প্লেন জ্যামিতি - মৌলিক আকারের বৈশিষ্ট্য (বিন্দু, রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত)

দুইটি লম্ব দিকের দৈর্ঘ্যের যোগফল ১৬ এমন একটি সঠিক কোণের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সর্বাধিক হয় কোন আকৃতির সময়ে? এছাড়াও, সর্বাধিক মান নির্ণয় করুন।

একটি সমকোণ ত্রিভুজে দুটি সমকোণীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল ১০ হলে斜辺の長さ $l$ এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করুন।

2. P, Q এবং R বিন্দুগুলি যথাক্রমে 8-এর একপাশের দৈর্ঘ্য ABCD এর পাশে AB, BC, এবং CD রাখা হয়, যাতে AP=x, BQ=2x এবং CR=x+4 (0<x<4)। ∆PBQ এবং ∆QCR এর ক্ষেত্রফলগুলি x-এ প্রকাশ করা হয় যথাক্রমে ア (বর্গ) এবং イ (বর্গ)। এজন্য, ∆PQR এর ক্ষেত্রফল x=ウ (বর্গ)-এর সময় সর্বনিম্ন মান エ (বর্গ) (বর্গ) নেয়।

নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক উপস্থাপনাটি কেমন ধরনের আকার নির্দেশ করে? (1) $x=2 \cos heta, y=3 \sin heta$ (2) $x=1+\cos heta, \quad y=\sin heta-2$ (3) x=rac{4}{\cos heta}+2, y=3 an heta-1

বিন্দু A(a, 0,0) দিয়ে এবং yz সমতলের সাথে সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ $x=a$

ইলিপ্স $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$-এর বিন্দু \( (\sqrt{2}, 1) \)-এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

ধরা যাক \( \mathrm{A}(a, 0) \) বিন্দুকে কেন্দ্র করে $a$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আছে। এই বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু $\mathrm{P}$ কে নিয়ে এবং বিন্দু $\mathrm{O}$ ও $\mathrm{P}$ কে সংযোগকারী রেখাংশ $\mathrm{OP}$ কে একপ্রান্ত হিসেবে ধরা হয় একটি বর্গক্ষেত্র $\mathrm{OPQR}$ তৈরি করা হয়েছে। এই অবস্থায়, বিন্দু $\mathrm{Q}$ এর গতিপথের ধ্রুবক সমীকরণ নির্ণয় করুন।

প্রদর্শন করুন যে বিন্দু \( (2,1) \) থেকে উপবৃত্ত x^{2}+rac{y^{2}}{4}=1 এ আঁকা দুটি স্পর্শরেখা লম্বযুক্ত।

বিন্দু P এর অক্ষস্থল নির্ণয় করুন যাতে এটি বিন্দু F(0,1) থেকে এর দূরত্ব এবং রেখা ℓ: y=-1 থেকে এর দূরত্বের অনুপাত নিম্নরূপ হয়: (1) 1:1 (2) 1:2 (3) 2:1।

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করুন: (1) দুটি ফোকাস (3,0),(-3,0) তে অবস্থিত এবং প্রধান অক্ষ ও অপ্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য 2। (2) কেন্দ্র উত্সায় অবস্থিত, প্রধান অক্ষ y-অক্ষে আছে, অপ্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য 8, এবং এটি বিন্দু (12/5, 4) দিয়ে যায়।

107 (1) পরবলা $x^{2}=4 y$(2) উপবৃত্ত \( rac{3}{4} x^{2}+rac{9}{16}\left(y-rac{5}{3} ight)^{2}=1 \)(3) অতিবৃত্ত \( rac{3}{16} x^{2}-rac{9}{16}\left(y+rac{5}{3} ight)^{2}=-1 \)

