,6) en el círculo x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.'

'En el plano de coordenadas, encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (-2, -2) y son tangentes a la parábola y=1/4 x^{2}.'

'Cuando las 3 líneas 2x-y-1=0, 3x+2y-2=0, y=1/2x+k se intersecan en el punto A, ¿cuál es el valor de k y cuáles son las coordenadas del punto A?'

'Encuentra la situación de los tres puntos A(-2, -2), B(2, 6), C(5, -3) en el plano de coordenadas.\n(1) Encuentra la ecuación del bisector perpendicular del segmento AB.\n(2) Encuentra las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC.'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,1) y es tangente al círculo x^2+y^2=25, y encuentra las coordenadas del punto de tangencia.'

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'Encuentra la ecuación de un círculo con su centro en la recta y = -4x + 5 y tangente tanto al eje x como al eje y.'

'Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos (4, -1), (6, 3), y (-3, 0).'

'Investiga la forma del triángulo ABC con vértices A(2a, a+√3a), B(3a, a), C(4a, a+√3a). Aquí, a>0.'

'Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea AB entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) internamente en la razón m:n.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto dado en el círculo dado.'

'Encuentra las coordenadas del vértice restante D del paralelogramo con vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3).'

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'En la recta numérica hay 3 puntos A(3), B(-3), C(5). El punto D divide el segmento de recta AB internamente en la proporción 2:1, el punto E divide el segmento de recta AC externamente en la proporción 3:1, encuentra las coordenadas del punto que divide el segmento de recta DE internamente en la proporción 3:4.'

'Sea n ≥ 2. Hay n círculos en un plano, donde ningún par de círculos se intersecan y tres o más círculos no se intersecan en el mismo punto. ¿Cuántos puntos de intersección se forman con estos círculos?'

'Encuentra la longitud del segmento de línea AB donde A y B son los puntos de intersección de la parábola y=x^{2} (1) y la recta y=x+3(2).'

'Por otro lado, el punto P(x, y) en la línea x+y=2 satisface AP^2-BP^2=4. Por lo tanto, la trayectoria requerida es la línea x+y=2.'

'Encuentra la longitud del arco y el área.\n(1) Radio es 10 con un ángulo de π/5\n(2) Radio es 3 con un ángulo de 15°'

'Encuentra las coordenadas del vértice restante D de un paralelogramo con vértices A(5,-1), B(3,3) y C(-1,-3).'

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'Encuentra la locura de los puntos P que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) Puntos P equidistantes de los puntos O(0,0) y A(3,2)\n(2) Puntos P tales que el ángulo OPA = 90 grados, donde O(0,0) y A(6,0)\n(3) Puntos P tales que AP^2 - BP^2 = 4, donde A(3,2) y B(1,0)'

'Hay n círculos en un plano, donde cualquier par de círculos se intersecan, y ningún grupo de tres o más círculos se intersecan en el mismo punto. ¿En cuántas partes divide estos círculos el plano?'

'Encuentra la distancia entre los siguientes dos puntos: (1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'Por lo tanto, las coordenadas del punto C son $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$, y así $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$. Además, la distancia entre el punto A y la recta (3) es $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$. Por lo tanto, el área del triángulo que buscamos es $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$.'

'En el plano xy, considerando las rectas l: x+t(y-3)=0 y m: tx-(y+3)=0 a medida que t varía sobre todos los números reales, ¿qué tipo de forma forman los puntos de intersección de las rectas l y m? [Gifu]'

'Sobre el triángulo ABC con vértices A(1,1), B(2,4), y C(a,0)'

'Grafica las siguientes ecuaciones que representan líneas en el plano de coordenadas.'

'Encuentra la ecuación de la tangente que satisface las siguientes condiciones.'

'Capítulo 3: Formas y Ecuaciones'

'Dado tres vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3) de un paralelogramo, encontrar las coordenadas del vértice restante D.'

'Determina la forma del triángulo ABC con los vértices A(2a, a+√3a), B(3a, a), y C(4a, a+√3a). Se asume que a>0.'

