Análisis - Límites y Continuidad

'(1) Encuentra \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\).\n(2) Sea x-a=h, entonces x=a+h, a medida que x \\longrightarrow a, h \\longrightarrow 0. Encuentra la siguiente expresión:\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'Encuentra los siguientes límites.'

''

'Encuentra los siguientes límites. Ten en cuenta que \ a \ en (3) es una constante.'

'Encuentra los siguientes límites, donde (a) es una constante.'

'Explique los métodos para demostrar ecuaciones e desigualdades.'

'Derivada y su cálculo: Explicar la definición para encontrar la derivada.'

'(20) Determinación de coeficientes de secuencias a partir de condiciones límite\nDetermina los coeficientes de la secuencia a partir de las condiciones límite.\nEjemplo: Para que la secuencia {an} converja, es necesario determinar previamente un cierto coeficiente a. Encuentra este coeficiente.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Función famosa y el límite asociado'

'Encuentra el límite siguiente.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Práctica: Sea la curva y=√(4-x) denotada como C. Para t (2≤t≤3), considerar los puntos (t,√(4-t)) en la curva C, el origen y el punto (t,0) para formar un triángulo con un área denotada como S(t). Dividir el intervalo [2,3] en n partes iguales, donde los extremos y puntos de división se representan en orden ascendente como t₀=2, t₁, t₂, ⋯, tₙ₋₁, tₙ=3, luego encontrar el valor límite de limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ)).'

'Aprendamos sobre integrales definidas y límites de sumas, y desigualdades.'

'Encuentra los siguientes límites: (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'Defina una secuencia {In} por la relación I0 = ∫₀¹ e^(-x) dx, In = (1/n!) ∫₀¹ x^n e^(-x) dx (n=1,2,3,......). Responda las siguientes preguntas:\n (1) Encuentre I0 e I1.\n (2) Expresar In-In-1 en términos de n para n≥2.\n (3) Encuentre el límite lim(n→∞) In.\n (4) Defina Sn=∑(k=0,n) 1/k!. Encuentre lim(n→∞) Sn.'

'Cuando la secuencia {an}(n=1,2,3,⋯⋯) satisface lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6, entonces lim_{n→∞}nan= \\ square.'

'Límite de función: Encuentra la función f(x) bajo las siguientes condiciones:\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

'Encuentra el límite de la secuencia definida por el término n con las siguientes expresiones:'

'Encuentra los siguientes límites:\n(1) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n(2) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n(2) Universidad de Tokyo Denki'

'Encuentra el límite siguiente.'

'Considere la secuencia {an(x)}, donde an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x (0≤x≤π).'

'Encuentra el límite de la sucesión (2)...expresiones irracionales, etc.'

''

'El límite de la función \ y=x e^{-x} \ es \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \.'

'Encuentra el límite relacionado con el área.'

'Encuentra el límite de la secuencia {an}.'

'Sea { an(x)} una secuencia definida por an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π).'

'¿Cuál es el límite de \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\)?'

'Explique la continuidad y la diferenciabilidad de las funciones.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los límites de la secuencia {an}'

'Si el coeficiente diferencial existe, \\( f(x) \\) es diferenciable en \ x=a \'

'Investiga el límite de la sucesión 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...'

'Encuentra los límites de la siguiente sucesión:\n\nPara la sucesión { n^k }, encuentra los límites cuando k es un entero positivo, un número racional positivo y un número irracional positivo, respectivamente.'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por el término n-ésimo.'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por las siguientes expresiones para el término n-ésimo.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el límite siguiente.'

'Encuentra el límite de \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \.'

'Encuentra el límite de la secuencia representado por el término n con las siguientes expresiones.'

'Por favor, resuelve el problema de encontrar el límite de: \\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\)'

''

'Encuentre el límite de la secuencia representada por las siguientes expresiones para el término n-ésimo.'

'Encuentra el límite siguiente.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el límite de las siguientes secuencias:'

'Encuentra los siguientes límites.'

'(2) Sea $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$, entonces $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$. Dado que $S_n$ representa la suma de las áreas de rectángulos, se tiene que $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$. Otra forma de resolverlo es $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$.'