পরাবৃত্তের \( C: y^2 = 4px (p>0) \) কেন্দ্র $F$ দিয়ে দুটি পরস্পর লম্ব রেখাংশ $AB$ এবং $CD$ অতিক্রম করে। (1) $F$ কে মেরু এবং x-অক্ষের ধনাত্মক অংশকে প্রাথমিক রেখা হিসেবে ধরে পরাবৃত্ত $C$-এর মেরু সমীকরণ নির্ণয় কর। (2) প্রমাণ কর যে $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}$ একটি ধ্রুবক।

নিম্নলিখিত সমীকরণটি কি ধরনের বক্ররেখা প্রদর্শন করে? যদি এটি একটি উপবৃত্ত হয়, তবে কেন্দ্র এবং ফোকাস খুঁজুন; যদি এটি একটি হাইপারবোলা হয়, শীর্ষবিন্দু, ফোকাস এবং অ্যাসিমটোট খুঁজুন; যদি এটি একটি পরাবলব হয়, শীর্ষবিন্দু, ফোকাস এবং নির্দেশিকা খুঁজুন। (1) $4 x^{2}+9 y^{2}-16 x+54 y+61=0$ (2) $25 x^{2}-4 y^{2}+100 x-24 y-36=0$ (3) $y^{2}-4 x-2 y-7=0$

পরাবৃত্তের ফোকাস, ডাইরেকট্রিক্স লাইন

উপরের উপবৃত্ত \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) এবং এর শীর্ষবিন্দু \( \mathrm{A}(a, 0), \mathrm{B}(0, b) \) এর ক্ষেত্রে, প্রথম চতুর্ভাগে বিন্দু $\mathrm{P}$ নিতে হবে যাতে চতুর্ভুজ $\mathrm{OAPB}$ এর ক্ষেত্রফল $S$ সর্বাধিক হয়। সেই বিন্দু $\mathrm{P}$ এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন এবং সেই অবস্থায় $S$ এর মান নির্ণয় করুন। ধরে নিন, O হল মূলবিন্দু।

নিচের সমীকরণটি কোন ধরনের রেখা প্রতিনিধিত্ব করে? যদি এটি বৃত্তাকার হয়, কেন্দ্রীয় বিন্দু এবং ফোকাস নির্ণয় করো; যদি এটি হাইপারবোলা হয়, শীর্ষ বিন্দু, ফোকাস এবং আসিম্পটোট নির্ণয় করো; যদি এটি প্যারাবোলা হয়, শীর্ষ, ফোকাস এবং ডিরেকট্রিক্স নির্ণয় করো। (1) $4 x^{2}+9 y^{2}-16 x+54 y+61=0$ (2) $25 x^{2}-4 y^{2}+100 x-24 y-36=0$ (3) $y^{2}-4 x-2 y-7=0$

গ্রাফের প্রতিনিধিত্ব: $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$

জ্ঞাত রেখাচিত্রটি \( y^{2}=4 p x(p eq 0) \) যার ফোকাস $\mathrm{F}$ তে, এবং ফোকাস $\mathrm{F}$ দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখা যা রেকাটিকে দুটি বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ এ ছেদ করছে, প্রমাণ কর যে বিন্দু দুটি $\mathrm{A}, \mathrm{B}$-এর $y$- কো-অর্ডিনেটগুলির গুণফল একটি ধ্রুবক।

রেখাটি $y=mx+n$ এর সাথে উপবৃত্ত x^{2}+rac{y^{2}}{4}=1 স্পর্শক হওয়ার শর্তগুলি m এবং n ব্যবহার করে প্রকাশ করুন।

অনুবাদ: নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির মেরু সমন্বয় নির্ণয় করুন: P(2, 2), Q(1, -√3), R(-√3, 3), S(-2, 0)। কোণ θ এর পরিসীমা 0 ≤ θ < 2π হওয়া উচিত।

