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Funciones y Análisis
Funciones Avanzadas - Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Q.01
'Para un polinomio f(x), la identidad f(f(x))={f(x)}^{2} es cierta. Encuentra todos los f(x) que satisfacen esta condición, con f(x) siempre siendo diferente de cero.'
A. ...
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'(3) Sea el primer término y la razón común . De acuerdo con las condiciones\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\nDe (2) tenemos \nSustituyendo (1) obtenemos \n\nPor lo tanto\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nFactorizando obtenemos \n\nAsí que \n\nDado que , tenemos que , entonces \nSustituyendo en (1) obtenemos , por lo tanto \nPor lo tanto, el primer término es 3 y la suma de los primeros 5 términos es '
A. ...
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'Identifica las características del gráfico de la función logarítmica y=log_a x.'
A. ...
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'La ecuación de la recta tangente en el punto (2, -2) es y - (-2) = -3(x - 2), que se simplifica a y = -3x + 4. La coordenada x de la intersección de las rectas (1) y (2) se encuentra siendo x = 1 a partir de x = -3x + 4, por lo tanto, el área a determinar se denota como S, donde S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3.'
A. ...
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'La función alcanza el valor máximo de 2a√a + b cuando x = -√a, y el valor mínimo de -2a√a + b cuando x = √a.'
A. ...
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'La coordenada x del punto de intersección de 2 curvas es la solución de x^3-3x^2+2x=ax(x-2). Dado que x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2), tenemos x(x-1)(x-2)=ax(x-2). Por lo tanto x(x-2)(x-1-a)=0. Por lo tanto x= 0,2, a+1. Dado que a>1, la forma general de las dos curvas es como se muestra en la figura de la derecha, y la condición para que las dos áreas S1, S2 sean iguales es S1=S2, lo que significa que S1-S2=0. Por lo tanto'
A. ...
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'Encuentra el valor mínimo de la función y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1).'
A. ...
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'Resuelve la ecuación logarítmica \ \\log_{a} x = b \. Aquí, \ a \ y \ b \ son constantes, y \ x \ es la variable.'
A. ...
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'Considere la función de 4to grado de x, f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x, donde a y b son números reales.'
A. ...
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'Encuentra los valores máximo y mínimo de la función y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 para 2 ≤ x ≤ 16, y los valores correspondientes de x.'
A. ...
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'Ejemplo 152 Máximo y mínimo de varias funciones (utilizando diferenciación 2) (1) Encuentra el valor mínimo de la función f(x)=2^{3x}-3*2^{x} y el valor correspondiente de x. (2) Encuentra el valor máximo de la función f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) y el valor correspondiente de x.'
A. ...
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'Cálculo de interés compuesto\nConsiderando una tasa de interés anual de r, utilizando el cálculo de interés compuesto cada año, encuentre lo siguiente:\n(1) El principal T en yenes para hacer que la cantidad total después de n años sea S yenes\n(2) Ahorre P yenes al comienzo de cada año, y el total del principal después de n años es Sn yenes'
A. ...
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'Ejemplo 31 | Relación de recurrencia que implica producto y potencias (usando logaritmos)'
A. ...
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'Grafique las siguientes funciones. Además, describa la relación entre las funciones y \ y=\\log _{4} x \.'
A. ...
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"Matemáticas II -247 Ejercicio 80 ⇒ Página 302 de este libro f'(x)=3x^2+2ax Por lo tanto, la ecuación de la tangente ℓ_t en el punto P(t, f(t)) es y-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(x-t) Cuando ℓ_t pasa por el origen -(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(-t) 2t^3+at^2-b=0 Simplificando obtenemos 2t^3+at^2-b=0 En el gráfico de una función cúbica, dado que distintas tangentes corresponden a diferentes puntos de contacto, la ecuación (1) necesita tener una única solución real. Ahora, sea g(t)=2t^3+at^2-b. Encontrar las condiciones para a, b de tal manera que la curva y=g(t) tenga exactamente un punto en común con el eje t. g'(t)=6t^2+2at=6t(t+a/3) Al poner g'(t)=0 obtenemos t=0,-a/3 [1] Cuando a=0, g'(t)=6t^2 ≥ 0 Por lo tanto, dado que g(t)=2t^3-b es monótonamente creciente, independientemente del valor de b, la curva y=g(t) tiene exactamente un punto en común con el eje t. [2] Cuando a≠0 Dejemos que el menor entre 0,-a/3 sea α, y el mayor sea β, luego la tabla de aumentos y disminuciones para g(t) es la siguiente. Para que la curva y=g(t) tenga exactamente un punto en común con el eje t, las condiciones son que el máximo y el mínimo son ambos positivos o ambos negativos. Es decir, g(0)g(-a/3) > 0 Dado que g(0)=-b, g(-a/3)=a^3/27 - b Por lo tanto, -b(a^3/27 - b) > 0, o de manera equivalente b(a^3/27 - b) < 0 Por lo tanto b < 0 y b < a^3/27 o b > 0 y b > a^3/27 Por lo tanto las condiciones que buscamos son Cuando a=0, b es todos los números reales Cuando a≠0, b < 0 y b < a^3/27 o b > 0 y b > a^3/27 Por consiguiente, la región donde existe el punto (a, b) se muestra en la figura a la derecha como la parte oblicua. Por favor, tenga en cuenta que la línea límite solo incluye el origen y excluye a otros puntos."
