Análisis - Ecuaciones Diferenciales Básicas

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

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'Demostración de las Propiedades de la Integral Definida (A), (B), (C)'

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'La coordenada x de la intersección de las dos parábolas es la solución de la ecuación x^{2}+x+2=x^{2}-7 x+10. Por lo tanto, x=1'

'Demuestra la proposición sobre condición y conjunto.'

'Demuestra que la ecuación diferencial se puede transformar en la siguiente forma y encuentra la solución. Al establecer y = uv, obtenemos du/dx * v + u * dv/dx - uv/x = x'

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'Demuestra el siguiente teorema: Para todos los números naturales n, si existen las funciones derivadas n-ésimas f^{(n)}(x) y g^{(n)}(x) de f(x) y g(x), entonces la derivada n-ésima del producto f(x) g(x) se puede expresar como se indica en el teorema de Leibniz.'

'Prueba de desigualdad usando el teorema del valor medio para integrales'

"Segunda derivada y extremos: Cuando $f'(a)=0$, si $f''(a)$ existe, se puede utilizar para determinar los extremos."

'Demuestra usando inducción matemática que la ecuación (1) es válida para todos los números naturales n.'

'La derivada en x=a de la función y=f(x) se define de la siguiente manera.'

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'Sustitución e Integración por Partes para Integrales Indefinidas'

'Demostración de que (media aritmética) ≥ (media geométrica) por medio de figuras'

'Integral definida y volumen'

'Hay un problema con la demostración de la integral definida de Iₙ en matemáticas (1).'

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'Encuentra el área $S$ encerrada por la curva \\left\\{\egin{\overlineray}{l} x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t \\end{\overlineray} (0 \\leq t \\leq \\pi)\\right., el eje $x$ y la recta $x=\\pi$.'

'Utilice la integración por partes para encontrar la siguiente integral.'

"Encuentra f(x) cuando la función diferenciable f(x) (x>0) satisface la ecuación f(x)=x log x + ∫1^e t f'(t) dt."

'Suponiendo que $\\frac{dy}{dx}=-2$, a partir de (*) obtenemos $-\\frac{8x+y}{x-3y}=-2$, por lo tanto $6x+7y=0$. Al sustituir $x=\\frac{e^{t}+3e^{-t}}{2}$ y $y=e^{t}-2e^{-t}$ en (6) y simplificar, obtenemos $2e^{t}-e^{-t}=0$. Por lo tanto, $e^{-t}(2e^{2t}-1)=0$, y como $e^{-t}>0$, tenemos $e^{2t}=\\frac{1}{2}$, lo que da como resultado $2t=-\\log 2$. Por lo tanto, $t=-\\frac{1}{2}\\log 2$.'

'(1) En el importante ejemplo 220, sea Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx (donde n es un entero no negativo), demostrar que Iₙ=Jₙ cuando n es mayor o igual a 0.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Teorema del valor medio'

'Encuentra la función f(x) que satisface la siguiente ecuación: (3) f(x)=1/2 x+∫[0, x](t-x) sin t d t'

'Por favor explique integrales definidas y límites de sumas.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Aplicaciones de la integración'

'Encuentra la integral definida: \\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x\'

"Resolver la siguiente ecuación diferencial y encontrar el valor máximo. Dado que f'(x)=0, entonces x / sqrt(4-x²)=1. Por lo tanto, sqrt(4-x²)=x. Al elevar ambos lados al cuadrado se obtiene 4-x²=x². Así que x²=2, por lo tanto x=±sqrt(2). Entre estos, x>0, por lo que x=sqrt(2). A continuación, f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0, por lo que x=sqrt(2) tiene un valor máximo. Por lo tanto, el valor máximo es f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1)."