বিন্দু P(1,3) থেকে সরলরেখা ℓ: 2x-3y+4=0 এ লম্ব আঁকুন, ছেদবিন্দু H। (1) ভেক্টর ব্যবহার করে বিন্দু H-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন। (2) বিন্দু P এবং সরলরেখা ℓ এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমন্বয় সমতলে, বিন্দু \( \mathrm{A}(2,0) \) নিন এবং বিন্দু $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ কে কেন্দ্রবিন্দু $\mathrm{O}$ এবং ব্যাসার্ধ 2 এর বৃত্তের পরিধিতে নিন, যাতে বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ পালাক্রমে একটি নিয়মিত ষড়ভুজের শীর্ষবিন্দুতে পরিণত হয়। বি প্রথম চতুর্ভূজে আছে বলে ধরে নিন।

যখন বিন্দু $z$ কেন্দ্র $O$ এর চারদিকে ব্যাসার্ধ 1-এর বৃত্তে স্থানান্তরিত হয়, তখন নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত বিন্দু $w$ কী আকৃতি আঁকবে? (1) $w=z+2i$ (2) $w=iz-2$

উন্নত উদাহরণ 38 $\triangle \mathrm{OAB}$ -এ, $\mathrm{OA}=3$, $\mathrm{OB}=4$, এবং $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$ দেওয়া আছে, স্থির $\mathrm{H}$ কে লম্বকেন্দ্র। যদি $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$, তবে $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ -কে $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$ ব্যবহার করে প্রকাশ করুন।

যে বিন্দুটি দ্বিঘাত উপবৃত্তের উপর নয়, সেই বিন্দু থেকে টানা রেখার সমীকরণ

অনুগ্রহ করে নিম্নলিখিত পরাবৃত্তের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাখ্যা করুন। x^2=4py (p≠0)

রেখা $x=3$ -এর স্পর্শক এবং বিন্দু \( \mathrm{A}(-3,0) \) -এর মধ্য দিয়ে যাওয়া বৃত্তের কেন্দ্র \( \mathrm{P}(x, y) \) এর গতিপথ নির্ধারণ করুন।

উপরে দেওয়া উদাহরণে, যে বিন্দু P-এর সাথে কেন্দ্র O-এর দূরত্ব এবং সরলরেখা l-এর দূরত্বের অনুপাত 1:2, সেই বিন্দুগুলি যে বক্ররেখা আঁকে তার মেরু সমীকরণ বের করুন।

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন উপবৃত্তটির সমীকরণ খুঁজুন। (1) এটি দুটি ফোকাস পয়েন্টে রয়েছে ($(sqrt{7}, 0$,(-$sqrt{7}, 0$) এবং উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু থেকে ফোকাস পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি 8। (2) এর দুটি ফোকাস পয়েন্টে ($0, 3$, ($0, -3$) এবং উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু থেকে ফোকাস পর্যন্ত দূরত্বের যোগফল 12।

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন উপবৃত্তের সমীকরণ বের করুন: (1) ফোকাসগুলি 2টি বিন্দুতে রয়েছে ($\sqrt{7}, 0$,(-$\sqrt{7}, 0$) এবং ফোকাস থেকে দূরত্বের যোগফল 8. (2) ফোকাসগুলি 2টি বিন্দুতে রয়েছে ($0, 3$,($0, -3$) এবং ফোকাস থেকে দূরত্বের যোগফল 12.

যদি আমরা বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=4$ কে $y$ অক্ষে 2 গুণে প্রসারিত করি, তবে আমরা কোন বাঁকটি পাই?

92 (1) ∠O = π/2 এর সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ (2) ∠O = π/2, ∠A = π/3, ∠B = π/6 এর সমকোণী ত্রিভুজ

উদাহরণ ২. সমীকরণ $16 x^{2}-9 y^{2}+64 x+18 y+199=0$ দ্বারা বোঝানো ছবিটি।

উইলিসের ফোকাস, দীর্ঘ অক্ষ ও স্বল্প অক্ষের দৈর্ঘ্য

নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় করুন। (1) rac{x^{2}}{5}+y^{2}=1 (2) rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{9}=1

17 (1) \( \mathrm{M}(3,3,1), \mathrm{N}(2,3,3) \), এলাকা $\sqrt{70}$

প্যারাবোলা $y^{2}=4px$ এবং সরলরেখা $y=2pt$ এর ছেদবিন্দু বিবেচনা করে, এই প্যারাবোলাকে প্যারামিটার $t$ দিয়ে প্রকাশ করুন।