A. ...
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"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 cuando x=-s, s [1] s>0 la tabla de incrementos y decrementos de f(x) es como sigue a la derecha. (i) cuando 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = aumentando máximo & disminuyendo mínimo & aumentando f(x) es el valor mínimo en x=s por lo tanto g(s)=f(s)=s^3 / 3 - s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) cuando s ≥ 2 f(x) es el valor mínimo en x=2 por lo tanto g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] cuando s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 por lo tanto 0 ≤ x ≤ 2 f(x) es el valor mínimo en x=0 por lo tanto g(0)=f(0)=0"
A. ...
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'Expresa el tamaño relativo de cada conjunto de números utilizando desigualdades.'
A. ...
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'Resolver la ecuación (1), 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'
A. ...
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'Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'
A. ...
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'Propiedades de las funciones logarítmicas\nPropiedades y gráficos de la función logarítmica \ y=\\log _{a} x \ donde \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) El dominio son todos los números positivos, el rango son todos los números reales.\n(2) Pasa por los puntos \\( (1,0),(a,1) \\), con el eje \ y \ como su asíntota.\n(3) Cuando \ a>1 \, a medida que \ x \ aumenta, también lo hace \ y \.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nCuando \ 0<a<1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ disminuye.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'
A. ...
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'Simplifique las siguientes expresiones:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'
A. ...
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'Encuentra los valores máximos y mínimos de la función y = 9^x - 2 \\ cdot 3^{x+1} + 81 (-3≤x≤3).'
A. ...
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'Función Exponencial\nPropiedades y Gráfica de la Función Exponencial \ y=a^{x} \\nSea \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) El dominio es todos los números reales, el rango es todos los números positivos.\n(2) Pasa por los puntos \\( (0,1),(1, a) \\) y el eje x es su asíntota.\n(3) Cuando \ a>1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ también aumenta.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nCuando \ 0<a<1 \, a medida que \ x \ aumenta, \ y \ disminuye.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'
A. ...
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'Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones.'
A. ...
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'Encuentra la función f(x) que satisface la ecuación f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t. Al reorganizar el lado derecho, obtenemos f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a. Si consideramos a y b como constantes, entonces a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}. Por lo tanto, a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t implica 2 a-6 b-3=0. Por otro lado, b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1, por lo tanto a+b+1=0 (1), resolver el sistema de ecuaciones da a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8}, por lo tanto f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x se puede considerar como una constante.'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'Por favor describa el dominio y rango de la función exponencial y=a^{x}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Encuentra los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones.'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Investiga la relación entre el gráfico básico de y=a^x y los gráficos de y=3^x y y=3^{-x}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Logaritmos y sus propiedades\nDefinición de logaritmos\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { son valores dados. } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'Consideremos las curvas C1: y=a e^{x}, C2: y=e^{-x}. Cuando la constante a varía en el rango 1≤a≤4, se define D1 como la región encerrada por C1, C2 y el eje y, y D2 como la región encerrada por C1, C2 y la recta x=log 1/2. (1) Encuentra el valor de a cuando el área de D1 es 1. (2) Encuentra el valor mínimo de la suma de las áreas de D1 y D2 y el valor correspondiente de a.'
A. ...
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'Demuestre la desigualdad (1) utilizando diferenciación (básica)'
A. ...
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"Para la función f(x) = A e^x cos x + B e^x sin x (donde A, B son constantes), responda a las siguientes preguntas: (1) Encuentra f'(x). (2) Expresa f''(x) en términos de f(x) y f'(x). (3) Encuentra ∫ f(x) dx."
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Función famosa y su límite asociado\nEl límite de la función \ y=\\frac{\\log x}{x} \ es \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Demuestra que la desigualdad b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) se cumple cuando a > 0, b > 0.'
A. ...
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'Sea \\( f(x)=-e^{x} \\). Para un número real \ b \, encontrar la cantidad de rectas tangentes a la curva \\( y=f(x) \\) que pasan por el punto \\( (0, b) \\). Se puede utilizar \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \.'
A. ...
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'Encuentra la siguiente integral definida. \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx '
A. ...
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'Para números reales a, b, c, sea F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1. Además, sea T el conjunto obtenido al remover los puntos 1 y -1 del círculo unitario en el plano complejo.'
A. ...
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'Para una constante k, determinar el número de soluciones reales de la ecuación log(sin x+2)-k=0 para 0<x<2π.'
