Funciones Avanzadas - Funciones Trigonométricas y sus Aplicaciones

'Ejercicio 8 III (2)'

'\ \\sin \\theta=x \ y \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ en esta ecuación \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ o \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ La condición requerida es que la ecuación cuadrática \\( (*) \\) tenga al menos una solución de número real en el rango \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \. Deje \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), y deje que el discriminante de \\( f(x)=0 \\) sea \ D \. 1] La condición para que ambas soluciones estén en el rango \ -1<x<1 \ es que la gráfica de \\( y=f(x) \\) se intersecte (incluyendo el caso de tangencia) con la porción del eje \ x \ entre \ -1<x<1 \, y simultáneamente se cumplan las siguientes condiciones (i)---(iv). (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ eje \ <1 \'

'Condiciones para la existencia de soluciones a ecuaciones trigonométricas'

'Encuentra el periodo de y = \\sin k \\theta.'

'VERIFICAR 39 ⇒ Página 187 en este libro. (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones. Tenga en cuenta que el rango de θ es 0≤θ≤π. (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'Expresa y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 en términos de cosθ.'

'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ Por lo tanto, \ 1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta \ y por ende, \\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta\. \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'Sea f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x y g(x)=a x(x-2) (donde a>1).'

'(1) Encuentra todos los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $\\sin 3 x=-\\sin x$.'

'Encuentra el número de soluciones reales de f(x)=x^{3}-3 x+1.'

'Ejemplo de ejercicio 10 Funciones trigonométricas y polinomios de Chebyshev'

'106 4 sin^4 α'

'Suponga que la función f satisface f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} para los números reales x, y. Demuestre que la función f satisface f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} para n números reales x1, x2, ..., xn.'

'Utilizando la medida en radianes, convierta los siguientes ángulos a radianes.'

'Encuentra el periodo de la función y = tan kθ.'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ conduce a cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 por lo tanto cos θ = ±1/√5'

'Calcular las funciones trigonométricas basadas en las siguientes condiciones. (1) π<θ<2π, por tanto sin θ<0, así que sin^2 θ+cos^2 θ=1, entonces sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 también, tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) De sin3x = -sinx, tenemos 3sinx - 4sin^3x = -sinx, lo que simplifica a 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0. Por lo tanto, sinx = 0, ±1. Dado que 0 ≤ x ≤ 2π, obtenemos x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.'

'Pregunta 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{¿Qué}\'

'Usando radianes, convierta los siguientes radianes a grados.'

'Radiales y Funciones Trigonométricas\nEncuentra la longitud del arco y el área de un sector con radio r, y ángulo central θ radianes.\nLongitud del arco: rθ\nÁrea: 12r^{2}θ'

'Demuestra las propiedades de la integral definida de funciones impares y pares:'

'Ejemplo 47 | Gráficos de Funciones Trigonométricas (1)\\nDibuja los gráficos de las siguientes funciones.\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'

'Ejemplo 98 | Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas (4)'

'Usando la fórmula de adición, encuentra los siguientes valores.'

'Define las funciones trigonométricas sin θ, cos θ, tan θ de un ángulo general θ en el plano de coordenadas.'

'Ejemplo de ejercicio 3 10 Funciones trigonométricas y polinomios de Chebyshev (continuación)'

'Ejemplo 55 | Fórmula de Adición de Tangentes de Tres Ángulos'

'Resuelve problemas que involucren ecuaciones trigonométricas, desigualdades trigonométricas y encontrar valores máximos y mínimos de funciones trigonométricas.'

'Ejemplo 54 | Valores de Funciones Trigonométricas (Teorema de la Adición)'

'Se me ocurrió la idea de usar coordenadas para representar formas en un plano.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ cuando 0≤θ<2π.'

'¿Qué es el movimiento circular uniforme?'

'Ejemplo de ejercicio 10 Funciones trigonométricas y polinomios de Chebyshev (continuación) Para encontrar el polinomio de grado 5 de cos 5θ'

'Ejemplo 97 | Ecuación trigonométrica (utilizando fórmulas de suma y producto)'

'Demuestra la siguiente identidad trigonométrica:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'Consideré usar un número infinito de funciones trigonométricas para representar una función periódica.'

'(1) Para cualquier ángulo θ, trazar la región en el plano xy que consiste en puntos (x, y) que satisfacen -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1, y determinar su área. (2) Para cualquier ángulos α, β, trazar la región en el plano xy que consiste en puntos (x, y) que satisfacen -1≤x²cosα+ysinβ≤1, y determinar su área. [Universidad Hitotsubashi]'

'Investigue el máximo y el mínimo de las funciones trigonométricas en la ecuación dada, y resuelva los problemas incluyendo aplicaciones a la geometría.'

'Funciones trigonométricas y polinomios de Chebyshev'

'(3) A partir de $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$, tenemos $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$, por lo tanto $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$. Sustituyendo en la ecuación $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2(\\cos ^{2} \\theta)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$. De $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$, obtenemos $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$, al resolver obtenemos $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$. Dado que $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$, obtenemos $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$ (1), sustituyendo obtenemos $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$.'

None

'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'Ejemplo de ejercicio 10 Funciones trigonométricas y polinomios de Chebyshev (continuación)'

'Ejemplo 50 => Página 180\n(1) es el gráfico de y=cosθ trasladado simétricamente sobre el eje θ. El gráfico se muestra a la derecha. Además, el periodo es 2π.'

'De la condición, tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'

'Sea α y β los ángulos formados entre las dos rectas y la dirección positiva del eje x respectivamente. El ángulo agudo θ que buscamos es cuando tanα=√3/2 y tanβ=-3√3. Por lo tanto, tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3. Dado que 0<θ<π/2, entonces θ=π/3'

'124\n—Matemáticas II\n(2) Lado izquierdo = \\ frac { \\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}= \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2 \\ cos \\ theta}{ \\ cos ^{2} \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta} Por lo tanto, \\ frac { \\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+ \\ frac { \\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}= \\ frac {2}{ \\ cos \\ theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nPor lo tanto, el período fundamental es 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nPor lo tanto, el período fundamental es \\pi'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Pregunta 145 Condiciones para que una función tenga un valor extremo en un rango'

'Dada la ecuación \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] Por lo tanto, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) lo cual implica \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ Considerando \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \, a partir de \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ obtenemos \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ y a partir de \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ obtenemos \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] Por lo tanto, las soluciones son \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'Una desigualdad que involucra funciones trigonométricas se llama desigualdad trigonométrica, y resolver una desigualdad trigonométrica implica encontrar el rango de ángulos (solución) que satisfacen la desigualdad.'

