Funciones Avanzadas - Fundamentos de Derivación e Integración

"¿Cuál es el propósito del curso universitario de primer año de 'Cálculo'?"

'El punto medio es el promedio de 2 puntos, el centroide es el promedio de 3 puntos. S puede considerarse como el punto que divide al segmento de recta AB en una proporción 1:2.'

'Ejercicio 82\nEncuentra las funciones p(x) y q(x) que satisfacen las siguientes condiciones.\n- La derivada de p(x) es 3\n- p(0) = 3\n- La derivada de q(x) es 4x + k\n- q(0) = 2\nAdemás, encuentra las funciones f(x) y g(x) que satisfacen q(x) = f(x)g(x) como una función cuadrática, y p(x) = f(x) + g(x) como una función lineal. Determina el valor de k correspondiente.'

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'[2] Dado que $2-x<x<2+x$, es decir, cuando $x>1$,'

'Para dos polinomios f(x) y g(x) que cumplen con f(0)=1, g(0)=2, sea p(x)=f(x)+g(x), q(x)=f(x)g(x).'

'Investigar los extremos de la función. Determine el valor máximo o mínimo de acuerdo a las siguientes definiciones: 1. Si f(x) alcanza un valor máximo alrededor de x=a, y 2. Si f(x) alcanza un valor mínimo alrededor de x=a.'

'Encuentra el valor de la siguiente expresión.'

"(2) A partir de y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2, obtenemos y' = 3 x^{2} - 4 x - 1. Cuando x = 1, y' = -2. Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente l es y = -2(x - 1). Dado x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1), tenemos x(x - 1)^{2}=0, por lo tanto x=0,1"

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función $f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t$ para $0 \\leqq x \\leqq 2$.'

'Expresa la integral definida \\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\) en términos de x.'

'Encuentra la primera derivada de la función h(x) = 2x^2 - x + 3.'

'Integral definida y volumen\nSea V el volumen de un sólido encerrado entre dos planos paralelos \\\alpha, \eta\. Tome una línea perpendicular a \\\alpha, \eta\ como el eje \x\, con coordenadas de intersección con \\\alpha, \eta\ siendo \a, b\ respectivamente. Además, considere \a \\leqq x \\leqq b\, y cuando este sólido es cortado por un plano perpendicular al eje \x\ y con coordenada de intersección \x\ con el eje \x\, el área de la sección transversal se denota por \\(S(x)\\). Entonces, el volumen \V\ está dado por la siguiente integral definida.\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{donde} a < b \\]'

'Hay un globo de goma esférico que se infla a una velocidad de 0.1 cm por segundo en términos de su radio r. Comenzando desde un radio de 1 cm, encuentra la tasa de cambio del volumen V del globo con respecto al tiempo t cuando el radio alcanza los 3 cm.'

'Determinación de la función a partir de condiciones de valores extremos'

'Ejercicio 85 | II | \ \\Rightarrow \ Libro \ p.340 \'

'Encuentra la tasa de cambio del área superficial de la esfera. Sea el radio de la esfera después de t minutos r cm. De la condición, r=t+10, entonces S=4πr^2=4π(t+10)^2. Por lo tanto, dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'

'(2) $f(x)=2 x+\\int_{0}^{1}(x+t) f(t) d t$'

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'Al aumentar o disminuir funciones o utilizar gráficos, podemos encontrar los valores máximos y mínimos, o determinar el número de soluciones reales de ecuaciones.'

'Encuentra la función $f(x)$ y el valor de la constante $a$ que satisface la ecuación $\\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1$.'

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'Sean a y b constantes. Demuestra la siguiente desigualdad:\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'

'Diferenciar las siguientes funciones con respecto a las variables proporcionadas.'

'Ejemplo: Encuentra el valor máximo y mínimo de x + y, así como los valores de x, y que satisfacen simultáneamente las cuatro desigualdades x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10.'

'Aprendizaje de desarrollo Desarrollo 187 Extremos y gráfica de una función de cuarto grado'

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'Encuentra la derivada de la función en el valor dado de x según la definición.\n(1) f(x)=2 x-3 (x=1)\n(2) f(x)=2 x^{2}-x+1 (x=-2)'

'Diferenciar las siguientes funciones con respecto a las variables dadas en []:'

'Profundicemos en nuestra comprensión de la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar.'

'Cálculo diferencial'

'Encuentra la derivada de la función f(x)=x^{2}-6 x+7 en x=a usando la definición. Además, determina el valor de a tal que la derivada sea 2.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra la función \\( f(x) \\) y el valor de la constante \ a \ que satisfacen la ecuación \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\).'

'Encuentra las derivadas de las siguientes funciones. (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'

'Encuentra la función cuadrática f(x) que satisface las siguientes condiciones.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. En (3), α es una constante.'