নীচের শর্তগুলি পূরণ করে এমন হাইপারবোলার সমীকরণ খুঁজুন। (1) ফোকাস পয়েন্টগুলি \( (3 \sqrt{2}, 0),(-3 \sqrt{2}, 0) \) তে রয়েছে এবং ফোকাস পয়েন্ট থেকে দূরত্বের পার্থক্য 6। (2) ফোকাস পয়েন্টগুলি \( (0, \sqrt{26}),(0, -\sqrt{26}) \) তে রয়েছে এবং ফোকাস পয়েন্ট থেকে দূরত্বের পার্থক্য $6 \sqrt{2}$।

ধরা যাক TR একটি শূন্য নয় এমন ধ্রুবক। পরাবৃত্ত $y^{2}=4 p x$ এবং সরলরেখা $y=2 p t$ এর ছেদবিন্দু বিবেচনা করে, $t$ কে প্যারামিটার হিসাবে ব্যবহার করে এই পরাবৃত্তটিকে প্রকাশ করুন।

নিম্নলিখিত 99 দেয়া অভিলম্বের কেন্দ্রযুগল ও স্পর্শক রেখা বের করো: (1) দুটি বিন্দু \( (\sqrt{29}, 0),(-\sqrt{29}, 0) \); দুটি রেখা y=rac{2}{5} x, y=-rac{2}{5} x ; চিত্র অনুপলব্ধ (2) দুটি বিন্দু \( (2\sqrt{2}, 0),(-2\sqrt{2}, 0) \); দুটি রেখা $y=x, y=-x$; চিত্র অনুপলব্ধ (3) দুটি বিন্দু \( (0, \sqrt{34}),(0,-\sqrt{34}) \); দুটি রেখা y=rac{5}{3} x, y=-rac{5}{3} x ; চিত্র অনুপলব্ধ

123 উপবৃত্ত x²+y²/4=1 কিন্তু বিন্দু (-1,0) বাদে

যখন বিন্দু \( \mathrm{A}(lpha) \), \( \mathrm{B}(eta) \) এবং মূল বিন্দু $\mathrm{O}$ একই সরলরেখায় থাকে, তখন বাস্তব সংখ্যা $x$-এর মান নির্ণয় কর।

অধ্যায় 4 কার্ভ ও সমীকরণ-105 EX সমন্বয় প্লেনে, যে কার্ভটি মেরু সমীকরণ $r=2 \cos heta$ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে তাকে $C$ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, এবং $C$ তে মেরু সমন্বয়গুলি যথাক্রমে \( { }^{4} 51\left(\sqrt{2}, rac{\pi}{4} ight),(2,0) \) এ থাকা বিন্দুগুলিকে যথাক্রমে $\mathrm{A}$ এবং $\mathrm{B}$ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। এছাড়াও, A এবং B দিয়ে চলমান সরলরেখাটিকে $\ell$ বলা হয়ে থাকে, এবং A কে কেন্দ্র করে এবং রেখা খণ্ড $\mathrm{AB}$ কে ব্যাস হিসাবে গণ্য করে বৃত্তটিকে $D$ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। (1) সরলরেখা $\ell$ এর মেরু সমীকরণ নির্ণয় করুন। (2) বৃত্ত $D$ এর মেরু সমীকরণ নির্ণয় করুন। [কানাজাওয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি]

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন হাইপারবোলার সমীকরণটি খুঁজুন: ① শিখরবিন্দুগুলি (1,0) এবং (-1,0) তে রয়েছে, এবং অ্যাসিম্পটোটগুলি y=3x এবং y=-3x; ② ফোকাসগুলি F(6,0) এবং F'(-6,0) তে অবস্থিত, এবং একটি শিখরবিন্দু (2√5, 0) তে রয়েছে; ③ হাইপারবোলার উপর একটি বিন্দু থেকে দুটি ফোকাস F(0, 5) এবং F'(0, -5) পর্যন্ত দূরত্বের পার্থক্য 8।