'El gráfico es una contracción vertical a la mitad de la función y=tanθ. El gráfico a la derecha es la versión contraída. El periodo es π y la asíntota es la línea θ=π/2+nπ (n es un entero).'

'Relaciones de funciones trigonométricas'

'Utilizando las fórmulas de suma y doble ángulo, demuestra las siguientes ecuaciones (fórmula del triple ángulo).'

'Encuentra los valores de θ que satisfacen las siguientes ecuaciones para 0≤θ<2π:'

'Resolver las siguientes ecuaciones e desigualdades para \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\.'

'Explique las definiciones de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.'

'Demuestra las siguientes relaciones trigonométricas basadas en la definición de -sin(θ): (i) tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) (ii) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (iii) 1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)'

'Considere la función y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π).'

'Cómo memorizar la fórmula de adición, doble ángulo y fórmulas de medio ángulo'

'¡Domina las ecuaciones trigonométricas y conquista el ejemplo 123!'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [Cuarto cuadrante \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [Tercer cuadrante]'

'Ejemplo 5: Máximo y mínimo práctico de funciones trigonométricas'

'Dado que α es un ángulo en el segundo cuadrante con sinα=3/5, y β es un ángulo en el tercer cuadrante con cosβ=-4/5, encuentra los valores de sin(α-β) y cos(α-β).'

'Demuestra la ecuación \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\.'

'¡Domina el principio de la adición y conquista el ejemplo 130!'

'\2\\sin x=t\ y si lo sustituimos, entonces \0 \\leq x<2 \\pi\, así que \-1 \\leq t \\leq 1\. Además, a partir de la ecuación (1) tenemos\\n\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\. Presta atención al rango de \t\. Convierte la ecuación cuadrática a su forma estándar. Por lo tanto, \y\ alcanza el valor máximo de 2 cuando \t=1\ y el valor mínimo de \-\\frac{9}{8}\ cuando \t=-\\frac{1}{4}\.'

'Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones para 0≤θ<2π. (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'Ecuaciones que son verdaderas para las funciones trigonométricas, donde n es un entero.'

'Encuentra el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones.'

'Máximo y mínimo de funciones trigonométricas (usando t=sinθ+cosθ)'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones para 0 ≤ θ < 2π.'

'Encuentra el valor máximo y mínimo de las funciones y sus valores de θ correspondientes. (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'Gráfica de Funciones Trigonométricas (3) ... Escalado y Traslación'

'Encuentra el valor máximo, valor mínimo y los valores correspondientes de θ de la función y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2).'

'Ecuaciones e desigualdades que contienen funciones trigonométricas (sustitución)'

'Explique la extensión de las razones trigonométricas a las funciones trigonométricas, y proporcione las definiciones del senoθ, cosenoθ, tangenteθ para un ángulo general θ.'

'Encuentra el ángulo formado por dos líneas usando la fórmula de adición de tangente (tan)'

'La figura de arriba muestra las gráficas de (1) y=a sin bθ y (2) y=a cos bθ. Encuentra los valores de las constantes a y b. Ten en cuenta que a>0, b>0.'

'Relaciones mutuas de funciones trigonométricas'

'Fórmulas de doble y medio ángulo junto con valores trigonométricos'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π), y los valores correspondientes de θ.'

'Encuentra los valores de theta que satisfacen las siguientes ecuaciones.'

'Encuentre los valores de θ que satisfacen las siguientes ecuaciones para 0 ≤ θ < 2π.'

'Ecuaciones e inecuaciones que involucran funciones trigonométricas (usando composición)'

'Escalando el gráfico de y = cos^2 θ en un factor de 2 en la dirección del eje y basado en la línea y = 1, obtenemos un gráfico que se obtiene trasladando el gráfico de y = cos^2 θ hacia abajo por 1 unidad en el eje y, luego escalando verticalmente por un factor de 2 en relación con el eje θ, y luego trasladándolo nuevamente hacia abajo por 1 unidad en el eje y, por lo tanto, la ecuación es y = a(cos^2 θ - b) + 1. Encuentra la opción que coincide con el gráfico.'

'Utilizando las tres fórmulas de adición con β=α: (1) Calcular lo siguiente usando las fórmulas: (a) sin 2α (b) Proporcionar otra expresión para cos 2α: cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) Reemplazar todos los valores con θ/2 y calcular: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) y sus valores correspondientes de θ. Además, grafica la función.'

'Máximo y mínimo de funciones trigonométricas (utilizando composición)'

'Ecuación que involucra funciones trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'El tamaño de los ángulos de las funciones trigonométricas aprendidas hasta ahora, como \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \, se representan usando unidades de grados como \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \. Esto se conoce como el sistema de grados donde 1 grado es igual a \ \\frac{1}{90} \ de un ángulo recto.'

'En trigonometría, hay fórmulas para transformar el producto de seno y coseno en suma y diferencia, y viceversa.'

'Sistema de desigualdades que involucra funciones trigonométricas'

'Deriva la expresión después de dividir 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 por cos² θ, y encuentra los valores máximo y mínimo en el rango 0 ≤ θ ≤ π/3.'

'Para la función f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π)'

'Cuando x > 1, dado que 4(x²-1) > 0 y 1/(x²-1) > 0, podemos concluir la siguiente desigualdad basada en la media aritmética siendo mayor o igual que la media geométrica. 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8. Por lo tanto, 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, con igualdad cuando 4(x²-1)=1/(x²-1). En este caso, (x²-1)²=1/4. Dado que x > 1, x²-1=1/2, lo que significa que x²=3/2, por lo tanto x=√(3/2)=√6/2. Por lo tanto, el valor mínimo de 4x² + 1/((x+1)(x-1)) es 8, con x igual a 2√(3/2) = √(6)/2.'

'Resuelve las siguientes desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'

'Ejemplo básico 124 Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ θ < 2π: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'Demuestra las siguientes ecuaciones.'

'Usando la fórmula de adición, encuentra los siguientes valores.'

'Si la función $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ tiene un máximo de 0 en $x=1$ y la curva $y=f(x)$ tiene la forma aproximada de la figura a la derecha,'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'Gráfico de funciones trigonométricas y traslación/escala'

'Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.'

'Demuestra la siguiente ecuación.'

'Funciones trigonométricas a tu alrededor'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y los valores correspondientes de θ.'

'Encuentra los siguientes valores.'

'Sistema de desigualdades que involucra funciones trigonométricas'

'¿Cuál de las siguientes gráficas no coincide con el gráfico de !ν dentro del rango de 0 a π? Las opciones de respuesta son: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'

'Transformación de expresiones trigonométricas'

'Máximo y mínimo de funciones trigonométricas (reduciendo a funciones cuadráticas)'

'Conceptos básicos de radianes, longitud del arco y área del sector'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y=3sinθ+4cosθ.'