'Ecuación de la tangente: Encuentre la ecuación de la tangente. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto A(a, f(a)) en la curva y=f(x)?'

'Según la definición, encuentra las derivadas de las siguientes funciones. (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'

'Diferencia las siguientes funciones y encuentra la derivada en x=2.'

'Determinación de los coeficientes de una función cúbica basada en condiciones de valores máximos y mínimos'

"Resume de manera sencilla cómo distinguir y utilizar teoremas, fórmulas, etc. según el tipo de problema en 'STEP en la clasificación aquí'. Puede ser utilizado para confirmar y organizar fórmulas."

"Explica detalladamente el enfoque para resolver problemas que requiere más poder de pensamiento llamado 'Zoom UP'."

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'Define la función S(t) como S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x. Encuentra el valor máximo y mínimo de S(t) para 0 ≤ t ≤ 1, y los valores correspondientes de t.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Método de integración'

'Estudio de desarrollo 185 La tangente del gráfico de una función cuadrática'

'Sea V el volumen de un cono con radio r y altura h. Considerando V como una función de h, encuentre la derivada cuando h=3.'

'Diferencie las siguientes funciones con respecto a las variables indicadas dentro de [ ].'

'Después de resolver problemas de ejemplos básicos y estándar, ¿cómo se debe profundizar la comprensión?'

"Supongamos que el polinomio f(x) satisface la ecuación f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1). Responda a las siguientes preguntas."

'Diferenciación de funciones y su cálculo básico 173 diferenciado con variables distintas a x'

'Estudio de desarrollo Desarrollo 188 Condiciones para que una función cúbica tenga valores extremos'

'Encuentra la función f(x) que satisface la ecuación f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t.'

'Aplicación de aumento y disminución de funciones, Estándar 184, Demostración de desigualdades (Utilizando diferenciación)'

'Calcular el área entre dos curvas.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

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"Sea F(x) la función primitiva de f(x). Se cumplen las siguientes condiciones [1], [2]. Encuentra f'(x) y f(x) bajo la condición de que x > 0. [1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"

'Dominio y análisis de incremento y decremento de una función'

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'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

"La función f(x) tiene una segunda derivada continua f''(x) para x > -2. Además, para x > 0, se cumple que f(x) > 0 y f'(x) > 0, y para cualquier número positivo t, la coordenada x del punto de intersección P entre la recta tangente en el punto (t, f(t)) de la curva y=f(x) y el eje x es igual a -∫0^t f(x) dx."

'Determine los coeficientes de la función a partir del área.'

'Evalúe las siguientes integrales indefinidas.'

'Explica la definición de la función f(x) siendo diferenciable en x=a.'

"Sea f(x) = x^(1/3) (x>0). Encuentra la derivada f'(x) usando los siguientes dos métodos."

"Cuando la función f(x) satisface f(0)=0, f'(x)=x cos x, responde las siguientes preguntas: (1) Encuentra f(x). (2) Encuentra el valor máximo de f(x) para 0 <= x <= π."

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt dentro del rango -2≤x≤2, y determina los valores correspondientes de x.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'

"(1) Demuestra por contradicción que para todos los números reales x, f(x)>0. (2) Muestra que para todos los números reales x, f'(x)=f(x) f'(0). (3) Expresa f(x) usando k cuando f'(0) = k."

'Encuentra el término general de la siguiente relación de recurrencia.'

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'Para tratar con la desigualdad de dos variables a, b, se pueden considerar los siguientes métodos.'

'Encuentra la derivada de la función y=x/√(4+3x^2). [Universidad de Miyazaki]'

'En un cono con un volumen de √2/3, encuentra el área lateral mínima del cono. Además, determina el radio de la base circular y la altura del cono en este mínimo.'

'Encuentre las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Expresa la coordenada x del punto P que se mueve a lo largo de una línea recta como una función del tiempo t, x = f(t). Luego responde a las siguientes preguntas:'

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'Calcular el volumen de un sólido de revolución en el espacio de coordenadas (1).'

'Para una función y=f(x) que es diferenciable en un cierto intervalo, cuando el valor de x aumenta, si la pendiente de la recta tangente aumenta, la curva y=f(x) en ese intervalo se define como cóncava hacia abajo; cuando la pendiente de la recta tangente disminuye, la curva y=f(x) en ese intervalo se define como cóncava hacia arriba; pero la definición real es la siguiente: una función f(x) es cóncava hacia abajo si para cualquier par de números reales diferentes x_{1}, x_{2} contenidos en un cierto intervalo y cualquier par de números reales s, t donde s+t=1, s ≥ 0, t ≥ 0, se cumple la desigualdad f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2}), y f(x) es cóncava hacia arriba si se cumple la desigualdad f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2}). Una función que es cóncava hacia abajo en su dominio se llama función convexa, y una función que es cóncava hacia arriba se llama función cóncava.'

'Calcular la cantidad y la integral del vertido de agua.'