A. ...
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'Cómo dibujar un gráfico de reflexión Los problemas de dibujar un gráfico utilizando métodos diferenciales tenían las siguientes 3 formas de expresión de funciones:'
A. ...
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'Sea n un entero positivo arbitrario, y sean dos funciones f(x), g(x) ambas funciones diferenciables n veces. [Bastante grande] (1) Encuentra la cuarta derivada del producto f(x)g(x) d^4/dx^4{f(x)g(x)}. (2) Infiera el coeficiente de f^(n-r)(x)g^(r)(x) en la enésima derivada d^n/dx^n{f(x)g(x)} del producto f(x)g(x), y demuestre la inferencia es correcta usando inducción matemática. Aquí, r es un entero no negativo no mayor que n, y f^(0)(x)=f(x), g^(0)(x)=g(x). (3) Encuentra la derivada n-ésima h^(n)(x) de la función h(x)=x^3e^x, donde n≥4.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Sea a > 0, b > 0, y f(x) = log ((x + a) / (b - x)). Demuestra que la curva y = f(x) es simétrica respecto a su punto de inflexión.'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones. Además, grafica sus gráficos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Variación de los valores de la función, máximo y mínimo, gráfico de la función'
A. ...
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'Sea n un número entero. Demuestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas: donde, \ \\cos ^{0} x = 1 \, (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\).\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \ (n \\geqq 1)'
A. ...
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'¿Cómo podemos resolver el problema incómodo \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ de varias maneras? En el ejemplo importante 141 (1), lo resolvimos asumiendo \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \, pero también hay muchos otros métodos. Primero, veamos el método de sustituir \ x=\\tan \\theta \ como se indica en la página anterior.'
A. ...
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'Sea \ a \ una constante distinta de cero, y sea \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \. Encuentra los valores de \ A, B \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Con las constantes a, b, donde ab ≠ 1. Encuentra la condición en la que la función inversa de y = (bx + 1) / (x + a) coincide con la función original.'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'Básico 11: Condición para que la función inversa sea igual a la función original'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Sea n un número natural mayor o igual a 2. Demuestra la siguiente desigualdad:'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Encuentra la integral indefinida de \\\int e^{2x+e^x} dx\.'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Demuestra que existe una secuencia de puntos Pₙ(xₙ, yₙ) que satisface P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) en un plano, y la secuencia P₁, P₂, ... se acerca infinitamente a un punto fijo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Demuestre la desigualdad \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10} para x>0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'Integración por sustitución e integración por partes'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Encuentra el rango del constante a cuando se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) en el eje x al gráfico de la función y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Encuentra la integral de la función f(x)=3 cos 2x+7 cos x sobre el intervalo [0, π] en la forma de \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\).'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Encuentra las ecuaciones de las líneas y parábolas obtenidas al mover la siguiente línea y parábola de forma paralela al eje x por -3 y al eje y por 1.'
A. ...
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'El costo total de vender y chocolates, denotado como c(y), se recoge en c(y)=y^{2}. Encuentra los valores del precio de venta p y la cantidad y en los que se maximiza el beneficio de la Compañía A (la diferencia entre los ingresos y el costo total).'
A. ...
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'En el Ejemplo 30, racionalizamos los denominadores de cada término antes de realizar los cálculos. Sin embargo, en el Ejemplo 31 (1), procedemos con los cálculos sin racionalizar los denominadores. Vamos a pensar en la razón de este enfoque.'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Sea S(a) el área encerrada por la recta que pasa por el punto (1,2) con pendiente a y la parábola y=x^2. Encuentra el valor de a que minimiza S(a) a medida que a varía en el rango 0 ≤ a ≤ 6.'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe sus relaciones de posición con la función y=3^x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe su relación posicional con la función y=log_{2} x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'Máximo y Mínimo de la Función Logarítmica (1): Encuentra el máximo y el mínimo de la siguiente función logarítmica.'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Encuentra el valor máximo, mínimo y los valores correspondientes de x para la función y = log_2(x/2)log_2(x/8) (1/2 ≤ x ≤ 8).'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'Dado que f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) tiene un valor máximo de 5 y un valor mínimo de -7 en el intervalo -1 ≤ x ≤ 1, determina los valores de las constantes a y b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'Calcula el logaritmo común de 1.95 a partir de los datos 1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'Demuestre que el valor de \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] se convierte en una función únicamente de k, independientemente de los valores de m y σ, cuando la variable aleatoria X sigue la distribución normal N(m, σ^2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'Describa el gráfico y las propiedades de las siguientes funciones logarítmicas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Considere la función y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1, definida para 1550 1/3 ≤ x ≤ 3. Encuentre el valor máximo y mínimo de la función y, y los valores correspondientes de x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'Describe las propiedades de la función logarítmica.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'Para el gráfico de la función y = x ^ 2 (x > 0), utilice escalas logarítmicas tanto para el eje horizontal como para el eje vertical.'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'Fórmula de conversión de base: Convierta las bases de los siguientes logaritmos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Encuentra el área encerrada por dos parábolas denominada como S(a). Sea la coordenada x de los puntos de intersección de las dos parábolas α y β (α < β), entonces desde la figura a la derecha:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nLas soluciones de la ecuación cuadrática (1) son x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3. Dado que α y β son las soluciones de (1),\nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nPor lo tanto, S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nDado que -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8), en el rango 0 < a < 9/2, -2a^2 + 9a es máximo en a = 9/4, y en este punto S(a) también es máximo.\nPor lo tanto, S(a) es máximo en a = 9/4\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'Responda las siguientes preguntas sobre conceptos básicos de logaritmos. Calcule el logaritmo basado en las ecuaciones dadas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'Dibuja los gráficos de las siguientes funciones y describe su relación con la función y=log_{2} x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'Condiciones para la existencia de soluciones de ecuaciones logarítmicas: Determinar las condiciones para la existencia de soluciones de la siguiente ecuación logarítmica.'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'El número de soluciones reales distintas n de la ecuación f(x)=0 es igual al número de puntos de intersección entre la curva y=f(x) y el eje x. A partir de (1), cuando a≤0, n=1, y a partir de (2), cuando a>0, el valor mínimo -4√2a3/2+16 depende del valor de a y podría ser positivo, 0 o negativo, por lo tanto, n=1,2,3. Por lo tanto, resumiendo (1) y (2), si n=1, entonces a<0, a=0, a>0 son todas posibles; si n=2, solo a>0 es posible; si n=3, solo a>0 es posible.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'¿Cuál es la razón de que haya tantos problemas incluidos en el gráfico azul?'