'Gráfica de Función Trigonométrica (1) - Acercar/Alejar'

'Cuando 0 ≤ θ ≤ π y sinθ+cosθ=√3/2, encuentre el valor de la siguiente expresión.'

'Desigualdad que involucra funciones trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'Demuestra las fórmulas del ángulo doble.'

'Calcula el área encerrada por la curva y=|x^2-1| y la recta y=3.'

'Demuestra que \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \.'

'Se dice que sentir que estudiar es divertido es importante, ¿pero por qué esta mentalidad afecta la memoria?'

'Explique la diferencia entre cambio físico y cambio químico.'

'Encuentra el valor de sin(45 grados).'

'(1) En el ejemplo anterior, calcula la magnitud de la aceleración del punto P.'

'Encuentra la ecuación polar de la curva \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\). Además, esboza la forma general de esta curva, considerando el origen \ \\mathrm{O} \ como el polo y la parte positiva del eje \ x \ como la línea inicial.'

'Por favor describe las características del gráfico de y=√(ax) (donde a ≠ 0).'

'Puntos a considerar al esbozar el contorno de un gráfico de función'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'Dado que a>0, sea f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) la función. Encuentre el rango de valores de a cuando el gráfico de la función y=f(x) y su función inversa y=f^{-1}(x) comparten dos puntos distintos.'

'Puntos clave en el método de integración por sustitución'

'Encuentra la ecuación de la curva C2 obtenida al rotar la curva C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 en sentido antihorario por π/6 radianes alrededor del origen.'

'Encuentra el cambio en el valor de la función, los valores máximos y mínimos y el gráfico de la función\n(3) Sea f(x)=sin(π cos x).\n(1) Encuentra el valor de f(π + x) - f(π - x).\n(2) Encuentra el valor de f(π / 2 + x) + f(π / 2 - x).\n(3) Dibuja el gráfico de y=f(x) en el rango 0 ≤ x ≤ 2π (no es necesario verificar la concavidad).\n[Semejante a la Universidad de Ciencias de Tokio]'

'Considera el cambio en los valores de la función, máximo y mínimo, curva C: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4).'

'¿Por qué es posible calcular las integrales definidas $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ y $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ exitosamente al sustituir $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ y $x=a \\sin \\theta$?'

'Encuentra las asíntotas de la función y = x + 1 + 1 / (x - 1).'

'Encuentra el volumen V del sólido obtenido al girar el área encerrada por la curva x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) y el eje x alrededor del eje x una vez.'

'Usando la fórmula de Euler, exprese las funciones trigonométricas como funciones exponenciales y derive las siguientes ecuaciones.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Expresa las curvas representadas por las siguientes ecuaciones polares en coordenadas rectangulares.'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'Básico 2: Traslación y Determinación de Funciones Fraccionarias'

'Cuando el gráfico de la función $y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$ pasa por el punto $(-2, \x0crac{9}{5})$ y tiene las dos líneas $x=-\x0crac{1}{3}$, $y=\x0crac{2}{3}$ como asíntotas, encuentra los valores de las constantes $a, b, c$.'

'Demuestra que para un punto P(x, y) que se mueve en la circunferencia de una elipse A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) con velocidad 1, se cumplen las siguientes afirmaciones.'

'Cuando las coordenadas de un punto P que se mueve en un plano de coordenadas en el tiempo t están dadas por las siguientes expresiones, encuentre la magnitud de la velocidad y aceleración del punto P.'

'Cuando las coordenadas (x, y) del punto móvil P en el plano de coordenadas en el tiempo t se representan como {x=sin t y=12 cos 2 t}, encuentra el valor máximo del módulo de la velocidad de P.'

'Demuestra que la desigualdad \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ se cumple cuando \ 0<a<b<2\\pi \.'

'Cuando el punto P se mueve a lo largo de la recta numérica, su coordenada x como función del tiempo t está dada por x=2cos(πt+π/6), encuentra la velocidad v y la aceleración α en t=2/3.'

'En el plano de coordenadas con el origen O, considera la curva $C: \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ donde se toma el punto P(1, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$).'

'Demuestra que la ecuación f(x)=x^{2} tiene al menos 2 soluciones reales en el rango 0<x<2 cuando la función f(x) es continua y f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'Sea 0°≤θ≤180°. Resuelve la siguiente ecuación.'

''

'Sea 0° ≤ θ ≤ 180°. Resuelve la siguiente ecuación.'

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'Encuentra el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos.'

'Usando la tabla de razones trigonométricas al final, encuentra los siguientes valores de θ.'

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'En el triángulo ABC, si sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encontrar la medida del ángulo más grande en este triángulo.'

''

'Encuentra las funciones cuadráticas representadas por las siguientes gráficas.'

'Expresa las siguientes funciones trigonométricas en términos de ángulos entre 0 grados y 90 grados. También, encuentra sus valores usando la tabla trigonométrica al final.'

'Usando el teorema del coseno, encontramos el valor de a.'

''

'En el triángulo ABC, si sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7, encuentra la proporción de cosA: cosB: cosC. (Universidad Tohoku Gakuin)'

'Calcular las funciones trigonométricas y mostrar los resultados.'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'Para 0° ≤ θ ≤ 180°, encuentre el rango de θ que satisface las siguientes desigualdades.'

'En el triángulo ABC, si sin A: sin B: sin C = 5: 7: 8, entonces cos C = __.'

'Desde la figura (1) hasta P(-1, 1)'

'De 2sinθ = sqrt(2) a sinθ = 1 / sqrt(2). Los puntos P y Q en el semicírculo con radio 1, donde la coordenada y es 1 / sqrt(2), son los puntos a considerar. El θ requerido es ∠AOP y ∠AOQ.'

'Extensión de las razones trigonométricas: Encuentra las razones trigonométricas cuando el ángulo está en el rango de 0° a 360°.'

'(4) Resuelve la ecuación. Dado 0 ≤ θ ≤ 180°. Resolver la ecuación: √2 sinθ = tanθ'

'En el triángulo ABC, si sin A:sin B:sin C = 3:5:7, encuentra la proporción de cos A:cos B:cos C.'

'Explica la definición y relaciones de las razones trigonométricas. (1) Definición de razones trigonométricas (2) Relaciones de razones trigonométricas (3) Razones trigonométricas en ángulos especiales'

'¿Cuándo utilizarías la página de Ejemplos Extendidos y Ejercicios?'

