মৌলিক বীজগণিত - অসাম্য সমাধান

নীচের কোয়াড্রাটিক অসাম্যগুলি সমাধান কর। (1) $x^{2}-8 x+16>0$ (2) $x^{2}-8 x+16<0$ (3) $x^{2}-8 x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8 x+16 \leqq 0$

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসাম্যগুলি সমাধান করুন। (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

দ্বিঘাত অসমতা মৌলিক 93 দ্বিঘাত অসমতার সমাধান (1)

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতাগুলি সমাধান করুন। (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

মৌলিক 32 অসমতার ধর্ম ব্যবহার (1) মানক 33 অসমতার ধর্ম ব্যবহার (2) মৌলিক 34 1ম ডিগ্রির অসমতা সমাধান মৌলিক 35 যৌথ অসমতা সমাধান মানক 36 অসমতার পূর্ণসংখ্যা সমাধান মানক 37 অসমতা ভিত্তিক শব্দ সমস্যা মৌলিক 38 পরম মানসহ সমীকরণ, অসমতা…মৌলিক মানক 39 পরম মানসহ সমীকরণ কেস বিশ্লেষণের মাধ্যমে সমাধান করা

নিম্নলিখিত সমীকরণ এবং অসাম্যগুলি সমাধান করুন। (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

নিম্নলিখিত অসমীকরণের সমাধানের জন্য প্রদত্ত শর্তগুলির সন্তুষ্টি অনুযায়ী ধ্রুবক $a$ এর মানের পরিসীমা নির্ধারণ করুন: \( \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \) (1) কোনো সমাধান নেই। (2) সমাধানে 2 অন্তর্ভুক্ত। (3) সমাধানে শুধুমাত্র 3টি পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত।

অভ্যাস সমস্যা 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করুন। (6) $x^{2}+x \leqq 6$

অনুশীলন সমস্যা 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করুন। (4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

প্রস্তাবনার সত্যমান নির্ধারণ করুন। $x$ কে বাস্তব সংখ্যা এবং $n$ কে পূর্ণসংখ্যা হিসাবে ধরুন। নিম্নলিখিত প্রস্তাবনার সত্যতা পরীক্ষা করতে সেট ব্যবহার করুন। (1) $x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0$ (2) $n$ হল 18এর ধনাত্মক গুণনীয়ক $\Longrightarrow n$ হল 24এর ধনাত্মক গুণনীয়ক

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অপ্রকরণটি সমাধান করুন। (3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমীকরণগুলি সমাধান করুন। (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$ (4) $x^{2}+3 \geqq 0$

$x$ এর সেই সমস্ত পূর্ণসংখ্যা মানগুলো খুঁজে বের করুন যা \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \) অসাম্য সেটকে সন্তুষ্ট করে।

যুগপৎ অমিশ্রণের সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন ধ্রুবক $a$ এর মানের পরিসীমা খুঁজে বের করুন: (1) একটি সমাধান আছে। (2) সমাধানে ঠিক 3টি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

অনুশীলন সমস্যা 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসাম্য সমাধান করুন। (3) $x^{2}-2x < 0$

নিম্নলিখিত অসাম্যগুলি সমাধান করুন। (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

নিম্নলিখিত অনুচ্চতা সমাধান কর। (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

যদি \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 হয়, তবে ফাংশন \( f(x)=(1-x)|x+2| \)-এর সর্বাধিক মান নির্ণয় করুন।

দেওয়া অসমীকরণগুলো \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণকারী ধ্রুবক $a$ এর মানের পরিসর নির্ধারণ করুন: (1) সিস্টেমের একটি সমাধান রয়েছে। (2) সমাধানে সঠিকভাবে 2 টি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে।

ধরি $x$ একটি বাস্তব সংখ্যা। নিম্নলিখিত বাক্যগুলোর সত্যতা নির্ধারণ করতে সেট ব্যবহার করুন। (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

অনুশীলন সমস্যা 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করুন। (5) $x^{2} > 9$

