উন্নত বীজগণিত - জটিল সংখ্যা এবং জটিল সমতল

উন্নত 40 $\sqrt{A^{2}}$ নিরসন উন্নত 41 পরিমান যথাযুক্তকরন (2) উন্নত 42 পূর্ণ সংখ্যা ও দশমিক অংশের সমস্যা উন্নত 43 ডাবল র‌্যাডিকাল সরানো উন্নত 44 স্বতন্ত্র মান অন্তর্ভুক্ত অনুপাত সমাধান করা উন্নত 45 দুইটি স্বতন্ত্র মান অন্তর্ভুক্ত অনুপাত উন্নত 46 সংশ্লিষ্ট অনুপাতের সমাধান শর্ত

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি গণনা করুন। 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

কৃপা করে জটিল সংখ্যার পোলার ফর্মের ব্যাখ্যা করুন।

প্রশিক্ষণ অনুশীলন 3 সঙ্কলিত প্লেনে 6টি বিন্দু \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \) রয়েছে। যখন ষড়ভুজ $\mathrm{ABCDEF}$ ডায়াগ্রামের মতো একটি নিয়মিত ষড়ভুজ হয় egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( \mathrm{D}\left(z_{4} ight) \) হল। ア $\square$ সমাধান গ্রুপ নির্বাচন করুন (একই বিকল্প পুনরায় নির্বাচন করতে পারেন): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

নিম্নলিখিত পোলার সমীকরণগুলির দ্বারা প্রতিনিধিত্বকারী বৃত্তগুলির কেন্দ্র (পোলার স্থানাঙ্কে) এবং ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করুন। 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনগুলির গণনা করুন। (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

অধ্যায় ৩ জটিল সংখ্যা সমতল 13 জটিল সংখ্যা সমতল 14 জটিল সংখ্যার মেরু রূপ 15 ডি মোয়াভরের উপপাদ্য 16 জটিল সংখ্যা এবং আকার

প্রশিক্ষণ ৭৪ α=২(cos ১১/১২π + i sin ১১/১২π), β=৩(cos π/৪ + i sin π/৪) হলে, αβ এবং α/β নির্ণয় করুন।

ধরা যাক কমপ্লেক্স সংখ্যা $z$ $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ পুরণ করে, তাহলে $z^{15} + \frac{1}{z^{15}}$ এর মান নির্ণয় কর।

যখন জটিল সংখ্যা z, z+rac{1}{z}=\sqrt{2} কে সন্তুষ্ট করে, তখন z^{15}+rac{1}{z^{15}} এর মান নির্ণয় করুন।

বিন্দু \( (-1+i) z \) হল বিন্দু $z$ কীভাবে স্থানান্তরিত হওয়ার পরিচায়ক। ধরে নিন ঘূর্ণন কোণের সীমা $heta$ হল $0 \leqq heta<2 \pi$।

কমপ্লেক্স নাম্বারের রিয়েল মাল্টিপ্লস একটা রিয়েল সংখ্যা $k$ এবং একটি কমপ্লেক্স সংখ্যা $\alpha = a + b i$ এর জন্য, নিচের ডায়াগ্রামে যেমন দেখানো হয়েছে, যখন $\alpha \neq 0$, তখন $k \alpha$ এই দুই পয়েন্ট 0 এবং $\alpha$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা $\ell$ তে থাকে। অন্যদিকে, এই রেখা $\ell$ তে থাকা পয়েন্টগুলি $\alpha$ এর রিয়েল মাল্টিপ্লস নির্ধারণ করে। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন: 1. $\alpha = 1 + i$, $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$ প্রতিটি ক্ষেত্রে, $k \alpha$ নির্ণয় করুন এবং কমপ্লেক্স প্লেনে 0 থেকে তার অবস্থান বুঝিয়ে বলুন।

বিন্দু lpha-কে মূলবিন্দুর চারপাশে rac{\pi}{3} কোণে ঘোরানো হলে প্রাপ্ত বিন্দু eta হয়। যদি eta = 2 + 2i হয়, তবে বিন্দু lpha-এর অবস্থান প্রদর্শনকারী জটিল সংখ্যা নির্ণয় করুন।

