Funciones Básicas - Funciones Cuadráticas y sus Gráficos

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\nCuando \ y^{\\prime}=0 \, \ x=1,3 \\nLa tabla para el incremento y decremento de \ y \ es como se muestra en la derecha. Por lo tanto, el gráfico es como en la Figura(1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\)Cuando \ y^{\\prime}=0 \, \ x=-1 \La tabla para el incremento y decremento de \ y \ es como se muestra en la derecha. Por lo tanto, siempre aumenta de forma monótona. Por lo tanto, el gráfico es como en la Figura(2)\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{min -2} & \\nearrow & \\text{max 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'Grafica la región representada por la desigualdad y > x^{2}-3 x.'

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"¿Cuál es la condición para que f(x)=6x^2-6x+3a, donde f'(x)=6x^2-6x+3a, tenga dos soluciones reales distintas?"

'Para la función cuadrática de x, encuentre todas las funciones cuadráticas que se crucen con el gráfico de y=x^2 en dos puntos de forma ortogonal. Dos gráficos se dicen que son ortogonales en un punto si comparten ese punto y sus tangentes son perpendiculares entre sí.'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\nPor lo tanto, cuando x=-1 o x=3, y=3 o y=-1\nPor lo tanto, el círculo (A) y la recta (1) se intersectan en dos puntos (-1,3),(3,-1).'

'54 (1) f(x) = t^2 + at + b - 1'

'Cuando el punto P(x, y) se mueve en el círculo unitario, encuentra el valor máximo de 15x^2+10xy-9y^2 y las coordenadas del punto P que dan el valor máximo.'

'El valor máximo en x=1,4 es \\frac{4}{3}; el valor mínimo en x=0 es -\\frac{16}{3}'

'¡Vamos a repasar los valores máximos y mínimos de una función cuadrática, así como ecuaciones que involucran funciones trigonométricas! ¡Volvamos al Ejemplo 72 de Matemáticas I! Recordemos cómo encontramos los valores máximos y mínimos de una función cuadrática. En primer lugar, completar el cuadrado y graficar. Para graficar la función cuadrática y=4t^{2}+4t+6, completar el cuadrado en el lado derecho para ponerlo en forma estándar.'

'Para las dos parábolas y=x^{2} (1) y=-x^{2}+x-a (2), responde a las siguientes preguntas.'

'¡Vamos a repasar ecuaciones que involucran funciones cuadráticas, máximos, mínimos y funciones trigonométricas!'

"(2) Si y' = 12x - 3x^2 = -3x(x-4) y y' = 0, entonces la tabla de aumento y disminución de y en x = 0,4 es como sigue. Por lo tanto, en x = 4 toma un valor máximo de 32 y en x = 0 toma un valor mínimo de 0."

'Encuentra la tasa de cambio promedio cuando el valor de x cambia de la siguiente manera en la función f(x)=x^{2}+2x-1.'

'La región representada por la desigualdad y>x^{2} está por encima de la parábola y=x^{2}. Usando esto como referencia, ilustra las regiones representadas por las siguientes desigualdades:'

'Representa en un gráfico la región representada por las siguientes desigualdades. (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función y=x^{2}-x trazada desde el punto C(1,-1).'

'Encuentra el área encerrada por las siguientes parábolas y el eje x.\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'Gráfica de una función cúbica y sus puntos de intersección con el eje x'

'Encuentra las ecuaciones de las dos rectas tangentes en los puntos (-1,1) y (2,4) en la parábola y=x^{2}, y calcula el área encerrada por esta parábola.'

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'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (-1,0) en el círculo.'

'Encuentra el máximo y mínimo de una función cúbica'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(1, -2) en el círculo x^2 + y^2 = 5.'

'Sea r>0. Encuentra el rango de valores de r cuando la parábola y=x^{2}-1 y el círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} tienen 4 puntos en común.'

'¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto (t, t^{2}+1) en la parábola C: y=x^{2}+1? Hay dos rectas tangentes a C, ¿cuáles son sus ecuaciones?'

'Cuando x = 3, el valor máximo es 648, y cuando x = 1, el valor mínimo es 72.'

'En x = -1, hay un máximo local de 5, en x = 3, hay un mínimo local de -27. En x = 4, hay un máximo local de 32, en x = 0, hay un mínimo local de 0. Sin extremos, sin extremos.'

'¿Cuáles son las estrategias para aprobar el examen? Por favor, proporcione sugerencias específicas.'

'Cuando el punto \\((x, y)\\) se mueve en el conjunto determinado por \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) en el plano de coordenadas, encuentra el valor máximo de \x^{2}+y^{2}\ y los valores de \x, y\ que dan este valor máximo. [Universidad de Chiba]'

'Encuentra las coordenadas de los puntos donde se intersectan el gráfico de \\( f(x)=-\\frac{1}{2}x^{2}+2(x \\leqq 0) \\) y su función inversa \\( f^{-1}(x) \\).'

'Sea la parábola y² = 4x C. \n(1) Encuentra la ecuación de la normal a la parábola C con pendiente m. \n(2) ¿Cuántas normales se pueden dibujar desde el punto (a, 0) en el eje x hasta la parábola C? Dado que a ≠ 0.'

'Responda qué tipo de sección cónica está representada por las siguientes ecuaciones cuadráticas:'

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'Gráfica de una Función Cuadrática y x'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función. (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'Dibuje los gráficos de las siguientes funciones:'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los tres puntos dados.'

'Determina el número de puntos de intersección entre la parábola y=x^{2}-2x+2k-4 y el eje x considerando diferentes casos según el valor de k.'

'¿Cómo se desplaza en paralelo la parábola y=-x^{2}+3x-1 para obtener la parábola y=-x^{2}-5x+2?'

'Encuentra la ecuación de una parábola que se superpone con la parábola y=-2x^2+3 cuando se desplaza 2 unidades a lo largo del eje x y -1 unidades a lo largo del eje y.'

'Demuestra que el gráfico de la función $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ siempre tiene un punto de intersección con el eje x independientemente del valor de la constante $m$.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x) = -x^2 + 2ax (0 ≤ x ≤ 4) donde a es una constante.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función. (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'Dada una segmento de línea de longitud a y b, dibuja un segmento de línea con la raíz positiva como la longitud que satisface la ecuación cuadrática x^2 - ax - b^2 = 0.'

'Puntos de intersección de parábola y recta'

'Para la función f(x)=x^{2}-2 a x-a+6, encuentre el rango de valores para la constante a tal que f(x) ≥ 0 siempre se cumple para -1 ≤ x ≤ 1.'

'Determina los valores de las constantes a y b para que la gráfica de la función cuadrática y = ax^{2} + bx - 1 pase por los puntos (1, 0) y (-2, -15).'

'Cuando la función f(x)=ax^{2}-2ax+a+b tiene un valor máximo de 3 y un valor mínimo de -5, encuentre los valores de las constantes a y b.'

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'Ejemplo Básico 86 Puntos de Intersección de una Parábola y una Recta\nHay una parábola y=x^{2}-3 x+3 y una recta y=2 x-a.\n(1) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de las dos gráficas cuando a=1.\n(2) Determina el valor de la constante a para que las dos gráficas tengan solo un punto de intersección.\n(3) Determina el rango de valores de la constante a para que las dos gráficas no tengan ningún punto de intersección.'

'Encuentra las ecuaciones de las parábolas que satisfacen las siguientes condiciones.'