A. ...
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'¿Cómo puedes profundizar aún más tu aprendizaje utilizando contenido digital?'
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'Respuesta del ejercicio 67 (2) \\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'
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'Encuentra las integrales indefinidas. En (3), (4), donde (a≠0, b≠0). (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'
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'Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{x} \\cos x dx \.'
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'Considera la función 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2. (1) Sea f(x) la segunda derivada de f(x), demuestra que la ecuación \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) se cumple. (2) Encuentra la integral definida \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x.'
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'Investiga el comportamiento creciente y decreciente de la función f(x)=x-1-log x, y demuestra la desigualdad log x ≤ x-1 para x>0.'
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"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"
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'Utilizando los anteriores [4] [6] como fórmulas, intentemos encontrar la siguiente integral definida.'
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'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'
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'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'
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'Ejemplo importante 165) Cantidad e Integración Girando una parte de la curva y = e^x alrededor del eje y desde 0 ≤ x ≤ 2 crea un contenedor, en el cual se vierte agua a una tasa de a (una constante positiva) por unidad de tiempo. Sea V el volumen de agua cuando la profundidad es h, y sea S el área de superficie del agua. (1) Encuentre ∫(log y)^{2} dy. (2) Expresa V en términos de S. (3) Encuentra la velocidad a la que se expande la superficie del agua cuando S se convierte en π. [Instituto de Tecnología de Shibaura] Guía (3) La velocidad a la que se expande la superficie del agua es dS/dt, pero parece difícil expresar S en función de t. Por lo tanto, utilizando la pista (2), usa dV/dt = dV/dS * dS/dt para encontrar la solución.'
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'(1) Encuentra la derivada de la función . (2) En el plano , el punto se encuentra en la curva representada por la ecuación y está en el primer cuadrante. Si el área encerrada por el segmento de línea que conecta el origen y el punto , el eje y la curva es , expresa las coordenadas del punto en términos de .'
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'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { y } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'
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'Demuestra que la desigualdad es cierta cuando x > 0.'
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'Utiliza la ecuación (1) del ejercicio 152 en la página 530, donde (1) es V=2π∫₀πx{cosx-(-1)}dx.'
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'(2) \\\\ Sea \ e^{x}+1=t \, entonces \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'
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'Utilizando la fórmula de integración por sustitución (2), encuentra la siguiente integral.'
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'(2) Sea la secuencia \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ definida por \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\). Usando el hecho de que \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ implica \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\), demuestra que la secuencia \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ converge y encuentra su límite. Puedes utilizar el hecho de que \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'
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'Por lo tanto \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nPor lo tanto \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] Al resolver esto obtenemos \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nAsí \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'
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'Pregunta importante 115 Funciones inversas e Integral Definida\nSea la función inversa de la función y=e^{x}+e^{-x}, definida para x≥0, y=g(x). Encuentra ∫_{2}^{4} g(x) dx.'
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'Ejercicio 102 \\Rightarrow Página 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ Suponiendo \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nPor lo tanto, \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nAsí, \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nPor lo tanto, \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'
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'Dado que (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2), se deduce que x e^(x^2) es una función impar.'
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'Determine el rango de números reales para los cuales la secuencia {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n} converge. También encontrar el valor límite en ese punto.'
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'Dado que esta línea pasa por el punto (0, Y(a)), Y(a) = (a^2 + 1)e^(-a^2/2)'
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'(1) Encuentra el volumen del sólido formado al rotar la región encerrada por las curvas alrededor del eje .\n(2) Sea la curva denotada por . Encuentra el volumen del sólido formado al rotar la región encerrada por , la recta tangente que pasa por el origen , y el eje alrededor del eje .'
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'Matemáticas II\n407\n[2] Cuando \ p>2 \\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\nA partir de [1], [2], la tabla que muestra el cambio en S es la siguiente.\nPor lo tanto, \ S \ es mínimo en \ p=\\frac{4}{3} \, y su valor mínimo es\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & Mínimo local & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { cuando } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'
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'(5) Si \ \\log x=t \, entonces \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'
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'Ejemplo 143 Determinación de coeficientes a partir del área'
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'Encuentra la función que cumple con las siguientes condiciones.'
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'Usando el teorema del valor medio, prueba las siguientes proposiciones:'
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'Utilice la fórmula (4) para evaluar la siguiente integral.'
