Funciones Básicas - Funciones y Desigualdades Racionales

'Practica graficar la región representada por la siguiente desigualdad.'

'Encuentra el valor mínimo de x+\\frac{9}{x} cuando x>0.'

'Al modificar las posiciones de las fuentes de sonido, medimos la diferencia en el tiempo en que se escuchó el sonido en A y B, y descubrimos que en ese momento hay un máximo.'

'Dibuje los gráficos de las funciones (1) $y=\\frac{1}{2x}$, (2) $y=\\frac{3}{x}-1$ y (3) $y=\\frac{-2}{x-1}$.'

'Determinación de coeficientes de una función a partir de valores máximo y mínimo (2)'

'Básico 1: Gráfica de una función racional, asíntotas y rango'

'Sea C1 la curva simétrica con respecto a la recta y=x para la curva y=2/(x+1), y sea C2 la curva simétrica con respecto a la recta y=-1 para la curva y=2/(x+1). Encuentra todas las coordenadas de los puntos de intersección entre la asíntota de la curva C2 y la curva C1.'

'Al estudiar la existencia de soluciones reales de la ecuación $f(x)=g(x)$,\ny al investigar los cambios de valor de la función $F(x)=f(x)-g(x)$, se utiliza el teorema del valor intermedio.\n(1) Si $F(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$, y $F(a)F(b)<0$ [$F(a)$ y $F(b)$ tienen signos opuestos], entonces hay al menos una solución real para la ecuación $F(x)=0$ en el intervalo abierto $(a, b)$.\n(2) En (1), en particular, si $F(x)$ es monótonamente creciente [$F^{\\prime}(x)>0$] o monótonamente decreciente [$F^{\\prime}(x)<0$], entonces la solución real es única.'

'Por favor, esboza el gráfico de la función y=(1-log x)/x^2. Es importante tener en cuenta que lim(x→∞) de log x/x^2 es igual a 0.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:'

'Básico 3: Intersección de los gráficos de una función racional y una recta, desigualdades de fracciones'

'¿Cómo se desplaza en paralelo el gráfico de la función y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5} al gráfico de la función y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1}?'

'La gráfica de la función y = (ax + b) / (x + 2) (b ≠ 2a) pasa por el punto (1, 1), y la función inversa de esta función es la misma que la función original. Encuentra los valores de las constantes a, b.'

'Sea z un número complejo no nulo. Cuando la desigualdad 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 se cumple, trace la región donde existe el punto z en el plano complejo.'

'(3) r es una condición necesaria para (p o q)'

'¡Comprende el rango de una función y conquista el ejemplo 64!'

'Explique el cálculo de expresiones que involucran raíces cuadradas.'

'Cuando x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5}, el valor mínimo es \\frac{9}{5}.'

'Explique la conversa, contrapositiva e inversa de una proposición.'

'Encuentra el valor mínimo de x+\\frac{16}{x} cuando x>0.'

'Demuestra que para números positivos a, b, x, y con a+b=1, se cumple √(ax+by) ≥ a√(x)+b√(y). Además, determina cuándo se cumple la igualdad.'

'Explica la relación entre conjuntos y las condiciones necesarias y suficientes.'

'Demuestra que la proposición es verdadera.'

'Por favor, explique conjuntos y términos relacionados (subconjunto, igual, intersección, unión, complemento).'

'(4) Elija uno de los siguientes números del 0 al 7, asumiendo que las gráficas de y=|3x-6| y y=2x+1 están representadas en el mismo plano de coordenadas, cuál opción es la más adecuada para los puntos de intersección.'

'La expresión de la función se puede transformar en la forma y=k/(x-2)+1, y dado que la gráfica pasa por el punto (1,2), de 2=-k+1 obtenemos k=-1'

'Encuentra el valor de la siguiente integral definida.\ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en el valor α en su dominio, demuestra que las siguientes funciones también son continuas en x=α: 1. k f(x) + l g(x) (donde k, l son constantes) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (donde g(α) ≠ 0)'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'Gráficos, dominios y rangos de 3 funciones irracionales'

'Considera g(1/2) = α, g(1/3) = β, y demuestra que α + β = π/4.'

'Encuentra los valores de las constantes $a, b, c$ cuando la función $f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$ satisface las siguientes condiciones (A), (B).\n(A) La curva $y=f(x)$ se intersecta con la recta $y=x+1$ en dos puntos, y los valores absolutos de las coordenadas $x$ de estos dos puntos de intersección son iguales.\n(B) La curva $y=f(x)$ y las intersecciones con el eje $x$ y el eje $y$ están ambos en la recta $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$.\n[Universidad Keio]'

'Grafica la función y = \\frac{9x - 10}{6x - 4} y encuentra las asíntotas.'