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'Encuentra la función cuadrática con un vértice en (2,-3) y una longitud de segmento de línea de 6 unidades cortada del eje x.'

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'La empresa A vende chocolates. La cantidad vendida de chocolates, representada como y (donde y es un número entero mayor o igual a 1), está relacionada con el precio de venta p yenes por chocolate de la siguiente manera:\ny = 10 - p\n(1) Encuentra los valores del precio de venta p y la cantidad de chocolates vendidos y que maximizan los ingresos de la empresa A. Los ingresos se definen como el producto del precio de venta y la cantidad vendida.\n(2) El costo total c(y) de vender y chocolates está dado por c(y) = y^2. Determine los valores del precio de venta p y la cantidad de chocolates vendidos y que maximizan el beneficio de la empresa A (ingresos menos costo total).\n(3) En (2), si el costo total c(y) cambia a c(y) = y^2 + 20y - 20, encuentre los valores del precio de venta p y la cantidad de chocolates vendidos y que maximizan el beneficio de la empresa A.'

'Seleccione dos funciones de las siguientes (1)~(4) que tengan un valor máximo en x = 2, y encuentre el valor máximo y mínimo de esas funciones.'

'Determinación de Funciones Cuadráticas (2)'

'Para el gráfico C de la función cuadrática y = x^2 - 4x + 3 y el punto A(0, -1), encuentra lo siguiente: (1) Mueve el gráfico C en paralelo al eje x para que pase por el punto A'

'Determine el valor de la constante a de manera que la parábola y=x^{2}-a x+a+1 sea tangente al eje x. Además, encuentra las coordenadas del punto de tangencia.'

'Grafique la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c utilizando un software de representación gráfica de computadora. En este software, al ingresar valores para los coeficientes a, b y c en A, B, C en la pantalla, se mostrará el gráfico correspondiente a esos valores.'

'Encuentra la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones para su gráfica:'

'Mueva la parábola y=x^{2}-3x-1 de forma paralela para que pase por los puntos (1, -1), (2, 0), y encuentre el vértice de la parábola.'

'Gráfica de una función cuadrática con valor absoluto'

'Determine el valor de la constante c para que la función tenga un valor máximo de 7. Además, encuentra el valor mínimo en ese punto.'

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'Este es un problema para encontrar el máximo y mínimo de una función cuadrática. Por favor encuentre el vértice de la función cuadrática provista a continuación y determine el máximo o mínimo basado en ese valor.'

'Funciones cuadráticas y gráficas\n\nGráfica de funciones cuadráticas\nGráfica de $\\ Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$: Vértice $(p, q)$, eje es la línea $x=p$\nSi $a>0$, la parábola es cóncava hacia abajo; Si $a<0$, la parábola es cóncava hacia arriba\n\nGráfica de $D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$: Completando el cuadrado\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\nVértice $\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$, eje es la línea $x=-\\frac{b}{2 a}$\nSi $a>0$, la parábola es cóncava hacia abajo; Si $a<0$, la parábola es cóncava hacia arriba'

'Encuentra la longitud del segmento cortado por la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas desde el eje x.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ de modo que la ecuación de segundo grado $x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$ tenga dos soluciones reales distintas $\\alpha, \eta$ que satisfacen $0<\\alpha<1<\eta<2$.'

'Encuentra la función cuadrática que cumpla las siguientes condiciones: (1) El vértice del gráfico está en (1,3) y pasa por el punto (-1,4). (2) El eje del gráfico es la línea x=4 y pasa por los puntos (2,1) y (5,-2). (3) Tiene un valor máximo de 10 en x=3 y y=-6 cuando x=-1.'

'Explique cómo mover la parábola y=-2x^2+3 de forma paralela al eje x por -2 unidades y de forma paralela al eje y por 1 unidad, y encuentre la ecuación de la parábola resultante.'

'Una parábola y=2 x^{2}+a x+b se traduce 2 unidades a lo largo del eje x y -3 unidades a lo largo del eje y, coincidiendo con la parábola y=2 x^{2}. Encuentra los valores de las constantes a y b.'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'60 (1) Cuando \ x= \\pm 2 \ tiene un valor máximo de 8, un valor mínimo de -4 en \ x=0 \\n(2) Cuando \ x=2 \ tiene un valor mínimo de 3, sin valor máximo\n(3) Cuando \ x=2 \ tiene un valor mínimo de -2, sin valor máximo\n(4) Cuando \ x=0 \ tiene un valor máximo de 1, sin valor mínimo'

'Cuando 64 (1) \ a<2 \, para \ x=4 \ el valor máximo es \ -24 a+53 \; cuando \ a=2 \, para \ x=0,4 \ el valor máximo es 5; cuando \ a>2 \, para \ x=0 \ el valor máximo es 5; (2) cuando \ a<0 \, para \ x=0 \ el valor mínimo es 5; para \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \, para \ x=a \ el valor mínimo es \ -3 a^{2}+5 \; cuando \ a>4 \, para \ x=4 \ el valor mínimo es \ -24 a+53 \'

'Encuentra la ecuación de la parábola obtenida al trasladar la parábola y=x^2-4x paralela al eje x por 2 unidades y paralela al eje y por -1 unidad.'

'Hay tres formas de una función cuadrática: forma estándar, forma general y forma factorizada. Por favor, explique las características y situaciones en las que se debe utilizar cada forma.'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ tal que las dos raíces reales distintas de la ecuación $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$ se encuentren dentro del intervalo $-3<x<3$.'

'Encuentra el número de puntos de intersección entre las gráficas de las siguientes dos funciones cuadráticas y el eje x.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la siguiente función: (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función. (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'Grafica las siguientes funciones cuadráticas. Además, encuentra sus vértices y ejes.'

'Máximo y mínimo de una función cuadrática'

'Funciones cuadráticas del Capítulo 4: Resolviendo 132 funciones cuadráticas'

'Cuando la parábola y=x^{2}-(k+2)x+2k interseca el eje x y corta un segmento de línea de longitud 3, encuentra el valor de la constante k.'

'Capítulo 4 Funciones Cuadráticas: Gráfica de una función de grado 112'

'Grafique la función cuadrática y=ax^2+bx+c utilizando el método de completar el cuadrado.'

'Encuentra el valor de la constante a cuando el vértice de la parábola y=x^{2}+a x-2 se encuentra en la recta y=2 x-1.'

'Cuando se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo, y la altura después de t segundos es y metros, y se convierte en una función cuadrática de t. Si la altura de la pelota alcanza un máximo de 176.4 metros después de 6 segundos, ¿cómo se puede expresar y como una función de t?'

'Encuentra el valor de la constante a cuando el vértice de la parábola y=x^2+ax-2 está en la línea y=2x-1.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de 2x^{2}+3y^{2} cuando x^{2}+2(y-2)^{2}=18. También, determina los valores de x y y en ese momento.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones cuadráticas:'

'Calcula el número de puntos de intersección entre la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas y el eje x.'

'Para los casos en los que a es una constante, encuentre los valores máximos y mínimos de la función f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 dentro del rango 0 ≤ x ≤ 2.'

'Determina si el siguiente ejemplo es una función: "Para la raíz cuadrada de x, x = 16, por lo tanto y = 4 y y = -4, por lo que y no es una función de x"'

'Supongamos que la gráfica de la función cuadrática $y=-2x^{2}+ax+b$ pasa por el punto $(3,-8)$. Encuentra el valor de la constante $a$ cuando la gráfica toca el eje $x$.'

