ভেক্টর বিশ্লেষণ জ্যামিতি এবং পৃষ্ঠের জ্যামিতি - ভেক্টরের মৌলিক বিষয়

বিন্দু P(\vec{p}) যে তলে অবস্থিত তা নির্ধারিত হয় তিনটি বিন্দু A(\vec{a}), B(\vec{b}) এবং C(\vec{c}) দ্বারা $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■$\triangle \mathrm{ABC}$ এর কেন্দ্রের স্থিতি ভেক্টর G কেন্দ্রের স্থিতি ভেক্টর নিম্নরূপভাবে প্রতিষ্ঠিত। A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট $\triangle \mathrm{ABC}$এর কেন্দ্রের স্থিতি ভেক্টর হল $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

ভেক্টর সহগের সমতা সম্পর্কে: যদি ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, তাহলে s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

ধরা যাক lpha=x-2 i এবং eta=3-6 i । দুটি বিন্দু \( \mathrm{A}(lpha) \) এবং \( \mathrm{B}(eta) \) যখন উৎসবিন্দু $\mathrm{O}$-এর সাথে একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তখন বাস্তব সংখ্যা $x$-এর মান নির্ণয় করুন।

সমতল বস্তুর ভেক্টর সমস্যাটি সমাধান করুন।

শীর্ষবিন্দুসমূহ \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) নিয়ে $riangle \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের মধ্যে, ngle \mathrm{BAC} কোণের পরিমাপ $heta$ নির্ণয় কর।

একটি ভেক্টরের সমান্তরাল যদি $\overrightarrow{0}$ না হয় এমন দুটি ভেক্টর ec{a}, \ec{b} এর একই বা বিপরীত দিক থাকে, তবে তাদের সমান্তরাল বলা হয় এবং এটি $\vec{a}/\vec{b}$ হিসাবে লেখা হয়। ভেক্টরের বাস্তব গুণকের সংজ্ঞা থেকে নিম্নলিখিতটি প্রতিষ্ঠিত হয়। এর পর, নমুনা ভেক্টরগুলি ecа= лучший ), \вейвек একই এবং সমান \( 2 \vec {b}।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে, $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ নির্ণয় কর। (1) যদি $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ হয় (2) যদি $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ হয় এবং $\vec{a}-3 \vec{b}$ এবং $2 \vec{a}+ \vec{b}$ লম্ব হয়

অবস্থানে, \( \mathrm{A}(ec{a}) \) এবং \( \mathrm{B}(ec{b})\) বিন্দু রয়েছে। রেখাংশ AB-কে m:n অনুপাতে বাহ্যিক বিভাজনকারী বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।

যদি ভেক্টরের উপাদানগুলি \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \) হয়, তাহলে নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলিকে উপাদান রূপে প্রকাশ করুন। (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

ভেক্টর সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এমন বিন্দু $\mathrm{P}$ এর অস্তিত্বের পরিসর: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

প্রদত্ত \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) এবং বাস্তব সংখ্যা $t$ এর জন্য, \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \) নিন। $|\vec{p}|$ সর্বনিম্ন হলে $t$ এর মান এবং সেই সময়ের $|\vec{p}|$ এর মান বের করুন।

ডান দিকের চিত্রে দেখানো ভেক্টরগুলির জন্য, নিম্নলিখিত মানদণ্ডগুলি পূরণ করে এমন সকল ভেক্টর নম্বরের জোড়া তালিকা করুন: (1) সমান মাত্রার ভেক্টর (2) একই দিকের ভেক্টর (3) সমান ভেক্টর (4) বিপরীত ভেক্টর

ভেক্টরের যোগের জ্যামিতিক অর্থ বুঝুন এবং উদাহরণ 2 সমাধান করুন!