'Transformación de variables'

'En ejemplos que analizan el movimiento de gráficos de funciones y formas geométricas, ¿qué contenido digital se puede utilizar para conectar imágenes visuales con ecuaciones matemáticas para fines de aprendizaje?'

'Resumen de funciones trigonométricas'

'¿Regla del seno o regla del coseno?'

'¡Repasemos la Ley del Seno y la Ley del Coseno!'

'En orden, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'Explica la relación entre las condiciones necesarias y suficientes.'

'Aplicaciones de triángulos'

'Suplemento para seno, coseno y tangente de 0°, 90° y 180°\n\nCuando θ=0°, en la fórmula de definición de razones trigonométricas con r=1 y el punto P₀ con coordenadas (1,0),\nsin 0°=0, \ncos 0°=1, \ntan 0°=0\n\nCuando θ=90°, en la fórmula de definición de razones trigonométricas con r=1 y el punto P₁ con coordenadas (0,1),\nsin 90°=1, \ncos 90°=0\n\nCuando θ=180°, en la fórmula de definición de razones trigonométricas con r=1 y el punto P₂ con coordenadas (-1,0),\nsin 180°=0, \ncos 180°=-1, \ntan 180°=0'

'Usar tablas trigonométricas para encontrar ángulos'

'Encuentra lo siguiente.\n(1) Valores de \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \\n(2) Ángulos agudos \ \\alpha, \eta, \\gamma \ que satisfacen \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \eta=0.7314 \, y \ \\tan \\gamma=8.1443 \\n(3) Valor aproximado de \ x \ y ángulo \ \\theta \ en la figura de la derecha. Redondea \ x \ a dos lugares decimales.'

'Encuentra el sin θ del triángulo AED.'

'θ es la relación mutua de las razones trigonométricas de 0° a 180°'

'Resolver el problema matemático'

'Encuentra el valor del coseno a partir de la fórmula de la proporción del seno'

'La solución deseada es que dado que el gráfico de la función y=|x^2-6x-7| intersecta o se encuentra completamente por encima del gráfico de y=2x+2,'

'Usando la Ley de De Morgan, por favor proporciona un ejemplo específico con los conjuntos A, B y C.'

'(6) Razones trigonométricas-117'

'Dado que 0° ≤ θ ≤ 180°. Si sin θ = 1/3, encuentra los valores de cos θ y tan θ.'

'En el triángulo ABC, si sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC es cierto, encuentra la medida del ángulo más grande.'

'Valor de la identidad de simetría trigonométrica'

'Razones trigonométricas de 15 grados'

'(1) Usando la tabla trigonométrica, encuentra los valores del seno, coseno y tangente para 128°.\n(2) Sea sin 27° = a. Expresa el coseno de 117° en términos de a.'

'θ (ecuación trigonométrica) que satisface la identidad trigonométrica'

'Demuestra que para un triángulo ABC con los ángulos A, B y C, denominados como A, B y C, se cumplen las siguientes ecuaciones.'

'¿Regla del seno o regla del coseno?'

'Relaciones trigonométricas cuando θ es un ángulo agudo'

'Las siguientes dos ecuaciones también son válidas. \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Resumiendo esto como la regla del coseno: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Demuestre las siguientes igualdades en el triángulo ABC a partir de la regla del coseno. \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'Demuestre que las siguientes ecuaciones son válidas para los ángulos interiores A, B, C del triángulo ABC:'

'¡Vamos a repasar el teorema del seno y el teorema del coseno!'

'Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para ángulos obtusos'

'Resolver las ecuaciones: sin aθ = sin bθ, sin aθ = cos bθ'

'Explique cómo usar el libro para encontrar soluciones.'

'Dado que $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3}, \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi, \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$, entonces $\\ frac {1} {2} < \\ sin 1 < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1,0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$. Por lo tanto, el valor positivo mínimo en $\\ sin 1, \\ sin 2, \\ sin 3, \\ sin 4$ es $\\ sin 3$, y el valor máximo es $\\ sin 2$.'

'Encuentra los siguientes valores.'

'(1) Encuentra el(los) valor(es) de theta que satisfacen la ecuación $\\cos ^{2} \\theta+\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta=1$ bajo la condición $0 \\leq \\theta <2 \\pi$.'

'Consideremos la relación entre el movimiento (trayectoria) de las tazas de café en un parque de atracciones y las funciones trigonométricas. Cuando el disco 1 completa una rotación completa en sentido horario, mientras que el disco 2 con la mitad del radio completa dos rotaciones en sentido antihorario, ¿qué tipo de trayectoria sigue el punto C en el disco 2?'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ = √3 cosθ + 2 (2) sin 2θ < sinθ'

'Cómo dibujar el gráfico de una función cúbica: creación de una tabla de incremento y decremento'

'Máximo y mínimo de las funciones trigonométricas (1)'

'Para la función y = sin 2x (sin x + cos x -1), sea t = sin x + cos x, exprese el rango de y en función del rango de t.'

'Demuestra la ecuación 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2).'

'Valor de la función trigonométrica (1)'

'Usando la fórmula de adición, encuentre los siguientes valores.'

'Capítulo 4 Funciones trigonométricas 195'

'Ejemplo 128 Usando el Teorema de la Suma'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la ecuación homogénea 1372 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2).'

'Traduzca el texto dado a múltiples idiomas.'

'Encuentra el rango de constante k para el cual la curva y=x^3-2x+1 y la recta y=x+k comparten 3 puntos distintos.'

''

'La suma y diferencia de dos ángulos α y β, representada en términos de las funciones trigonométricas de α y β, se conocen como la fórmula de adición trigonométrica.'

'Resuelva la siguiente ecuación o desigualdad cuando 0 ≤ θ < 2π. 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el valor máximo de la función $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ sea $3+\\sqrt{7}$ y el valor mínimo sea $3-\\sqrt{7}$.'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'Periodo de funciones trigonométricas'

'¿Por qué no se reduce a la mitad en la dirección del eje θ el gráfico de y=sinθ del Ejemplo 118(3)?'

'Calcule los valores de las siguientes funciones trigonométricas.'

'Para la función \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \:'

''

'A continuación se muestran los gráficos de las funciones (1) y (2). Calcule los valores de A a H. (1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'Demuestra las siguientes ecuaciones.'

'Grafique las siguientes funciones y determine sus períodos:'

'Capítulo 7 Cálculo Integral\nSea la parábola y=\\frac{1}{2}x^{2} la denominemos como C, y que el punto P(a,\\frac{1}{2}a^{2}) esté en C. Aquí, a>0. Considere el punto P\ny sea l la tangente a C, y Q la intersección de l con el eje x. Además, sea m la línea que pasa por el punto Q y es perpendicular a l. Responda las siguientes preguntas:\n(1) Encuentre las ecuaciones de las líneas l y m.\n(2) Llame A a la intersección de la línea m con el eje y. Defina el área del triángulo APQ como S. Además, defina el área rodeada por el eje y, el segmento de línea AP y la curva C como T. Determine el valor mínimo de S-T y el valor correspondiente de a.'

