Tutor de IA | La aplicación gratuita número 1 para terminar la tarea

'Dado que ambos lados son positivos, al elevar al cuadrado se obtiene (mb+1)² = m²+1. Por lo tanto, m{(b²-1)m+2b}=0. Dado que m≠0, m=2b/(1-b²). Por lo tanto, la ecuación de la recta QR es y=2b/(1-b²)(x-b).'

'[1] Cuando b ≠ 1, la ecuación de la recta QR es, con pendiente m, y=m(x-b), que es equivalente a mx-y-mb=0'

'El procedimiento para encontrar una trayectoria [1] Representar las coordenadas de cualquier punto en la trayectoria como (x, y), y expresar las condiciones dadas en términos de x, y. [2] Derivar la ecuación de la trayectoria y determinar la forma geométrica representada por esa ecuación. [3] Verificar que cualquier punto en la forma geométrica satisface las condiciones. Excluir cualquier punto en la forma que no cumple con las condiciones.'

'[1] Cuando ∠A=90°, la condición que se debe cumplir es que las coordenadas y de los puntos A y C sean iguales, por lo que t²=t²-t-1, por lo tanto t=-1. [2] Cuando ∠B=90°, la condición que se debe cumplir es que las coordenadas y de los puntos B y C son iguales, por lo que t-2=t²-t-1, lo que significa que (t-1)²=0, por lo tanto t=1. [3] Cuando ∠C=90°, la condición que se debe cumplir es que AB²=BC²+CA², donde AB²={(t²-(t-2))}²={(t²-t+2)}², BC²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-(t-2)}²={(t²-2t+1)}²+3, CA²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-t²}²=(t+1)²+3, por lo tanto (t²-t+2)²=(t²-2t+1)²+3+(t+1)²+3. Al expandir y simplificar, obtenemos t³-t²-t-2=0, lo que significa (t-2)(t²+t+1)=0, y dado que t es un número real, t=2. Por lo tanto, de [1] a [3], los valores de t que buscamos son t=-1,1,2.'

'(2) Sea el punto P(x, y), dado que AP=BP implica AP^2=BP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\nAdemás, dado que AP=CP implica AP^2=CP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\nAl resolver esto, obtenemos P(3, 2)'

'Considere una solución alternativa, es decir, cuando el punto B está fijo, el triángulo ABD está fijo, por lo que solo tenemos que considerar el caso en que el área del triángulo BCD es máxima.'

'La recta tangente requerida pasa por el punto A y no es perpendicular al eje x, por lo que se puede expresar como y=m(x-6)+8, es decir mx-y-6m+8=0.'

'Ejemplo importante 179 Igualdad de áreas y determinación de funciones\nEncuentra el valor de la constante m para la cual las áreas de dos figuras encerradas por la curva y=x^{3}-6 x^{2}+9 x y la recta y=m x son iguales. Aquí, 0<m<9.'

'Generalmente, la curva $f(x, y)=0$ divide el plano de coordenadas en varias regiones (bloques). Cuando $f(x, y)$ es un polinomio en $x, y$, el signo de $f(x, y)$ permanece constante dentro de los bloques divididos.'

'Sea m un número real. Sea A, B los puntos de intersección de la parábola y=x^{2} y la recta y=mx+1 en el plano de coordenadas, siendo O el origen.'

'Encuentra la trayectoria de los puntos P donde la suma de los cuadrados de las distancias desde los puntos fijos A y B es un valor constante k. Se asume que k es mayor a 0.'

'Sea la recta que pasa por el punto P denominada por ℓ, que corta la curva C en tres puntos distintos, con coordenadas x de los puntos de intersección siendo α, β, γ (α<β<γ). Demuestra que cuando las áreas de las dos regiones encerradas por la recta ℓ y la curva C son iguales, la recta ℓ pasa por el origen.'

'Encuentra la trayectoria de puntos P que cumplen con la condición donde la diferencia entre los cuadrados de las distancias desde los puntos fijos A y B es un valor constante k. Supongamos k > 0.'

'266 Problema de matemáticas de práctica 182 => este libro p. 333\n(1) La ecuación de la línea AP es\n\ny = -3px + 3p\n\nLa coordenada x de la intersección de la línea y la parábola se da por -3px + 3p = -3x^2 + 3.\nAl resolverlo, obtenemos x^2 - px + p - 1 = 0\nPor lo tanto, (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\nPor lo tanto, x = 1, p - 1\nLa condición para que el segmento de línea AP y C compartan un punto Q diferente de A es que la coordenada x de Q sea p - 1.\n\n*Por lo tanto*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'Encuentra la longitud de la cuerda cortada por la recta y = -x + 6 en el círculo x^2 + y^2 = 25 para la cuerda dada de 53 yenes.'

'Sea t un número real positivo. En el plano xy, hay dos puntos P(t, t^{2}) y Q(-t, t^{2}+1), y una parábola C: y=x^{2}. Sea f(t) el área de la región encerrada por la recta PQ y la curva C. Encuentra el valor mínimo de f(t) y el valor correspondiente de t.'

'La trayectoria de los puntos que satisfacen las condiciones dadas al moverse forma una forma, que se llama la trayectoria de los puntos que satisfacen las condiciones dadas. Para demostrar que la trayectoria de los puntos P que satisfacen las condiciones dadas es la forma F, se deben probar dos cosas: 1. Cualquier punto P que satisfaga las condiciones dadas está en la forma F. 2. Cualquier punto P en la forma F satisface las condiciones dadas.'

"Además, cuando el punto B(-2,2) se traslada paralelamente al punto O(0,0), el triángulo ABC se mueve, donde el punto A(2,3) va a A'(4,1) y el punto C(1,-1) va a C'(3,-3). Por lo tanto, el triángulo ABC = triángulo A'OC' = 1/2 |4*(-3)-1*3| = 15/2. A continuación, el circuncentro del triángulo ABC es la intersección de los bisectores perpendiculares de los lados BC y CA."

"Hay un círculo O con centro en O y radio r. Para un punto P diferente de O, un punto P' en la semirrecta OP con O como extremo está determinado por OP*OP'=r^2, entonces asociar el punto P con el punto P' en el círculo O se llama inversión con respecto al círculo O, siendo O el centro de la inversión. Además, a medida que el punto P se mueve a lo largo de la figura F, la figura F' trazada por el punto P' se llama inversa de F. Con respecto a la inversión de círculos y líneas, se cumplen las siguientes propiedades: (1) La inversa de un círculo que pasa por el centro de inversión O es una línea que no pasa por O. (2) La inversa de una línea que no pasa por el centro de inversión O es un círculo que pasa por O. (3) La inversa de un círculo que no pasa por el centro de inversión O es un círculo que no pasa por O. (4) La inversa de una línea que pasa por el centro de inversión O es la línea misma. El ejemplo 71 en la página anterior es un ejemplo de inversión con respecto al círculo x^2+y^2=8, donde a medida que el punto P se mueve, el círculo que pasa por el centro de inversión O, la figura trazada por el punto Q es la línea 2x+y-4=0 que no pasa por O. La validez de (1)-(4) se puede probar de la siguiente manera."

'En la parábola y=x^2 que se mueve en el plano xy, se conectan dos puntos A y B y el origen O con un segmento de línea para formar el triángulo AOB, donde ∠AOB=90°. Encuentra la trayectoria del centroide G del triángulo AOB.'

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'Ejemplo 51 | Área máxima y mínima de un triángulo Para 0 < a < sqrt{3}, hay tres líneas: l: y = 1-x, m: y = sqrt{3}x + 1, n: y = ax. Sea A la intersección de l y m, B la intersección de m y n, y C la intersección de n y l. Encuentra el valor de a que minimiza el área S del triángulo ABC. Además, encuentra el valor de S en ese momento.'

'La línea AC es perpendicular a l, por lo tanto (q-1)/(p-7) * 1/2 = -1'

'Práctica (64 => Libro p.138) (1) Sea a > 0, y defina el eje de coordenadas de manera que A(-a, 0), B(a, 0). Sea las coordenadas del punto P (x, y), la condición dada es AP^2 + BP^2 = k, por lo tanto {(x+a)^2+y^2} + {(x-a)^2+y^2} = k, 4x=1 es la tangente interna común, Capítulo 3 □ Práctica de Geometría Ecuaciones'

'(2) Cuando se forma el triángulo PAB, el punto P no está en la recta AB. La ecuación de la recta AB es y=-x+2. Al eliminar y de esta ecuación y de y=x^2, resolvemos para obtener x=1,-2. Por lo tanto, para formar el triángulo PAB, es necesario que s≠1, s≠-2. Sea las coordenadas de R (x, y). Dado que R es el baricentro del triángulo PAB, tenemos x=\\frac{s+3+0}{3} y y=\\frac{t-1+2}{3}, lo que lleva a s=3x-3, t=3y-1. Sustituyendo en (1) obtenemos 3y-1=(3x-3)^2, es decir, y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}. A partir de (3) y (4) tenemos que x≠\\frac{4}{3}, x≠\\frac{1}{3}. Por lo tanto, la trayectoria deseada es la parábola y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}, excepto por los puntos (\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}) y (\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}).'

'Cuando se pueden trazar dos tangentes desde el punto P a la parábola y = \x0crac{1}{2} x^2$, llamemos A y B a los dos puntos de contacto, y llamemos S al área encerrada por los segmentos PA, PB y la parábola. Encuentra el valor mínimo de S cuando PA y PB son perpendiculares entre sí.'

'Problemas de aplicación en geometría'

'Ejemplo importante 182 Máximo y mínimo del área (3)\nCuando la curva y = | x ^ 2-x | y la recta y = mx tienen tres puntos de intersección diferentes, encuentre el valor de m en el que la suma de las áreas de las dos partes encerradas por esta curva y línea, S, es minimizada.\n[Pregunta similar Universidad de Yamagata] <Ejemplo 169'

'Rango de pasaje de puntos y curvas \ a, b \ como números reales. La parábola en el plano de coordenadas es la parábola \ C: y=x^{2}+a x+b \ teniendo la parábola \ y=-x^{2} \ y dos puntos compartidos, uno de los puntos compartidos con coordenada \ x \ satisfaciendo \ -1<x<0 \, y el otro punto compartido con coordenada \ x \ satisfaciendo \ 0<x<1 \. (1) Grafique el rango posible del punto \\( (a, b) \\) en el plano de coordenadas. (2) Grafique el rango posible de la parábola \ C \ en el plano de coordenadas. [Univ. de Tokio]'

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'Sea a una constante positiva. Demuestra que el área encerrada por la recta tangente en cualquier punto P de la parábola y=x^{2}+a y la parábola y=x^{2} es constante independientemente de la posición del punto P, y encuentra el valor de esa constante.'

'Encuentra las coordenadas del punto Q que es simétrico al punto P(3,7) con respecto al punto A(-2,-3).'

'Encuentra la trayectoria del punto P tal que la razón de las distancias desde los puntos A(-4,0) y B(2,0) al punto P sea 2:1.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra la ecuación de la recta que biseca perpendicularmente el segmento de recta que une los puntos A(0,6) y B(4,4).'

