মৌলিক বীজগণিত - বীজগণিতীয় সমীকরণ (রৈখিক, দ্বিঘাত)

একটি পণ্য প্রতি ইউনিট মূল্য 10 ইয়েন হলে দিনে 100 ইউনিট বিক্রি হয়। প্রতি 1 ইয়েন একক মূল্য বৃদ্ধির জন্য, দৈনিক বিক্রয় 5 ইউনিট করে কমে যায় এবং প্রতি 1 ইয়েন একক মূল্য কমানোর জন্য, দৈনিক বিক্রয় 5 ইউনিট করে বৃদ্ধি পায়। একক মূল্য কত থাকলে দৈনিক বিক্রয় মূল্য সর্বাধিক হবে? সর্বাধিক দৈনিক বিক্রয় মূল্য এবং সেই সময়ের একক মূল্য নির্ণয় করুন। তবে, ভোক্তা কর বিবেচনা করবেন না।

সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে $-2 x-5=9$ লিনিয়ার সমীকরণটি সমাধান করুন।

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করুন। (1) $2 x^{2}+5 x-1=0$ (2) $x^{2}-6 x+3=0$ (3) rac{1}{2} x^{2}+rac{2}{3} x-1=0

মৌলিক ৮৭ সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান খুঁজুন।

তিনটি দ্বিঘাত ফাংশনের জন্য $y=x^{2}$ \((1), y=(x-2)^{2}\)\( (2), y=(x-2)^{2}+1 \) , $x$ এবং $y$-এর অনুকূল টেবিলটি নিম্নরূপ।

উদাহরণ 37 আপেল এবং কমলার ১ ইউনিটের দাম, পরিমাণ এবং মোট খরচের শর্তগুলি থেকে আপেলের সংখ্যা নির্ধারণ করুন।

যদি \( f(x)=x^{2}+a x+b \) ফাংশনের $0 \leqq x \leqq 1$ এর মধ্যে ন্যূনতম মান $m$ হয়, তাহলে $m$ কে $a$ এবং $b$ হিসাবে প্রকাশ করুন।

নিচের বিকল্প গুলি থেকে যথাযথটি নির্বাচন করুন! উপরের করণীয় কাজের জন্য, ধরি x বাস্তব সংখ্যা। (1) p: x^{2}-x=0 \quad q: x=1 তাহলে, p হল \square শর্ত q এর জন্য। (2) চতুর্ভুজের জন্য p: রম্বাস q: কর্ণ গুলি পরষ্পর লম্বভাবে ছেদ করে তাহল, p হল \square শর্ত q এর জন্য। ① প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত ② প্রয়োজনীয় শর্ত কিন্তু পর্যাপ্ত নয় ③ পর্যাপ্ত শর্ত কিন্তু প্রয়োজনীয় নয়

প্রশিক্ষণ ৮৮ (১) দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ $x^{2}+3 x+m-1=0$ এর বাস্তব সমাধান না থাকলে, ধ্রুবক $m$ এর মানের পরিসীমা নির্ধারণ করুন। (২) দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ \( x^{2}-2 m x+2(m+4)=0 \) যখন পুনরায় সমাধান থাকে, তখন ধ্রুবক $m$ এর মান এবং সেসময়ের পুনরায় সমাধান নির্ধারণ করুন।

১৯৮৮টি বাস্তব মূল সহ সমীকরণের শর্ত (1)

মান 74 | দ্বিঘাত ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন এবং শব্দ সমস্যা (1)

নিম্নলিখিত প্রস্তাবনা $P$ এর বিপরীত এবং বিপরীতানুকরণ বলুন এবং তাদের সত্য-মিথ্যা নির্ধারণ করুন। এছাড়াও, প্রস্তাবনা $P$ এর বাচন বলুন। ধরা যাক $x, y$ বাস্তব সংখ্যা, $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা। (1) $P: \lceil x+y=-3$ ফলে $x, y$ এর অন্তত একটি নেতিবাচক সংখ্যা।\」 (2) P: \left\لnız n^{2}+1 ight. সম সংখ্যা $\Longrightarrow n$ বিজোড় সংখ্যা (3) \( P: \leftṛীয় 3 x+5>0 \Longrightarrow x^{2}-6 x-7=0 ightمز تغييرها

(1) $|3 x+1|$ এর নি:শর্ত মান চিহ্ন মুছে ফেল। (2) সমীকরণ $|x-1| = 3 x + 2$ সমাধান কর।

প্রাথমিক ৬৩ | ফাংশন এক্সপ্রেশন এবং ফাংশন মান

(x এর দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণ) = 0 আকারে প্রকাশিত সমীকরণকে দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণ বলা হয়। যে x এর মান এই দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে তাকে দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণের সমাধান বলা হয়, এবং সব সমাধান খুঁজে পাওয়ার প্রক্রিয়াকে দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণ সমাধান করা বলা হয়। এখানে, আমরা মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে শেখা বিষয়গুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণের সমাধানগুলি নিয়ে আলোচনা করব।