কমপ্লেক্স প্লেনে তিনটি ভিন্ন বিন্দু O(0), A(α), B(β) এর জন্য, যেখানে α এবং β নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি পূরণ করে। △OAB কী ধরনের ত্রিভুজ? (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

(1) নিম্নলিখিত যৌগিক সংখ্যাগুলির প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দুগুলিকে যৌগিক তলের উপরে চিত্রিত করুন। (অ) $5-2 i$ (ই) $-1+3 i$ (উ) -2 (আই) 1 (জ) $-3 i$ (বল) $2 i$ (2) নিম্নলিখিত কোঅর্ডিনেট তলমের বিন্দুগুলির সাথে সম্পর্কিত যৌগিক সংখ্যাগুলি সংজ্ঞায়িত করুন। (অ) \( (-3,1) \) (ই) \( (4,0) \) (উ) \( (0,-2) \)

ধরা যাক lpha=2+3i, eta=-6+xi । যদি দুটি বিন্দু \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) এবং উৎস বিন্দু $\mathrm{O}$ একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তবে বাস্তব সংখ্যা $x$-এর মান নির্ণয় কর।

নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যাগুলিকে পোলার ফর্মে প্রকাশ করুন। কোণের পরিসীমা θ হল 0 ≤ θ < 2π। (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

যখন lpha = e^{i\pi/6} এবং eta = e^{-i\pi/4} , তখন $m$ এবং $n$ এর মান নির্ণয় করুন। (1) $m=6, n=12$

তিনটি ভিন্ন জটিল সংখ্যা lpha, eta, \gamma এর মধ্যে \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \) সমীকরণটি হলে, নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন। (1) rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} গণনা করুন। (2) তিনটি বিন্দু lpha, eta, \gamma কে শীর্ষ হিসেবে নিয়ে $riangle \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজটির কোণগুলির ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} মান নির্ধারণ করুন।

গণিত C EX যখন সমান্তরালতলে বিন্দু \( \mathrm{P}(z) \) বিন্দু $2 i$ এর কেন্দ্র এবং 1 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের উপর চলে, \( w=(1+i)(z-1) \) 27 কে সন্তুষ্ট করা বিন্দু \( \mathrm{Q}(w) \) কোন চিত্র অঙ্কন করে তা নির্ধারণ করুন।

যখন কমপ্লেক্স প্লেনে rac{z}{z-2} বিন্দুটি কল্পনাযোগে অবস্থান করে, বিন্দু $z$ স্থানান্তরিত হলে এটি কেমন আকার আঁকে?

ধরা যাক কমপ্লেক্স সংখ্যা lpha, eta সমীকরণ rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} কে সন্তুষ্ট করে, কমপ্লেক্স প্লেনে বিন্দু \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(lpha) \), এবং \( \mathrm{B}(eta) \) হিসাবে $riangle \mathrm{OAB}$ এর কোণগুলি নির্ণয় কর।

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গণনা করুন। (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

উদাহরণ ৭৩: α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4) হলে, α β এবং α/β নির্ণয় কর।

যে সব স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ $1 \leqq n \leqq 100$ শর্তটি পূরণ করে, এর জন্য কাল্পনিক সংখ্যা lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} এর ক্ষেত্রে কতটি $n$ আছে যা lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 সমীকরণটি পূরণ করে?

ধরা যাক $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$। $z$ বিন্দুটি মূলবিন্দুর চারপাশে -rac{\pi}{4} ঘোরানোর পর বিন্দুটির সাংখ্যিক রূপ $w$ নির্ণয় কর।

প্রমাণ করুন যে একটি জটিল সংখ্যা $z$ এর জন্য, যদি $|z|=\sqrt{2}$ হয়, তবে z+rac{2}{z} একটি বাস্তব সংখ্যা।

ধরা যাক সমসাময়িক সংখ্যা lpha, eta, \gamma, \delta এমন যে lpha + eta + \gamma + \delta = 0 এবং |lpha| = |eta| = |\gamma| = |\delta| = 1 , |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} এর মান নির্ণয় কর।