'Diferenciar la siguiente función. (1) y = (x^2 + 1)^3'

'Explique el método para calcular derivadas por definición.'

'Por favor, explique las reglas de producto y cociente de la diferenciación.'

'Usando el método de integración por partes, encuentre la integral definida a continuación.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'(1) ∫ 1/√(x^2+1) dx'

'Encuentra la tangente de la curva y el volumen del sólido de revolución.'

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'Diferencia las siguientes funciones.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

"Demuestre que f'(x) es divisible por x=1 cuando f(x)=(x-1)^2 Q(x) donde Q(x) es un polinomio."

"Explique la definición y características de las derivadas. Además, proporcione la fórmula para la derivada f'(x) de la función f(x)."

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Diferencie las siguientes funciones de acuerdo con la definición de derivadas. (Pregunta adicional)'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Para números reales x e y, encuentra el valor mínimo de x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3, y determina los valores de x e y en ese momento.'

'Permutaciones circulares y permutaciones con repetición del mismo elemento'

'Determina el valor de la constante a para que la parábola y=x^{2}-ax+a+1 sea tangente al eje x. Además, encuentra las coordenadas del punto de tangencia.'

'Revisión de las condiciones necesarias y suficientes'

'¿Cómo se debe trasladar la parábola y=3x^2-6x+5 para que coincida con la parábola y=3x^2+9x?'

'Máximo y mínimo de una función cuando el gráfico se mueve'

'¿Cuáles son los valores máximos y mínimos de una función cuando se considera todo el dominio?'

'Máximos y mínimos de una función de dos variables'

'El valor máximo es 0 en x=0, el valor mínimo es 8(a+1) en x=2'

'Considerando a como una constante, encuentra el valor mínimo m(a) de la función f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x.'

'[3] El gráfico pasa por 3 puntos (1,3), (2,5), (3,9)\nConsideramos la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c\nComo pasa por el punto (1,3), tenemos 3=a*1^{2}+b*1+c\nComo pasa por el punto (2,5), tenemos 5=a*2^{2}+b*2+c\nComo pasa por el punto (3,9), tenemos 9=a*3^{2}+b*3+c\nAl resolver este sistema de ecuaciones, podemos encontrar los valores de a, b, c y determinar la función cuadrática.'

"Explique las relaciones entre una proposición, su inversa, opuesta, y contrapositiva, y encuentre la inversa, opuesta y contrapositiva de la siguiente proposición S: Proposición S: 'Si x es par, entonces x es divisible por 2.'"

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

"(2) Si y' = -4x - 8 = -4(x + 2), y' = 0, entonces cuando x = -2, la tabla de aumento y disminución de y es como sigue a la derecha. Por lo tanto, y alcanza el valor máximo de -4 en x = -2."

'Para la función $f(x)=x^{3}+\x0crac{3}{2} x^{2}-6 x$, responda las siguientes preguntas.'

'Rango de valores para la constante k cuando f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} no tiene un valor máximo.'

'Sea f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1. Demuestra que la curva y = f(x) es simétrica con respecto al punto A(2,3) en la curva.'

'Encuentra el valor de la constante a tal que las áreas encerradas por la curva y=x^{3}+x^{2} y la línea y=a^{2}(x+1) son iguales. Se da que 0<a<1.'

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"(2) y'=3 x^2+2 x-1=(x+1)(3x-1) y'=0 cuando x=-1, 1/3, la tabla de aumento y disminución de y es la siguiente. Por lo tanto, y alcanza un máximo en x=-1 y un mínimo en x=1/3."

'De acuerdo con la definición de la derivada, encuentre la derivada de las siguientes funciones: (1) y=x^{2}-3 x+9 (2) y=-2 x^{3}+3 x^{2}-1'

'Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos (4,-1), (6,3), (-3,0).'

'Un cubo con una longitud de lado de 1 cm está aumentando a una tasa de 1 mm por segundo. Encuentra las tasas de cambio de su área superficial y volumen después de 10 segundos (cm²/s, cm³/s).'

'La coordenada x de los puntos de intersección de la curva y = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 y el eje x son las soluciones de la ecuación 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0. Sea P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2, por lo tanto, P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0. Por lo tanto, P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1). Las soluciones de P(x) = 0 son x = 1, 2, -1/2. Por lo tanto, la curva se ve como se muestra en la figura de la derecha, y el área S que se busca es S = ∫(-1/2 a 1)(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2) dx + ∫(1 a 2)(-(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2)) dx = [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](-1/2 a 1) - [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](1 a 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2 ^ 4/2 - 5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2) - (1/2(-1/2) ^ 4 - 5/3(-1/2) ^ 3 + 1/2(-1/2) ^ 2 + 2 * (-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (- 61/96) = 253/96'

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'Matemáticas II'

'Encuentra los valores extremos de la función dada. Además, traza su gráfica. (1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'

'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { (1) } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'

'Encuentra el rango de valores posibles de la función f(x)=∫(t^2-2t-3)dt cuando -3≤x≤3.'