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'Encuentra el valor extremo de la función en x=1/√e. \n(1) En x=1/√e, la función tiene un valor mínimo de -1/(2e) \n(2) En x=-4/3, la función tiene un valor máximo de 4√6/9, y en x=0, la función tiene un valor mínimo de 0'
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'Ejemplo 163 Punto en Movimiento en una Curva a Velocidad Constante\n547\nHay un punto P moviéndose en el plano de coordenadas. El punto P parte de (0,1) y se mueve a lo largo de la curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) a una velocidad de 1 unidad por segundo. Sea (f(t), g(t)) las coordenadas del punto P después de t segundos. Encuentra f(t), g(t).\n[Shinkei]\nConsidera dos formas de expresar la distancia l desde 0 segundos hasta t segundos.\n[1] Dado que se mueve a una velocidad de 1 unidad por segundo, l=t\n[2] Dado que se mueve en la curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0), sea p la coordenada x del punto P después de t segundos, entonces\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'
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"En el caso de x>0, si f'(x)=0, entonces x+π/4=kπ, lo que significa x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...). Dado que f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)}"
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'Encuentra la derivada de la función logarítmica log_a x con respecto a cualquier base a.'
A. ...
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'Encuentra la condición necesaria y suficiente que q debe cumplir para que la recta y = px + q no tenga ningún punto en común con el gráfico de la función y = log x.'
A. ...
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'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones.'
A. ...
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'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'
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'Ejercicio 97 \\Rightarrow Libro p.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'
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'La integral \ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ se conoce como la integral Gaussiana y es igual a \ \\sqrt{\\pi} \.'
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'Demuestre usando inducción matemática la derivada n-ésima y la fórmula de recurrencia para f(x) = 1 / (1 + x^2).'
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'Práctica (1) Encuentra la coordenada x de la intersección de dos curvas y=logx y y=a/x^{2} (a>0), denotada por p, expresa a en términos de 144p.'
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'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'
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'Expresión dada en matemáticas \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nOtra solución es \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\), por lo tanto\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'
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'(3) Demuestra la desigualdad \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\).'
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'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones:'
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'Hay dos puntos P y Q moviéndose en el eje x. En el tiempo t=0, los dos puntos están en el origen O, y las velocidades de P y Q en el tiempo t son respectivamente v_P(t)=a t (0 ≤ t) y v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t) (1) Demuestra que Q siempre adelantará a P. (2) Encuentra el tiempo en que Q alcanza a P y la distancia máxima entre P y Q dentro de ese tiempo.'
A. ...
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'Sea n un número entero positivo arbitrario, y sean las dos funciones f(x) y g(x) funciones ambas diferenciables n veces.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Para cualquier número entero no negativo m y n, sea Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx.'
A. ...
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"(1) Encuentra la derivada f'(x) de la función f(x) = log(x+√(1+x^2)) definida para x ≥ 0. (2) Encuentra la longitud de la parte de la curva definida por la ecuación polar r=θ(θ ≥ 0) para 0 ≤ θ ≤ π."
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'143 (1) x=0, π/2 para un valor máximo de 1; x=π, 3π/2 para un valor mínimo de -1\n(2) x=log_{2} (fracción) √5 ± 1/2 para un valor mínimo de 1-10√5'
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'Ilustra el rango de puntos que satisfacen la desigualdad .'
A. ...
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"Encuentra los valores de las constantes a, b y c para que la función cúbica f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c cumpla con la condición 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6."
A. ...
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'Número de soluciones de una ecuación logarítmica'
A. ...
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'Encuentra los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones. (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) Sea a>0, a \\neq 1. Para la función y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2, sea a^{x}+a^{-x}=t. Expresa y en función de t y encuentra el valor mínimo de y. (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'
A. ...
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'Encuentra las funciones f(x) y g(x) que satisfacen las condiciones dadas.'
A. ...
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'Encuentra el valor máximo de la función y = log_4(x+2) + log_2(1-x) y el valor correspondiente de x.'
A. ...
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'Dado que F(x) toma un valor máximo de 5 en x=1 y un valor mínimo de 4 en x=2, encuentre los valores de f(t) y α cuando α es una constante real y f(t) es una función de segundo grado.'
A. ...
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'Encuentra los valores de los siguientes logaritmos.'
A. ...
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'(1) Encuentra el valor mínimo de x^{2} + y^{2} cuando \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3.\n(2) Para números reales positivos x, y que satisfacen xy=100, encuentra el valor mínimo de (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3}, y los valores de x e y en ese mínimo.\n(3) Sea f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (donde ab=8, a>b>0). Si el valor mínimo de f(x) es -1, encuentra el valor de a^{2}. [Universidad de Waseda]'
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'Sean a, b constantes. Demuestra la siguiente desigualdad.'
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'Sea a>0, a≠1, b>0. Ilustre todos los puntos (a, b) en el plano coordenado donde la ecuación cuadrática 4x²+4xlogₐb+1=0 tiene una solución única en el rango 0<x<1/2.'
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'Resuelve las siguientes ecuaciones, ecuaciones simultáneas. En (3), asume que 0<x<1, 0<y<1.'
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"A partir de la condición de g(x), examine el signo de g(x) o f'(x) y cree una tabla de los aumentos y disminuciones de f(x)."