'(2) Sea {an} una secuencia de enteros positivos con n dígitos. Encuentra el límite lim(n→∞) (log10an)/n. [Universidad de la Ciudad de Hiroshima]'

'Por favor verifique la convergencia de la secuencia dada {n^k} (k>0).'

'Límite desde un lado de una función'

'¿De qué manera los gráficos rojos pueden ayudar a solidificar las habilidades matemáticas?'

'Encuentra el límite de 62.'

'64\n\\[\n\\text { (1) } \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"Derivadas y funciones derivadas\nDerivadas\nD Tasa de cambio promedio ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD Derivada (Tasa de cambio)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'(4) Se permite utilizar $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$.'

'Explica la definición de continuidad de una función.'

'Al repetir, obtenemos que $a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$. Por lo tanto, $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$.'

'Encuentra el límite de las funciones representadas por integrales definidas'

''

'Cuando las secuencias {a_n} y {b_n} convergen, se cumple lo siguiente:'

"Encuentra los siguientes límites. Donde 'a' es una constante."

'Encuentra los límites de las siguientes secuencias: (1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}'

'Si la asíntota se representa como la recta y=ax+b, entonces el límite de f(x)/x a medida que x tiende a más o menos infinito es a, y el límite de f(x)-ax es b.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Demuestra las siguientes propiedades para secuencias convergentes {an},{bn} donde lim(n→∞)an=α y lim(n→∞)bn=β:\n1. Múltiplo constante lim(n→∞)k an=kα\n2. Suma - Diferencia lim(n→∞)(an+bn)=α+β, lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'Demuestra la siguiente ecuación. \\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'Demuestra que el límite de la sucesión {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } cuando r>1, lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞。'

'Matemáticas III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nPor lo tanto, a medida que \ n \\longrightarrow \\infty \, la convergencia a un valor no nulo para \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) ocurre cuando \ k-2=0 \ es decir, cuando \ k=2 \ y \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'Matemáticas III'

'Ejemplo 329 | Límites unilaterales y existencia de límites'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\h \\longrightarrow+0\ y \h \\longrightarrow-0\ tienen el mismo valor límite, y \\(f^{\\prime}(0)=1\\) lo que significa que \\(f(x)\\) es diferenciable en \x=0\.\nPor lo tanto, \\(f(x)\\) es continua en \x=0\.'

"Usando la Regla de L'Hôpital, encuentre los siguientes límites."

'Cuando las sucesiones {a_{n}}, {b_{n}} convergen, se cumple lo siguiente:'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Dado que $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$, la recta $y=0$ es una asíntota.'

'Ejemplo 19 | Fórmula Recursiva y Límite (3)'

'El término n-ésimo a_{n} es a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1}, Por lo tanto, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0, Por lo tanto, esta serie infinita diverge.'

'Considera la secuencia {an}, donde el término n-ésimo an es un entero positivo de n dígitos. Encuentra el límite lim (n→∞) (log10 an)/n.'

'Encuentra lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n y lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n.'

'Encuentre los siguientes límites.'

'Encuentra el límite de la secuencia {r^n}.'

'Demuestra que si una curva tiene a lo sumo 1 punto de inflexión, entonces la curva no tiene una cúspide.'

'Encuentra el siguiente límite. (a) lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'Ejercicio Integral'

'Demuestra que cuando el número de término n de la secuencia infinita {an} se acerca al infinito, si a_n se acerca a un valor constante α, entonces lim{n -> ∞} a_n=α, o a medida que n se acerca al infinito, a_n se acerca a α, y se denota α como el valor límite de la secuencia {an}. Demuestra esta afirmación.'

'Encuentra los límites de las secuencias {r^n / n^k}, {n^k / r^n}.'

'Si una función f(x) es continua para todos los valores de x en su dominio, ¿cómo se expresa?'

'Cuando x > 1, la desigualdad 0 < log x < x se cumple. Usando esta desigualdad, encuentre el límite lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\. Aquí, log x es el logaritmo natural con base e = 2.71828....'

'Encuentra los siguientes límites.'

''

'Encuentra el siguiente límite.'