'Encuentra las rectas tangentes de la curva y=x^{3}-4x con una pendiente de -1.'

'Para el problema de ejemplo 190 que involucra el movimiento de un extremo de un intervalo, suponiendo que a > 0. Para la función y=-x³+3x² con 0≤x≤a, encuentre:\n(1) El valor máximo.\n(2) El valor mínimo.'

'En la función dada, determine el valor de h para que la tasa promedio de cambio sea 4 a medida que x varía de 1 a 1+h en la función f(x)=x^3-x^2.'

"Ejemplo adicional 178: Calcular derivadas (2)\nUtilizando la fórmula de la página 278, encuentre las derivadas de las siguientes funciones:\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\nPágina 278 'STEP UP'"

'Usando la fórmula de la página 278, diferencie las siguientes funciones.'

'Encuentra el rango de valores que la función f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt puede tomar cuando x está en el intervalo [-3, 3].'

'Encuentra las derivadas de las siguientes funciones y calcula la derivada en x=0,1 para cada una.(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'

'Dada la secuencia {an}, donde a1=2 y an+1=3an-n^2+2n. Considerando una función cuadrática g(n) tal que la secuencia {an}-g(n) forme una sucesión geométrica con una razón común de 3, encuentra una expresión para an en términos de n.'

'Determine los valores de las constantes a, b, c para que la función f(x) = ax^2 + bx + c cumpla con las siguientes 3 condiciones.'

'Encuentra una función f(n) que satisfaga la siguiente condición: b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'

'297 Ejemplo básico 189 Determinar coeficientes a partir de los valores máximo y mínimo'

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'Problema de búsqueda de soluciones comunes'

'Encuentra el valor mínimo de la función f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 cuando x ≥ 0, y ≥ 0. Además, determina los valores de x e y en ese punto.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida: \\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'

'Calcula la siguiente integral definida:\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} dx \n\\]\nTomando x = a - t, entonces -dx = dt. La correspondencia entre x y t es la siguiente:\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n Por lo tanto,\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} dt = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\frac{a}{2} - b \\]'

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'Encuentra el máximo y mínimo de la función representada por una integral definida (1)\n Para números reales a, b, encuentra el valor mínimo de la integral definida $\\int_{-\\pi}^{\\pi} (x-a \\sin x - b \\cos x)^{2} dx$. Además, determina los valores de a y b en ese momento.\n[Universidad de Shinshu]'

'Práctica 101 ⇒ Libro p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

'Lo que aprender en este capítulo》 En general, las funciones que no están expresadas mediante polinomios a menudo no son fáciles de integrar, aunque se puedan diferenciar. En este capítulo aprenderemos más sobre los métodos de integración para una mayor variedad de funciones basados en las fórmulas de diferenciación del Capítulo 3. En los métodos de integración, incluso las integrales indefinidas de funciones racionales pueden exceder el alcance de las matemáticas de secundaria, por lo que no siempre se pueden integrar todas las funciones. Sin embargo, el rango de funciones integrables es mucho más amplio que en Matemáticas II.'

'Calcular la siguiente integral indefinida.'

'Diferencia las siguientes funciones.'

'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { Por lo tanto, } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'

'Evaluar las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'(2) Calcular \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ Sea} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{ Por lo tanto, } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}.'

'Desigualdad de Schwarz'

"(x es una variable no relacionada con t) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"

'Capítulo 4 Aplicaciones de la Diferenciación\n19 Velocidad y Aceleración, Aproximación\nEstudio/Expansión de Maclaurin, Fórmula de Euler\nEjercicios'

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'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Suponiendo que el punto P se mueve a lo largo de la recta numérica y su velocidad en el tiempo t es 12-6t. Calcular la distancia recorrida por el punto P desde t=0 hasta t=5.'

'Practica diferenciar las siguientes funciones.'

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'Calcular las integrales definidas en la columna 40'

"Aumento y Disminución de Funciones\nEn Matemáticas II, consideramos de manera intuitiva una curva y=f(x) aproximándola con su recta tangente. En Matemáticas II, podemos demostrarlo teóricamente usando el teorema del valor medio.\nLa función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b).\n1. Si f'(x) > 0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es monótonamente creciente en el intervalo cerrado [a, b].\n2. Si f'(x) < 0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es monótonamente decreciente en el intervalo cerrado [a, b].\n3. Si f'(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es constante en el intervalo cerrado [a, b]."

