মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব - পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ, দশমিক

প্রশিক্ষণ ৬০ $U=\{x \mid x$ বাস্তব সংখ্যা \} কে সর্বজনীন সেট হিসেবে বিবেচনা করুন। $U$ এর উপসেট A=\left\{2,4, a^{2}+1 ight\} , B=\left\{4, a+7, a^{2}-4a+5 ight\} , যদি A \cap \overline{B}=\{2,5\} হয়, তবে ধ্রুবক $a$ এর মান নির্ধারণ করুন। [টোয়ামা প্রিফেকচার বিশ্ববিদ্যালয়]

পূর্ণসংখ্যা এবং সসীম বা অসীম দশমিক দ্বারা উপস্থাপিত সংখ্যাগুলির সংমিশ্রণকে কী বলা হয়?

প্রাথমিক উদাহরণ 55 ধরা যাক n একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং উপপাদ্য A কে 'n হল ৪-এর গুণিতক ⟹ n হল ৮-এর গুণিতক' হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। (১) উপপাদ্য A এর বিপরীত এবং প্রত্যুপপাদ্য বর্ণনা করুন এবং তাদের সত্য-মিথ্যা যাচাই করুন। (২) উপপাদ্য A এর বিপরীত বার্তা বর্ণনা করুন। উপপাদ্য p ⟹ q-এর বিপরীত, প্রত্যুপপাদ্য এবং বিপরীত বার্তা (১) উপপাদ্য p ⟹ q এর বিপরীত হল q ⟹ p। এছাড়াও, প্রতিনির্দেশনার ar{p}, ar{q} দ্বারা, উপপাদ্য p ⟹ q এর প্রত্যুপপাদ্য হল (২) উপপাদ্য p ⟹ q এর বিপরীত বার্তা হল

সেট $A=\{x, y, z\}$ এর সকল উপসেট তালিকাভুক্ত করুন।

কোন একটি বিষয়ে সঠিক বা ভুল সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য আমাদের কী করা উচিৎ? এখানে আমরা সেই সিদ্ধান্তটি নিতে প্রয়োজনীয় চিন্তাভাবনার পদ্ধতি শিখবো। প্রস্তাবনা এবং শর্ত সাধারণত, যে বাক্য বা অভিব্যক্তির সত্যতা বা মিথ্যতা স্পষ্টভাবে নির্ধারণ করা হতে পারে তাকে প্রস্তাবনা বলা হয়। যখন একটি প্রস্তাবনা সত্য হয়, আমরা বলি প্রস্তাবনাটি সত্য, এবং যখন এটি মিথ্যা হয়, আমরা বলি প্রস্তাবনাটি মিথ্যা। উদাহরণস্বরূপ, 'জাপান বড়' একটি প্রস্তাবনা নয়। (কারণ: কিছু লোক এটি বড় মনে করতে পারে, অন্যরা ছোট, তাই এর সত্যতা বা মিথ্যতা স্পষ্টভাবে নির্ধারণ করা যায় না।) 'যদি দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হয়, তবে সমস্থানিক কোণগুলো সমান' একটি প্রস্তাবনা এবং তা সত্য। x=1 বা x^2=1 এর মত এক্স বচন সম্বলিত বাক্য বা অভিব্যক্তি, যা x এর মান নির্ধারণের মাধ্যমে সত্যতা নির্ধারণ করতে পারে, তাকে এক্স সম্পর্কিত শর্ত বলা হয়। যখন শর্তগুলি বিবেচনা করা হয়, তখন শর্তটিতে শামিল হওয়া বচন কোন সমষ্টির অন্তর্গত সেটি পরিষ্কারভাবে নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এই সমষ্টিকে ঐ শর্তের সার্বজনীন সমষ্টি বলা হয়।

(1) 10-এর কম সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে সর্বজনীন সেট $U$ ধরা হয়েছে, এবং $A$ এবং $B$ হল $U$-এর উপসেট যেখানে $A=\{1,2,3,4,5\}$ এবং $B=\{1,3,5,7,9\}$। নিম্নলিখিত সেটগুলি বের করঃ (ক) $A \cap B$ (খ) $A \cup B$ (গ) \overline{A} (ঘ) \overline{A} \cap B

যদি সেট $P$ '২০-এর সকল ধনাত্মক গুণকের সেট' উপস্থাপন করে, তবে সেট $P$-এর উপাদানগুলি তালিকাভুক্ত করুন।

