মৌলিক বীজগণিত - প্রকাশের সম্প্রসারণ এবং গুণনীয়করণ

নিম্নোক্ত প্রকাশগুলোকে গুণফল করুন। (1) \( \left(x^{2}+3 x ight)^{2}-2\left(x^{2}+3 x ight)-8 \) (2) \( \left(x^{2}+5 x ight)\left(x^{2}+5 x-20 ight)-96 \) (3) \( (x-1) x(x+1)(x+2)-24 \)

বহুপদীর গুণফল বিতরণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়। উদাহরণ: \((x+2)(x+5)\)

(2) \( 2(x-3)^{2}+(x-3)-3 \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলির গুণনীয়ক নির্ধারণ করুন। (1) $x^{4}+5 x^{2}+9$ (2) $x^{4}-12 x^{2} y^{2}+16 y^{4}$

একটি ধ্রুবক $a$ ধরি এবং \(f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x\) ফাংশনটি বিবেচনা করি। যেহেতু \(f(x)=(-a + √a + )x + 2a + 1\), $0 ≤ x ≤ 1$ জন্য \(m(a)\) এর ন্যূনতম মান নিম্নরূপ: যখন a < rac{1}{P}, তখন \(m(a) = U\) যখন a = rac{1}{P}, তখন \(m(a) = B\)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলির গুণনীয়ক করুন। (1) $a^{2} b+b^{2} c-b^{3}-a^{2} c$ (2) $1+2 a b+a+2 b$

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ব্যাখ্যা করুন।

নীচের অভিব্যক্তিগুলিকে গুণফল করুন। (1) $a^{4}-b^{4}$ (2) $x^{4}-13 x^{2}+36$

নিম্নলিখিত প্রকাশগুলিকে গুণফল আকারে লেখো। (1) $x^{4}-81$ (2) $16 a^{4}-b^{4}$ (3) $x^{4}-5 x^{2}+4$ (4) $4 x^{4}-15 x^{2} y^{2}-4 y^{4}$

(৩) \( \left(x^{2}+2 x+1\right)-a^{2} \)

x(x-1)(x+3)(x+4) প্রসার করুন।

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে প্রসারিত করুন। (1) (3a+1)^{2}(3a-1)^{2} (2) \left(4x^{2}+y^{2} ight)(2x+y)(2x-y)

নির্দিষ্ট অভিব্যক্তিগুলিকে গুণফলে বিশ্লেষণ করুন। (1) $2 x^{2}+7 x+6$(2) $6 x^{2}+5 x-6$

নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনগুলি প্রসারিত করুন। (1) (3a - b + 2)(3a - b - 1) (2) (x - 2y + 3z)^2 (3) (a + b - 3c)(a - b + 3c) (4) (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)

তুমি ভুল করে B=2x^2-2xy+y^2 সমীকরণটি যোগ করার পরিবর্তে বিয়োগ করেছো, এজন্য তুমি ভুল উত্তর x^2+xy+y^2 পেয়েছো। সঠিক উত্তরটি খুঁজে বের কর।

পরবোলা $y=x^{2}+a x+b$ কে মূল বিন্দুর সর্ম্পেকে প্রতিসম স্থানান্তরিত করার পরে, $x$ অক্ষ বরাবর 3 একক এবং $y$ অক্ষ বরাবর 6 একক সরিয়ে পরবোলা $y=-x^{2}+4 x-7$ পাওয়া যায়। তখন, $a=$ এবং $b=$ এর মান কত হবে?

নিম্নলিখিত প্রকাশনাগুলি ফ্যাক্টরাইজ করুন। (1) $x^{2} y - x y^{2}$ (2) $6 a^{2} b - 9 a b^{2} + 3 a b$ (3) \( (a + b) x - (a + b) y \) (4) \( (a - b)^{2} + c(b - a) \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি প্রসারিত করুন। (1) \( (2 a+b)^{2}(2 a-b)^{2} \) (2) \( \left(x^{2}+9 ight)(x+3)(x-3) \) (3) \( (x-y)^{2}(x+y)^{2}\left(x^{2}+y^{2} ight)^{2} \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে গুণনীয়করণ করুন। (1) $a b+a+b+1$ (2) $x^{2}+x y+2 x+y+1$ (3) $2 a b^{2}-3 a b-2 a+b-2$ (4) \( x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a+3) x-3 a \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে গুণফল করুন। (1) $6x^{2}+13x+6$(2) $3a^{2}-11a+6$(3) $12x^{2}+5x-2$(4) $6x^{2}-5x-4$(5) $4x^{2}-4x-15$(6) $6a^{2}+17ab+12b^{2}$(7) $6x^{2}+5xy-21y^{2}$(8) $12x^{2}-8xy-15y^{2}$(9) $4x^{2}-3xy-27y^{2}$

নিচের দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণের পূর্ণবর্গ সম্পূর্ণ করুন। (2) $-x^{2}+6 x-2$

$x$ এবং $y$ এর ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত দ্বিঘাতীয় অভিব্যক্তি গুলি গুনুন। (1) $x^{2}+3 xy+2 y^{2}-5 x-7 y+6$ (2) $2 x^{2}-5 xy-3 y^{2}-x+10 y-3$

