Funciones Básicas - Funciones Polinómicas

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'Investigue la tasa de cambio de las siguientes funciones y encuentre los extremos. (1) $y=\x0crac{1}{3} x^{3}-9 x$ (2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente dibujada desde el punto (0,4) a la curva y=x^3+2.'

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'Para la curva C: y=x^{3}+3 x^{2}+x, cuando hay 3 tangentes que pasan por el punto A(1, a), encuentra el rango de la constante a.'

'(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) es. Por lo tanto\n \\[ \egin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n Así que, cuando P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ es decir } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n Al resolver esto, c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} lo que lleva a \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n Cuando c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}, (1) se convierte en, 1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2}, contradiciendo 1 ≤ X ≤ 3. Cuando c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}, (1) se convierte en, 1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2}, cumpliendo con 1 ≤ X ≤ 3. Por lo tanto \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}'

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"Ejemplo 74\n(1) A partir de la condición f(x) = ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C\nDado f(0) = 2, C = 2\nPor lo tanto, f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2\n(2) La pendiente de la recta tangente en el punto (x, f(x)) en la curva y = f(x) es f'(x)\nEntonces, f'(x) = x^2 - 1\nPor lo tanto, f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C\n(C es la constante de integración)\nLa curva y = f(x) pasa por el punto (1,0) entonces f(1) = 0\nAsí, (1/3) - 1 + C = 0\nPor lo tanto, C = 2/3\nAsí que f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)"

"Resuelva la ecuación f(x)=0 para obtener las soluciones reales x=-1 y x>2, por lo tanto hay 1 solución positiva y 1 solución negativa. Inclina 72, ver este libro p.293. Reorganice la ecuación f(x)=-2x^3+6x para obtener -2x^3+6x=a, f'(x)=-6x^2+6=-6(x+1)(x-1). Resolver f'(x)=0 da x=±1, y la tabla de crecimiento y decrecimiento de f(x) se muestra en la tabla a continuación. Por lo tanto, el gráfico de y=f(x) es como se muestra a la derecha. El número de soluciones reales de la ecuación f(x)=a se determina por el número de puntos de intersección entre el gráfico de y=f(x) y la línea y=a, dando como resultado 1 solución cuando a<-4 o a>4, 2 soluciones cuando a=-4 o a=4, y 0 soluciones cuando -4<a<4. El punto (-1,0) es el punto tangente del gráfico y el eje x. El valor de a cuando la línea y=a pasa por los puntos máximo y mínimo de la función es el límite para el número de soluciones reales. Ejemplo"

'Práctica 175 → este cuaderno p .324\n(1) Cuando la curva y=f(x) y la recta y=mx+n son tangentes en dos puntos x=a, b(a<b), se cumple la siguiente identidad.'

'Practica, donde a, b son constantes, 0<a<1. Encuentra los valores de a y b para que la función f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b (-2 ≤ x ≤ 1) tenga un valor máximo de 153 y un valor mínimo de -5.'

'Matemáticas II'

'Por favor trazar las gráficas de las siguientes funciones.'

'Resolver la ecuación $x+2 \\underset{2^{\x0crac{1}{2}} x^{-\x0crac{1}{2}}}{\\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5$'

'Sea 72a un número real. Dos rectas con pendiente m son tangentes a la curva y=x^{3}-3 a x^{2} en los puntos A y B, respectivamente.'

'−8 − 6√2 ≤ x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y ≤ 3'

'Matemáticas II'

'Crear una tabla de intervalos de crecimiento y decrecimiento para f(x) = x^{4} - 6 x^{2} - 8 x - 3, y determinar el número de soluciones reales.'

'El término general de la expansión es'

'Las coordenadas x de los puntos de intersección de la curva y=f(x) y la parábola y=h(x) se obtienen resolviendo la ecuación x^4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 4x, simplificando a x^4 - x^2 = 0, lo que da x = 0, ±1.'

'Encuentra los valores extremos de la función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.'

'Encuentra el valor máximo y mínimo de la función g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2.'

