Fundamentals of Probability - الاحتمالات الأساسية

'العثور على احتمال التعادل في لعبة حجر ورقة مقص بين لاعبين.'

'تم اختيار 100 كيس من أكياس السكر عشوائيًا ووزنها من كومة أكياس السكر، مما أسفر عن متوسط وزن يبلغ 300.4 جرام. بافتراض انحراف معيار السكان 7.5 جرام، قم بتقدير متوسط وزن لكل كيس بنسبة ثقة تبلغ 95٪.'

'خطوات اختبار الفرضية'

'ابحث عن التوزيع المشترك لـ X و Y، وتحقق مما إذا كانت X و Y مستقلتين.'

''

'مثال 62 التوزيع الثنائي وتحويل المتغيرات العشوائية'

'احتسب احتمال عدم الحصول على أي جائزة في حدث معين.'

'مجموع وأمل وتشتت تسلسل\nهناك بطاقات مع وسوم تحتوي على أرقام من 1 إلى n ، كل واحدة ب n ، n-1 ، ... ، 1 بطاقة. يتم وضع هذه البطاقات في كيس. بعد خلط الكيس جيدًا ، يتم سحب بطاقة ، ويعتبر الرقم عليها كالمتغير العشوائي X.\n(1) تحديد احتمال P(X=k).\n(2) العثور على E(X) و V(X) لـ X.'

'احتساب توزيع احتمال مجموع الأعداد عند رمي النردتين، والعثور على احتمال سقوط X ضمن نطاق معين.'

'بشكل عام، إذا كانت المتغير العشوائي X يأخذ قيم ممكنة x1، x2، ...، xn، بالاحتمالات p1، p2، ...، pn على التوالي، فما هي الشروط التي يجب أن تفي بها الاحتمالية P؟'

'كمسألة رياضية، دعونا ننظر في تخصيص المقاعد في الانتخابات باستخدام الأساليب الرياضية. على وجه التحديد، باستخدام نظام انتخابي عام (مثل طريقة دونت أو طريقة سانت لاغو)، قم بحساب عدد المقاعد التي تم تخصيصها لكل حزب بناءً على عدد الأصوات المعطاة. إليك أصوات كل حزب. يرجى حساب عدد المقاعد المخصصة لكل حزب.'

'عند أخذ عينة عشوائية بحجم 100 من توزيع طبيعي بمتوسط 120 وانحراف معياري للعينة 30، قم بحساب الاحتمالات التالية.'

'بين بطاقات n ، تحتوي كل واحدة على الأرقام 1،2،3،...،n ، رقم واحد في كل بطاقة. عند سحب 2 بطاقات عشوائيًا ، لنكن X هو الرقم الأصغر و Y هو الأكبر. يجب أن تلاحظ أن n ≥ 2. (1) احسب احتمال أن يكون X=k ، حيث k=1،2،3،...،n. (2) احسب القيمة المتوقعة لـ X. (3) احسب التباين لـ Y.'

'لمنتج معين A ، تم إجراء استطلاع لـ 300 شخص ، حيث كان هناك 210 شخص يدعمون المنتج A. حساب الفاصل الزمني بنسبة ثقة 95٪ لنسبة داعمي المنتج A في السكان. استخدم √7=2.65 للحساب وقرّب إلى العشر الثالث.'

'عند سحب كرتين حمراوين وكرة بيضاء من كيس، ترتيب الكرات عند سحب كرتين في نفس الوقت، مميزة بين الكرة الحمراء كـ الحمراء 1 والحمراء 2 ((الحمراء 1، الحمراء 2)، (الحمراء 1، بيضاء)، (الحمراء 2، بيضاء)) هي ثلاث احتمالات. في هذه التجربة، دع X يكون عدد الكرات الحمراء المستخرجة، ثم X يمكن أن يأخذ قيم 1 أو 2، ابحث عن احتمالات X لأخذ هذه القيم.'

'كان معدل حدوث آثار جانبية لدواء معين 4 ٪ في الماضي ، ولكن بعد استخدام دواء محسن جديد على 400 مريض ، شعر 8 مرضى بآثار جانبية. هل يمكننا الاستنتاج بأن معدل حدوث الآثار الجانبية قد انخفض؟ قم بإجراء اختبار بمستوى دلالة 5 ٪. افترض أن الـ 400 مريض تم اختيارهم عشوائيًا.'