'¿Qué tipo de triángulo es el triángulo ABC con vértices A(1, -1), B(4, 1) y C(-1, 2)?'

'Encuentra las coordenadas del punto $Q$ que es simétrico al punto $P(3,2)$ con respecto a la recta $\\ell: x+y+1=0$.'

'Pregunta 84'

'Encuentra la ecuación del círculo PR. (1) Pasando por los puntos (0,2), (-1,1) y con el centro en la recta y=2x-8.'

'Encuentra las condiciones para que la forma general de la ecuación de un círculo x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 represente un círculo. También encuentra el centro y el radio.'

'Encuentra las ecuaciones de los siguientes círculos'

'Encuentre las coordenadas de los siguientes puntos. (1) Punto que divide el segmento de línea 3:1 internamente (2) Punto que divide el segmento de línea 3:1 externamente (3) Punto que divide el segmento de línea 1:3 externamente (4) Punto medio'

'Cuando los puntos A(a,-2), B(3,2), C(-1,4) son colineales, encuentra el valor de la constante a.'

'Encuentra la tangente en un punto de la circunferencia de un círculo.'

'Para los puntos A(7,6), B(-3,1), y C(8,1) en el PR 3, sea P el punto medio de BC, Q el punto que divide CA externamente en la proporción 3:2, y R el punto que divide AB internamente en la proporción 3:2. Encuentra las coordenadas del baricentro del triángulo PQR.'

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'Encuentra el valor máximo de k, de modo que la condición x^{2}+y^{2} ≤ 1 implica 3 x+y ≥ k.'

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'Encuentra las ecuaciones de 4 líneas.'

'Encuentra la trayectoria de los puntos P que satisfacen las siguientes condiciones:'

'Encuentra la escala del punto medio del segmento de línea que conecta el punto 4 en la escala y el punto 9 en la escala.'

'(1) En el plano de coordenadas, encuentra todas las ecuaciones de las rectas que son paralelas a la recta y=-2x y a una distancia de √5 desde el origen. [Universidad de Tokio Denki] (2) Encuentra la distancia entre las rectas paralelas 2x-3y=1 y 2x-3y=-6.'

'Dibuje las regiones representadas por las siguientes desigualdades.'

'Encuentra las condiciones de a y b de manera que la recta y = ax + b tenga un punto en común con el segmento de línea que conecta dos puntos A(-1,5) y B(2,-1), y dibújalo en el plano ab.'

'Encuentra todos los valores de a que dividen el plano en 6 partes.'

'Encuentra las coordenadas de los dos puntos de intersección de los dos círculos x^2 + y^2 = 10 y x^2 + y^2 - 2x + 6y + 2 = 0.'

'1. Encuentra la ecuación de un círculo con centro en (0,0) y radio √2.'

'Encuentra la ecuación del círculo que tiene centro en (1,1) y es tangente a la recta 4x+3y-12=0.'

'En el plano de coordenadas, sea A el punto (-3,2) y B el punto (4,0). Encuentra las coordenadas de los puntos que están a igual distancia del eje x y el eje y, respectivamente.'

'Encuentra las coordenadas del punto que divide externamente los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2). La proporción de división externa es m:n.'

'Encuentra la ecuación de un círculo que pase por el punto (2,3), sea tangente al eje y, y tenga su centro en la recta y=x+2.'

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'Determine el número de puntos de intersección entre una línea y un círculo en geometría y ecuaciones.'

'Encuentra las ecuaciones de los siguientes círculos:'

'Problema de descripción sobre las líneas polares de un círculo con respecto al punto A. Dado un punto A(p, q) fuera del círculo x^2+y^2=r^2, encontrar la ecuación de la recta β que pasa por los puntos de tangencia P, Q de las dos tangentes trazadas desde el punto A hacia el círculo. Utilizando la ecuación p x+q y=r^2, demostrar que la línea polar del punto A que pasa por otro punto B implica que la línea polar del punto B pasa por el punto A.'