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'Dos funciones diferenciables, f(x) y g(x), definidas en el conjunto completo de números reales, cumplen las siguientes condiciones.'
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'Sea n un entero positivo, y defina I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx. (1) Encuentre I_{1}. (2) Encuentre el rango de valores de \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| para 2 \\leqq x \\leqq 3. Además, encuentre \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}. (3) Expresar I_{n+1} en términos de I_{n}. (4) Encuentre \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}. 〔Universidad de Kwansei Gakuin〕'
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'Práctica Deja que \ n \ sea un número entero. Demuestra las siguientes igualdades. Donde, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\).\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'
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'Encuentra el rango de valores para la constante a de modo que se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) a la curva y=e^{-x^{2}}.'
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'Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar la región encerrada por la parábola y = 2 x - x^{2} y el eje x alrededor del eje y una vez.'
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'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones. Además, grafica sus gráficos.'
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"Sea la función inversa de la función f(x) como g(x). Cuando f(1)=2 y f'(1)=2, encuentra los valores de g(2) y g'(2) respectivamente."
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'Demuestra que \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n es un número natural, C es una constante de integración ) \\).'
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"Cuando f(x) es una función que es dos veces diferenciable, expresa \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) en términos de f'(\\tan x) y f''(\\tan x)."
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'Practica con la función f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (k es una constante): (1) Encuentra el valor de k cuando f(x) tiene un extremo local en x=-2. (2) Determina el rango de valores posibles de k para los cuales f(x) tiene un extremo local.'
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'Diferencia las siguientes funciones. En (6), a es una constante.'
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'Encuentra el rango de valores para la constante a de tal manera que se pueda trazar una recta tangente desde el punto (a, 0) a la curva y=xe^x.'
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'Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'
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'Practica para n siendo un número natural. Encuentra la n-ésima derivada de las siguientes funciones.'
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'Practica demostrar las siguientes desigualdades:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'
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'Usando el número natural n, encuentre la n-ésima derivada y^{(n)} de la función y=(1-7x)^{-1}.'
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'Encuentra la parte de f(x) que es igual a 3/1x3 + 2log|x|.'
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'Sea \n un número natural mayor o igual a 2. Considera las funciones \n(1) y \n(2).\n(1) Demuestra que las gráficas de (1) y (2) tienen exactamente un punto de intersección en el primer cuadrante.\n(2) Sea las coordenadas del punto de intersección obtenido en (1). Encuentra y .\n(3) Sea el área encerrada por las gráficas de (1) y (2) en el primer cuadrante y el eje . Encuentra .'
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'Para la función f(x)=a e^{2 x} (donde a es una constante), cuando la recta tangente en el punto (b, f(b)) de la curva y=f(x) es y=x y pasa por (3, 15). Responde las siguientes preguntas.'
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'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'
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'Para la función f(x)=e^(kx)/(x²+1) (donde k es una constante), responda las siguientes preguntas.'
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'Demuestra que la función f(x) = ax + xcosx - 2sinx tiene solo un punto extremo entre π/2 y π. Donde -1 < a < 1.'
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'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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'Sea n un número natural. Encuentra la n-ésima derivada de la función y=\\frac{1}{1-7x}.'
A. ...
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'Para la función f(x)=\\sqrt{x^{2}-1}, responde las siguientes preguntas. Suponiendo x>1. (1) Expresa c en términos de x que satisfaga \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x. (2) En el caso de (1), encuentra \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} y \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}. [Similar a la Universidad de Shinshu]'
A. ...
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"Considerando una función diferenciable que satisface la relación . Encuentra la derivada de , entonces . Además, dado que , obtenemos que ."
A. ...
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'(1) Hay un punto P viajando en la recta numérica comenzando desde el punto 1 con una velocidad de después de t segundos. La posición de P después de 3 segundos desde el inicio es A, y la distancia recorrida por P es B.\n\n(2) Sea g la aceleración debido a la gravedad. Un cohete con una aceleración de en t segundos después de ser lanzado desde el suelo verticalmente con una velocidad inicial . Encuentra la velocidad y altura del cohete después de t segundos.'
A. ...
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'Dibuja la forma general del gráfico de la función y=(-x+1) e^{-x+1}. Dado que lim _{x → ∞} x e^{-x}=0.'
A. ...
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'Encuentra el valor de a y las coordenadas del punto de tangencia cuando la recta y=x es tangente a la curva y=a^x. Aquí, a>0 y a no es igual a 1.'
A. ...
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'Demuestra las siguientes desigualdades, donde n es un número natural. [Universidad de Tohoku]'
A. ...
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'Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas\nSea \a>0, a \\neq 1\.\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'
A. ...
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'Sea n un número natural mayor o igual a 2. Considera las funciones y=e^x ... (1) y y=e^(nx)-1 ... (2).\n(1) Demuestra que las gráficas de (1) y (2) tienen solo un punto de intersección en el primer cuadrante.\n(2) Sea (a_n, b_n) las coordenadas del punto de intersección obtenido en (1). Encuentra lim n → ∞ a_n y lim n → ∞ n a_n.\n(3) Sea S_n el área encerrada por las gráficas de (1) y (2) en el primer cuadrante y el eje y. Encuentra lim n → ∞ n S_n. [Instituto de Tecnología de Tokio]'
A. ...
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'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'
A. ...
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'Práctica (2) Para cualquier número natural n, demuestra que (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} es verdadero.'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Encuentra el valor de la constante a cuando las curvas y = x^2 - 2x e y = log x + a son tangentes. Además, encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto de tangencia.'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Transformar el ejemplo (1) racionalizando el denominador y luego integrar.'