'Encuentra la ecuación de la parábola obtenida al mover simétricamente la parábola y=-2x^{2}+4x-4 con respecto al eje x, y luego moverla paralelamente 8 unidades en dirección del eje x y 4 unidades en dirección del eje y.'

'Cómo determinar una función cuadrática que cumpla con las condiciones dadas'

'Encuentra los valores máximos y mínimos, si los hay, de las siguientes funciones cuadráticas.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección entre las siguientes parábolas y rectas.'

'Máximo y mínimo de una función cuadrática'

'Cuando x^{2}+y^{2}=4, encuentra los valores máximo y mínimo de 2 y+x^{2}. Además, determina los valores de x y y en ese momento.'

'Para el gráfico de la función cuadrática $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$, responda la siguiente pregunta: (1) Encuentre el rango de valores para la constante $k$ cuando no tiene ningún punto en común con el eje x.'

'Dibuje los gráficos de las siguientes ecuaciones: (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'Encuentra una función cuadrática donde el coeficiente del término cuadrático es -1, el gráfico pasa por el punto (1,1), y el vértice está en la recta y=x.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo para las siguientes funciones:'

'Encuentra las coordenadas de los puntos en los que la gráfica de la función cuadrática y = x^2 - 6x + 6 interseca al eje x.'

'Dibuja el gráfico de la siguiente función cuadrática.'

'La gráfica de la función cuadrática y = mx^2 + 3x + m siempre está por encima del eje x'

'Explique la relación entre el gráfico de las siguientes funciones y el eje x.'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla con las siguientes condiciones.'

'Sobre el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3, responde las siguientes preguntas:'

'Máximos y mínimos de una función cuadrática...... la posición del eje es crucial. Al revisar nuevamente la solución del ejemplo 83, se puede ver que hay diferentes casos a considerar, pero el punto clave es dónde se encuentra el eje (vértice) en relación al dominio. Por ejemplo, para un gráfico cóncavo hacia abajo de una función cuadrática, se puede dividir de la siguiente manera: 1. El eje (vértice) está dentro del dominio. 2. El eje (vértice) está fuera del dominio. En el caso de un gráfico cóncavo hacia arriba, es así. Así es. La magnitud se invertirá. Ya sea cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo, existen varios casos dependiendo de si el eje (vértice) está dentro o fuera del dominio, y de si el eje (vértice) está a la izquierda o a la derecha de la posición intermedia del dominio. En el ejemplo 83, aunque se consideran simultáneamente los valores máximo y mínimo, ¿qué sucede si consideramos los valores máximo y mínimo por separado?'

'Grafica las siguientes dos funciones cuadráticas y encuentra su vértice y eje.'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) Dado que el eje es la línea recta x=4, la función cuadrática a determinar puede expresarse como y=a(x-4)^{2}+q. Dado que el gráfico pasa por los puntos (2,1),(5,-2), tenemos 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q. Organizando estas ecuaciones, obtenemos 4a + q = 1 y a + q = -2. Resuelve estas ecuaciones simultáneas para encontrar la función cuadrática.'

'(1) Demuestra que la parábola y = x ^ 2 + ax + a-4 siempre tiene dos puntos de intersección distintos con el eje x, independientemente del valor de la constante a.'

'Encuentre la función cuadrática que tome un valor máximo de 1 en x=3 y y=-1 en x=5.'

'Determina el rango de valores para la constante a de tal manera que la parábola y=x^{2}-8ax-8a+24 intersecte la parte positiva del eje x en dos puntos distintos.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones cuadráticas.'

'Para investigar la relación entre el gráfico de una función cuadrática y el eje x, es necesario comprender lo siguiente. Dado que la coordenada y de los puntos de intersección entre el gráfico de una función cuadrática y el eje x es siempre 0, la coordenada x de los puntos de intersección donde y = 0 es el valor de x. En otras palabras, resolver los siguientes problemas es crucial.\n1. Encuentra la coordenada x del punto de intersección entre el gráfico de la función cuadrática y=ax^2+bx+c y el eje x.\n2. ¿Cuál es el término para un único punto de intersección? ¿Cuál es ese punto?'

'Encuentra el número de puntos de intersección de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas con el eje x.'

'Cuando se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo y la altura después de t segundos es y metros, y se convierte en una función cuadrática de t. Si la altura de la pelota alcanza un máximo de 176.4 m después de 6 segundos desde el lanzamiento, ¿cómo se expresa y como una función de t?'

'Transforma la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c en la forma de máximo y mínimo y=a(x-p)^{2}+q (completando el cuadrado). Cuando a>0, el valor mínimo está en x=p, que es q. Cuando a<0, el valor máximo está en x=p, que es q.'

'¡Intentemos hacer una parábola!'

'Grafica las funciones siguientes.'

'Encuentra las funciones cuadráticas para las siguientes parábolas: (1) Parábola con vértice en (2,-3) que pasa por el punto (3,-1) (2) Parábola con eje en la recta x=4 que pasa por los puntos (2,1) y (5,-2)'

'Dibuja el gráfico de una función cuadrática y=ax^2+bx+c (2)'

'Por favor, encuentra el valor máximo de la siguiente función cuadrática: f(x) = -2x^2 + 4x'

'El valor máximo es 21 cuando x=-4, y el valor mínimo es -3 cuando x=0'

'Reescribe las siguientes condiciones (a), (b), (c) para que todas sean equivalentes a la condición (d).'

'Sean a y b constantes, y sea F el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}+ax+b. Elija dos afirmaciones correctas sobre F de las siguientes (1) a (6).'

'Al trasladar la parábola (2) de forma paralela al eje x por -3 y al eje y por -6, y luego reflejarla con respecto al origen, vuelve a la parábola ①. Durante este movimiento, el vértice (2, -3) se mueve por la traslación paralela al punto (2-3, -3-6) que es el punto (-1, -9), y luego se mueve más por la traslación simétrica con respecto al origen al punto (1, 9). Por lo tanto, la ecuación de (1) es y=(x-1)^{2}+9 que es equivalente a y=x^{2}-2x+10, por lo tanto a=-2, b=10.'

'Encuentra una función cuadrática que tenga un mínimo en x=-2 y pase por los puntos (-1,2) y (0,11).'

'¿Cuál es la ecuación de la parábola obtenida al mover simétricamente la parábola y = -2x^2 + 4x - 4 respecto al eje x y luego desplazarla paralelamente 8 unidades en la dirección x y 4 unidades en la dirección y?'

'Grafica la siguiente función cuadrática y encuentra su vértice y eje. (1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla con las siguientes condiciones.'

'(2) Para la parábola y=x^2+ax+a-4 y las coordenadas x de los puntos de intersección como α y β, encuentre el rango de la constante a para que se cumpla (α-β)^2<28.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los siguientes 3 puntos.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los siguientes 3 puntos:\n(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)\n(2) (-1,0),(3,0),(1,8)'

'Sea P el vértice de la parábola y=x^{2}+2 x-1. Responda a las siguientes preguntas: (1) Encuentre las coordenadas del punto Q que es simétrico al punto P con respecto al eje x. (2) Encuentre la ecuación de la parábola que es simétrica a esta parábola con respecto al eje x.'

'(1) y=2(x-2)^2-3[y=2x^2-8x+5] (2) y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'Pasos para determinar una función cuadrática'

'A medida que el punto P se mueve en la parábola y=x², se trazan líneas perpendiculares PQ y PR a las líneas y=x-1, y=5x-7 respectivamente. Encuentra el valor mínimo del producto PQ・PR. Además, determina las coordenadas del punto P en ese momento.'