স্থির বিন্দু O, A এবং চলমান বিন্দু P রয়েছে। \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} এবং \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} দেওয়া আছে, যখন |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 , বিন্দু P একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত। সেই বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ধরে নাও যে ec{a} eq \overrightarrow{0} ।

ডানপাশের চিত্রের চতুর্ভুজ $A B C D$ হল একটি সম্মুখ, এবং বিন্দু $O$ হল কর্ণ $A C$ এবং $\mathrm{BD}$ এর ছেদবিন্দু। দেওয়া হল $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) ভেক্টর $\vec{a}-\vec{b}$ এবং $\vec{a}-\vec{c}$ চিত্রিত করুন। (2) ভেক্টর $\vec{b}+\vec{c}$ কি ধরনের?

ভেক্টরের বিঘটন ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b} যখন হয়, যে-কোনো ভেক্টর ec{p} কে শুধু একভাবেই বাস্তব সংখ্যা $s, t$ ব্যবহার করে ec{p}=s ec{a}+t ec{b} হিসাবে প্রকাশ করা যায়।

সমন্বয় স্থানিতে, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। যদি বিন্দু A এর সমন্বয়গুলি হয় (a1, a2, a3) এবং বিন্দু B এর সমন্বয়গুলি হয় (b1, b2, b3), তাহলে A এবং B এর মধ্যে দূরত্ব কত?

আসুন ভেক্টর সংযোজনের জ্যামিতিক অর্থ নিয়ে চিন্তা করি। ডান দিকের ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ এর জন্য, $\vec{a}+\vec{b}$ অঙ্কন করুন।

নিম্নলিখিত দুটি ভেক্টর ec{a}, ec{b} সমান্তরাল হওয়ার জন্য $x$ এর মান নির্ধারণ করুন। (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

ত্রিভুজ $riangle \mathrm{ABC}$ এর অভ্যন্তরে $\mathrm{P}$ বিন্দুটি রয়েছে, এবং $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ সত্য। (1) বিন্দুটি $\mathrm{P}$ কোথায় অবস্থিত? (2) ক্ষেত্রফল অনুপাত $riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}$ নির্ণয় করুন।

উদাহরণ প্রশ্ন 35 ভেক্টরের সর্বনিম্ন পরিমাপ (স্পেস) \(ec{a}=(2,-4,-3), ec{b}=(1,-1,1)\) দেওয়া আছে। ec{a}+t ec{b} (যেখানে $t$ একটি বাস্তব সংখ্যা) এর সর্বনিম্ন পরিমাপ এবং সেই সময়ে $t$ এর মান নির্ণয় কর। [চিবা ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি]

ভেক্টরের বাস্তব গুণফল\ বাস্তব সংখ্যা $k$ এবং ভেক্টর \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \) নিয়ে, ভেক্টর $\vec{a}$ এর $k$ গুণ ভেক্টর $k \vec{a}$ নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়: 1. যদি $k > 0$ হয়, তবে ভেক্টর $\vec{a}$ এরই দিশা, কিন্তু এর পরিমাণ $k$ গুণ। বিশেষ করে, $1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. যদি $k < 0$ হয়, তবে ভেক্টর $k \vec{a}$ এর দিশা $\vec{a}$ এর বিপরীতে হয় এবং এর পরিমাণ \( |k| \ ) গুণ। বিশেষ করে, \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. যদি $k=0$ হয়, তবে ফলাফল $\overrightarrow{0}$, অর্থাৎ $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ এরপর প্রদত্ত উদাহরণ দিয়ে এইটি নিশ্চিত করুন। উদাহরণ: ভেক্টর \( \vec{a} = (3, -2) \) এ বাস্তব সংখ্যা $k = 2, -3, 0$ প্রয়োগ করুন।

বিকল্প সমাধান পদ্ধতি $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ এর (১১ পর্যন্ত একই)। পয়েন্ট D কে প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে ধরে, $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ সুতরাং, (১) থেকে, \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ এটি পরীক্ষা করুন।

যদি z=4+2i, lpha=1+3i হয়, তবে সমান্তরাল তলে বিন্দুগুলি \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) অঙ্কন করুন।

বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক (2,-4), বিন্দু B এর স্থানাঙ্ক (-2,2), এবং বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক (0,-4) হল। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন: (1) প্রত্যেকটির জন্য ec{a}, ec{b}, ec{c} তমমূলকে উপাদান হিসাবে প্রকাশ করুন। (2)|ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}| এর কোনো একটি আকারের পরিমাপ করুন।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সঠিক তা প্রমান কর. (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

