Funciones Avanzadas - Funciones Exponenciales y Logarítmicas

'Para un polinomio f(x), la identidad f(f(x))={f(x)}^{2} es cierta. Encuentra todos los f(x) que satisfacen esta condición, con f(x) siempre siendo diferente de cero.'

'(3) Sea el primer término $a$ y la razón común $r(r>0)$. De acuerdo con las condiciones\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\nDe (2) tenemos $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\nSustituyendo (1) obtenemos $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\nPor lo tanto\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nFactorizando obtenemos $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\nAsí que $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\nDado que $r>0$, tenemos que $r^{3}=8$, entonces $r=2$\nSustituyendo $r=2$ en (1) obtenemos $7 a=21$, por lo tanto $a=3$\nPor lo tanto, el primer término es 3 y la suma de los primeros 5 términos es $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$'

'Identifica las características del gráfico de la función logarítmica y=log_a x.'

'La ecuación de la recta tangente en el punto (2, -2) es y - (-2) = -3(x - 2), que se simplifica a y = -3x + 4. La coordenada x de la intersección de las rectas (1) y (2) se encuentra siendo x = 1 a partir de x = -3x + 4, por lo tanto, el área a determinar se denota como S, donde S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3.'

'La función alcanza el valor máximo de 2a√a + b cuando x = -√a, y el valor mínimo de -2a√a + b cuando x = √a.'

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'La coordenada x del punto de intersección de 2 curvas es la solución de x^3-3x^2+2x=ax(x-2). Dado que x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2), tenemos x(x-1)(x-2)=ax(x-2). Por lo tanto x(x-2)(x-1-a)=0. Por lo tanto x= 0,2, a+1. Dado que a>1, la forma general de las dos curvas es como se muestra en la figura de la derecha, y la condición para que las dos áreas S1, S2 sean iguales es S1=S2, lo que significa que S1-S2=0. Por lo tanto'

'Encuentra el valor mínimo de la función y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1).'

'Resuelve la ecuación logarítmica \ \\log_{a} x = b \. Aquí, \ a \ y \ b \ son constantes, y \ x \ es la variable.'

'Considere la función de 4to grado de x, f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x, donde a y b son números reales.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 para 2 ≤ x ≤ 16, y los valores correspondientes de x.'

'Ejemplo 152 Máximo y mínimo de varias funciones (utilizando diferenciación 2) (1) Encuentra el valor mínimo de la función f(x)=2^{3x}-3*2^{x} y el valor correspondiente de x. (2) Encuentra el valor máximo de la función f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) y el valor correspondiente de x.'

'Cálculo de interés compuesto\nConsiderando una tasa de interés anual de r, utilizando el cálculo de interés compuesto cada año, encuentre lo siguiente:\n(1) El principal T en yenes para hacer que la cantidad total después de n años sea S yenes\n(2) Ahorre P yenes al comienzo de cada año, y el total del principal después de n años es Sn yenes'

'Encuentra el valor mínimo de la función f(x).'

'Ejemplo 31 | Relación de recurrencia que implica producto y potencias (usando logaritmos)'

'Grafique las siguientes funciones. Además, describa la relación entre las funciones y \ y=\\log _{4} x \.'

"Matemáticas II -247 Ejercicio 80 ⇒ Página 302 de este libro f'(x)=3x^2+2ax Por lo tanto, la ecuación de la tangente ℓ_t en el punto P(t, f(t)) es y-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(x-t) Cuando ℓ_t pasa por el origen -(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(-t) 2t^3+at^2-b=0 Simplificando obtenemos 2t^3+at^2-b=0 En el gráfico de una función cúbica, dado que distintas tangentes corresponden a diferentes puntos de contacto, la ecuación (1) necesita tener una única solución real. Ahora, sea g(t)=2t^3+at^2-b. Encontrar las condiciones para a, b de tal manera que la curva y=g(t) tenga exactamente un punto en común con el eje t. g'(t)=6t^2+2at=6t(t+a/3) Al poner g'(t)=0 obtenemos t=0,-a/3 [1] Cuando a=0, g'(t)=6t^2 ≥ 0 Por lo tanto, dado que g(t)=2t^3-b es monótonamente creciente, independientemente del valor de b, la curva y=g(t) tiene exactamente un punto en común con el eje t. [2] Cuando a≠0 Dejemos que el menor entre 0,-a/3 sea α, y el mayor sea β, luego la tabla de aumentos y disminuciones para g(t) es la siguiente. Para que la curva y=g(t) tenga exactamente un punto en común con el eje t, las condiciones son que el máximo y el mínimo son ambos positivos o ambos negativos. Es decir, g(0)g(-a/3) > 0 Dado que g(0)=-b, g(-a/3)=a^3/27 - b Por lo tanto, -b(a^3/27 - b) > 0, o de manera equivalente b(a^3/27 - b) < 0 Por lo tanto b < 0 y b < a^3/27 o b > 0 y b > a^3/27 Por lo tanto las condiciones que buscamos son Cuando a=0, b es todos los números reales Cuando a≠0, b < 0 y b < a^3/27 o b > 0 y b > a^3/27 Por consiguiente, la región donde existe el punto (a, b) se muestra en la figura a la derecha como la parte oblicua. Por favor, tenga en cuenta que la línea límite solo incluye el origen y excluye a otros puntos."