(1) 10 এর নিচের সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সমগ্র সমষ্টিকে $U$ হিসাবে ধরা হোক, এবং $U$ এর উপসেট $A, B$ যথাক্রমে $A=\{1,3,6,8,10\}, B=\{2,3,6,8,9\}$ হিসাবে নির্ধারিত হয়েছে। নিম্নলিখিত সমষ্টি নির্ণয় করুন। (ক) $A \cap B$ (খ) $A \cup B$ (গ) \overline{A} (ঘ) A \cap \overline{B}

নিম্নলিখিত প্রস্তাবটি প্রমাণ করুন। (1) যদি $n^{2}$ ৩-এর গুণিতক হয়, তাহলে $n$ ৩-এর গুণিতক হবে।

২৪ সংখ্যার সব ধনাত্মক গুণকের সেট $A$ হলে, নিম্নলিখিত $\square$ মার্কে যথাযথ প্রতীক $\in$ বা $\notin$ বসান। (ア) 6 $\square$ A (イ) 9 $\square$ A (ウ) -2 $\square$ A （2） নিম্নলিখিত দুটি সেট $A$ এবং $B$-এর মধ্যে সম্পর্কটি প্রতীক $\subset$ বা $=$ ব্যবহার করে প্রকাশ করুন। (ア) $A=\{n \mid n$ ৫ এর সমান বা কম প্রকৃতিক সংখ্যা $\}, \quad B=\{0,1,2,3,4,5\}$ (个) \( A=\{5 n \mid n=1,2\}, \quad B=\{x \mid(x-5)(x-10)=0\} \)

অনুগ্রহ করে শর্ত 'p বা q-এর নাকচ' পূরণ করে এমন সমস্ত উপাদানের সেটটি বিবেচনা করুন।

নিম্নলিখিত প্রস্তাবনাগুলির সত্যতা নির্ধারণ করুন P. এছাড়া, প্রস্তাবনা P-এর নাকচ ব্যাখ্যা করুন এবং এর সত্যতা নির্ধারণ করুন। (1) P: “সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য x, x^2 > 0।” (2) P: “একটি ধরি সংখ্যা x আছে যেটা জোড়।”

ধরা যাক $R$ এক সংখ্যার সমস্ত ধনাত্মক জোড় সংখ্যার সমষ্টি, যদি $Q=\{2,4,6,8\}$ হয়, তবে $Q=R$।

যখন ফাংশন $y=-2x+5$ এর মান ক্ষেত্র $-3 \leqq y \leqq 7$ হয়, এর সংজ্ঞা ক্ষেত্রটি বলুন।

অসমতা \( \frac{n+1}{7}+n \leqq \frac{3(n-1)}{2} \) পূরণ করে এমন সবচেয়ে ছোট প্রাকৃতিক সংখ্যা $n$ এর মান নির্ধারণ করুন।

যখন দ্বিঘাত সমীকরণ $x^{2}+5 x+7-m=0$ দুটি পৃথক বাস্তবমূল ধারণ করে তখন ধ্রুবক $m$ এর মানের সীমা নির্ধারণ করুন।

集合 $U$ এর জন্য, উপসমষ্টি $A$ এর সম্পূরক \overline{A} খুঁজুন।

অসাম্যটি $-\sqrt{10}<x-5<\sqrt{10}$ সন্তুষ্ট করে এমন পূর্ণসংখ্যা $x$ এর সংখ্যা হল $\square$।

উদাহরণস্বরূপ, যখন ১২টি মিষ্টি A, B, এবং C তিনজনের মধ্যে ভাগ করা হয়, তখন কমপক্ষে একজন ৪ বা তার বেশি মিষ্টি পাবে। যদি এই প্রস্তাবনাটি প্রতিকূলতা পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয়, তবে এটি নিম্নরূপ হবে।

পরিপূরক 1. ডি মর্গ্যানের সূত্রের একটি কংক্রিট উদাহরণ ধরা যাক সর্বজনীন সেট U হল 1 থেকে 9 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং U-এর উপসেট $A=\{1,3,9\}, B=\{3,6,9\}$। এই ক্ষেত্রে, $A \cap B=\{3,9\}$, ফলে $\overline{A \cap B}=\{1,2,4,5,6,7,8\}$ অন্যদিকে, \overline{A}=\{2,4,5,6,7,8\}, \overline{B}=\{1,2,4,5,7,8\} ফলে \overline{A} \cup \overline{B}=\{1,2,4,5,6,7,8\} এবং $A \cup B=\{1,3,6,9\}$, ফলে $\overline{A \cup B}=\{2,4,5,7,8\}$ এছাড়াও, \overline{A}=\{2,4,5,6,7,8\}, \overline{B}=\{1,2,4,5,7,8\} , ফলে \overline{A} \cap \overline{B}=\{2,4,5,7,8\} প্রকৃতপক্ষে, \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} সত্য।