অবস্থান ভেক্টর, আকারের প্রয়োগ বিভাজন পয়েন্টগুলির অবস্থান ভেক্টর (স্থান)

বিন্দু \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) দিয়ে যাওয়া এবং ভেক্টর \( ec{n}=(1,-2,3) \) এর লম্ব পরিকল্পনার সমীকরণ নির্ণয় করুন।

অনুগ্রহ করে স্থানীয় ভেক্টর সংশ্লিষ্ট সমস্যাটি সমাধান করুন।

রেখার ভেক্টর সমীকরণটি ব্যাখ্যা করুন।

নিম্নলিখিত প্রতিটি পরিস্থিতিতে, $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$ এর মধ্যে কোণ $\theta$ নির্ণয় করুন। (1) যখন $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ (2) যখন $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$ এবং $\vec{a}-\vec{b}$ এবং $6 \vec{a}+7 \vec{b}$ উল্লম্ব হয়

প্লেনে, △ABC এবং বিন্দু P, Q বিবেচনা করুন। নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি যখন সন্তুষ্ট হয় তখন বিন্দু P এবং Q কোথায় থাকবে তা উত্তর দিন: (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

A, B, এবং C পয়েন্টের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। যদি A পয়েন্টের স্থানাঙ্ক (a1, a2, a3), B পয়েন্টের স্থানাঙ্ক (b1, b2, b3), এবং C পয়েন্টের স্থানাঙ্ক (c1, c2, c3) হয়, তবে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কী?

দুটি বিন্দু \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) এবং \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \) এর জন্য\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2 ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]

কলাতে $riangle \mathrm{ABC}$ যার শীর্ষবিন্দু \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \), $\mathrm{P}$ হল $\mathrm{AB}$ রেখার মধ্যবিন্দু, $\mathrm{Q}$ হল যে বিন্দু $\mathrm{BC}$ রেখাকে 1:2 অনুপাতে বাহিরে বিভাজন করে, এবং $\mathrm{R}$ হল যে বিন্দু $\mathrm{CA}$ রেখাকে 2:1 অনুপাতে বাহিরে বিভাজন করে। $riangle \mathrm{AQR}$-এর কেন্দ্রবিন্দু G। নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি ec{a}, ec{b}, ec{c} ব্যবহার করে প্রকাশ করুন: (1) বিন্দু G এর অবস্থান ভেক্টর (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

যদি বিন্দু P প্লেন KLM এর উপর থাকে, তাহলে ভেক্টর OP এর পরিমাণ |€{ec{\mathrm{OP}}}| খুঁজে বের করুন।

বিন্দু \( \mathrm{A}(4,2,2) \) দিয়ে যাওয়া এবং ভেক্টর \( ec{n}=(2,-3,1) ) এর লম্ব সমতলের সমীকরণ বের কর।

△OAB এর জন্য, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ বলি। বাস্তব সংখ্যা $s$ এবং $t$ s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 সন্তুষ্ট করলে, বিন্দু $\mathrm{P}$ এর থাকা পরিসর নির্ধারণ করুন।

\(ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1)\) দেওয়া হলে, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির উপাদানগুলি প্রকাশ করুন: (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

ত্রিভুজ OAB এর জন্য, ধরুন $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$。যখন প্রকৃত সংখ্যা $s, t$ নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি পূরণ করে, তখন বিন্দু P এর অস্তিত্বের সীমা নির্ধারণ করুন৷ (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

1ম অধ্যায় সমতল উপর ভেক্টর- 23 EX ৩টি বিন্দু \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) আছে। (1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ এর মধ্যকার কোণের $\theta$ জন্য $\cos \theta$ গণনা কর। (2) $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল গণনা কর। (3) ভেক্টর $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ এর মানকে সর্বনিম্ন করতে যে বাস্তব সংখ্যা t এবং তার সর্বনিম্ন মান গণনা কর।