'Gráfica de funciones trigonométricas (1)'

'Entre sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, el valor negativo es A. El valor mínimo de los valores positivos es B, y el valor máximo es C.'

'Relaciones de funciones trigonométricas'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\ \\pi'

''

'Sea a>1 el ángulo de práctica de 190°. Para la función y=2x^{3}-9x^{2}+12x donde 1≤x≤a, (1) encuentra el valor mínimo. (2) encuentra el valor máximo.'

''

'En el plano $x y$, la curva $y=f(x)$ siempre pasa por dos puntos fijos sin importar el valor de $a$. ¿Cuáles son las coordenadas de estos dos puntos fijos? Determine el rango de valores de $a$ para los cuales $f(x)$ no tiene extremos.'

'Por favor explique la periodicidad de las funciones trigonométricas.'

'Para los ángulos interiores A, B y C de un triángulo ABC con ángulos de 120 grados, responde a las siguientes preguntas:'

'Encuentra los valores del seno, coseno y tangente de 195 grados.'

'Encuentra el término general de la secuencia {an} definida por las siguientes condiciones utilizando las sustituciones entre paréntesis.'

'Calcula los valores de las siguientes funciones trigonométricas.'

'Demuestra las fórmulas de producto a suma y de suma a producto'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2) y los valores de θ que dan los valores máximo y mínimo.'

''

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las funciones dadas. Además, determina los valores de θ en ese momento.'

'Usando la fórmula del semiarco, encuentra los siguientes valores. (1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'Pensemos en el método de solución para ecuaciones e inecuaciones trigonométricas (ecuaciones cuadráticas). Existe una forma de resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas que involucran múltiples funciones trigonométricas, como en el ejemplo básico 124.'

'Resuelva las siguientes ecuaciones e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (conjugado complejo en el mismo orden)'

'Gráficas de Funciones Trigonométricas (2)'

'Expresa los valores dados en términos de funciones trigonométricas de ángulos de 0 a $\\ frac {\\ pi} {4}$. (1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'Sea f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x. (1) En el plano xy, la curva y=f(x) siempre pasa por dos puntos fijos. Encuentra las coordenadas de estos dos puntos fijos. (2) Determina el rango de valores de a para que f(x) no tenga extremos.'

'Demuestra las siguientes identidades trigonométricas.'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'

'Fórmulas de adición'

'Expresa las siguientes expresiones en la forma de $r \\sin(\\theta+\\alpha)$. Dado que $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$.\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"OB'=r, y sea α el ángulo entre OB' y la dirección positiva del eje x"

'Demuestra que las siguientes ecuaciones son válidas cuando t = tan(θ/2) (t ≠ ±1).'

'Demostración de identidades trigonométricas'

'Convertir los ángulos dados a radianes.'

'Por favor, proporcione una descripción detallada de los puntos importantes a tener en cuenta al trabajar en estudios de casos importantes.'

'Elige el adecuado para cada uno de los siguientes grupos de respuestas: A y C. El orden de las opciones no es relevante.'

'Vamos a dibujar tu curva de crecimiento.'

'Expresa las siguientes razones trigonométricas en términos de ángulos menores a 45°.'

'En la figura (a), encontrar los valores de \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \.'

'Encuentra el rango de valores para θ que satisface las siguientes desigualdades cuando 0° ≤ θ ≤ 180°.'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nEn la semicircunferencia con radio 1, los puntos P y Q son los puntos donde la coordenada y es \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ como se muestra en la figura de la derecha. Los ángulos a determinar son \ \\angle AOP \\text { y } \\angle AOQ\\\nPor lo tanto\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'Sea θ un ángulo agudo. Cuando sin θ = 12/13, encuentre los valores de cos θ y tan θ.'

'Utilizando el diagrama de la derecha, encuentra los valores de pecado 15°, coseno 15°, tangente 15°.'

'Sea 0°<θ<180°. Cuando 4cosθ+2sinθ=√2, encuentra el valor de tanθ.'

'Tomemos 0°≤θ≤180°. Cuando uno de sinθ, cosθ, tanθ toma un valor específico, encontrar los otros 2 valores.'

'Relaciones entre funciones trigonométricas (1)'

'Para θ entre 0° y 180°. Encuentra el rango de valores de θ para los cuales la ecuación cuadrática x^2-(cosθ)x+cosθ=0 tiene dos soluciones reales distintas, ambas dentro del rango -1<x<2.'

'Sea θ un ángulo agudo. Encuentra el valor de (sinθ+cosθ) ² cuando tanθ=√7.'

'Dibuja el gráfico de las siguientes funciones.'

'¿Cuál es el valor de sin 140 grados + cos 130 grados + tan 120 grados?'

'La trigonometría es un método ideado para medir cosas como la distancia a objetos lejanos y alturas que no se pueden medir directamente, y su historia se remonta a la antigüedad. Aquí discutiremos el método para calcular la altura de una montaña utilizando la trigonometría.'

'Encuentra el rango de valores de θ que satisfacen las siguientes desigualdades cuando 0° ≤ θ ≤ 180°: (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'Para 0° < θ < 90°, y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'Encuentra el valor de cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70°.'

'\\Por lo tanto\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'Encuentra el valor máximo y mínimo de la siguiente función, así como los valores correspondientes de θ.'

''

'Por el teorema del coseno'

'Consulte la tabla trigonométrica y responda a la siguiente pregunta. Cuando θ = 37°, encuentre los valores de sin θ, cos θ, tan θ.'

'Utilizando el diagrama a la derecha, encuentre los valores de sin 22.5 grados, cos 22.5 grados y tan 22.5 grados.'

'Encuentra el valor de θ que satisface la siguiente ecuación cuando 0° ≤ θ ≤ 180°: (6) √3 tanθ + 1 = 0'

'Encuentra el máximo y mínimo de y = sin^2θ + cosθ - 1 para 0° ≤ θ ≤ 180°. Además, determina los valores de θ en esos puntos.'

'En la proposición "si p entonces q", el conjunto de elementos que satisfacen la condición p es P, y el conjunto de elementos que satisfacen la condición q es Q. Cuando la proposición "si q entonces p" es verdadera, en cuanto a su contrapositiva, ∎ es verdadero. Elija la opción correcta para completar el espacio en blanco.'

'Encuentra las siguientes razones trigonométricas.'