'Sea S el área de un pentágono regular inscrito en un círculo de radio 1'

'En el tetraedro regular OABC con longitud de lado a, se toman los puntos P, Q, R en los bordes AB, BC y OC respectivamente. ¿Cuál es la longitud del camino más corto hasta el vértice A, comenzando desde el vértice O y pasando por los puntos P, Q, R en secuencia?'

'En el cuadrilátero ABCD, AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-t (0<t<3). Además, se asume que el cuadrilátero ABCD tiene un círculo circunscrito.'

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'Para un tetraedro regular ABCD con longitud de borde de 6, sea E el punto en el borde BC tal que 2BE=EC, y sea M el punto medio del borde CD.'

'Considere un triángulo con longitudes de lado a, a+2, a+4.'

'En el triángulo ABC, AB = 8, AC = 5, y ∠A = 120°. Sea D la intersección del bisector del ángulo ∠A y el lado BC. Encuentra la longitud del segmento AD.'

'Un cono con un radio de 2 y una altura inclinada de 6 es tangente a una esfera O tanto en su superficie lateral como en el centro de la base. Determine el radio, el volumen y el área superficial de esta esfera.'

'(2) BD=3, AD=3 \\sqrt{7}'

'Selecciona el término más apropiado de (A) a (E) para completar el espacio en blanco.'

'Sea S el área del hexágono ABCDEF'

'Práctica 1: En los lados AB, BC, CA de un triángulo equilátero ABC con longitud de lado 1, se toman los puntos D, E, F de tal manera que AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Expresar el área del triángulo DEF, S, en función de x. (2) Encontrar el valor de x que minimiza S en (1) y el valor mínimo.'

'En △ABC, donde a=2, b=√2, c=1. Encuentra:\n(1) cos B, sin B\n(2) El área de △ABC, S\n(3) El radio del círculo inscrito de △ABC, r\n(4) El radio del círculo circunscrito de △ABC, R\nConsulte la pág. 265, Concepto Básico 3, Básico 162.'

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'188\nMatemáticas I\n(1) Como se muestra en la figura, tome los vértices A, B, C del triángulo T como AB=5, BC=6, CA=7.'

'Dado b=4, c=4√3, y B=30°, encuentra a, A, C y R.'

'En un triángulo rectángulo en el que la suma de las longitudes de los dos lados es 20, encuentra el triángulo rectángulo con la longitud mínima de la hipotenusa, y determina la longitud de la hipotenusa.'

'En el triángulo ABC, sea R el radio del círculo circunscrito. Encuentra los siguientes valores: (1) Cuando A=60°, C=45°, a=3, encuentra c y R'

'Práctica (1) En el diagrama a la derecha, encuentra las longitudes de los segmentos de recta DE y AE.\n(2) Utilizando el diagrama a la derecha, encuentra los siguientes valores: sin 15°, cos 15°, tan 15°'

'Por favor, explique el Teorema del círculo.'

'Considere un triángulo equilátero ABC con longitud de lado de 1. Se toman los puntos D, E, F en los lados AB, BC, CA respectivamente de modo que AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Expresa el área del triángulo DEF, denotada por S, en función de x. (2) Encuentra el valor de x que minimiza S y el valor mínimo.'

'Por favor explique qué es un gráfico basándose en el siguiente texto: En el Diccionario Oxford Concise (C.O.D.), se describe un gráfico como un mapa marítimo del navegador CHARTNavigator, que incluye contornos de la costa, rocas, bajíos, etc.'

'En el triángulo ABC, sea D la intersección del bisectriz del ángulo A y el lado BC. Encuentra las longitudes de los segmentos BD y AD en los siguientes casos:'

'Encuentra el área S de un octágono regular inscrito en un círculo de radio a.'

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'En △ABC, sea R el radio del circuncírculo. Encuentra lo siguiente: (2) Cuando a=√2, B=50°, R=1, encuentra los valores de A y C'

'¿Cómo representar las coordenadas del punto P(a, b) en el plano coordenado?'