'كان معدل حدوث الآثار الجانبية لدواء ما تقليديًا 4٪، ولكن عند استخدام الدواء الجديد المحسن في 400 مريض، عانى 8 مرضى من الآثار الجانبية. هل يمكن الاستنتاج بأن معدل حدوث الآثار الجانبية قد انخفض؟ قم بإجراء اختبار بمستوى دلالة يبلغ 5٪. افترض أن 400 مريض تم اختيارهم عشوائيًا.'

'بالنسبة للجزء المسطّح، أجب على السؤال التالي:\n(1) من خلال المعاملات عبر الإنترنت، أصبح من الممكن الآن شراء السلع مباشرة من البلدان الأجنبية. ومع ذلك، كما يحدث، قد ظهرت مشاكل مثل عدم توصيل السلع أو التلف. في مثل هذه الحالات، يقدم المركز الوطني للحياة خدمات استشارية. اختر أحد الوكالات الحكومية التي تتولى مراقبة هذه المؤسسة وقدم الإجابة بالرقم:\n1. وكالة الخدمات المالية 2. الهيئة الوطنية للضرائب\n3. هيئة شؤون المستهلك 4. لجنة التجارة العادلة'

'بالنسبة لبيان X·Y بخصوص الجزء المسطرة J في السؤال 11، اختر التركيب الصحيح لصواب أو خطأ من الخيارات أدناه وأجب بالرقم المقابل.'

'حالتان يمكن فيهما استخدام مقاطع الفيديو التعليمية'

'عند رمي عملة 8 مرات ، ابحث عن احتمالية الحصول على وجوه 5 مرات أو أكثر على التوالي.'

'عندما يكون النقطة P في الأصل O على الخط العددي، في كل مرة يتم فيها رمي النرد، إذا ظهر رقم زوجي، فانتقل 3 وحدات في اتجاه إيجابي، وإذا ظهر رقم فردي، انتقل 2 وحدة في الاتجاه السالب. عندما يتم رمي النرد 10 مرات، ما هي احتمالية أن تكون النقطة P في الأصل O؟'

'ابحث عن احتمال أن يكون حاصل ضرب الأرقام على النرد 24 أو أقل.'

'يتم سحب كرة عشوائية من كيس، وتستمر هذه العملية دون إعادة الكرة المأخوذة إلى الكيس. العثور على الاحتمالات التالية: (1) احتمال أن تتم سحب الكرات الحمراء أولاً (2) احتمال أن يبقى فقط 5 كرات بيضاء في الكيس بعد أخذ جميع الكرات الحمراء.'

'ما هي احتمالية أن يكون مجموع 10 أو أكثر عند رمي النردين في نفس الوقت؟'

'في الصناديق A و B و C، هناك كرات حمراء وبيضاء وسوداء على التوالي. الأعداد كما هو موضح في الجدول على اليمين. اختر صندوقًا عشوائيًا وخذ كرة واحدة. ابحث عن الاحتمالات التالية.'

'عند رمي النرد الزوجين معًا، ما هي احتمالية أن يكون مضرب النتائج 24 أو أقل؟'

'احتساب احتمال أن تكون عدد الكرات الحمراء صفر بعد 3 عمليات.'

'تم إعداد بطاقات الأرقام من 1 إلى 6 مع الكمية المقابلة لكل رقم. أي الخيارات التالية أكثر فائدة عند سحب بطاقة واحدة؟\n(1) استلام عملة ين ياباني بقيمة 100 ين مع نفس رقم البطاقة المسحوبة.\n(2) تلقي مبلغ ثابت من 700 ين فقط عند سحب رقم زوجي.'

'المثال الأساسي 47 الاحتمالات الأساسية للتجارب المكررة\nهناك 8 تذاكر لليانصيب، بما في ذلك 2 فائزة. عند سحب التذاكر واحدة تلو الأخرى مع الاستبدال لمرة واحدة لمدة 5 مرات، العثور على الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال الفوز بمرة واحدة\n(2) احتمال الفوز بمرة واحدة على الأقل'

'يقوم أ و ب باللعب, مع الفائز بثلاث مباريات أولاً هو الفائز النهائي. افترض أن احتمال فوز أ في مباراة واحدة هو 1/3. أجب على السؤال التالي.'

'عند سحب بطاقة واحدة من الأرقام من 91 إلى 50 ، اعثر على احتمال سحب بطاقة ليست مضاعفة للرقم 3.'