'Pasando por el punto A(-1,0), sea ℓ la recta con pendiente a. La parábola y = 1/2 x^2 interseca la recta ℓ en dos puntos distintos P y Q.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente trazada en el gráfico de la función y=x^{2}-x que pasa por el punto C(1,-1).'

'Tomemos 99a como una constante. Para la parábola y=x^{2}+ax+3-a, cuando a varía sobre todos los valores reales, encuentra el lugar geométrico del vértice.'

'Encuentra el área encerrada por las rectas tangentes a la curva y=-x²+1 en el punto (0,0) y en el punto (2,-2).'

'Dada la parábola y=x^{2} y el círculo x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0), encontrar el rango de r para el cual la parábola y el círculo tienen 4 puntos de intersección.'

'Calcular la tasa de cambio promedio para los problemas básicos dados 169'

'Cuando los números reales positivos x y y satisfacen 9x^2 + 16y^2 = 144, encuentra el valor máximo de xy.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente con una pendiente de -1 en la parábola y=x^{2}-5 x+4.'

'Encuentra el valor máximo de y=-x^{2}+2x+3 y el valor correspondiente de x.'

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'Encontrar el área máxima y mínima'

'Después de completar la tercera fila de la tabla de incremental-decremental, dibuja el gráfico. Cuando completes el valor de y correspondiente al valor de x en la primera fila, dibuja el gráfico de acuerdo al contenido. En este caso, al dibujar el gráfico de una función cuadrática, se recomienda encontrar primero el vértice de manera que y sea el valor máximo o mínimo. Además, también hay que encontrar las coordenadas de la intersección con el eje y (sustituir x=0 en la expresión de y).'

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -4) y es tangente a la curva y=x^{2}-2 x.'

'Sea a>0, considere la recta tangente m en el punto (a, a^{2}) en la parábola E: y=x^{2}. Encuentre el área encerrada por E, m y el eje y, expresada en términos de a.'

'Desde el punto (3,4), ¿cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y=-x^{2}+4x-3?'

'Encuentre el valor mínimo para lo siguiente:\n31. (1) x=4 con valor mínimo de 8\n(2) x=2 con valor mínimo de 3'

'(1) Cuando x=-\\frac{1}{2}, el valor mínimo es -\\frac{3}{16}. Cuando x=0, el valor máximo es 0. Cuando x=2, el valor mínimo es -8. (2) Cuando x=1, el valor mínimo es 0'

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'Veamos más detenidamente el contenido del ejemplo básico 214. Se debe tener en cuenta que en la respuesta real, los cálculos deben realizarse como en la solución del ejemplo sin usar lo siguiente como fórmula.'

'Las coordenadas x de los puntos de intersección de la curva y=-2x^{2}+4x+6 y el eje x se obtienen resolviendo la ecuación -2x^{2}+4x+6=0, es decir, x^{2}-2x-3=0, que da (x+1)(x-3)=0, por lo tanto -1 ≤ x ≤ 3 y y ≥ 0, por lo que el área requerida S es'

'Existen dos funciones cuadráticas f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2} y g(x)=x^2+ax+3.'

"Cuando la función cuadrática $f(x)$ satisface $f'(0)=1, f'(1)=2$, encuentra el valor de $f'(2)$."

'Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del círculo x^2 + y^2 = 8 y es perpendicular a la recta 7x + y = 0.'

'En el punto P(a, a^2) de la parábola C: y = x^2, donde a > 0, encontrar la recta tangente l1. Si la recta tangente l2 en un punto Q en C diferente del punto P es perpendicular a l1, encontrar la ecuación de l2.'

"La segunda línea se completa utilizando el gráfico de y'"

'Sea a una constante, y considera la función f(x)=-2x^{2}+6x+1 en el intervalo a ≤ x ≤ a+1. Responde a las siguientes preguntas.'

'Encuentra la función cuadrática cuando el gráfico de la práctica cumple con las siguientes condiciones:'

'Encuentra el máximo y el mínimo de la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c.'

'Encuentra el valor mínimo.'

'Encuentra el valor de la constante a cuando la parábola y=x^{2}+3x+a y la recta y=x+4 son tangentes.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los puntos (1,0), (3,0) y (4,2).'

'Encuentra la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones: Pasar por los puntos (1,8), (-2,2), (-3,4).'

'Determina el rango de la constante m para que el gráfico de la función cuadrática y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 cumpla con las siguientes condiciones: (1) Se intersecta con las partes positivas y negativas del eje x. (2) Comparte puntos solo con la parte negativa del eje x.'

'Explique cómo resolver los problemas de máximo y mínimo de una función cuadrática y describa sus características.'

'¿Cómo cambia el número de puntos de intersección entre la gráfica de la función cuadrática y=x^{2}-2x+2k-4 y el eje x, según los diferentes valores de la constante k?'

'Encuentra la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones: pasar por los puntos (-1,16), (4,-14), (5,-8).'

'Practica Determinar los valores de las constantes a y b para la función f(x) = a x^2 + 4ax + b, con el dominio -1 <= x <= 2, cuando el valor máximo es 5 y el valor mínimo es 1.'

'Encuentra la ecuación de una función cuadrática y = ax^2 + bx + c. La gráfica pasa por los puntos (-1, 22), (5, 22) y (1, -2).'

'Para las siguientes funciones cuadráticas, si existen valores máximos o mínimos, por favor encuéntralos. (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'Sea a una constante, y f(x) = x^2 - 2ax + a + 2. Encuentra el rango de valores para a tal que f(x) > 0 se cumpla para todos los valores de x en el rango 0 ≤ x ≤ 3.'

'Encuentra el rango de valores de a cuando el gráfico de la función y=ax^2+4x+2 tiene 2 puntos de intersección diferentes con el eje x. Además, determina el valor de a cuando el gráfico se intersecta con el eje x en solo un punto.'

'Determina el número de puntos de intersección entre la gráfica de la función cuadrática y=-x^{2} y la recta y=-2x+k. Donde k es una constante.'

''

'Utilice un software de representación gráfica en una computadora para mostrar la gráfica de una función cuadrática y=ax^{2}+bx+c. En este software, ingrese los valores de los coeficientes a, b y c en las posiciones A, AB y C en la pantalla, y la gráfica correspondiente a esos valores se mostrará. Ahora, después de ingresar los valores en A, B y C, se mostró una gráfica similar a la de la derecha. (1) Elija una combinación adecuada de 11 a 8 en la tabla de la derecha como los valores de entrada en las posiciones A, B y C. (2) Para mostrar una curva simétrica al origen del gráfico actualmente mostrado, ¿qué valores se deben ingresar en A, B y C? Elija la combinación adecuada de 1 a 8 en la tabla (1).'

'Por favor, explique cómo utilizar de manera efectiva los gráficos y el análisis para resolver problemas de ejemplo.'

'Encuentra los valores de las constantes a y b cuando la función cuadrática y=3x^2-(3a-6)x+b toma un valor mínimo de -2 en x=1.'

'Encuentra la función cuadrática cuando se cumplen las siguientes condiciones.'

'Transforma el gráfico de la función cuadrática y = ax^{2} + bx + c en la forma a(x-p)^{2} + q completando el cuadrado.'

'Determina el rango de valores para la constante m de tal manera que el gráfico de la función cuadrática y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 satisfaga las siguientes condiciones: (1) Se intersecta en la parte positiva y negativa del eje x. (2) Solo comparte un punto con la parte negativa del eje x.'

'Por lo general, cuando dos parábolas tienen dos puntos en común, encuentre la ecuación de la recta que pasa por ellos.'

'Al usar un software de graficación, puedes observar cómo cambia el gráfico según el valor de a.'

'Capítulo 3: Funciones cuadráticas\nSección 8: Funciones y gráficos\nProblema\nDibuja los gráficos de las siguientes funciones:\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'Encuentra la longitud del segmento cortado por la gráfica de la función cuadrática y=-3x^{2}-4x+2 desde el eje x.'

'Determina el rango de la constante m para que el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m cumpla con las siguientes condiciones:'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los puntos (1,1), (3,5) y (4,4).'

'La solución deseada se encuentra en el rango combinado de \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) entonces\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ la solución es \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ la solución es \ \\quad-1<x<7 \'

'Matemáticas II\n(1) Determine el valor de la constante a para que el gráfico de la función y=x^{2}+ax+a sea tangente a la recta y=x+1. Encuentra las coordenadas del punto de tangencia.\n(2) Sea k una constante. Investiga la cantidad de puntos de intersección entre el gráfico de la función y=x^{2}-2kx y la recta y=2x-k^{2}.'

''

'¿Cómo varía el número de puntos de intersección entre el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}-2 x+2 k-4 y el eje x con el valor de la constante k?'

'Para la función cuadrática y=ax^2+bx+c, que pasa por los puntos (-1,0) y (3,8), y es tangente a la recta y=2x+6, ¿cuáles son los valores de a, b y c?'

'¿Tienen estos dos parábolas puntos de intersección? En caso afirmativo, encontrar sus coordenadas.'

'Rango de existencia de soluciones de la ecuación'

'Vamos a considerar la posición de los puntos de intersección entre una parábola y el eje x. Dibuja un gráfico parabólico que cumpla con las siguientes condiciones.\n\nCondiciones:\n1. El gráfico intersecta la parte positiva del eje x en dos puntos diferentes.\n2. La posición del eje es positiva.\n3. f(0) > 0.\n\nExplica qué características tendría un gráfico que cumpla con estas condiciones.'

'Práctica: En el siguiente gráfico de funciones cuadráticas, ¿cuánto se desplazaron paralelamente los gráficos dentro de los corchetes cuadrados? Además, dibuja cada gráfico y encuentra sus ejes y vértices.'

'¿Cómo se desplaza el gráfico de la función cuadrática y=2x^{2}+6x+7 para obtener el gráfico de la función cuadrática y=2x^{2}-4x+1?'

'El gráfico de la función f(x) cambia dependiendo del valor de a, pero explique para qué valores de a f(x) no tiene un valor máximo.'

'Encuentra el valor de la constante k cuando la longitud del segmento cortado por la parábola y=x^{2}-(k+2)x+2k desde el eje x es 4.'

'Para [5], [6], [7], y es mínimo en x=2.'

'Matemáticas I\n¿Las siguientes parábolas y rectas tienen puntos en común? Si es así, encuentre las coordenadas.\n(1) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(2) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(3) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'Al buscar las coordenadas de A y B, se obtiene lo siguiente.'

'El gráfico de la función cuadrática y=x^{2}+ax-a+3 tiene puntos de intersección con el eje x, pero no tiene ningún punto de intersección con la recta y=4x-5. Aquí, a es una constante.\n(1) Determina el rango de valores para a.\n(2) Sea m el valor mínimo de la función cuadrática y=x^{2}+ax-a+3, encuentra el rango de valores para m. [Universidad de Información de Hokkaido]'

'Encuentra los valores de a, b y c para la función cuadrática y=a x^{2}+b x+c que pasa por los puntos (-1,0) y (3,8) y es tangente a la recta y=2 x+6.'

'¿Las gráficas de estas dos funciones cuadráticas se intersectan con el eje x? En caso afirmativo, encuentra las coordenadas de los puntos de intersección.'

'Práctica: Encuentra los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones.'

'Encuentra las coordenadas x de los puntos de intersección del gráfico de la función y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 con el eje x.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de las siguientes funciones cuadráticas con el eje x.'

'Encuentra los valores de las constantes a, b cuando la función cuadrática y=x^{2}+ax+b toma un valor máximo de 1 en el rango 0 ≤ x ≤ 3 y un valor máximo de 9 en el rango 0 ≤ x ≤ 6.'

'Determine el signo (positivo, 0, negativo) de los siguientes valores para el gráfico de una función cuadrática como se muestra en la derecha:'

'Encuentra las condiciones para que la gráfica de la función cuadrática y = ax^2 + bx - 1 pase por los puntos (1,0) y (-2,-15).'

'Encuentra el número de puntos de intersección entre las gráficas de las funciones y = x^2 - 4 y y = a(x + 1)^2.'

'Encuentra la función cuadrática representada por los gráficos (1) y (2) del gráfico C de la función y=x^{2}-4 x+3 y el punto A(0,-1), donde (1) es un gráfico obtenido al trasladar C de forma paralela al eje x pasando por el punto A y (2) es un gráfico obtenido al trasladar C de forma paralela al eje y pasando por el punto A.'

'Capítulo 3 Funciones Cuadráticas\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ es decir cuando $a<\\frac{9}{2}$\nDesde la figura [1], el valor máximo ocurre en $x=a$.\nEl valor máximo es $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ lo que significa que $a=\\frac{9}{2}$\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\nDesde la figura [2], el valor máximo ocurre en $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$.\nEl valor máximo es $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ lo que significa que $\\frac{9}{2}<a$\nDesde la figura [3], el valor máximo ocurre en $x=a+1$. El valor máximo es\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

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'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones cuadráticas:'

'Encuentre los valores de las constantes a y b cuando la función cuadrática y = x^2 + a x + b toma un valor máximo de 1 en el rango 0 ≤ x ≤ 3 y un valor máximo de 9 en el rango 0 ≤ x ≤ 6.'

'Los valores máximo y mínimo de la función cuadrática f(x)=-x^{2}+2x para a ≤ x ≤ a+2 son funciones de a, denotadas por F(a) y G(a) respectivamente. Grafique las funciones F(a) y G(a).'

'Dado que x e y satisfacen x^2 + 2y^2 = 1, encuentra los valores máximo y mínimo de 2x + 3y^2.'

'La gráfica de una función cuadrática es una parábola, y los valores de a, b, c determinan si se abre hacia abajo o hacia arriba, el grado de apertura, la posición del eje y el vértice, etc. Aquí, vamos a pensar en cómo cambia la gráfica al variar los valores de a, b y c.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los siguientes tres puntos.'

'Encuentra la función cuadrática que cumple con las siguientes condiciones: (1) El vértice está en el punto (1,3), y pasa por el punto (0,5).'

'Encuentra la función cuadrática que pase por (-1,7), (0,-2), (1,-5).'

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'Utilizando el gráfico de una función cuadrática y su relación con el eje x, encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación.'

'Capítulo 3 Funciones Cuadráticas'

'Cuando $5 < \\alpha$, desde la figura [6], se puede observar que $x=a$ resulta en el valor mínimo. El valor mínimo es $ f(a)=a^{2}-9 a'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla las siguientes condiciones: (2) El eje del gráfico es la línea x = 4, y pasa por los puntos (2,1) y (5,-2).'

'Ejemplo básico 84: Encuentra el número de puntos de intersección entre la parábola y=x^{2}-2 x+2 k-4 y el eje x considerando diferentes casos de la constante k.'

'Encuentra la función cuadrática con vértice en el punto (2, -3) y una longitud de 6 para el segmento cortado del eje x.'

'Puntos a tener en cuenta al completar el cuadrado'

'Determine el valor de la constante a, para que la parábola y=x^{2}-ax+a+1 sea tangente al eje x. Además, encontrar las coordenadas del punto de tangencia.'

'Para -4 <= x <= 0, de la figura (1), se puede observar que el valor máximo se obtiene en x=-1 con f(-1)=3, y el valor mínimo se obtiene en x=-4 con f(-4)=-15.'

'Encuentra el máximo y mínimo de las siguientes funciones cuadráticas:\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'Encuentra una función cuadrática que satisfaga las siguientes condiciones: (2) El eje del gráfico es la línea x=-1 y pasa por los puntos (-2,9) y (1,3).'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones cuadráticas: (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'Demuestre que la longitud del segmento de recta cortado del eje x por el gráfico de la función cuadrática y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 es constante independientemente del valor constante a.'

'Describe el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas.'

'Encuentra la función cuadrática que cumple con las siguientes condiciones: En x=-3, toma el valor mínimo de -1 y en x=1, y=31.'

'Encuentra la longitud del segmento de recta cortado por la gráfica de la función cuadrática y=-x^{2}+3x+3 desde el eje x.'

'Capítulo 3 Funciones Cuadráticas\n(2) Dado que el vértice de la parábola a determinar se encuentra en la recta y=-x+2, las coordenadas del vértice se representan como (p,-p+2). Por lo tanto, la ecuación requerida es y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2. Dado que la parábola pasa por el punto (1,5), tenemos 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2, lo que se simplifica a p^{2}-4 p-5=0. Por lo tanto, (p+1)(p-5)=0, de donde p=-1,5. Cuando p=-1, (1) se convierte en y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 (o y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2}). Cuando p=5, (1) se convierte en y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 (o y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2}).'

'Sean x, y números reales. Encuentra el valor mínimo de 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 y los valores correspondientes de x, y.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los siguientes 3 puntos.'

'¿Cómo se debe trasladar la parábola y = 3x^2-6x+5 para que se superponga con la parábola y = 3x^2+9x?'

'Determina el número de puntos de intersección de la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas con el eje x.'

'Encuentra la ecuación de una parábola que se superpone con la parábola y=-2 x^{2}+3 después de ser trasladada 2 unidades a lo largo del eje x y -1 unidad a lo largo del eje y.'

'Grafique las siguientes dos funciones cuadráticas y encuentre sus ejes y vértices. (1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla las siguientes condiciones: Alcanza un valor máximo de 10 en x=3, y es -6 cuando x=-1.'

'En problemas que implican la determinación de funciones cuadráticas, elegir la forma correcta: forma estándar, forma general o forma factorizada, es crucial ya que puede afectar la complejidad de los cálculos y la posibilidad de errores. Es importante considerar cuándo usar cada forma.'

'¿En qué medida se debe mover en paralelo la parábola y=-x^2+3x-1 para obtener la parábola y=-x^2-5x+2?'

'Encuentra las coordenadas de los dos puntos de intersección de las parábolas y = x^2 - x + 1 e y = -x^2 - x + 3.'

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'Gráfica de la función básica 832 y puntos de intersección con el eje x'

'Determinar el máximo y el mínimo de una función cuadrática'

'Sea el gráfico G de y=2x^{2}-4x+5 se desplaza paralelo al eje y por k para obtener el gráfico H. Cuando el gráfico H corta el eje x en dos puntos diferentes, y corta en dos puntos diferentes dentro del rango de 2≦ x≦6, el rango de valores posibles para k de manera que el gráfico corta el eje x en dos puntos diferentes es ≦ k< .'

'Encuentra la ecuación de la parábola después de desplazar la parábola y = -x^2 + x - 2 paralelamente al eje x por -3 y paralelamente al eje y por 1.'

'Al desplazar la parábola y=x^2-3x-1 de forma paralela para que pase por los puntos (1,-1) y (2,0), encuentre el vértice de la parábola.'

'Encuentra la función cuadrática que pase por los siguientes 3 puntos.'

'La parábola y=2x^2-4x+1 fue desplazada paralelamente por dos unidades desde la parábola y=2x^2+6x+7.'

'Encuentra la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones: (1) El vértice del gráfico está en el punto (1,3), y pasa por el punto (-1,4).'

'Encuentra la longitud del segmento de recta cortado por el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas desde el eje x. (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

"En cuanto a 'a', el signo y el valor absoluto del coeficiente 'a' dependen de si la parábola es cóncava hacia abajo o hacia arriba, así como del grado de apertura de la parábola."

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'Sea PR una constante. Para la función f(x)=3 x^{2}-6 a x+5 (0 ≤ x ≤ 4), encuentra:\n(1) El valor máximo.\n(2) El valor mínimo.\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\nEl gráfico de esta función es una parábola cóncava, con el eje siendo la línea x=a.'

'Cuando x e y satisfacen 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0, encuentra los valores máximos y mínimos de x^{2}+2y.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x) bajo las siguientes condiciones.\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\nEncuentra el valor óptimo de x basándote en el diagrama y cada condición.'

'Sea a una constante. Encuentra el valor mínimo de la función f(x) = x^2 - 2x + 2 en el rango a ≤ x ≤ a + 2.'

'Investiga el número y la naturaleza de las soluciones de la función f(x) bajo las siguientes condiciones:'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x)=-x^2+2ax+a+b.'

'(1) Después de ingresar 1 en A y valores en B y C, se mostró un gráfico como en la Figura 1. ¿Cuál de las siguientes combinaciones de valores de b y c es la más apropiada?'

'Figura representada por ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente trazada desde el punto dado a la siguiente parábola.'

'Coordenadas de los puntos de intersección de una curva cuadrática y una línea recta'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto $(-1, \\frac{1}{5})$ en la elipse $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.'

'Encuentra las ecuaciones de la tangente y la normal al punto P en las siguientes curvas.\n(1) \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0), \\mathrm{P}\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)\n(2) \\( x^{2}-y^{2}=1, \\mathrm{P}(2, \\sqrt{3}) \\)\n(3) \ x=\\cos 2 \\theta, y=\\sin \\theta+1, \\mathrm{P} \ corresponde a \ \\theta=\\frac{\\pi}{6} \'

'32 Curvas y Regiones'

'(2) A partir de $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$, obtenemos $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$'

'Encuentra las ecuaciones de las siguientes secciones cónicas. Suponiendo que p≠0, a>0, b>0. (1) Una parábola obtenida mediante la traslación de la parábola y^{2}=4 p x, con la directriz como la línea x=-1 y el foco en el punto (3,4). (2) Una hipérbola obtenida mediante la traslación de la hipérbola x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1, con las asíntotas siendo las líneas y=x+1 y y=-x+1, y pasando por el punto (3,3).'

'Encuentra la coordenada x del punto de intersección de la parábola C₁ y el eje x.'

'Ecuación que pasa por la intersección de dos curvas'

'Cuando se tiene la función \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\), encuentra el área \ S \ enclaustrada por la gráfica de \\( y=f(x) \\) y el eje x. Aquí, \ a \ es una constante positiva.'

'Si f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1, encuentra el área S encerrada por la gráfica de y = f(x) y el eje x. Aquí, a es una constante positiva.'