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 cuando x=-s, s [1] s>0 la tabla de incrementos y decrementos de f(x) es como sigue a la derecha. (i) cuando 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = aumentando máximo & disminuyendo mínimo & aumentando f(x) es el valor mínimo en x=s por lo tanto g(s)=f(s)=s^3 / 3 - s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) cuando s ≥ 2 f(x) es el valor mínimo en x=2 por lo tanto g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] cuando s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 por lo tanto 0 ≤ x ≤ 2 f(x) es el valor mínimo en x=0 por lo tanto g(0)=f(0)=0"

'Expresa el tamaño relativo de cada conjunto de números utilizando desigualdades.'

'Resolver la ecuación (1), 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'Fórmula de conversión de base'

'Propiedades de las funciones logarítmicas\nPropiedades y gráficos de la función logarítmica \ y=\\log _{a} x \ donde \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) El dominio son todos los números positivos, el rango son todos los números reales.\n(2) Pasa por los puntos \\( (1,0),(a,1) \\), con el eje \ y \ como su asíntota.\n(3) Cuando \ a>1 \, a medida que \ x \ aumenta, también lo hace \ y \.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nCuando \ 0<a<1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ disminuye.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Simplifique las siguientes expresiones:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y = 9^x - 2 \\ cdot 3^{x+1} + 81 (-3≤x≤3).'

'Indique la definición de logaritmo común.'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

'Función Exponencial\nPropiedades y Gráfica de la Función Exponencial \ y=a^{x} \\nSea \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) El dominio es todos los números reales, el rango es todos los números positivos.\n(2) Pasa por los puntos \\( (0,1),(1, a) \\) y el eje x es su asíntota.\n(3) Cuando \ a>1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ también aumenta.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nCuando \ 0<a<1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ disminuye.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Encuentra la función f(x) que satisface la ecuación f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t. Al reorganizar el lado derecho, obtenemos f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a. Si consideramos a y b como constantes, entonces a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}. Por lo tanto, a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t implica 2 a-6 b-3=0. Por otro lado, b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1, por lo tanto a+b+1=0 (1), resolver el sistema de ecuaciones da a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8}, por lo tanto f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x se puede considerar como una constante.'

'Por favor describa el dominio y rango de la función exponencial y=a^{x}.'

'Función logarítmica'

'Encuentra los siguientes valores.'

'Encuentra los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones.'

'Investiga la relación entre el gráfico básico de y=a^x y los gráficos de y=3^x y y=3^{-x}.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Logaritmos y sus propiedades\nDefinición de logaritmos\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { son valores dados. } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Consideremos las curvas C1: y=a e^{x}, C2: y=e^{-x}. Cuando la constante a varía en el rango 1≤a≤4, se define D1 como la región encerrada por C1, C2 y el eje y, y D2 como la región encerrada por C1, C2 y la recta x=log 1/2. (1) Encuentra el valor de a cuando el área de D1 es 1. (2) Encuentra el valor mínimo de la suma de las áreas de D1 y D2 y el valor correspondiente de a.'

'Demuestre la desigualdad (1) utilizando diferenciación (básica)'

"Para la función f(x) = A e^x cos x + B e^x sin x (donde A, B son constantes), responda a las siguientes preguntas: (1) Encuentra f'(x). (2) Expresa f''(x) en términos de f(x) y f'(x). (3) Encuentra ∫ f(x) dx."

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Función famosa y su límite asociado\nEl límite de la función \ y=\\frac{\\log x}{x} \ es \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'Demuestra que la desigualdad b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) se cumple cuando a > 0, b > 0.'

'Sea \\( f(x)=-e^{x} \\). Para un número real \ b \, encontrar la cantidad de rectas tangentes a la curva \\( y=f(x) \\) que pasan por el punto \\( (0, b) \\). Se puede utilizar \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \.'

'Encuentra la siguiente integral definida. $$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'Para números reales a, b, c, sea F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1. Además, sea T el conjunto obtenido al remover los puntos 1 y -1 del círculo unitario en el plano complejo.'

'Para una constante k, determinar el número de soluciones reales de la ecuación log(sin x+2)-k=0 para 0<x<2π.'

'Cómo dibujar un gráfico de reflexión Los problemas de dibujar un gráfico utilizando métodos diferenciales tenían las siguientes 3 formas de expresión de funciones:'

'Encuentra la función inversa y el área.'

'Sea n un entero positivo arbitrario, y sean dos funciones f(x), g(x) ambas funciones diferenciables n veces. [Bastante grande] (1) Encuentra la cuarta derivada del producto f(x)g(x) d^4/dx^4{f(x)g(x)}. (2) Infiera el coeficiente de f^(n-r)(x)g^(r)(x) en la enésima derivada d^n/dx^n{f(x)g(x)} del producto f(x)g(x), y demuestre la inferencia es correcta usando inducción matemática. Aquí, r es un entero no negativo no mayor que n, y f^(0)(x)=f(x), g^(0)(x)=g(x). (3) Encuentra la derivada n-ésima h^(n)(x) de la función h(x)=x^3e^x, donde n≥4.'

'Sea a > 0, b > 0, y f(x) = log ((x + a) / (b - x)). Demuestra que la curva y = f(x) es simétrica respecto a su punto de inflexión.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones. Además, grafica sus gráficos.'