ডানদিকে চিত্রে প্রদর্শিত ভেক্টরগুলির বিষয়ে, নিম্নলিখিতগুলি হিসাবে সমস্ত ভেক্টর নম্বরের জোড়া তালিকাভুক্ত করুন: (1) সমান পরিমাপের ভেক্টর (2) একই দিকের ভেক্টর (3) সমান ভেক্টর (4) বিপরীত ভেক্টর

\( ec{a}=(1,2,3) \) এবং \( ec{b}=(2,0,-1) \) দেওয়া আছে। বাস্তব সংখ্যা $t$ এর জন্য, ec{c}=ec{a}+t ec{b} ধরা হল। |ec{c}| এর সর্বনিম্ন মান এবং ঐ সময়ে $t$ এর মান নির্ণয় কর।

সমতলে, $riangle \mathrm{ABC}$ এবং বিন্দু $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ আছে ধরে। যখন নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সঠিক হয়, পয়েন্ট $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ অবস্থানগুলি উত্তর দিন। (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

দেওয়া ভেক্টরগুলি \vec{a} এবং \vec{b}। যদি |\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5}, এবং \vec{a} \cdot \vec{b} = -10 হয়, নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন। (1) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা t-এর জন্য, |\vec{a} + t\vec{b}| এর ন্যূনতম মান এবং সেই সময়ের t এর মান বের করুন। (2) (1) এ পাওয়া t এর মানের জন্য, প্রমাণ করুন যে \vec{a} + t\vec{b} এবং \vec{b} লম্বভাবে অবস্থান করছে।

স্থানে, বিন্দু A থেকে বিন্দু B পর্যন্ত নির্দেশিত রেখাংশকে $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এর আকারকে $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। স্থানের ভেক্টরগুলো সাধারণত ছোট হাতের অক্ষর যেমন ec{a}, ec{b} দিয়ে প্রকাশ করা হয়। স্থানের ভেক্টরগুলো সমতলে ভেক্টরের মতই একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ভেক্টরের মৌলিক গুণাবলী সম্পর্কে নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলোর উত্তর দিন। 1. যদি ec{a} এবং ec{b} এর দিক একই হয় এবং আকারও সমান হয়, তাহলে কীভাবে তাদের প্রকাশ করা যাবে? 2. ec{a} -এর বিপরীত ভেক্টর কীভাবে প্রকাশ করা হবে? 3. শূন্য আকারের ভেক্টর এবং এক আকারের ভেক্টরকে কী বলা হয়? 4. ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ এবং বাস্তব সংখ্যার গুণনের উদাহরণ দিন।

z=3+2 i, lpha=1-i হলে, কমপ্লেক্স প্লেনে বিন্দু \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) চিত্রিত করুন।

(1) $x$ এর মান নির্ধারণ করুন যাতে \( \vec{a}=(x+2,1) \) এবং \( \vec{b}=(1,-6) \) লম্ব হয়। (2) $\vec{d}$ বর্ণনার সন্ধান করুন, যা \( \vec{c}=(2,1) \) এর লম্ব এবং যার মাত্রা $2 \sqrt{5}$।

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন সরলরেখাটির সমীকরণ ভেক্টর ব্যবহার করে খুঁজুন: (1) বিন্দু \( \mathrm{A}(-2,3) \) মাধ্যমে যায় এবং ভেক্টর \( ec{d}=(2,1) \) এর সমান্তরাল (2) দুটি বিন্দু \( \mathrm{A}(-1,2) \) এবং \( \mathrm{B}(3,1) \) মাধ্যমে যায়

নিম্নলিখিত ভেক্টর \vec{a}, \vec{b} এর জন্য, \vec{a}-\vec{b} চিত্রিত করুন।

(1) △OAB তে, যখন \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} হয়, △OAB-এর ক্ষেত্রফল $S$ কে ec{a}, ec{b} ব্যবহার করে প্রকাশ কর। (২) (1) ব্যবহার করে, যখন $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3, |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$ হয়, ত্রিভুজ △OAB-এর ক্ষেত্রফল $S$ নির্ণয় কর।

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

সূত্র AB-কে m:n অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত করা বিন্দু P এর স্থানাঙ্ক বের করুন। যদি বিন্দু A-এর স্থানাঙ্ক হয় (a1, a2, a3) এবং বিন্দু B-এর স্থানাঙ্ক হয় (b1, b2, b3), তবে বিন্দু P এর স্থানাঙ্ক কী?

