মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব - যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক সংখ্যা

নিম্নলিখিত প্রকাশনাগুলির ভগ্নাংশের হরকে যুক্তিপূর্ণ করুন। (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x একটি অমূলদ সংখ্যা। উল্টো প্রমাণ পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত প্রস্তাবটি প্রমাণ করুন। x^2 এবং x^3 এর মধ্যে অন্তত একটি অমূলদ সংখ্যা।

x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} এর মানগুলি দেওয়া হলে নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনগুলির মানগুলি খুঁজুন। (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

প্রশিক্ষণ ২৭ (1) নিম্নলিখিত (1) থেকে (4) এর মধ্যে, সমস্ত সঠিক বিবৃতি নির্বাচন করুন। (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$। (2) $\sqrt{0.25}=0.5$। (3) rac{49}{64} এর বর্গমূল \pm rac{7}{8} । (4) rac{49}{64} এর বর্গমূল শুধুমাত্র rac{7}{8} । (2) \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) এর মান নির্ণয় করুন।

ধরি x এবং y সম্পর্কে বহুপদী P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by , যেখানে a এবং b যৌক্তিক ধ্রুবক। (1) যখন x = 1/(2-√3) এবং y = 1/(2+√3), তখন x + y এবং x - y এর মান নির্ণয় কর। (2) (1) এর x এবং y মানের জন্য যদি P = 4 হয়, তাহলে a এবং b এর মান নির্ধারণ কর।

5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ হলে, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলির মান নির্ণয় কর। (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

ধরা হবে x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তির মান নির্ণয় করুন: (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3} + x^{3} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

গুণফল x y সম্পর্কে, x এবং y এর জন্য, যেহেতু x এর পদাঙ্ক এবং y এর ভগ্নাংশ একই, এবং x এর ভগ্নাংশ এবং y এর পদাঙ্ক একই, আমরা পদাঙ্ককে স্বাভাবিকীকরণ না করেই x y=1 গণনা করতে পারি। বিপরীত সম্পর্ক: \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

বিরোধের দ্বারা প্রমাণ (2) (1) বিরোধের দ্বারা প্রমাণ করুন যে $\sqrt{2}$ একটি অপারিমেয় সংখ্যা। বিরোধের জন্য অনুমান করুন যে $\sqrt{2}$ একটি পরিমেয় সংখ্যা। তারপর দুটি পূর্ণসংখ্যা $p$ এবং $q$ বিদ্যমান রয়েছে যাদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই যেন \sqrt{2} = rac{p}{q}। উভয় পাশের বর্গমূল দেওয়ার পরে পাওয়া যাচ্ছে 2 = rac{p^2}{q^2}, অর্থাৎ 2q^2 = p^2। যেহেতু p^2 জোড় সংখ্যা, p ও জোড় সংখ্যা হতে হবে। অতএব, $p=2k$ কোনো পূর্ণসংখ্যা $k$ এর জন্য। প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে পাওয়া যাচ্ছে 2q^2 = (2k)^2, অর্থাৎ 2q^2 = 4k^2। সরলীকরণ করে পাওয়া যাচ্ছে q^2 = 2k^2, যেন q ও জোড় সংখ্যা হতে হবে। এর মানে p আর q একটি সাধারণ গুণনীয়ক 2 শেয়ার করে, যারা p আর q এর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকার অনুমানকে বিরোধী করে। অতএব, $\sqrt{2}$ একটি অপারিমেয় সংখ্যা।

প্রমাণ করো যে TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। তুমি এই তথ্য ব্যবহার করতে পারো যে যদি একটি পূর্ণসংখ্যা $n$ এর বর্গ ৩ এর গুণিতক হয়, তবে $n$ ৩ এর গুণিতক হবে।

পূর্ণসংখ্যা $m$ এবং শূন্য নয় এমন পূর্ণসংখ্যা $n$ ব্যবহার করে ভগ্নাংশ rac{m}{n} আকারে প্রকাশ করা সংখ্যা কি নামে পরিচিত?

rac{30}{7} কে দশমিক রূপে প্রকাশ করলে, দশমিকের ১০০ তম স্থানে যে সংখ্যা থাকবে তা নির্ণয় কর।