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Explique cómo encontrar la derivada de una función representada por variables paramétricas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Capítulo 6: Aplicaciones de la Integración'

'Encuentre la siguiente integral indefinida'

"Cuando las coordenadas (x, y) del punto P se dan como una función del tiempo t, trazar líneas perpendiculares PQ y PR desde P hasta los ejes x e y respectivamente, la velocidad de Q en el tiempo t es dx/dt=f'(t), y la velocidad de R es dy/dt=g'(t). Un vector v compuesto por estas velocidades se llama velocidad o vector de velocidad del punto P en el tiempo t. La magnitud de v, |v|, se llama velocidad."

"Dado que la función cúbica f(x) tiene extremos locales en x=1 y x=2, puede expresarse como f'(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0). Además, si g(x)=3x/(2√(x^2+1))+1, entonces g'(x)=3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1)). La condición para que las curvas y=f(x) e y=g(x) tengan una tangente común en el punto (0,1) es f'(0)=g'(0)."

'Encuentra la integral definida de una función f(x) que cumple con las siguientes condiciones:\n\n1. f(x) es una función impar y siempre se cumple que f(-x)=-f(x).\n2. El rango de la integral definida es [-a, a].'

'Sea ( ) una constante mayor que 1. Muestra que existe una tangente a la curva ( ) que pasa por el origen ( ) cuando una función diferenciable ( ) satisface ( ).'

'Calcular la siguiente integral definida. \\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'

'Ejercicio 38 ↠ Este libro p.341 Sea h(x)=f(x)-g(x). Considere funciones continuas f(x), g(x) en el intervalo [a, b]. Por ejemplo, supongamos que f(x) es máximo en x=x y mínimo en x=x^2, y g(x) es máximo en x=x^3 y mínimo en x=x^4.'

'Encuentre el valor de la siguiente integral definida \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'

'Matemáticas II\n\n[Pregunta 1]\nSea I = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx.\n(1) Cuando m - n ≠ 0, es decir, m ≠ n\n\nResuelve el problema transformando sin(mx)cos(nx):\n\nCalcula I = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx.\n\n¿Cuál es I cuando m+n es par?\n¿Cuál es I cuando m+n es impar?\n\n(2) Cuando m - n = 0, es decir, m = n\n\n¿Cuál es I en este caso?'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Considerando la transformación de variables de x, y, mostrar la siguiente ecuación: \\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'

'Dado \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\), tenemos\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'

'Examine la concavidad de la curva y=\\frac{4x}{x^{2}+1} y encuentre los puntos de inflexión.'

'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'

''

'Sea V(t) el volumen del sólido obtenido al rotar la región representada por el sistema de desigualdades {0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y} alrededor del eje x cuando 660<t<3. Encuentra el valor de t donde dV(t)/dt=π/4 y el valor correspondiente de V(t).'

'Encuentra la siguiente integral.'

'Teorema de Taylor'

'Usando la fórmula (5), encuentra la siguiente integral.'

'Matemáticas I'

'Práctica libro 65 p.394'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Calcular el área encerrada por la curva de distribución normal (integral gaussiana)'

''

'Evaluar las siguientes integrales indefinidas. Aquí, a es una constante.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. Nota que la x en (4) es independiente de t.'

'En (1) Valor máximo de 7 en x = 0; valor mínimo de -9 en x = ±2. (2) Valor mínimo de -26 en x = 3.'

'En el intervalo c ≤ y ≤ d, la función f(y) siempre es mayor o igual a 0.'

'Encuentra el rango de valores para la constante a de manera que la función f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 tenga valores extremos.'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones y esboza la forma general de sus gráficos. (1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'

'Encuentra los valores de las constantes $\\alpha, \eta(\\alpha<\eta)$ para los cuales la ecuación $\\int_{0}^{1} f(x) dx=\\frac{1}{2}\\{f(\\alpha)+f(\eta)\\}$ se cumple para cualquier función cuadrática $f(x)$.'

'Desigualdad de Schwarz'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Explica sobre el aumento y disminución de una función y el concepto de máximo y mínimo.'

'Sea a una constante positiva. Demuestra que el área encerrada por la recta tangente en cualquier punto P de la parábola y=x^{2}+a y la parábola y=x^{2} es constante independientemente de la posición del punto P, y encuentra el valor constante.'

''

'Encuentra los extremos de las siguientes funciones y esboza sus gráficos.'

'Comenzando desde la ecuación matemática \ \\Pi \, tenemos (2) \\( \\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \\) lo cual nos da \\[ \\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\], y al diferenciar ambos lados de (2) con respecto a \ x \ obtenemos \\( f(x)=3 x^{2}-2 \\). Además, al establecer \ x=a \ en (2), el lado izquierdo se convierte en 0, por lo tanto \ 0=a^{3}-2 a+1 \, por lo tanto \\( (a-1)\\left(a^{2}+a-1\\right)=0 \\), así que \ a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \, por lo tanto \\( f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \\) . \\[ \egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array} \\] \\\leftarrow\ Usando el teorema del factor.'

