Geometría Plana - Área y Perímetro de Figuras Planas

'Encuentra el área encerrada por la curva y=|x^{2}-1| y la línea y=3.'

'Encuentra el área S encerrada por la parábola y = -2x^2 + 1 y el segmento de línea AB.'

'Sea 139 un constante que satisface 0 ≤ a ≤ 1. Sea la parábola y = 1/2 x^2 + 1/2 representada como C1 y la parábola y = 1/4 x^2 representada como C2. Para un número real a, el área encerrada por las líneas x = a, x = a+1 y C1, C2 se denota como D, y el cuadrado con vértices (a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1) se denota como R.\n1. Calcular el área S de la región D.\n2. Calcular el área T de la intersección entre el cuadrado R y la región D.\n3. Encontrar el valor de a que maximiza T.\n[Fuente: Prueba Central] Ejemplo Básico 204, Ejemplo Avanzado 216'

'Encuentra la longitud del arco y el área de los siguientes sectores.'

'Encuentra el área encerrada por las siguientes curvas o líneas.'

'Encuentra el área S encerrada por la parábola y el eje x.'

'Encuentra la suma de las áreas de las dos figuras encerradas por las curvas y=x^{3}-4x e y=3x^{2}.'

'Encuentra el área del triángulo OAB con vértices O(0,0), A(2,6), B(4,3).'

'Encuentra el área del triángulo formado por las líneas x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4y=0 (3).'

'Encuentra el área \ S \ de la figura encerrada por las siguientes curvas y líneas: \ y = x^{2} - 2x, \\quad y = x^{2} + 2x - 3, \\quad x = -1, \\quad x = 0 \'

'El área total de una figura plana con una longitud, el área (2) de un rombo es 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(cm²). Además, el área total de 8 triángulos equiláteros es 3.9 × 8=31.2(cm²), por lo tanto, el área rodeada por las líneas gruesas es 65.94+31.2= 97.14(cm²).'

'¿Cuál es el área total de la parte coloreada en la fila 2019 en centímetros cuadrados?'

'(2) El área del triángulo MBP es, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54 (cm²) Por lo tanto, el volumen del pirámide F-MBP es, 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ (cm³). Además, el área del triángulo MAQ es, 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24 (cm²) y la altura de la pirámide R-MAQ es, ✕'

'(1) La superficie inferior es como se muestra en la figura de la derecha. Si el área del rombo ABCD se toma como 1, entonces las áreas de los 4 triángulos ABD, CDB, DAC, BCA son todas de 1/2. Por lo tanto, el área del triángulo AKN es de 1/8, el área del triángulo CML es de 1/18, las áreas de los triángulos DNM y BLK son de 1/6 cada uno, por lo tanto, el área del cuadrilátero KLMN se encuentra que es 35/72. Por lo tanto, cuando la altura del cuadrilátero ABCD-EFGH se toma como 1, el volumen del cuadrilátero ABCD-EFGH es 1×1=1, y el volumen del tronco O-KLMN es 35/72×1/3=35/216, por lo que el volumen del tronco O-KLMN es 35/216 veces el volumen del cuadrilátero ABCD-EFGH. O-KLMN también se corta a la mitad de la altura. Por lo tanto, la sección transversal se convierte en la mitad del tamaño del cuadrilátero KLMN, por lo que el área de la sección transversal es 1/4 veces el área del cuadrilátero KLMN, así que el área de la sección transversal es 35/72×1/4=35/288, por lo tanto, el área de la sección transversal es 35/288 veces el área del rombo ABCD.'

'(4) Para encontrar el área de la parte inferior (la sección de trapezoide rellena) del gráfico dibujado en (2). Usando el valor obtenido en (3) para el cálculo, la distancia recorrida en 60 segundos es 20 × 60 ÷ 2 = 600 metros, de 60 segundos a 120 segundos es 20 × (120-60) = 1200 metros, y de 120 segundos a detenerse en 150 segundos es 20 × (150-120) ÷ 2 = 300 metros. Por lo tanto, la distancia total requerida es 600 + 1200 + 300 = 2100 metros.'

'El ángulo B del triángulo ABC y el ángulo C del triángulo ACD son ángulos rectos, y los ángulos marcados con • son iguales. El punto E es la intersección de las extensiones de los lados BC y AD. La longitud del lado AB es de 2 cm, y la longitud del lado BC es de 1 cm. (1) ¿Cuál es el área del triángulo ACD en centímetros cuadrados?'

'Responda las siguientes 4 preguntas. Sin embargo, tenga en cuenta que el diagrama puede no ser preciso.\n(1) Dibuje dos cuadrados con AC como un lado para el triángulo ABC y con BC como un lado para un cuadrado como se muestra en el diagrama 1, y conecte dos puntos D y E con una línea. En este caso, ¿cuál es el área del triángulo CDE en centímetros cuadrados?'