'Investigar si las siguientes funciones son continuas y diferenciables en x = 0:'

'Encuentre el límite de (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}'

'Problema de ejercicio 22 Demostrar la fórmula de Wallis, la fórmula de Sterling'

'(1) Calcular $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$'

'Para un número real x, sea [x] el entero m que satisface m ≤ x < m+1. Encuentra el límite cuando n tiende a infinito de [10^(2n)π] / 10^(2n).'

'Encuentra los límites de las siguientes secuencias. (A) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (B) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (C) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'Explique sobre el límite desde un lado de una función.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites. Donde α es una constante.'

'Encuentra el límite dado.'

'Encuentra los valores de las constantes \ a, b \ que satisfacen la ecuación \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \.\nExpresa \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) en términos de \\( f^{\\prime}(a) \\).'

'(1) Encuentra los valores de las constantes a, b que satisfacen la ecuación \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+a x+b}{x-1}=3 \. (2) Expresa \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a-3 h)-f(a)}{h} \\) usando \\( f^{\\prime}(a) \\).'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Practica encontrar los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Demuestra la desigualdad de la suma de la serie y encuentra el límite (1) Para números naturales n mayores o iguales a 2, demuestra la siguiente desigualdad.'

'Para el término general an y la suma Sn desde el primer término hasta el término n:'

'Encuentra el límite siguiente.'

'(4) El límite por la derecha es 0, por la izquierda es 1; el límite no existe'

'Para un número real x, sea [x] el entero m que satisface m≤x<m+1. Encuentra el valor de lim n→∞ [10^2nπ]/10^2n a medida que n tiende a infinito.'

'(3) (A) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ Por lo tanto, \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ por lo tanto \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'Encuentra \\( f(x) \\) cuando la función \\( f(x) \\) satisface \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

'Encuentra los siguientes límites. Donde a es una constante.'

'Encuentra el valor de \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\).'

'Encuentra el siguiente límite. $\\ lim _ {n \\ to \\ infty} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left(e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac {3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right)$'

'Encuentra el límite de \ S_{n} \ a medida que \ n \ tiende a infinito.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones. Si es necesario, puedes utilizar \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ en (2).'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el límite siguiente.'

'Por lo tanto, $\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, $\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$ Restando ambas ecuaciones obtenemos $a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, eliminando $a_{n+1}$. Así, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

''

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites. (2) donde \ p>0 \.\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'Encuentra el límite.'

''

'Determina el valor de la constante a para que la ecuación $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$ se cumpla.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el límite siguiente (1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'Resuelve el siguiente problema:'

'(1) Sea \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) una sucesión tal que \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\), entonces\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ es } \'

'(1) Calcular $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$'

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'Explique la relación entre diferenciabilidad y continuidad.'

'Investigar si la función es continua y diferenciable en x=0. (2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'Determina los valores de las constantes a y b para que la ecuación se cumpla. \\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'Determine los valores de las constantes a y b para que se cumplan las siguientes ecuaciones.'

'Explique los conceptos de convergencia y divergencia en límites, y describa las propiedades básicas de cómo se comportan las sucesiones.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra la función f(x) cuando satisface lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3.'

'Límite de una función'

'Límites de las funciones trigonométricas\nCuando la unidad del ángulo está en radianes \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'(1) El límite existe tanto desde el lado derecho como desde el lado izquierdo;'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por el término n.'

'Explica el significado de x aproximándose a a+0 y x aproximándose a a-0 en la función f(x), y si el límite de la función existe cuando estos son iguales o diferentes.'

'Explica la relación entre las sucesiones {a_n} y {b_n} cuando convergen y sus límites a medida que n tiende a infinito son a_n = α, b_n = β.'

"Usando la regla de L'Hopital, encuentra los siguientes límites."

'Encuentra el siguiente límite. (4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'Evaluar el siguiente límite.'

'Sea \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) la secuencia definida por \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\). (1) Encuentra el límite \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) de esta secuencia. (2) Sea \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) denotado por \\( A(x) \\), traza el gráfico de la función \\( y=A(x) \\).'