'Función compuesta f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2}. Por lo tanto, el gráfico que buscamos se obtiene moviendo el gráfico de y = \\frac{-2/3}{x} 2/3 unidades a lo largo del eje x y 3/2 unidades a lo largo del eje y hacia la derecha. El gráfico se muestra en el diagrama a la derecha. Las líneas asíntotas son dos líneas x=2/3, y=3/2.'

'Ejercicio 12: Demuestra las siguientes desigualdades.'

'Ejemplo 36: Fórmulas de aproximación y valores aproximados\n(1) Crear la fórmula de aproximación de primer orden y segundo orden de f(x)=\\frac{1}{1+x} cuando |x| es suficientemente pequeño.\n(2) Utilizando la fórmula de aproximación de primer orden de \\cos(a+h), encuentra el valor aproximado de \\cos 61 grados. Tomar \\sqrt{3}=1.732, \\pi=3.142, y calcular hasta el tercer decimal.'

'Se tiene la función fraccional f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}, donde b \\neq 2 a. Para todos los valores de x que satisfacen 0 \\leqq x \\leqq 1, se requiere que 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 y que f(f(x))=x. Encuentra los valores de las constantes a, b.'

'Integral definida e desigualdad'

'Matemáticas II'

'Gráfica, asíntota y rango de la función racional.'

'Aproxima las siguientes funciones.\n(1) Calcular 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2 en orden\n(2) 0.485'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Encuentra el rango de la constante a cuando desde el punto (a, 0) se puede trazar una recta tangente al gráfico de la función y=(x+3)/(√(x+1)).'

'(1) ¿Cómo está relacionada la gráfica de la función y = \\frac{3 x+17}{x+4} con la gráfica de la función y = \\frac{x+8}{x+3} después de un desplazamiento paralelo? (2) Determine los valores de las constantes a, b, c cuando la gráfica de la función y = \\frac{a x+b}{x+c} tiene a x = 3 e y = 1 como asíntotas, y pasa por el punto (2, 2).'

'Para un número real x, [x] representa el entero n que satisface n ≤ x < n+1, determine los valores de las constantes a y b para que la función f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) sea continua en x=1 y x=2.'

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'Encuentra la ecuación de las asíntotas de y = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4}.'

'Grafica las siguientes funciones y determina sus asíntotas.'

'Grafica las siguientes funciones y encuentra sus asíntotas. (a) y=(3x+5)/(x+1) (b) y=(-2x+5)/(x-3) (c) y=(x-2)/(2x+1) (2) Encuentra el rango de valores para las funciones (a) y (b) cuando el dominio es 2 ≤ x ≤ 4.'

'Investiga la continuidad de las siguientes funciones y especifica su dominio.'

'A continuación, investigamos el número de soluciones reales de la ecuación basándonos en las intersecciones del gráfico de y=f(x) y la línea y=k.'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 Al multiplicar ambos lados por x-2 obtenemos 4x-3=(5x-6)(x-2) Simplificando obtenemos x^2-4x+3=0 Por lo tanto (x-1)(x-3)=0 Por lo tanto x=1,3 Sustituyendo en (2) obtenemos y=-1 cuando x=1 y y=9 cuando x=3 Por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección son (1, -1), (3, 9)'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos donde se intersectan el gráfico de la función f(x) = 1/6x³ + 1/2x + 1/3 con el gráfico de su función inversa f^{-1}(x).'

'Encuentra las ecuaciones de las asíntotas para (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9}'

'Cuando la función es y=(2x+c)/(ax+b), pasa por el punto (-2, 9/5), y tiene como asíntotas x=-1/3, y=2/3, encontrar los valores de las constantes a, b, c.'

'Sea C: y = 1/x (x > 0) la curva. Considera la recta tangente al punto P(t, 1/t) en la curva C como lt. Además, sean α, β constantes que satisfacen 0 < α < β, y sea D la región que encierra las dos rectas tangentes lα, lβ y la curva C. (1) Encuentra el área de D. (2) Para α < t < β, encuentra el valor de t que minimiza el área S(t) por encima de la recta tangente lt en D.'

'Investiga si las siguientes funciones son continuas y diferentes en los puntos especificados dentro de [ ].'

'En el rango de \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \, la función \\( f(x) \\) se define como \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\). Aquí, \ a \ es una constante que satisface \ 0<a<2 \.'

'(1) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de la función \ y=\\frac{2}{x+3} \ y la recta \ y=x+4 \. \n(2) Resuelve la desigualdad \ \\frac{2}{x+3}<x+4 \.'