'Valor de la función simétrica trigonométrica'

''

'Valores y transformaciones de las funciones trigonométricas para ángulos obtusos'

'Para PR 0° ≤ θ ≤ 180°, encuentra los valores de θ que satisfacen la siguiente ecuación: (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'Relaciones trigonométricas básicas 108 Sea θ un ángulo agudo. (1) Cuando sin θ = 2/√13, encuentre los valores de cos θ y tan θ. (2) Cuando tan θ = √5/2, encuentre los valores de sin θ y cos θ.'

'Funciones trigonométricas de ángulos especiales'

'Aplicaciones de la Trigonometría'

'Expresa las siguientes razones trigonométricas como razones trigonométricas de ángulos entre 0° y 90°, y encuentra sus valores usando la tabla trigonométrica. (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'

'Pregunta 5 (2) Encuentra la tangente del segundo ángulo más grande en el triángulo ABC.'

'Relaciones trigonométricas (0° <= θ <= 180°)'

'Crear la Función del Ejemplo 57'

'Identidades y valores trigonométricos'

'Cuando θ es 75°, encuentre el valor de tan θ.'

'En el triángulo ABC, si sin A: sin B: sin C = 5:16:19, encuentra el tamaño del ángulo más grande en este triángulo.'

'Pregunta 10'

'Encuentra el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos. (1) 135 grados (2) 150 grados (3) 1'

'En el triángulo ABC, si ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 grados, demuestra que se cumplen las siguientes desigualdades: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1'

'Solución de ecuaciones trigonométricas'

'Demuestra las relaciones entre las siguientes identidades trigonométricas: $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$.'

'Elija dos opciones que sean iguales a sin 44° de las siguientes opciones. (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'

'Encuentra los valores de θ que satisfacen la siguiente ecuación cuando 0° ≤ θ ≤ 180°: 2sinθ = √2'

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'Demuestra la desigualdad sin 29 grados < tan 29 grados < cos 29 grados.'

'Sea 0° ≤ θ ≤ 180°. Si sinθ+cosθ = 1/√5, encuentra los valores de las siguientes expresiones: (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'Por favor, explique cómo convertir las razones trigonométricas de ángulos obtusos a razones trigonométricas de ángulos agudos usando fórmulas.'

'Encuentra el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos.\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'¿Qué curva representa la representación paramétrica dada?'

''

"Haz ingeniería inversa desde el 'yo que quieres ser'."

'Encuentra la curva de la ecuación x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0.'

'Capítulo 4 Ecuaciones y Curvas\n17 Parábolas\n18 Elipses\n19 Hipérbolas\n20 Traslación de Curvas Cuadráticas\n21 Curvas Cuadráticas y Rectas\n22 Representaciones Paramétricas de Curvas\n23 Coordenadas Polares y Ecuaciones Polares'

'¿Qué cosas son buenas para trabajar después de resolver ejemplos básicos y ejemplos estándar?'

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"¿Cómo es útil las matemáticas en la sociedad? Las formas en que las matemáticas son 'útiles' también han cambiado con el tiempo. En el pasado, al discutir la aplicación de las matemáticas, a menudo se asociaba con la palabra clave 'ciencia y tecnología de punta'. La importancia de la ciencia y tecnología de vanguardia en la sociedad es indiscutible, sin embargo, no era algo familiar en nuestra vida diaria. En los últimos años, la situación ha cambiado. Esto se debe a que las matemáticas han comenzado a penetrar en varios aspectos de nuestra vida diaria."

'(1) Dado que cos(-x) = cos x y (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x, cos x es una función par y x^2 sin x es una función impar. Por lo tanto, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'Describa las curvas representadas por las siguientes ecuaciones polares en coordenadas rectangulares.'

'(50)(2) Cuando n es impar, $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$, y cuando n es par, $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'En (1), si el rango de la función es 1 ≤ y < 3/2, encuentra el dominio.'

'Para un número positivo a, consideremos el punto A(a, a^{2}) en la parábola y=x^{2}, y sea l la recta girada -30 grados alrededor del punto A. Sea B el punto de intersección de la recta l y la parábola y=x^{2} que no es A. Además, sea (a, 0) el punto C y el origen O. Encuentra la ecuación de la recta l. Además, sea S(a) el área encerrada por los segmentos de recta OC y CA y la parábola y=x^{2}, y sea T(a) el área encerrada por los segmentos de recta AB y CA y la parábola y=x^{2}. Encuentra c=lim_{a→∞} T(a)/S(a).'

'Para los números reales que satisfacen (3) 0 ≤ θ < 2π, sea z = cosθ + i sinθ. Demuestra que la ecuación |1 - z| = 2 sin (θ/2) se cumple.'

'Muestra la concavidad y convexidad de la función que cumple las siguientes condiciones.'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'Ejemplo Importante\nMáximo y mínimo de 13|ux + vy|\nCuando los números reales x, y, u, v satisfacen las ecuaciones x^2 + y^2 = 1 y (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1, encuentre los valores máximo y mínimo de ux + vy.'

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'Encuentra el punto de inflexión de la función en los siguientes valores de x.'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'Sea la curva representada por las variables de parámetro \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) denotada por \ C \.'

'Para la ecuación r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}, (1) probar que cuando a= ±1, representa una parábola, y cuando |a|<1, representa una elipse. (2) Demostrar que la curva representada por la ecuación anterior interseca el eje y en y= ±1 independientemente del valor de a. (3) Cuando |a|<1, sea D la región del primer cuadrante de la elipse y encerrada por el eje x y el eje y. Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar la figura D alrededor del eje x.'

'(2) Continuación de (1): Por lo tanto, el ángulo formado entre \\overrightarrow{AB} y \\overrightarrow{AC} se denota como θ. Entonces, \\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}. Dado que \\sin \\theta>0, obtenemos \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'En el caso de 0<θ<π/2, si dL/dθ=0, entonces cosθ=1/√3. Sea α el valor de θ que satisface esta condición, entonces tanα=√(1/cos²α-1)=√2. De (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2, obtenemos que tanθ₁<tanα<tanθ₂. Por lo tanto, θ₁<α<θ₂. Por lo tanto, la tabla de aumento y disminución de L es como se muestra a la derecha para θ₁<θ<θ₂. Así, L alcanza su valor máximo cuando θ=α. Dado que sinα=√(1-cos²α)=√6/3, el valor máximo deseado es 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3. En este caso, cosθ=1/√3.'

"Problema 94 Respondiendo a pequeños cambios\n(1) ¿En cuánto aumentará el área S de ΔABC?\n(2) ¿En cuánto aumentará la longitud y del lado CA?\nUtilizando la siguiente fórmula.\nFórmula para cambios pequeños Δy≒y'Δx\nRespuesta: Cuando el ángulo B aumenta 1 grado\nComenzando desde S≒√3sin(x)."

