প্লেন জ্যামিতি - সাদৃশ্য এবং সামঞ্জস্য

১০ সেমি ব্যাসার্ধের যোগফল বিশিষ্ট এক রম্ব এর জন্য: (1) সর্বাধিক ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। (2) ন্যূনতম পরিধি নির্ণয় করুন।

পরবর্তী, $\mathrm{AB}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\mathrm{M}$ হলে \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2} \text { অতএব } \quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-8 \overrightarrow{\mathrm{OM}} \text { অতএব, } \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \text { এইভাবে } \end{aligned} \] সুতরাং, \( \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \), এলাকার হার $\frac{1}{9}$ গুণ। C, O, M এই ক্রমে এক সরল রেখায় অবস্থিত। $\leftarrow \triangle \mathrm{OAB}$ এবং $\triangle \mathrm{ABC}$ একই ভিত্তি $\mathrm{AB}$ হওয়ায়, এলাকার অনুপাত উচ্চতার অনুপাতের সমান।

ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এ, বিন্দু $\mathrm{D}$ কে ধরে নেওয়া হয়েছে যা বাহু $\mathrm{BC}$ কে অভ্যন্তরীণভাবে $2:1$ অনুপাতে ভাগ করে। দেখান যে সমীকরণ $\mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{AC}^{2}=3 \mathrm{AD}^{2}+6 \mathrm{CD}^{2}$ সত্য। [চুও বিশ্ববিদ্যালয়]

নিম্নলিখিত বক্ররেখার গতিপথ নির্ণয় করুন। (3) PF:PH = 2:1 তাই PF=2PH ফলে, PF²=4PH² সুতরাং x²+(y-1)²=4(y+1)² সরলীকরণ করে, x²-3y²-10y-3=0 অর্থাৎ, x²-3(y+5/3)²=-16/3 অর্থাৎ 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1 সুতরাং, বিন্দু P, হাইপারবোলা (1) তে অবস্থিত। পক্ষান্তরে, হাইপারবোলা (1) তে সকল বিন্দু P(x, y) শর্ত পূরণ করে। সুতরাং, বিন্দু P এর গতিপথ হল হাইপারবোলা 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1

একটি চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ রয়েছে যেখানে $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ এবং এটি একটি সামান্তরিক নয়। দুই প্রান্তে $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{Q}$ বিন্দু হলে সেটি যথাক্রমে $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{CD}$ এর মধ্যবিন্দু হয়, এবং $\mathrm{M}$ এবং $\mathrm{N}$ বিন্দু যথাক্রমে দুই কোণরেখা $\mathrm{AC}$ এবং $\mathrm{BD}$ এর মধ্যবিন্দু হয়। (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ কে $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এর সাহায্যে প্রকাশ করুন। (2) প্রমাণ করুন যে $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{MN}$।

ত্রিভুজ △ABC-এ, বিন্দু D হল রেখা AB-কে 3:1 অনুপাতে ভাগ করার বিন্দু, এবং বিন্দু E হল রেখা AC-কে 2:3 অনুপাতে ভাগ করার বিন্দু। রেখা BE এবং CD-এর ছেদ বিন্দুটি হল P। যদি ∠AB = ∠c হয়, তবে ∠AP-কে ∠b এবং ∠c-এর মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এ, যদি বিন্দু $\mathrm{D}$ দিক $\mathrm{BC}$ কে ভিতর থেকে $2 : 1$ অনুপাতে ভাগ করে, তাহলে প্রমাণ করুন যে সমীকরণ $28 \mathrm{AB}^{2} + 2 \mathrm{AC}^{2} = 3 \mathrm{AD}^{2} + 6 \mathrm{CD}^{2}$ ঠিক আছে।

xy প্লেনে, যদি উপবৃত্ত (x^2/4) + y^2 = 1 হল x-অক্ষের দিকে 1 একক এবং y-অক্ষের দিকে a একক দ্বারা সমান্তরাল স্থানান্তরিত করা হয় এবং ফলিত উপবৃত্ত মূল বিন্দু দিয়ে যায়, তবে a= ।

△ABC-এ, AC এর মধ্যবিন্দু D, BD রেখাংশের মধ্যবিন্দু E এবং BC কে 1:2 অনুপাতে ভাগ করে এমন বিন্দু F। প্রদর্শন করুন যে তিনটি বিন্দু A, E এবং F এক সরলরেখায় রয়েছে।

প্রদত্ত হাইপারবোলা rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{9}=1 কে x-অক্ষ বরাবর 2 ইউনিট এবং y-অক্ষ বরাবর -3 ইউনিট স্থানান্তর করার পরে, স্থানান্তরিত বক্ররেখার সমীকরণ, ফোকাসের স্থানাঙ্ক এবং স্পর্শকের সমীকরণগুলি কী হবে?

সমান্তর চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$-তে, $\mathrm{CD}$ রেখাকে $3: 1$ অনুপাতে অন্তর্ভুক্ত করা বিন্দুকে $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{BD}$ ক্রান্তিকে $4: 1$ অনুপাতে অন্তর্ভুক্ত করা বিন্দুকে $\mathrm{F}$ বলি। প্রমাণ কর যে এই সময় তিন বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{F}, \mathrm{E}$ একই সরলরেখায় অবস্থান করছে।

ধরুন মেরু O। মেরুস্থানাঙ্ক (√3, π/6) দ্বারা পয়েন্ট A দিয়ে অতিক্রমকারী এবং সরলরেখা OA তে লম্ব মেরু সরলরেখার সমীকরণ নির্ধারণ করুন।

নিম্নলিখিত সমীকরণটি দেখান। ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$-এ, যেখানে $\mathrm{AB}=7, \mathrm{BC}=5, \mathrm{CA}=3$ এবং অভ্যন্তরকেন্দ্র হল $\mathrm{I}$। $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$-কে \overrightarrow{\mathrm{AB}} এবং \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} দিয়ে প্রকাশ করুন। ত্রিভুজ \( \mathrm{ABC} -এ, $\mathrm{A}$-এর কোণ দ্বিখণ্ডক এবং দিক $\mathrm{BC}$-এর প্রতিসংযোগ বিন্দু হল $\mathrm{D}$, সুতরাং $\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC} = 7 : 3$। তাই \overrightarrow{\mathrm{AD}}=rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10}। পরবর্তী, \mathrm{BD} = 5 imes rac{7}{10} = rac{7}{2}। সুতরাং, \overrightarrow{\mathrm{AI}} = rac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} = rac{2}{3} imes rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}} + 7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10} = rac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AB}} + rac{7}{15} \overrightarrow{\mathrm{AC}}।

প্রশিক্ষণ ২৫ ধরা যাক $riangle \mathrm{ABC}$ তে $\mathrm{AC}$ এর মধ্যবিন্দু হলেন $\mathrm{D}$, $\mathrm{BD}$ এর মধ্যবিন্দু হলেন $\mathrm{E}$, এবং $\mathrm{BC}$ কে 1:2 অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাগ করে এমন বিন্দু হল $\mathrm{F}$। এটি প্রমাণ করুন যে বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ এক সরলরেখায় অবস্থিত।