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'Variación de los valores de la función, máximo y mínimo, gráfico de la función'

'Sea n un número entero. Demuestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas: donde, \ \\cos ^{0} x = 1 \, (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\).\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \ (n \\geqq 1)'

'¿Cómo podemos resolver el problema incómodo \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ de varias maneras? En el ejemplo importante 141 (1), lo resolvimos asumiendo \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \, pero también hay muchos otros métodos. Primero, veamos el método de sustituir \ x=\\tan \\theta \ como se indica en la página anterior.'

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'Sea \ a \ una constante distinta de cero, y sea \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \. Encuentra los valores de \ A, B \.'

'Con las constantes a, b, donde ab ≠ 1. Encuentra la condición en la que la función inversa de y = (bx + 1) / (x + a) coincide con la función original.'

'Básico 11: Condición para que la función inversa sea igual a la función original'

'Sea n un número natural mayor o igual a 2. Demuestra la siguiente desigualdad:'

'Encuentra la integral indefinida de \\\int e^{2x+e^x} dx\.'

'Demuestra que existe una secuencia de puntos Pₙ(xₙ, yₙ) que satisface P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) en un plano, y la secuencia P₁, P₂, ... se acerca infinitamente a un punto fijo.'

'Demuestre la desigualdad \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10} para x>0.'

'Integración por sustitución e integración por partes'

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'Encuentra el rango del constante a cuando se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) en el eje x al gráfico de la función y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}}.'

'Encuentra la integral de la función f(x)=3 cos 2x+7 cos x sobre el intervalo [0, π] en la forma de \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\).'

'Encuentra las ecuaciones de las líneas y parábolas obtenidas al mover la siguiente línea y parábola de forma paralela al eje x por -3 y al eje y por 1.'

'El costo total de vender y chocolates, denotado como c(y), se recoge en c(y)=y^{2}. Encuentra los valores del precio de venta p y la cantidad y en los que se maximiza el beneficio de la Compañía A (la diferencia entre los ingresos y el costo total).'

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'Transformación de variables'

'Expandir 159 Usando Transformación de Variables'

'En el Ejemplo 30, racionalizamos los denominadores de cada término antes de realizar los cálculos. Sin embargo, en el Ejemplo 31 (1), procedemos con los cálculos sin racionalizar los denominadores. Vamos a pensar en la razón de este enfoque.'

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'Sea S(a) el área encerrada por la recta que pasa por el punto (1,2) con pendiente a y la parábola y=x^2. Encuentra el valor de a que minimiza S(a) a medida que a varía en el rango 0 ≤ a ≤ 6.'

'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe sus relaciones de posición con la función y=3^x.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones:'

'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe su relación posicional con la función y=log_{2} x.'

'Simplifique las siguientes expresiones.'

'Máximo y Mínimo de la Función Logarítmica (1): Encuentra el máximo y el mínimo de la siguiente función logarítmica.'

'Simplifique las siguientes expresiones:'

'Sobre cálculos de logaritmos'

'Encuentra el valor máximo, mínimo y los valores correspondientes de x para la función y = log_2(x/2)log_2(x/8) (1/2 ≤ x ≤ 8).'

'Dado que f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) tiene un valor máximo de 5 y un valor mínimo de -7 en el intervalo -1 ≤ x ≤ 1, determina los valores de las constantes a y b.'

'Calcula el logaritmo común de 1.95 a partir de los datos 1.'

'Resolver las siguientes ecuaciones.'

'Demuestre que el valor de \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] se convierte en una función únicamente de k, independientemente de los valores de m y σ, cuando la variable aleatoria X sigue la distribución normal N(m, σ^2).'

'Describa el gráfico y las propiedades de las siguientes funciones logarítmicas.'

'Considere la función y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1, definida para 1550 1/3 ≤ x ≤ 3. Encuentre el valor máximo y mínimo de la función y, y los valores correspondientes de x.'

'Describe las propiedades de la función logarítmica.'

'Para el gráfico de la función y = x ^ 2 (x > 0), utilice escalas logarítmicas tanto para el eje horizontal como para el eje vertical.'

'Fórmula de conversión de base: Convierta las bases de los siguientes logaritmos.'

'Encuentra el área encerrada por dos parábolas denominada como S(a). Sea la coordenada x de los puntos de intersección de las dos parábolas α y β (α < β), entonces desde la figura a la derecha:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nLas soluciones de la ecuación cuadrática (1) son x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3. Dado que α y β son las soluciones de (1),\nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nPor lo tanto, S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nDado que -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8), en el rango 0 < a < 9/2, -2a^2 + 9a es máximo en a = 9/4, y en este punto S(a) también es máximo.\nPor lo tanto, S(a) es máximo en a = 9/4\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8.'

'Responda las siguientes preguntas sobre conceptos básicos de logaritmos. Calcule el logaritmo basado en las ecuaciones dadas.'

'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe su relación con la función y=log_{2} x.'

'Condiciones para la existencia de soluciones de ecuaciones logarítmicas: Determinar las condiciones para la existencia de soluciones de la siguiente ecuación logarítmica.'

'El número de soluciones reales distintas n de la ecuación f(x)=0 es igual al número de puntos de intersección entre la curva y=f(x) y el eje x. A partir de (1), cuando a≤0, n=1, y a partir de (2), cuando a>0, el valor mínimo -4√2a3/2+16 depende del valor de a y podría ser positivo, 0 o negativo, por lo tanto, n=1,2,3. Por lo tanto, resumiendo (1) y (2), si n=1, entonces a<0, a=0, a>0 son todas posibles; si n=2, solo a>0 es posible; si n=3, solo a>0 es posible.'