'Encuentra las coordenadas de un punto obtenido al reflejarse sobre el eje real y rotar -π/2 sobre el origen.'

'Ejemplo 41 | Cálculo de Integrales Definidas (2)\nEncuentra la integral definida ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx. Aquí, m y n son números naturales.'

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'Funciones trigonométricas inversas'

'Practica las propiedades de la función f(x) = x sin(1/x) (x > 0) 134'

'Demuestra que para la función inversa y=g(x) de y=tan x (-π/2<x<π/2), se cumple que g(1/2)+g(1/3)=π/4.'

'Verifica el comportamiento creciente y decreciente de la función $y = f(x)$ a partir de la tabla a continuación y encuentra los valores extremos.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Encuentra las condiciones bajo las cuales la curva y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d tiene una recta tangente múltiple.'

None

'Calcula el valor de sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5).'

'Encontrar la suma de una serie infinita usando una relación de recurrencia'

'¿A qué se compara resolver un problema de matemáticas?'

'Lo que aprenderás en este capítulo se construye sobre lo que has aprendido hasta ahora. Utilizando este conocimiento, es esencial analizar la geometría de las formas con mayor profundidad. En este capítulo, aplicaremos los métodos de geometría analítica para estudiar las propiedades de formas no abordadas anteriormente, centrándonos principalmente en las características de secciones cónicas como elipses, hipérbolas y parábolas. Además, tocaremos brevemente sobre métodos para representar curvas con ecuaciones, incluyendo representaciones paramétricas y coordenadas polares, así como ecuaciones polares.'

'(1) Las coordenadas de un punto Q en la curva C se dan mediante ecuaciones paramétricas, donde el parámetro t varía desde -π/2 a 0, como (√2/cos t, √2 tan t). La ecuación de la recta tangente l en el punto Q es [√2/cos t x-√2 tan t y=2], que es equivalente a [x-sin t y=√2 cos t]'

'Encuentre el valor máximo, el valor mínimo y el valor correspondiente de x para la función dada.'

'A medida que el punto en la curva se aleja infinitamente, la curva se acerca a una línea recta determinada, la cual se denomina asíntota de la curva.'

'¿A medida que $x$ crece hasta el infinito, a qué valor se acerca $y$?'

'Cuando S=4, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ se resuelve como \k=\\sqrt{3}\. Por lo tanto, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\. Dado que \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\, tenemos \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\. Por lo tanto, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\. En el rango donde \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\, el área encerrada por las curvas \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\, y la línea \x=\\theta\ se denota como \T\. Para que \T<4\ sea verdadero, debe ser que \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\.'

'Transforma la función irracional dada a la forma de una función de raíz cuadrada.'

'Ejemplo 35 | Movimiento de un punto en el plano'

'Explique por qué la función f(x) es discontinua: f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'Las derivadas de las funciones trigonométricas son las siguientes. Tenga en cuenta que los ángulos están en radianes.'

'Encuentra todas las rectas tangentes de la curva y = x cos x que pasan por el origen.'

'El término n-ésimo a_{n} es a_{n} = \\cos n \\pi. Sea k un número natural. Cuando n=2k-1, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1. Cuando n=2k, \\cos n \\pi = \\cos 2k \\pi = 1. Por lo tanto, la secuencia \\{a_{n}\\} oscila. Por lo tanto, el término n-ésimo de la secuencia \\{a_{n}\\} es a_{n}=(-1)^{n}, que no converge a 0, por lo tanto, esta serie infinita diverge.'

'En el plano xy, con el origen como polo y la parte positiva del eje x como la línea de inicio en coordenadas polares, sea la curva representada por la ecuación polar r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) denotada como C. Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar la región encerrada por C y el eje x alrededor del eje x una revolución completa.'

'Práctica ¿Qué tipo de curva representan las siguientes ecuaciones polares? Responda en coordenadas rectangulares.'

'Resolver la función trigonométrica compuesta. Cuando 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π), las soluciones son x=π/3, π'

'La región representada por el sistema de desigualdades simultáneas dado es tal que la coordenada x de los puntos de intersección de la curva y=sin x y la recta y=t-x se denota como α, donde sin α=t-α y 0<α<t. En este caso, V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x+1/3 π sin^2 α·(t-α). A partir de (1), obtenemos V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x d x + 1/3 π sin^3 α。'

'Sea 33θ un número real y n un entero. Si z=sinθ+i*cosθ, expresa la parte real y la parte imaginaria del número complejo zn en términos de cos(nθ) y sin(nθ).'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, por lo tanto (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'A partir de cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ, exprese la ecuación r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 usando x = r cos θ, y = r sin θ'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) Si f′(t)=0, entonces sin(t−π/4)=0. Dado que t−π/4>−π/4, entonces t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'

'Cuando una función y se representa usando el parámetro θ como x=1-cosθ, y=θ-sinθ'

'Para 0 ≤ θ ≤ π, cos(θ/2) ≥ 0. Para 0 ≤ θ ≤ π/2, cos(θ) ≥ 0. Para π/2 ≤ θ ≤ π, cos(θ) ≤ 0. También, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2)).'

'Funciones trigonométricas'

'Encuentra los siguientes valores.'

'Resuelva la siguiente ecuación para 0 ≤ θ < 2π. Además, encuentre su solución general. (1) sin θ = √3/2'

'Demuestra que se cumplen las siguientes condiciones y encuentra el valor de cos 36 grados: (1) Cuando θ = 36 grados, sin 3θ = sin 2θ'

'Demuestra la siguiente igualdad.'

'Ejercicio Integral Parte 2 Matemáticas II Capítulo 4 Funciones Trigonométricas'

'Encuentre los valores máximo y mínimo en los [ ] y los valores correspondientes de x.'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las funciones dadas. Además, determina los valores de θ en esos puntos. Considera 1620 ≤ θ ≤ π. (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

''

'Demuestra la ecuación \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \.'

''

'Determinar el valor de la constante a de manera que el valor absoluto del mínimo de la función y=2sin3x+cos2x-2sinx+a sea igual al valor máximo.'

'Usando la fórmula de adición, encuentra los siguientes valores.'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [Práctica \\( 156(2) \\) ] La solución general es'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

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'(1) La función y=f(x) toma un valor máximo en x=α y un valor mínimo en x=β. Muestre que el punto medio M del segmento de recta que conecta los puntos (α, f(α)) y (β, f(β)) está en la curva y=f(x).'

'¿Cómo memorizar el teorema de la adición y las fórmulas del doble ángulo/medio ángulo?'

