মৌলিক বীজগণিত - বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ (গণিত, সূচক, মূল)

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গণনা করুন। (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

ধরি 3+\sqrt{2} এর পূর্ণসংখ্যা অংশ a এবং দশমিক অংশ b। a^{2}+2 a b+4 b^{2} এর মান হল \square।

নিচের হিসাবগুলো সমাধান কর।\n(1) \( 2 a imes\left(a^{3} ight)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b imes\left(-5 a b^{3} ight) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y ight)^{2} imes\left(-3 x^{3} y^{2} ight)^{3} \)

নিম্নোক্ত প্রকাশগুলির মান নির্ণয় কর: (3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (4) $\frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

সমস্ত সেট U এবং শর্ত p, q পূর্ণকারী সমস্ত সেট P, Q হলে, 'p এবং q' শর্ত পূর্ণকারী সমস্ত সেট কীভাবে উপস্থাপিত হবে?

নিম্নলিখিত গণনাগুলি সমাধান করুন। (1) $x^{2} imes x^{5}$ (2) \( \left(x^{5} ight)^{2} \) (3) \( \left(-x^{2} y z ight)^{4} \) (4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3} ight)^{3} imes\left(-3 a^{2} b ight)^{2} \) (5) \( \left(-x y^{2} ight)^{2} imes\left(-2 x^{3} y ight) imes 3 x y \)

প্রশ্ন উদাহরণ মৌলিক উদাহরণ 27 $40 \sqrt{A^{2}}$ এর ব্যাখ্যা। $a$ কে প্রকৃত সংখ্যা হিসেবে ধরলে, $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ অনুবাদ করুন। ফলাফলগুলো হলো: যখন $a>\frac{1}{3}$, এটা $\square$; যখন $-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$, এটা 1 $\qquadj$; এবং যখন $a<-2$, এটা $\qquadj$ \ দিতে হবে। [প্রত্যাশিত সেন্টার পরীক্ষার উদাহরণ]\& উপলব্ধি $A \geqq 0$ অর্থে $\sqrt{A^{2}}=A$ হয়, এবং $A<0$ অর্থে $\sqrt{A^{2}}=-A$; তাই $\sqrt{A^{2}}=|A|$ সঠিক। $\square$ । ব্যবহার করে, $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ কে মানবলক্ষিত মান চিহ্নিত করে প্রকাশ করুন।

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গণনা করুন। (1) \( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} )

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি গণনা করুন। (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

ফাংশন \( f(x)=2x+1 \) এ $x=-1, 0, 1$ এর মান নির্ণয় কর।

দয়া করে 'p এবং q' শর্তটি পূরণকারী সমস্ত উপাদানের সেট উপস্থাপন করুন।

দয়া করে চারটি মূল গাণিতিক ক্রিয়া ব্যাখ্যা করুন।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি গণনা করুন। (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

সঙ্কলিত সংখ্যার যোগের চিত্রিত দুটি সঙ্কলিত সংখ্যা \alpha = a + bi, eta = c + di এর যোগ \[ \alpha + eta = (a + c) + (b + d)i \] যখন সঙ্কলিত প্লেনে অঙ্কন করা হয়, তখন নিম্নলিখিত মূল পয়েন্টগুলি পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে। 1. পয়েন্ট $\alpha$ শুরু বিন্দু থেকে eta বিন্দুতে সমান্তরাল অবস্থানে চললে, বিন্দুটি যোগফলের অবস্থান হয়। অনুগ্রহ করে নিম্নলিখিত যোগগুলি গণনা করুন এবং সেগুলি সঙ্কলিত প্লেনে আঁকুন। 1. $\alpha = 1 + 2i$, eta = 3 + 4i 2. $\alpha = -1 + i$, eta = 2 - 3i

f(x)=-2x+3 এবং g(x)=2x²-4x+3 দেওয়া হলে, নিম্নলিখিত মানগুলি নির্ধারণ করুন। (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

মডিউলাস এবং আর্গুমেন্ট এর ক্রমে নিম্নলিখিত রূপান্তর করুন। (1) $2r, heta$ (2) $r, heta+\pi$ (3) $r,- heta$ (4) rac{1}{r},- heta (5) $r^{2}, 2 heta$ (6) $2r, \pi- heta$