'El punto P se encuentra en la recta \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \, así que vamos a considerar sus coordenadas como \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\), donde t>0\nDe acuerdo a \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\),\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ implica que \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \, por lo tanto\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\nAl simplificar, obtenemos\n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\nAl resolver esto, obtenemos t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0, por lo que t=2 \\sqrt{2}\nPor lo tanto, las coordenadas del punto P son \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'Usando la distancia entre un punto y una línea'

'En el triángulo ABC, sea D el punto que divide el lado BC en la proporción 1:2. Demuestra que: 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD².'

'La región D representada por las desigualdades simultáneas (1) a (4) es la parte con rayas en el diagrama. La región D incluye las líneas de frontera. Sea k la cantidad total de producción, entonces x+y=k. La desigualdad (5) representa una línea con una pendiente de -1 y una intersección en y de k. Para encontrar el valor máximo de k cuando esta línea (5) se intersecta con la región D, podemos determinar que cuando la línea (5) pasa por el punto (10,4), el valor de k se maximiza. En este caso, k=10+4=14, por lo tanto, la cantidad total máxima de producción es de 14 unidades.'

'Demuestra que las tres perpendiculares trazadas desde los tres vértices del triángulo ABC a los lados opuestos o sus extensiones se intersecan en un solo punto.'

'Encuentra el lugar geométrico de un punto P que está equidistante de los puntos A(-1,-2) y B(-3,2).'

'Demuestre las siguientes desigualdades. Además, determine cuándo se cumple la igualdad.'

'Ecuación de una recta que pasa por la intersección de dos rectas'

'En el diagrama E, los dos triángulos con líneas inclinadas son congruentes, por lo que la suma de los ángulos a y b es 90 grados. Por lo tanto, el ángulo RPQ también es de 90 grados, por lo que el triángulo PQR es un triángulo isósceles rectángulo. Por lo tanto, la suma de los ángulos x e y en el diagrama W es 45 ✕ 2 = 90 grados.'

'De las figuras 2, 3 y 4, seleccione todas las oraciones correctas para describir el clima en la región de Kanto y responda con símbolos.'

'La figura 7 es un diagrama visto desde arriba que muestra a Tetsuo extendiendo su mano derecha hacia un espejo. Al pararse para alinear la línea que conecta el ojo derecho, el ojo izquierdo y la punta de la mano derecha H paralela al espejo, considera observar la punta reflejada de la mano H en el espejo. Marca el punto R en la superficie del espejo para que H coincida con la imagen reflejada al mirar el espejo solo con el ojo derecho, y marca el punto L de manera similar al mirar el espejo solo con el ojo izquierdo. (1) Dibuja los puntos R y L en el diagrama en la hoja de respuestas sin borrar las líneas utilizadas para dibujar. (2) Después de marcar R y L en la superficie del espejo, muévete un paso más cerca del espejo en dirección perpendicular al espejo (dirección de la flecha) manteniendo la misma postura para observar la punta reflejada de la mano H. ¿Cómo aparece el H reflejado en relación con el punto R al mirar el espejo solo con el ojo derecho? Elige la respuesta más adecuada. De manera similar, al mirar el espejo solo con el ojo izquierdo, ¿cómo aparece el H reflejado en relación con el punto L? Elige la opción más apropiada y responde.'

"(6) La nonio del calibrador en la Figura 6, al igual que en (1), tiene un intervalo mínimo de 1.95 mm. En la Figura 6, la línea de escala correspondiente a P en la Figura 3 está ligeramente más allá de los 20 mm de la escala principal (correspondiente a la posición P' en la Figura 3). Además, donde Q corresponde a la Figura 3, la escala vernier lee 3.5 y la escala principal lee 34 mm. Por un razonamiento similar al de (4), la longitud de PP' se calcula como 34 - 20 - 1.95 × 3.5 × 2 = 0.35 mm. Por lo tanto, el diámetro del botón se determina como 20 + 0.35 = 20.35 mm."

'Elige la respuesta correcta para la dirección de la línea dibujada en el bloque B y el ángulo en el que el bloque B ha rotado, y proporciona el símbolo. En el diagrama, la línea punteada representa la dirección de la línea original del bloque y el arco de doble línea representa el ángulo de rotación del bloque B.'

'Para las siguientes afirmaciones sobre el ítem 11k, X e Y, elige la combinación correcta de verdadero y falso de las opciones a continuación y responde con el número correspondiente.'

'Problema sobre la elongación de una barra metálica y su medición.'

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'Realizamos un experimento sobre la generación y propiedades del amoníaco. Responde cada una de las siguientes preguntas.'

'A partir de la forma en que se dobla el gráfico en el texto, al dibujar el gráfico de C en la Fig. 3, se puede ver que forma una línea punteada gruesa. A partir de la Fig. 3, se puede entender que la combinación de (más largo, más corto) con respecto a la longitud antes de encender es (B, A). Además, a partir de la pendiente del gráfico, se encuentra que la combinación de (más largo, más corto) para la longitud que se quema en un minuto es (C, A). Por lo tanto, ① es (ウ), y ② es (オ).'

'En el diagrama de la derecha, cuando se coloca un color azul en la posición a, no es posible colocar azul en la posición 1 <wide> (3). Por lo tanto, cuando se coloca azul en la posición b, no se puede colocar en las posiciones (4) a (6). Del mismo modo, al considerar más, es posible colocar azul en las posiciones c→d→e→f, y se puede ver que se puede colocar un máximo de 6 azules. A partir de este estado, es posible mover el azul de la posición b a la posición (5), y al mismo tiempo, también es posible mover el azul de la posición a a la posición (2). En otras palabras, de los 4 azules en la columna I, hay 3 formas de convertir 2 de ellos en azul, es decir, (a y b), (a y (5), (2) y (5)). Lo mismo se aplica a la columna I y a la columna positiva, por lo que hay un total de 3 × 3 × 3 = 27 formas de colocar 6 azules. Además, en todos los casos, hay 2 posibilidades para el patrón restante, por lo que el total se calcula como 27 × 2 = 54 formas.'

'Problema sobre la propagación de la luz'

'Para dibujar la figura plana 1, en la línea extendida desde OD por una longitud de (1) en la figura(1), tome el punto L de manera que OD sea igual a DL, dibuje el bisector perpendicular de OL. Para esto, tome el punto M en el lado izquierdo de OL de manera que OM sea igual a LM, y el punto N en el lado derecho de OL de manera que ON sea igual a LN, y conecte M y N. A continuación, conecte los puntos P y D, y dibuje el bisector perpendicular de PD. Para esto, tome el punto Q en el lado izquierdo de PD de manera que PQ sea igual a DQ, y el punto R en el lado derecho de PD de manera que PR sea igual a DR, y conecte Q y R. Además, permita que la intersección de las líneas MN y QR sea S. Finalmente, dibuje una parte de un círculo con centro en S pasando por D y P, donde el punto de intersección del círculo con centro en O, excluyendo D, sea E.'

'(1) Considera los casos de las figuras A (azul en el medio), B (azul en las esquinas) y C (azul en el medio de los bordes). En cada caso, las partes restantes solo se pueden pegar de una manera única para garantizar que no sean iguales al girar. En esta situación, si una mitad es amarilla y la otra mitad es roja, o si una mitad es roja y la otra mitad es amarilla, puede haber dos patrones en todos los casos. A continuación, al considerar la ubicación de las áreas azules, hay una posibilidad en el caso de la figura A, y en los casos de las figuras B y C, al girar 90 grados, hay 4 posibilidades cada una. Por lo tanto, hay un total de (1+4+4)×2=18 posibilidades.'

'Teniendo en cuenta la parte d subrayada, explique en 20-30 palabras las ventajas de las tablillas de madera en comparación con el papel.'

'Encuentra el ángulo entre la recta $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ y el plano $\\alpha: x-4 y+z=0$.'

'Demuestra que el incentro P(z) del triángulo OAB con vértices O(0), A(α), B(β) satisface la ecuación dada.'

'Cuando el punto P(z) se mueve a lo largo de una línea recta que pasa por -1/2 y es perpendicular al eje real, ¿qué tipo de forma dibuja el punto Q(w) representado por w=1/z?'

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'Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y es perpendicular a la recta $\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$.'

'En el paralelogramo ABCD, sea el punto P la división interna de la diagonal AC en la razón 3:1, y el punto Q la división interna del lado BC en la razón 2:1. Demuestra que los puntos D, P, Q son colineales.'

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'Describe las condiciones necesarias para cumplir con las condiciones colineales, concurrentes y coplanares.'

'Pregunta: Demuestra el teorema de los puntos medios, que establece que en el triángulo ABC, si D y E son los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, entonces BC // DE y BC = 2DE.'

'En coordenadas polares, dejemos que el punto A(3, π) esté en una línea g que es perpendicular a la línea de partida. Encuentra la ecuación polar de la trayectoria donde la proporción de distancias desde el polo O y la línea g al punto P es constante. (A) 1:2 (B) 1:1'

'Encuentra el ángulo agudo formado por las dos rectas.'

'Practica para demostrar que en el triángulo OAB con tres puntos diferentes O(0), A(α), B(β) como vértices, el incentro del vértice O como P(z), entonces z satisface la siguiente ecuación.'

'Demuestre la condición de colinealidad.'

'Encuentra la forma geométrica representada por todos los puntos $P(z)$ que satisfacen la ecuación $|z-\\alpha|=|z-\eta|$.'

"Demostración por geometría elemental para el Ejemplo 123\n1. La estrategia de extender la mediana para crear un paralelogramo puede utilizarse para probar la afirmación, pero requiere puntos adicionales y líneas auxiliares, lo que la hace menos intuitiva. Extendiendo el punto M en el segmento AM de manera que AM = MH, y como EM = GM, se puede deducir que el cuadrilátero AGHE es un paralelogramo. Por lo tanto, AE = GH, y a partir de AB = AE, obtenemos que AB = GH. Además, AC = AG y AE // GH, lo que lleva a ∠EAG + ∠AGH = π, por lo tanto ∠AGH = π - ∠EAG = ∠BAC. En consecuencia, ∠AGH = ∠BAC (1) - (3), y a partir de ∠AGH = ∠BAC, se deduce que el triángulo ABC ≡ triángulo GHA, por lo que BC = AH = 2AM. Introducimos el punto B' de manera que BC // B'A, lo que implica que ∠MAE = ∠GHA = ∠ABC = ∠BAB'. Por lo tanto, ∠MAB' = ∠MAE + ∠EAB' = ∠BAB' + ∠EAB' = π/2, mostrando que AE // GH y los ángulos entre dos lados son iguales. Por lo tanto, AM ⊥ B'A y BC // B'A conducen a AM ⊥ BC y BC // B'A."

'Ejemplo Básico 121 Aplicación de la Regla del Coseno'

'Por favor, explique la contraparte del teorema de Pitágoras.'

'(2) Demuestra que la ecuación (1 + tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2) = 1 es verdadera cuando los tamaños de los ángulos A, B, y C del triángulo ABC son representados por A, B, y C respectivamente.'

'A partir del resultado de (2), se puede observar que dado que el punto X divide el lado AC externamente en una proporción específica, y el punto Y también divide el lado AC externamente en una proporción igual, los puntos X e Y coinciden. Por lo tanto, se puede concluir que las tres líneas AC, PQ y RS se intersectan en un solo punto.\n\nConfirmémoslo usando un software de dibujo geométrico. Independientemente de los cambios realizados en la forma del cuadrilátero ABCD, las tres líneas AC, PQ y RS se intersectarán en un solo punto. Por favor, mueva las posiciones de los puntos P, Q, R y S en el software.'