নিম্নলিখিত পরাবৃত্তগুলির ফোকাস এবং ডাইরেক্ট্রিক্স সন্ধান করুন, এবং তাদের চিত্র অঙ্কন করুন। (ア) $y^{2}=2 x$ (イ) $y^{2}=-8 x$

সমীকরণটি রূপান্তর করলে: 25(x^{2}+4x+2^{2})-25 * 2^{2}-4(y^{2}+6y+3^{2})+4 * 3^{2}-36 = 0 অতএব: 25(x+2)^{2}-4(y+3)^{2}=100 অর্থাৎ: \(rac{(x+2)^{2}}{4}-rac{(y+3)^{2}}{25}=1\) নিম্নলিখিত দ্বিঘাত বক্ররেখা এবং সরল রেখার কোনো সাধারণ বিন্দু রয়েছে কি? যদি থাকে, বিন্দুগুলি সংযোগ বিন্দু বা স্পর্শ বিন্দু কিনা তা উল্লেখ করুন এবং তাদের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। (1) 4x^{2} + 9 y^{2} = 36 এবং 2x - 3y = 0

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা একটি হাইপারবোলার সমীকরণ খুঁজে বের করুন: (1) শীর্ষবিন্দুগুলি (1,0) এবং (-1,0), এবং আসিম্পটোটগুলি y=3x এবং y=-3x (2) ফোকাসগুলি হল (6,0) এবং (-6,0), একটি শীর্ষবিন্দু হল (2√5, 0) (3) হাইপারবোলার উপরিতল থেকে ফোকাস F(0,5) এবং F' (0,-5) পর্যন্ত নিশ্চিত দূরত্বের পার্থক্য 8।

প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর পথ

রেখাঙ্কন $2 x-3 y+6=0, x+5 y-5=0$ দ্বারা গঠিত তীক্ষ্ণ কোণটি খুঁজে বের করুন।

83 (1) বিন্দু 1-i কে কেন্দ্র ধরে 4 ব্যাসার্ধের বৃত্ত (2) বিন্দু 1 কে কেন্দ্র ধরে 2 ব্যাসার্ধের বৃত্ত

সমান্তরলম্ববিশিষ্ট চতুর্ভুজ হওয়ার প্রমাণ

উপরে দেওয়া উদাহরণের মতো, x=rac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, y=rac{4 t}{1+t^{2}} ( t প্যারামিটার ) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \( (x, y) \) কোন ধরনের বক্ররেখা পূরণ করে?

বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=25$ কে $y$ অক্ষের ভিত্তিতে $x$ অক্ষের দিকে $\frac{3}{5}$ গুণ বাড়ালে, এটি কী ধরনের বক্ররেখা হয়ে যাবে?

বিন্দু \( (1,3) \) থেকে এলিপ্স rac{x^{2}}{12}+rac{y^{2}}{4}=1 এ অঙ্কিত স্পর্শক রেখার সমীকরণ নির্ণয় করুন।

মূলবিন্দু O এর উপর মুলবিন্দু সমন্বিত ধারার জন্য নিম্নলিখিত বৃত্তের মুলবিন্দু সমীকরণ নির্ধারণ করুন: (1) কেন্দ্রটি মূলবিন্দু O তে অবস্থিত এবং ব্যাসার্ধ 3 এর একটি বৃত্ত (2) A বিন্দুটি যেখানে কেন্দ্র, যেখানে A এর মুলবিন্দু সমন্বয় (4,0), এবং ব্যাসার্ধ 4

নিম্নলিখিত $x, y$ সমীকরণগুলি কী ধরনের চিত্র উপস্থাপন করে? (1) $4 x^{2}+9 y^{2}-8 x+36 y+4=0$ (2) $9 x^{2}-4 y^{2}+54 x+16 y-79=0$