রেখা অংশ AB এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$

(1) $3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$

যখন বিন্দুগুলি O, P, এবং C এই ক্রমে সরলরেখায় থাকে, তখন P হল সেই বিন্দুটি যা O থেকে নিকটতম বিন্দু যেখানে সরলরেখা OC এবং গোলক S এর ছেদ হয়। যেহেতু OC = √(0^2+1^2+2^2) = √5, যখন বিন্দুগুলি O, P, এবং C এই ক্রমে সরলরেখায় থাকে, তখন বিন্দু P এর y স্থানাংক কত?

মৌলিক উদাহরণ 2 মাত্রিক ভেক্টরের যোগ ডানদিকে চিত্রে দেওয়া ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ এর জন্য, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলিকে চিত্রায়িত করুন। (1) $\vec{a}+\vec{b}$ (2) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ (3) $\vec{a}+\vec{d}$

বিন্দুগুলির মিলের শর্তাবলী বিন্দু $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ মিলবে $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ (অবস্থান ভেক্টরগুলি মিলবে) \& দেখুন 50.

স্থানাঙ্কে, \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \) বিন্দুগুলো আছে। AB রেখাংশকে m:n অনুপাতে ভাগ করে এরূপ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সত্য। (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

রেখাংশ AB-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করুন। যদি বিন্দু A-এর স্থানাঙ্কগুলি হয় (a1, a2, a3) এবং বিন্দু B-এর স্থানাঙ্কগুলি হয় (b1, b2, b3), তবে মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি কী?

একটি ভেক্টরের উপাদানগুলি ভেক্টরের বিশ্লেষণ এবং উপাদানগুলি

ভেক্টর $\vec{b}$ পান যা ভেক্টর \( \vec{a}=(1,2) \) সঙ্গে $45^{\circ}$ কোণ তৈরি করে এবং যার পরিমাণ $\sqrt{10}$।

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$-এর মধ্যে কোণটি নির্ধারণ করুন।

বিন্দু \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) দিয়ে অতিক্রম করা সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করুন।

ডান পাশের ছবির নিয়মিত ষড়্ভুজ $\mathrm{ABCDEF}$ এ, কর্ণ $\mathrm{AD}$ এবং $\mathrm{BE}$ এর ছেদবিন্দু $\mathrm{O}$ এবং ঔ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = ec{b} রূপে নির্ধারণ করা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে, নিম্নোক্ত ভেক্টরগুলি ec{a} এবং ec{b} ব্যাবহার করে প্রকাশ কর: (1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি কী ধরনের চিত্র অঙ্কন করে? (1) $x=t+1, \quad y=3t-2$ (2) $x=\sqrt{t}-1, \quad y=t-3\sqrt{t}$ (3) $x=2\cos\theta, \quad y=2\sin\theta$

ডানদিকের ভেক্টর ec{a}, ec{b} এর জন্য, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি চিত্রায়ন করুন। (1) 2 ec{a} (2) rac{1}{3} ec{b} (3) 2 ec{a}+rac{1}{3} ec{b}

স্থানীয় ভেক্টরের মধ্যকার কোণটি বোঝুন এবং উদাহরণ ৪৬ সমাধান করুন!