'দুইটি সংখ্যা x এবং y এর যোগফল ধনাত্মক এবং 6-এর বেশি নয়' কে অসমতার আকারে প্রকাশ করুন।

একটি স্কুল স্কুল উৎসবের জন্য একটি পামফ্লেট তৈরি করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে। ১০০ কপি পর্যন্ত মুদ্রণ খরচ ৪০০০ ইয়েন এবং ১০০ কপির বেশি ক্ষেত্রে প্রতি কপির জন্য ২৭ ইয়েন খরচ হয়। প্রতি কপি মুদ্রণ খরচ ৩০ ইয়েন বা কম রাখতে হলে, ন্যূনতম কতগুলি কপি মুদ্রণ করতে হবে? লক্ষ্য করুন, এখানে ভোক্তা কর বিবেচনা করা হয়নি।

(1) আবর্তক দশমিক সংখ্যা $0 . \dot{2} , 1 . \dot{2} , 0.1 \dot{3}$ গুলি ভগ্নাংশে প্রকাশ করুন। (2) (ক) rac{5}{37} , (খ) rac{1}{26} দশমিক রূপে প্রকাশিত হলে, দশমিকের 200তম স্থানের সংখ্যা নির্ণয় করুন।

সমষ্টি $A=\{0,1,2,3\}$ এর সবগুলো উপসেট তালিকাভুক্ত করুন।

$p \Longrightarrow q$ প্রস্তাবটি কখন মিথ্যা হয়?

A যদি সমস্ত মূলধন সংখ্যার সেট হয়, তবে $A$ $\square$ $\{0\}$। $\square$ পূরণ করতে $\in, i, \subset$ থেকে একটি উপযুক্ত প্রতীক বেছে নিন।

যেসব সেট শর্ত 'না p বা না q' পূরণ করে সেই সমস্ত সেট নিয়ে বিবেচনা করুন। এই সেটগুলিকে কীভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে?

যেখানে 2 < x < 5 এবং -1 < y < 3, নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির মানের সীমা নির্ধারণ করুন। (1) x-5 (2) 3y (3) x+y (4) x-2y

ধরা যাক A={n | n হল 12 এর একটি ধনাত্মক উৎপাদক}, B={n | n হল 18 এর একটি ধনাত্মক উৎপাদক}, C={n | n হল 7 বা তার কম একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা}। নিম্নলিখিত সেটগুলি খুঁজে বের করুন: (1) A ∪ B ∪ C (2) A ∩ B ∩ C

নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কোনটির সংজ্ঞা ক্ষেত্রের জন্য মানদণ্ড $1 \leqq y \leqq 5$ হবে? (1) $1 \leqq x \leqq 4$ (2) $2 \leqq x \leqq 5$ (3) $4 \leqq x \leqq 5$ (4) $2 \leqq x$

ধরা যাক m এবং n পূর্ণসংখ্যা। বিপরীত রূপ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলি প্রমাণ কর। (1) যদি n^2 + 4n + 3 হয় 4 এর গুণিতক, তবে n হল বিজোড়। (2) যদি mn থাকে জোড়া সংখ্যা, তবে m এবং n এর মধ্যে অন্তত 1 টি জোড়া সংখ্যা হবে।

ধরে নিন সমস্ত বাস্তব সংখ্যা সমূহ হল সামগ্রিক সেট, এবং এর উপসেট $A$ এবং $B$ হল $A=\{x \mid-1 \leqq x \leqq 2, x$ হল বাস্তব সংখ্যা$\}, B=\{x \mid 0<x<3, \quad x$ হল বাস্তব সংখ্যা $\}$। সেটগুলো $A \cap B$ এবং $A \cup B$ নির্ণয় করুন।

যখন সেট A এর সমস্ত উপাদান সেট B এর উপাদানও হয়, তখন A কে কী বলা হয়?