'En 1950, según la Tabla 2, se puede observar que en 2020, la Academia Educativa de Shibuya en el Instituto Makuhari tiene un área más pequeña en comparación con la Prefectura de Kagawa, pero su área ha aumentado. Además, se pueden notar aumentos significativos en el área de Prefectura de Chiba, Tokio, Prefectura de Kanagawa, Prefectura de Aichi y otros. Por favor, explique las razones del aumento del área de estas regiones en la hoja de respuestas. Sin embargo, tenga en cuenta que no se incluyen los cambios en los límites de las prefecturas o el descubrimiento de islas inhabitadas.'

'Calcular el área entre dos curvas.'

'Encuentra el área del siguiente paralelogramo: AB = 2, CD = 2, BC = 5, ∠B = 120°'

'Alrededor de un estanque circular con un radio de 4m, se debe construir un lecho de flores del mismo ancho. ¿Para asegurar que el área del lecho de flores esté entre 9π metros cuadrados y 33π metros cuadrados, cuál debería ser el ancho del lecho de flores?'

'Encuentra el área de un triángulo dadas las condiciones, y aplícalo a la geometría sólida.'

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'Encuentra el área del cuadrilátero ABCD. Las longitudes de los lados son AB=5, BC=6, CD=5, DA=3, y el ángulo es ∠ADC=120°.'

'En el triángulo ABC, encuentra lo siguiente. Donde, deja que el área del triángulo ABC sea S. (1) Cuando A=120 grados, c=8, S=14√3, encuentra a y b. (2) Cuando b=3, c=2, 0<A<90 grados, S=√5, encuentra sen A y a. (3) Cuando a=13, b=14, c=15, y la longitud de la perpendicular desde el vértice A al lado BC es h, encuentra S y h.'

'Fórmula de Herón (Temas Avanzados)'

'Práctica 5: Comparando el área y perímetro de triángulos'

'Ejemplo 135: Área de un Polígono\nPara encontrar el área de un polígono complejo, divídalo en triángulos simples o cuadriláteros, calcule el área de cada uno y luego súmelos.'

'El área del triángulo ABC se denota por S.'

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'Encuentra el área encerrada por la curva PR, la recta y el eje x.'

'Encuentra el área de (3) \ -x^{2} + 2x - 2 \.'

'Sea A(1,0). A medida que el punto P se mueve a lo largo de la porción de la parábola y=x^2 donde -1 ≤ x ≤ 1, encuentra el área de la figura formada por el segmento de recta AP que la atraviesa.'

'Expresa el área S de la figura encerrada por C y ℓ en términos de m a medida que m se mueve dentro del rango determinado en (1).'

'Encuentra el área encerrada por las gráficas de las dos funciones y=-x^{2}+x+2 e y=|x|-1.'

'A través de las matemáticas, el área S obtenida de la figura derecha es S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)'

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'Si S1, S2, S3 se toman como se muestra en la figura, el área S que se debe encontrar es: S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2'

'Encuentra el área de la siguiente figura: (1) a=10, B=30°, C=105° para △ABC'

'Encuentra el área del triángulo ABC. (1) a=3, c=2√2, B=45 grados (2) a=6, b=5, c=4'

'Practica encontrando el área S del siguiente cuadrilátero ABCD (O es la intersección de AC y BD).'

'Encuentra el área S del siguiente paralelogramo ABCD (O es el punto de intersección de AC y BD).'

'Dado que r>0 y x>0, tenemos x=(\\sqrt{2}-1) r. El área del cuadrilátero AMON es 2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}. Por lo tanto, el área del octágono que buscamos es 8(\\sqrt{2}-1) r^{2}.'

'Encuentra el área de la siguiente figura: (3) Cuadrilátero ABCD, inscrito en un círculo, AB=6, BC=CD=3, ∠B=120°'

'Encuentra el área del cuadrilátero ABCD.'

'Encuentra el área del hexágono ABCDEF.'

'¿Cómo se puede hacer que el área de un rectángulo con un perímetro de 20 cm esté entre 9 cm² y 21 cm²?'

'Área de un triángulo'

'Si el área del triángulo ABC es 20√3, encuentra la longitud del lado más largo del triángulo ABC.'

'Encuentra el área de las siguientes formas.'

'Cuando se dan las longitudes de los tres lados, para encontrar el área S del triángulo ABC, se deben seguir los siguientes pasos:\n(1) Utilizar la ley del coseno para encontrar cos A.\n(2) A partir de sin ^ 2 A + cos ^ 2 A = 1, encontrar sin A.\n(3) Sustituir en la fórmula del área S = 1/2bc sin A.\nEl área S, expresada en términos de las longitudes de los tres lados a, b, c, se conoce como la fórmula de Herón.\nEl área S del triángulo ABC según la fórmula de Herón es\nCuando 2s = a + b + c,\nS = √(s(s-a)(s-b)(s-c))'

'¿Cómo se puede calcular el área del cuadrilátero ABCD?'

'Problema del Lago 139 Representación de Variables y Área (1)\nEncuentra el área $S$ de la región encerrada por la curva \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{\overlineray}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. y el eje de las $x$.'

'(1) En un plano, cuando el centro de un círculo con radio r (r ≤ 1) da una vuelta alrededor del lado de un cuadrado de lado 4, encuentre el área S(r) de la parte del círculo que pasa a través.'

