Análisis - Cálculo de una Variable

'Ejemplo importante 79 | Máximo y mínimo en una región (3)\nEncuentre los valores máximo y mínimo de x²+(y-3)² cuando los números reales x, y satisfacen las tres desigualdades y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0.\n[Universidad de Economía de Tokio]\nEjemplo 76'

'Método de diferenciación'

'Calcular la integral definida de la siguiente expresión.'

'Practica encontrar las siguientes integrales definidas.\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'De manera similar, considera el valor mínimo. Encuentra ese valor mínimo.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra el área entre la parábola y el eje x. (1) Básico'

'Encuentra el valor de las siguientes integrales definidas.'

'Calcular la derivada usando límites'

'Encuentra las siguientes integrales definidas. (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'ENTRENAMIENTO 197 (1) Encuentre la siguiente integral definida. (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'Encuentra la integral definida de \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Evaluar las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra la integral definida \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Encuentra el valor mínimo de S(m), la suma de las áreas encerradas por la curva y=x^2 y la línea y=mx para 0<m<1, donde 0 ≤ x ≤ 1.'

'Evaluar las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra el área S entre la curva y = f(x) y el eje x.'

'Usando las propiedades de las integrales definidas, encuentra los resultados de las siguientes integrales definidas:'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'¡Domina las propiedades de las integrales definidas para conquistar el ejemplo 198!'

'Integral definida y diferenciación'

'¿Qué se debe hacer cuando los ejemplos básicos no están claros?'

None

'Encuentra la integral indefinida de ∫ 1/x dx.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas. En (4), \ a, b \ son constantes. (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'Encuentra las siguientes integrales definidas. (1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \ (a > 0)'

None

'El término incluye explicaciones de conceptos, demostraciones de teoremas y fórmulas, lo que facilita la comprensión incluso de temas no tratados en los libros de texto.'

'Defina las condiciones necesarias y suficientes, y explique usando el siguiente ejemplo.'

'Encuentra el área encerrada por las siguientes curvas, la línea y el eje x.\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'Demuestra lo siguiente sobre las soluciones α, β de la ecuación cuadrática\nax^2 + bx + c = 0\n1. Condición para tener dos soluciones de números reales distintos.\n2. Cuando la desigualdad at^2 + 2bt + c > 0 se cumple para todos los números reales t, implica tener solo soluciones positivas.'

'Calcula las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra el área encerrada por las curvas y líneas dadas.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

"Derivada La definición de la derivada de una función f(x) f'(x) es f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'Calcule las siguientes integrales definidas usando las fórmulas dadas.'

'Calcular $\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$.'

"Por lo tanto, para todos los números reales x, y'>0, por lo que la función dada siempre aumenta"

'Demuestre la siguiente condición. Sea x1, x2, ..., xn los valores de la variable x. Para un valor dado t, considere la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor de t, t-xk (k=1, 2, ..., n), como y. Es decir, y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+...+(t-xn)^2. Demuestre que y es mínimo cuando t=𝑥¯ (la media de x).'

'Por favor explique qué son las condiciones necesarias y suficientes.'

'Explique las similitudes y diferencias entre los ejemplos del 3 al 8 y los ejemplos del 9 al 12.'

'Ecuación y curva'

'Explique la concavidad y puntos de inflexión de un gráfico de una función.'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { así que } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { Por lo tanto } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'169 (2) (ア) x y^{′}-2 y=0'

'Enuncie el Teorema de Rolle y demuéstrela'

'Teorema de Hamilton-Cayley'

'Volumen de una rotación alrededor del eje y (3) Sea a≤b. El volumen V de un sólido formado al rotar la porción de la gráfica de y=f(x) para a≤x≤b alrededor del eje y, limitado por el eje x y las dos rectas x=a, x=b, se calcula como V=2π∫a hasta b xf(x)dx. Demuestra para a<c<d<b, y para una función y=f(x) que disminuye monótonamente en los intervalos [a, c], [d, b] y aumenta monótonamente en el intervalo [c, d] como se muestra en el diagrama a la derecha. Además, encuentra el valor V_0 de V cuando f(x)=x^3, a=0, b=2.'

'¿Qué es el Teorema del Valor Medio?'

'Practica encontrar la siguiente integral definida.'

''

'Investiga el comportamiento creciente y decreciente de la función diferenciable f(x) y encuentra sus valores extremos.'

'Utilizando la segunda derivada, encuentra los valores extremos de la siguiente función.'