TRAINING 8 (1) নিম্নলিখিত জটিল সমীকরণগুলি প্রসারিত করুন। (1) \( (3 a+2)^{2} \) (2) \( (5 x-2 y)^{2} \) (3) \( (4 x+3)(4 x-3) \) (4) \( (-2 b-a)(a-2 b) \) (5) \( (x+6)(x+7) \) (6) \( (2 t-3)(2 t-5) \) (7) \( (4 x+1)(3 x-2) \) (8) \( (2 a+3 b)(3 a+5 b) \) (9) \( (7 x-3)(-2 x+3) \)

নিম্নলিখিত প্রকাশগুলির গুণনীয়ক করুন। (1) $2 a b - 3 b c$ (2) $x^{2} y - 3 x y^{2}$ (3) $9 a^{3} b + 15 a^{2} b^{2} - 3 a^{2} b$ (4) \( a(x - 2) - (x - 2) \) (5) \( (a - b) x^{2} + (b - a) x y \)

নিম্নলিখিত প্রকাশগুলি গুণফল করুন। (1) \( \left(x^{2}+2 x ight)^{2}-2\left(x^{2}+2 x ight)-3 \) (2) \( \left(x^{2}+x-2 ight)\left(x^{2}+x-12 ight)-144 \) (3) \( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 \)

নিচের অভিব্যক্তিগুলিকে গুণফল কর। (1) x^{2}+8x+15 (2) x^{2}-13x+36 (3) x^{2}+2x-24 (4) x^{2}-4xy-12y^{2}

নীচের অভিব্যক্তিগুলির গুণফল নির্ধারণ করুন। [10 - 12] 10 (1) 125a^3+64b^3 (2) 27x^4-8xy^3z^3 (3) x^3+2x^2-9x-18 (4) 8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3 (5) x^3+x^2+3xy-27y^3+9y^2

চলুন ভগ্নাংশ প্রক্রিয়ার মূল বিষয়গুলি পর্যালোচনা করি! অনেকগুলি অক্ষর সম্বলিত প্রকাশগুলির ভগ্নাংশ প্রক্রিয়া করতে হলে, সর্বনিম্ন ঘাতের অক্ষরটি সংরক্ষণ করুন। সমীকরণ: \[ x^{2}+3 x y+2 y^{2}-5 x-7 y+6=x^{2}+(3 y-5) x+\left(2 y^{2}-7 y+6 ight) \] এই সমীকরণটির ভগ্নাংশ প্রক্রিয়া করুন।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি গুণফল করুন। (1) \( (x+y)^{2}-10(x+y)+25 \) (2) \( 2(x-3)^{2}+(x-3)-3 \) (3) \( \left(x^{2}+2 x+1\right)-a^{2} \) (4) $4 x^{2}-y^{2}+6 y-9$

নিম্নলিখিত প্রকাশগুলির গুণনীয়ক করুন। (1) x^3 + 2x^2 y - x^2 z + xy^2 - 2xyz - y^2 z (2) x^3 + 3x^2 y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলির গুণফল নির্ণয় করুন। (1) \( a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)+2 a b c \) (2) \( a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b) \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে আয়তক্ষেত্র করুন। (1) $8 x^{3}+1$ (2) $64 a^{3}-125 b^{3}$ (3) $108 a^{3}-4 b^{3}$

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি প্রসারিত করুন। (1) \( (2 x+1)^{2} \) (2) \( (3 x-2 y)^{2} \) (3) \( (2 x-3 y)(3 y+2 x) \) (4) \( (x-4)(x+2) \) (5) \( (4 x-7)(2 x+5) \)

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) প্রসারিত করুন।

(1) \( (x+y)^{2}-10(x+y)+25 \)

সূচক নিয়ম ব্যবহার করে একপদী সংখ্যাগুলির গুণফল নির্ণয় করুন। উদাহরণ $2 a b imes 3 a^{2} b$

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে প্রসারিত করুন। (1) \( 12 a^{2} b\left(rac{a^{2}}{3}-rac{a b}{6}-rac{b^{2}}{4} ight) \) (2) \( (3 a-4)(2 a-5) \) (3) \( \left(3 x+2 x^{2}-4 ight)\left(x^{2}-5-3 x ight) \) (4) \( \left(x^{3}-3 x^{2}-2 x+1 ight)\left(x^{2}-3 ight) \)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি প্রসারিত করুন। (1) (rac{3}{4} x^2 - xy + rac{9}{2} y^2) imes (-4xy) (2) (-2a + 3b)^2 (3) (2a - 5b)(-5b - 2a) (4) (2x + 3y)(3x - 2y) (5) (6a + 5b)(3a - 2b)

বিসসৃত সূচক 8^3(7x^3+12x^2-4x-3)(x^5+3x^3+2x^2-5) তে, x^5 এর সহগ অ, এবং x^3 এর সহগ ই।

নিম্নলিখিত সূত্রগুলি উৎপাদক আকারে সাজাও। (1) $x^{3}-3 x^{2}+x-3$ (2) $x^{3}+6 x^{2}+12 x+8$