'¿Cuál es la ecuación de la parábola obtenida al trasladar la parábola y=2x^{2} de forma paralela al eje x por -2 unidades y paralela al eje y por 3 unidades?'

'En el tetraedro ABCD con BC=BD, sea AO la perpendicular desde el punto A al plano BCD. Si el punto O está en el bisector del ángulo ∠CBD en el punto E, demuestra que AE es perpendicular a CD.'

'Prueba: Para cualquier punto P que no esté en el triángulo ABC ni en sus lados y medianas, se cumple la siguiente ecuación: \AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"En relación a la semirrecta OX a 80 grados, simétrico al punto A es A', y en relación a la semirrecta OY, simétrico al punto B es B'. Deje que la intersección de la línea A'B' y la semirrecta OX sea P, y la intersección de la línea A'B' y la semirrecta OY sea Q."

'Demuestra que en el triángulo ABC, si O es el circuncentro y P, Q, R son los puntos simétricos de los lados BC, CA, AB respectivamente, entonces O es el ortocentro del triángulo PQR.'

'Considera un cubo como se muestra en la figura, dibuja líneas uniformemente espaciadas en las tres caras adyacentes ABCD, BEFC y CFGD, y asume que es posible moverse a lo largo de estas líneas. En cada uno de los siguientes casos, determina el número de posibles rutas de camino más corto: (1) Ir de A a C en la cara ABCD (2) Ir de A a F en las caras ABCD y BEFC (3) Ir de A a F en las caras ABCD, BEFC y CFGD'

'En el diagrama de la derecha, al utilizar pinturas roja, azul, amarilla y blanca para delinear claramente A, B, C y D'

'Hay dos círculos tangentes en el punto A. Cuando una tangente en el punto B en uno de los círculos interseca al otro círculo en los puntos C y D, demuestra que AB biseca el ángulo exterior de ∠CAD.'

'Demuestra que las siguientes ecuaciones son válidas en el triángulo ABC.'

'Por favor explique el teorema del ángulo inscrito.'

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'Capítulo 3 Propiedades de las formas'

'Dado tres puntos A, Q, B en la circunferencia de un círculo, y un punto P en la línea AB tal que P está en el mismo lado que Q, demostrar la siguiente proposición utilizando el método de la contradicción: ∠APB > ∠AQB ⇒ El punto P está dentro del círculo.'

'Construye un cuadrado PQRS basado en los vértices del triángulo ABC.'

'Demuestra que el bisector del ángulo en el punto A, el bisector del ángulo de 60 grados en el punto B, y el bisector del ángulo en el punto C en el triángulo ABC se intersecan en un solo punto.'

'La línea AG es el bisector del ángulo exterior BAC. Sea H el punto en la extensión del rayo BA, demuestra la siguiente ecuación:'

'Dada la línea AB y el punto P en ella. Construya un triángulo rectángulo ABC con AB como la hipotenusa, tome el punto Q en el segmento AC, y el punto R en el segmento BC de modo que el cuadrilátero PQCR se convierta en un cuadrado. Dibuje el cuadrado PQCR.'

'En la figura, sea E el punto donde la bisectriz del ángulo exterior CAD del triángulo ABC, que está inscrito en un círculo, se intersecta con el círculo nuevamente, y sea F el punto donde se intersecta con la extensión del lado BC. Si AE = AC, demuestra que BE = CF.'

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'En el trapecio ABCD, donde PR / / BC, PR ≠ BC, dejando que los puntos P y Q dividan los lados PR y BC en la proporción m: n. Demuestra que las líneas AB, CD y PQ se intersectan en un punto.'

'En el tetraedro ABCD con BC=BD como se muestra en la figura a la derecha, sea AO la perpendicular desde el punto A al plano BCD. Si el punto O yace en el bisector del ángulo BE de ángulo CBD, prueba que AE es perpendicular a CD.'

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'Puntos clave de problemas que involucran longitudes'

'Demuestra que, como se muestra en el diagrama de la derecha, para un triángulo rectángulo ABC donde ∠B=90 grados, se toma un punto D en el lado BC (con D diferente de B y C). Luego, se toma un punto E de manera que ∠ADE=90 grados y ∠DAE=∠BAC. Demuestra que los cuatro puntos A, D, C, E están en el mismo círculo.'

'Demuestra que el bisector del ángulo A en el triángulo ABC intersecta con el lado BC en el punto D, dividiendo internamente a BC en la proporción de AB:AC. Demuéstralo de las siguientes dos maneras:\n(1) Enfócate en los triángulos ABD y ECD cuando una línea paralela a AB pasando por el punto C intersecta con la línea AD.\n(2) Enfócate en las áreas de los triángulos ABD y ACD al trazar perpendiculares desde el punto D hacia las líneas AB y AC.'

'En referencia (5), se habla sobre las opciones diferentes a 1 y 3. En primer lugar, dado que los puntos D, A, P están en la misma línea, no pueden estar en el mismo círculo. Por lo tanto, las opciones que contienen los puntos A y P no son aplicables. Luego, según las respuestas, los cuatro puntos D, A, C, E están en el mismo círculo (diagrama de arriba a la derecha). Por lo tanto, el círculo circunscrito al triángulo DAE debe pasar por el punto C, por lo que no pasará por el punto F. Por lo tanto, la opción 3 no es aplicable. De manera similar, el círculo circunscrito al triángulo DCE debe pasar por el punto A, por lo que no pasará por el punto F. Por lo tanto, la opción 4 no es aplicable. Del mismo modo, al considerar el círculo que pasa por los 4 puntos D, C, P, Q (diagrama de abajo a la derecha), es evidente que la opción 5 tampoco es aplicable.'

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'Demuestra que la siguiente ecuación se cumple para cualquier punto P que no esté en los lados, medianas o extensiones del triángulo ABC, con su baricentro denominado G:'

'Demuestra que en el triángulo ABC, cuando el circuncentro es O y los puntos simétricos con respecto a los lados BC, CA, AB son P, Q, R respectivamente, O es el ortocentro del triángulo PQR.'

'Demuestra que en el triángulo ABC con ∠B=90°, cuando el punto P está en el lado BC, tenemos AB < AP < AC.'

'Ejemplo Básico 67 Circuncentro y Ortocentro de un Triángulo'

'¿Quiere colorear las regiones A, B, C, D, E en el diagrama de la derecha? Se deben usar colores diferentes para las regiones adyacentes, y se deben usar todos los colores especificados. ¿Cuántas formas hay de colorear? (1) Usando 5 colores (2) Usando 4 colores (3) Usando 3 colores'

'Usando el teorema de Tales, demuestra que si el círculo circunscrito del triángulo ABC interseca el bisector del ángulo ∠BAC en el punto M, entonces MA = MB + MC implica que AB + AC = 2BC.'

'Como se muestra en la figura de la derecha, se toman tres puntos D, E, F fuera del triángulo ABC de manera que los triángulos ABD, BCE y CAF formen cada uno un triángulo equilátero.'

'En el trapecio ABCD donde AD // BC, permita que los puntos P y Q sean donde los lados BC y DA se dividen internamente en la proporción m:n. Demuestra que las líneas AC, BD y PQ se intersectan en un solo punto.'

'Dado un triángulo rectángulo ABC con ∠A=90°, construir triángulos equiláteros BAD y ACE en la parte exterior. Sea P la intersección de los segmentos CD y BE. Demostrar que los puntos C, E, A, P están en el mismo círculo.'

'Encuentre el número total de caminos que satisfacen las siguientes condiciones para la ruta más corta desde el punto P hasta el punto Q en el diagrama PR a la derecha:'

'Uso de diagramas de árbol'

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{'title': 'Spanish', 'type': 'string'}

'Usando el teorema de Menelao, demuestre lo siguiente cuando los lados BC, CA, AB del triángulo ABC o sus extensiones se cruzan con una línea l que no pasa por los vértices del triángulo en los puntos P, Q, R respectivamente.'

'Pensemos en un problema relacionado con las propiedades de las formas geométricas. Utilizando las propiedades de las siguientes formas, proporcionaremos una prueba para el problema especificado.'

'Ejemplo básico 82 Inverso del Teorema del Círculo\nEn el diagrama de la derecha, L, M, N son los puntos medios de los lados \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ del cuadrilátero \ \\mathrm{ABCD} \ inscrito en un círculo. Además, la intersección de la línea ML y la línea DA es P, y la intersección de la línea NL y la línea CB es Q. Demuestra que estos 4 puntos M, N, P, Q están en la misma circunferencia.'

'En el triángulo ABC, si el incentro I es simétrico con respecto a los lados BC, CA y AB y se denotan como P, Q, R respectivamente, ¿qué tipo de punto es I con respecto al triángulo PQR?'

'Bisectriz perpendicular: El punto P se encuentra en la bisectriz perpendicular del segmento de recta AB. \ \\Leftrightarrow \ El punto P está a igual distancia de los puntos A y B.'

'Demuestra que las longitudes de las dos tangentes trazadas a un círculo desde un punto fuera del círculo son iguales.'

'Demuestra que el triángulo ABC es equilátero si el baricentro y el ortocentro coinciden.'

'Dado el triángulo ABC como se muestra a la derecha. Construya un cuadrado PQRS de manera que el lado QR esté en el segmento BC, el vértice P esté en el segmento AB y el vértice S esté en el segmento AC.'

'Demuestra que la línea AB es tangente a la circunferencia del triángulo BDF.'

'Demuestra que las tres rectas AB, CD, PQ se intersecan en un punto. Pista: Muestra que la intersección de AB y PQ es la misma que la intersección de CD y PQ.'

'El diagrama de caja a la derecha muestra la puntuación obtenida por 30 estudiantes en un examen de ciencias. Cuando las puntuaciones en las que se basó este diagrama de caja se representan como un histograma, ¿cuál de las siguientes corresponde a ello?'

'Como se muestra en el diagrama a la derecha, trazar perpendiculares PD, PE, PF desde el punto P en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC a las rectas AB, BC, CA, respectivamente. Probar lo siguiente.'

'Usando el teorema de los ángulos inscritos, demuestra la condición para que los puntos A, B, P, Q estén en un mismo círculo.'

'Bisectriz del ángulo: El punto P se encuentra en la bisectriz del ángulo ABC.'

'Demostración de un cuadrilátero inscrito en un círculo - Ejemplo básico 83'

'Práctica 68\nSea el ortocentro del triángulo agudo ABC H, el circuncentro O, el punto medio del lado BC M, y el punto medio del segmento AH N. Demuestra que la longitud del segmento MN es igual al radio de la circuncírculo del triángulo ABC usando el hecho de que AH=2OM.'

'Usando el teorema de Tales, demuestra que si la circunferencia circunscrita al triángulo ABC intersecta al bisector del ángulo ∠BAC en M, entonces cuando MA = MB + MC, tenemos 84AB + AC = 2BC.'

'Demuestra que la siguiente ecuación es cierta en el triángulo ABC con el centroide G: AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'En un triángulo isósceles ABC donde AB=AC, toma dos puntos F y G en la base BC, traza las cuerdas AFD y AGE del círculo circunscrito del triángulo ABC. Demuestra lo siguiente: (1) AB² = AF * AD (2) Los cuatro puntos D, E, F, G son concíclicos.'

