উন্নত ফাংশন - ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের প্রয়োগ

হাইপারবোলার ফোকাস এবং অ্যাসিম্পটট

যে বৃত্তের কেন্দ্র A-এর ধ্রুবীয় স্থানাঙ্ক \( \left(2, rac{\pi}{2} ight) \) এবং ব্যাসার্ধ 3, তার ধ্রুবীয় সমীকরণ বের করুন।

প্যারামেট্রিক ফর্মে প্রদত্ত বৃত্ত $x=a \cos heta, y=a \sin heta$ থেকে প্যারামিটার $heta$ বাদ দিয়ে মানক সমীকরণ নির্ধারণ করুন।

কেন্দ্র \( \left(3, rac{\pi}{6} ight) \) এবং ব্যাসার্ধ 2 দিয়ে বৃত্তের মেরু সমীকরণ নির্ণয় করুন। 1. $\mathrm{P}$ বিন্দুর মেরু স্থানাঙ্ক \( (r, heta) \) হিসাবে ধরুন। 2. $riangle \mathrm{OPA}$ তে কষাইন নিয়ম ব্যবহার করা উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে বিন্দু P যে শর্তটি পূরণ করে সেই শর্তটি একটি সমীকরণ আকারে প্রকাশ করুন।

নিম্নলিখিত মেরু সমীকরণগুলি কোন ধরনের বক্ররেখা উপস্থাপন করে? (1) $r=4 \cos heta$ (2) heta=-rac{\pi}{6} (3) $r \cos heta=2$ (4) \( r(\cos heta+\sqrt{3} \sin heta)=4 \)

ডি মোয়াভরের উপপাদ্য ব্যবহার করে, কোসাইন এবং সাইন সম্পর্কিত নিম্নলিখিত তিন গুণক কোণের সূত্রগুলি উদ্ভাবন করুন। তিন গুণক কোণের সূত্রগুলি: \cos 3 heta = 4 \cos ^{3} heta - 3 \cos heta \sin 3 heta = 3 \sin heta - 4 \sin ^{3} heta

ধ্রুবুসমীকরণ r=rac{3}{1+2 \cos heta} দ্বারা প্রদর্শিত বক্ররেখাকে $x$ এবং $y$ এর আয়তকার স্থানাঙ্কে রূপান্তর করুন।

(1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} \) \[ egin{aligned} \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} & =\cos \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right) \& =\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2} \& =i\n\end{aligned}\n\]

দ্বিঘাত বক্ররেখার স্থানান্তর

নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি কোন ধরণের বক্ররেখা প্রকাশ করে? (1) x=rac{2}{1+t^{2}}, \quad y=rac{2 t}{1+t^{2}} (2) x=t+rac{1}{t}, y=t^{2}+rac{1}{t^{2}}, \quad t>0

নিম্নোক্ত মেরু সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত বক্ররেখাগুলিকে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক $x, y$ এ রূপান্তরিত করুন এবং উত্তর দিন। (1) r=rac{4}{1-\cos heta} (2) r=rac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3} \cos heta}

নিম্নলিখিত মেরু সমীকরণের দ্বারা প্রকাশিত বক্ররেখাগুলি আয়তাকার স্থানাঙ্ক $x, y$-এর সমীকরণে প্রকাশ করুন। (আ) $r=\sqrt{3} \cos heta+\sin heta$ (ই) \( r^{2}\left(1+3 \cos ^{2} heta ight)=4 \)

(6) ধরে নিই \( x=\sin heta+\cos heta \cdots \cdots (1) \), \( y=\sin heta-\cos heta \cdots \cdots (2) \)। (1)+(2) $\div 2$ থেকে পাই \sin heta=rac{x+y}{2} , এবং (1)-(2) $\div 2$ থেকে পাই \cos heta=rac{x-y}{2} । এগুলোকে $\sin ^{2} heta+\cos ^{2} heta=1$-এ প্রতিস্থাপন করলে \[\left(rac{x+y}{2} ight)^{2}+\left(rac{x-y}{2} ight)^{2}=1\] সরলীকরণ করলে পাই $x^{2}+y^{2}=2$, অতএব বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=2$।

হাইপারবোলার প্যারামেট্রিক রূপটি খুঁজুন। প্যারামেট্রিক আকারে হাইপারবোলা rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1 এর বিন্দুগুলিকে প্রকাশ করুন।

ডিম্বাকৃতি এবং সর্বাধিক ক্ষেত্র

দ্বিঘাত বক্ররেখার পারামেট্রিক উপস্থাপনাগুলিকে সংক্ষিপ্ত করুন এবং প্রতিটি বক্ররেখার জন্য প্যারামিটারগুলি কীভাবে সরাতে হয় তা ব্যাখ্যা করুন।

নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি কোন আকারগুলি প্রতিনিধিত্ব করে? (1) $x=2 \cos heta, \quad y=3 \sin heta$ (2) $x=1+\cos heta, \quad y=\sin heta-2$ (3) $x=\frac{4}{\cos heta}+2, \quad y=3 an heta-1$

কমপ্লেক্স সংখ্যা \( r(\cos heta+i \sin heta) \) দিয়ে গুণ করা কোন ধরনের রূপান্তরকে বোঝায়?

একটি গাণিতিক $\mathrm{C}$ \n(2) থেকে $x=2 y-6$\n(1) এ প্রতিস্থাপিত করে \( \quad y^{2}=6(2 y-6) \)\nফলে $y^{2}-12 y+36=0$\nফলস্বরূপ, \( (y-6)^{2}=0 \) থেকে $\quad y=6$\nএই সময়ে, (4) থেকে $\quad x=6$\nঅতএব, এটি একটি স্পর্শ বিন্দু \( (6,6) \) আছে।\n(3) (2) কে 11-তে প্রতিস্থাপিত করে\n4 x^{2}-(2 x+1)^{2}=4\nফলস্বরূপ, $-4 x-1=4$ থেকে\nx=-\frac{5}{4}\nএই সময়ে, (2) থেকে $y=-\frac{3}{2}$\nঅতএব, এটি একটি আন্তঃবিন্দু \( \left(-\frac{5}{4},-\frac{3}{2}\right) \)।\n- $x$ বাতিল করার পদ্ধতি ব্যবহার করা গেলে ভগ্নাংশ এড়ানো যেতে পারে।\n$-y=6$ এও একটি দ্বৈত সমাধান আছে।\n(1), (2) থেকে y বাতিল করলে, $x$ এর জন্য একটি রৈখিক সমীকরণ প্রাপ্ত হয়।\n\longrightarrow (1) এবং (2) স্পর্শ বিন্দু ছাড়াও একটি আন্তঃবিন্দু আছে। মনে রাখবেন, রেখা (2) হল হাইপারবোলার (1) একটি সমাকলন রেখা, একরেখা $y=2 x$ এর সমান্তরাল।

ডি মোয়েভরের উপপাদ্য ব্যবহার করে, কোসাইন এবং সাইন সম্পর্কিত নিম্নলিখিত তিনগুণ কোণের সূত্রগুলি প্রমাণ করুন। তিনগুণ কোণের সূত্র \cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\] \[\sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta

বৃত্তের মেরু সমীকরণ(1)

দ্বিঘাত বক্রর প্যারামেট্রিক উপস্থাপনা (2)