''

'Encuentra la función f(x) y el valor de la constante a que satisfacen las siguientes ecuaciones: (1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'

'Encuentra la función f(x) que satisface las siguientes ecuaciones:'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones. Además, encuentra los valores correspondientes de x.'

'Explique las propiedades de las integrales indefinidas utilizando constantes k y l.'

'Determinación de coeficientes indeterminados en el set 16 (2) [Método de Sustitución Numérica]'

'Explique cómo encontrar valores extremos.'

'Encuentra la derivada de la función y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5 en x=1.'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'La integral indefinida de 2x^n es ∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (donde n es 0 o un entero positivo)'

'Encuentra el área entre las curvas y = x^2 e y = 2x.'

'Por lo tanto, cuando la línea (2) pase a través del punto (10, 50), el valor de la intercepción en y l/3 de la línea (2) será máximo. En este punto, l también será máximo. Por lo tanto, la ganancia x+3y será máxima en el punto (x, y) = (10, 50).'

'Encuentra f(x) y g(x) que satisfagan las funciones dadas f(x) y g(x)'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

''

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones y esboza el gráfico.'

"Encuentra una función cúbica f(x) que satisfaga las siguientes condiciones: f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2."

''

'Si a es una constante no nula, sea A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx y B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx. Encuentra los valores de A y B.'

'Demostrar la desigualdad y el límite (usando el teorema de los apretones)'

'Método de sustitución e integración por partes para integrales indefinidas'

'Encuentra la función diferenciable f(x) tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) en la curva que pasa a través de (1,0) es x√x.'

'Para la función y de x definida por la siguiente ecuación, exprese dy/dx y d^2y/dx^2 en términos de x e y, respectivamente.'

'Sean a y b números reales. Encuentra el valor mínimo de la integral ∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx a medida que varían los valores de a y b, y determina los valores de a y b en ese momento.'

'Diferencia las siguientes funciones.'

'Explica las siguientes fórmulas aproximadas:'

'(2) Sea Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx (donde n es un número natural). Expresa Iₙ para n >= 3 en términos de n e Iₙ-2. Además, encuentra los valores de I₃ e I₄. [Similar a la Universidad Nacional de Yokohama]'

'(3) Resolver usando la fórmula de suma de productos: $\\int \\sin 3x \\sin 2x dx = -\\frac{1}{2} \\int (\\cos 5x - \\cos x) dx$.'

'Encuentra los extremos de las siguientes funciones.'

'Encuentra la segunda derivada y la tercera derivada de las siguientes funciones.'

'Encuentra la integral indefinida de f(ax+b).'

'Encuentra la antiderivada de funciones básicas'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

'Por favor, calcula la derivada.'

''

'Encuentra las integrales indefinidas de las siguientes funciones.'

''

"Sea la función inversa de la función f(x) como g(x). Cuando f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3, encuentra el valor de g''(2)."

'Examine el aumento y la disminución de la función. (2) $$ y=\\frac{x^{3}}{x-2} $$'

'Diferencie la función y=x^{3}sqrt{1+x^{2}}.'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

"De matemáticas (4) (1), tenemos f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy. Por lo tanto, f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"

'Encuentra los puntos de inflexión de la curva y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1.'

'Define la derivada de una función.'

'Usando el ejemplo anterior, calcula las siguientes integrales definidas:\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'

'Usando el método de integración por partes, evalúa la siguiente integral definida. \\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (donde n es un entero no negativo)'

'Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \.'

'Encuentra las integrales indefinidas.'

'Para una función par $f(x)$, calcular $\\int_{-a}^{a} f(x) dx$. Aquí, una función par es una función que satisface $f(-x) = f(x)$.'

'Explique la fórmula de aproximación de segundo orden.'

'Diferencia las siguientes funciones de acuerdo con la definición de las derivadas: (1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'

'Ecuaciones de la Tangente y la Normal\nEn un punto \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) en la curva \\( y=f(x) \\)\n[1] La ecuación de la tangente es \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] La ecuación de la normal es, cuando \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\)\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'

'Usando inducción matemática, demuestra que la secuencia $a_{n}$ satisface $0<a_{n}<2 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$.'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

'Evaluar `∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`.'

''

'Teorema del valor medio'

'Diferencia las siguientes funciones.'

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'

'Encuentra el valor máximo de f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt (0 ≤ x ≤ 2π) y el valor correspondiente de x.'

'Por favor, compare las tasas de crecimiento de las funciones \ x^{p} \ y \\( x^{q}(0<p<q) \\).'

'Usando la integración definida y la relación de recurrencia, encuentre la siguiente integral definida.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Para una curva con la ecuación F(x, y) = 0 o parametrizada como x = f(t), y = g(t), la ecuación de la recta tangente en un punto (x1, y1) en la curva es y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente obtenida al sustituir x = x1, y = y1 en la derivada dy/dx.'

'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'

"Demuestra que si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo (a, b), entonces existe un número real c tal que [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c) con a < c < b."