'Demuestra que en el triángulo ABC, cuando el punto medio del lado BC es M, la ecuación AB²+AC²=2(AM²+BM²) es cierta (Teorema de la mediana).'

'Demuestra que en el trapecio ABCD, donde AD//BC, AD≠BC, los lados AD y BC se dividen en los puntos P y Q en la misma proporción de m:n. Luego demuestra que las líneas AB, CD y PQ se intersectarán en un punto.'

'Teorema de Menelao'

'Problema de prueba usando el teorema de la tangente'

'Dibuja un sector OAB con O como centro según se muestra a la derecha. En el segmento de línea OA, dibuja un cuadrado PQRS donde el lado QR coincide con OA, y el vértice P está en el segmento de línea OB, mientras que el vértice S está en el arco AB.'

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'¿Cómo abordar el cálculo del área de las figuras geométricas?'

'Puntos clave para resolver problemas de ángulos'

'En el círculo O, traza las tangentes PA y PB desde un punto externo P, y dibuja la cuerda CD que pasa por el punto M donde el segmento de línea AB intersecta el segmento de línea PO. Demuestra que los puntos P, C, O y D están en el mismo círculo. Aquí, C y D no están en la línea PO.'

'Dados los puntos A y M dentro y en la circunferencia del círculo O. Ahora, traza una cuerda PQ que pase por M de tal manera que AM bisecte ∠PAQ.'

"Demuestra que si los dos círculos O y O' que pasan por un punto P tienen tangentes comunes externas C y D, y si la línea que pasa por el punto P intersecta los dos círculos en los puntos A y B, entonces AC es perpendicular a BD."

'Dada la circunferencia O y los puntos fijos A y M en su interior. Dibuja una cuerda PQ que pase por M de manera que AM divida el ángulo ∠PAQ por la mitad. Construye esa cuerda PQ.'

'¡Domina el uso de los diagramas de Venn para conquistar el Ejemplo 49!'

'Dada la recta AB de longitud 1 y las rectas de longitudes a y b, dibuja una recta de longitud b/3a.'

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'ENTRENAMIENTO 25'

'Dibuja un rectángulo PQRS dentro del triángulo agudo ABC como se muestra en la derecha, de manera que 2PQ=QR, el lado QR esté en el lado BC, el vértice P esté en el lado AB y el vértice S esté en el lado CA. (Describe solo el método de dibujo)'

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'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'En la figura de la derecha, △ABC y △CDE son triángulos equiláteros, y los vértices B, C, D son colineales. Si la intersección de AD y BE es F, demuestra que los puntos A, B, C, F son concíclicos.'

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'Desea colorear las regiones A, B, C, D, E en la figura de la derecha. ¿Cuántas formas hay de colorear con tres colores cuando se colorean áreas adyacentes con diferentes colores?'

'Problema: Longitud en proporción, representada como el producto de segmentos\nDado un segmento AB de longitud 1 y segmentos de longitud a, b:\n(1) Dibuja un segmento de longitud a/b.\n(2) Dibuja un segmento de longitud 2ab.'

'¡Repasemos la longitud de la tangente y el teorema de la tangente!'

'Demuestra que en un triángulo agudo ABC, donde la perpendicular de los vértices B y C a los lados opuestos son respectivamente BE y CF, con su punto de intersección como H. Si el punto de intersección de la línea AH y el lado BC es D, demuestra que AD es perpendicular a BC.'

'El cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo, con AB=4, BC=2, y DA=DC. Sean E el punto de intersección de las diagonales AC y BD, F el punto que divide el segmento AD en una proporción de 2:3, y G el punto de intersección de la línea FE y DC. (2) Consideremos el caso en el que la línea AB pasa por el punto G. En este caso, dado que el punto B yace en el lado AG del triángulo AGD, tenemos que BG=. Además, como la línea AB interseca en el punto G a la línea DC, y los 4 puntos A, B, C, D yacen en la misma circunferencia, tenemos que DC=.'

'Demostrar que en el triángulo ABC, los bisectores de los ángulos B y C se cruzan en un punto I. Luego dibujamos líneas perpendiculares desde el punto I a los lados BC, CA y AB, denominadas IP, IQ, IR respectivamente. Tenemos que IR=IP, IP=IQ, por lo tanto IR=IQ, lo que significa que IP=IQ=IR. Por lo tanto, el punto I se encuentra en el bisector del ángulo A. Así, los bisectores de los tres ángulos interiores del triángulo ABC se intersecan en un punto I. A este punto donde se intersecan los bisectores de los ángulos se le llama incentro del triángulo, y el círculo con el incentro como centro y tangente a los tres lados se llama círculo inscrito.'

'Dibuja un cuadrado PQRS dentro del sector OAB con centro O, de modo que el lado QR esté sobre el segmento OA, el vértice P esté en el segmento OB y el vértice S esté en el arco AB, según el diagrama de la derecha. (Proporciona solo el método de dibujo).'

'Colorear (plano).'

'Dibuja el punto que divide el segmento de línea AB dado internamente en la proporción 3:2.'

'Dibuje la bisectriz perpendicular de la línea AB (1) Dibuje dos círculos con los puntos A y B como centros, cada uno con radio igual, y marque los puntos de intersección de los dos círculos como C y D. (2) Dibuje la línea CD.'

'Para (1) y (2), encuentre la longitud del segmento AD según las instrucciones dadas.'

'Como se muestra en la figura a la derecha, dos círculos con diferentes radios son tangentes en el punto A. Dibuje una línea tangente al círculo interior en el punto D y permita que B y C sean los puntos de intersección con el círculo exterior. Demuestra que AD biseca ∠BAC.'

'Ejemplo dado de cómo segregar 25 regiones (planas):'

'Para los subconjuntos A, B del conjunto universal TR, verifica que la siguiente ecuación se cumple usando diagramas.'

'En el triángulo ABC con su circunferencia, se toma el punto D en el lado BC de modo que ∠BAD=∠CAD. Además, sea P la intersección de la tangente al círculo en el punto A y la línea BC. Demuestra que PA=PD.'

'Dibuja un cuadrado PQRS dentro del sector OAB con O como centro, de manera que el lado QR esté en la línea OA, el vértice P esté en la línea OB y el vértice S esté en el arco AB (proporciona solo el método de dibujo).'

'Quiero colorear las áreas A, B, C, D, y E en el diagrama de la derecha. Cuando colorea áreas adyacentes con diferentes colores usando no más de 4 colores, ¿cuántas formas hay para colorear las áreas?'

"Demuestra que cuando dos círculos O y O' que se intersectan tienen una cuerda común AB que pasa por el punto P, la cuerda del círculo O que pasa por P es CD y la cuerda del círculo O' que pasa por P es EF, entonces los cuatro puntos C, D, E, F están en la misma circunferencia. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los cuatro puntos C, D, E, F no son colineales."

'Demuestra lo siguiente en el tetraedro ABCD: (a) Sea M el punto medio del borde AD, entonces AD es perpendicular al plano MBC; (b) AD es perpendicular a BC.'

'Hay una línea ℓ en el plano α. El punto A no está en α, el punto B está en ℓ y el punto O está en α pero no en ℓ. Demuestra lo siguiente: OB es perpendicular a ℓ, AB es perpendicular a ℓ, OA es perpendicular a OB implica que OA es perpendicular a α.'

"Hay dos círculos O y O' que se intersecan en los puntos P y Q. La línea que pasa por el punto P interseca los círculos O y O' en los puntos A y B, y la línea que pasa por los puntos A y Q interseca el círculo O' en el punto C. Sea AD la tangente al círculo O en el punto A, entonces demuestra que AD // BC."

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'En la figura de la derecha, encuentre x, y, z. Aquí, ℓ es la tangente al círculo O, y el punto A es el punto de contacto. Además, en (2), ∠ABD=∠CBD.'

"En la figura de la derecha, hay dos círculos O y O' que se cruzan en los puntos P y Q. Sea A la intersección de la tangente al círculo O en el punto P y el círculo O', B la intersección de la línea AQ y el círculo O, y C la intersección de la línea BP y el círculo O'. Demuestra que AC=AP."

"Dadas dos circunferencias O y O' que se intersecan en dos puntos P y Q como se muestra en el diagrama. Se denota la tangente desde el punto P a la circunferencia O intersecando la circunferencia O' en el punto A, la intersección de la línea AQ y la circunferencia O en el punto B, y la intersección de la línea BP y la circunferencia O' en el punto C. Probar que AC = AP."

'Converso del Teorema de Ceva'

'Dado tres puntos A, B, Q en la circunferencia de un círculo, y un punto P tal que está en el mismo lado de la recta AB que el punto Q, demostrar las siguientes afirmaciones: \n1. Si el punto P está en el círculo ⇒ ∠APB = ∠AQB \n2. Si el punto P está dentro del círculo ⇒ ∠APB > ∠AQB \n3. Si el punto P está fuera del círculo ⇒ ∠APB < ∠AQB'

'Construcción de la bisectriz del ángulo AOB (1) Dibuje un círculo con centro en O y un radio adecuado, y marque las intersecciones con las semirrectas OA y OB como C y D, respectivamente. (2) Dibuje círculos con centros en los puntos C y D y radios iguales, y marque uno de los puntos de intersección de los dos círculos como E. (3) Trace la semirrecta OE.'

'En la figura dada, encuentre los valores de α y β. Donde ℓ es la tangente al círculo O, y el punto A es el punto de tangencia. Además, en (3) se da que PQ // CB.\n(1)\n(2)\n(3)\nEnfoque en la tangente y el triángulo utilizando el teorema de la tangente.\n(2) El valor de ∠CAB se puede encontrar usando el teorema del ángulo inscrito.\n(3) De PQ // CB, ∠ABC=∠BAQ\nEn (1), sea el punto D en la línea ℓ como se muestra en la figura\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nPor lo tanto, α=∠BAD=70°'

'Tras trazar las líneas paralelas (*), al trazar una línea perpendicular a PQ, se puede crear una línea paralela a l.'

'Demostrar la propiedad de los bisectores de ángulos'

'Construcción de la línea perpendicular al segmento de línea PQ: (1) Dibuje un círculo con centro en el punto P y cualquier radio, que se intersecte con la línea l en los puntos A y B. (2) Dibuje círculos con centros en los puntos A y B, cada uno con radio igual, y defina uno de los puntos de intersección de estos dos círculos como Q. (3) Trace la línea PQ.'

'Demuestra lo siguiente utilizando el converso del teorema de Ceva: (1) Las tres medianas de un triángulo se intersecan en un punto. (2) Los tres bisectores de ángulos de un triángulo se intersecan en un punto.'

'Como se muestra en la figura de la derecha, dos círculos con diferentes radios están tangentes al punto A. Dibuje una línea que pase por el punto D en el círculo interno, con los puntos B y C como los puntos de intersección con el círculo externo. Demuestre que AD biseca el ángulo BAC.'

'Sea P(2,3,1) un punto. Sean D, E, y F puntos simétricos a P con respecto al plano xy, plano yz y plano zx, respectivamente. Determine las coordenadas de los puntos D, E, y F.'

'Demuestra que la longitud del arco es igual para ángulos centrales iguales en un círculo.'

'Dibuja el segmento de línea AB dado y marca el punto que lo divide externamente en la proporción 5:1.'