'Para verificar si es posible dibujar más de cuatro conjuntos usando círculos, intentemos representar cuatro conjuntos A, B, C, D con círculos. Primero, dibujemos los diagramas de Venn para los conjuntos A, B, C y luego intentemos agregar el diagrama de Venn para el conjunto D para observar el resultado.\n\nA continuación, para comprobar si podemos dibujar cuatro conjuntos usando círculos, dibujemos cuatro círculos diferentes en un plano y contemos las intersecciones. En este caso, los cuatro círculos deben seguir las siguientes reglas:\n- Cualquier par de círculos se interseca en dos puntos\n- Cualquier trío de círculos no se intersecta en el mismo punto\n\nCalcula el número de regiones creadas por las intersecciones de los cuatro círculos y verifica si este número coincide con el número de partes comunes formadas por los cuatro conjuntos y sus complementos.'

'Por favor, explique el teorema de Pitágoras.'

'En el plano de coordenadas, hay una línea y dos parábolas, Línea L: y=ax+b, Curva C_{1}: y=-2x^{2}, Curva C_{2}: y=x^{2}-12x+33. Cuando la Línea L interseca la Curva C_{1} y la Curva C_{2} en dos puntos cada una, se cumple la desigualdad a^{2}-a<b<a^{2}, donde a>0.'

'En el triángulo ABC, encuentra lo siguiente.'

'Encuentra el área de la siguiente figura. (2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \\sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ paralelogramo \ \\mathrm{ABCD} \'

'Solución del triángulo (1)'

'Calcula los valores de las funciones trigonométricas a partir de las coordenadas dadas. (1) P(-1,1) (2) P(-√3, 1)'

'En el triángulo ABC, cuando b=2, c=√5+1, y A=60 grados, determina si C es un ángulo agudo, recto u obtuso.'

"Defina las condiciones p, q, r con respecto a los triángulos de la siguiente manera: p: los tres ángulos internos son diferentes q: no es un triángulo rectángulo r: ningún ángulo interno es de 45 grados Elija las opciones correctas de cada elección: (1) La contrapositiva de la proposición 'r implica (p o q)' es 'un _______ implica no r'. [Opciones] 0 (fuerza y q) (1) (no p y no q) (2) (ser como q) (2) ¿Qué triángulo sirve como contraejemplo para la proposición '(p o q) implica r'? [Opciones] Triángulo rectángulo isósceles (1) Un triángulo con ángulos internos de 30 grados, 45 grados, 105 grados (2) Triángulo equilátero (3) Triángulo con longitudes de lado 3, 4, 5 (4) Triángulo isósceles con un ángulo en el vértice de 45 grados (3) r es la relación causal para (p o q) como un _______. [Opciones] (0) Condición necesaria y suficiente (1) Solo condición necesaria pero no suficiente (2) Solo condición suficiente pero no necesaria (3) Ni necesaria ni suficiente condición"

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'Antena parabólica'

'En un triángulo agudo ABC, que BD y CE sean las perpendiculares trazadas desde los vértices B y C a sus respectivos lados opuestos. Si BC=a y la medida del ángulo A se representa por A, expresa la longitud del segmento DE en términos de a y A. Además, puedes utilizar la propiedad de que si el ángulo PRQ=90 grados para el segmento PQ, entonces el punto R se encuentra en la circunferencia del círculo con el segmento PQ como su diámetro.'

'Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Si AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, encuentra el área S del cuadrilátero ABCD.'

'En el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AB = BC = 1, BD = √7, DA = 2, encontrar: (1) A (2) La longitud del lado CD (3) El área del cuadrilátero ABCD'

'Área mínima de un triángulo'

'Ángulo máximo de un triángulo'

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'Área de un rectángulo inscrito en un círculo (1)'

'Determina el rango de valores para x de modo que el triángulo con longitudes de lado 3, 5 y x forme un triángulo agudo.'

'Se dobló una pieza de origami en forma de un triángulo equilátero con longitud de lado de 10 cm, denominado ABC.'