'قم برمي 3 قطع نرد بشكل متزامن. (1) اعثر على احتمال أن يكون مجموع نقاط أي قطعتين من الـ 3 قطع نرد هو 5. (2) اعثر على الاحتمال أن يكون مجموع نقاط أي قطعتين من الـ 3 قطع نرد هو 10. (3) اعثر على الاحتمال أن يكون مجموع نقاط أي قطعتين من الـ 3 قطع نرد ليس ضعفًا للرقم 5.'

'هناك إجمالي 9 بطاقات مع أرقام من 1 إلى 9 مكتوبة عليها، كل بطاقة في واحدة. عند سحب 3 بطاقات من هذه، فإن احتمالية أن تكون جميع الأرقام على البطاقات فردية هي A. علاوة على ذلك، احتمال أن يكون مجموع الأرقام على البطاقات 3 التي تم سحبها فردياً هو B.'

'ما هي احتمالية أن يكون القيمة الدنيا 3 أو القيمة القصوى 4 عند رمي زوج من النرد؟'

'هناك 9 بطاقات رقمية حمراء (من 1 إلى 9) و 6 بطاقات رقمية بيضاء (من 1 إلى 6) في الصندوق. عند سحب بطاقة من هذا الصندوق، دع الحدث أ نكون سحب بطاقة زوجية والحدث ب أن نكون سحب بطاقة حمراء. احسب الاحتمالات التالية.'

''

'احتمالية ربح a وكذلك c'

'عند رمي زوجين من النرد معًا، احسب احتمال أن يظهر النردين نفس الرقم، وكذلك احتمال أن يكون مجموع الرقمين فرديًا.'

'ما هي احتمالية أن يكون عدد الكرات الحمراء على الأقل 2 بعد 3 عمليات؟'

'نظرًا لأنه في كل جولة يتم سحب كرة بيضاء من الحقيبة أ وكرة حمراء من الحقيبة ب ، فإن الاحتمالية التي يتعين العثور عليها هي'

'ابحث عن احتمال الحصول على 2 عملة وجه واحدة عملة عند رمي 3 عملات في نفس الوقت.'

'يلعب ثلاثة أشخاص الحجر والورق والمقص مرارًا وتكرارًا. ومع ذلك، لا يمكن للشخص الذي يخسر المشاركة في الجولة التالية. أجب على الأسئلة التالية.'

'عند رمي النرد سداسي الوجوه ثلاث مرات، ما هي احتمالية أن يكون الناتج الأقصى هو 6؟'

'يرجى حساب احتمال ظهور كرة حمراء في الرسم الأول والاحتمال الشرطي لظهور كرة بيضاء في الرسم الثاني.'

'قم برمي عملة 9 مرات ، وجد احتمال الوصول إلى نقطة Q بالضبط في الرمي التاسع.'

'بعد أن لعبت 10 مرات في لعبة PRA و B ، فاز A 7 مرات. هل يمكننا الاستنتاج من هذه النتيجة أن A أقوى من B؟ استخدم مفهوم اختبار الافتراضات واستمرار 0.05 كمستوى أهمية. لاحظ أنه لا توجد تعادلات في اللعبة.'

'في صناديق A و B و C ، هناك كرات حمراء وبيضاء وسوداء على التوالي. الكميات كما هو مبين في الجدول على اليمين. اختر صندوقًا عشوائيًا واستخرج كرة واحدة. ابحث عن الاحتمالات التالية.'

'يلعب اللاعبان A و B اللعبة التالية. يأخذون كرة من كيس يحتوي على 2 كرات حمراء و 1 كرة بيضاء ، يتحققون من اللون ثم يعيدونها. اعتمادًا على لون الكرة المأخوذة ، يحصل A على 1 نقطة إذا كانت حمراء ، ويحصل B على 2 نقطة إذا كانت بيضاء.'

'احسب احتمالية حدوث الحدث أ أكثر من 8 مرات في محاولة واحدة.'

'احتسب احتمال الحصول على وجوه عند رمي 4 عملات مرة واحدة، واحتسب القيمة المتوقعة لـ X.'

'ما هي احتمالية سحب تذكرة رابحة على الأقل عند سحب 2 تذكرة بشكل متزامن من تذكرة تحتوى على 3 تذاكر رابحة من بين 10؟'

'احتساب احتمال ناتج ضرب النرد يكون عدد فردي أو مضاعف للرقم 12.'

'قم برمي 3 نرد بشكل متزامن.'

