মৌলিক ফাংশন - দ্বিঘাত ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ

দ্বিঘাত ফাংশন $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$-এর গ্রাফ সম্পর্কে, নিম্নলিখিত প্রশ্নটির উত্তর দিন। (2) যখন এটি $x$ অক্ষকে স্পর্শ করে, স্থিরাংক $k$-এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় করুন।

3টি বিন্দু \( (1,3),(2,5),(3,9) \) গ্রাফের মধ্য দিয়ে যায়। যে ২য় ডিগ্রির ফাংশনটি খুঁজে পেতে হবে তাহল $y = a x^{2} + b x + c$。

মৌলিক 76 | সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন শর্ত থেকে দ্বিঘাত ফাংশন নির্ধারণ

প্যারাবোলা $y = x^{2} + 2x - 1 \cdots \cdots$ (1) এর শীর্ষবিন্দু $\mathrm{P}$। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন: (1) $\mathrm{P}$ বিন্দুর $x$ অক্ষের প্রতি প্রতিসাম্য বিন্দু $\mathrm{Q}$ এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। (2) সেই প্যারাবোলার সমীকরণ নির্ণয় কর যা $x$ অক্ষের প্রতি প্রতিসাম্য।

দ্বিঘাত ফাংশন oldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c এর গ্রাফ আঁকুন (2)

২য় ডিগ্রির ফাংশন \( y=x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-3 \) এর গ্রাফ সম্পর্কে, নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দাও। (২) যখন এটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন স্থিরা $k$-এর মান এবং স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।

যে দ্বিঘাত ফাংশনটি বিন্দু (1,3), (2,5), এবং (3,9) দিয়ে যায় তা নির্ণয় করুন।

আমরা দ্বিতীয় গ্রাফিক ফাংশন $y=a x^{2}$ এর গ্রাফ সম্পর্কে শিখেছি। এখানে, আমরা $y=a x^{2}$ এর সাথে সম্পর্কিত $y=a x^{2}+b x+c$ এর গ্রাফ সম্পর্কে শিখব। এই উদ্দেশ্যে, \( y=a(x-p)^{2}+q \) রূপে দ্বিতীয় ফাংশনের গ্রাফ বোঝা গুরুত্বপূর্ণ, তাই আসুন তা বিস্তারিতভাবে দেখি।

দেওয়া শর্ত পূরণকারী দ্বিঘাত ফাংশনগুলি খুঁজে বের করুন। (1) একটি বক্ররেখা যা $y=-x^{2}-2x$ প্যারাবোলার স্থানান্তর দ্বারা তৈরি হয়েছে যা বিন্দু (-1, -2, 2, 1) দিয়ে যায়। (2) $x$ অক্ষের দিকে 2 এবং $y$ অক্ষের দিকে -3 স্থানান্তর করা হলে এটি (1, 2), (2, -2), এবং (3, -4) বিন্দুগুলি দিয়ে যায়।

দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ এবং x অক্ষের মধ্যে সম্পর্ক মৌলিক ৯০ দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ এবং অক্ষের যোগস্থানের সংখ্যা

দ্বিঘাত ফাংশন $y=x^{2}-6x+6$ এর গ্রাফ এবং $x$ অক্ষের যোগসাজশ পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

a এবং b বাস্তব সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করে, 2য় ডিগ্রী ফাংশন y=4x^{2}-8x+5 এবং y=-2(x+a)^{2}+b দ্বারা প্রদর্শিত প্যারাবোলার প্রতিটি শীর্ষবিন্দু এক হলে, ধ্রুবক a এবং b এর মান নির্ধারণ কর।

দ্বিতীয় ডিগ্রার ফাংশন $y=ax^{2}+bx+c$ এর গ্রাফ আঁকুন (1)

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণকারী দ্বিতীয় ডিগ্রীর ফাংশনগুলি খুঁজুন: (1) $y=-2 x^{2}$ প্যারাবোলাকে এমনভাবে স্থানান্তরিত করুন যাতে তার শিখর বিন্দু (-3,1) এ থাকে। (2) $y=x^{2}+2 x-3$ প্যারাবোলাকে এমনভাবে স্থানান্তরিত করুন যাতে এটি বিন্দুগুলি \( (-1,6),(3,2) \) এর মধ্যে দিয়ে যায়।

যে সকল দ্বিঘাত ফাংশন নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে তা খুঁজে বের করুন। (1) $x=3$ এ 1 এর সর্বাধিক মান নেয়, এবং $x=5$ এ $y=-1$ হয়। (2) $x=-2$ এ সর্বনিম্ন মান নেয়, এবং গ্রাফটি দুটি বিন্দু \( (-1,2) \) এবং \( (0,11) \) এর মধ্য দিয়ে যায়।

মান ৭৩ | দ্বিঘাত ফাংশনের সর্বোচ্চ মান থেকে গুণাঙ্ক নির্ধারণ

মৌলিক ৭২ | দ্বিঘাত ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান (২)

যে দ্বিতীয় ডিগ্রী ফাংশনের oldsymbol{x}=1 এ সর্বনিম্ন হয় এবং বিন্দু \( (0,3) \), \( (3,6) \) দিয়ে যায় তা খুঁজুন।

দ্বিঘাত ফাংশন \( oldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \) এর গ্রাফ আঁকুন

দ্বিঘাত ফাংশন y=α(x-p)²+q এর সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন ① যখন সীমানা অপারিবর্তিত থাকে (যখন সীমানা সম্পূর্ণ বাস্তব সংখ্যা সেট) a এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে দুটি ক্ষেত্র রয়েছে। যখন a>0 x=p এ q এর সর্বনিম্ন মান প্রাপ্ত হয় কোনও সর্বাধিক মান নেই যখন a<0 x=p এ q এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হয় কোনও সর্বনিম্ন মান নেই

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ এবং $x$ অক্ষের মধ্যে প্রতিস্থাপন বিন্দুর সংখ্যা নির্ধারণ করুন। (1) $y=3 x^{2}+x-2$ (2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$ (3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

যে ধ্রুবক $c$ এর মান নির্ধারণ করুন যাতে ফাংশন \( f(x)=x^2-10x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) এর সর্বাধিক মান 10 হয়।

যদি পর্বলয় $y = x^{2} + a x - 2$-এর শীর্ষবিন্দু সোজা রেখা $y = 2 x - 1$-এ থাকে, তাহলে ধ্রুবক $a$-এর মান নির্ণয় করুন।

দ্বিঘাত ফাংশন \( y=(x-3)^{2}+1 \) সম্পর্কে: 1) $1 \leqq x \leqq 4$ 2) $2 \leqq x \leqq 5$ 3) $4 \leqq x \leqq 5$ 4) $2 \leqq x$

দ্বিঘটিক ফাংশনটি নির্ণয় করুন যার শীর্ষবিন্দু (2,1) পয়েন্টে এবং পয়েন্ট (4,9) এর মধ্য দিয়ে যায়।

দেওয়া দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ এবং x-অক্ষের সাথে সংযোগস্থলের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন। (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

আসুন $y=ax^{2}+bx+c$ এই দ্বিতীয় ডিগ্রী বহুবচনটির গ্রাফ আঁকার ধাপগুলি সুবিন্যস্ত করি। নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করুন: (1) বর্গ সম্পন্ন করুন। (2) এটিকে \( y=a(x-p)^{2}+q \) আকারে লিখুন। (3) গ্রাফের বৈশিষ্ট্য পড়ুন। (4) যদি $a > 0$ হয় তাহলে এটি নিচের দিকে অভিসারিত (উপরে খোলে), যদি $a < 0$ হয় তাহলে এটি উচ্চতার দিকে অভিসারিত (নিচে খোলে)। (5) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (p,q) \) নির্ণয় করুন। (6) অক্ষটি রেখা $x=p$ এর সাথে মিলে যাবে। (7) প্রকৃতপক্ষে $y=x^{2}-6x+10$ এর গ্রাফটি আঁকুন।

দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ এবং x-অক্ষের অবস্থান সম্পর্ক মূল 91 দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ এবং অক্ষের মধ্যে সাধারণ বিন্দু থাকার শর্ত

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত ফাংশনের জন্য সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান, যদি থাকে, নির্ণয় করুন: (1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

মৌলিক 71 | দ্বিঘাত ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান (1)

ফাংশন $y=x^{2}+2 x-1$ এর জন্য নিম্নলিখিত সীমার মধ্যে সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মানগুলি (যদি থাকে) খুঁজুন। (1) $-3 \leqq x \leqq 0$ (2) $-2<x<1$ (3) $0 \leqq x \leqq 2$

নিম্নলিখিত ফাংশনের যদি সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান থাকে, তবে সেগুলি বের করুন। (1) \( y=x^{2}-2x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \) (2) \( y=2x^{2}-4x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \) (3) \( y=-x^{2}-4x+1(0 \leqq x \leqq 2) \) (4) \( y=x^{2}-4x+3(0<x<3) \)

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ আঁকুন এবং তাদের শীর্ষবিন্দু এবং অক্ষ নির্ণয় করুন। (1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \) (2) \( y=-rac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

নিম্নলিখিত দ্বিতীয় ধাপের ফাংশনের গ্রাফ এবং x-অক্ষের সাথে সম্পৃক্ত বিন্দুগুলির সংখ্যা নির্ধারণ করুন। (1) $y=x^{2}-x-3$ (2) $y=4 x^{2}+12 x+9$ (3) $y=-x^{2}+2 x-3$

নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া দ্বিঘাত ফাংশনটি খুঁজুন: (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

সংজ্ঞা ক্ষেত্র $0 \leqq x \leqq a$ এর উপর ফাংশন \( f(x)=(x-2)^{2} \)-এর সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মানগুলি খুঁজে বার করুন। ধরে নেওয়া হয় $a$ একটি ধনাত্মক ধ্রুবক। (1) $0<a<2$ (2) $2 \leqq a<4$ (3) $a=4$ (4) $4<a$

দ্বিঘাত ফাংশন \( f(x) = -x^2 + 6x - 7 \) এর ক্ষেত্রে, $a \leq x \leq a+1$ সীমার মধ্যে সর্বাধিক মান \( M(a) \)।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে, $1 \leqq x \leqq a$ পরিসীমার মধ্যে \( f(x)=-(x-3)^{2} \) ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মান খুঁজে বের করুন। এখানে $a$ একটি ধ্রুবক যা $a>1$ শর্ত পূরণ করে। (1) $1<a<3$ (2) $3 \leqq a<5$ (3) $a=5$ (4) $5<a$

৩টি বিন্দুর শর্ত থেকে দ্বিঘাত ফাংশন নির্ধারণ করুন

বিকাশ 81 | দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন এবং শব্দ সমস্যা (2)

মৌলিক বিষয়াবলী ৭৫ | শীর্ষবিন্দু ইত্যাদি শর্ত থেকে দ্বিঘাত ফাংশনের সিদ্ধান্ত নেওয়া

4. ২য় ঘাতের ফাংশন $y=6 x^{2}+11 x-10$ এর গ্রাফকে $x$ অক্ষের দিকে $a$ এবং $y$ অক্ষের দিকে $b$ স্থানান্তরিত করে গ্রাফ $F$ পাওয়া যায়। যখন $F$ অরিজিন (0,0) দিয়ে যায়, তখন নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন: (1) $a$ এর শর্তে $b$ কে প্রকাশ করুন। (2) যখন $F$ এর প্রতিনিধিত্বকারী ২য় ঘাতের ফাংশন \( f(x) \) $x=-2$ এবং $x=3$ এ একই মান নেয়, তখন $a$ এর মান এবং $-2 \leqq x \leqq 3$ পরিসরে \( f(x) \) এর সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান প্রদান করুন।

দ্বিঘাত ফাংশন \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) এর গ্রাফ সম্পর্কে, নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন। (1) যখন এটি $x$ অক্ষের সাথে কোনো বিন্দু ভাগ করে না, তখন ধ্রুবক $k$ এর মানের পরিসীমা নির্ধারণ করুন।

একটি দ্বিঘাত ফাংশন খুঁজুন এমন যে এর গ্রাফ নিচের মতো একটি পাব্লা গঠন করে। (1) শীর্ষবিন্দু (-1,3) এ এবং বিন্দু (1,7) দিয়ে যাওয়া একটি পাব্লা (2) যার অক্ষ সরলরেখা $x=1$ এবং বিন্দু (3,-6) এবং (0,-3) দিয়ে যাওয়া একটি পাব্লা

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত ফাংশনগুলির গ্রাফ এবং x অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি নির্ণয় কর। (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

বিন্দু \( (2,4) \) এ $y^{2}=8 x$ পরাবলাটির স্পর্শরেখা সমীকরণ বের কর।

বিষমবৃত্ত rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{2}=1 -এর উপরে বিন্দু \( (\sqrt{2}, 1) \)-এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

১১১ x=p t^{2}, y=2 p t \quad(p ≠ ০)

প্যারাবোলার $y=x^{2}-2tx+2$ (A) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক t-এর মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

১০৯ পরাবলয় $y=x^{2}-5 x+3$

উদাহরণ ১. সমীকরণ $৯ x^{2}+৪ y^{2}+৫৪ x-১৬ y+৬১=০$ এর চিত্র।

দ্বিঘাত রেখার মেরুদণ্ড সমীকরণ (1)

যে প্যারাবোলাটির সমীকরণ নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে তা বের করুন: (1) শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে রয়েছে, ফোকাস y অক্ষের উপর, এবং ডিরেক্ট্রিক্স বিন্দু (3,2) দিয়ে যায় (2) শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে রয়েছে, ফোকাস x অক্ষের উপর, এবং বিন্দু (-2, √6) দিয়ে যায়

দ্বিতীয় ডিগ্রী বক্ররেখার মেরু সমীকরণ (2)

উপবৃত্তের উপর \( rac{(x+4)^{2}}{25}+rac{(y+3)^{2}}{16}=1 \) বিন্দু \( \left(-1, rac{1}{5} ight) \) তে স্পর্শকের সমীকরণ বের কর।

একটি দ্বিঘাত বক্ররেখার বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ

নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে এমন প্যারাবোলার সমীকরণগুলি সন্ধান করুন। (1) শীর্ষবিন্দু উৎপত্তিস্থলে, ফোকাস y-অক্ষের উপর এবং ডিরেক্ট্রিক্স বিন্দু (3,2) দিয়ে যায়। (2) শীর্ষবিন্দু উৎপত্তিস্থলে, ফোকাস x-অক্ষের উপর এবং বিন্দু (-2, √6) দিয়ে যায়।

আসুন আমরা আরও তদন্ত করি যে সমীকরণ $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$ কী ধরনের আকার উপস্থাপন করে।