নিম্নলিখিত প্রকাশগুলোকে গুণফল করুন। (1) $x^{3}+8$ (2) $27 x^{3}-64$ (3) $125 a^{3}+27 b^{3}$

নিম্নলিখিত সূত্রগুলি গণনা করো। (1) $x^{2}+4 x y+3 y^{2}+2 x+4 y+1$ (2) $x^{2}-2 x y+4 x+y^{2}-4 y+3$ (3) $2 x^{2}+3 x y+y^{2}+3 x+y-2$ (4) $3 x^{2}+5 x y-2 y^{2}-x+5 y-2$

নিম্ন লিখিত সমীকরণগুলিকে উৎপাদক কর। (1) $x^{2}+2 x+1$ (2) $4 x^{2}+4 x y+y^{2}$ (3) $x^{2}-10 x+25$ (4) $9 a^{2}-12 a b+4 b^{2}$ (5) $x^{2}-49$ (6) $8 a^{2}-50$ (7) $16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}$ (8) $8 a x^{2}-40 a x+50 a$ (9) $5 a^{3}-20 a b^{2}$

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি প্রসারিত করুন: (1) (x-2y+1)(x-2y-2) (2) (a+b+c)^{2} (3) \left(x^{2}+x-1 ight)\left(x^{2}-x+1 ight)

নীচের অভিব্যক্তিগুলি ফ্যাক্টরাইজ করুন। (1) $a b c+a b+b c+c a+a+b+c+1$ (2) \( (a+b)(b+c)(c+a)+a b c \) (3) \( a(b+c)^{2}+b(c+a)^{2}+c(a+b)^{2}-4 a b c \)

প্রশিক্ষণ 15 নিম্নলিখিত প্রকাশগুলোকে গুণিত করে ফেল। (1). \( (x+2)^{2}-5(x+2)-14 \) (2) \( 16(x+1)^{2}-8(x+1)+1 \) (3) \( 2(x+y)^{2}-7(x+y)+6 \) (4) $4 x^{2}+4 x+1-y^{2}$ (5) $25 x^{2}-a^{2}+8 a-16$ (6) \( (x+y+9)^{2}-81 \)

নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সম্প্রসারণ করুন: (1) (3x-1)^3 (2) (3x^2-a)(9x^4+3ax^2+a^2) (3) (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) (4) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5) (5) (x+1)^3(x-1)^3

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলির ফ্যাক্টরাইজ করুন। (1) $x^{3}-5 x^{2}-4 x+20$ (2) \( 8 a^{3}-b^{3}+3 a b(2 a-b) \) (3) $8 x^{3}+1+6 x^{2}+3 x$ (4) $x^{3}-9 x^{2}+27 x-27$

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি গুণনীয় হোন। (1) $x^{4} + x^{2} + 1$ (2) $x^{4} + 4$

দ্বিঘাত সমীকরণের মৌলিক ৮৬: গুণনীয়করণের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

প্রশিক্ষণ 19 (3) নিম্নোক্ত সমীকরণগুলো প্রসারিত করুন। (1) \( (x+4)^{3} \) (2) \( (3 a-2 b)^{3} \) (3) \( (-2 a+b)^{3} \) (4) \( (a+3)\left(a^{2}-3 a+9 ight) \) (5) \( (4 x-3 y)\left(16 x^{2}+12 x y+9 y^{2} ight) \) (6) \( (5 a-3 b)\left(25 a^{2}+15 a b+9 b^{2} ight) \)

উন্নত শিক্ষা উদাহরণ সমস্যা মূল উদাহরণ 49 60 সেটের উপাদান নির্ধারণ দুইটি সেট A=\left\{1,3, \quad x^{2}-x-2 ight\}, \quad B=\left\{2, x+1, \quad x^{2}+x-6, x^{3}-x^{2}+x-1 ight\} হিসেবে $A \cap B=\{0,3\}$ , বাস্তবসংখ্যা $x$ এর মান নির্ণয় কর। এছাড়াও, সেই মানের জন্য $A \cup B$ নির্ণয় কর। [ইয়ামানাশি গাকুইন বিশ্ববিদ্যালয়]

গুণফল বিশ্লেষণের সমস্যা। নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি গুলি গুণফল বিশ্লেষণ করুন। 1. $x^{2}+4x+3$ 2. $6ab + 3ac$ 3. $a^{2} + 2ab + b^{2}$ 4. $a^{2} - b^{2}$ 5. \(x^{2} + (a+b)x + ab\) 6. \(acx^{2} + (ad + bc)x + bd\)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলিকে গুণফল করুন। (1) x^{2}+14 x+24 (2) a^{2}-17 a+72 (3) x^{2}+4 x y-32 y^{2} (4) x^{2}-6 x-16 (5) a^{2}+3 a b-18 b^{2} (6) x^{2}-7 x y-18 y^{2}

হাইপারবোলা rac{x^{2}}{3}-rac{y^{2}}{2}=1 এর বিন্দু \( (-3,2) \) এ স্পর্শক রেখার সমীকরণ খুঁজুন।