আসুন প্রবাহচার্ট আকারে দ্বিতীয় ডিগ্রী অসমতার সমাধানের পদ্ধতি গুছিয়ে নি। মৌলিক উদাহরণ ৯৩ থেকে ৯৬-এ, আমরা বিভিন্ন ধরণের দ্বিতীয় ডিগ্রী অসমতা সমাধান করেছি। এখন আমরা এগুলি গুছিয়ে নি। আমরা $ax^{2} + bx + c$ বিবেচনা করি। প্রথমে পরীক্ষা করুন এটি গুণনীয় করা যায় কিনা। যদি যায়, এটি \( a(x-lpha)(x-eta) \) বা \( a(x-lpha)^{2} \) এর আকারে হবে। পরবর্তী পদক্ষেপে, গ্রাফ $y = ax^{2} + bx + c$ আঁকুন, ধরে নিই $a > 0$। তারপরে, নিম্নলিখিত টেবিলে সারসংক্ষেপ করা হয়েছে: egin{\overlineray}{c} অসমতার ধরন & সমাধানের পরিসর \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \leqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & lpha \leqq x \leqq eta \\hline\end{array}\) এই টেবিলটি মুখস্থ না করে সমাধানের কারণগুলি বোঝা জরুরি।

দ্বিঘাত অস্বীকৃতি মূলবিষয়ক (৯৪) দ্বিঘাত অস্বীকৃতির সমাধান (২)

অনুশীলন 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসাম্য সমাধান করুন। (2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে অসাম্য 2|x+4|<x+10 সমাধান করুন।

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমীকরণগুলি সমাধান করুন। (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

অসাম্য $x^2-4x+3<0$ সমাধান করুন।

অভ্যাস প্রশ্ন 93 - নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করুন। (1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

যখন অসাম্যগুলির সমস্ত পদ বাম দিকে সরিয়ে সংবিধান করা হয়, যেমন $a x^{2}+b x+c>0$ এবং $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ (যেখানে $a, b, c$ হলো ধ্রুবক এবং a eq 0 ）, তখন বাম দিকটি \( x -এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হয়, যা $x$-এর দ্বিঘাত অসাম্য বলা হয়। তখন যে $x$-এর মানটি দ্বিঘাত অসাম্যটিকে পূর্ণ করে, সেটি অসাম্যটির সমাধান বলা হয়, এবং সমস্ত সমাধানগুলি খুঁজে পাওয়াকে দ্বিঘাত অসাম্য সমাধান বলা হয়। এই অধ্যায়ে, চলুন দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ ব্যবহার করে দ্বিঘাত অসাম্য সমাধানের পদ্ধতি শিখি। আমরা সক্রিয়ভাবে আগের অধ্যায়ে শেখা দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ এবং $x$ অক্ষের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যবহার করব। ■ দ্বিঘাত অসাম্য সমাধান এবং দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ নোট: নিম্নলিখিত আলোচনাগুলিতে, $x^{2}$-এর সহগ $a$-এর চিহ্নকে ধনাত্মক মনে করে কথোপকথনে কোনও অসুবিধা নেই। কারণ $a$-এর চিহ্ননেতিবাচক হলে, উভয় দিকে -1 গুণ করে $x^{2}$-এর সহগ ধনাত্মক করে সমাধান করা যায়। দ্বিঘাত অসাম্য \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \) সমাধান করতে, যখন $y=a x^{2}+b x+c$ ধরে নেওয়া হয়, তখন $y>0$ হওয়ার জন্য $x$-এর মানের পরিসীমা খোঁজা, অর্থাৎ $y=a x^{2}+b x+c$-এর গ্রাফ $x$ অক্ষের উপরে যতটুকুতে থাকে তা খুঁজে পাওয়া হবে। কংক্রিটের উদাহরণ হিসেবে, 2 দ্বিঘাত অসাম্য $x^{2}-4 x+3>0$ (1) ব্যাখ্যা করি।

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করুন। (2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

অসাম্য 3|x+1| $\geqq x+5$ সমাধান করুন।

নিচের দ্বিতীয়তর অমিসম্মতিগুলি সমাধান করুন। (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

10 থেকে একটি সংখ্যা x-এর 3 গুণ বিয়োগ করলে সংখ্যাটি -5 এর থেকে বড় হয়, সেটি অসাম্য হিসাবে প্রকাশ করুন।

অসাম্যতা $|2 x|+|x-5| \geqq 8$ সমাধান কর।

অসমতা $x^2-4x+3>0$ সমাধান কর।

নিম্নলিখিত অসাম্যগুলো সমাধান কর। (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

নিচের সমীকরণ এবং অসাম্যগুলি সমাধান করুন। (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

অসাম্য 2x-5<9 সমাধান করুন।