জটিল সংখ্যা z, lpha সম্পর্কে নিম্নলিখিত বর্ণনাগুলি প্রমাণ কর। (1) $k$ যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয় এবং $|z|=k$ হয়, তবে z+rac{k^{2}}{z} একটি বাস্তব সংখ্যা। (2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z একটি বাস্তব সংখ্যা।

বিন্দু i কে কেন্দ্র করে, বিন্দু 2+2i কে নিচের কোণগুলো দ্বারা ঘুরিয়ে পাওয়া বিন্দুটির জটিল সংখ্যাটি নির্ণয় করুন: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

যেসবসমূহ ভিন্ন 3টি বিন্দু রয়েছে জটিলতলে O(0), A(α), B(β), যেখানে α এবং β নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি পূরণ করে। ΔOAB কোন ধরনের ত্রিভুজ হবে? (1) α² + β² = 0 (2) 3α² + β² = 0

জ্যামিতিকভাবে কমপ্লেক্স সংখ্যার গুণফল $z_1 \cdot z_2$ উপস্থাপন করুন, এবং এর ব্যাখ্যা দিন। উদাহরণ হিসেবে, \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \) এর সঠিক গুণফল হিসাব করুন।

অতিপ্রাকৃত সমতলে জটিল সংখ্যা সম্মিলনের গুণাবলির ব্যাখ্যা করুন।

সমিশ্র সমতলে, যখন বিন্দু z কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ 1 সহ বৃত্তে চলমান থাকে, তখন নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি দ্বারা উপস্থাপিত বিন্দু w কোন ধরনের চিত্র আঁকবে? (1) w=rac{z+2}{z-1} (যেখানে z eq 1) (2) w=rac{z+1}{2z-1}

জটিল সমতলে, জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু হল A। (1) এর সঙ্গত জটিল সংখ্যা $\overline{z} = a - bi$ দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু হল B। বিন্দু B এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। (2) বিন্দু A এবং বিন্দু B এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর।

জটিল সমতলে 3টি বিন্দু \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \) আছে। যদি $\triangle \mathrm{OAB}$ একটি সমকোণ সমবাহু ত্রিভুজ হয়, তবে বিন্দু $\mathrm{B}$ কে প্রকাশ করার জন্য জটিল সংখ্যা $z$ সন্ধান করুন।

34 এর জন্য lpha এবং eta এর মানগুলি খুঁজে বের করুন। lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

(1) নিম্নলিখিত যোজিত সংখ্যাগুলি যোজিত সংখ্যা তলে নির্দেশ করুন। (ア) $4+2 i$ (イ) $-2-3 i$ (ウ) 3 (エ) -4 (才) $4 i$ (力) $-i$ (2) নিম্নলিখিত স্থানাংক তলে বিন্দুগুলির সাথে সংশ্লিষ্ট যোজিত সংখ্যা উল্লেখ করুন। (ア) \( (5,-2) \) (个) \( (-1,0) \) (ウ) \( (0,3) \)

z=r(\cos heta+i \sin heta) হলে, r এবং heta এর মাধ্যমে নিম্নলিখিত যৌগিক সংখ্যাগুলির মান এবং কোণের মাপ প্রকাশ করুন। ধরে নিন r>0। (1) 2 z (2) -z (3) ar{z} (4) rac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 ar{z}

জটিল সংখ্যা $\sqrt{3}+i$ ব্যবহার করে নিম্নলিখিতগুলি গণনা করুন। (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \) নির্ণয় করুন।

ধরা যাক $\alpha$ এবং eta হচ্ছে জটিল সংখ্যা যেখানে $\alpha$-এর বাস্তব ও কাল্পনিক উভয় অংশই ধনাত্মক, এবং |\alpha|=|eta|=1 । যদি জটিল প্লেনে i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta বিন্দুগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে, তাহলে $\alpha$ এবং eta নির্ণয় করুন। [Shizuoka University]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )