প্লেন জ্যামিতি - জ্যামিতিক প্রমাণ

ডি মরগ্যানের নিয়ম মোট সম্পূর্ণ সেট U এর উপসেট A এবং B এর জন্য \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \quad (ডি মরগ্যানের নিয়ম)সত্য। একটি চিত্র ব্যবহার করে এটি যাচাই করুন।

নিম্নলিখিত সরলরেখাগুলির মেরু সমীকরণগুলি খুঁজুন। (1) প্রাথমিক রেখা OX-এ বিন্দু A(3/2, 0) দিয়ে অতিক্রম করে এবং প্রাথমিক রেখার সাথে লম্ব সরলরেখা। (2) মেরু O দিয়ে অতিক্রম করে এবং প্রাথমিক রেখার সাথে -π/4 কোণ তৈরি করে এমন সরলরেখা।

পথ এবং উপবৃত্ত

একক বৃত্তের উপর তিনটি ভিন্ন বিন্দু \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta), \mathrm{C}(\gamma) \) এবং এই বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু \( \mathrm{H}(z) \) এর ক্ষেত্রে, যখন সমীকরণ z=lpha+eta+\gamma সন্তুষ্ট হয়, তখন প্রমাণ করুন $\mathrm{H}$ হল $riangle \mathrm{ABC}$-এর লম্বকেন্দ্র।

আমরা পৃষ্ঠা 55 এবং 56-এ সমতলে ভেক্টর সমীকরণের সম্পর্কে শিখেছি। এখানে, আসুন সমতলের সমীকরণ এবং স্থানীয় ভেক্টর সমীকরণ নিয়ে চিন্তা করি। ১. সমতলের সমীকরণ যেমন পৃষ্ঠা 78-এ উল্লেখ করা হয়েছে যে, একটি সরল রেখাতে না থাকা ৩টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটিমাত্র সমতল অতিক্রম করে। একে একটি বিন্দু A এবং একটি শূন্য নয় এমন ভেক্টর n ব্যবহার করেও নির্ধারণ করা যায়। বিন্দু A-এর মধ্য দিয়ে ভেক্টর n-এর লম্ব কোনো সোজা রেখা অনেকগুলো হতে পারে। সেসব অনেকগুলো সোজা রেখা সমতল তৈরি করে। এখন সমতলের সমীকরণ বের করি। বিন্দু A(x1, y1, z1)-এর মধ্য দিয়ে এবং শূন্য নয় এমন ভেক্টর n(a, b, c)-এর লম্ব সমতলের বিন্দু হলো P(x, y, z)। (১) যখন A এবং P এক নয়, n⊥AP থেকে n·AP=0। যেহেতু AP=(x-x1, y-y1, z-z1), সেখান থেকে পাই n·AP=0 থেকে a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 (* যখন A এবং P এক হয়ে যায়, AP=0 থেকে n·AP=0 হয়, সেক্ষেত্রে (*) সঠিক। (*) হলো বিন্দু A-এর মধ্য দিয়ে এবং ভেক্টর n-এর লম্ব সমতলের সমীকরণ। (২) (১)-এর (*)-কে সাজিয়ে আবার তৈরি করা হলো a*x+b*y+c*z - a*x1 - b*y1 - c*z1 = 0 -a*x1 - b*y1 - c*z1 = d হিসাবে ধরা। a*x+b*y+c*z+d=0 \longleftarrow -a*x1 - b*y1 - c*z1 হলো একটি ধ্রুবক। এটি সাধারণত সমতলের সমীকরণের সাধারণ রূপ হিসেবে অভিহিত করা হয়।

বাহ্যিক বিভাজন বিন্দুর স্থান ভেক্টরের প্রমাণ। ধরুন $m > n$ ক্ষেত্রে। $m < n$ ক্ষেত্রেও একইরকম। রেখাংশ $\mathrm{AB}$-কে $m$ অনুপাতে বহির্ভাগে বিভাজিত বিন্দুকে \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) হিসাবে ধরুন। যেহেতু \( \mathrm{AP}: \mathrm{AB} = m:(m-n) \), তাই $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$। অতএব, \( \vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m-n} (\vec{b} - \vec{a}) \)। বাহ্যিক বিভাজন বিন্দুর সূত্র অভ্যন্তরীণ বিভাজন বিন্দুর সূত্রে $n$-কে $-n$-এ রূপান্তর করা দ্বারা প্রাপ্ত হয়।

xy সমতলে, উপবৃত্ত x²/4 + y² = 1 কে x অক্ষের দিকে 1 একক এবং y অক্ষের দিকে a একক সরানো হলে এবং উৎপন্ন উপবৃত্ত উৎপত্তিস্থল দিয়ে যায়, তবে a=।

সরলরেখা x-√3y+3=0 এবং √3x+3y+1=0 এর মধ্যে গঠিত তীক্ষ্ণ কোণ নির্ণয় করুন।

হাইপারবোলা উপর যে কোনো বিন্দু P থেকে দুটি সংশ্রব রেখায় লম্ব লাইন PQ এবং PR আঁকুন। দেখাও যে এই লাইন বিভাগগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফল PQ · PR একটি ধ্রুবক হয়।

রেখাংশ BF এর উপর একটি বিন্দু P নিন, যার y সমন্বয় a। বিন্দু P থেকে CE রেখায় আঁকা লম্ব রেখা এবং বিন্দু C থেকে EP রেখায় আঁকা লম্ব রেখার ছেদবিন্দু H। এই সময়, a ব্যবহার করে EP ভেক্টর প্রকাশ করুন এবং a ব্যবহার করে বিন্দু H এর সমন্বয়ও প্রকাশ করুন।

একটি দ্বিঘাত বক্ররেখার প্যারামেট্রিক উপস্থাপনা (1)

অধ্যায় 4 সমীকরণ এবং রেখাচিত্র- 99 (2) বিন্দু \( (2,1) \) থেকে অতিক্রম করা স্পর্শরেখা $x$ অক্ষে লম্ব নয়, তাই এর সমীকরণ হল \( \quad y=m(x-2)+1 \), অর্থাৎ $y=m x-2 m+1$। অতএব, (1) এর রেখার সমীকরণে যখন $n=-2 m+1$ \[m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0\] অর্থাৎ $3 m^{2}-4 m-3=0$। যদি এই দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমাধান lpha, eta হয়, তবে lpha, eta দুটি স্পর্শরেখার ঢালকে প্রকাশ করে। মূল এবং গুণকের সম্পর্ক অনুযায়ী \quad lpha eta=rac{-3}{3}=-1 । অতএব, দুটি স্পর্শরেখা লম্ব। (1) এর ফলাফল ব্যবহার করা যেতে পারে। দুটি রেখা লম্ব হয় $\Longleftrightarrow$ তাদের ঢালগুলির গুণফল -1 হয়।

অধ্যায় 1 সমতলে ভেক্টর (3) বিন্দু C, E, F যথাক্রমে বিন্দু B এর জন্য y অক্ষ, উত্স এবং x অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হওয়ায়, বিন্দু C, E, F এর স্থানাঙ্কগুলি হল \[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \] এছাড়াও, বিন্দু \mathrm{P} এর স্থানাঙ্ক হল \( (1, a) \) সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ \[ egin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \] পরে, যেহেতু বিন্দু \mathrm{H} \mathrm{P} বিন্দু থেকে \mathrm{CE} সরলরেখার উপর খাড়া বরাবর অবস্থিত, সুতরাং \mathrm{H}(x, a) ধরে নেওয়া যায়। তখন \( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \) \[ (x+1, a-\sqrt{3}) \] যেহেতু $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EP}}$, তাই $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$ এবং \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \) $2 x+a^{2}-1$ যার দ্বারা $2 x+a^{2}-1=0$ তাই x=rac{1-a^{2}}{2} সুতরাং, বিন্দু \mathrm{H} এর স্থানাঙ্ক হল \( \left(rac{1-a^{2}}{2}, a ight) \)

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন একটি হাইপারবোলার সমীকরণ খুঁজুন: (1) ফোকাস পয়েন্টগুলি (3√2, 0) এবং (-3√2, 0) তে রয়েছে এবং ফোকাস থেকে দূরত্বের পার্থক্য 6, (2) ফোকাস পয়েন্টগুলি (0, √26) এবং (0, -√26) তে রয়েছে এবং ফোকাস থেকে দূরত্বের পার্থক্য 6√2

সুতরাং, যদি বিন্দু D BC প্রান্তিকে 5:3 অনুপাতে ভাগ করে, বিন্দু P AD প্রান্তিকে 4:1 অনুপাতে বিভাজন করে অবস্থান করে। (2) ΔPBC = (1/5)ΔABC = (2/10)ΔABC \[ egin{array}{l} ΔPCA = (4/5)ΔADC = (4/5) × (3/8)ΔABC = (3/10)ΔABC \\ ΔPAB = (4/5)ΔABD = (4/5) × (5/8)ΔABC = (5/10)ΔABC সুতরাং, ΔPBC:ΔPCA:ΔPAB = 2:3:5 \end{array} \]

সাধারণভাবে, ভেক্টর ব্যবহার করে বিন্দু \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) থেকে রেখা $\ell: a x + b y + c = 0$ পর্যন্ত দূরত্ব $d$ প্রমাণ করুন।

স্থানাঙ্ক তলে, যখন 6 দৈর্ঘ্যের সরলরেখা AB এর প্রান্ত A এবং B যথাক্রমে y-অক্ষ এবং x-অক্ষে চলাচল করে, তখন সরলরেখা AB কে 3:1 অনুপাতে বহিরাগমনকারী বিন্দু P এর পথ নির্ণয় করুন।

বিষম বৃত্ত $C^{\prime}$ এর ওপর বিন্দু \( \left(3, rac{16}{5} ight) এ স্পর্শকের সমীকরণ কী?

ধরি, AB কর্ডটি উপবৃত্তের ফোকাস দিয়ে যায় এবং ছোট অক্ষের সমান্তরাল। প্রমাণ করুন যে ছোট অক্ষের দৈর্ঘ্যের বর্গটি বড় অক্ষের দৈর্ঘ্য এবং কর্ড AB এর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান।

চতুর্ভুজ OABC এর পার্শ্ব OA এবং OC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে L এবং M, রেখাংশ ML এবং প্রান্ত AB কে 2:1 অনুপাতে ভাগকারী বিন্দু যথাক্রমে P এবং Q। প্রান্ত OB কে 2:1 বাহ্যিক অনুপাতে ভাগকারী বিন্দু N এবং রেখা BC ও রেখা MN এর ছেদ বিন্দু হচ্ছে R। (1) \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c} হলে, OR কে \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} এর সাহায্যে প্রকাশ করুন। (2) প্রমাণ কর যে চতুর্ভুজ PQRM একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ।

ধরা যাক রেখাংশ $\mathrm{BD}$ এর মধ্যবিন্দু $\mathrm{M}$ এবং রেখা $\mathrm{AM}$ এবং রেখা $\mathrm{CD}$ এর ছেদবিন্দু $\mathrm{N}$। বাস্তব সংখ্যা $r$ এবং $s$ ব্যবহার করে \ ( \overrightarrow{\mathrm{ON}} \) এর দুটো প্রকাশ নিয়ে কাজ করুন, যথা \ ( \overrightarrow{\mathrm{ON}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + r \overrightarrow{\mathrm{AM}} \), \ ( \overrightarrow{\mathrm{ON}} = \overrightarrow{\mathrm{OD}} + s \overrightarrow{\mathrm{DC}} \), $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ সমাধানের জন্য।

TRAINING 29 (3) $\mathrm{ABC}$ নামক একটি অ-সমকোণী ত্রিভুজ দেওয়া আছে যার পরিকেন্দ্র $\mathrm{O}$। $\mathrm{H}$ বিন্দুটি নিন যা $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ পূরণ করে। দেখান যে $\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}$।

O কে পোলার কোঅর্ডিনেটে কেন্দ্র করে নিম্নলিখিত সরলরেখার পোলার সমীকরণ খুঁজে বের করুন। (1) প্রাথমিক রেখা OX এর উপর বিন্দু A(2,0) এর মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী এবং প্রাথমিক রেখার লম্বভাবে সরলরেখা। (2) পোলার O এর মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী এবং প্রাথমিক রেখার সাথে π/3 কোণ তৈরি করা সরলরেখা। GUIDE: যখন এক সমতলে অবস্থিত রেখাকে পোলার কোঅর্ডিনেট (r, θ) এর সমীকরণ r=f(θ) অথবা F(r, θ)=0 দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তখন এই সমীকরণই সেই রেখার পোলার সমীকরণ হয়। 1. আকারের উপর অবস্থিত বিন্দু P এর পোলার কোঅর্ডিনেট (r, θ) ধরে নিন। 2. আকারের উপর বিন্দু P যেসব শর্ত পূরণ করে তা সমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন। (1) সমকোণী ত্রিভুজ OAP এর উপর জোর দিন।

যখন বিন্দু $z$ কেন্দ্র $i$ এবং ব্যাসার্ধ 2 সহ একটি বৃত্তে চলে, তখন w=rac{z-i}{z+i} দ্বারা প্রকাশিত বিন্দুটি কোন ধরনের চিত্র তৈরি করবে? ধরে নেওয়া যাক $z eq-i$।

116 (1) (অ) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (আ) r=2 sin θ (2) (অ) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4