'Encuentra el área S(a) del triángulo ABC y el valor mínimo de S(a) a medida que a se mueve sobre todos los números reales en el problema dado.'

'Por lo tanto, dado que t=\\frac{1}{2}, la forma general de la curva es como se muestra en la figura de la derecha. Por lo tanto, el área a determinar es'

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'Encuentra el área S de la figura encerrada por las siguientes curvas, líneas y el eje x.'

'En la región en el plano xy donde x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1, encuentra el área S de la parte por encima de la curva C: y=x^{3}+x^{2}-x.'

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'Encuentra el valor de la constante a cuando el área encerrada por la parábola y=-x(x-2) y el eje x es dividida por la recta y=ax. Dado que 0<a<2.'

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'Puntos a tener en cuenta al calcular el área'

'En la región del plano xy donde x^{2} + y^{2} ≤ 2, |x| ≤ 1, encuentre el área S de la parte por encima de la curva C: y = x^{3} + x^{2} - x.'

'Encuentra el área encerrada por las rectas tangentes en el punto $(0,0)$ y en el punto $(2,-2)$ de la parábola $y=-x^{2}+x$. p. 412 EJ 155'

'Encuentra el área encerrada por la curva $x=y^{2}$, el eje y y la recta $y=2$.'

'Encuentra el área \ S \ de la curva dada por las ecuaciones paramétricas \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) y encerrada por el eje y.'

'Resuelve el siguiente problema. Encuentra el área \ S \ de la curva representada por \\( x = 2t + t^2, y = t + 2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) \\) y la forma encerrada por el eje \ y \.'

'Por lo tanto, si el área de \ \\triangle ABC \ se denota como \ S \, entonces\nS = S_{1} + S_{2} - S_{3} = 6\\sqrt{3} + (\\sqrt{6} + \\sqrt{2}) - \\frac{3(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}\n\nRepresentando 3 puntos \ A, B, C \ en coordenadas cartesianas,\nA(3, 3\\sqrt{3}), B(-2, 2\\sqrt{3}), C(-\\sqrt{2}, -\\sqrt{2})\n\n\\overrightarrow{AB} = (-5, -\\sqrt{3}), \\quad \\overrightarrow{AC} = (-\\sqrt{2} - 3, -\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3})\nS = \\frac{1}{2}| -5(-\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2} - 3) | = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}'

'Encuentra el área S encerrada por la siguiente curva o línea. donde la constante a en (2) satisface 0 < a < 1.'

'De la ecuación dada por (3), 2x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 4, podemos concluir y ^ 2-2xy + 2x ^ 2-4 = 0. Por lo tanto, y = x ±√(4-x ^ 2) (-2≤x≤2). A partir del diagrama, el área se calcula como S =∫_(-2)^ 2{ x +√(4-x ^ 2)} = 2∫_(-2)^ 2√(4-x ^ 2)dx = 2 * π * 2^ 2 = 4π'

'Encuentra el área encerrada por la curva representada por x=cos(2t) e y=t*sin(t) en el plano de coordenadas usando el parámetro t (0≤t≤2π).'

'Usando la fórmula de área dada en el ejemplo, encuentra el área de la región encerrada por la curva $C$ representada por la ecuación polar $r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi)$ y el eje x.'

'Encuentra el área de la forma encerrada por la curva y² = (x + 3)x²'

'Encuentra el área S encerrada por la siguiente curva y líneas.'

'Encuentra el área máxima S del trapecio ABCD. Donde AD // BC, AB=AD=CD=a, y BC>a.'

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'Calcula el área del triángulo formado por los puntos P = (1, 1), Q = (4, 5) y R = (7, 2).'

'Encuentra el área S encerrada por la siguiente curva y líneas rectas: y=√x, eje x, x=1, x=2.'

'Los antiguos griegos usaban la geometría para calcular áreas y volúmenes.'

'Encuentra el área del triángulo OAB.'

'Por favor, calcula el área de un triángulo isósceles con un lado de 10 cm y otro lado de 15 cm.'

'Probabilidad de que una moneda de cien yenes quepa en una baldosa Cuando se lanza una moneda de cien yenes (diámetro de 2,2 cm) en un piso grande cubierto con baldosas cuadradas de 3 cm de lado, consideremos la probabilidad de que quepa completamente en una baldosa.'

'Cuando los puntos P, Q, R en un plano no son colineales, el área del triángulo con ellos como 3 vértices se denota con △PQR. Además, cuando P, Q, R son colineales, el área se define como △PQR=0. Sean A, B, C 3 puntos en el plano, con △ABC=1. Encuentra el área del rango factible del movimiento del punto X en el plano al satisfacer 2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3. [Universidad de Tokio]'

'Encuentra el área de un cuadrilátero inscrito en un círculo con un radio de 106 (2)\nEn el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo con un radio de 106, si AB=5, BC=4, CD=4, DA=2, encuentra el área S del cuadrilátero ABCD.'

'El área del trapezoide DFGE es 479'

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