'Para una función continua en un intervalo cerrado, se cumple el teorema del valor intermedio. Es decir, para una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], para cualquier valor k entre f(a) y f(b), existe un c tal que f(c) = k. Cuando esta condición no se cumple, considere la función f(x) = sin(1/x) asumida continua en el intervalo (0, 1], y explique el escenario donde no hay un c tal que f(c) = k para cierto k.'

''

'Suponiendo que en el futuro cada año, un tercio de las personas que viven fuera de Tokio se trasladan a la ciudad, y un tercio de las personas que viven en la ciudad se mudan fuera. Sea la población de personas fuera de la ciudad en el año n an y dentro de la ciudad bn. Encuentra lim n→∞ an/bn. Se asume que la población total tanto dentro como fuera de la ciudad permanece constante independientemente del año.'

'Si se define S como el siguiente límite, encuentra el valor de S.'

'102 a=4, b=-1, límite -\\frac{15}{8}'

'Dadas las siguientes condiciones, encuentra las coordenadas y la trayectoria de velocidad del punto Q. Cuando el punto P se mueve a lo largo del eje x desde el origen (0,0) hasta (π,0) a una velocidad de π por segundo, encuentra la velocidad v(t) del punto Q después de t segundos.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Ejercicios de límites del capítulo 4'

'Continuidad de una función'

'Demuestra que para una secuencia infinita {an} (n=1,2,⋯⋯), el límite cuando n tiende a infinito de 1/n^k es 0.'

'Investigar el límite de la sucesión \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ dada por \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Matemáticas \nAl simplificar el denominador, obtenemos (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) por lo tanto 2 c^{2}=x+1 entonces c^{2}=\\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 por lo tanto c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \n\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \n\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por el término n-ésimo.'

'Para que el límite \\(\\lim_ {x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\) tenga un valor finito, determine los valores de las constantes \a, \\quad b\ y encuentre el valor del límite.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'(2) Encuentra el valor de la constante \ a \ cuando \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+a n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)=5 \\).'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por el término n-ésimo.'

'Ejercicio Integral'

'Encuentra \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Encuentra los siguientes límites.\n\n(1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) Universidad de Yamaguchi, (2) Instituto de Tecnología de Shibaura〕'

'Sea la secuencia \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) definida como \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) .\n(1) Encuentra el límite de esta secuencia, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) .\n(2) Sea \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) denotada como \\( A(x) \\). Grafica la función \\( y=A(x) \\) .\n〔Universidad Meijo〕'

'Encuentra el valor de la constante \ a \ tal que la ecuación \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) se cumpla.'

'Investigar el límite de la secuencia 1/2, 2/3, 3/4, 4/5.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Encuentra los siguientes límites. (1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'Límite de una secuencia'

'Encuentra el límite \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n}.'

'Las siguientes proposiciones sobre límites pueden parecer ambiguas, pero en realidad son todas falsas. Descubramos cuándo no se cumplen examinando ejemplos contrarios.'

'(1) Cuando \ x \\rightarrow \\infty \, \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ Divida el numerador y el denominador por \ 2^{x} \.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'(2) \ \\quad( \ Y la expresión \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'Coeficiente de diferenciación'

'(2) El límite desde la derecha es \ \\infty \, desde la izquierda es \ -\\infty \; el límite no existe'

'Encuentra los valores de los 3 límites. donde $a$ es una constante.\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'Encuentra los límites de las siguientes secuencias. (A) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, (B) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots'

'Practica encontrar el límite de las siguientes secuencias.'

'Encuentra los siguientes límites. Ten en cuenta que a y b son constantes. (1) Universidad de Otaru, (2) Universidad de Tokio Denki'

'(2) Calcular \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \.'

'Encuentre el límite de $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$.'

'Para la sucesión dada {a_n}, encuentre el límite \\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'Calcula el siguiente valor límite de S.'

'(1) Para la secuencia {an} que satisface la relación siguiente, encuentre lim(n→∞)an y lim(n→∞)nan. 30(a): lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Demuestra que la función f(x) no es diferenciable en x=π/2.'

'Resuelve el siguiente problema:'

'Encuentra el límite de la ecuación \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra el límite.'

'(1) Continuo pero no diferenciable\n(2) Continuo y diferenciable'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { y así } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { es por ello que } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { así } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'Investigar los límites para x que se acerca a 1-0, x que se acerca a 1+0 y x que se acerca a 1, respectivamente.'