'¿Cuál es la razón de que haya tantos problemas incluidos en el gráfico azul?'

'¿Cómo puedes profundizar aún más tu aprendizaje utilizando contenido digital?'

'Respuesta del ejercicio 67 (2) \\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'

'Encuentra las integrales indefinidas. En (3), (4), donde (a≠0, b≠0). (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'

'Traduzca el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{x} \\cos x dx \.'

'Sea y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x).'

'Considera la función 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2. (1) Sea f(x) la segunda derivada de f(x), demuestra que la ecuación \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) se cumple. (2) Encuentra la integral definida \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x.'

'Investiga el comportamiento creciente y decreciente de la función f(x)=x-1-log x, y demuestra la desigualdad log x ≤ x-1 para x>0.'

"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'Utilizando los anteriores [4] [6] como fórmulas, intentemos encontrar la siguiente integral definida.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'Ejemplo importante 165) Cantidad e Integración Girando una parte de la curva y = e^x alrededor del eje y desde 0 ≤ x ≤ 2 crea un contenedor, en el cual se vierte agua a una tasa de a (una constante positiva) por unidad de tiempo. Sea V el volumen de agua cuando la profundidad es h, y sea S el área de superficie del agua. (1) Encuentre ∫(log y)^{2} dy. (2) Expresa V en términos de S. (3) Encuentra la velocidad a la que se expande la superficie del agua cuando S se convierte en π. [Instituto de Tecnología de Shibaura] Guía (3) La velocidad a la que se expande la superficie del agua es dS/dt, pero parece difícil expresar S en función de t. Por lo tanto, utilizando la pista (2), usa dV/dt = dV/dS * dS/dt para encontrar la solución.'

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'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'(1) Encuentra la derivada de la función $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$. (2) En el plano $x y$, el punto $P$ se encuentra en la curva $C$ representada por la ecuación $x^{2}-y^{2}=1$ y está en el primer cuadrante. Si el área encerrada por el segmento de línea $OP$ que conecta el origen $O$ y el punto $P$, el eje $x$ y la curva $C$ es $\\frac{s}{2}$, expresa las coordenadas del punto $P$ en términos de $s$.'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { y } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'¿Cómo encontrar la inversa de una función?'

'Demuestra que la desigualdad es cierta cuando x > 0.'

'Utiliza la ecuación (1) del ejercicio 152 en la página 530, donde (1) es V=2π∫₀πx{cosx-(-1)}dx.'

'(2) \\\\ Sea \ e^{x}+1=t \, entonces \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'Utilizando la fórmula de integración por sustitución (2), encuentra la siguiente integral.'

'(2) Sea la secuencia \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ definida por \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\). Usando el hecho de que \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ implica \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\), demuestra que la secuencia \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ converge y encuentra su límite. Puedes utilizar el hecho de que \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Por lo tanto \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nPor lo tanto \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] Al resolver esto obtenemos \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nAsí \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'Demuestra la siguiente desigualdad.'

'Pregunta importante 115 Funciones inversas e Integral Definida\nSea la función inversa de la función y=e^{x}+e^{-x}, definida para x≥0, y=g(x). Encuentra ∫_{2}^{4} g(x) dx.'

'Ejercicio 102 \\Rightarrow Página 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ Suponiendo \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nPor lo tanto, \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nAsí, \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nPor lo tanto, \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'Dado que (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2), se deduce que x e^(x^2) es una función impar.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Determine el rango de números reales para los cuales la secuencia {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n} converge. También encontrar el valor límite en ese punto.'

'Dado que esta línea pasa por el punto (0, Y(a)), Y(a) = (a^2 + 1)e^(-a^2/2)'

'Encuentra los vectores v y α.'

'Práctica 163'

''

'(1) Encuentra el volumen $V$ del sólido formado al rotar la región encerrada por las curvas $y=x^{2}, y=\\sqrt{x}$ alrededor del eje $y$.\n(2) Sea la curva $y=\\log 3x$ denotada por $C$. Encuentra el volumen $V$ del sólido formado al rotar la región encerrada por $C$, la recta tangente que pasa por el origen $O$, y el eje $x$ alrededor del eje $y$.'

'Matemáticas II\n407\n[2] Cuando \ p>2 \\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\nA partir de [1], [2], la tabla que muestra el cambio en S es la siguiente.\nPor lo tanto, \ S \ es mínimo en \ p=\\frac{4}{3} \, y su valor mínimo es\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & Mínimo local & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { cuando } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'Diferencia las siguientes funciones.'

'(5) Si \ \\log x=t \, entonces \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Ejemplo 143 Determinación de coeficientes a partir del área'

'Encuentra la función que cumple con las siguientes condiciones.'

'Usando el teorema del valor medio, prueba las siguientes proposiciones:'

'Traducir el texto dado a múltiples idiomas.'

'Utilice la fórmula (4) para evaluar la siguiente integral.'