'Practica trazar los gráficos de las siguientes funciones y encuentra sus períodos.'

'Demuestra que el valor de $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ es constante cuando los números reales positivos $\\alpha, \eta, \\gamma$ satisfacen $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Solución a las ecuaciones sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'1. Fórmula de adición de senos: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. Fórmula de adición de cosenos: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. Fórmula de adición de tangentes: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) Si \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \, encuentra los valores de \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \.'

'Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo $\\theta$.'

'Calcular la siguiente expresión.'

'Utilizando el teorema de la suma, encuentra los siguientes valores.'

'Resolviendo la ecuación sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'Encuentra los valores de sin θ, cos θ, tan θ cuando θ es los siguientes valores.'

'(3) Demuestra que el valor de $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ es constante cuando los números reales positivos $\\alpha, \eta, \\gamma$ satisfacen $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Medida en radianes y funciones trigonométricas radianes'

'Practica encontrando los siguientes valores.'

'Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ θ < 2π. También encuentra su solución general.'

'Cuando n es un número natural y θ es un número real, responda la siguiente pregunta. (1) Demuestra cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0.'

'Explique las propiedades de las integrales definidas de funciones pares e impares.'

'27 Funciones trigonométricas compuestas'

'Función Periódica con Período 4\nPara una función \\( f(x) \\), si existe una constante no nula \ p \ tal que la ecuación \\( f(x+p)=f(x) \\) se cumple para todos los valores de \ x \, entonces \\( f(x) \\) se llama una función periódica con período \ p \. En este caso, dado que \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\), los períodos \ 2p, 3p, \\cdots \ también son períodos válidos, y hay infinitos períodos para una función periódica.\n\nProblema: Calcular el período de la función \\( y = \\cos(5\\theta) \\).'

'Resolver las siguientes ecuaciones e desigualdades.'

'Problema para encontrar la solución de la desigualdad del triángulo'

'Resuelve la siguiente ecuación. Además, encuentra su solución general. (4) sinθ=-1'

'Propiedades y gráficos de las funciones trigonométricas'

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'Practica dibujar las gráficas de las siguientes funciones. Además, determina sus períodos.'

'(4) Dada la ecuación $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$, tenemos $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$, y $\\cos \\theta \\neq 0$. Por lo tanto, $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, lo que simplifica a $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$. Esto nos da $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$. Dado que $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$, siempre tenemos $\\cos \\theta-2<0$. Por lo tanto, $2 \\cos \\theta+1=0$, lo que significa que $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$. Dado que $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$, tenemos $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'

'Encuentra el valor de una constante m de manera que las áreas de las dos formas encerradas por la curva y=x^{3}-6x^{2}+9x y la línea y=mx sean iguales. Aquí, 0<m<9.'

'[Valor máximo y mínimo]'

'Reflexión... explora de manera transversal las características de las soluciones aprendidas en varios ejemplos. Al comprender los puntos clave para juzgar las soluciones, se puede profundizar en la comprensión.'

'Cuando \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \, el valor máximo es \ \\frac{1}{4} \; cuando \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \, el valor mínimo es -2'

'Expresa el valor máximo de ¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ en términos de ¥( a) ¥.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}). Además, encuentra el valor de θ en ese momento.'

'Manteniendo l constante, varía θ. Suponiendo que tan θ = t, expresa la expresión r / (1 + cos 2θ) como una función de t y encuentra su valor máximo.'

'El valor máximo es \\frac{5}{3} en x=-1, y el valor mínimo es -9 en x=3'

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'Gráficos de varias funciones trigonométricas\nEn las funciones trigonométricas, considera la relación entre las formas básicas y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ.\n\nPregunta: Explica cómo se estira o comprime el gráfico de la función y=2sin(3θ) a lo largo del eje θ y se transforma a lo largo del eje y.'

'Aspectos Básicos\n1. Gráficos de Funciones Trigonométricas\n(1) Gráfico de y=sin θ\n(2) Gráfico de y=cos θ\nθ es un número real, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) Gráfico de y=tan θ\nθ ≠ π/2+nπ (n es un entero), y toma todos los valores reales. La línea θ=π/2+nπ (n es un entero) es una asíntota.\n\nComo se aprendió en D. 216, considerando un punto P(x, y) en la circunferencia del círculo unitario y el punto de intersección de la recta x=1 y la recta OP como T(1, m). Sea θ el ángulo que representa al radio OP\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nAl utilizar esto, se pueden trazar los gráficos de las funciones y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ. Los gráficos de y=sin θ y y=cos θ se conocen como curvas senoidales, y el gráfico de y=tan θ se conoce como curva tangente. Además, con respecto al eje vertical (eje y), en el gráfico de y=f(θ), el eje horizontal se denomina eje θ. Además, cuando una curva se acerca a una línea recta, esa línea se conoce como la asíntota de la curva.'

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'Ejemplo 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'

'Calcula la siguiente expresión.'

'Encuentra el valor máximo, mínimo y los valores correspondientes de x para la función y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx cuando 0 ≤ x ≤ 3/4π.'

'Cuando m se mueve a través de todos los números reales, ¿qué forma dibujan los puntos de intersección P de las siguientes dos rectas? m x-y=0 (1), x+m y-m-2=0 (2) Para encontrar las coordenadas del punto de intersección P, considera (1) y (2) como ecuaciones simultáneas en x e y y resuélvelas: x=(m+2)/(m^2+1), y=(m(m+2))/(m^2+1). Al intentar eliminar m de estas dos ecuaciones y encontrar una relación entre x e y, se llega a un cálculo complicado. Por lo tanto, consideremos las condiciones para la existencia del punto de intersección P. Si determinamos el valor de m, se establecen las dos rectas (1) y (2), y se determina el punto de intersección P de las dos rectas (1) y (2). Por ejemplo, cuando m=0, x=2, y=0; cuando m=1, x=3/2, y=3/2. Por lo tanto, los puntos (2,0) y (3/2, 3/2) están en la forma deseada. Desde la perspectiva opuesta, si el punto de intersección P de las dos rectas (1) y (2) existe, significa que existe un número real m que satisface tanto (1) como (2). Por lo tanto, considéralo como la condición para la existencia de la solución de las ecuaciones simultáneas (1) y (2). En otras palabras, considera esto como satisfaciendo (1) y m para cumplir (2), elimina m de (1) y (2) y deriva la relación entre x, y. Ten en cuenta que al eliminar m, es necesario considerar el caso en el que x≠0 y x=0 al resolver para m. Al responder, presta atención también a los puntos de exclusión.'

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'(2) (a) P = 3sin2θ + 4cos2θ + 3'