অনুগ্রহ করে সংখ্যার পরিসীমা এবং চারটি মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যাখ্যা করুন।

অনুগ্রহ করে নিট মানটি ব্যাখ্যা করুন।

উদাহরণস্বরূপ, যদি $P=\{4,8\}$ এবং $Q=\{2,4,6,8\}$ হয়, তবে $P$ হল $Q$-এর একটি উপসেট এবং $P \subset Q$।

x এর মান নির্ধারণ করুন: 229 = x

জটিল সংখ্যা $z_1 = 3 + 4i$ এবং $z_2 = 1 - 2i$ এর যোগ এবং হ্রাস খুঁজুন। সেগুলিকে জটিল সমতলে চিত্রিত করুন।

5 এর নীচের প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সমষ্টিকে সমগ্র সমষ্টি $U$ এবং $U$ এর উপসেট $A, B$ যথাক্রমে $A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,4\}$ হলে, সেট $A \cup B$ এবং সেট \overline{A} আলাদাভাবে বের কর।

সমস্ত পূর্ণসংখ্যা $x$ এর মানগুলো খুঁজে বের করুন যা যৌথ অসমীকরণকে \( \left\{egin{array}{l}2x-1<3(x+1) \ x-4 \leqq-2x+3\end{array}\right\} \) সন্তুষ্ট করে।

প্রশ্ন: সেট $A=\{1,3,9\}$ এবং $B=\{3,6,9\}$ এর ছেদ $A \cap B$ এবং ঐক্য $A \cup B$ বের কর।

উপরের উদাহরণ (2) এর ক্ষেত্রে, সেট \overline{A} এবং \overline{A} \cap B নির্ণয় করুন।

নিম্নলিখিত সেট A, B, এবং C-এর জন্য, A ∩ B ∩ C এবং A ∪ B ∪ C খুঁজে বের করো। A={1,3,4,5,7}, B={1,3,5,9}, C={2,3,5,7}

সেই প্রাকৃতিক সংখ্যা $m, n$ এর মান খুঁজুন যা সমীকরণটি পূরণ করে \( (i-\sqrt{3})^{m}=(1+i)^{n} \) যেখানে $m$ সবচেয়ে ছোট।

জটিল সংখ্যা সমতলে, আলাদা দুইটি বিন্দু A (α) এবং B (β) আছে, যা আদিবিন্দু O থেকে পৃথক, এখান 3α² - 6αβ + 4β² = 0 সমীকরণটি সন্তোষজনক। কর্তৃক A, B এবং O বিন্দুগুলির মাধ্যমে যে বৃত্তটি অতিক্রম করে তাকে C বলি। (1) α/β কে মেরু রূপে প্রকাশ করুন, যেখানে কোণ θ এর পরিসীমা হল -π < θ ≤ π। (2) বৃত্ত C এর কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ α ব্যবহার করে প্রকাশ করুন। (3) |3α - 2β| কে β এর মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

১৮ (১) (অ) ১

k কে ধ্রুবক হিসেবে ধর। উপবৃত্ত 4x^2 + y^2 = 4 এবং সরলরেখা y = -x + k এর ছেদবিন্দুগুলির সংখ্যা নির্ণয় কর।

নিম্নলিখিত দ্বিতীয়তর বক্ররেখা এবং সরলরেখার যৌথ বিন্দু আছে কিনা? যদি থাকে, তবে তা অতিক্রম বিন্দু না সংযোগ বিন্দু তা উল্লেখ করুন, এবং সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক বের করুন। (2) $y^{2} = 6x$ এবং $2y - x = 6$

সমতলে, $\triangle \mathrm{ABC}$ আছে, যার বহিঃপরিস্হলের ব্যাসার্ধ 1 এবং বহিঃকেন্দ্র O। এই $\triangle \mathrm{ABC}$ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0} পূর্ণ করলে, ডট প্রোডাক্ট $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর মান A হয়, এবং $\triangle \mathrm{OAB}$ এর ক্ষেত্রফল $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফলের B গুণ হয়।

গণিত C \frac{eta}{\alpha} এর মানটি জটিল সমতল বিবেচনা করে নিম্নরূপ ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। জটিল প্লেনে, \alpha এবং eta দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা বিন্দুগুলি যথাক্রমে A এবং B । শর্ত হতে \mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1, \quad \mathrm{OB}=\sqrt{2}\n\nতাহলে, \triangle \mathrm{OAB} হল একটি সমকোণী সমান্তরাল ত্রিভুজ যার \angle \mathrm{A} হল সমকোণ, যেটি ডানদিকে চিত্রে দেখানো হয়েছে।\n \frac{eta}{\alpha}=\frac{eta-0}{\alpha-0} এর কাল্পনিক অংশটি ধনাত্মক, তাই বিন্দু B হল বিন্দু A কে কেন্দ্র করে মূলবিন্দু O থেকে \frac{\pi}{4} কোণে ঘুরিয়ে এবং O বিন্দু থেকে দূরত্বটি \sqrt{2}倍 বৃদ্ধি করে প্রাপ্ত বিন্দু।\nতাহলে, eta=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \alpha\nঅর্থাৎ \frac{eta}{\alpha}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)=1+i\n(2) (1) থেকে eta=(1+i) \alpha\nn\negin{aligned}\n\|\alpha+eta\| & =\|\alpha+(1+i) \alpha\| \ s & =|2+i||\alpha| \\ &=\sqrt{2^{2}+1^{2}} \cdot 1=\sqrt{5}\n\end{aligned}\n\negin{array}{c}\n-\frac{eta}{\alpha}=1+i\ \text{ থেকে }\n β=(1+i)β\ \alpha\end{array}\