'Dado que los números reales α, β y γ satisfacen α+β+γ=3, sea p=αβ+βγ+γα, q=αβγ. Demuestra: (1) Cuando p=q+2, al menos uno de α, β y γ es 1. (2) Cuando p=3, demuestra que α, β y γ son todos 1.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas. (1) $\\int_{0}^{2}\\left|x^{2}-4 x+3\\right| d x$(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}\\left(x^{2}+x-1\\right) d x$'

'Ejercicio 74 \ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\ \\( \egin{aligned} &=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| &=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right| &=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right| \\end{aligned} \\) Si \ \\sin \\theta = t \, entonces, de \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ obtenemos \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \ Si tomamos \\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) Entonces, para \ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ la tabla de variación de \\( f(t) \\) es la siguiente.'

'Encuentra la coordenada x del punto de tangencia donde la pendiente de la tangente a la curva y = x^{3} - 3x^{2} es 9.'

'Encuentra el número de soluciones reales de f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-5.'

'Práctica: Dos puntos distintos P, Q en la curva C: y=x^{3}-mx están en la curva con respecto al origen O. Si la recta tangente en el punto Q en C es paralela a la recta OP, entonces: (1) Si la coordenada x de P es a, exprese la coordenada x de Q usando a. (2) Encuentre el rango de valores para m para que el ángulo POQ sea un ángulo recto. [Universidad de Shimane] => p. 300 Ejercicios 69'

'Sea a una constante, donde a>1. Para la función y=2x^3-9x^2+12x con 1 ≤ x ≤ a, encuentra los siguientes valores: (1) valor mínimo (2) valor máximo'

'Cuando 0<a<2, en el gráfico de la derecha, se alcanza el valor máximo de f(a)=-a^{3}+3a^{2} en x=a. Cuando 2 ≤ a, en el gráfico de la derecha, se alcanza el valor máximo de f(2)=4 en x=2. Cuando 0<a<2, el valor máximo se alcanza en x=a para -a^{3}+3a^{2}, y cuando 2 ≤ a, el valor máximo de 4 se alcanza en x=2.'

'(3) \\( (x+2 y-4)\\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\\right)<0 \\)'

'Encuentra el valor de la constante $a$ cuando las curvas $y=x^{3}-2 x+1$ y $y=x^{2}+2 a x+1$ son tangentes. Además, determina la ecuación de la recta tangente común en el punto de tangencia.'

'Encuentra el valor de la constante a cuando la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2 es 32.'

'Encuentra el rango de la constante $k$ para la cual la ecuación $x^{3}+5 x^{2}+3 x+k=0$ tiene una raíz positiva y dos raíces negativas distintas.'

'Problema de práctica 8 Encuentra el área entre las gráficas de dos funciones cúbicas'

'Fórmula del producto y la suma'

'Del ejemplo básico 190, de la selección de los valores máximo y mínimo, a, b son constantes, y a>0. Para la función f(x) = a x^{3} - 9 a x^{2} + b, (1) determinar los valores máximo y mínimo en el intervalo -1 ≤ x ≤ 3 en términos de a, b. (2) Determinar los valores de a, b de manera que el valor máximo en (1) sea 10, y el valor mínimo sea -44.'

'Para la curva TR y=x^{2}-3 x+2, encuentra las ecuaciones de las siguientes tangentes:\n(1) Tangente en el punto (3,2) de la curva\n(2) Tangente con una pendiente de -1'

'Sea l la recta 2x+y+2=0 y P un punto en la parábola y=x^2. Encuentra las coordenadas de P cuando la distancia entre P y l se minimiza. También, calcula la distancia de Pl en ese momento.'

'Máximo y mínimo de una función cúbica que contiene 189 caracteres'

'103(x, y)=(8,16),(16,8)'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las funciones dadas.'

'Encuentra la pendiente de la recta que forma un ángulo de π/4 con la recta x - √3 y = 0.'

'Dibuja la región representada por las siguientes desigualdades: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'37 Crecimiento y disminución de funciones · Aplicación de gráficos Estándar 183 Número de soluciones reales de ecuaciones cúbicas (2) f(x) = constante'

'Proporciona un ejemplo de una curva que pase por el punto (0,1).'

'Determina el rango de valores para la constante a de manera que la función f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5 tenga valores máximo y mínimo.'