(2) বিন্দু G রেখাখণ্ড AF কে 1:2 অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে ভাগ করে, তাই \[ egin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{AG}}=rac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AF}}=rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} \ ext { সুতরাং } \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} ight)-ec{d} \ =rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}-rac{9}{10} ec{d} \ \end{array} \] যেহেতু বিন্দু D, G এবং H একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাই এমন একটি বাস্তব সংখ্যা $k$ আছে যার ফলে $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DG}}$।

(3) (1) থেকে \alpha=\frac{3 \pm \sqrt{3} i}{3} eta , সুতরাং \[ egin{aligned} |3 \alpha-2 eta| & =|(3 \pm \sqrt{3} i) eta-2 eta|=|(1 \pm \sqrt{3} i) eta| & =|1 \pm \sqrt{3} i||eta|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}|eta|=2|eta| \end{aligned} \]

ধরা যাক \( z=r(\cos heta+i \sin heta) \)। নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যার পরম মান এবং আর্গুমেন্ট $r, heta$ ব্যবহার করে যথাক্রমে অভিব্যক্ত করুন, প্রত্যেকটি ১ পয়েন্ট ২০। ধরুন $r>0$। (1) $2z$ (2) $-z$ (3) \overline{z} (4) rac{1}{z} (5) $z^{2}$ (6) -2\overline{z}

সমশ্রেণীবদ্ধ সমতলে তিনটি বিন্দু রয়েছে \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \)। যখন $riangle \mathrm{OAB}$ একটি সমকোণী সমবাহু ত্রিভুজ হয়, বিন্দু $\mathrm{B}$ কে উপস্থাপনকারী সমশ্রেণীবদ্ধ সংখ্যা $z$ খুঁজুন।

নিম্নলিখিত সারণী সম্পন্ন করতে, অনুগ্রহ করে বর্গ (n^2), ঘন (n^3), বর্গমূল (√n) এবং দশগুণ বর্গমূল (√10n) গণনা করুন।

ধরা যাক α=2(cos 11/12 π + i sin 11/12 π) এবং β=3(cos π/4 + i sin π/4), αβ এবং α/β নির্ণয় করুন।

46 rac{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{10}}{5}

নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যাগুলিকে মেরু আকারে প্রকাশ করুন। $-3+2i, -1+5i$ অথবা $3-2i, 5+i$

যৌগিক সংখ্যা $z$-এর কাল্পনিক অংশ ধনাত্মক, এবং তিনটি বিন্দু \( \mathrm{A}(z), \mathrm{B}(z^{2}), \mathrm{C}(z^{3}) \) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এই সময়ে, $z$ নির্ণয় করো।

নিম্নলিখিত দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন: (ক) \( \mathrm{A}(3+2 i), \mathrm{B}(6+i) \) (খ) \( \mathrm{C}\left(rac{10}{1+2 i} ight), \mathrm{D}(2+i) \)

যখন n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, তখন \( \left(rac{-1+\sqrt{3} i}{2} ight)^{n}+\left(rac{-1-\sqrt{3} i}{2} ight)^{n} \) সরলীকৃত করুন।

ধরা যাক α=2+i এবং β=4+3i। α বিন্দুর চারপাশে π/3 কোণে β বিন্দুকে ঘুরিয়ে যে জটিল সংখ্যা γ পাওয়া যায় তা নির্ণয় কর।

যখন বিন্দু z কেন্দ্র O তে ব্যাসার্ধ 2 এর বৃত্তে চলে, তখন w বিন্দু কি ধরনের আকৃতি আঁকবে তা নিচের সমীকরণগুলি দ্বারা বর্ণিত হয়? (1) w=2z+1-i (2) w=1-iz

নিম্নলিখিত গণনাগুলি সমাধান করুন। (1) 4 ec{a} + 2 ec{a} - ec{a} (2) \( 5(2 ec{a} - ec{b}) - 4(-3 ec{a} + 7 ec{b}) \)