Fundamentals of Probability - المتغيرات العشوائية

'نظرًا لأن التردد النسبي R يتبع نفس التوزيع كنسبة العينة ، فإن R مقرب تقريبًا إلى التوزيع الطبيعي N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n) أي N(1/6, 5/36n). لذا ، إذا تعريفنا Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n))، Z يميل تقريبًا إلى التوزيع N(0,1). وبالتالي ، \\[P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60) \\]\n\\[\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array} \\]\nلذلك ، القيم المطلوبة عند n=500 هي\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 \\]n=2000\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 \\]n=4500\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'يرجى إنشاء جدول يصف توزيع الاحتمالات للمتغير العشوائي X.'

'يُعرف اختيار عينة من تعداد مع إعادة واحدة تلو الأخرى كاختيار مع الاستبدال. على النقيض، مواصلة اختيار العناصر بدون إعادة بعد الاختيار يُعرف باختيار بدون استبدال. اختيار عينة بحجم n بشكل عشوائي من التعداد، وتعيين قيم المتغيرات في تلك العناصر n كـ X₁، X₂،...، Xₙ. عند الاختيار بالاستبدال، يمكن اعتباره كتجربة مُكرَرة لاختيار عينة عشوائية بحجم 1 n مرات. لذلك، X₁، X₂،...، Xₙ هي متغيرات عشوائية مستقلة تتبع كل منها توزيع التعداد.'

'العثور على النقطة المقابلة ل z = 5.93 بناءً على الجدول المعطى.'

'ما هو توزيع الاحتمال لعدد تذاكر الفوز التي تم رسمها قبل سحب تذكرتي فازتين في سحبة يتواجد فيها n (حيث n عدد صحيح أكبر من أو يساوي 3) تذكرة، منها 582 تذكرة ليس لها جائزة؟ '

'معدل دعم الحزب السياسي أ لدى الناخبين المؤهلين على مستوى البلاد هو 32٪. اترك المتغير العشوائي Xk يتوافق مع القيمة 1 إذا كان الشخص الذي تم اختياره عشوائيًا الذي يدعم الحزب أ هو الشخص رقم k ، و 0 إذا لم يكن كذلك ، من بين 100 ناخب تم اختيارهم عشوائيًا. ابحث عن القيمة المتوقعة E(X̄) والانحراف المعياري σ(X̄) لمتوسط العينة X̄.'

'ما هي احتمالية p_{n+1} التي تكون فيها جسيماتان في نفس النقطة بعد (n+1) ثانية؟'

'عندما تكون متغيرات الصدف X و Y ، فإن الناتج XY هو أيضًا متغير عشوائي ، و X و Y مستقلان عن بعضهما البعض ، ينطبق المبرهنة التالية. E(XY) = E(X)E(Y)。'

'استخدام الرموز للتعبير عن احتمال أن تأخذ المتغيرات العشوائية قيمة أكبر من أو تساوي a وأقل من أو تساوي b.'

'مثال 67 نسبة العينة والتوزيع الطبيعي'

'الفصل 2 استنتاج الإحصاء 8. المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية 9. تحويل المتغيرات العشوائية 10. جمع المتغيرات العشوائية والتوقعات 11. التوزيع الثنائي 12. التوزيع الطبيعي 13. السكان والعينة ، المتوسط العيني وتوزيعه 14. التقدير 15. اختبار الفرضيات'

'عند رمي النرد n مرات ، دع R تكون التردد النسبي للحصول على 1. ابحث عن قيمة P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) ل n=500, 2000, و 4500.'

'ما هو متغير عشوائي مستمر؟'

'تحويل المتغيرات العشوائية\nX هو متغير عشوائي، a و b ثوابت.\nعندما تكون Y=aX+b\nE(Y)=aE(X)+b\nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'فرض أن توزيع الاحتمالية المشتركة لمتغيرين عشوائيين X و Y معطى على النحو التالي:'

'بالنسبة لمتغيرين عشوائيين X و Y ، إذا كان X و Y مستقلين عن بعضهما البعض ، فيحدث V(X+Y) = V(X) + V(Y).'

'اختر إحدى تعريفين للتوزيع السالب الثنائي، وقم بحساب احتمال عدد التجارب X حتى يحدث الحدث A مرات k، أو عدد الفشل Y.'

'عند أخذ عينة عشوائية من حجم 100 من توزيع عادي بمتوسط \u200b\u200bسكاني 58 وانحراف معيار سكاني 12, قم بحساب الاحتمالات التالية.'

'نظرًا لأن حجم العينة n هو 900، فإن الفترة الثقافية بنسبة 95٪ للمتوسط السكاني m هي X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))'

'احسب الفاصل الزمني بنسبة ثقة 95٪ لمتوسط السكان m.'

'نطاق المتغير العشوائي X هو 0 ≤ X ≤ 1، ودالته الكثافة الاحتمالية هي f(x)=a(2-x). حيث a هو ثابت إيجابي.\n(1) ابحث عن قيمة a.\n(2) ابحث عن القيمة المتوقعة E(X) والانحراف V(X) للمتغير العشوائي X.'

'في الفترة الزمنية A <= m <= B ، كيف سيؤثر الفترة الزمنية بنسبة 99٪ E <= m <= F لمتوسط السكان m المُستحصَل من نفس العينة على عرض نطاق مُقارنةً بـ A <= m <= B؟ الرجاء تحديد من بين الخيارات التالية:'

'عند رمي النردين معًا ، دعنا نستدعي X الرقم الأصغر. احسب ما يلي: إذا ظهر نفس الرقم ، فتأخذ هذا الرقم كـ X.'

'قم برمي ثلاثة نردات من الحجم الكبير والمتوسط والصغير في نفس الوقت. استخدم الأرقام على النرد الكبير والمتوسط والصغير كأرقام المئات والعشرات والواحدات على التوالي، لإنشاء عدد صحيح من ثلاثة أرقام. اعثر على القيم المتوقعة التالية:\n(1) القيمة المتوقعة لمجموع الأرقام\n(2) القيمة المتوقعة للعدد الصحيح من ثلاثة أرقام'

'لنكن n عددًا طبيعيًا أكبر من أو يساوي 8. من 1 و 2 و ... و n ، اختر 6 أرقام مختلفة بشكل عشوائي ورتبها تصاعديًا كX_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6}.\n(1) اعثر على احتمالية p_{n} التي X_3=5.\n(2) ابحث عن العدد الطبيعي n الذي يزيد من قيمة p_n.'

'الحكم بواسطة اختبار الفرضيات (2)'

'النقطة P في البداية في النقطة O على الخط العددي، وعند كل مرة يتم فيها رمي النرد، إذا كان الرقم زوجيًا، يتم التحرك 3 وحدات في الاتجاه الإيجابي، وإذا كان الرقم فرديًا، يتم التحرك 2 وحدة في الاتجاه السالب. عند رمي النرد 10 مرات، فإن احتمال أن تكون النقطة P في النقطة O هو A. كما أنه عند رمي النرد 10 مرات، فإن احتمال أن تكون إحداثيات النقطة P أقل من أو تساوي 19 هو B.'

'احتمال الحصول على النتيجة السليمة تمامًا 5 مرات من بين 6 محاولات هو ${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$، واحتمال حدوث النتيجة السليمة في كل 6 محاولات هو $(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$، وجمع هذه الاحتمالات يساوي $\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$.'

'يرغب الشخص في التحقق من فعالية دواء يُعطى لمرض معين. بافتراض أن نسبة الذين يُعتبرون فعالين بعد إعطاء الدواء هي 33% إلى 63%. باختيار n أفراد بشكل عشوائي من المرضى المصابين بالمرض, وتعريف متغير عشوائي X_i على أنه 1 إذا م تم استشفاف فعالية الدواء في المريض i ، و 0 في غير ذلك.\n(1) تحديد المتوسط والانحراف المعياري لمتوسط العينة \ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \. \n(2) باختيار 400 أفراد عشوائياً من المرضى المصابين بالمرض, تم ملاحظة فعالية الدواء في 320 شخصًا. تحديد الفاصل الزمني بنسبة ثقة 95% لنسبة السكان ، مقربًا إلى الرقم العشري الثالث. افترض أن حجم العينة 400 كبير بما فيه الكفاية. [جامعة كيوشو]'

'نسبة تأييد الحزب أ في مدينة معينة هي 64٪. عند اختيار 100 شخص عشوائيًا من الناخبين في هذه المدينة، دعنا نعرف المتغير العشوائي الذي يسند قيمة 1 إذا كان الشخص رقم k المختار يعمل على دعم الحزب أ و 0 إذا لم يكن كذلك على أنه X_k.'

'عند استخراج عينات من الحجم 2 من السكان {A، B، C، D} ، قم بسرد جميع العينات الممكنة في كل حالة. (1) مع الاستبدال (2) بدون استبدال - [1] مستخرج توالياً [2] مستخرج بشكل متزامن (3) 1!'

'في كيس، هناك كرة بيضاء واحدة، كرات حمراء 2، وكرات زرقاء 3. عند سحب 2 كرة من الكيس بدون استبدال، دع X يكون عدد الكرات الحمراء المستخرجة واسمح Y يكون عدد الكرات الزرقاء المستخرجة. اعثر على التوزيع المشترك لـ X و Y.'

'باعتبار التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات العشوائية X و Y في الجدول التالي ، ابحث عن Var (3X + 2Y) و Var (6X - 4Y). بافتراض أن X و Y مستقلين.'

'بنظر الاطلاع على جميع الطلاب في جامعة بي كومجموعة سكانية ونسبة أمهات 0.2 للأفراد من مقاطعة أ، وحجم عينة عشوائية 400، تتبع المتغيرات العشوائية ال X توزيع بينومي B(400,0.2). لذلك، متوسط قيمة E(X) والانحراف المعياري σ(X) لـX هم E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'ابحث عن P(190 ≤ X ≤ 220).'

'بين جميع طلاب جامعة بي, 20% من محافظة A. دع X يكون عدد سكان محافظة A بين 400 طالب تم اختيارهم عشوائيًا من جامعة بي. ابحث عن القيمة المتوقعة والانحراف المعياري لـ X.'