'Dado que 189 es una constante y a>0. Encuentra el valor máximo de la función f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

'Estándar 64: Determinación de coeficientes de ecuaciones de alto orden (1) - Condiciones para soluciones reales'

'Demuestra las siguientes desigualdades'

'En la demostración matemática por inducción, la parte central es la parte [2]. Es crucial entender claramente la suposición cuando n=k y la conclusión cuando n=k+1 (lo que se quiere demostrar), y la clave está en cómo deducir lógicamente la conclusión a partir de la suposición.'

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'Encuentra la siguiente integral definida. (1) $\\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x$'

'Si x+y+z=1/x+1/y+1/z=1, demuestra que al menos uno de x, y, z es 1.'

'Sea a una constante, donde a>0. Para la función f(x)=x^{3}-3 a^{2} x (0 ≤ x ≤ 1):\n(1) Encuentra el valor mínimo.\n(2) Encuentra el valor máximo.'

'Básico 3: Término general de una secuencia aritmética'

'La función cúbica f(x)=a x^{3}+b x+3 tiene un mínimo local de 1 en x=-1. Determine los valores de las constantes a y b. Además, encuentra el valor máximo.'

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'Demuestra que la ecuación (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 se cumple cuando (2) a+b+c=0.'

'Determinación de los coeficientes de una función cúbica a partir de las condiciones de los extremos'

'Encuentra la suma de las áreas de las dos formas encerradas por las curvas y=x^3-4x y y=3x^2.'

'Dado que a es una constante y a>0. Encuentra el valor máximo de la función f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

"Pregunta 8: El contraste entre la atmósfera tenue de la casa de tablas durante el día y la rosa resplandeciente en colores vivos, así como la oscuridad de la noche en Tsujido que contrasta con la arena iluminada por la luz de la luna, representa una belleza impresionante, por lo que la opción E es la mejor elección. La rosa marchita no simboliza la vida restante de la hermana, por lo que no es adecuada. Concentrarse en la apariencia es una acción opuesta a la 'falta de motivación', por lo que es incorrecta. La razón por la que el padre valientemente se metió al charco profundo después de regañar fue porque mostró su amor. La intención de expresar la 'mezquindad de Senichi después de perder el orgullo humano' no es evidente en esto. La mención de pasar por el camino del cementerio no es apropiada."

'(6) El brillo de una estrella no solo depende de las diferencias de color, incluso las estrellas frías y rojas, si son grandes en tamaño, aparecerán brillantes.'

'Si los números reales x, y satisfacen 2x^{2}+3y^{2}=1, encuentre los valores máximo y mínimo de x^{2}-y^{2}+xy.'

'Para los vectores \\( \\vec{a}=(3,-4,12), \\vec{b}=(-3,0,4), \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \\), encuentra el valor del número real \ t \ tal que el ángulo entre \ \\vec{c} \ y \ \\vec{a} \, y entre \ \\vec{c} \ y \ \\vec{b} \ sea igual.'

'Grafica la función siguiente y determina su recorrido.'

'Número de soluciones reales de una ecuación'

'Un punto móvil P en la curva xy = 4, cuando se traza una línea perpendicular PQ al eje y, el punto Q se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje y con una velocidad de 2 unidades por segundo. Encuentre la velocidad y la aceleración cuando el punto P pasa por el punto (2,2).'

'Calcule el área de la curva representada por la ecuación polar.'

'Integrales definidas de funciones pares e impares'

'Demuestra la continuidad de la función f(x)=\\left\\{\egin{\overlineray}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{\overlineray}\\right.'

'Encuentra la función compuesta f(g(x)) para f(x)=x^{2}+x+2 y g(x)=x-1.'

'Expresar a y b en términos de n cuando g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1 (donde n es un número natural mayor o igual a 2) es divisible por (x-1)^2.'

'Una esfera con una tasa constante de aumento en área superficial de 4πcm^2/s. Determina lo siguiente cuando el radio se convierte en 10cm:'

'Cómo dibujar un gráfico plegado'

'Dibuja el gráfico de las siguientes funciones para practicar 101 veces. (1) y=x^{2}-3|x|+2 (2) y=|2 x^{2}-4 x-6| (3) y=|x+1|(x-2)'

'Grafica las siguientes funciones: (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=|x^{2}-4|'

'Traslación y Transformación de Simetría'

'Encuentra el máximo y mínimo de la función y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) cuando -1 ≤ x ≤ 3.'