'Ejemplo 16 | Límites de Funciones (2)'

'Encuentra el límite. \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'Ejemplo (41) Límites y Derivadas'

'En cuanto al límite de la secuencia \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \, lo siguiente es cierto.'

'| r | <1, cuando r tiende a infinito lim_{n -> ∞} r^{2 n}=0, lim_{n -> ∞} r^{2 n+1}=0\nPor lo tanto lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n})=0\nCuando r = 1, r^{2 n}=r^{2 n+1}=1\nPor lo tanto lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = 1 / (2 +1) = 1/3\nCuando r =-1, r^{2 n}=(-1)^{2 n}=((-1)^{2})^{n}=1^{n}=1, r^{2 n+1}=r^{2 n}・r=1・(-1)=-1\nPor lo tanto lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = -1 / (2 + 1) = -1/3\n|r| >1, <left| (1/r)<right| <1, por lo tanto lim_{n -> ∞} ((1/r)^{2 n}) = 0\nPor lo tanto lim_{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = lim_{n -> ∞} r / (2 ((1/r)^{2 n}) + 1) = r / (2 ・ 0 + 1) = r\nCapítulo 2 <square>\nPR <left>{(-1)^{n}<right> oscila, pero, <left>{(-1)^{2 n}<right> converge.'

'Ejemplo [2] $\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'Encuentra el límite. Sin usar la fórmula anterior (1). (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'Cómo encontrar el límite de una función'

'Encuentra los siguientes límites. [(1) Universidad de Kioto, (2) Instituto de Tecnología de Tokio] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Utilizando la definición de \ e \ para calcular límites\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\), encuentre los siguientes límites:\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'Encuentra los siguientes límites. (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'Determine el número de página relacionado con los límites de las funciones trigonométricas de la tabla dada.'

'Encuentra el siguiente límite. (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[Instituto de Tecnología de Osaka]'

'\ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ así que \\[ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]'

'Responde a las siguientes preguntas.'

'(1) Dado que la base es \\\sqrt{2}>1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n(2) Dado que la base es \0<\\frac{2}{3}<1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'Encuentra el límite lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1)) cuando r>-1.'

'Encuentra el siguiente límite:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'Ejemplo 15 | Límite de una función (1)'

'Máximo y mínimo de una función\nPara una función continua f(x) en un intervalo [a, b], se determinan los valores máximos y mínimos por\n[1] Los valores máximos y mínimos de f(x) en a ≤ x ≤ b\n[2] Comparando los valores en los extremos del intervalo, f(a) y f(b)\nNota: Para encontrar los valores máximos y mínimos de f(x) en un intervalo (a, b), es necesario comparar los valores extremos de f(x) y los valores de lim x→a+0 f(x) y lim x→b-0 f(x). Además, en el caso del intervalo (a, ∞), se requiere una comparación con lim x→∞ f(x).\nCabe señalar que en intervalos abiertos, los valores máximos y mínimos pueden no existir siempre.'

'Examine si las siguientes funciones son continuas y diferenciables en x=0:\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'Encuentre el límite de las siguientes secuencias. 17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'Demuestra lo siguiente usando el teorema binomial:\n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'¿Cuáles son los puntos clave en la transformación de expresiones en límites?'

'Usando el teorema del valor medio, encuentra los siguientes límites.'

'Definición del límite de una sucesión'

'Resolver problemas relacionados con el límite de secuencias (usando desigualdades).'

'Capítulo 2 Límite 69 Solución Alternativa'

'Investigar el límite en los siguientes casos.'

"Usando la regla de L'Hopital, encuentra el límite siguiente."