'Hay dos círculos que son tangentes al punto P. Como se muestra en el diagrama de la derecha, si dos líneas que pasan por el punto P se intersecan con el círculo exterior en los puntos A, B y con el círculo interior en los puntos C, D. Demuestre que AB y CD son paralelos.'

'(1) ¿Cuál de los rectángulos a la derecha, ABCD, está circunscrito por un círculo?\n(2) En el triángulo agudo ABC, en el borde BC, se toma el punto D (diferente de los puntos B y C), y se trazan las perpendiculares DE, DF desde el punto D a los bordes AB y AC, respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero AEDF está inscrito en un círculo.'

'Demuestre el Teorema 17: Si dos segmentos de línea AB y CD, o las extensiones de AB y CD se intersectan en el punto P, y PA * PB = PC * PD, entonces los puntos A, B, C, D se encuentran en la misma circunferencia.'

'Probar que $\\angle BAT = \\angle ACB$.'

'En el diagrama de la derecha, dado que ∠CAD=∠EBC, el cuadrilátero ABDE está circunscrito en el círculo. Por lo tanto, por el teorema de ángulos inscritos, ∠ADE=∠ABE. Además, dado que ∠BEC=90 grados, ∠ADC=90 grados, el cuadrilátero CEHD está circunscrito en el círculo. ∠HEC + ∠HDC = 180 grados. Dado que la suma de ángulos opuestos es 180 grados, el cuadrilátero CEHD está circunscrito en el círculo.'

'Demuestre que para cualquier tres rectas distintas l, m, n, si l // m y m // n, entonces l // n.'

'En el triángulo ABC, si el punto medio del lado AB es D y el punto medio del lado AC es E, entonces DE // BC y DE = 1/2 BC. Los segmentos de línea que conectan los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos se llaman medianas del triángulo. Al observar las tres medianas de un triángulo, hay la siguiente propiedad. Teorema 5: Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un solo punto, el cual divide cada mediana en una proporción de 2:1.'

'Dibuja el punto que divide el segmento de línea AB dado internamente en la proporción de 1:4.'

'Demuestra que en un triángulo escaleno ABC, con el incentro I y las rectas BI, CI que intersectan los lados AC, AB en los puntos E, D, respectivamente, si DE // BC, entonces AB=AC.'

'426'

'Teorema de Ceva'

'Capítulo 3 Figuras y Ecuaciones 97 (2) La línea BC se toma en el eje x, y una línea perpendicular a la línea BC que pasa por el punto D se toma en el eje y, donde el punto D se convierte en el origen O, lo que se puede representar como A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0). En este caso, 2AB²+3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²}+3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a²+5b²+30c² = 5(a²+b²+6c²) Además, 3AD²+2BD² = 3{(-a)²+(-b)²}+2(3c)² = 3(a²+b²+6c²) ...(2) De (1) y (2) se obtiene que 3(2AB²+3AC²)=5(3AD²+2BD²)'

'Resumió algunos teoremas, fórmulas y propiedades importantes.'

'¿Cómo se puede representar la parte sombreada de la figura mediante desigualdades? Muestra el proceso paso a paso.'

'En el plano xy, hay tres puntos A(2, -2), B(5, 7), C(6, 0). Demuestra que los bisectores perpendiculares de cada lado del triángulo ABC se intersecan en un punto (este punto de intersección es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC, también conocido como el circuncentro).'

'En un plano, hay tres puntos A(2,-2), B(5,7), C(6,0). Demuestra que los bisectores perpendiculares de cada lado del triángulo ABC se intersecan en un punto (este punto de intersección es el circuncentro del triángulo ABC, también conocido como el circuncentro). PISTA: Demuestra que el punto de intersección de los bisectores perpendiculares del segmento AC y del segmento AB se encuentra en el bisector perpendicular del segmento BC.'

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'Grafica la región representada por las siguientes desigualdades.'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen cuando las distancias perpendiculares desde los puntos (5,0) y (3,6) a la recta l son iguales.'

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'Demostración: En el triángulo ABC, con el punto medio del lado BC como M, entonces AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (Teorema de la mediana).'

'Demuestra que los baricentros del triángulo DEF y del triángulo ABC coinciden cuando se toman los puntos D, E, F en los lados BC, CA, AB del triángulo ABC de tal manera que BD:DC=CE:EA=AF:FB.'

'Cómo encontrar la ecuación de una tangente a un círculo'

'Capítulo 3 Formas y Ecuaciones\nLa condición para que dos líneas (1), (2) sean perpendiculares es\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1, resolviendo para a, obtenemos a=\\uparrow-3\nDe otra manera, la condición para que dos líneas (1), (2) sean paralelas es\n\3⋅a-1⋅1=0, por lo tanto a=\\frac{1}{3}\\nLa condición para que dos líneas (1), (2) sean perpendiculares es\n\3⋅1+1⋅a=0, por lo tanto a=\\uparrow-3\\nPerpendicular ⇔ El producto de las pendientes es -1 ⇽ 2 líneas\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 y\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\nParalelo ⇔ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\nPerpendicular ⇔ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'Demuestra que en el triángulo ABC, cuando G es el baricentro, la ecuación AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2) es verdadera.'

'Capítulo 3 Geometría y Ecuaciones\n121\nConsidera la recta 2x - y + 3 = 0, sea Q un punto y P su punto simétrico. Encuentra la trayectoria del punto P mientras el punto Q se mueve a lo largo de la recta 3x + y - 1 = 0.'

'Determina el valor de la constante positiva a para que las áreas encerradas por las curvas y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x y y=x^{2}-a x sean iguales.'

'Encuentra las coordenadas de punto Q después de rotar el punto P(4,2) alrededor del punto A(2,5) por π/3.'

'Línea que pasa por el punto de intersección de dos líneas'

'Encuentra el área del triángulo formado por las rectas x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0.'

'Demuestra la siguiente ecuación en el triángulo ABC'

'La relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las funciones trigonométricas es la siguiente.'

'Demuestra la igualdad que muestra los tamaños de los ángulos internos A, B y C del triángulo ABC.'

'Por favor indique las páginas relacionadas para los siguientes términos: ① condición ② ley transitiva (desigualdad) ③ tangente'

'Demuestra que la ecuación (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 se cumple cuando los ángulos interiores ∠A, ∠B, ∠C del triángulo ABC se denotan como A, B, C respectivamente.'

'Pregunta 3 Geometría Espacial y Agrimensura'

'Como se muestra en el diagrama a la derecha, se divide un dodecágono regular en 12 triángulos congruentes mediante diagonales. Tomando los puntos O, A, B, tenemos que ∠AOB=360°÷12=30°, OA=OB=a. Aplicando la ley del coseno al triángulo OAB, obtenemos 1=(2-√3)a², por lo tanto a²=1/(2-√3)=(2+√3)/((2-√3)(2+√3))=2+√3. Por lo tanto, S=12 triángulos OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3)'

'72 (2) movido paralelo al eje x por 1, el eje es la línea x=1, el vértice está en el punto (1,0)'

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'Expresar la cantidad de una figura de dos maneras'

'Al resumir la solución a los triángulos, de los seis elementos de un triángulo (3 lados a, b, c y 3 ángulos A, B, C), para determinar de manera única un triángulo, al menos es necesario que uno de los siguientes tres elementos contenga al menos un lado como condición: [1] un lado y sus ángulos adyacentes [2] dos lados y el ángulo entre ellos [3] tres lados. Basándonos en estas condiciones, al determinar los otros tres elementos, explicamos el uso del teorema según las condiciones.'

'En el triángulo ABC, demuestra que se cumple la siguiente ecuación:\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'Longitud del bisector del ángulo de un triángulo (2)'

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'Hay una hoja en forma de triángulo equilátero con un lado de 10 cm. Los vértices de este triángulo equilátero son etiquetados como A, B, C, y el punto P se encuentra en el lado BC de manera que BP = 2 cm. Al doblar esta hoja de triángulo equilátero para que el vértice A coincida con el punto P, y la intersección del doblez con los lados AB, AC se etiquetan como D, E respectivamente. En ese momento, AD = 2 cm², AE = 1 cm², y el área del triángulo ADE es 3 cm².'

'Solución de triángulos (2)'

'Se pueden trazar dos líneas que pasan por el origen y forman un ángulo de 15 grados con la línea y=x. Encuentra las ecuaciones de estas líneas.'

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'Al ser movido simétricamente respecto al origen, el vértice se convierte en \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) y forma una parábola cóncava hacia abajo\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { también es aceptable }\\right)\\]\nAl cambiar las coordenadas \ x \ e \ y \ de signo, cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo.'

'Encuentra la ecuación de la parábola después de desplazar la parábola y = -2x^2 + 3 de forma paralela al eje x por -2 y de forma paralela al eje y por 1.'

'En el triángulo rectángulo ABC, con BC=18 y CA=6, se toma el punto D en la hipotenusa AB. Se trazan las perpendiculares DE y DF desde D a BC y CA, respectivamente. Encuentra la longitud del segmento DE y el área cuando se minimiza la suma de las áreas de los triángulos ADF y DBE.'

'Sean las coordenadas polares del punto A (3,0). Encuentra la ecuación polar de la trayectoria de los puntos P donde la distancia al polo O es igual a la distancia a la línea l que pasa por el punto A y es perpendicular a la línea inicial.'

'En el tetraedro ABCD con longitud de lado 1, tomemos los puntos medios de los bordes AB y CD como E y F respectivamente, y el centroide del triángulo BCD se denota como G.'

'Demuestra que para una elipse que pasa por los focos y tiene una cuerda AB paralela al eje menor, el cuadrado de la longitud del eje menor es igual al producto de la longitud del eje mayor y la longitud de la cuerda AB, que es 120. PISTA: Considera la ecuación de la elipse como x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).'

'En el plano de coordenadas, cuando la longitud del segmento de línea AB es 9 y sus extremos A, B se mueven a lo largo del eje x y el eje y respectivamente, encontrar la trayectoria del punto P que divide el segmento de línea AB en la proporción 1:2.'

'Demuestra que los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero ABCD son P, Q, R, S respectivamente, y los puntos medios de las diagonales AC, BD son T, U. Muestra que los puntos medios de los segmentos PR, QS y TU son todos iguales.'

'Determinar la ecuación de un plano'

'Demuestra que en el tetraedro OABC, si el centroide de ∆OAB es G1 y el centroide de ∆OBC es G2, entonces G1G2 es paralelo a AC.'

'Ejercicio 67 -> Cuadernillo p.134\n(1) Sean las ecuaciones de dos planos α y β respectivamente (1) y (2). Al restar (1) de (2) se obtiene'

'Rango de existencia de puntos en un plano\nPara el triángulo OAB, cuando \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \, el rango de existencia del punto P es\n(1) Línea AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\nEn particular, segmento de línea AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) Circunferencia e interior del triángulo OAB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\n(3) Circunferencia e interior del paralelogramo OACB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) El punto F es simétrico al punto C con respecto al segmento de línea OA, por lo tanto, el triángulo ADF ≡ triángulo ADC. Por lo tanto, el triángulo ADF = 1/6 triángulo OAB implica que el triángulo ADC = 1/6 triángulo OAB. Además, dado que el triángulo ADC = 1/3(1-α) triángulo OAB, al resolver para α obtenemos que α = 1/2, lo cual cumple con 0 < α < 1.'