A. ...
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'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ es un entero mayor o igual a 0). Probar que \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\). Donde \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \.'
A. ...
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'Dada una función y=f(x) definida en todos los números reales, que es dos veces diferenciable y siempre satisface f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x), responde las siguientes preguntas: (1) Define una función F(x) como F(x)=e^x f(x), muestra que F’’(x)=-F(x). (2) Muestra que una función F(x) que satisface F’’(x)=-F(x) llevará a que {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} sea una constante, y encuentra lim_{x -> ∞} f(x). [Universidad de Mujeres de Kochi]'
A. ...
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'Demuestre la ecuación \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\).'
A. ...
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'Si cada lado de un cubo con longitud de borde a aumenta a una tasa de b por segundo, entonces sea V el volumen del cubo después de t segundos, donde V=(a+bt)^3. ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen del cubo t segundos después de comenzar a aumentar?'
A. ...
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'Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (t, log(t+2)) en la curva y=log(x+2) es y-log(t+2)=1/(t+2)(x-t) lo que se simplifica a y=1/(t+2)x+log(t+2)-t/(t+2). La condición para que dos tangentes (1) y (2) sean iguales es e^s=1/(t+2) ...(3), -(s-1)e^s=log(t+2)-t/(t+2) <= las pendientes e intersecciones y (1) y (2) respectivamente son iguales. De (3), t+2=1/e^s, por lo tanto t=1/e^s-2. Sustituyendo estos en (4), -(s-1)e^s=-s-e^s*(1/e^s-2), por lo tanto (s+1)-(s+1)e^s=0, lo que lleva a (s+1)(1-e^s)=0, por lo tanto s=-1, e^s=1, entonces s=0,-1. Sustituyendo estos en (1), las ecuaciones de las tangentes requeridas son y=x+1 para s=0 y y=x/e+2/e para s=-1.'
A. ...
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'Encuentra la ecuación de la recta tangente dibujada desde el punto P dado a las siguientes curvas, y determina las coordenadas del punto de contacto.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'Por favor, compare la tasa de aumento de las funciones \\( x^{q}(q>0) \\) y \ e^{x} \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Encuentra los valores extremos de la función f(x) = x e^{-2x} y las coordenadas de los puntos de inflexión de la curva y=f(x).'
A. ...
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'Investiga el aumento y la disminución de la siguiente función.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Dos funciones diferenciables definidas en todos los números reales satisfacen las siguientes condiciones:'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'Dado a>0, b>0 y f(x)=log((x+a)/(b-x)), demostrar que la curva y=f(x) es simétrica respecto a su punto de inflexión.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: (1) y = x - 2√x (2) y = x³ / (x - 2) (3) y = 2x - log x'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
"Sea F(x) la función primitiva de f(x), se cumplen las siguientes condiciones [1], [2]. Encontrar f'(x) y calcular 175f(x). Se da que x > 0. \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Por favor, compara la tasa a la que aumentan las funciones \ \\log x \ y \\( x^{p}(p>0) \\).'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Calcula f(x) basado en las siguientes condiciones'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'Cuando los números reales a, b cumplen 0 < a < b < 1, compare los valores de 2^a - 2a/(a-1) y 2^b - 2b/(b-1).'
A. ...
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'La región D es el área sombreada en rojo en el diagrama de la derecha, por lo tanto, V1 = π∫1e a²(log x)² dx da como resultado [cálculo detallado omitido] π(e-2)a². Además, a partir de y= a log x, tenemos log x = y/a, por lo tanto x = e^(y/a), así que V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a. Combinando todos los cálculos, finalmente obtenemos π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a, dado que a > 0, entonces 2(e-2)a = e²+1, por lo tanto a = (e²+1)/2(e-2)'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Encuentra el área S encerrada por la siguiente curva y fragmentos de línea:'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'Práctica: Encuentra los valores máximos y mínimos en las siguientes funciones: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [Similar a la Universidad de Kansai] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [Similar a la Universidad de la Ciudad de Nagoya]'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Para la curva C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t},\n(1) La ecuación de la curva C es x^{2}+1 x y- y^{2}=25.\n(2) Expresa \\frac{d y}{d x} en términos de x e y.\n(3) En el punto de la curva C correspondiente a t= , \\frac{d y}{d x}=-2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Demuestre que para cualquier número real x, se cumple la desigualdad e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'(1) Encuentra la integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'De g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2, obtenemos g(2)=1 a partir de (1) y g′(2)=1/f′(1)=1/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'Describe las características de las hipérbolas y su forma general.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Encuentra todas las funciones lineales g(x) que satisfacen la condición g(f(x))=f(g(x)) para la función cúbica f(x)=x³+bx+c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Para constantes , considere la ecuación en términos del número real '
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Usando el teorema del valor medio, demuestra lo siguiente:\n\\nPara e^{-2}<a<b<1, \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Considere la integral definida y la relación de recurrencia 122'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Sea e una constante, y sea la curva 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 denominada por C. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre la curva C, cuando se varía el valor de e, son correctas?'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas:'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas. (1) (2) '