'En un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AB=8, BC=10, y CD=DA=3. Encuentra el área S del cuadrilátero ABCD.'

'En el triángulo ABC, si B=30°, b=√2, c=2, encuentra los valores de A, C y a.'

'En el triángulo ABC donde AB=6, BC=4 y CA=5, encontrar la longitud del segmento BD donde la bisectriz del ángulo B intersecta el lado AC en el punto D.'

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'En la recta x=1, llamemos T al punto con coordenada y sqrt{3}. El punto P donde la recta OT interseca la semicircunferencia con radio 1 es el punto en la figura. El ángulo θ que buscamos es ∠AOP.'

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'En el triángulo ABC, donde b=3, c=√2, A=45°, encuentra la longitud del lado a.'

'En el diagrama de la derecha, encuentre las longitudes de los segmentos de línea AB, BC y CA.'

'Por favor explique los teoremas y fórmulas relacionados con el triángulo siguiente.'

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'(1)\\[ \egin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\\\ & =180^{\\circ}-(30^{\\circ}+105^{\\circ}) \\\\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\] Por lo tanto, el área del triángulo ABC es \\[ \egin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]'

'En un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, con AB=2, BC=1, CD=3, y cos ∠BCD=-1/6. Encuentra AD y el área del cuadrilátero ABCD.'

'En un rectángulo con una longitud de 40 cm, ¿cuál es la longitud mínima de la diagonal? Además, ¿cómo es el rectángulo en ese momento? Si la longitud vertical del rectángulo es de x cm, entonces la longitud horizontal es de (20-x) cm. Además, x>0 y 20-x>0, por lo tanto, 0<x<20. Sea l cm la longitud de la diagonal del rectángulo. l^2 = x^2+(20-x)^2 = 2x^2-40x+400 = 2(x-10)^2+200. El valor mínimo de l^2 se produce en x=10 con un valor de 200. Dado que l>0, cuando l^2 es mínimo, l también es mínimo. Por lo tanto, la longitud mínima de la diagonal es sqrt(200)=10 sqrt(2) cm. En este punto, la longitud horizontal es de 20-x=10 cm, haciendo que la longitud de la diagonal sea mínima cuando el rectángulo es un cuadrado.'

'Explique acerca de los cuadrantes en un plano de coordenadas y dé un ejemplo del segundo cuadrante.'

'Radio del círculo circunscrito e inscrito de un triángulo'

'203 Condiciones básicas del triángulo triángulo obtuso'

'En el cuadrilátero ABCD, si AB=8, BC=5, CD=DA=3, y A=60 grados, ¿cuál es la longitud de la diagonal BD?'

'El gráfico de caja a la derecha muestra las puntuaciones de 30 estudiantes en un examen de ciencias. Cuando las puntuaciones que formaron este gráfico de caja se representan en un histograma, ¿cuál de los siguientes números del 0 al 2 le corresponde?'

'En un rectángulo con un perímetro de 40 cm, encuentra la longitud mínima de la diagonal. Además, determina las características del rectángulo en ese momento.'

'Se da un tetraedro regular OABC con longitud de arista 6. Sea L el punto medio de la arista OA, M el punto que divide la arista OB en 2:1, y N el punto que divide la arista OC en 1:2. Encuentra el área del triángulo LMN.'

'Hay un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Si AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, encontrar el área S del cuadrilátero ABCD.'

'Cuando las longitudes de los tres lados de ∆ABC son las siguientes, determine si el ángulo A es agudo, recto u obtuso.'

'En el semicírculo con radio 1, el punto donde la coordenada x es 1/2 es el punto P. El ángulo que buscamos es ∠AOP.'

'En el triángulo ABC, donde AB=3, AC=2, y ∠BAC=60°, si el bisector del ángulo A intersecta BC en D, encuentra la longitud del segmento AD.'

'Dadas las longitudes de las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD como p y q, y uno de los ángulos que forman como θ, exprese el área S del cuadrilátero ABCD en función de p, q y θ.'