'هناك 20 بطاقة، كل منها به عدد صحيح من 1 إلى 20 مكتوب عليه. (1) عند سحب بطاقتين في نفس الوقت، ما هي احتمالية أن يكون مجموع الأعداد على البطاقتين عدد صحيح مضاعف للرقم 3؟ (2) عند سحب 17 بطاقة في نفس الوقت، ما هي احتمالية أن يكون مجموع الأعداد على البطاقات 17 عدد صحيح مضاعف للرقم 3؟'

'هناك مجموعة من 20 تذكرة يانصيب، بما في ذلك 3 تذاكر فائزة. عند سحب بدون استبدال، ابحث عن الاحتماليات التالية:\n(1) عندما يسحب A و B تذكرة واحدة كل منهما بالترتيب، احتمال فوز B عندما يخسر A\n(2) عندما يسحب A و B و C تذكرة واحدة كل منهم بالترتيب، احتمال أن يفوز فقط C'

'يقوم A و B بلعب مباراة، حيث يتم تحديد الفائز أولاً بعد فوز 3 مباريات. افترض أن احتمال فوز A في مباراة هو 1/3. اجب على السؤال التالي. مع الاعتبار من عدم وجود تعادل. (2) احتسب احتمالية فوز A في المباراة الرابعة.'

'A و B يلعبان مباراة حيث يكون الفائز الأول بثلاث مرات هو البطل. احتمالية فوز A في لعبة واحدة هي 1/3. أجب على الأسئلة التالية. افترض عدم وجود تعادل. (3) حدد احتمالية فوز A.'

'يلعب اللاعبين A و B لعبة بشكل متكرر. في كل لعبة ، فرصة فوز A على B هي 2/3 ، وفرصة فوز B على A هي 1/3.\n1. إذا تم الإعلان عن أول من يفوز 3 مرات هو الفائز ، فجد احتمال فوز A.\n2. عندما يفوز لاعب بمرتين أكثر من الآخر ، يتم إعلان الفائز له فوز أكثر. اعثر على احتمال فوز A بحلول نهاية الجولة الرابعة.'

'اختر عدد صحيح مؤلف من أربعة أرقام بشكل عشوائي بين 1000 و 9999 ، وابحث عن احتمال وجود رقمين متطابقين على الأقل.'

'في صندوق بريد، هناك 9 بطاقات أرقام حمراء مُرقمة من 1 إلى 9 و 6 بطاقات أرقام بيضاء مُرقمة من 1 إلى 6. عند سحب بطاقة واحدة من هذا الصندوق، دع الحدث الذي يتكون من سحب بطاقة برقم زوجي يكون A، والحدث الذي يتكون من سحب بطاقة حمراء يكون B. في هذه الحالة، قم بحساب الاحتمالات التالية: \n(1) P(A ∩ B)\n(2) P_B(A)\nحدد عينة الفضاء على أنها U. عدد البطاقات في الصندوق هو على النحو التالي حسب الجدول الموجود على اليمين:'

'عند لعب لعبة الحجر والورق والمقص مع 3 أشخاص، قم بحساب احتمال عدم الانتهاء بتعادل.'

''

'شرح كيفية تحديد احتمالات فوز كل لاعب في لعبة تنافسية.'

'أجرت الشركة إكس استطلاعًا لتحديد ما إذا كان منتجها الخاص، قلم الرصاص A، أو قلم الرصاص B لشركة أخرى Y أسهل كتابة. في البداية، قال ثلثان من جميع المستجيبين إن A أسهل في الكتابة. في وقت لاحق، بعد أن قامت الشركة Y بتحسين قلم الرصاص B وأجرت استطلاعًا آخر، قال 14 من بين 30 شخصًا إن A أسهل في الكتابة. هل يمكننا الاستنتاج بأن سهولة الكتابة ب A قد انخفضت مقارنة ب B؟ باستخدام مفهوم فحص الفرضيات، انظر إلى كل من الحالات التالية. استخدم مثال تجربة رمي النرد المذكور أعلاه.'

'النقاط A و B و C و D و E و F مرتبة باتجاه عقارب الساعة على محيط دائري. قم برمي النرد ، وإذا كانت النتيجة 1 أو 2 ، فإن النقطة المتحركة P تتقدم باتجاه عقارب الساعة باتجاه نقطتين مجاورتين ، وإذا كانت النتيجة 3 أو 4 أو 5 أو 6 ، فإنها تتقدم باتجاه عقارب الساعة نحو نقطة مجاورة واحدة. يبدأ من النقطة A ورمي النرد 5 مرات للتحرك ، العثور على احتمالية التواجد في النقطة B.'