'Encuentra el valor extremo de la función en x=1/√e. \n(1) En x=1/√e, la función tiene un valor mínimo de -1/(2e) \n(2) En x=-4/3, la función tiene un valor máximo de 4√6/9, y en x=0, la función tiene un valor mínimo de 0'

'Ejemplo 163 Punto en Movimiento en una Curva a Velocidad Constante\n547\nHay un punto P moviéndose en el plano de coordenadas. El punto P parte de (0,1) y se mueve a lo largo de la curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) a una velocidad de 1 unidad por segundo. Sea (f(t), g(t)) las coordenadas del punto P después de t segundos. Encuentra f(t), g(t).\n[Shinkei]\nConsidera dos formas de expresar la distancia l desde 0 segundos hasta t segundos.\n[1] Dado que se mueve a una velocidad de 1 unidad por segundo, l=t\n[2] Dado que se mueve en la curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0), sea p la coordenada x del punto P después de t segundos, entonces\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"En el caso de x>0, si f'(x)=0, entonces x+π/4=kπ, lo que significa x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...). Dado que f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)}"

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Encuentra la derivada de la función logarítmica log_a x con respecto a cualquier base a.'

''

'Resuelve la siguiente integral.'

'Encuentra la condición necesaria y suficiente que q debe cumplir para que la recta y = px + q no tenga ningún punto en común con el gráfico de la función y = log x.'

'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones.'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'Ejercicio 97 \\Rightarrow Libro p.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'La integral \ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ se conoce como la integral Gaussiana y es igual a \ \\sqrt{\\pi} \.'

'170 (2) (ウ) f(x)=-e^{-x}+1'

'Demuestre usando inducción matemática la derivada n-ésima y la fórmula de recurrencia para f(x) = 1 / (1 + x^2).'

'Práctica (1) Encuentra la coordenada x de la intersección de dos curvas y=logx y y=a/x^{2} (a>0), denotada por p, expresa a en términos de 144p.'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'Expresión dada en matemáticas \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nOtra solución es \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\), por lo tanto\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) Demuestra la desigualdad \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\).'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones:'

'Hay dos puntos P y Q moviéndose en el eje x. En el tiempo t=0, los dos puntos están en el origen O, y las velocidades de P y Q en el tiempo t son respectivamente v_P(t)=a t (0 ≤ t) y v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t) (1) Demuestra que Q siempre adelantará a P. (2) Encuentra el tiempo en que Q alcanza a P y la distancia máxima entre P y Q dentro de ese tiempo.'

'El texto dado se traduce a varios idiomas.'

'Sea n un número entero positivo arbitrario, y sean las dos funciones f(x) y g(x) funciones ambas diferenciables n veces.'

'Para cualquier número entero no negativo m y n, sea Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx.'

'(1) $8\\log 2-1$ (2) $\\frac{1}{\\log 2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) Encuentra la derivada f'(x) de la función f(x) = log(x+√(1+x^2)) definida para x ≥ 0. (2) Encuentra la longitud de la parte de la curva definida por la ecuación polar r=θ(θ ≥ 0) para 0 ≤ θ ≤ π."

''

'143 (1) x=0, π/2 para un valor máximo de 1; x=π, 3π/2 para un valor mínimo de -1\n(2) x=log_{2} (fracción) √5 ± 1/2 para un valor mínimo de 1-10√5'

'Ilustra el rango de puntos $(x, y)$ que satisfacen la desigualdad $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$.'

"Encuentra los valores de las constantes a, b y c para que la función cúbica f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c cumpla con la condición 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6."

'Máximo y mínimo de la función logarítmica'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

'Número de soluciones de una ecuación logarítmica'

'Máximo y mínimo de funciones exponenciales'

'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones. (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) Sea a>0, a \\neq 1. Para la función y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2, sea a^{x}+a^{-x}=t. Expresa y en función de t y encuentra el valor mínimo de y. (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'Encuentra las funciones f(x) y g(x) que satisfacen las condiciones dadas.'

'Encuentra el valor máximo de la función y = log_4(x+2) + log_2(1-x) y el valor correspondiente de x.'

'Pregunta 2: Función logarítmica'

'Dado que F(x) toma un valor máximo de 5 en x=1 y un valor mínimo de 4 en x=2, encuentre los valores de f(t) y α cuando α es una constante real y f(t) es una función de segundo grado.'

'Encuentra los valores de los siguientes logaritmos.'

''

'(1) Encuentra el valor mínimo de x^{2} + y^{2} cuando \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3.\n(2) Para números reales positivos x, y que satisfacen xy=100, encuentra el valor mínimo de (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3}, y los valores de x e y en ese mínimo.\n(3) Sea f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (donde ab=8, a>b>0). Si el valor mínimo de f(x) es -1, encuentra el valor de a^{2}. [Universidad de Waseda]'

'Simplifica las siguientes expresiones.'

'Sean a, b constantes. Demuestra la siguiente desigualdad.'

'Sea a>0, a≠1, b>0. Ilustre todos los puntos (a, b) en el plano coordenado donde la ecuación cuadrática 4x²+4xlogₐb+1=0 tiene una solución única en el rango 0<x<1/2.'

'Resuelve las siguientes ecuaciones, ecuaciones simultáneas. En (3), asume que 0<x<1, 0<y<1.'

None

'Función inversa y su gráfica'

"A partir de la condición de g(x), examine el signo de g(x) o f'(x) y cree una tabla de los aumentos y disminuciones de f(x)."

'Dos funciones diferenciables, f(x) y g(x), definidas en el conjunto completo de números reales, cumplen las siguientes condiciones.'