'Encuentra el vértice de la parábola y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2).'

'Encuentra la trayectoria del vértice de la parábola y = x^{2}+px+p(p ≠ 2).'

'Dado que y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8, cuando x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2, y^{\\prime}=0. Por lo tanto, a partir de x^{2}+x-1=0, podemos demostrar que cuando x=(-1-\\sqrt{5})/2, y=(11-5 \\sqrt{5})/2. De manera similar, muestra que cuando x=(-1+\\sqrt{5})/2, y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8.'

'La distancia entre el punto P en la parábola y = -x^2 + x + 2 y un punto en la recta y = -2x + 6 toma el valor mínimo cuando las coordenadas de P son α.'

'Sea el vértice de la parábola $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ sea $P$. Encuentra la trayectoria del vértice $P$ a medida que $t$ varía sobre valores no negativos.'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"

'Cuando una parábola y un círculo tienen cuatro puntos comunes distintos, significa que la ecuación cuadrática (1) tiene dos soluciones reales diferentes en el rango 1<y<3. Por lo tanto, se debe determinar el rango de valores de a que satisfacen simultáneamente las condiciones [1] a [3]. Sea f(y)=2y^{2}-7y-a+6.\n[1] Sea D el discriminante de la ecuación (1), se requiere que D>0, lo que implica 8a+1>0, lo que lleva a a>-−1/8.\n[2] Respecto al eje, siempre se cumple que 1<\\frac{7}{4}<3.\n[3] De f(3)=3-a>0, se deduce que a<3, y de f(1)=1-a>0, se deduce que a<1. El rango común de (3) a (5) se determina como -\\frac{1}{8}<\\alpha<1.'

'Cuando x = \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}, el valor máximo es \\frac{11+5 \\sqrt{5}}{2}, y cuando x = 2, el valor mínimo es -7.'

'Sean a y b números reales. Ilustra la región de puntos (a, b) tal que la curva y = ax^2 + bx + 1 no comparte ningún punto con la parte positiva del eje x.'

''

'Parábola 74 y=3 x ^{2}+\\frac{2}{3}'

'Sea m una constante. La parábola y=f(x) pasa por el origen, y la pendiente de la tangente en el punto (x, f(x)) es 2x + m. Sea S el área de la región encerrada por las parábolas y=f(x) e y=-x^{2}+4x+5. Encuentre el valor mínimo de S.'

'En ambos casos, x = 0 es un mínimo.'

'Encuentra la coordenada x de los puntos de intersección entre la curva C y el eje x. Además, encuentra la coordenada x de los puntos de intersección entre la curva C y la curva y=-x^{2}+2x.'

'Encuentra la porción de la parábola y=2x^{2}-3x donde x<0 y 2<x'

''

'Sea D la región representada por el sistema de desigualdades x²+(y-4)²≥4 y y≥-2/3x². Encuentra la recta con intersección en y entre 0 y 2 que está contenida en D y tiene la pendiente máxima.'

''

'110 (2) Parábola y=3x^2-6x+2'

'101 (2) \ y=-x \\pm \\sqrt{2} \'

'Grafique la región representada por las siguientes desigualdades.'

'Cuando números reales x, y satisfacen x²+y²=2, encuentre el valor máximo y mínimo de 2x+y. Además, determine los valores de x e y en ese caso.'

'Por favor, verifica la simetría de la siguiente función: f(x) = x^2 + 3x + 2'

'(2) Sea m una constante. Encuentra el número de puntos de intersección entre la parábola y^2=-8x y la recta x+my=2.'

'La pendiente de la normal a la parábola C en el punto (x₁, y₁) en C (x₁ ≠ 0, y₁ ≠ 0) es -1 / (2 / y₁) = -y₁ / 2. Si y₁ / 2 = m, entonces y₁² = 4x₁. Por lo tanto, x₁ = m². Por lo tanto, la ecuación de la normal requerida es y = mx - m³ - 2m.'

'Sea la parábola $y^{2}=4 x$ denominada como curva C.\n(1) Encuentra la ecuación de la normal a la curva $C$ con pendiente $m$.\n(2) ¿Cuántas normales se pueden trazar desde el punto $(a, 0)$ en el eje x hacia la curva $C$? Donde $a \neq 0$.'

'(3) tiene un mínimo local en x=-2 de -1/3 y un máximo local en x=0 de 1'

'(3) El dominio es 1-4 x^{2} \\geqq 0 con \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}'

'(1) x=-a ± √(a²+1)'

'Practica si la siguiente combinación de curvas cuadráticas y líneas tienen puntos de intersección. Si se intersectan, determina si es un punto de intersección o de tangencia, y encuentra las coordenadas de ese punto.'

'Para f(x) = 2 sqrt{x} y el intervalo [1,4], encuentra el valor de c que satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente dibujada desde el punto dado a la siguiente curva cuadrática: (a) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, punto \\( (2,3) \\)'

'Cuando los números reales x, y satisfacen las dos desigualdades x^2 + 9y^2 ≤ 9 y y ≥ x, encuentra el valor máximo y mínimo de x + 3y.'

'Determinar la curva dibujada por el vértice de una parábola.'

'Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [a, b], con el valor máximo de f(x) mayor que el valor máximo de g(x) y el valor mínimo de f(x) menor que el valor mínimo de g(x). Demuestra que la ecuación f(x) = g(x) tiene una solución en el rango a ≤ x ≤ b.'

'Usando las fórmulas de los conceptos básicos de la página anterior, encuentra la ecuación de la recta tangente en los puntos dados de las siguientes curvas cuadráticas.'

''

'Encuentra los valores de las constantes a y b cuando el rango de la función y = √(2x + 4) (a ≤ x ≤ b) es 1 ≤ y ≤ 3.'

'El valor máximo es 18 cuando x=4, y=0'

None

'Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a ambas curvas y=-x^{2}, y=\\frac{1}{x}.'

'Encuentra el área de la curva representada por x=2t+t^2, y=t+2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) y encerrada por el eje y, mediante el parámetro t.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente trazada desde el punto A(1,4) a la hipérbola 4 x^{2}-y^{2}=4. Además, encuentra las coordenadas del punto de tangencia.'

''

"Capítulo 4 Aplicaciones de la diferenciación\n117\nDado que 2x^2+x+1=2(x+\\frac{1}{4})^2+\\frac{7}{8)>0, sea y'=0, entonces x=1\nLa tabla de aumento y disminución de y es la siguiente.\n\nPregunta: Encuentra el punto donde y alcanza un valor máximo de 1."

'Valor máximo de 1 en x=0, valor mínimo de 17/9 en x=4'

''

'Tangente de una Curva de Segundo Grado\nLa ecuación de la tangente en un punto \\( \\left(\oldsymbol{x}_{1}, \oldsymbol{y}_{1}\\right) \\) en la curva \ p \\neq 0, a>0, \\quad b>0 \\n1 Parábola\n\\[ \egin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \egin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 Elipse \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 Hipérbola \ \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ (mismo orden de signos)'

'Explique la definición y propiedades de una parábola.'

'Encuentre la cantidad de puntos de intersección entre las siguientes 2 curvas y una línea.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente cuando el punto (x₁, y₁) se encuentra en la curva de la parábola y²=4px.'