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করুন। (1) $x^{2}+10 x=0$ (2) $x^{2}+x-56=0$ (3) $9 x^{2}+6 x+1=0$ (4) $4 x^{2}+8 x-21=0$ (5) $3 x^{2}+5 x-2=0$ (6) $6 x^{2}-7 x-3=0$

নির্দিষ্ট শর্ত পূরণের জন্য ধ্রুবক $a, b$ এর মান নির্ধারণ করুন। (1) রৈখিক ফাংশন $y=ax+b$ এর গ্রাফ দুটি বিন্দু \( (-2,2) \) এবং \( (4,-1) \) এর মধ্য দিয়ে যায়।

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান কর। (1) $3 x^{2}+7 x=0$ (2) $x^{2}-x-20=0$ (3) $x^{2}-12 x+36=0$ (4) $x^{2}-49=0$ (5) $2 x^{2}-7 x+6=0$

নিম্নলিখিত সমীকরণ z^3 = -8i সমাধান করুন।

সমীকরণ $z^{8}=1$ সমাধান কর।

প্রশিক্ষণ 56 ধরা যাক x এবং y বাস্তব সংখ্যা। নিম্নলিখিত প্রস্তাবনাগুলির বিপরীত, প্রতিসম এবং বিপরীত বাক্যগুলি ব্যাখ্যা করুন, এবং তাদের সত্যতা নির্ধারণ করুন। (1) x^2 ≠ -x ⟹ x ≠ -1 (2) x+y একটি সাধারণ সংখ্যা ⟹ x বা y একটি সাধারণ সংখ্যা

যখন দ্বিঘাত সমীকরণ $x^{2}-4 m x+m+3=0$ এর দ্বিগুণ মূল রয়েছে, তখন ধ্রুবক $m$-এর মান এবং তার দ্বিগুণ মূলটি খুঁজুন।

স্থিত_CONSTANT $c$-এর মান নির্ধারণ করুন যাতে \( f(x)=-x^{2}+4 x+c(-4 \leqq x \leqq 4) \) ফাংশনের ন্যূনতম মান -50 হয়।

(1) $x + y = 4$ হলে, $x \cdot y$ এর সর্বাধিক মান নির্ধারণ করুন।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করুন। (1) $z^{5}=1, z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$ (2) 1

অতএব, \overrightarrow{\mathrm{DH}}=rac{1}{30} k ec{b}+rac{1}{5} k ec{c}-rac{9}{10} k ec{d} , এবং যেহেতু $\mathrm{H}$ সমতল $\mathrm{ABC}$ এর উপর অবস্থিত, প্রকৃত সংখ্যা $s, t$ পাওয়া যায় যেন \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s ec{b}+t ec{c} । অতএব, \overrightarrow{\mathrm{DH}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s ec{b}+t ec{c}-ec{d} । (1) এবং (2) থেকে পাই rac{1}{30} k ec{b}+rac{1}{5} k ec{c}-rac{9}{10} k ec{d}=s ec{b}+t ec{c}-ec{d}। যেহেতু 4 টি বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ একই সমতলে নেই, rac{1}{30} k=s, \quad rac{1}{5} k=t, \quad-rac{9}{10} k=-1

সোজা লাইন y=2x+k বক্ররেখা x^{2}+4y^{2}=4 কে দুইটি বিভিন্ন বিন্দু P এবং Q তে কাটে। (1) ধ্রুবক k এর মানের পরিসীমা খুঁজে বের করুন। (2) যখন k (1) তে পাওয়া পরিসরে পরিবর্তিত হয়, তখন PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু M এর পাথ খুঁজে বের করুন।

113 (1) r=3/(2 cos θ) (2) θ=-π/4

বিন্দু $-3+i$ কে কেন্দ্র এবং $\sqrt{2}$ কে ব্যাসার্ধ ধরে বৃত্তের সমীকরণটি বের করুন।

গণিত প্রশ্ন: $riangle \mathrm{OAB}$ এর জন্য, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ধরা যাক। বাস্তব সংখ্যা $s$ এবং $t$ নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করলে বিন্দু $\mathrm{P}$ এর অস্তিত্বের সীমা নির্ধারণ করুন: (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

১৫ (৩) \( x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=9 \)

হোয়াইট চার্ট পদ্ধতি হল একটি কৌশল যা বীজগণিত সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়। ধরুন আপনার কাছে সমীকরণ x^2 - 5x + 6 = 0 আছে।

51 (1) \( r \cos \left( heta-rac{\pi}{4} ight)=\sqrt{2} \) (2) \( r=2 \sqrt{2} \cos \left( heta-rac{\pi}{4} ight) \)

36 (1) $x^{2}=-8 y$ (2) $y^{2}=-3 x$

সাদা চার্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ x^2 + x - 12 = 0 সমাধান করুন।

সমীকরণ $z^{8}=1$ সমাধান কর।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সম্পূর্ণকারী সমস্ত বিন্দু $z$ কোন আকৃতি তৈরি করে? (1) \( |z|^{2}=2i(z-ar{z}) \) (2) $3|z|=|z-4i|$