66 (2) $2x - 3y + z + 3 = 0$

অজানিত সংখ্যা $\alpha=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ জন্য, যতগুলো প্রাকৃতিক সংখ্যা $n$ এর জন্য $\alpha^{n}+\frac{1}{\alpha^{n}}=-2$ সত্য হয়, এবং যা $1 \leqq n \leqq 100$ এর শর্ত পূর্ণ করে, মোট সংখ্যা হলো $\square$।

65 (১) ক্রমানুসারে \( (5,2,-4), 7 \)

122 সর্বনিম্ন মান 6, বিন্দু R এর স্থানাঙ্ক (3/√2, √2)

59 t=\frac{1}{5} এর সর্বনিম্ন মান \frac{\sqrt{345}}{5}

68 β=3+5i, γ=-3+5i, δ=-3-5i যারা পরস্পরের সংযুগ্ম তারা হল α এবং β, γ এবং δ

স্থানাঙ্ক (-√6-√2 i) z স্থানাঙ্ক z এর কোন ধরণের অবস্থানকে উপস্থাপন করে। ধরে নাও ঘূর্ণন কোণ θ এর পরিসর -π<θ≤π। z স্থানাঙ্ক 2√2+√2 i কে মূল বিন্দুর চারপাশে -π/4 কোণে ঘোরানোর পর যে জটিল সংখ্যা w পাবো তা নির্ণয় করো।

EXERCISES এর উত্তর 11 বাদ 12 (ক) 3 (খ) 5 (গ) $\frac{2}{3}$ (I) $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

যখন $n$ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তখন \( \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n} + \left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right)^{n} \) সরলীকরণ করুন।

ধরা যাক lpha, eta জটিল সংখ্যা। যদি |lpha| = |eta| = |lpha - eta| = 2 , তাহলে |lpha + eta| -এর মান নির্ণয় কর।

75 (1) মূল থেকে -5/6π ঘুরিয়ে তারপর মূল থেকে দূরত্ব 2√2 গুণ করুন (2) 3-i

বিন্দু α কে মূলবিন্দুর চারপাশে π/3 ঘুরানোর পরে বিন্দু β হয়। যদি β = 2 + 2i হয়, তবে বিন্দু α এর প্রতিনিধিত্বকারী জটিল সংখ্যা সন্ধান করুন।

A(4,3,-3), B(3,1,0), এবং C(5,-2,1) শীর্ষ সহ ত্রিভুজটির জন্য BA এবং BC ভেক্টরের ডট গুণফল এবং ∠ABC কোণের θ নির্ণয় করুন।

124 (1) 2√3 (2) 2√3

দেওয়া যৌগিক সংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা বিন্দুগুলি যৌগিক সমতলে অঙ্কন করুন। (ক) $5-2 i$ (খ) $-1+3 i$ (গ) -2 (ঘ) 1 (ঙ) $-3 i$ (চ) $2 i$

115 (1) r=5 (2) r=10 cos θ

z কে ধরা যাক একটি শূণ্য নয় এমন কমপ্লেক্স সংখ্যা হিসেবে। যদি z + rac{1}{z} একটি বাস্তব সংখ্যা হয়, তাহলে $z$ অবশ্যই একটি বাস্তব সংখ্যা অথবা $|z| = 1$ হতে হবে।

জটিল সংখ্যা সমতলে একটি বর্গাকৃতির মধ্যে, একটি যুগলের কাছাকাছি দুটি শীর্ষবিন্দু 0 এবং $2+3i$ হলে, অন্য দুটি শীর্ষবিন্দু যা জটিল সংখ্যা দ্বারা উপস্থাপিত তাদের সন্ধান করুন।

52 \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{4} \vec{b}+\frac{1}{4} \vec{c}

প্রশিক্ষণ ১১ (২) \( ec{a}=(২,৩), ec{b}=(-২,২), ec{c}=(৫,৫) \) দেওয়া হলে, ec{c}=x ec{a}+y ec{b} পূরণ করে এমন বাস্তব সংখ্যা $x$ এবং $y$-এর মান খুঁজে বের করুন।