'Para el intervalo \ [a, b] \ donde \ a < b \, si \\( f(x) \\neq g(x) \\) y \\( f(x) \\geqq g(x) \\) para todo \ x \, entonces \\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'Dibuja el gráfico de la función de fracción y la línea asintótica, además de resolver el ejemplo básico 73 (1) función y = 3x / (x-2). También, hallar la línea asintótica. (2) En (1), cuando el dominio es 4 ≤ x ≤ 8, encontrar el rango.'

'Encuentra el área S encerrada por las gráficas y=1/x, y=ax, y=bx en el plano xy. Aquí, x>0, a>b>0.'

'Determinación de una función de fracción'

'Investigar el aumento y disminución de la función y=(x²-x+2)/(x+1), la concavidad de la gráfica, las asíntotas, y dibujar un esbozo aproximado de la gráfica.'

'Cuando los números reales a, b, c, d satisfacen ad-bc≠0, responda las siguientes preguntas sobre la función f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}:'

'Investigar el incremento y decremento, la concavidad y convexidad, las líneas asíntotas de la función y=(x+1)^{3}/x^{2}, y esbozar el contorno del gráfico.'

'A partir de las condiciones de las asíntotas, la función deseada se puede expresar como $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$. Dado que el gráfico pasa por los puntos $(-2,3)$ y $(1,6)$, tenemos las ecuaciones $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$. Al resolver estas ecuaciones obtenemos $k=-4, q=7$. Sustituyendo estos valores, obtenemos $y=\\frac{-4}{x+3}+7$, que se simplifica a $y=\\frac{7x+17}{x+3}$. Las asíntotas del gráfico de $y=\\frac{k}{x-p}+q$ son dos líneas $x=p, y=q$.'

'Hipérbola x^2-y^2/4=1, excluyendo el punto (-1,0)'

'Líneas asíntotas no paralelas a ambos ejes (y = ax + b)'

'Demuestre que la función f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} cuando A 46^{\\ominus} x \\neq 0 y f(x)=0 cuando x=0 es continua en x=0 pero no diferenciable.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

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'El dominio de la función (1) es x ≠ -p/2, y el rango es y ≠ 1/2. Por lo tanto, el dominio de la función inversa de (1) es x ≠ 1/2. Para que la función (1) y su función inversa coincidan, -p/2 debe ser igual a 1/2, por lo tanto, p = -1. En este caso, la función inversa de (1) es y = (x + 4) / (2x - 1), que coincide con la función (1). Por lo tanto, el valor de la constante p requerida es p = -1.'

'Grafique las siguientes funciones.'

'Grafique las siguientes funciones y encuentre sus dominios e intervalos de valores.'

'Examine los intervalos de incremento y decremento, la concavidad del gráfico, las asíntotas, y dibuje el contorno general del gráfico.'

'Área entre la línea y la curva'

'Encuentra el valor de la constante a de tal manera que la función inversa de la función y=(a x-a+3)/(x+2) sea igual a la función original (a no igual a 1)'

'Determina los valores de las constantes p, q para que la función f(x) = (px + q)/(x^2 + 3x) alcance un máximo local de -9 en x = -1/3.'

'¿Qué curva representa la representación paramétrica dada?'

'Determina si las siguientes funciones f(x) son continuas o discontinuas. Donde [x] denota el entero mayor que no excede al número real x.'

'Explique la relación entre la función inversa g(y) y la función original f(x).'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente cuando un punto (x₁, y₁) se encuentra en la curva de la elipse $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$.'

'Gráfica de una función racional, asíntotas y rango'

'El dominio de la función (1) es x ≠ -2, el rango es y ≠ a, por lo tanto, el dominio de la función inversa de (1) es x ≠ a, para que la función (1) y su función inversa coincidan\na=-2\nEn este caso, la función inversa de (1) es y = \\frac{-2x+5}{x+2}, que coincide con la función (1). Por lo tanto, el valor de la constante a buscada es a=-2'

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'Encuentra el dominio de las siguientes funciones.'

'Grafique la función y=(9x-10)/(6x-4) y encuentre las asíntotas.'

'Demuestra que la función $f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ cuando $x \\neq 0$ y $f(x)=0$ cuando $x=0$ es continua en $x=0$ pero no es diferenciable.'

'Encuentra el dominio de las siguientes funciones.'

'Determina los valores de las constantes a, b para que la función f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1} alcance un valor máximo de \\frac{1}{2} en x=\\sqrt{3}.'

'Ejercicio de ejemplo 4 Ecuación de función'