3略, $3 t=-2$ এ \(\vec{p}=(-5,0)\)，এবং t=1 এ \(\vec{p}=(4,3)\)

অবস্থান ভেক্টর, জ্যামিতির প্রয়োগ রেখা এবং সমতলের ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

ভেক্টরের পার্থক্যটি ব্যাখ্যা করুন।

অধ্যায় 2 মহাকাশের ভেক্টর 37 \( \vec{a} = (1,2,3) \) এবং \( \vec{b} = (2,0,-1) \) দেওয়া আছে, বাস্তব সংখ্যা $t$ এর জন্য, $\vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$ ধরা যাক। $|\vec{c}|$ এর সর্বনিম্ন মান এবং সেই সময়ের $t$ এর মান নির্ধারণ করুন। [ফুকুওকা প্রযুক্তি ইনস্টিটিউট] \[ egin{aligned} \vec{c} & = \vec{a} + t \vec{b} = (1,2,3) + t(2,0,-1) \\ & = (2t + 1, 2, -t + 3) \end{aligned} \]

ডানদিকে প্রদত্ত ভেক্টর ec{a}, ec{b} এর ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির চিত্র অঙ্কন করুন। (1) 3 ec{a} (2) -\frac{3}{2} ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

ধরা যাক |ec{a}|=1, |ec{b}|=2 । নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও। (2) যদি |ec{a}+ec{b}|=1 হয়, তাহলে ec{a} \cdot ec{b} এবং |2 ec{a}-3 ec{b}| -এর মান বের করো।

সেই ভেক্টর \( \vec{d}=(x, y) \) খুঁজুন যা \( \vec{c}=(2,1) \) এর লম্ব এবং যার দৈর্ঘ্য $2 \sqrt{5}$।

3টি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকার শর্ত [সহলম্বিত শর্ত]: 2টি বিন্দু \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}) \) ভিন্ন হলে, বিন্দু \( \mathrm{C}(ec{c}) \) এর শর্ত হল: 3টি বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ একই সরলরেখায় রয়েছে $\Longleftrightarrow$ বিন্দু $\mathrm{C}$ রেখা $\mathrm{AB}$ তে রয়েছে $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} / / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ অথবা $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ যেখানে $k$ একটি বাস্তব সংখ্যা ...... (1) \Longleftrightarrow ec{c}=s ec{a}+t ec{b}, s+t=1 যেখানে $s$ এবং $t$ বাস্তব সংখ্যা ...... নোট: (1) এ, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{c}-ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}-ec{a} থেকে আমাদের কাছে আছে \( ec{c}-ec{a}=k(ec{b}-ec{a}) \) পুনর্বিন্যাস করলে পাই \( ec{c}=(1-k) ec{a}+k ec{b} \) মন ধরা যাক $1-k=s, k=t$, তাহলে (2) পাওয়া যাবে।

বিন্দু দুটি \(A(a_1, a_2, a_3)\) এবং \(B(b_1, b_2, b_3)\) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

45 \vec{d}=2 \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}

অধ্যায় 1: সমতলে ভেক্টর - 5 TR \( ec{a}=(2,3), ec{b}=(-2,2), ec{c}=(5,5) \) এর জন্য ec{c}=x ec{a}+y ec{b} পূরণকারী বাস্তব সংখ্যা $x, y$ এর মান নির্ণয় করুন।

(1) বিন্দু P(-3,5,1) থেকে xy-সমতল, yz-সমতল এবং zx-সমতলে পরপর লম্বক PA, PB এবং PC আঁকুন। বিন্দু A, B এবং C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন। (2) বিন্দু P(-3,5,1) এর xy-সমতল, yz-সমতল এবং zx-সমতলের প্রতি প্রতিসম বিন্দুগুলিকে যথাক্রমে D, E এবং F বলা হয়। বিন্দু D, E এবং F এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন। (3) বিন্দু O এবং বিন্দু P(-3,5,1) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

একটি ভেক্টরের উপাদান ভেক্টরের মান $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সঠিক প্রমাণ করুন: (1) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{RS}}-\overrightarrow{\mathrm{SH}}-\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{KN}}$

3 টি বিন্দু A(\(ec{a}), B(ec{b}), C(ec{c}) \) কে শীর্ষবিন্দু ধরে $riangle ABC$ তে, $AB$ রেখাকে 2:1 অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত করা বিন্দুটি P, এবং $BC$ রেখাকে 2:5 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করা বিন্দুটি Q বলা হয়। নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি ec{a}, ec{b}, এবং ec{c} ব্যবহার করে প্রকাশ করুন: (1) বিন্দু P, Q এর অবস্থান ভেক্টর (2) $\overrightarrow{PQ}$ (3) $riangle CPQ$ এর কেন্দ্র G এর অবস্থান ভেক্টর।