'Un número entero positivo representado en decimal se convierte en cuaternario, resultando en un número de 3 dígitos abc; al convertirlo a senario resulta en un número de 3 dígitos pqr. Supongamos que a + b + c = p + q + r. Escribe este número en decimal.'

'Máximo y mínimo de una función de cuarto grado'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y=x^4-8x^2+1.'

'Cuando a es igual a 1, f(x) alcanza un mínimo en x=1. Por lo tanto, f(1)=-3a+7≥0, lo que implica a≤7/3. El rango común entre 1<a y 1<a≤7/3 es 1<a≤7/3.'

'¡Comprende el rango de una función y conquista el Ejemplo 64!'

'Grafica las siguientes funciones y determina sus intervalos.'

'Explique la razón por la que se deriva la misma expresión relacional en la Conferencia [1] y [3].'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Resolvamos estas dos desigualdades cuadráticas usando gráficos. Aquí, estamos tratando con desigualdades en términos de m, no de x, por lo que el gráfico estará en el eje m.'

'Cuando 59(a, b) = (9,8), (12,6), el valor máximo es 72'

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'Sea $0 \\leq t \\leq 1$. Encuentra los valores de $t$ que maximizan y minimizan la integral definida $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$.'

'Punto de intersección entre el gráfico de una función y su tangente\n(1)\nEn la curva C: y=x^{3}-x, hay un punto A con coordenada x 1. Encuentra la coordenada x del otro punto donde la tangente en el punto A se intersecta con C.'

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'Cuando la ecuación $f(x)=a$ tiene tres soluciones reales diferentes, la curva $y=f(x)$ y la recta $y=a$ tienen tres puntos de intersección distintos.'

'Encuentra el rango de valores de la constante m para que la función f(x)=x^3-3mx^2+6mx tenga valores extremos.'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones y grafica sus gráficos. (1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3'

'Encuentra el rango de valores para la constante $a$ de manera que la función $f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5$ tenga puntos críticos.'

'Elige uno que se ajuste en (4) E de entre los siguientes 0-2.'

'Encuentra el valor mínimo de 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) cuando x > 1.'

'Investigar el comportamiento creciente y decreciente de la función f(x)=|x|(x^2-5x+3) y esbozar la forma general del gráfico de y=f(x).'

'(1) Representa gráficamente la región descrita por el sistema de desigualdades {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y}. (2) Dado r > 0. Encuentra el valor máximo de r para el cual se cumplen las condiciones (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2.'

'Considere la recta lt que pasa por el punto P: y = 2tx + t^2. Encuentre la ecuación de la trayectoria del punto P. Además, cuando t cambia sobre todos los valores reales, ilustre el conjunto de todos los puntos (x, y) por los que pasa la recta lt.'

'Encuentra la tasa de cambio promedio cuando x varía dentro de [ ]. (a) f(x)=-3 x^{2}+2 x de -2 a b (b) f(x)=x^{3}-x de a a a+h'

'Encuentra el número de tangentes trazadas desde el punto (0, k) a la curva C: y=-x^3+3x^2.'

'Encuentra el término general de la secuencia definida por las siguientes condiciones: \ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \'

'Demostración de ecuaciones e inecuaciones Principios básicos 1. Demostración de la ecuación A=B 1. Transformar uno de A o B para derivar el otro. Es un principio transformar la expresión más compleja. 2. Transformar A, B respectivamente para derivar la misma expresión. 3. Transformar A-B para mostrar que se convierte en 0. A=B ⇔ A-B=0'

'Sean a, b números reales. La función de 3er grado f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x tiene un máximo en x=α y un mínimo en x=β. Aquí, α<β.'

'Demuestra que para números reales x e y, si x^{2}+y^{2}<1, entonces x^{2}+y^{2}<2 x+3.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Cuando el gráfico de la función cúbica y=ax^3+bx^2+cx+d se ve como el de la derecha, determine los signos de a, b, c y d.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y=x^{3} trazada desde el punto (1,0).'

'Cuando a < 0, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3\nCuando 0 ≤ a < 1, g(a) = 3\nCuando 1 ≤ a < (6+√6)/6, g(a) = 2a^3 - 9a^2 + 12a - 2\nCuando (6+√6)/6 ≤ a, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3'

'Valor mínimo de la integral definida'

'Por lo tanto, el gráfico de la función (1) es como se muestra a la derecha, con 3 puntos de intersección con el eje x. Por lo tanto, la ecuación x^{3}-3 x^{2}+1=0 tiene 3 soluciones reales.'

'Pasando por el punto (6,3)'

'Calcular el área encerrada por las curvas $y=x^{3}-4 x$ y $y=3 x^{2}$.'

'Encuentra el área encerrada por las siguientes curvas, líneas y el eje x.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las funciones dadas.'

'Demuestra la siguiente desigualdad'

'Encuentra el valor mínimo de la función P=x^{2}+3y^{2}+4x-6y+2 para x e y.'

'Responde las siguientes preguntas sobre la gráfica de la función y=|x^2-2mx|-m. Aquí, m es un número real.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones.'

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'Al definir la función f(x) (0 ≤ x < 1), traza el gráfico de las siguientes funciones. (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))'

'Funciones que varían dependiendo del dominio'

'(2) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \'

'Para la función f(x)=x^2-2x-3, responde las siguientes preguntas.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x) = |x^2 - 1| - x para -1 ≤ x ≤ 2.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y = (x ^ 2 - 2x - 1) ^ 2 - 6(x ^ 2 - 2x - 1) + 5 para -1 ≤ x ≤ 2.'

'Determinar si la función f(x) tiene un valor máximo para el rango dado de a.'

'En la función y=f(x), ¿cómo se escribe la función cuando el dominio es a ≤ x ≤ b?'

'Por favor, grafica las siguientes funciones. (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=\\left|x^{2}-4\\right|'

'Grafique la función y = |x^{2} - x - 2| - 2x.'

'Grafica las siguientes funciones y encuentra sus rangos.'

'Matemáticas I'

'Calcula f(1-a).'

'Demostración de proposiciones usando el contrapositivo'

'Cómo dibujar un gráfico doblando'

'Considera las condiciones necesarias y suficientes.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y=x^{4}-8x^{2}+1.'

'Cuando \ 1 < a \, la función \\( f(x) \\) alcanza su mínimo en \ x = 1 \. Por lo tanto, \\( \\quad f(1) = -3a + 7 \\geqq 0 \\), lo que implica que \ a \\leqq \\frac{7}{3} \'

'Encuentra el valor máximo y mínimo de la función y = (x² - 6x)² + 12(x² - 6x) + 30 cuando 1 ≤ x ≤ 5.'

'Por favor, explique el dominio y rango de la función y = f(x).'

'Seleccione dos funciones de las siguientes (1) a (4) que tengan valores máximos en x=2, y encuentre los valores máximo y mínimo de esas funciones.'

'Convertir la ecuación polar a coordenadas rectangulares:\nDe la ecuación polar $r=\\frac{3}{1+2 \\cos \\theta}$ obtenemos $r+2r \\cos \\theta=3$\nDado que $r \\cos \\theta=x$, entonces $r+2x=3$\nPor lo tanto, $r=3-2x$, lo que implica $r^{2}=(3-2x)^{2}$\nComo $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, obtenemos $x^{2}+y^{2}=(3-2x)^{2}$\nAl resolver esta ecuación obtenemos $3x^{2}-12x-y^{2}+9=0$\nPor lo tanto, $3(x-2)^{2}-y^{2}=3$'

'Encuentra las coordenadas polares del centro y el radio del círculo representado por las siguientes ecuaciones polares:'

'Cuando una función \ f \ mapea un conjunto \ A \ a un conjunto \ B \, llamamos al conjunto \ A \ el dominio.'

'Usando inducción matemática, demuestra que esta ecuación es válida para todos los números naturales n.'

'Sea P el punto móvil en la curva xy=4. Se traza una línea perpendicular PQ desde P hasta el eje y de modo que Q se mueva a lo largo del eje y a una velocidad de 2 unidades por segundo. Encuentra la velocidad y la aceleración de P cuando pasa por el punto (2,2).'

'La función inversa de una función, f^{-1}(x) = f(x)'

'(1) Resumen\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nPor lo tanto, S(a) toma el valor mínimo de \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} cuando a=-\\frac{3}{5}.'

'Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto P en la siguiente curva.'

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'\\n(1)\\\ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \'

'Encuentra la siguiente integral definida.\\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]'

'Encuentra el área encerrada por la siguiente curva.'

'La gráfica de la función y=√(1+x^2) pasa por los dos puntos A(0,1) y B(1,√2). La ecuación de la recta AB es y=(√2-1)x+1. En el rango 0≤x≤1, 1≤√(1+x^2)≤(√2-1)x+1 siempre se cumple, y la igualdad generalmente no se cumple.'

'Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [a, b], con el valor máximo de f(x) mayor que el valor máximo de g(x) y el valor mínimo de f(x) menor que el valor mínimo de g(x). Muestra que la ecuación f(x)=g(x) tiene una solución numérica real en el rango a ≤ x ≤ b.'

'Encuentra las rectas tangentes y normales en la curva y^2=4px.'

'Función compuesta y rango'

'Puntos comunes en las gráficas de una función y su función inversa'

'Práctica: Encuentra el valor de la constante a cuando la suma del máximo local y el mínimo local de la función f(x)=2x^3+ax^2+(a-4)x+2 es 6.'

'Grafica la función de las siguientes ecuaciones.'

"Usa a, f(a) y f'(a) para expresar el resto cuando el polinomio f(x) se divide por (x-a)^{2}."

'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y = x^3 - 3x + 1.'

'Determina los valores de las constantes a y b para satisfacer las siguientes condiciones:'

'Cálculo diferencial'

'Completa la tabla para mostrar el aumento y la disminución de la función y=-x^3+9x, y encuentra el extremo y sus puntos'

'Dada la curva C: y = x^{3} + 3x^{2} + x y un punto A(1, a). Si hay 3 tangentes que pueden ser trazadas a través de A y tocar C, encuentra el rango de valores para la constante a.'

'Encuentra los valores de las constantes a y b para la función f(x)=x^{3}-a x^{2}+b de manera que el valor máximo sea 5 y el valor mínimo sea 1.'

'Sea a un número real, y sea la curva C igual a y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2.'

'División de polinomios'

'Para la parábola y = 2x^2 + a y el círculo x^2 + (y - 2) ^2 = 1, encontrar lo siguiente: (1) El valor de la constante a cuando la parábola y el círculo son tangentes (2) El rango de valores de la constante a que tienen cuatro puntos de intersección distintos'

'Cuando el intervalo es $-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$, encuentra los valores máximo y mínimo de $F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x$.'

'Demuestra que el punto medio M del segmento de recta que conecta los puntos (α, f(α)) y (β, f(β)) se encuentra en la curva y=f(x), donde la función y=f(x) tiene un máximo en x=α y un mínimo en x=β.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función dada. Además, determina los valores correspondientes de x.'

'El problema dado trata sobre encontrar condiciones e ilustrar la región donde existen los puntos que satisfacen esas condiciones.'

'Practica encontrando las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra los valores de las constantes a, b y c cuando las curvas y=x^{3}+a x y y=b x^{2}+c pasan por el punto (-1,0) y tienen una tangente común en ese punto. También, determina la ecuación de la tangente común en ese punto.'

'Prueba omitida, cuando x=y=z; a=3'

'Consejos para dibujar el gráfico de una función cúbica'

'Muestra la condición en la que las ecuaciones g(x)=0 y h(x)=0 tienen dos soluciones reales diferentes cada una y ninguna solución en común. Aquí g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b, h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1, y cuando f(f(x))-x=0, g(x) h(x)=0 tiene cuatro soluciones reales diferentes.'

'Cuando la función $f(x)=4x^3-3(2a+1)x^2+6ax$ tiene máximos locales y mínimos, encuentre la condición que la constante $a$ debe cumplir.'

'Considera el Ejercicio Básico 120. Examina los cambios de signo de los siguientes polinomios $f(x, y)$ y determina los signos en cada región.'

'¿Cuál es la traducción al chino del texto dado?'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Simetría del gráfico de una función cúbica'

'Práctica: Dibuja el gráfico de la función y=| -x^3 + 9x |.'

''

'Cuando el punto P(x, y) se mueve a lo largo del círculo unitario en el plano, encuentre el valor máximo de 15x^2 + 10xy - 9y^2 y las coordenadas del punto P que dan el valor máximo.'

'Sea a una constante positiva. Encuentra el valor mínimo de la función f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Donde: f(x) = -\\frac{x^{3}}{3} + \\frac{3}{2}ax^{2} - 2a^{2}x + a^{3}'

'Puntos a tener en cuenta al dibujar el gráfico de una función cúbica'

'Practica trazar el gráfico de las siguientes funciones.'

'Encuentra todas las funciones f(x) que toman valores extremos cuando x = 1 y x = 3, para la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Además, proporciona los valores máximos y mínimos.'

'Encuentra el valor de la constante a cuando las curvas y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a son tangentes. Además, encuentra la ecuación de la recta tangente en ese punto.'

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'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función. Además, determina los valores correspondientes de x. (219 (1) y=-x^{3}+12x+15 (-3 ≤ x ≤ 5))'

'Función cúbica y valores extremos'

'El número de soluciones reales de la ecuación f(t)=b se determina por la cantidad de intersecciones entre la gráfica de y=f(t) y la recta y=b: 1 intersección cuando b<2a y b>e^{a}-e^{-a}; 2 intersecciones cuando b=2a o b=e^{a}-e^{-a}; 3 intersecciones cuando 2a<b<e^{a}-e^{-a}'

'Traducir el texto dado a varios idiomas.'

'Usando las funciones f(x)=x^{2}+1 y g(x)=2x-1, encuentra la función compuesta (g ∘ f)(x).'

'Expresa el círculo (1) en coordenadas polares.'

'Grafica las siguientes funciones y encuentra sus intervalos de valores:\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1'

'Determine los valores de las constantes a y b, de modo que la función y = √(4-x) tome valores entre 1 y 2 para a ≤ x ≤ b.'

'Por favor, dibuje el gráfico de la función $y$ determinada por la ecuación $y^{2}=x^{2}(8-x^{2})$ en función de $x$.'

'Una función f(x) se llama función continua cuando es continua para todos los valores de x en su dominio. Las funciones representadas mediante polinomios, fracciones, funciones irracionales, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas son todas funciones continuas.\nPor favor, prueba que la función f(x)=√x es continua en su dominio.'

"Demostrar que una función cuadrática g(x) que satisface f(a)=g(a), f'(a)=g'(a) y f''(a)=g''(a) es g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a)/2)(x-a)^2 (1)."

''

'1) El valor mínimo cuando t=2 es -\\frac{512 \\sqrt{2}}{15}'

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''

'Por favor investigue la función y = x sqrt(x + 1) donde x > -1.'

'Para el número real x, [x] representa el entero n que satisface n ≤ x < n+1, determine los valores de las constantes a y b para que la función f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) sea continua en x = 1 y x = 2.'

'(1) Representa I como una función de a. (2) Encuentra el valor mínimo de I y el valor correspondiente de a.'

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'Encuentra el valor máximo y mínimo de x^2 - y^2 + xy cuando los números reales x, y satisfacen 2x^2 + 3y^2 = 1.'

'(6) En x=-4/5, el valor máximo es 12√[3]{10}/25, en x=0, el valor mínimo es 0'

'(2) x=1 da como resultado un valor máximo de 1'

'Encuentra la distancia mínima entre un punto $P$ en la elipse $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ y el punto fijo $A(a, 0)$. Aquí, $a$ es una constante real.'

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'Cuando un punto (x, y) en el plano de coordenadas se mueve en el conjunto definido por (x^2 + y^2)^2 - (3x^2 - y^2)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, encuentre el valor máximo de x^2 + y^2 y los valores de x, y que dan este valor máximo.'

'Encuentra el rango de x para la sección 1 Funciones - PRÁCTICA, problema 4.'

'Encuentra el área entre y = x^2 e y = x.'

'Por favor, haz un bosquejo del gráfico aproximado de la función de x determinada por la ecuación y^2 = x^2(x+1) (no es necesario considerar la convexidad/concavidad).'

'Encuentra el punto del Ejercicio 11 en el Capítulo 1 Funciones.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Pregunta 66\n(1) Encuentra la solución de la ecuación (x-3)² + y² + (z-2)² = 13.\n(2) Encuentra la solución de la ecuación (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27.\n(3) Encuentra la solución de la ecuación (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9.'

'(2) El punto B es un punto obtenido girando el punto A alrededor del origen O en π/4 o -π/4 y aumentando la distancia desde el origen en un factor de √2.'

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'La posición x de un punto P que se mueve a lo largo de una línea en el tiempo t se da por x=-2t^3+3t^2+8(t≥0). Encuentre la velocidad y la aceleración de P cuando está más lejos del origen O en la dirección positiva.'

'Graficar las siguientes funciones. Además, encontrar sus dominios y rangos.'

'Investigue si la función f(x) es continua o discontinua en x=0. Donde [x] denota el entero más grande que no excede el número real x.'

'Dados los conjuntos A y B, cuando se determina un elemento de A, el elemento correspondiente de B también se determina como uno solo. Esta correspondencia se llama una función de A a B. Las funciones se denotan con símbolos como f, g. Se denota como f: A→B, para representar una función de A a B. Para una función f de A a B, el elemento de B correspondiente a un elemento a de A se llama la imagen de a en f, y se denota por f(a). Por ejemplo, sea A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3, 4}. Si f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2, entonces f es una función de A a B.'

'Usar rotación para encontrar el área'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto dado en las siguientes elipses e hipérbolas.'

'Calcular el área usando una transformación de rotación'

'Dibuja el esquema del gráfico de la función y determinada por las siguientes ecuaciones (también examina la concavidad y convexidad):'

'En el momento t=2, se debe determinar la aceleración de P, α, donde α = dv/dt = 6t.'

'Por favor resuelve el problema relacionado con ecuaciones de funciones.'

'Por favor encuentra el número de puntos compartidos en las gráficas de dos funciones.'

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'Encuentra el valor mínimo de la función y=x^4-6x^2+10.'

'\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nPor lo tanto, el gráfico de \\( y=f(f(x)) \\) es como se muestra en la Figura (2).'

'Para todos los números reales x1 y x2 que cumplen con 0 ≤ x ≤ 4, la condición para que se cumpla f(x1) < g(x2) es que el valor máximo de f(x) sea menor que el valor mínimo de g(x) para 0 ≤ x ≤ 4. Por lo tanto, -a^2 + 8 < -3a - 10. Simplificando, obtenemos a^2 - 3a - 18 > 0. Por lo tanto, (a + 3)(a - 6) > 0. Por lo tanto, a < -3, 6 < a.'

'Dibuje el gráfico de las siguientes funciones: (1) y=x^{2}-4|x-1| (2) y=\\left|\\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\\right|'

'El gráfico de (2) se muestra a la derecha. Para encontrar la coordenada x de la intersección de (1) y (2): [1] Cuando x<-1, eliminar y de (1) y y=-2x+1 da -x^{2}+2x+8=-2x+1, por lo tanto x^{2}-4x-7=0, entonces x=2±sqrt{11}, los valores que satisfacen x<-1 son x=2-sqrt{11}; [2] Cuando x≥2, eliminar y de (1) y y=2x-1 da -x^{2}+2x+8=2x-1, así que x^{2}=9, por lo tanto la frontera es el valor de x donde la expresión en el || se vuelve 0, por lo tanto x+1=0 y x-2=0, dando x=-1 y x=2. No olvide verificar las condiciones de esta rama. [3] es lo mismo.'

'Para algunos números reales x1, x2 que cumplen con 0 ≤ x ≤ 4, la condición para que f(x1)<g(x2) se cumpla es que el valor mínimo de f(x) < el valor máximo de g(x) se cumpla para 0 ≤ x ≤ 4. Por lo tanto, -a^2 - 1 < -3a - 1 puede simplificarse a a^2 - 3a > 0.'