ভেক্টর বিশ্লেষণ জ্যামিতি এবং পৃষ্ঠের জ্যামিতি - ডট পণ্য এবং ক্রস পণ্য

ডানদিকে দেখানো চিত্রের সমকোণী ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এ, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} হিসাবে ধরুন। যথাক্রমে অন্তর্গত গুণফল ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} নির্ণয় করুন। জানা আছে যে |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 , এবং ec{a} ও ec{b} এর মধ্যবর্তী কোনটি $90^{\circ}$।

প্রশিক্ষণ ১৯ (৩) ধরা যাক |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 । নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন। (১) ec{a} \cdot ec{b}=-1 হলে, |ec{a}-ec{b}| এর মান নির্ণয় করুন। (২) |ec{a}+ec{b}|=1 হলে, ec{a} \cdot ec{b} এবং |2 ec{a}-3 ec{b}| এর মান নির্ণয় করুন।

নিম্নোক্ত দুটি ভেক্টর ec{a}, ec{b} এর ডট গুণ এবং তার কোণ $heta$ নির্ধারণ করুন। \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সত্য প্রমাণ করুন। (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

অন্তর্বেষ্ট $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ গণনা করুন।

ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$ এবং তাদের মধ্যেকার কোণ $\theta$: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির ডট পণ্য গণনা করুন এবং ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি নিশ্চিত করুন। ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) ডট পণ্যটি 0 ডট পণ্যের বৈশিষ্ট্য ভেক্টরগুলির ডট পণ্য সম্পর্কিত, নিম্নলিখিত 1 থেকে 5 বৈশিষ্ট্যগুলি বৈধ। 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) k হল একটি বাস্তব সংখ্যা। প্রমাণ ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight)।

(1) $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ থেকে $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ অতএব \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) তাহলে $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ যেহেতু $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$, অতএব \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) সুতরাং $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$, তাই $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! অতএব $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ যেহেতু $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, অতএব $\quad \theta=135^{\circ}$

ধরা যাক $k$ একটি বাস্তব ধ্রুবক। একটি নির্দিষ্ট সমতলীতে একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ আছে, এবং নিম্নলিখিত সমীকরণটি সন্তুষ্ট হয়। $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) যখন বিন্দু $\mathrm{P}$ রেখা $\mathrm{AB}$-তে থাকে, তখন $k=\square$। (2) যখন বিন্দু $\mathrm{P}$ ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$-এর ভিতরে থাকে, তখন $<k<\square$। তবে, বিন্দু $\mathrm{P}$ ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$-এর পরিধিতে নয়।

দুটি ভেক্টর ec{a} এবং ec{b} এর ডট প্রোডাক্ট দ্বারা গঠিত কোণ $heta$ নির্ধারণ করুন।\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

যখন দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) হল $45^{\circ}$, তখন $x$ এর মান নির্ণয় করুন।

ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট এবং তাদের মধ্যে কোণ (স্পেস)

ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর ডট গুণফল $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ নির্ণয় করুন। তিনটি বিন্দু $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ নিন এবং $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর মধ্যে কোণ $heta$ ধরা হোক।

যখন দুটি ভেক্টর \( \vec{a}=(s, 3 s-1, s-1) এবং \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) সমান্তরাল হয়, তখন $s$ এবং $t$ এর মান খুঁজে বের করুন।

দেওয়া ভেক্টর \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) এবং \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) যেখানে $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$, নিম্নলিখিতটি প্রমাণ করুন: $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

যখন দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ \( ec{a}=(2,1,1) \) এবং \( ec{b}=(x, 1,-2) \) এর মধ্যে কোণ $60^{\circ}$, তখন $x$ এর মান নির্ধারণ করুন।

ডট প্রোডাক্ট এবং কাজের মধ্যে সম্পর্ক

ডট প্রোডাক্ট ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে ভেক্টরগুলি লম্ব।

১৩টি বিন্দু একটি সরলরেখায় থাকার শর্ত [সহরেখীয় শর্ত] [=উদাহরণ ২৫] যখন বিন্দু A এবং B ভিন্ন হয়, বিন্দু C সরলরেখা AB তে থাকে ⇔ একটি বাস্তব সংখ্যা k থাকে যাতে $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$। যখন বিন্দু C ভিন্ন দুটি বিন্দু A,B-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখা AB তে থাকে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ বা $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$।