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por los siguientes 3 puntos.'

'Resuelve el siguiente problema de vectores: Sea S el área de \ \\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \, donde \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ representa el área.'

'Encuentra la ecuación de una hipérbola con asíntotas como las dos líneas y=√3x, y=-√3x y una distancia de 4 entre los dos focos.'

'Ejemplo importante 57 | Ecuación de un plano\nEncuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(4,-1,-1), C(3,2,1).'

'Demuestra que se cumple el siguiente teorema:\nTeorema 1: La transformación lineal fraccional convierte un círculo en el plano complejo en un círculo.'

'Considerando el entero positivo 42k y dos curvas definidas en el intervalo 2kπ≤x≤(2k+1)π: C₁: y=cos x y C₂: y=(1-x²)/(1+x²).'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P, determina las asíntotas y las coordenadas de su intersección, y demuestra que el área del triángulo OQR es independiente de la elección del punto P.'

'Encuentra la ecuación polar de la recta con coordenadas polares (p, α) del pie H de la perpendicular trazada desde el polo O a la recta.'

'De las condiciones'

'Ejemplo importante 67 Ecuaciones de la intersección de planos, incluida la ecuación del plano. Permita que la intersección de planos sea ℓ con las ecuaciones (1) α: 3x-2y+6z-6=0 ⋯ ⋯ (1) β: 3x+4y-3z+12=0 ⋯ ⋯ (2). Expresa la ecuación de la intersección ℓ en la forma x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n. (2) Determina la ecuación del plano γ que incluye la línea ℓ y pasa por el punto P(1, -9, 2).'

'Demuestra el siguiente teorema usando el plano complejo. Para un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo de radio 100, la ecuación AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD se cumple (teorema de Ptolomeo).'

'Práctica (2) Demuestra que cuando dos cuerdas PQ y RS que pasan por uno de los focos F de una cónica se intersectan en ángulos rectos, entonces 1/PF*QF + 1/RF*SF es una constante.'

'Hay un espejo cóncavo en forma de hemisferio. Sea O el centro de la esfera, r el radio y AB un diámetro. Si un rayo de luz forma un ángulo θ con el diámetro AB comenzando desde el punto A y se refleja en el punto P en el espejo, intersectando el diámetro AB en el punto Q, entonces ∠APO=∠OPQ. A medida que el punto P se acerca infinitamente al punto B, ¿hacia dónde se acerca el punto Q?'

'Demuestra que entre los cuadriláteros inscritos en un círculo, el que tiene el área más grande es un cuadrado.'

"En relación con la inversión con respecto al círculo O, supongamos que el punto P se mueve al punto P' a través de esta inversión (llamamos a este círculo O el círculo de inversión). En este punto, los puntos P y P' son reflejos el uno del otro con respecto al círculo O, o también podemos decir que el punto P' es el reflejo del punto P. Como se muestra en el diagrama a la derecha, a través de la inversión con respecto al círculo O, los puntos dentro del círculo O se mueven a puntos fuera del círculo, y los puntos fuera del círculo se mueven a puntos dentro del círculo. Además, los puntos en el círculo O permanecen sin cambios a través de la inversión. Es importante tener en cuenta que según la definición de inversión mencionada anteriormente, no se puede determinar el destino del centro O, pero a veces consideramos el destino del centro O como un punto virtual en el infinito, un concepto que se estudia en matemáticas a nivel universitario. Dibujando inversiones A través de la inversión con respecto al círculo O, el punto P moviéndose al punto P' se puede dibujar siguiendo estos pasos. Comprender este proceso de dibujo facilita la comprensión del concepto de inversión. [1] Sea A el punto de intersección de la línea que pasa por el punto P y es perpendicular a OP con el círculo O. [2] Deje que P' sea el punto de intersección de la tangente al círculo O en el punto A y la línea OP. De △OAP' ~ △OPA, obtenemos OA:OP = OP':OA, por lo tanto, OP ⋅ OP' = OA² = r² (radio del círculo al cuadrado). Tenga en cuenta que incluso cuando el punto P está fuera del círculo, todavía se puede dibujar el punto P' usando el mismo método. Propiedades relacionadas con la inversa de círculos y líneas La inversión con respecto al círculo O tiene las siguientes cuatro propiedades: (1) Los círculos que pasan por el centro O del círculo de inversión se transforman en líneas que no pasan por O. (2) Las líneas que no pasan por el centro O del círculo de inversión se transforman en círculos que pasan por O. (3) Los círculos que no pasan por el centro O del círculo de inversión se transforman en círculos que no pasan por O. (4) Las líneas que pasan por el centro O del círculo de inversión se transforman en las propias líneas."

'Investiga cómo expresar los vectores de posición de los cinco centros (baricentro, incentro, ortocentro, circuncentro y excentro) de un triángulo con vértices en los puntos A(𝐚), B(𝐛), C(𝐜) utilizando 𝐚, 𝐛, 𝐜.'

'Tema Importante 40 | Comparación de Magnitudes de Vectores'

'Al transformar la ecuación,'

'Especifique la condición para que el segmento de línea AB sea perpendicular a CD.'

'Estudia la representación paramétrica de una elipse, exprésala solo con x e y eliminando t.'

'Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en un círculo que cumple con las siguientes condiciones (a), (b):\n(a) El triángulo ABC es equilátero.\n(b) La intersección de AP y BC divide el segmento de recta BC en p:(1-p) [0<p<1].\nExpresa el vector AP en términos de los vectores AB, AC y p.'

'Explique acerca de los matemáticos que utilizaron métodos griegos antiguos para calcular áreas y volúmenes.'

'Ejemplo importante 57 | Ecuación de un plano\nEncuentra la ecuación de un plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(4,-1,-1) y C(3,2,1).'

'Demuestra que el hexágono está inscrito en una sección cónica.'

'Cuando un punto z se mueve a lo largo del círculo con radio 1 centrado en el origen O, ¿qué tipo de figura dibuja el punto w representado por w=(1-i) z-2 i?'

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por los siguientes tres puntos:\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'Para |x - π/2|, cuando la parte encerrada es el área gris en la figura de la derecha y es simétrica con respecto a la línea x = π/2, encuentre el volumen V.'

'Sea ABCD un cuadrilátero en el plano. Si las diagonales AC y BD son perpendiculares, demuestra lo siguiente:\n(1) Sea $\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$, $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$, entonces $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$.\n(2) $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$.'

'Sea ABCD un cuadrilátero con diagonales AC y BD, y un círculo con centro O circunscrito alrededor del cuadrilátero ABCD. Sean los vectores OA, OB, OC, OD denominados como a, b, c, d.'

'Demostrar que si el segmento de recta $PO$ y $QO$ que pasan por los extremos del cordón $PQ$ en la parábola $y^{2}=4 p x(p>0)$ y el origen $O$ son ortogonales, entonces el cordón $PQ$ pasa por un punto fijo.'

'Si la curva $f(x, y)=0$ satisface $f(x,-y)=f(x, y)$, entonces es simétrica respecto al eje x, y si $f(-x, y)=f(x, y)$, es simétrica respecto al eje y. \nSea (x, y) las coordenadas del punto Q en la curva, y derive la relación entre x e y.'

'Capítulo 3 Reflexión sobre Geometría y Ecuaciones Método para encontrar la tangente de un círculo'

'Dada una línea AB de longitud 4. Encuentra el lugar geométrico del punto P mientras se mueve satisfaciendo la ecuación 2AP² - BP² = 17 con los puntos A, B y moviéndose 71.'

'Dado que la longitud de la perpendicular desde el punto (1,1) hasta la recta ax - 2y - 1 = 0 es √2, encuentra el valor de la constante a.'

'Encuentra el ángulo agudo θ formado por las dos rectas x+3y-6=0 y x-2y+2=0.'

'Simetría de reflexión, distancia entre un punto y una recta'

'Práctica (4) 127 Para la recta y = a x+1-a^2/4. (1), cuando a varía sobre todos los valores reales, ilustra la región por la cual la recta (1) puede pasar.'

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'En el plano xy, se toman tres puntos distintos P1(a1, b1), P2(a2, b2), P3(a3, b3) excluyendo el origen. Además, se consideran tres líneas l1: a1x+b1y=1, l2: a2x+b2y=1, l3: a3x+b3y=1.'

'Pensemos en cómo demostrar el teorema de la adición y las fórmulas del doble ángulo usando figuras geométricas. Aunque el rango de α, β y θ es limitado, es interesante ver el significado geométrico del teorema de la adición.'

'Dibuje el área de movimiento del punto (x+y, x-y) a medida que los números reales x, y cambian satisfaciendo las siguientes condiciones: (1) -1≤x≤0, -1≤y≤1'

'Para el triángulo ABC con vértices A(6,13), B(1,2), C(9,10): (1) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A y divide el área del triángulo ABC en dos partes iguales. (2) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por un punto P que divide el lado BC internamente en una relación de 1:3 y divide el área del triángulo ABC en dos partes iguales.'

'Sustituimos x=3 en la ecuación 3x-4y+11=0 para obtener y=5, y sustituimos y=2 en la ecuación 3x-4y+11=0 para obtener x=-1. Por lo tanto, las coordenadas de los vértices del triángulo son (-1,2),(3,2),(3,5). Sea r el radio del círculo a encontrar, y las coordenadas del centro se representan como (3-r,r+2), cumpliendo con -1<3-r<3 y 2<r+2<5, lo que se resuelve como 0<r<3. La distancia entre la línea 3x-4y+11=0 y el centro del círculo es igual al radio del círculo, lo que da la ecuación |3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r. Al resolver esto, obtenemos |12-7r|=5r, luego 12-7r=±5r, lo que lleva a r=1. Cuando r=1, las coordenadas del centro son (2,3), y la ecuación del círculo es (x-2)^2+(y-3)^2=1'

'Relación entre dos líneas'

'Considera la solución para encontrar la ecuación de un círculo.'

'Tomar el punto A(-3,0) y considerar dos puntos B y C que satisfacen las siguientes condiciones para 0°<θ<120°.'

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'Encuentra la ecuación de la siguiente línea.'

'Demuestre que las tres medianas del triángulo ABC se intersecan en un punto. Demuestre que en el triángulo ABC, se cumple que 2AB^2 < (2 + AC^2)(2 + BC^2).'

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'(1) Encuentra el ángulo agudo \ \\theta \ formado por las dos rectas \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \. \n(2) La recta \ y=-x+1 \ forma un ángulo de \ \\frac{\\pi}{3} \ y pasa por el punto \\( (1, \\sqrt{3}) \\). Encuentra la ecuación de esta recta.'

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'Encuentra la trayectoria de puntos para los cuales el ángulo APB que pasa por los puntos A, B es un valor constante α.'

'Demuestra que las perpendiculares bajadas desde cada uno de los tres vértices del triángulo ABC hacia su lado opuesto o su extensión se intersecan en un punto (este punto de intersección de las tres perpendiculares se llama el ortocentro del triángulo).'

None

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'(1) Demuestra que las tres medianas del triángulo ABC se intersecan en un punto. (2) En el triángulo ABC, demuestra que 2AB²<(2+AC²)(2+BC²) es verdadero.'

'Demuestra la siguiente desigualdad con respecto a la constante matemática π. No usar π=3.14…… . [Universidad de Oita]'

'Demuestra que la curva C es una hipérbola encontrando la ecuación de la curva obtenida al rotar C: x^2 + 6xy + y^2 = 4 alrededor del origen por π/4.'

'Al encontrar la ecuación de la curva obtenida al rotar el origen como centro en π/4, demuestra que la curva C es una hipérbola.'

'Demuestra que en el cuadrilátero OABC, si OA al cuadrado más BC al cuadrado es igual a OC al cuadrado más BA al cuadrado, entonces OB es perpendicular a AC.'

'Demuestra que en el triángulo ABC, cuando los puntos medios de los lados AB y AC son D y E respectivamente, entonces BC es paralelo a DE y BC=2DE (Teorema del Punto Medio).'

'Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,1) donde la tangente en el punto P de la curva, que pasa por (1,1), intersecta el eje x y el eje y en los puntos Q, R respectivamente, con O como el origen. Dado que la curva está en el primer cuadrante y siempre satisface △ORP = 2△OPQ.'

'Sobre la simetría de las curvas.'

'Demuestre que la suma de distancias OA + OB desde el origen O a los puntos A, B donde las tangentes trazadas al punto P (que no está en los ejes de coordenadas) en la curva \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a} (a > 0) se intersecan con el eje x y el eje y respectivamente, es constante.'

'Demuestra que en el cuadrilátero OABC, si OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2, entonces OB es perpendicular a AC.'

'Encuentra la trayectoria de puntos que satisfacen la siguiente condición: la distancia desde el punto F es igual a la distancia desde la línea l. Aquí, F está en (c, 0), y l es el eje y (x=0).'

'Dibuja una cuerda AB paralela al eje menor que pase por los focos de la elipse. Demuestra que el cuadrado de la longitud del eje menor es igual al producto de la longitud del eje mayor y la cuerda AB.'

'Demuestra que cuando tres puntos distintos A(α), B(β), C(γ) en el círculo unitario y un punto H(z) que no está en el círculo satisfacen la ecuación z=α+β+γ, entonces H es el ortocentro del △ABC.'

'(1) Permita que la curva C esté representada por las ecuaciones paramétricas x=2(t+1/t+1) e y=t-1/t. Encuentre la ecuación de la curva C y esboce su forma general. [La Universidad de Tsukuba]'

'Demuestra que la suma de 1/FP y 1/FQ que pasan por uno de los focos F de una curva cuadrática es constante independientemente de la dirección de la cuerda.'

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'Dibuja una cuerda AB paralela al eje menor que pase por los focos de una elipse. Demuestra que el cuadrado de la longitud del eje menor es igual al producto de la longitud del eje mayor y la longitud de la cuerda AB, que es 49.'

'＜Teorema de Ptolomeo＞ Para un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo, se cumple la siguiente ecuación:\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'Dada una circunferencia de radio a con dos puntos móviles P y Q en su perímetro, los cuales parten simultáneamente desde un punto fijo A en la circunferencia y se mueven en direcciones opuestas al sentido de las agujas del reloj. Sea O el centro de la circunferencia. Cuando la relación entre las velocidades angulares de los radios OP y OQ es constante en 1:k (k > 0, k ≠ 1), se busca la ecuación polar de la trayectoria del punto medio M del segmento PQ. Cuando P y Q coinciden, el punto M representa al punto P (Q).'

'Tomar el punto Pn(xn, yn) (n=0,1,2, …) en el plano de coordenadas bidimensional que satisface las siguientes condiciones (A), (B). 90(A) (x0, y0)=(0,0), (x1, y1)=(1,0) (B) Para n ≥ 1, el vector PnPn+1 tiene una longitud que es la mitad del vector Pn-1Pn y apunta en la dirección obtenida al girar Pn-1Pn en sentido antihorario 90 grados. En este caso, los límites de xn e yn cuando n tiende a infinito son lim{n→∞}xn= A, lim{n→∞}yn= B. [Universidad de Meiji]'

'Sean dos puntos distintos denominados A(α) y B(β). Cuando m>0, n>0, y m≠n, el conjunto de todos los puntos P(z) que satisfacen la ecuación n|z-α|=m|z-β| consiste en puntos que dividen interna o externamente el segmento de recta AB en la proporción m:n, siendo estos puntos los extremos del diámetro de un círculo (círculo de Apolonio). Demuestra esta afirmación.'

'Encuentra la trayectoria del punto $Q$ cuando dos tangentes trazadas desde un punto externo $C_1$ se intersecan perpendicularmente.'

'Demuestra que el triángulo OAB con vértices O(0), A(1) y B(i), donde el ángulo O es un ángulo recto, y el triángulo PQR con vértices P(α), Q(β), R(γ), donde el ángulo P es un ángulo recto, satisfacen la ecuación 2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0.'

'Sea a una constante mayor que 1. Encuentra el área S de la región encerrada por la curva x^2-y^2=2 y la recta x=\\sqrt{2} a considerando una rotación de \\frac{\\pi}{4} centrada en el origen.'

'En el triángulo ABC, si M es el punto medio del lado BC, se cumple la siguiente ecuación.'

'Considera la recta $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ y la curva $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$, donde $a$ y $b$ son constantes positivas.'

'Además, el punto R se encuentra en el círculo con diámetro PQ, por lo tanto, ∠PRQ = π/2'

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"En una elipse con eje mayor de longitud 2a, centro O y eje menor BB', sea P un punto en la elipse distinto de B y B'. Permita que BP y B'P intersequen el eje mayor o su extensión en los puntos Q y R, respectivamente, de manera que OQ・OR=a². Demuéstrelo usando círculos."

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por los tres puntos A(0,1,-1), B(4,-1,-1) y C(3,2,1).'

'Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen O y es perpendicular al eje z.'

'En el plano xy, considera la curva \ C \ dada por la ecuación polar \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \.'

'Demuestra que la tangente en un punto $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ en la hipérbola $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ biseca el ángulo $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$ formado por el punto $\\mathrm{P}$ y los dos focos $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$. Aquí, $x_{1}>0, y_{1}>0$.'

'(1) El punto z es el bisector perpendicular del segmento de línea que conecta los puntos 1 e i. (2) El punto z es un círculo con centro en el punto 1-i y radio 2.'

'Usando el plano complejo, demuestre el siguiente teorema. Para un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo de radio 100 unidades, se cumple la ecuación AB·CD+AD·BC=AC·BD (Teorema de Ptolomeo).'

'Encuentra la ecuación de un plano que pase por el punto C(0,3,-2) y sea perpendicular al eje z.'

'Ejemplo 46 | Condición coplanar Determine el valor de x para que los siguientes 4 puntos sean coplanares: A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [Similar a la Universidad de Keio] La condición para que el punto P esté en el plano de ABC para tres puntos no colineales A, B, C es que se cumpla una de las siguientes condiciones: En el caso de que el origen sea O, [1] existen números reales s, t tal que \\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] existen números reales s, t, u tal que \\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ Representar [1] o [2] con componentes, y reducirlo a un problema de ecuaciones.'

'Sea \ \\mathrm{O} \ el origen. En el eje \ x \ hay un punto fijo \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\). Ahora, consideremos un punto móvil \ \\mathrm{P} \ en el plano tal que \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) . Encuentre (1) la ecuación que representa la trayectoria del punto \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) usando \ x, y \. (2) Determine el valor máximo de \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ y el valor correspondiente de \ \\angle \\mathrm{POA} \. [Instituto de Tecnología de Saitama]'

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'Demuestra que cuando tres puntos distintos A(α), B(β) y C(γ) en el círculo unitario y un punto H(z) que no está en el círculo satisfacen la ecuación z=α+β+γ, entonces H es el ortocentro de △ABC.'

'Prueba el ortocentro de un triángulo\nDado tres puntos distintos A(α), B(β), C(γ) en el círculo unitario y un punto H(z) que no está en el círculo, cuando se cumple la ecuación z = α + β + γ, prueba que H es el ortocentro del triángulo ABC.'

'Encuentra la ecuación de la curva obtenida al mover la hipérbola $x^{2}-2 y^{2}=-4$ de forma simétrica alrededor del punto (-3,1).'

'Tome un punto O en el segmento de línea AB (excluyendo los dos extremos), construya los cuadrados AOCD y OBEF con lados AO, OB en el mismo lado del segmento de línea AB. Demuestre que AF⊥BC utilizando el plano de números complejos.'

'Demuestra que el área del triángulo $\\triangle \\mathrm{OQR}$ formado por los puntos de intersección $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ de la recta tangente en el punto $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ en la hipérbola $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ y la asíntota, con el origen como $\\mathrm{O},$ es independiente de la elección del punto $\\mathrm{P}.$'

'Ecuación de un plano\n(1) La ecuación de un plano que pasa a través de un punto \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) y es perpendicular a un vector no nulo \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\) es \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) La forma general es \ a x+b y+c z+d=0 \ donde \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)'

'(2) Encuentra la ecuación de una hipérbola con asíntotas de las dos líneas $y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x$ y focos en los puntos $(0,4),(0,-4)$.'

'Para un número positivo a, considere la recta tangente a la parábola y=x^{2} en el punto A(a, a^{2}), la cual se obtiene rotando el punto A -30°. Llamemos a esta recta l. Llamemos B al punto de intersección de la recta l y la parábola y=x^{2} que no es A. Además, llamemos C(a, 0) y O al origen. Encuentre la ecuación de la recta l. Asimismo, sea S(a) el área encerrada por los segmentos de recta OC, CA y la parábola y=x^{2}, y sea T(a) el área encerrada por el segmento de recta AB y la parábola y=x^{2}. Encuentre c=lim_{a→∞} (T(a)/S(a)).'

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'Ejemplo clave 139 El uso de coordenadas polares'

'Cómo encontrar el vector de posición del punto S'

'Aprender sobre cómo probar que los puntos coinciden.'

'Dado el cuadrilátero ABCD con diagonales AC y BD, y un círculo con centro O circunscrito alrededor del cuadrilátero ABCD. Sea a, b, c, d los vectores OA, OB, OC, OD, respectivamente.\n(1) Si las magnitudes de los vectores a+b+c y a+b+d son iguales, demuestra que los lados AB y CD son paralelos o que el punto O se encuentra en el lado AB.\n(2) Si los centroides de los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB están equidistantes del punto O, demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo.'

'Considera un círculo con centro en O. En la circunferencia de este círculo, hay 3 puntos A, B, C tal que OA+OB+OC=0. La tarea es probar que el triángulo ABC es un triángulo equilátero. Sea el radio del círculo r (r>0), entonces |OA|=|OB|=|OC|=r. De OA+OB+OC=0, tenemos OA+OB=-OC. Por lo tanto, |OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}, que se simplifica a |OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2}. Por lo tanto, r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2}, lo que nos lleva a OA·OB=-r^{2}/2. En este caso, |AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}. Dado que |AB|>0, |AB|=sqrt{3}r. Similarmente, |BC|=|CA|=sqrt{3}r. Por lo tanto, AB=BC=CA. Así, el triángulo ABC es un triángulo equilátero.'

'Expresa las siguientes ecuaciones en forma polar: (1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4'

'Aplicación del teorema de Ceva'

'En un hexágono regular ABCDEF, sea M el punto medio del lado DE. Sea O el punto de intersección de las diagonales AD, BE y CF. Se cumplen las siguientes relaciones vectoriales:'

'La distancia entre el punto A(x₁, y₁) y la recta ax + by + c = 0 es |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²). El vector 𝑛 perpendicular a la recta ax + by + c = 0 es 𝑛 = (a, b). p.343 Conceptos básicos 1.'