'Sea n un entero positivo, y defina I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx. (1) Encuentre I_{1}. (2) Encuentre el rango de valores de \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| para 2 \\leqq x \\leqq 3. Además, encuentre \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}. (3) Expresar I_{n+1} en términos de I_{n}. (4) Encuentre \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}. 〔Universidad de Kwansei Gakuin〕'

'Práctica Deja que \ n \ sea un número entero. Demuestra las siguientes igualdades. Donde, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\).\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'Encuentra el rango de valores para la constante a de modo que se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) a la curva y=e^{-x^{2}}.'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar la región encerrada por la parábola y = 2 x - x^{2} y el eje x alrededor del eje y una vez.'

'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones. Además, grafica sus gráficos.'

"Sea la función inversa de la función f(x) como g(x). Cuando f(1)=2 y f'(1)=2, encuentra los valores de g(2) y g'(2) respectivamente."

'Demuestra que \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n es un número natural, C es una constante de integración ) \\).'

"Cuando f(x) es una función que es dos veces diferenciable, expresa \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) en términos de f'(\\tan x) y f''(\\tan x)."

'Practica con la función f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (k es una constante): (1) Encuentra el valor de k cuando f(x) tiene un extremo local en x=-2. (2) Determina el rango de valores posibles de k para los cuales f(x) tiene un extremo local.'

'Diferencia las siguientes funciones. En (6), a es una constante.'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

''

'Encuentra el rango de valores para la constante a de tal manera que se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) a la curva y=xe^x.'

'Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'Practica para n siendo un número natural. Encuentra la n-ésima derivada de las siguientes funciones.'

'Practica demostrar las siguientes desigualdades:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'Usando el número natural n, encuentre la n-ésima derivada y^{(n)} de la función y=(1-7x)^{-1}.'

'Encuentra la parte de f(x) que es igual a 3/1x3 + 2log|x|.'

'Sea \n$n$ un número natural mayor o igual a 2. Considera las funciones $y=e^{x}$\n(1) y $y=e^{nx}-1$\n(2).\n(1) Demuestra que las gráficas de (1) y (2) tienen exactamente un punto de intersección en el primer cuadrante.\n(2) Sea $(a_{n}, b_{n})$ las coordenadas del punto de intersección obtenido en (1). Encuentra $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$ y $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$.\n(3) Sea $S_{n}$ el área encerrada por las gráficas de (1) y (2) en el primer cuadrante y el eje $y$. Encuentra $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$.'

'Para la función f(x)=a e^{2 x} (donde a es una constante), cuando la recta tangente en el punto (b, f(b)) de la curva y=f(x) es y=x y pasa por (3, 15). Responde las siguientes preguntas.'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

''

'Para la función f(x)=e^(kx)/(x²+1) (donde k es una constante), responda las siguientes preguntas.'

'Demuestra que la función f(x) = ax + xcosx - 2sinx tiene solo un punto extremo entre π/2 y π. Donde -1 < a < 1.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Sea n un número natural. Encuentra la n-ésima derivada de la función y=\\frac{1}{1-7x}.'

'Para la función f(x)=\\sqrt{x^{2}-1}, responde las siguientes preguntas. Suponiendo x>1. (1) Expresa c en términos de x que satisfaga \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x. (2) En el caso de (1), encuentra \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} y \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}. [Similar a la Universidad de Shinshu]'

"Considerando una función diferenciable $f(x)$ que satisface la relación $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$. Encuentra la derivada $f'(x)$ de $f(x)$, entonces $f'(x)= \\square$. Además, dado que $f(0)=1$, obtenemos que $f(x)= \\square$."

'(1) Hay un punto P viajando en la recta numérica comenzando desde el punto 1 con una velocidad de $v=t(t-1)(t-2)$ después de t segundos. La posición de P después de 3 segundos desde el inicio es A, y la distancia recorrida por P es B.\n\n(2) Sea g la aceleración debido a la gravedad. Un cohete con una aceleración de $\x0crac{1}{1+t}$ en t segundos después de ser lanzado desde el suelo verticalmente con una velocidad inicial $v_{0}$. Encuentra la velocidad y altura del cohete después de t segundos.'

'Dibuja la forma general del gráfico de la función y=(-x+1) e^{-x+1}. Dado que lim _{x → ∞} x e^{-x}=0.'

'Encuentra el valor de a y las coordenadas del punto de tangencia cuando la recta y=x es tangente a la curva y=a^x. Aquí, a>0 y a no es igual a 1.'

'Demuestra las siguientes desigualdades, donde n es un número natural. [Universidad de Tohoku]'

'(2) Haciendo lo mismo que (1)'

'Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas\nSea \a>0, a \\neq 1\.\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'Demuestra la siguiente desigualdad'

''

''

'Sea n un número natural mayor o igual a 2. Considera las funciones y=e^x ... (1) y y=e^(nx)-1 ... (2).\n(1) Demuestra que las gráficas de (1) y (2) tienen solo un punto de intersección en el primer cuadrante.\n(2) Sea (a_n, b_n) las coordenadas del punto de intersección obtenido en (1). Encuentra lim n → ∞ a_n y lim n → ∞ n a_n.\n(3) Sea S_n el área encerrada por las gráficas de (1) y (2) en el primer cuadrante y el eje y. Encuentra lim n → ∞ n S_n. [Instituto de Tecnología de Tokio]'

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'

'Práctica (2) Para cualquier número natural n, demuestra que (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} es verdadero.'