'يرجى شرح قاعدة إضافة الاحتمال عندما لا تحدث أحداث A و B معًا أبدًا.'

'عندما يتم إلقاء ثلاثة أناقيد بشكل متزامن ، ما هي احتمالية أن يكون مجموع الأرقام 5؟'

'المثال الأساسي 57 احتمالية السبب\nهناك آلات A و B لتصنيع القطع، مع معدلات عيوب تبلغ 3٪ للآلة A و 5٪ للآلة B. لنفترض أن الأجزاء من الآلتين A و B مختلطة بنسبة 7:3 ويتم اختيار جزء واحد من الخليط، مع حدوثه كعيب يشار إليه بالحدث E. في هذه الحالة، قم بحساب الاحتمالات التالية.\n(1) الاحتمال P(E)\n(2) احتمال أن يكون حدوث الحدث E بسبب آلة A'

'عند رمي ثلاثة نرد في نفس الوقت ، اعثر على احتمال أن مجموع الأرقام يكون 5.'

'في صندوق A ، هناك 3 كرات حمراء و 2 كرات بيضاء ، بإجمالي 5 كرات ، وهناك 3 كرات حمراء و 4 كرات بيضاء في صندوق B ، بإجمالي 7 كرات. عند سحب كرتين من A و B على التوالي ، فإن احتمال أن تكون جميع الكرات الأربع المسحوبة حمراء هو A ، واحتمال أن يتم سحب كرتين أحمرين وكرتين بيضوين من الكرات الأربعة هو B.'

'عند لعب لعبة حجر ورق مقص مع 3 أشخاص مرة واحدة، ابحث عن احتمال حدوث تعادل.'

'يوجد 2789 بطاقة، كل منها مكتوب عليها الأحرف D ، A ، I ، G ، A ، K ، U. بعد خلط هذه البطاقات التسعة جيدًا ، يتم ترتيبها في صف واحد. ما هي احتمالية ترتيب هذه البطاقات من اليسار إلى اليمين في الترتيب D ، G ، K ، عندما تُرى فقط البطاقات التي تحتوي على D ، G ، K ، U؟ يتم تمثيل هذه الاحتمالية بـ A. بالإضافة إلى ذلك، يتم تمثيل احتمالية ترتيب ثلاث بطاقات I متتالية بواسطة B.'

'(الف) هناك حالتان يكون مجموع أرقام 3 بطاقات فرديًا:'

'الاحتمال وخصائصه الأساسية'

'يرمي 3 نردات بأحجام كبيرة ومتوسطة وصغيرة في نفس الوقت ، مما يؤدي إلى الحصول على النقاط a و b و c على التوالي. أجب على الأسئلة التالية:\n(1) العثور على الاحتمالية التي تتحقق فيها 1/a+1/b≥1.\n(2) العثور على الاحتمالية التي تتحقق فيها 1/a+1/b≥1/c.'

'هناك ثلاثة طلاب A ، B ، C. إذا كانت احتمالية نجاح كل شخص في المدرسة المرغوبة لديه 4/5 ، 3/4 ، و 2/3 على التوالي ، فجد الاحتمالات التالية:'

'عندما يلعب شخصان حجر ورقة مقص مرة واحدة، ما هي احتمالية تحديد النتيجة؟'

'عندما يتم رمي النردات الاثنين معًا، يُعرف الرقم الأصغر من الرقمين (أو الرقم نفسه إذا كانا متساويين) بأنه X، والأكبر (أو الرقم نفسه إذا كانا متساويين) بأنه Y. بفرض أن الثابت a هو عدد صحيح من 1 إلى 6، ابحث عن الاحتمالات على النحو التالي: (1) X>a (2) X≤a (3) X=a (4) Y=a'

'في تجربة معينة، عندما يكون كل حدث أولي محتمل بنفس القدر، يعتبر هذه الأحداث الأولية متساوية من اليقين. في مثل هذه التجربة، إذا كان عدد النتائج الممكنة الإجمالي هو N وكان عدد مرات حدوث الحدث A هو a، ابحث عن إحتمال حدوث الحدث A، P(A).'

'هناك 20 بطاقة مع أعداد صحيحة من 1 إلى 20 مكتوبة عليها.'