'عندما يتم رمي نرد سداسي الأوجه 360 مرة، فلنفترض أن X هو عدد مرات ظهور الوجه رقم 6. حدد احتمال أن يقع X ضمن النطاقات التالية. افترض أن √2 = 1.41.\n(1) 50 ≤ X ≤ 60\n(2) |X/360 - 1/6| ≤ 0.05'

'نفترض طلاباً حيث نسبة الطلاب الذين لم يقروا كتابًا أبدًا هي 0.5. في هذه الحالة، دع X تكون المتغير العشوائي الذي يمثل عدد الطلاب الذين لم يقروا كتابًا في عينة عشوائية تتكون من 100 طالب. أي توزيع يتبع X؟ بالإضافة إلى ذلك، ما هي المتوسطة (القيمة المتوقعة) والانحراف المعياري لـ X؟'

'ترغب في التحقيق في فعالية دواء معين يُعطى لمرض معين. لنفترض أن نسبة المرضى الذين يُعتبرون لديهم تأثير بعد تناول الدواء هي p. تحديد n مريضًا بالمرض عشوائيًا ، إذا لوحظ تأثير الدواء في المريض i ، فإنه 1 ، وإلا 0 ، مما يعرف بالمتغير العشوائي Xi.'

'من المعروف أن نسبة الأولاد الرضَّع إلى البنات في مدينة A هي متساوية. في عام معين، عند اختيار n أفراد بشكل عشوائي من الرضَّع في مدينة A، فلنكن Xk هو المتغير العشوائي الذي يسند قيمة 1 إذا كان الرضيع الذي يأتي في المرتبة k هو ولد و0 إذا كانت بنت.'

''

'فكر في لعبة حيث يتم رمي النرد، الحصول على 0 نقطة عندما يظهر الوجه 1 أو 2، وحصول على نقطة واحدة عندما يظهر الوجه 3 أو 4 أو 5، والحصول على 100 نقطة عندما يظهر الوجه 6. دع X يكون الباقي عندما يتم قسم النقاط الإجمالية من 80 ألقاب على 100. ابحث عن احتمال أن يكون X أقل من أو يساوي 46. بالنظر إلى أن √5 = 2.24.'

'هناك علاقة إيجابية'

'الجدول على اليمين يلخص درجات اختبارات الرياضيات والإنجليزية التي أُجريت مرتين في صف صغير يضم 10 طلاب، بإجمالي 100 نقطة.'

"في المخطط المبعثر على اليمين ، 198 ممارسة رياضيات 187 هي اختبارات من 100 نقطة في الحروف الصينية والكلمات الإنجليزية في صف من 30 شخصًا. (1) استنادًا إلى هذا المخطط المبعثر ، حدد ما إذا كان هناك علاقة ترابط بين درجات الحروف الصينية والكلمات الإنجليزية. إذا كان هناك ترابط ، فأشر ما إذا كان إيجابيًا أم سلبيًا. (2) استنادًا إلى هذا المخطط المبعثر ، أنشئ جدول توزيع تكرار للكلمات الإنجليزية. ومع ذلك ، فإن الفئات هي '40 أو أكثر ولكن أقل من 50' ، ..., '90 أو أكثر ولكن أقل من 100'. النقاط على المخطط المبعثر موزعة نحو الأعلى والجهة اليمنى ككل. احسب بناءً على الخطوط الأفقية المتزايدة بمقدار 10 نقاط من الكلمات الإنجليزية."

'القفز بالتزلج على الجليد هو رياضة يتنافس فيها الرياضيون بناءً على مسافة قفزتهم وجمال وضعيتهم في الهواء. ينزل المتسابقون من المنحدر ثم ينطلقون في الهواء من حافة المنحدر. المسافة التي يقفزونها (تُقاس بالمتر) تحدد النقاط X، بينما تحدد وضعيتهم في الهواء النقاط Y. لنفترض 58 قفزة في مسابقة معينة.\n(1) بناءً على الرسوم البيانية الثلاث في الشكل 1، حدد البيانات الصحيحة:\n1. هناك ترابط إيجابي بين X و Y.\n2. القفزة بأعلى سرعة V تحمل أيضًا أعلى X.\n3. القفزة بأعلى سرعة V تحمل أيضًا أعلى Y.\n4. القفزة بأقل قيمة Y ليست بالضرورة تكون لها أقل قيمة X.\n5. جميع القفزات التي تكون قيمة X فيها أكبر من أو تساوي 80 تحمل سرعة V تكون 93 أو أكبر.\n6. لا توجد قفزات تكون قيمة Y فيها أكبر من أو تساوي 55 وسرعة V تكون 94 أو أكبر.'

'ضبط المتغيرات العشوائية'

'مثال 1. في تجربة رمي النرد مرة واحدة ، الحدث A: الحصول على رقم فردي ، الحدث B: الحصول على رقم 4 أو أعلى ، إذاً A={1,3,5} ، B={4,5,6} ، لذلك A ∩ B={5} فردي و4 أو أكثر. A ∪ B={1,3,4,5,6} فردي أو 4 أو أكثر.'