1 প্রান্ত দৈর্ঘ্যের একটি ঘনক্ষেত্র $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ মধ্যে, নিম্নলিখিত ডট গুনফল নির্ণয় কর। (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট আকার এবং ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট (স্থান)(1)

TRAINING অনুশীলন 1 (4) ধরা যাক $k$ একটি বাস্তব ধ্রুবক। একটি নির্দিষ্ট সমতল তলে একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং একটি ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ রয়েছে, এবং তারা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পূরণ করে: 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) যখন বিন্দু $\mathrm{P}$ রেখা $\mathrm{AB}$-এর উপরে থাকে, তখন $k=\square$। (2) যখন বিন্দু $\mathrm{P}$ ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$-এর অভ্যন্তরে থাকে, $<k<\square$। অনুমান করা যাক যে বিন্দু $\mathrm{P}$ ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$-এর প্রান্তে নেই।

দুটি ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ কে সমান্তরাল করতে $x$ এর মান নির্ধারণ করুন। (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে ত্রিভুজ OAB-এর ক্ষেত্রফল S নির্ণয় কর। (1) যখন |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2

ভেক্টরের ডট প্রোডাক্টের উপাদানগুলি নির্ণয় করুন (স্থান)

(2) যেহেতু \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \), তাই \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) অতএব \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) অতএব $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ যেহেতু $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$, তাই $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) অতএব $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$, অতএব $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ কে $|\vec{p}|^{2}$ হিসাবে গন্য করা হয়। যেহেতু $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, তাই $\quad \theta=60^{\circ}$

নিম্নলিখিত বিন্দুগুণের মান নির্ণয় করো। (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

অতএব, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর মধ্যে কোণ $heta$ হলে \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] যেহেতু $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, সেহেতু $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 যদি $\vec{p}$, $\vec{q}$ না শূন্য ভেক্টর হয়, তাহলে তাদের মধ্যে কোণ $\theta$ হয় এবং $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

অনুগ্রহ করে নিম্নলিখিত ভেক্টর $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$-এর ডট প্রোডাক্ট গণনা করুন:\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$, যেখানে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোনটি $\theta = 60^{\circ}$, এবং | $\vec{a}$ | = 5, | $\vec{b}$ | = 3

(1) \( \vec{a}=(5,1) \) এবং \( \vec{b}=(2, x) \) এর লম্বভাবে তৈরি করতে $x$ এর মান নির্ণয় করুন। (2) \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \) এর সাথে লম্ব unit vector $\vec{e}$ নির্ণয় করুন।

ধরা যাক, \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight) \) এবং \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \) বেক্টর, যেখানে $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$। প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সত্য: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0

অনুগ্রহ করে নিম্নোক্ত দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল নির্ণয় করুন: ভেক্টর \(\vec{a} = (3, 4)\) এবং ভেক্টর \(\vec{b} = (1, 2)\)

ডানদিকের ছবিতে প্রদর্শিত ভেক্টরগুলির জন্য, নিম্নলিখিতভাবে সমস্ত ভেক্টর নম্বরের জোড়া তালিকাভুক্ত করুন। (1) সমান মাপের ভেক্টর (2) একই দিকের ভেক্টর (3) সমান ভেক্টর (4) বিপরীত ভেক্টর

বিন্দু \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \) দ্বারা গঠিত $riangle \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে, অভ্যন্তরীণ গুণফল $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এবং $\mathrm{ABC}$ কোণের পরিমাণ $heta$ নির্ণয় করুন।

ভেক্টরের মধ্যে কোণ এবং লম্বের শর্তাবলী নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) খুঁজুন এবং প্রমাণ করুন যে এই ভেক্টরগুলি লম্ব। $\overrightarrow{0}$ ব্যতীত দুটি ভেক্টর ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight) এর মধ্যে কোণ $heta$ ধরে নিন। তখন, \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} যেখানে $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$