'Encuentra el límite de la secuencia representada por el término n-ésimo.\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'Límite de una secuencia'

"Demostración del teorema del valor medio\n\nLa interpretación geométrica del teorema del valor medio es que para una gráfica de una función continua y diferenciable, cuando se toman dos puntos A y B en la curva, se puede trazar una tangente paralela a la línea AB en un cierto punto de la curva entre A y B. Aunque esto parece claro intuitivamente desde la figura, se demuestra rigurosamente utilizando el siguiente Teorema de Rolle.\n(1) Teorema de Rolle\nSi una función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y f(a) = f(b), entonces existe un número real c tal que f'(c) = 0 y a < c < b.\n\nDemostración [1] Caso donde f(a) = f(b) = 0\n(A) Si f(x) = 0 siempre en el intervalo [a, b], entonces f'(x) = 0 siempre, y el teorema es verdadero.\n(1) Si existen valores de x donde f(x) > 0, entonces, dado que f(x) es continua en el intervalo [a, b], alcanza un máximo en un punto x = c en este intervalo. Dado que f(c) > 0 y f(a) = f(b) = 0, c no es ni a ni b. Por lo tanto, a < c < b.\nDado que f(c) es un máximo, cuando |Δx| es suficientemente pequeño, f(c + Δx) ≤ f(c), por lo tanto, Δy = f(c + Δx) - f(c) ≤ 0. Por lo tanto, si Δx > 0, entonces Δy/Δx ≤ 0, lo que implica que a medida que Δx tiende a +0, Δy/Δx ≤ 0. Si Δx < 0, entonces Δy/Δx ≥ 0. Esto da como resultado que a medida que Δx tiende a +0, -0 o 0, Δy/Δx = 0. Por lo tanto, f(x) es constante en el intervalo, es decir, f'(c) = 0.\n(B) Si existen valores de x donde f(x) < 0 y c es el valor de x donde f(x) alcanza el mínimo, entonces un razonamiento similar al de (1) muestra que a < c < b y f'(c) = 0.\n[2] En general, si f(a) = f(b), defina g(x) = f(x) - f(a). Dado que f(a) = f(b), se sigue que g(a) = g(b) = 0. De manera similar a en el caso [1], existe un número real c tal que g'(c) = 0 y a < c < b. Dado que f'(c) = g'(c) = 0, el Teorema de Rolle es verdadero."

'Ejemplo 15 | Principio de las tijeras (2) (2) Sea {a_{n}} una secuencia donde el término enésimo a_{n} es un entero positivo de n dígitos. Encuentra el límite lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n.'

'Capítulo 6 Aplicación de la Integral'

'Determinar los valores de las constantes a, b para que la ecuación se cumpla.'

'Ejemplo 17 Demostrar que lim_{n→∞} (r^n / n^2) = ∞ para la secuencia {r^n / n^k}, {n^k / r^n} con r > 1.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Explica qué se entiende por límite desde un lado de una función, y representa simbólicamente el límite derecho de f(x) a medida que x se acerca a desde el rango x > a.'

'Demuestre que (1), (2) se cumplen.'

'(1) Cuando la secuencia {an} (n=1,2,3,⋯⋯) satisface lim_{n→∞}(2n-1)an=1, encuentre lim_{n→∞}an y 13lim_{n→∞}nan.\n(2) Encuentre los valores de las constantes a, b cuando lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5.'

'Aplicaciones del cálculo diferencial'

'Encuentra el límite sin usar la fórmula dada (1).'

'Encuentra el siguiente límite:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'Sea f(x)=-log x. Para un número real a, encuentra la cantidad de rectas tangentes de la curva y=f(x) que pasa por el punto (a, 0). Puedes usar lim_{x→+0} x log x=0.'

'Ejemplo 35 | Problema de texto sobre el límite de funciones trigonométricas'

'Este es un problema de encontrar el límite de una función. Por favor, determine el valor límite de la función f(x) a medida que x se acerca a a. En particular, considere el límite por la derecha \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) y el límite por la izquierda \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x).'

'Encuentra los siguientes límites.'

''

'Encuentre \ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \.'

'Examine el límite de las asíntotas paralelas al eje y (x=a).'

'Encuentra el siguiente límite:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'Resolver problemas relacionados con límites de secuencias (polinomios y fracciones).'

'Encuentra el límite.\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) Encuentra \\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\). \n(2) Encuentra \ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\'

'Encuentra los siguientes límites.'

'(3) Sobre los números reales'

'Resumamos los puntos clave de los métodos que hemos aprendido hasta ahora para calcular los límites de las sucesiones. Formas de encontrar el límite de una sucesión'

'Encuentra el límite.'

'Encuentra el siguiente límite.'

"Si f(x) es una función diferenciable en x=a, entonces los siguientes valores se pueden expresar usando a, f(a), f'(a), etc.:\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'Encuentra los siguientes límites. (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'Sea f(x) una función diferenciable para todos los números reales x que satisface las siguientes dos condiciones.'

'Encuentra el límite siguiente'

'Encuentra el límite de las siguientes secuencias'

'(1) Encuentre los siguientes límites: (a) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (b) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (c) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) Para $x>1$, la desigualdad $0<\\log x<x$ se cumple. Utilizando esta desigualdad, encuentre el límite $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$. donde $\\log x$ es el logaritmo con base $e=2.71828 ....$.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Para una serie de términos positivos $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$, si $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$, entonces si $k<1$ la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ converge, y si $k>1$ la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ diverge.'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Resolver problemas relacionados con el límite de expresiones irracionales.'

"Usando la regla de L'Hopital, encuentra los siguientes límites."

'Condiciones para la Existencia del Límite'

'Encuentra los siguientes límites.'

'Encuentra los siguientes límites:'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por las siguientes expresiones.'

'Encuentra el límite de las siguientes secuencias'

'Encuentra los siguientes límites.'

''

'Encuentre los siguientes límites.'

'(2) Calcular \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'Dentro de un círculo C con radio 1 centrado en O, hay un punto único A que no está en el centro. Permita que el punto de intersección de la semirrecta OA y C sea P0, y permita que P0 sea el punto de partida para dividir la circunferencia de C en n partes iguales en sentido antihorario en orden como P0, P1, P2, ..., Pn=P0. Defina la distancia entre A y Pk como APk. Encuentre el límite cuando n tiende a infinito de 1/n * Σ(k=1 hasta n)(APk^2)^2. Dado que OA=a. [Universidad de Gunma]'

'Encuentra el límite de la secuencia {r^n / n^k}.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Sea {an} una serie infinita. Un valor convergente α converge (no converge) a divergencia infinita \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ o menos infinito \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \, oscila. Cuando el límite de la serie es \ \\infty \ o \ -\\infty \, no se le llama valor límite.'

'(3) Encuentra \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\).'

'Cuando r es un número real, encuentra el límite lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n)).'

'Encuentra el límite de la secuencia { r^n }.'

''

'(1) Demuestra $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$. (2) Encuentra $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$.'

'Encuentra el siguiente límite.'

'Encuentra el siguiente límite. (3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'Encuentra el límite de la expresión para el término n-ésimo.'

'Considerando las secuencias {an}, {bn}, ¿es cierta la siguiente afirmación? Demuéstralo si es cierto, o proporciona un contraejemplo si es falso. Donde α, β son constantes.'

'Si definimos a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx, entonces lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = .'

"Sea a una constante, y la función f(x) sea diferenciable en x=a. Expresa los siguientes límites usando a y f'(a)."

'(3) A medida que \ x \\longrightarrow \\infty \, \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \, por lo tanto \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'Encuentra el siguiente límite de PR.'

'Encuentra los siguientes límites.\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'Encuentra el siguiente límite: \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'Encuentra el límite de la función trigonométrica sin(x)/x a medida que x se acerca a 0.'

'Cuando r>-1, encuentre el límite lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}. (2) Cuando r es un número real, encuentre el límite lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}. PISTA (2) Cuando r=-1, r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1. (1) Cuando |r|<1, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0, por lo tanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0. Cuando r=1, r^{n}=r^{n+1}=1, por lo tanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}. Cuando r>1, \\left|\\frac{1}{r}\\right|<1, por lo que lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0, por lo tanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'Encuentra el límite de la secuencia representada por las siguientes expresiones:'

'Límite de la secuencia {r ^ n}'

'Encuentra el límite del ejemplo básico dado 35 (3).'

'Capítulo 2\nLímite\nEX Secuencia \ \\{a_{n}\\} \ satisface \\( a_{n}>0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, encuentra \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'Encuentra el siguiente límite. \ \\lim _{x \\rightarrow -0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'Por favor, proporcione una prueba utilizando el método de descenso infinito.'