'Encuentra el valor de la constante a cuando las curvas y = x^2 - 2x e y = log x + a son tangentes. Además, encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto de tangencia.'

''

'Transformar el ejemplo (1) racionalizando el denominador y luego integrar.'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ es un entero mayor o igual a 0). Probar que \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\). Donde \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \.'

'Dada una función y=f(x) definida en todos los números reales, que es dos veces diferenciable y siempre satisface f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x), responde las siguientes preguntas: (1) Define una función F(x) como F(x)=e^x f(x), muestra que F’’(x)=-F(x). (2) Muestra que una función F(x) que satisface F’’(x)=-F(x) llevará a que {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} sea una constante, y encuentra lim_{x -> ∞} f(x). [Universidad de Mujeres de Kochi]'

'Demuestre la ecuación \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\).'

'Si cada lado de un cubo con longitud de borde a aumenta a una tasa de b por segundo, entonces sea V el volumen del cubo después de t segundos, donde V=(a+bt)^3. ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen del cubo t segundos después de comenzar a aumentar?'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

'Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (t, log(t+2)) en la curva y=log(x+2) es y-log(t+2)=1/(t+2)(x-t) lo que se simplifica a y=1/(t+2)x+log(t+2)-t/(t+2). La condición para que dos tangentes (1) y (2) sean iguales es e^s=1/(t+2) ...(3), -(s-1)e^s=log(t+2)-t/(t+2) <= las pendientes e intersecciones y (1) y (2) respectivamente son iguales. De (3), t+2=1/e^s, por lo tanto t=1/e^s-2. Sustituyendo estos en (4), -(s-1)e^s=-s-e^s*(1/e^s-2), por lo tanto (s+1)-(s+1)e^s=0, lo que lleva a (s+1)(1-e^s)=0, por lo tanto s=-1, e^s=1, entonces s=0,-1. Sustituyendo estos en (1), las ecuaciones de las tangentes requeridas son y=x+1 para s=0 y y=x/e+2/e para s=-1.'

'Encuentra la ecuación de la recta tangente dibujada desde el punto P dado a las siguientes curvas, y determina las coordenadas del punto de contacto.'

None

'Por favor, compare la tasa de aumento de las funciones \\( x^{q}(q>0) \\) y \ e^{x} \.'

''

'Encuentra la derivada de la función inversa.'

'Encuentra los valores extremos de la función f(x) = x e^{-2x} y las coordenadas de los puntos de inflexión de la curva y=f(x).'

'Investiga el aumento y la disminución de la siguiente función.'

'Dos funciones diferenciables $f(x), g(x)$ definidas en todos los números reales satisfacen las siguientes condiciones:'

'Dado a>0, b>0 y f(x)=log((x+a)/(b-x)), demostrar que la curva y=f(x) es simétrica respecto a su punto de inflexión.'

'Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: (1) y = x - 2√x (2) y = x³ / (x - 2) (3) y = 2x - log x'

"Sea F(x) la función primitiva de f(x), se cumplen las siguientes condiciones [1], [2]. Encontrar f'(x) y calcular 175f(x). Se da que x > 0. \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"

'Por favor, compara la tasa a la que aumentan las funciones \ \\log x \ y \\( x^{p}(p>0) \\).'

'Calcula f(x) basado en las siguientes condiciones'

'Cuando los números reales a, b cumplen 0 < a < b < 1, compare los valores de 2^a - 2a/(a-1) y 2^b - 2b/(b-1).'

'La región D es el área sombreada en rojo en el diagrama de la derecha, por lo tanto, V1 = π∫1e a²(log x)² dx da como resultado [cálculo detallado omitido] π(e-2)a². Además, a partir de y= a log x, tenemos log x = y/a, por lo tanto x = e^(y/a), así que V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a. Combinando todos los cálculos, finalmente obtenemos π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a, dado que a > 0, entonces 2(e-2)a = e²+1, por lo tanto a = (e²+1)/2(e-2)'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Respuesta a la pregunta (2):'

'Encuentra el área S encerrada por la siguiente curva y fragmentos de línea:'

'Práctica: Encuentra los valores máximos y mínimos en las siguientes funciones: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [Similar a la Universidad de Kansai] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [Similar a la Universidad de la Ciudad de Nagoya]'

''

'Para la curva C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t},\n(1) La ecuación de la curva C es x^{2}+1 x y- y^{2}=25.\n(2) Expresa \\frac{d y}{d x} en términos de x e y.\n(3) En el punto de la curva C correspondiente a t= , \\frac{d y}{d x}=-2.'

'Demuestre que para cualquier número real x, se cumple la desigualdad e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2).'

'(1) Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'y = (x^2−1)e^x'

'De g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2, obtenemos g(2)=1 a partir de (1) y g′(2)=1/f′(1)=1/2'

'Describe las características de las hipérbolas y su forma general.'

'Encuentra todas las funciones lineales g(x) que satisfacen la condición g(f(x))=f(g(x)) para la función cúbica f(x)=x³+bx+c.'

'Para constantes $a>0, b$, considere la ecuación en términos del número real $t$'

'Encuentra las funciones inversas.'