'En el cuadrilátero ABCD, que no es un paralelogramo, AD=BC. Sean P y Q los puntos medios de AB y CD respectivamente, y M y N los puntos medios de AC y BD respectivamente. (1) Expresa →PQ, →MN en términos de →AD, →BC. (2) Demuestra que PQ es perpendicular a MN.'

'Ecuación polar de una recta (1)'

'Un círculo que pase por el punto A(-3,0) y sea tangente a la recta x=3 tiene como centro a P(x, y). Encuentra la trayectoria del punto P.'

'Ecuación polar de un círculo (2)'

'Encuentra las coordenadas del punto R'

'(1) Elipse $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$ (2) Círculo $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$ (3) Hipérbola $\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\\frac{(y+1)^{2}}{9}=1$'

'Considere la elipse $x^{2}+4 y^{2}=4$ y la recta $y=t(x+2)$ y su punto de intersección $P(x, y)$. Expresa la elipse excluyendo el punto $(-2, 0)$ utilizando el parámetro $t$.'

"Elipse\nEn esta sección, aprenderemos sobre el locus de puntos donde la suma de distancias desde dos puntos fijos permanece constante.\nEcuación de una elipse\nEn un plano, el locus de puntos donde la suma de distancias desde dos puntos fijos F y F' permanece constante. Los dos puntos fijos, F(c, 0) y F'(-c, 0) [c>0], se llaman los focos de la elipse. Encontremos la ecuación de una elipse C con una suma de distancias de 2a desde estos dos puntos usando el concepto de locus."

'Ecuación polar de una trayectoria'

'Sea k una constante. Determine el número de puntos de intersección entre la elipse x^{2}+4y^{2}=20 y la recta y=(1/2)x+k.'

'¿Qué es la espiral de Arquímedes?'

'Encuentra la trayectoria del punto P, de modo que la proporción de las distancias desde el punto TR (F(0,1)) y la recta l: y=-1 esté dada. 107 (1) 1: 1 (2) 1: 2 (3) 2: 1 Sea P(x, y), y sea PH la perpendicular desde P hasta la recta l, entonces PH=|y-(-1)|=|y+1|'

'En el incenter de un triángulo\n(1) En el triángulo ABC, donde AB = 6, BC = 3, CA = 4, y el incenter es I. Expresa AI en términos de AB y AC.'

'Si un círculo de radio 2, x^2+y^2=25, se escala en la dirección del eje x con respecto al eje y en 3/5, ¿qué tipo de curva se formará?'

'Círculo con centro en -2i y radio 2 (1) Círculo con centro en -1/2i y radio 3/2'

'¿Qué tipo de forma representa la representación paramétrica?'

'Encuentra la distancia mínima entre un punto P en la elipse x^2+4y^2=4 y un punto Q en la recta x+2y=3.'

'Encuentra la parte obtenida al quitar el punto 2 de un círculo con centro en el punto 1 y radio 1.'

'Capítulo 4 Forma y Curva - Simplificando a y^{2} = -12x, por lo tanto, el punto P se encuentra en la parábola y^{2} = -12x. A la inversa, todos los puntos P(x, y) en esta parábola satisfacen la condición. Por lo tanto, la trayectoria requerida es la parábola y^{2} = -12x.'

'¿Qué es el círculo de Apolonio?'

'(1) La línea perpendicular que biseca el segmento de línea que une los puntos 0 y 1 (2) Círculo con radio 2 centrado en el punto 3'

'Encuentra la distancia mínima entre el punto P en la elipse $x^{2} + 4y^{2} = 4$ y el punto Q en la recta $x + 2y = 3$.'

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'Sea TR una constante. Encuentra el número de puntos de intersección entre la elipse x^2 + 4y^2 = 20 y la recta y = \\frac{1}{2}x + k.'

'Demuestra que cuando una línea que pasa por el foco \ \\mathrm{F} \ de la parábola \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) interseca la parábola en los puntos \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \, el producto de las coordenadas \ y \ de los puntos \ \\mathrm{A} \ y \ \\mathrm{B} \ permanece constante.'