'Encuentra la siguiente integral definida. (2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Explique cómo encontrar integrales usando las reglas de diferenciación.'

'Movimiento de puntos en un plano'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Diferencia las siguientes funciones. En esta pregunta, (6) donde a es una constante.'

'Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \.'

'Demuestra que cuando la función continua f(x) satisface f(π-x)=f(x) para todos los números reales x, entonces la integral de 0 a π de (x-π/2)f(x)dx=0. También, usando esto, encuentra la integral definida ∫₀ᵠ de xsin³x / 4-cos²x dx.'

'Encuentra la segunda derivada de la siguiente función: (1) y=x^3−3x^2+2x−1'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Utilice el método de sustitución para resolver las siguientes integrales.'

'Para un número natural n, sea S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1).'

'Encuentra el área encerrada por la curva y=f(x) y y=g(x) entre las líneas x=a y x=b.'

'(1) Resolver usando la fórmula del semiángulo $\\int \\cos^{2} 2x dx=\\int \\frac{1+\\cos 4x}{2} dx$.'

'Examine el aumento y la disminución de la siguiente función:'

'Suponiendo que un tercio de las personas que viven fuera de Tokio se trasladan a Tokio cada año, y un tercio de las personas que viven en Tokio se trasladan fuera de Tokio. Sea an la población fuera de Tokio y bn la población dentro de Tokio en el año n, encuentre lim(n→∞)an/bn. Se asume que la suma total de la población de Tokio dentro y fuera es constante independientemente del año.'

'(2) Encuentra la integral definida \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\).'

'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ Resolver usando la fórmula del triple ángulo.'

'Encuentra y^{\\prime \\prime}(0) cuando la función y(x) tiene una segunda derivada y^{\\prime \\prime}(x) y satisface x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1.'

'(4) $\\int_{1}^{e} \\frac{\\log x}{x} d x$'

'Diferencia las siguientes funciones de acuerdo con la definición de derivadas.'

'Diferencie la función y=x^3√(1+x^2).'

'Práctica: Encuentra el volumen V del sólido obtenido al rotar la región encerrada por las siguientes curvas o líneas alrededor del eje y.'

'La condición para que la función inversa sea igual a la función original es $f^{-1}(x)=f(x)$'

'Evaluar las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra la segunda derivada de la siguiente función. (1) y=√[3]{x}'

'La función compuesta \\( f(x) \\) satisface la condición \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\) para cualquier número real \ x, y \ y es diferenciable en \ x=0 \ con \\( f^{\\prime}(0)=1 \\).'

'Matemáticas (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx Cuando los denominadores se cancelan de esta manera...'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

'Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \.'

'Demuestre la siguiente ecuación: \ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'

'Encuentra los valores extremos de la función f(x) = ∫₀ˣ(1-t²) eˣᵗ dt. [Universidad Marítima de Tokio]'

'Encuentra la integral definida \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\).'

"Si consideramos F'(t) = 1/(t²+1) "

'Supongamos que la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo (a, b).'

'¿Quién descubrió el cálculo?'

'Encuentra el área de la región encerrada por dos curvas y una recta: Calcula el área S encerrada por las dos curvas y=e^x, y=1/(x+1), y la recta x=1.'

'Intentemos calcular el volumen cortando con un plano perpendicular al eje Y. Tomemos el punto Q en el eje Y, donde OQ=y, sea el área de la sección transversal S(y), y luego calculemos V= \\int_{0}^{a} S(y) dy.'

'Encuentra las derivadas de las siguientes funciones de acuerdo con las definiciones dadas.'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

'(2) Considerando el resultado obtenido en (1) como una función de x y diferenciándola, encuentre la suma 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1) cuando x no es igual a 1.'

'Encuentra la integral indefinida de f(ax+b).'

'¿Cómo encontrar la función inversa?'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'(1) Usando (1), encuentre la siguiente integral definida.\n(a) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'

''

'Encuentra el valor máximo, valor mínimo y los valores correspondientes de x de las siguientes funciones:\n(1) y = \\frac{2(x-1)}{x^{2}-2x+2}\n[Universidad Médica de Mujeres de Tokio]\n(2) y = (x+1)\\sqrt{1-x^{2}}\n[Universidad de Tecnología de Long Naga]'

''

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones según la definición.'

''

'Encuentra la integral indefinida: \ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

''

'Diferenciar las siguientes funciones. Donde a es una constante.'

"Encuentra la integral definida ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx utilizando el método de sustitución para integrales."

"Ejemplo Básico 53 Derivadas e Identidades\nSea f(x) un polinomio de grado 2 o superior.\n(1) Expresar el resto cuando f(x) se divide por (x-a)^2 en función de a, f(a), f'(a).\n(2) Encontrar la condición para que f(x) sea divisible por (x-a)^2."