'Curva de segundo grado y excentricidad e\nLas elipses, hipérbolas y parábolas también pueden ser definidas como la locación de puntos donde la razón entre la distancia desde un punto fijo F y una línea fija l es constante, al igual que en el caso de la parábola. Es decir, cuando se traza una perpendicular PH desde el punto P hasta l, de manera que PF:PH = e:1 (e es una constante positiva), la locación de puntos P que satisface esta condición es una curva de segundo grado con F como un foco, l como directriz, y e como la excentricidad. En este caso, la curva de segundo grado se clasifica de acuerdo al valor de e de la siguiente manera.\nCuando 0<e<1 Elipse Cuando e=1 Parábola Cuando e>1 Hipérbola'

'Encuentra la ecuación de las rectas tangentes dibujadas desde los puntos dados a las siguientes curvas cuadráticas.'

'Resuelve considerando el significado geométrico de la ecuación'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto dado en las siguientes curvas.'

'¿Qué tipo de forma representa la siguiente ecuación?'

'Considera la siguiente ecuación:\n2. Ecuación: y^2 + x - 4y + 8 = 0'

'Dibuja las gráficas de las siguientes dos funciones cuadráticas y encuentra sus ejes y vértices.'

'Determina el valor de la constante a para que la gráfica de la función cuadrática y=x^{2}+a x+a sea tangente a la recta y=x+1. Además, encuentra las coordenadas del punto de tangencia.'

'La parábola y=4x^{2}+ax+b pasa por el punto (1,1) y toca el eje x. Encuentra todas las combinaciones de a y b que satisfacen esta condición.'

''

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones cuadráticas.'

'¿Tienen los gráficos de estas dos funciones cuadráticas algún punto en común? En caso afirmativo, encuentre las coordenadas de esos puntos.'

'Determina el valor de la constante c de manera que el valor mínimo de la función y=-x^2+6x+c (1≤x≤4) sea 1. También, encuentra el valor máximo en ese punto.'

'En matemáticas, ejercicio 87, libro 66, página 143, sea f(x) = x^2-ax+a+8. El valor mínimo de f(x) para 0 ≤ x ≤ 5 debería ser mayor o igual a 0. Al transformar f(x) obtenemos'

'Dado lo anterior, cuando a<-\\frac{2}{3}, m(a)=2 a^{2}+3 a+2; cuando -\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3}, m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1; cuando \\frac{2}{3}<a, m(a)=2 a^{2}-3 a+2'

'Encuentra la función cuadrática que cumple con las siguientes condiciones: (1) El vértice está en el eje x y pasa por los puntos (0,4), (-4,36). (2) Es una traslación paralela de la parábola y=2x^2 que pasa por el punto (2,3) y tiene el vértice en la recta y=6x-5.'

'Cuando la ecuación cuadrática $x^{2}-ax+2a=0$ tiene dos soluciones reales distintas, y solo una de ellas está dentro del rango $-1<x<1$, encuentre el rango de valores para la constante $a$.'

'De los problemas de ejercicio del Capítulo 3 sobre funciones cuadráticas, por favor encuentre los valores máximos y mínimos del gráfico de la función cuadrática.'

'Ejemplo importante 93 El coeficiente es una ecuación trigonométrica (2) La ecuación cuadrática en \ x \ \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) tiene dos soluciones reales distintas, el rango de valores de \ \\theta \ para que ambas soluciones estén contenidas en el intervalo \ -1<x<2 \. [Universidad de Akita] <Ejemplo 75'

'Encuentre las funciones cuadráticas que tienen curvas con movimientos simétricos sobre lo siguiente: (1) eje x (2) eje y (3) origen.'

'Del gráfico se puede observar que cuando x=1, el valor mínimo de y=3(x-1)^{2}+2 es 2, y no hay un valor máximo.'

''

'Encuentra la parábola y=2(x-p)^{2}-p+3.'

'La función dada es una función cuadrática, por lo tanto a ≠ 0.'

'Considerando un círculo con diámetro AC, sea x el radio, entonces se obtienen los siguientes puntos.'

'Responde a la pregunta 45.'

'Ejemplo 46 La longitud del segmento que una parábola corta del eje x es una constante k. Deje que la parábola y=x^{2}-kx-18 corte un segmento de longitud l desde el eje x.'

'Encuentra la función cuadrática y=a(x-p)^2+1.'

'(1) Gráfica de y=2x^2+3.\\n(2) Gráfica de y=2(x-1)^2.\\n(3) Gráfica de y=2(x+1)^2-4.'

'Al mover simétricamente un punto P(x, y) en la parábola C_{1} con respecto a la línea y=1 a un nuevo punto P^{\\prime}(x^{\\prime}, y^{\\prime}), donde x^{\\prime}=x y \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1. Por lo tanto, x=x^{\\prime}, y=2-y^{\\prime}, al sustituir esto en y=ax^{2}+bx+4 se obtiene 2-y^{\\prime}=ax^{\\prime 2}+bx^{\\prime}+4, por lo que la ecuación de la parábola C_{2} es 2-y=ax^{2}+bx+4. De manera similar, encontrando la ecuación de la parábola C_{3} como 2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4. Dado que C_{2} y C_{3} pasan por los puntos (-2,-10) y (3,-2) respectivamente, se obtiene un sistema de ecuaciones para a y b, y al resolverlo se obtienen los valores de a y b.'

'Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la siguiente parábola y la línea.'

'Cuando el eje x = a se encuentra dentro del rango 0 ≤ x ≤ 2, es decir, cuando 0 ≤ a ≤ 2, en el gráfico derecho se observa que x = a proporciona el valor mínimo. El valor mínimo es\n \\[ f(a) = -a^{2} - 4a\\]'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de x^{2}+y^{2}-6x, y los valores correspondientes de x y y cuando los números reales x, y satisfacen 2x^{2}+y^{2}=8.'

'¿Cómo se desplazan las gráficas de estas dos funciones cuadráticas de la función y=2x^{2}?'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla con las siguientes condiciones.'

'Cuando los números reales x, y satisfacen x^2 + (y-1)^2 = 5, encuentra el valor máximo y mínimo de 2x-y, y los valores de x, y en ese momento.'

'Encuentra las coordenadas del vértice para la ecuación y=x^{2}-3x+6 [y=(x-3/2)^{2}+15/4].'

'Practica si las siguientes parábolas y rectas tienen puntos de intersección. Si es así, encuentra sus coordenadas.'

'Encuentra el punto de intersección del siguiente sistema de ecuaciones.'

'Determina el valor de la constante c que cumple con las siguientes condiciones: (1) El valor máximo de la función y=x^{2}-10x+c (3 ≤ x ≤ 8) es 10. (2) El valor mínimo de la función y=-x^{2}+4x+c (-1 ≤ x ≤ 1) es -10. Primero, completa el cuadrado y convierte a la forma estándar. Aunque no se dibuja un gráfico preciso, se debe describir de manera que muestre la posición de los ejes y la relación con los extremos del intervalo.'

'Encuentra la ecuación de la parábola obtenida al mover la parábola y=x^{2}-4 x 2 unidades en la dirección del eje x y -1 unidad en la dirección del eje y.'

'Encuentra una función cuadrática que cumpla con las siguientes condiciones.'

'Ejemplo: 1. Encuentra las coordenadas del vértice y el eje de la siguiente función cuadrática: y = 2x^2 - 4x + 1 2. Encuentra el valor máximo y mínimo de la siguiente función cuadrática: y = -3x^2 + 6x - 2'

'¿Cuál es la ecuación de la parábola obtenida al trasladar la parábola y=-2 x^{2}+4 x-4 en la dirección x por -3 y en la dirección y por 1?'