'Determina las condiciones para probar que AB ⊥ CD.'

'Ecuaciones de un plano, ecuaciones de una línea'

'Coordenadas polares y trayectorias'

'Encuentra la ecuación de la curva obtenida al ampliar el círculo original por un factor de 5/2 en la dirección x con respecto al eje y.'

'Demuestra que los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero ABCD representados por P, Q, R, S respectivamente, y los puntos medios de las diagonales AC, BD representados por T, U coinciden para los segmentos de línea PR, QS, TU.'

'En el plano, se tiene el triángulo △ABC. Se define al punto O como el circuncentro de △ABC con radio circunscrito R. Además, se define al punto H como un punto que satisface ∽OA+∽OB+∽OC=∽OH, donde H es diferente de los puntos A, B y C. Si ∽OA=𝐚, ∽OB=𝐛, ∽OC=𝐜, entonces: (1) Expresar ∽AH y ∽CH en términos de 𝐚, 𝐛, 𝐜, y demostrar que ∽AH es perpendicular a BC y ∽CH es perpendicular a AB. (2) Denotar al punto medio del segmento OH como P, y los puntos medios de los lados AB, BC, CA de △ABC como L, M, N, respectivamente. Expresar ∽PL, ∽PM, ∽PN en términos de 𝐚, 𝐛, 𝐜, y demostrar que P es el circuncentro de △LMN. (3) Si se define a D como el punto medio del segmento AH, demostrar que P es el punto medio del segmento DM. (4) Traza una perpendicular desde el vértice A hasta la recta BC, y denota como E al punto de intersección. Demostrar que el punto E se encuentra en la circunferencia del circuncírculo de △LMN.'

'Demuestra que 1/PF*QF + 1/RF*SF es constante cuando dos cuerdas PQ y RS que pasan por uno de los focos F de una cónica se intersectan en ángulos rectos.'

'Encuentra la ecuación de la curva que se forma al ampliar el círculo x^2+y^2=4 por un factor de 5/2 a lo largo del eje x con el eje y como referencia.'

'Por el teorema de la cuerda'

'Demuestra las siguientes propiedades geométricas:\n1) Demuestra que los ángulos verticales son congruentes.\n2) Cuando la línea $\\ell$ y $m$ intersectan la línea $n$, si $\\ell \\parallel m$, entonces los ángulos correspondientes y los ángulos alternos internos son congruentes.\n3) Con respecto a las líneas $\\ell$ y $m$, si un par de ángulos correspondientes o ángulos alternos internos son congruentes, entonces demuestra que $\\ell \\parallel m$.'

'Ejemplo 47 | Baricentro de un triángulo'

'Cuando se toma en el borde x, las coordenadas de cada vértice pueden ser representadas como A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0).\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nPor lo tanto \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

'(3) En la Figura 2, determina el número total de caminos diferentes desde el punto A hasta el punto B. Cabe destacar que no se permiten caminos diagonales.'

'En el diagrama a la derecha, un cuadrado se divide en 5 regiones conectando los puntos medios de cada lado, con un total de 14 regiones más pequeñas. Cuando las regiones adyacentes se colorean con colores diferentes, ¿cuántas formas diferentes hay de colorear en los siguientes escenarios? Se asume que los esquemas de coloración que son idénticos después de la rotación se consideran iguales. (1) Seleccionar 2 colores de entre 4 colores diferentes para colorear. (2) Seleccionar 3 colores de entre 4 colores diferentes y usar los 3 colores para colorear.'

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'Práctica 43: En la página 339 de este libro, sobre el área, dado que △ABP=¼△ABC, se deduce que BP:BC=1:3. Por lo tanto, BP:PC=1:2. Además, dado que AB:AC=1:2 a partir de las condiciones. Por lo tanto, AP es el bisector del ángulo ∠BAC. Por lo tanto, ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°.'

'Demuestra que si la intersección de las dos bisectrices de los dos vértices ∠A y ∠C del cuadrilátero ABCD yace en la diagonal BD, entonces la intersección de las dos bisectrices de los dos vértices ∠B y ∠D yace en la diagonal AC.'

'Ejemplo 48 Relación de los cinco centros En un triángulo acutángulo ABC, el circuncentro es O, el ortocentro es H y el baricentro es G. (1) Sean OM y ON las perpendiculares trazadas desde O a los lados AB y BC, respectivamente. Sea L el punto medio del segmento BH. Demuestra lo siguiente: (a) El cuadrilátero MLNO es un paralelogramo. (b) AH = 2ON (2) Si el triángulo ABC no es equilátero, demuestra que los puntos G, O, H son colineales, y que G divide internamente al segmento OH en la razón 1:2.'

'¿Cuáles son las posibles relaciones de posición entre una recta ℓ y un plano α?'

"Demuestra que en la figura a la derecha, con el punto P como punto de tangencia, los puntos de intersección de los dos círculos O y O' con la tangente externa común son C y D. Sea A y B los puntos de intersección de la línea que pasa por el punto P con los dos círculos O y O' que no sean P, entonces AC ⊥ BD."

'Ejercicio 19 ⇒ Este libro p.282 Permita que un lado de un cubo se defina como una cuadrícula, mueva una cuadrícula hacia la derecha, hacia atrás y hacia arriba, respectivamente representados por →, ↗, ↑. (1) Como se muestra en la figura derecha, suponiendo que hay un camino en la esquina superior izquierda, el camino de A a B es una permutación de → 3 y ↗ 2, por lo que es 5!/(3!2!)=10. Entre ellos, el camino que pasa a través de la marca × en la figura es 1, por lo que el número de caminos a encontrar es 10-1=9 (formas). (2) Tenga cuidado de no contar los casos en los que los puntos C y D pasan dos veces. (Total)-(Pasar punto C o punto D) Puede resolverse de la misma manera (1) y (2). Considere los caminos hacia B pasando por la parte diagonal de la Figura 2. Es posible crear un camino virtual o usar otros métodos como una solución alternativa.'

'Utilización de un cuadrilátero inscrito en un círculo de radio 36'

'El valor mínimo de AC+BC se alcanza cuando los puntos A, B, C están alineados en el diagrama desplegado de un octaedro regular representado en la figura derecha [3]. En este caso, ∠ACB es igual a ∠PRQ en la figura [2]. Por lo tanto, en el triángulo PQR, de acuerdo con la fórmula del coseno'

'Práctica: Demuestra la siguiente afirmación.'

'Demuestra que FG = FE al trazar la tangente FG desde el punto F al círculo.'

'Teorema de la Potencia de un Punto'

'En el triángulo ABC, se denomina D a la intersección de la bisectriz del ángulo ∠B y el lado AC, y se denomina E a la intersección de la bisectriz del ángulo ∠C y el lado AB.'

'Área de un cuadrilátero inscrito en un círculo\nAl buscar el área de un cuadrilátero inscrito en un círculo, hay una fórmula similar a la fórmula de Herón. Consideremos esta fórmula basándonos en la pregunta del examen reciente.\nSea el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Denotemos las longitudes de los lados DA, AB, BC y CD como a, b, c, d, respectivamente, y sea ∠DAB=θ. Además, sea T el área del cuadrilátero ABCD.\n(1) Demuestra que a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ.\n(2) Demuestra que T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]. Donde s=(a+b+c+d)/2.\n[Universidad de Yamaguchi]'

'[2] Cuando $AP = PQ$, si consideramos mover el punto $P$ en sentido horario desde el punto $A$, hay 5 formas de elegir el punto $P$ de manera que $AP = PQ$.'

'98 Teorema de la mediana'

'En △ABC, si el punto medio del lado BC es M, entonces se cumple la siguiente ecuación: \n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (Teorema de la mediana)'

'A partir del teorema de intersección de cuerdas y BC=BD, tenemos ∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°. Además, ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°, ∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°. Por lo tanto, θ=180°-(44°+47°)=89°.'

'Dadas dos rectas paralelas ℓ y m, una recta n que las intersecta y dos puntos A y B. Sea C un punto en la recta ℓ y D un punto en la recta m, de manera que CD sea paralelo a n y AC sea perpendicular a BD. Construir los puntos C y D.'

'Para comprender intuitivamente la relación entre los conjuntos de hermanos, es mejor dibujar un diagrama. Deje que el conjunto universal sea U y que los conjuntos de hermanos, hermanas, hermanos menores y hermanas menores sean P, Q, R y S respectivamente.'

'Ejemplo 49 Teorema de Menelao y Área del Triángulo'

'Para un triángulo ABC, se cumple lo siguiente:'

'Teorema de Menelao'

'(3) Demuestra la congruencia del triángulo DAE y el triángulo CAB.'

'(3) Si la intersección de la línea AH y el lado BC es D, y la intersección de la línea CH y el lado AB es E, entonces'

'En el triángulo ABC, sea D el punto de intersección del bisector del ángulo A con el lado BC, y sean E y F los puntos de intersección de los bisectores de los ángulos ADB y ADC con los lados AB y AC, respectivamente. Demuestra lo siguiente: (1) Triángulo BEF: Triángulo AEF = BD: AD (2) Triángulo BEF: Triángulo CEF = AB: AC'

'Ejemplo importante 57 | Teorema de Simpson'

'En los lados AB, BC y CA del triángulo ABC, se toman los puntos D, E, F de manera que AD:DB=t:(1-t), BE:EC=2t:(1-2t), CF:FA=3t:(1-3t), y se denota el área del triángulo DEF como S. Responde a las siguientes preguntas.'

'Demostración utilizando el teorema de la secante'

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'Prueba del ejemplo importante 101 Igualdad de lados y ángulos\nEn el triángulo ABC, prueba que la siguiente ecuación se cumple:\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\nEjemplos 62, 63\nComo se menciona en la orientación D.172 y en el ejemplo 55, para probar la ecuación P=Q, se pueden usar los siguientes métodos:\n[1] Transformar P o Q para derivar el otro.\n[2] Transformar tanto P como Q para derivar la misma expresión.\n[3] Transformar P-Q para demostrar que es igual a 0.\nLa elección del método depende del problema dado, pero aquí demostramos el enfoque [3]. Por lo tanto, para simplificar P-Q, consideramos reducir los caracteres, lo que implica\nEliminar ángulos y convertir el problema en uno que solo implica lados\nPara esto, podemos usar fórmulas como \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \.'

'Los siguientes problemas (1), (2), (3) son conocidos como los tres grandes problemas geométricos de Grecia. (1) Problema de la trisección de un ángulo: Dividir un ángulo dado en tres partes iguales (2) Problema de duplicar el cubo: Construir un cubo con el doble del volumen del cubo dado (3) Problema de cuadrar el círculo: Construir un cuadrado con la misma área que el círculo dado.'

'Capítulo 3 Propiedades Geométricas Preguntas de Verificación'

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'Demuestra que la línea que conecta el punto de intersección O de BE y CD pasa por el punto medio del lado BC en el triángulo ABC, donde la línea BC es paralela a la línea AB y AC se intersecan en los puntos D y E.'

'Teorema de la perpendicular a una recta'

'Demuestra que cuando el cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo, existe un punto E en la diagonal BD tal que ∠BAE=∠CAD.'