Análisis - Secuencias y Series

'Encuentra la secuencia p_n a partir del resultado anterior.'

'Cuando el término k-ésimo de una secuencia a_k puede ser expresado como a_k=f(k+1)-f(k), encuentra la fórmula para \\sum_{k=1}^{n} a_k usando la ecuación (*) a continuación y explica el razonamiento detrás de ella.'

'Al derivar solo (2) y (4), a partir del hecho de que el término general de la secuencia diferenciada de la secuencia {pn} es (-1/2)^(n+1), encontrar el término general pn, o al derivar solo (1) y (3), resolver la relación de recurrencia entre términos adyacentes (3).'

'Práctica: Encuentra el término general de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones. (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'Por favor, explique cómo resolver un sistema de ecuaciones de recurrencia simultáneas.'

'Encuentra la suma S_{n} de una sucesión aritmética {a_{n}} con el primer término a, diferencia común d, y número de términos n.'

'Por lo tanto, la secuencia {a_{n}+20} es una progresión geométrica con término inicial 2 y razón común 5/4.'

'Encuentra el término general de la secuencia $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ determinado por las siguientes condiciones.'

'Encuentra el término general de una secuencia usando la fórmula de la suma'

'Ejemplo Número Práctico 2 Relación de Recurrencia'

'Dada la suma Sn de la serie desde el primer término hasta el n-ésimo término, proporcione la fórmula para encontrar el término general.'

'Cómo encontrar el término general'

'Cómo encontrar el término general de una relación de recurrencia'

'Ejemplo de pregunta número Práctica 1 Secuencia aritmética, secuencia geométrica'

'Explique la secuencia aritmética y el término general, y encuentre el término general basándose en un ejemplo.'

'Encuentra la suma de los primeros n términos de la secuencia dada.'

'Encuentra el valor límite de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones. a1=0, a2=1, an+2=1/4(an+1+3an)'

'Encuentra el límite de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada por las siguientes condiciones.'

'Encuentra la serie infinita relacionada con el área.'

'Encuentra la suma de las siguientes series infinitas.\n(1) Sea \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ una progresión geométrica con primer término 2 y razón común 2. Encuentra \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (similar a Instituto de Tecnología de Aichi)\n(2) Sea \ \\pi \ la constante que representa la proporción entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Calcula \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\nPuedes utilizar el hecho de que \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) si es necesario.\n(Similar a Universidad de Keio) \ \\rightarrow 33,35 \'

'Encuentra el límite de la secuencia determinada por las siguientes condiciones:'

'Encuentra la suma de la serie $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$.'

'Principio de Creación de Crédito'

'Considera la siguiente serie infinita:'

'Usando el resultado del ejemplo anterior, demuestra que la serie infinita $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ diverge.'

'Para series convergentes $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$, donde $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, entonces la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ también convergerá y $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$ (donde $k, l$ son constantes)'

'Por favor, resuelva un problema relacionado con la suma de una serie infinita.'

'Por favor, verifique la convergencia de la secuencia {1/n^k} cuando k>0.'

'Practica demostrando que las siguientes series infinitas divergen.'

'Número de formas y combinaciones.'

'Encuentra la suma de la siguiente serie.'

'Indica las condiciones para que una secuencia sea una progresión aritmética.'

'Demuestre por inducción matemática que la fórmula del término general adivinada en (2) (1) es correcta.'

'Encuentra la suma de la serie: \\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)'

'Encuentra la suma desde el primer término hasta el término n-ésimo de la secuencia.'

'Encuentra el término general de la siguiente secuencia: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

'Encuentra el quinto término de la secuencia definida por las siguientes condiciones: (1) a₁=1, aₙ₊₁=3aₙ-1, (2) a₁=0, aₙ₊₁=-3aₙ+2n'

'Encuentra la siguiente suma.'

'Demuestra que si las series $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ convergen, donde $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, entonces la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ también converge y encuentra su suma. Aquí, $k, l$ son constantes.'

'Muestre la condición de convergencia de una serie geométrica infinita.'

'Explique y demuestre la convergencia y divergencia de una serie geométrica infinita. Determine las condiciones bajo las cuales la serie infinita creada a partir de la sucesión geométrica infinita {ar^n-1} con término inicial a y razón común r \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \ converge, encuentre su suma e indique las condiciones bajo las cuales diverge.'

'Encuentra la suma de la serie \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\).'

'Investiga la convergencia y divergencia de una serie geométrica infinita, y si converge, encuentra su suma.'

'Para la serie infinita $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$,\n(1) Determine el rango de valores de $x$ para los cuales esta serie infinita converge.\n(2) Sea $f(x)$ la suma de esta serie infinita cuando $x$ está en el rango determinado en (1). Dibuja el gráfico de la función $y=f(x)$ e investiga su continuidad.'

'Demuestra que la serie infinita Σ(1 / n) diverge.'

'Ejercicio Integral'

'Investiga el límite de la serie geométrica infinita {r^n}.'

'Ejemplo 126 Series Infinitas y Límites (2)'

'Ejemplo 11 | Convergencia y Divergencia de Series Infinitas'

'Investigue la convergencia o divergencia de la siguiente serie infinita y, si converge, encuentre su suma. \n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]'

'Investiga la convergencia y divergencia de las siguientes secuencias: (a) { -n^{3} + 1 } (b) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (c) { \\frac{3}{n+2} } (d) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'Convergencia y divergencia de series infinitas y límite de términos'

'Demuestra las siguientes desigualdades integrales.'

'Ejercicio 14 |II| → Libro p.343\n(1) Suponiendo que la secuencia {xn} converge, y su valor límite es α\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\nPor lo tanto, a medida que n → ∞, xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\nAl cuadrar y reorganizar ambos lados se obtiene α² - α - a = 0\nYa que α > 0, α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'Encuentra la suma de la serie infinita ∑ de n=0 a infinito de (1/2)^n cos(nπ/6).'

'Demuestra la ecuación 22 del libro largo'

'Utilizar el teorema del valor intermedio para resolver la suma de series infinitas y la integral definida'

'Explique el límite de una serie geométrica infinita e indique bajo qué condiciones converge.'

'Para la secuencia definida por $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\cdots)$, sea $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$. Encuentra $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$.'

'Serie infinita'

'Demuestra que la secuencia de puntos Pn(x_{n}, y_{n}) que satisface la relación de recurrencia y los límites (4) para un sistema de ecuaciones lineales P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n} (n=1,2, ...) en el plano. Demuestra que los puntos P1, P2, ... se acercan infinitamente a un punto fijo determinado.〔Similar a la Universidad de Shinshu〕'

'Demuestra que para dos series convergentes $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ que convergen a $S, T$ respectivamente, para constantes $k, l$, la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ también converge y $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$.'

'Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \. Primero, divide el intervalo \ [0, 1] \ en \ n \ partes iguales, y deja que el área de cada rectángulo con sombra azul sea \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots, n-1) \\), entonces la suma es\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'Encuentra el valor límite de la secuencia \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada por las siguientes condiciones.'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'Encuentra el valor límite de la secuencia {an} determinada por las siguientes condiciones.'

'Límite de la secuencia geométrica infinita { r^n }'

'Investiga la convergencia y divergencia de la siguiente serie infinita, y encuentra la suma si converge.'

'Investiga la convergencia o divergencia de la serie infinita \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ y encuentra la suma si converge. Puedes utilizar \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\).'

None

'Demuestre que la serie 1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots diverge.'

'Encuentra la suma de esta serie infinita: 1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'Practica investigar la convergencia y divergencia de la siguiente serie infinita, y encuentra la suma si converge.'

'Un cubo con una marca en una de sus caras está colocado sobre un plano horizontal. Una de las cuatro aristas de la base del cubo se elige al azar con igual probabilidad, y se inclina lateralmente alrededor de esta arista n veces. Sea aₙ la probabilidad de que la cara marcada mire hacia arriba, y bₙ la probabilidad de que mire hacia abajo. Supongamos que inicialmente la cara marcada mira hacia arriba. (1) Encuentra a₂. (2) Expresa aₙ₊₁ en función de aₙ. (3) Encuentra limₙ→∞ aₙ.'

'Usando el resultado de (2), encuentre la suma de la serie infinita Σ_(n=1)^∞ n/2^n. Puede utilizar el hecho de que lim (n→∞)(n/2^n)=0.'

'Para la serie infinita $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$, encuentra (1) el rango de valores de $x$ para los cuales esta serie infinita converge. (2) Sea $f(x)$ la suma de esta serie infinita cuando $x$ está en el rango encontrado en (1). Dibuja el gráfico de la función $y=f(x)$ e investiga su continuidad.'

'Encuentra el valor límite de la secuencia $\\{a_{n} \\}$ determinada por las siguientes condiciones.'

'Encuentra la suma de la serie infinita \\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\).'

'Capítulo 3\nCálculo Diferencial - 105\nCuando n ≥ 2\n\\[\egin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nEsto se cumple incluso cuando n=1.\n\\[\\text{Por lo tanto,} \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\nCapítulo 3\nEjemplo'

'Encuentra la suma de la siguiente serie infinita.\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'Demuestra que la serie ∑(1/n) diverge.'

'Encuentra el límite de las siguientes secuencias.'

'Encuentra la suma de las siguientes series infinitas.'

'Demuestra que la siguiente serie infinita diverge. (1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'Encuentra el rango de números reales para los cuales la serie infinita converge.'

'Investiga la convergencia y divergencia de la siguiente serie infinita, y encuentra la suma si converge.'

'Investiga los límites de las siguientes secuencias.'

'Demuestra que la siguiente serie infinita diverge.'

'Encuentra el límite de la sucesión determinada por las siguientes condiciones.'

'Encuentra el límite de la sucesión {an} determinado por las siguientes condiciones.'

'Encuentra la suma de las siguientes series infinitas.'

'Encuentra la longitud de las siguientes curvas \ L \. (1) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right.'

'Encuentra el rango de números reales x que hacen que las siguientes secuencias converjan. Además, encuentra el valor límite en ese momento.'

'Serie geométrica infinita'

'Encuentra la suma de la serie infinita ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6).'

'Usando la fórmula de la sumatoria parcial, encuentra la condición de convergencia y la suma de la serie geométrica infinita a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots.'

'(1) La serie infinita \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ converge \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

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'Encuentra el límite de la secuencia determinada por las siguientes condiciones: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ .\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

''