বিন্দু \( \mathrm{A}(a, 0) \) কে কেন্দ্র করে $a$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আছে। ঐ বৃত্তের উপর কোন একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং বিন্দু $\mathrm{O}$ এর সাথে $\mathrm{OP}$ রেখাংশ সংযুক্ত করি। 1261 এদের একটি প্রান্ত হিসেবে $\mathrm{OP}$ নিয়ে $\mathrm{OPQR}$ একটি সমকোণী চারকোণা বানাই। বিন্দু $\mathrm{Q}$ এর গতিপথের মেরু সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমান্তরাস্তা সমতলে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সন্তুষ্টকারী বিন্দু $z$-র সেটটি কী জ্যামিতিক চিত্র দেখায়? (1) $|z-1-i|=\sqrt{2}$ (2) $|z-2 i|=|z-4|$

বিন্দুগুচ্ছের প্লেনে একটি বৃত্তের সমীকরণ বের করুন। কেন্দ্রে কা-র স্থানাঙ্ক (a, b) এবং ব্যাসার্ধ r।

বিন্দু C(0,0,c) দিয়ে এবং xy তলে সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ: z=c

নিম্নলিখিত উপবৃত্তটির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাখ্যা করুন। x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করুন। (1) এর ফোকাস হলো (2,0) এবং (-2,0), এবং উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু থেকে এই ফোকাসগুলির দূরত্বের যোগফল $2 \sqrt{5}$; (2) এর ফোকাস হলো ($0, \sqrt{5}$,($0,-\sqrt{5}$) এবং উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু থেকে এই ফোকাসগুলির দূরত্বের যোগফল 6।

প্রতিটি পার্শের দৈর্ঘ্য 1 এর একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ OABC দেওয়া আছে, যার OA এবং OB এর মধ্যবিন্দুগুলি যথাক্রমে P এবং Q। R বিন্দু হল OC পার্শকে 3:2 অনুপাতে বিভক্ত করে এমন বিন্দু। $\triangle PQR$ এর মধ্যবিন্দু G নির্ণয় করুন।

81 (1) 1/2 - i কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং ব্যাসার্ধ 3 এর বৃত্ত (2) -3i এবং -1 বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী রেখাংশের লম্ব দ্বিবিভাজিকা

উপবৃত্তের সমীকরণের নির্ধারণ

রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থান

নিম্নলিখিত উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করুন। উপবৃত্ত rac{x^{2}}{81}+rac{y^{2}}{9}=1

নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে, $riangle OAB$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $S$ নির্ণয় করো। (1) যখন $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=2$ (2) যখন বিন্দু তিনটি \( O(0,0), A(1,-3), B(2,2) \) শীর্ষবিন্দু হয়

বিন্দু এবং সমতলের মধ্যে দূরত্ব

বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুর পথ

(2) বিন্দু \( \mathrm{A}(1,0,-5), \mathrm{B}(-1,1,2), \mathrm{C}(2,1,-4) \) এর মধ্য দিয়ে যে সমতল যায়

44 ক্রমানুসারে (1) \( (2,0), 1 \) (2) \( \left(1, rac{5}{3} \pi ight), 3 \)

ধরা যাক, মেরু হল O। যে সরলরেখাটি মেরুস্থানাঙ্ক \( \left(\sqrt{3}, rac{\pi}{6} ight) \) বিশিষ্ট বিন্দু $\mathrm{A}$-এর মধ্য দিয়ে যায় এবং সরলরেখা $\mathrm{OA}$-এর লম্ব হবে তার মেরুসমীকরণ নির্ণয় কর।

সমদূরবর্তী বিন্দু

বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=16$ কে $y$ অক্ষ বরাবর rac{1}{2} গুণ সংকুচিত করে যে উপবৃত্তটি তৈরি হয় তার সমীকরণ বের করুন। [হোক্কাইডো প্রযুক্তি ইনস্টিটিউট]

প্রদত্ত বিন্দুসমুহ \( \mathrm{A}(2+i), \mathrm{B}(5+2 i), \mathrm{C}(3+3 i) \) এর অংশ হিসাবে $riangle \mathrm{ABC}$-এ ngle \mathrm{BAC} এর পরিমাপ নির্ণয় করুন।

(2) স্থানাঙ্ক তলে, তিনটি বিন্দু \( \mathrm{F}(-5,0), \mathrm{F}^{\prime}(5,0), \mathrm{Q}(x, y) \), যেখানে $x>0$। যখন ত্রিভুজ $\mathrm{FF}^{\prime} \mathrm{Q}$ এর অন্তবৃত্ত \( (3,0) \) বিন্দুতে $x$ অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন বিন্দু $\mathrm{Q}$ এর অবস্থান নির্ধারিত হয়। উত্তর বিকল্প: (0) $\mathrm{QF} \cdot \mathrm{QF}^{\prime}$ নির্দিষ্ট (1) $\left|\mathrm{QF} - \mathrm{QF}^{\prime}\right|$ নির্দিষ্ট (2) $\mathrm{QF} + \mathrm{QF}^{\prime}$ নির্দিষ্ট (3) $\mathrm{QF}^{2} + \mathrm{QF}^{\prime 2}$ নির্দিষ্ট বিন্দু Q দুটি বিন্দু $F, F^{\prime}$ কে ফোকাস হিসেবে এবং দুটি বিন্দু \( ( \pm \square, 0) \) কে শীর্ষ বিন্দু হিসেবে ধরার হাইপারবোলার সেই অংশে অবস্থিত যেখানে $x>0$। সেই হাইপারবোলার সমীকরণ হল নিম্নরূপঃ:

O কে হিসাবে ধরে মেরুস্থানাংক সিস্টেমে, নিম্নলিখিত বৃত্তগুলির মেরুসমীকরণ নির্ণয় করুন। (1) মেরু $\mathrm{O}$ -কে কেন্দ্র ধরে, ব্যাসার্ধ 5 এর বৃত্ত (2) মেরুস্থানাংক \( (5,0) \) পয়েন্ট A কে কেন্দ্র ধরে, ব্যাসার্ধ 5 এর বৃত্ত

নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক বক্ররেখাগুলি কোন আকৃতি আঁকবে? (1) $x=3t-2, \quad y=-6t+5$ (2) $x=t+1, \quad y=\sqrt{t}$ (3) x=rac{\sin heta}{3}, \quad y=rac{\cos heta}{3}

নিম্নলিখিত হাইপারবোলার ফোকাস এবং আসিম্পটোট নির্ণয় করুন, এবং তাদের সামগ্রিক আকৃতি আঁকুন। (1) rac{x^{2}}{25}-rac{y^{2}}{4}=1 (2) $x^{2}-y^{2}=4$ (3) $25 x^{2}-9 y^{2}=-225$

নিম্নলিখিত হাইপারবোলার ফোকাস এবং অ্যাসিম্পটোটগুলি নির্ধারণ করুন এবং তাদের সাধারণ আকৃতির স্কেচ আঁকুন। (1) rac{x^{2}}{25}-rac{y^{2}}{4}=1 (2) $x^{2}-y^{2}=4$ (3) $25 x^{2}-9 y^{2}=-225$

দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, বহুভুজের এলাকা

নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করে এমন উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর: (2) ফোকাসবিন্দু \( (0, \sqrt{5}) \) এবং \( (0, -\sqrt{5}) \), এবং উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু থেকে ফোকাসবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি 6।

হাইপারবোলা rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0) সম্পর্কে নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন। 1. হাইপারবোলার ফোকাসের স্থানাঙ্কগুলি নির্ণয় করুন। 2. হাইপারবোলার একটি বিন্দু থেকে দুটি ফোকাস পর্যন্ত দূরত্বের পার্থক্য কত? 3. হাইপারবোলার আসীম্পটোসগুলি নির্ণয় করুন।

হাইপারবোলা $4x^2 - y^2 = 4$ এবং সরলরেখা $4x + \sqrt{3}y = -2$ এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

বিন্দু S এর মেরু স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন: (−2, 0)