A. ...
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Join our DiscordQ.90
'Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones y grafica sus gráficos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'Investigue si la función f(x) es continua o discontinua. Donde [x] representa el entero más grande que no excede al número real x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'Demuestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas cuando PR n es un entero mayor o igual a 2. Donde, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'Demuestra que cuando la función y=log x, la n-ésima derivada de y es (-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Pregunta 99\n(1) x=e resulta en el valor máximo de e^{1/e}'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y=log(log x) en x=e^{2}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'Utilizando el teorema de Taylor, muestre el desarrollo de Taylor de tercer orden de la función f(x) = e^x alrededor de x = 0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'Encuentra el área S encerrada por la curva y=(3-x)e^{x} y el eje x, y las rectas x=0, x=2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Encuentra la siguiente integral indefinida: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Encuentra la derivada de las siguientes funciones.'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Cuando los números reales a, b, c y d satisfacen ad-bc≠0, para la función f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}, responda las siguientes preguntas. (1) Encuentra la función inversa f^{-1}(x) de f(x). (2) Encuentra la relación entre a, b, c y d que satisface f^{-1}(x)=f(x) y f(x)≠x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
"En el intervalo , cuando , tenemos que a partir de ; y a partir de . Por lo tanto, la tabla de incremento y decremento de es la siguiente."
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'Encuentra la integral indefinida \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'Encuentra la función inversa de una función dada y verifica las condiciones para la existencia de dicha función inversa. Por ejemplo, encuentra la inversa de la función y=\x0crac{a x+b}{c x+d}. Verifica la condición a d-b c \neq 0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Encuentre el rango de números reales x para los cuales la secuencia {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n} converge. También, encuentre el valor límite en ese punto.'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'Demuestre que el gráfico de la función f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) es simétrico respecto a los puntos de inflexión.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Demuestre que las siguientes ecuaciones son válidas cuando n es un entero mayor o igual a 2. Donde cos^0x=1 y tan^0x=1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Cuando la función continua f(x) satisface la relación f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t, encuentra f(x).'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'(1) Encuentra el valor de la integral definida .'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'
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Join our DiscordQ.25
'Demuestra que la desigualdad a^b > b^a se cumple cuando e<a<b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Encuentra la integral definida \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'
A. ...
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'Cuando -\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3}, \\ cos \\ theta \\ geqq 0, así que'
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Join our DiscordQ.29
'Encuentra los valores extremos de la función f(x)=x^{1/x}(x>0).'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Para un número natural n, considera S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1).'
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"(1) y' = 3^x * log3 + 1\nDado que 3^x > 0 y log 3 > 0, y' es siempre mayor que 0\nPor lo tanto, aumenta en todo el conjunto de números reales."
A. ...
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'Por lo tanto, (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} tiene y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} y (2) y=x^{x+1}(x>0) tiene y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'
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Join our DiscordQ.39
'Para un número real positivo a, sea la curva y=e^{ax} y denotémosla como C. Una recta que pasa por el origen y es tangente a la curva C en el punto P. Sea D la región delimitada por C, la recta y el eje y.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Encuentre las funciones inversas de los siguientes dos funciones. También, trace sus gráficos.\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Para la función exponencial y=a^{x} y la función logarítmica y=\\log_{a} x, los límites se pueden entender a partir del gráfico de la siguiente manera.'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Encuentra la función inversa de las funciones dadas.'
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Join our DiscordQ.45
'En la sociedad de consumo actual, ¿por qué se eligen más los productos prefabricados que los personalizados?'
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Join our DiscordQ.46
'Evaluar la integral indefinida de una función irracional (2) (integral de sustitución especial)'
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'Un punto P se mueve en el plano de coordenadas con coordenadas (x, y) dadas por x = 6e^{t}, y = e^{3t} + 3e^{-t}, donde t es cualquier número real.\n1. Elimina t de las ecuaciones dadas y deriva la ecuación y = f(x) que satisfacen x e y.\n2. Ilustra la trayectoria del punto P.\n3. Encuentra la velocidad v del punto P en el tiempo t.\n4. Determina la distancia recorrida por el punto P desde t = 0 hasta t = 3.'
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Join our DiscordQ.48
'Para la función f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0), responde las siguientes preguntas.'
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Join our DiscordQ.49
'Sea N un número natural, y definamos la función f(x) como f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x). (1) Para enteros m, n, encuentra \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x. (2) Encuentra \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x.'
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Join our DiscordQ.50
'Encuentra el rango de números reales x para los cuales las secuencias dadas convergen. También determina el valor límite en ese momento.'
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'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'
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Join our DiscordQ.53
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'
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Join our DiscordQ.54
'Encuentra las siguientes integrales indefinidas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Ejemplo 121 Integral indefinida por integración por partes (3) (se presenta la misma forma)'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Encuentra las siguientes integrales definidas:\n1. \n2. \n3. \n4. \n5. '