'مشكلة التصفيف الأساسية 44 احتمال التجارب المستقلة\n(1) عند رمي النرد ورمي عملة في نفس الوقت ، ابحث عن احتمال الحصول على رقم 4 أو أقل على النرد وعرض العملة.\n(2) في حقيبة A ، هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، وفي حقيبة B ، هناك 8 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء. عند اختيار 3 كرات من الحقيبة A و 2 كرات من الحقيبة B ، ابحث عن احتمال أن تكون جميعها كرات بيضاء.\nالصفحة 329 معلومات أساسية 11\nC. HART \\& الحل'

'عند رمي زوج من النرد معًا ، ما هي احتمالية أن يكون القيمة الدنيا 3 أو أن تكون القيمة القصوى 4؟ هناك إجمالاً 36 نتيجة ممكنة.'

'في كيس، هناك 3 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. عند استخراج 4 كرات معًا من الكيس، احسب احتمالات الأحداث التالية:\n(1) سحب كرة بيضاء و 3 كرات سوداء.\n(2) سحب 4 كرات من نفس اللون.'

'5 أحداث واحتمالات'

'مثال على المشكلة\nفي الحالة العامة ، عند سحب بطاقة واحدة من 100 بطاقة مرقمة من 1 إلى 100 ، اعثر على احتمال اكتشاف أن الرقم هو مضاعف للرقم 3 أو 4.'

'في إحدى الشركات، تم تطوير قلم B الذي يحسن القلم A الذي كان بالفعل قيد البيع. لتقييم سهولة الكتابة، تم إجراء استطلاع على 20 شخصًا تم اختيارهم عشوائيًا لتحديد أيهما أسهل في الكتابة، A أم B. أظهرت النتيجة أن 15 شخصًا اختاروا B. هل يمكن استنتاج من نتيجة الاستطلاع هذه أن العملاء يقدرون B كأكثر سهولة في الكتابة؟ استخدم معيار احتمالية بنسبة 0.05 والنظر في نتائج تجربة رمي القطعة التالية. التجربة: رمي عملة عادلة. ثم، رمي القطعة 20 مرة في مجموعة واحدة وتسجيل عدد مرات ظهور الوجوه في كل مجموعة. بعد تكرار هذه التجربة 200 مرة، كانت النتائج كما يلي.'

'ابحث عن احتمال الحصول على 4 كرات بنفس اللون.'

'من مجموعة من 52 بطاقة بدون الجوكر ، يسحب كل من A و B بطاقة واحدة بالتسلسل. احسب الاحتمالات التالية دون استبدال:\n(1) كل من A و B يسحب بطاقة قلب\n(2) فقط يسحب B بطاقة قلب'

'أساسيات التراكيب.'

'شرح الاحتمالات وخصائصها الأساسية ، واحسب الاحتمالات للحالات التالية.'

'عند ترتيب 5 حروف من DREAM في صف عشوائيًا ، ابحث عن الاحتمالات للحالات التالية:\n(1) الطرف الأيمن هو E.\n(2) A و D متجاوران.'

'عند رمي النردين في نفس الوقت ، ابحث عن احتمال أن يكون مجموع الأرقام على النردي 4.'

'من كيس يحتوي على 5 كريات حمراء و 4 كريات بيضاء، ما هي احتمالية سحب 4 كريات من لونين مختلفين في نفس الوقت؟'

'عند رمي 3 نرده في نفس الوقت، احتسب الاحتمالات التالية: (1) احتمال الحصول على رقم فردي واحد على الأقل (2) احتمال أن مجموع الأرقام الثلاثة لا يساوي 4'

'عند رمي 3 نرد بشكل متزامن، احسب الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال ظهور عدد فردي واحد على الأقل\n(2) احتمال أن يكون مجموع الأرقام الثلاثة ليس 4'

'عند رمي عملة واحدة 6 مرات ، ابحث عن الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال الحصول على 4 أو أكثر من الوجوه\n(2) احتمال الحصول على رأس واحد على الأقل'

'تحتوي الحقيبة على 6 كرات حمراء و 4 كرات بيضاء. ابحث عن احتمال أن يتم سحب كرة حمراء وكرة بيضاء في نفس الوقت عند سحب 3 كرات من الحقيبة.'

'اختبار الفرضية هو عملية تحديد ما إذا كانت فرضية ما حول سكان معينة صحيحة إحصائياً باستخدام البيانات من العينات المحصلة.'