'Sea la función y=f(x) continua.\n(1) Sea a una constante real. Para todos los números reales x, si la desigualdad |f(x)-f(a)| ≤ 2/3|x-a| se cumple, prueba usando el teorema del valor intermedio que la curva y=f(x) interseca la recta y=x.\n(2) Además, si para todos los números reales x1, x2, la desigualdad |f(x1)-f(x2)| ≤ 2/3|x1-x2| se cumple, prueba que solo hay un punto de intersección para (1).'

'Aprender a resolver problemas relacionados con encontrar el área y el volumen de formas, longitud de curvas y resolver ecuaciones diferenciales simples.'

'Encuentra la siguiente integral definida.\\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'Encuentra la siguiente integral definida.\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

''

'Encuentra el área de la figura encerrada por la curva y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6 y la recta tangente en el punto (3,-6) de la curva.'

'(2) Calcular la siguiente integral definida:\n(a) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'Primero, repasemos el método de usar cálculo diferencial para determinar la cantidad de soluciones reales de una ecuación.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Practica encontrar las siguientes integrales definidas.'

'Define el coeficiente de derivación de la función f(x) en x=a.'

'Encuentra la integral definida \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \.'

'Encuentra el valor de la siguiente integral definida.'

'\nCálculo de área, volumen y longitud de curvas\nÁrea entre la curva \\( x=g(y) \\) y el eje \ y \\nÁrea encerrada por la curva \\( x=g(y) \\), el eje \ y \ y dos líneas \ y=c, y=d \ con \ c < d \ donde \\( S=\\int_{c}^{d}|g(y)| dy \\)\n\nÁrea de una curva representada por \\( x=f(t), \\quad y=g(t) \\) es \\( S=\\int_{a}^{b} y dx=\\int_{\\alpha}^{\eta} g(t) f^{\\prime}(t) dt \\)\n\nDonde, siempre \\( y \\geqq 0, \\quad a=f(\\alpha), \\quad b=f(\eta) \\) Volumen de un sólido donde el volumen del sólido con \\( S(x) \\) es \\( V=\\int_{a}^{b} S(x) dx \\) cuando \ a < b \'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Calcular el área entre dos curvas.'

'Sea el área encerrada por las curvas C1, C2 y la recta x=π/2 denotada por T. Expresa las condiciones para T=2S en términos de a y b.'

'Sean f(x) y g(x) funciones continuas en el intervalo [a, b]. Si f(a)>g(a) y f(b)<g(b), entonces demuestra que la ecuación f(x)=g(x) tiene al menos una solución real en el rango a<x<b.'

'(1) Encuentra el valor de c que satisface las condiciones del teorema del valor medio para la función f(x) y los intervalos: (a) f(x)=\\log x [1, e] (b) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208 La función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b(a < b)\ncuando int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c), con a < c < b\nse demuestra que existe c. (teorema del valor medio en integrales)'

"Cuando la función y de x se representa como variables intermedias t, θ, encuentra la derivada dy/dx como una función de t, θ de acuerdo con la siguiente ecuación. Aquí, la 'a' en (2) es una constante positiva. (1) {x=t^3+2, y=t^2-1}, (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}"

'Encuentra la función f(x) que satisface la ecuación (1).'

'Máximo y mínimo de una función'

'Capítulo 8: Aplicaciones de la Integración'

'(1) Consideremos un punto P moviéndose en una recta numérica con su velocidad v como una función del tiempo v=f(t). Además, sea la coordenada de P en el tiempo a igual a k.\n[1] La coordenada x de P en el tiempo b es x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] El cambio de posición de P desde el tiempo a hasta el tiempo b es s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] La distancia recorrida por P desde el tiempo a hasta el tiempo b es l=∫[a,b]|f(t)| dt'

'Encuentra el área encerrada por la curva y = f(x) y el eje x entre las rectas x = a y x = b.'

'(1) Para una función continua f(x), demuestra la ecuación \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\). \n(2) Encuentra la integral definida \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \.'

'Teorema del Valor Extremo'

'Expresar el área S de la región encerrada por las curvas \ C_{1}, C_{2} \ y el eje y en términos de a y b.'

'Calcular el volumen entre la curva y=f(x) y el eje x'

"Utilizando la integración definida, dibujamos el contorno de la curva C en forma de 'y como función de x' según (1)."

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

"Para una cantidad f(t) que cambia con el tiempo (como el volumen de un sólido en expansión), la tasa de cambio de esa cantidad en el tiempo t se representa por f'(t), similar a la velocidad de 1."

'Práctica: Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Demostrar que cuando la función $f(x)$ es continua en el intervalo $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$, se cumple $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c)$, donde $a<c<b$, según el Teorema del Valor Medio para Integrales.'