'Encuentra la siguiente integral definida: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \'

'13 \\n(1)\\n\\\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\\\'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

'Encuentra la derivada de la función compuesta h(x) = f(g(x)).'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones. (1), (3) Universidad de Mujeres de Japón'

"Parte de la 'yo deseado' y trabaja hacia atrás."

'Curvas cóncavas y convexas, Puntos de inflexión'

'(1) Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left|\\cos x-\\frac{1}{2}\\right| dx \.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Utilizando (1), encontrar la siguiente integral definida.'

'Calcular las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

''

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Encuentra el número real \ k \ que minimiza el valor de la integral \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) y el valor de la integral en ese punto.'

'Calcule dy/dx utilizando el método de diferenciación paramétrica.'

''

'Diferencia las siguientes funciones.'

"Sea f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x} para constantes a, b, c. Encuentra los valores de a, b, c cuando f'(x)=f(x)+x e^{-x} se cumple para todos los números reales x."

'Cuando la serie infinita converge, sea su suma f(x). Dibuja el gráfico de la función y=f(x) y examina su continuidad.'

'Si se define 1+x^{2}=u, entonces 2 x d x=d u, por lo tanto ∫ x cos(1+x^{2}) d x=1/2 ∫ cos u d u=1/2 sin u + C=1/2 sin(1+x^{2}) + C'

'Diferencie las siguientes funciones.'

'¿Por qué no se descubrió el cálculo en la antigua Grecia?'

'Usando la segunda derivada, encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

'Demuestra que cuando y=cos x, la enésima derivada de y es cos(x+nπ/2).'

'Cuando se busca la integral indefinida de una función racional, ¿cómo debemos proceder si el grado del numerador es mayor que el denominador o si el denominador está en forma de producto de múltiples factores?'

'Diferencie las siguientes funciones.'

'Diferencie la siguiente función. (1) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}'

'Utilizando las reglas de derivación, calcula las derivadas de las siguientes funciones.'

'Resuelve el siguiente problema: Encuentra la integral definida del valor absoluto de t^3 en el intervalo de 0 a 2.'

'Diferencie las siguientes funciones.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida: \n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \'

'Las secuencias {an},{bn} convergen, con lim{n→∞} an=α, lim{n→∞} bn=β. Explica las siguientes propiedades: 1) Múltiplo constante lim{n→∞} k an=k α, donde k es una constante 2) Suma lim{n→∞}(an+bn)=α+β; Diferencia lim{n→∞}(an-bn)=α-β 3) lim{n→∞}(k an+l bn)=k α+l β, donde k, l son constantes 4) Producto lim{n→∞} αn bn=α β 5) Cociente lim{n→∞} an/bn=α/β, donde β ≠ 0.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}'

'Calcule el ejemplo 134 de la integral definida (usando ecuaciones)'

'Crea una aproximación de primer orden para las siguientes funciones.'

'Explique las condiciones para que una función tenga un extremo.'

'Diferencie las siguientes funciones con respecto a x:'

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'

'Encuentra la integral definida.'

'La integral definida de una función par o impar f(x) es'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

None

'Encuentra el valor de c para el cual se cumplen las condiciones del teorema del valor medio para la función f(x) dada y el intervalo.'

'Diferencie las siguientes funciones.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Examine la concavidad de las siguientes curvas y encuentre cualquier punto de inflexión.'

'Enumere los ejercicios de las aplicaciones del método de integración en el Capítulo 6 en el siguiente orden: 28 Área 29 Volumen 30 Longitud de una curva 31 Velocidad y distancia 32 Ecuaciones diferenciales avanzadas Use la integración gaussiana para encontrar el área encerrada por la curva de distribución normal.'

'Sea a un número real. Determine el rango de valores para a de modo que la función f(x)=ax+cosx+12sin2x no tenga ningún extremo.'

'Usando la segunda derivada, encuentra los valores extremos de la función y=x^{3}-3 x+1.'

'Encuentra la tercera derivada de las siguientes funciones:\n(1) y = sin 2x\n(2) y = sqrt(x)\n(3) y = e^(3x)'

'¿Cómo se puede aprovechar un video explicativo?'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'Determina los valores de las constantes a, b y c, cuando la función inversa de f(x)=a+\\frac{b}{2x-1} es g(x)=c+\\frac{2}{x-1}.'

'(1) Utilizando (1), encuentre la siguiente integral definida. (イ) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \'

'Encuentra los valores extremos de las siguientes funciones.'

'Calcular la siguiente integral indefinida. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2x}{3+\\cos^2 x} dx \'

'Expresa \ \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \ en términos de \ x \ e \ y \ cuando \ x^{2}-y^{2}=a^{2} \. Aquí, \ a \ es una constante.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'¿Cuáles son algunas formas útiles de pensar al resolver problemas difíciles? ¿Cómo beneficia al aprendizaje?'