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'Encuentra la trayectoria de los puntos P tal que la proporción de distancias desde el punto F(1,0) y la recta ℓ: x=-2 al punto P sea 1:2.'

'Encuentra el foco y la directriz de la parábola $y^{2}=3 x$. Además, esboza su forma general.'

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'Encuentra el lugar geométrico del centro P(x, y) de un círculo que pasa por el punto A(4,0) y es tangente a la recta x = -4.'

'Dado tres puntos diferentes A(α), B(β), C(γ) y la siguiente relación entre ellos, encuentra las medidas de los 86 ángulos en el triángulo ABC con estos tres puntos como vértices.'

'ENTRENAMIENTO 41\nDesde el punto P(1,3), traza una línea perpendicular a la línea ℓ: 2x-3y+4=0, siendo el punto de intersección H.\n(1) Encuentra las coordenadas del punto H usando vectores.\n(2) Encuentra la distancia entre el punto P y la línea ℓ.'

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'Encuentra el triángulo OAB.'

'En el pentágono regular ABCDE con longitud de lado de 1, sea AB = b y AE = e.'

'【Ejemplo 30(2)】\n(Dado que no está en la forma de $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$, eliminar $s, t$ de la expresión de la condición.)\n$\\mathrm{O}(0,0)$, $\\mathrm{A}(1,0)$, $\\mathrm{B}(0,1)$, considerando en el plano de coordenadas cartesianas\n$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+(s+t) \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=(s, s+t)$\nSea $\\mathrm{P}(x,y)$ entonces $x=s, y=s+t$...\nAdemás, $0 \\leqq s \\leqq 1,0 \\leqq t \\leqq 1$\nDe (1), (2), $x \\leqq y \\leqq x+1,0 \\leqq x \\leqq 1$\nLa región representada por (3) es la parte roja a la derecha de la [Figura 5], por lo tanto, el rango del punto $\\mathrm{P}$ es alrededor y dentro del paralelogramo OCDB en la [Figura 6].\nResolver el ejemplo 16 de la página 48 usando coordenadas\n$\\mathrm{O}(0,0)$, $\\mathrm{A}(1,0)$, $\\mathrm{B}(0,1)$, considerando en el plano de coordenadas cartesianas, $\\mathrm{OC}:\\mathrm{CA}=3:1$, $\\mathrm{OD}:\\mathrm{DB}=4:1$, entonces $\\mathrm{C}\\left(\\frac{3}{4}, 0\\right)$, $\\mathrm{D}\\left(0, \\frac{4}{5}\\right)$\n\nLa ecuación de la línea AD es $x+\\frac{5}{4}y=1$\nLa ecuación de la línea BC es $\\frac{4}{3}x+y=1$\nResolver (1), (2) para obtener $\\mathrm{P}\\left(\\frac{3}{8}, \\frac{1}{2}\\right)$, entonces $\\mathrm{BP}:\\mathrm{CP}=\\frac{3}{8}:\\left(\\frac{3}{4}-\\frac{3}{8}\\right)=1:1$\nPor lo tanto, $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}}{2}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4}\\vec{a}+\\frac{1}{2}\\vec{b}=\\frac{3}{8}\\vec{a}+\\frac{1}{2}\\vec{b}$\n\nDe manera similar, encontrar la ecuación de las líneas $\\mathrm{OP}$, $\\mathrm{AB}$ → encontrar las coordenadas del punto $\\mathrm{Q}$ y examinar $\\mathrm{BQ}:\\mathrm{QA}$, también se puede expresar $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$ en $\\vec{a}, \\vec{b}$.\n\nDe esta manera, es muy interesante que la proporción de segmentos de línea se pueda obtener mediante cálculos simples en el nivel de la escuela secundaria. Además, para evitar que aparezcan fracciones en los cálculos anteriores, es aceptable continuar con $\\mathrm{A}(4,0)$, $\\mathrm{B}(0,5)$.'