'Utilizar el Teorema del Valor Medio para demostrar una desigualdad. Por ejemplo, considerar la aplicación del Teorema del Valor Medio para la función f(x) = x^3 - 3x + 2 en el intervalo [0,1].'

'\nIntegral definida y límite de sumas (método de partición)\\( f(x) \\) es continua en el intervalo \ [a, b] \, dividiendo este intervalo en \ n \ partes con puntos finales y puntos de división como \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \ y \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \\n'

'Encuentra las siguientes integrales definidas. En (2), \ a \ es una constante.'

'Tangente y Normal Básicos'

'Encuentra la longitud de las siguientes curvas.'

''

'Demuestra que si \\( f(x) \\) es diferenciable en \ x=a \, entonces es también continua. Sin embargo, explica por qué la afirmación contraria (funciones continuas no necesariamente son diferenciables) no es válida.'

'En el espacio de coordenadas, hay un origen O y puntos A(1,-2,3), B(2,0,4), C(3,-1,5). Encuentra la magnitud mínima del vector OA+x*AB+y*AC y los valores de los números reales x e y en ese momento.'

'Fórmula de integración por partes'

'Encuentra las siguientes integrales definidas: (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'Calcular la integral definida \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\).'

'Evaluar las siguientes integrales definidas.'

'Contribuyó al desarrollo riguroso del cálculo a través de conceptos como la continuidad de los números reales.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas:\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'Evaluar las siguientes integrales definidas.'

'Demuestra y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax) usando inducción matemática.'

'La ecuación de la esfera es cuando las coordenadas del centro son (0, b, 0), radio r (r>0)'

'Demostración del Teorema del Valor Medio'

'Por favor resuelve un problema de cálculo de integrales definidas.'

'Determine el rango de valores para la constante a con el fin de que la curva y=(x^2+ax+3)e^x tenga puntos de inflexión. Además, ¿cuántos puntos de inflexión se pueden crear en ese momento?'

'Sean f(x) y g(x) funciones continuas en el intervalo [a, b]. Si f(a) > g(a) y f(b) < g(b), demostrar que la ecuación f(x) = g(x) tiene al menos una solución real en el rango a < x < b.'

"Longitud de la Curva\nLa longitud de una curva \\( x = f(t), y = g(t) (\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) es\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^{2} + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^{2}} dt = \\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2} + \\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} dt\\n\\]"

'Límite de funciones trigonométricas\nHay un punto O en el centro, y un punto P que se mueve en la circunferencia de un círculo con diámetro AB de longitud 2r. Sea el área de △ABP S1 y el área del sector OPB sea S2. Responda las siguientes preguntas.\n(1) Cuando ∠PAB=θ (0<θ<π/2), encuentre S1 y S2.\n(2) A medida que P se acerca a B, encuentre el límite de S1/S2.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra el valor de c que cumple con las condiciones del teorema del valor medio para las siguientes funciones e intervalos: (1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

''

'Si a, b son constantes, m, n son enteros no negativos, define \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\).'

'Dado que 17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \, entonces\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'Encuentra el valor de las siguientes integrales definidas. (1) \\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx (3) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx (4) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

''

'Encuentra la siguiente integral definida: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'Área Máxima y Mínima'

'Calcular la siguiente integral definida:\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

'Calcula la integral definida de \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\)'

'Explique la diferencia entre condiciones necesarias y suficientes.'

'Encuentra el número de soluciones reales de la función f(x) definida de la siguiente manera. f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6, si f(x) es continua, ¿cuántas soluciones reales tiene f(x)-x=0 al menos para 0 ≤ x ≤ 1.'

'Calcular el área entre la curva y = x^2 y x = 1.'

"En el teorema del valor medio (1), dado que c se encuentra entre a y b, tenemos que b-a=h, al definir (c-a)/(b-a)=θ, obtenemos que b=a+h, c=a+θh. Por lo tanto, el teorema del valor medio (1) también se puede expresar de la siguiente manera. (3) Teorema del Valor Medio (2): Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, a+h] y diferenciable en el intervalo (a, a+h), entonces existe un número real θ que satisface 0<θ<1, tal que f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)."

''

'Encuentra la siguiente integral definida. (3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'Cómo encontrar el volumen de un sólido usando el área de la sección transversal. Cuando el área de la sección transversal al ser cortada por un plano perpendicular al eje x está representada por una función S(x) con respecto a x, encuentra el volumen V. Considera el rango de a a b.'

'Encuentra el área de la forma encerrada por la curva C y los ejes x e y.'