ডান পাশের সুষম ষড়ভুজ $\mathrm{ABCDEF}$ তে, কর্ণ $\mathrm{AD}$ এবং $\mathrm{BE}$ এর ছেদবিন্দু কে $\mathrm{O}$ হিসাবে ধরা যাক, এবং \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} হিসাবে ধরি। এই পরিস্থিতিতে, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলোকে ec{a}, ec{b} ব্যবহার করে প্রকাশ করুন: (1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

সমান ভেক্টর দুটি ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ সমান বলা হয় যদি তাদের দিক এবং মাত্রা সমান হয়, এটি $\vec{a}=\vec{b}$ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। যখন $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, নির্দেশিত অংশ $\mathrm{AB}$ অনুবাদ করে অংশ $\mathrm{CD}$ এর সাথে ওভারল্যাপ করা যায়। অন্য কথায়, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ মানে নির্দেশিত অংশ $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে একসাথে পূরণ করে: [1] একই দিক $\longleftrightarrow$ তীরের দিকটি একই, [2] সমান মাত্রা $\longleftrightarrow A B=C D$।

গণিত C ডায়াগ্রামে, চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ একটি রম্বাস, এবং বিন্দু $\mathrm{O}$ হল কর্ণ $\mathrm{AC}$ এবং $\mathrm{BD}$ এর ছেদ বিন্দু। যদি \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=ec{c} হয়, (1) চিত্রে ec{a}-ec{b} এবং ec{a}-ec{c} অঙ্কন করুন। (2) ec{b}+ec{c} কোন ধরনের ভেক্টর?

ভেক্টরের উপাদান ভেক্টর উপাদান গণনা এবং দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব

দৈর্ঘ্য 2 এর বর্গ $\mathrm{ABCD}$-তে, ধরে নিই \overrightarrow{\mathrm{AB}} = ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} = ec{c} । (1) $\mathrm{AD}$ পাশটি 2:1 অনুপাতে অন্তরস্থল করে এমন বিন্দু $\mathrm{E}$-র জন্য, ec{b}, ec{c} ব্যবহার করে $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ প্রকাশ করুন। (2) ec{c} -র বিপরীত দিকের একক ভেক্টর ec{d} কে ec{c} -র মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

যে ভেক্টর $\vec{b}$ ভেক্টর \( \vec{a}=(-1,1) \)-এর সাথে $60^{\circ}$ কোণ তৈরি করে এবং যার মান $2 \sqrt{2}$ তা খুঁজে বের করুন।

EX দুটি ভেক্টর \( \vec{a}=(1,2), \vec{b}=(3,1) \) এবং একটি বাস্তব সংখ্যা $t$ দেওয়া হল, $\vec{p}=\vec{a}+t \vec{b}$ হিসাবে ধরুন। $\vec{p}$-এর মান 5 হওয়ার জন্য $t$ এবং $\vec{p}$-এর মান বের করুন।

বামদিকের উদাহরণে, বিন্দু P রেখাংশ AE কে m : n অনুপাতের মধ্যে ভাগ করে [AP: PE = m : n], তাই এটি প্রকাশ করা যায় \overrightarrow{\mathrm{OP}}=rac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=rac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+rac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]। গুণকের সমষ্টি যে 1 তা ইতিবাচক করে, \[ rac{m}{m+n}=s \]। সেইজন্য, \[ rac{n}{m+n}=1-s হয়, এবং (A) এইভাবে প্রকাশ করা যায় \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]।

O কে পোল হিসাবে ধরে নেওয়া মেরু স্থানাঙ্কে, নিম্নলিখিত রেখার মেরু সমীকরণগুলি খুঁজুন। (1) প্রাক-রেখা OX-এর পয়েন্ট A(3/2, 0) দিয়ে যাচ্ছে এবং প্রাক-রেখার লম্ব (2) পোল O দিয়ে যাচ্ছে এবং প্রাক-রেখার সাথে -π/4 কোণ তৈরি করছে এমন রেখা