'Usando el teorema del valor medio, demuestra lo siguiente:\n\\nPara e^{-2}<a<b<1, \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'Considere la integral definida y la relación de recurrencia 122'

'Sea e una constante, y sea la curva 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 denominada por C. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre la curva C, cuando se varía el valor de e, son correctas?'

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

None

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas:'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones y grafica sus gráficos.'

'Diferenciar las siguientes funciones.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

''

'Investigue si la función f(x) es continua o discontinua. Donde [x] representa el entero más grande que no excede al número real x.'

'Demuestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas cuando PR n es un entero mayor o igual a 2. Donde, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \.'

'Demuestra que cuando la función y=log x, la n-ésima derivada de y es (-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n.'

'Pregunta 99\n(1) x=e resulta en el valor máximo de e^{1/e}'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'Traduce el texto dado a varios idiomas.'

''

'Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y=log(log x) en x=e^{2}.'

'Utilizando el teorema de Taylor, muestre el desarrollo de Taylor de tercer orden de la función f(x) = e^x alrededor de x = 0.'

'Diferencia la función f(x)=1/x log(1+x).'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'Encuentra el área S encerrada por la curva y=(3-x)e^{x} y el eje x, y las rectas x=0, x=2.'

'Encuentra la siguiente integral indefinida: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Cuando los números reales a, b, c y d satisfacen ad-bc≠0, para la función f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}, responda las siguientes preguntas. (1) Encuentra la función inversa f^{-1}(x) de f(x). (2) Encuentra la relación entre a, b, c y d que satisface f^{-1}(x)=f(x) y f(x)≠x.'

''

"En el intervalo $0<x<2\\pi$, cuando $y'=0$, tenemos que $x=\\frac{\\pi}{2}$ a partir de $\\sin x-1=0$; y $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$ a partir de $2\\sin x+1=0$. Por lo tanto, la tabla de incremento y decremento de $y$ es la siguiente."

'Encuentra la integral indefinida \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \.'

'Diferencia la siguiente función.'

'(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\) .'

'Encuentra la función inversa de una función dada y verifica las condiciones para la existencia de dicha función inversa. Por ejemplo, encuentra la inversa de la función y=\x0crac{a x+b}{c x+d}. Verifica la condición a d-b c \neq 0.'

'Encuentre el rango de números reales x para los cuales la secuencia {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n} converge. También, encuentre el valor límite en ese punto.'

'Demuestre que el gráfico de la función f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) es simétrico respecto a los puntos de inflexión.'

'Demuestre que las siguientes ecuaciones son válidas cuando n es un entero mayor o igual a 2. Donde cos^0x=1 y tan^0x=1.'

'Cuando la función continua f(x) satisface la relación f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t, encuentra f(x).'

'(1) Encuentra el valor de la integral definida $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$.'

''

'Encuentra la siguiente integral indefinida.'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'Demuestra que la desigualdad a^b > b^a se cumple cuando e<a<b.'

'Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \.'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'Cuando -\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3}, \\ cos \\ theta \\ geqq 0, así que'

'Encuentra los valores extremos de la función f(x)=x^{1/x}(x>0).'

'(6) Funciones famosas y límites'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

'Para un número natural n, considera S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1).'

"(1) y' = 3^x * log3 + 1\nDado que 3^x > 0 y log 3 > 0, y' es siempre mayor que 0\nPor lo tanto, aumenta en todo el conjunto de números reales."

'Encuentra las siguientes integrales definidas.'

'Demuestra que e^3 > 3^e.'

'Por lo tanto, (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} tiene y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} y (2) y=x^{x+1}(x>0) tiene y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'

'Diferencie las siguientes funciones.'

'Para un número real positivo a, sea la curva y=e^{ax} y denotémosla como C. Una recta que pasa por el origen y es tangente a la curva C en el punto P. Sea D la región delimitada por C, la recta y el eje y.'

'Sobre funciones famosas y límites'

'Encuentre las funciones inversas de los siguientes dos funciones. También, trace sus gráficos.\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'Para la función exponencial y=a^{x} y la función logarítmica y=\\log_{a} x, los límites se pueden entender a partir del gráfico de la siguiente manera.'

'Encuentra la integral indefinida.'

'Encuentra la función inversa de las funciones dadas.'

'En la sociedad de consumo actual, ¿por qué se eligen más los productos prefabricados que los personalizados?'

'Evaluar la integral indefinida de una función irracional (2) (integral de sustitución especial)'

'Un punto P se mueve en el plano de coordenadas con coordenadas (x, y) dadas por x = 6e^{t}, y = e^{3t} + 3e^{-t}, donde t es cualquier número real.\n1. Elimina t de las ecuaciones dadas y deriva la ecuación y = f(x) que satisfacen x e y.\n2. Ilustra la trayectoria del punto P.\n3. Encuentra la velocidad v del punto P en el tiempo t.\n4. Determina la distancia recorrida por el punto P desde t = 0 hasta t = 3.'

'Para la función f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0), responde las siguientes preguntas.'

'Sea N un número natural, y definamos la función f(x) como f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x). (1) Para enteros m, n, encuentra \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x. (2) Encuentra \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x.'

'Encuentra el rango de números reales x para los cuales las secuencias dadas convergen. También determina el valor límite en ese momento.'

'Integral de (1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'

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'Por la desigualdad del triángulo'

'Ejemplo 121 Integral indefinida por integración por partes (3) (se presenta la misma forma)'

'Encuentra las siguientes integrales definidas:\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'