নিচের অভিব্যক্তিসমূহের হরযুক্ত করুন। (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) ধরা যাক $a, b, c, d$ হয় যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা এবং $\sqrt{l}$ হয় অযৌক্তিক সংখ্যা। $a+b \sqrt{l}=c+d \sqrt{l}$ হলে, প্রমাণ কর যে $b=d$ সত্য। এছাড়াও, প্রমাণ কর যে এই ক্ষেত্রে $a=c$ সত্য। (2) যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা $x$ এবং $y$-র মান নির্ণয় কর যা \( (1+3 \sqrt{2}) x+(3+2 \sqrt{2}) y=-5-\sqrt{2} \) কে সন্তুষ্ট করে।

যে দশমিক নির্দিষ্ট দশমিক স্থানে শেষ হয় তাকে কি বলা হয়?

√6 যে অমূল সংখ্যা তার ব্যবহার করে, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি অমূল সংখ্যা এটি প্রমাণ করুন: (1) 1-√24 (2) √2+√3

কোন দশমিক সংখ্যাকে সম্পূর্ণ বলা হয় যেখানে একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে একই সংখ্যার ক্রম ঘুরপাক খায়?

নিম্নোক্ত সমীকরণগুলির মধ্যে থেকে ডাবল রুট বের করুন। (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(1) নিম্নলিখিত 1〜(4) এর মধ্যে সঠিক সমস্তগুলি নির্বাচন করুন। (1) 7 এর বর্গমূল $\pm \sqrt{7}$ (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} (2) 7 এর বর্গমূল শুধুমাত্র $\sqrt{7}$ (4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} (2) \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \) এর মান নির্ণয় করুন।

ঘুরন্ত দশমিক $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ প্রতিটি কষক সংখ্যায় প্রকাশ করুন।

TRAINING 42 \sqrt{6}+3 এর পূর্ণসংখ্যা অংশটি a এবং দশমিক অংশটি b হলে, a^{2}+b^{2} এর মান \square হবে।

√3 যে অমূলদ সংখ্যা তা ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে 1+2√3 অমূলদ সংখ্যা।

যে দশমিকের দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যা অনির্দিষ্টভাবে চলতে থাকে তাকে কি বলা হয়?

বিন্দু \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) হল বিন্দু $z$ কীভাবে স্থানান্তরিত হয়েছে। ঘূর্ণন কোণের সীমা $heta$ হল $-\pi< heta \leqq \pi$।

যেহেতু বিন্দু rac{z}{z-2} কাল্পনিক অক্ষে রয়েছে, তাই rac{z}{z-2} -এর বাস্তব অংশ 0।

যৌগিক সংখ্যার পরম মান যৌগিক সংখ্যা $z=a+bi$ জন্য, বিন্দু $z$ এবং মূলবিন্দু $O$ এর মধ্যে দূরত্ব $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ কে যৌগিক সংখ্যা $z=a+bi$ এর পরম মান বলা হয় এবং এটি $|z|$ দিয়ে প্রদর্শিত হয়। অর্থাৎ, যৌগিক সংখ্যার পরম মান একটি বাস্তব সংখ্যা। নিম্নলিখিত যৌগিক সংখ্যা $z$ এর পরম মান নির্ণয় করুন। 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

যুগপ্লব জটিল সংখ্যার বৈশিষ্ট্য: জটিল সংখ্যা α এবং β সম্পর্কে, নিম্নলিখিতটি সত্য।

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) $t=-1$ এ ন্যূনতম মান $2 \sqrt{5}$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যাগুলি গণনা করুন: (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

নিম্নোক্ত জটিল সংখ্যার আঙেল হিসাব করুন। (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) ক্রমানুসারে rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

সোমার্থিক সংখ্যা $z$ এর কাল্পনিক অংশ ধনাত্মক; এবং ৩টি বিন্দু \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এই সময়ে $z$ নির্ণয় কর।

জটিল সংখ্যা $z$ এর জন্য, প্রমাণ করুন যে |z|=|-\overline{z}| ।

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (ウ) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

ধরা যাক lpha এর বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ উভয়ই ধনাত্মক। এছাড়াও, |lpha|=|eta|=1 । যদি i lpha, rac{i}{lpha}, eta জটিল সংখ্যাগুলি জটিল প্লেনে একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হিসেবে গণ্য হয় তবে lpha এবং eta নির্ণয় কর।