'عند رمي ثلاث نردات بشكل متزامن، ابحث عن الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال أن تكون جميع النتائج 3 أو أكثر\n(2) احتمال أن يكون أصغر ناتج هو 3'

'من بين 10 تذاكر سحب، هناك 2 تذكرة تحتوي على جائزة. إذا سحبت تذكرة واحدة في كل مرة ووضعتها مرة أخرى، بعد سحب 4 مرات، ما هي الاحتمالية التي يكون فيها عدد التذاكر الرابحة والخاسرة متساويًا؟'

'استقصاء نسبة الردود حسب مجموعة الأعمار في استطلاع اختياري.'

'في كيس، هناك 5 كرات حمراء و 4 كرات سوداء. عند سحب 3 كرات بشكل متزامن من هذا الكيس، ابحث عن الاحتمالات التالية: (1) احتمال أن تكون جميع 3 كرات من نفس اللون. (2) احتمال أن تكون 2 كرات فقط من نفس اللون.'

'عند قيامك برمي عملة معدنية 3 مرات ، ما هي احتمالية الحصول على وجه واحد على الأقل؟'

"ابحث عن حدوث 'رمي رقم زوجي أو رقم أولي' في المشكلة السابقة."

'قم بحساب الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال ظهور وجه واحد بعد رمي عملة ثلاث مرات\n(2) احتمال ظهور وجه واحد على الأقل بعد رمي عملة ثلاث مرات\n(3) احتمال ظهور وجهين متتاليين أو أكثر بعد رمي عملة أربع مرات\n(4) احتمال عدم ظهور وجهين متتاليين بعد رمي عملة خمس مرات'

'قم برمي النرد ثلاث مرات. اعثر على احتمال أن يكون مجموع النتائج هو 6.'

'7 تجارب مستقلة واحتمالات'

'عند رمي النرد ذو السداسية أربع مرات، ابحث في الاحتمالات التالية: (1) احتمالية أن يكون القيمة الدنيا 1 (2) احتمالية أن تكون القيمة الدنيا 1 والقيمة القصوى 6'

'احتساب احتمالية الحصول على 3 كرات بيضاء على الأقل عند اختيار كرة من حقيبة تحتوي على 3 كرات بيضاء و 6 كرات حمراء، والنظر إلى اللون، وإعادتها إلى الحقيبة لمدة 4 محاولات متتالية.'

'في إحدى الشركات، تم تطوير نسخة معدلة من القلم A، تُدعى القلم B. من أجل تقييم سهولة الكتابة، تم إجراء استطلاع مع 20 شخصًا تم اختيارهم عشوائيًا لتحديد أيهما أسهل في الكتابة، A أم B. أظهرت النتائج أن 12 شخصًا فضلوا B. هل يمكن الاستنتاج من نتيجة الاستطلاع هذه أن المستهلكين يدركون أن B أسهل في الكتابة؟ تم تحديد احتمالية القاعدة عند 0.05 وتُجرى الاعتبارات بناءً على نتائج تجربة رمي القطعة النقدية التالية. يتم رمي عملة نقدية عادلة وتكرار التجربة 20 مرة في مجموعة واحدة، وتسجيل عدد مرات ظهور الوجوه في مجموعة واحدة. بعد تكرار هذه التجربة لمدة 200 مجموعة، تكون النتائج كما يلي:'

'عند رمي النرد 4 مرات ، ابحث عن الاحتمالات التالية: (1) احتمال الحصول على قيمة دنيا تساوي 1 (2) احتمال الحصول على قيمة دنيا تساوي 1 وقيمة قصوى تساوي 6'

'هناك 9 بطاقات فيها أرقام من 1 إلى 9. عند سحب 3 بطاقات بشكل متزامن ، احسب احتمال أن يكون مجموع الأرقام على البطاقات 3 فردًا.'

'عند رمي 3 عملات في نفس الوقت، ما هو احتمال أن تظهر العملات الثلاثة وجوهها؟'

'عند رمي زوجين من النرد بحجم 2 في نفس الوقت، ما هي احتمالية حدوث ضرب نقطتي النرد متعدد للرقم 10؟'

'عند سحب كرة واحدة من كيس يحتوي على كرة حمراء واحدة وزرقاء واحدة وصفراء واحدة وبيضاء واحدة، ابحث عن إحتمال سحب الكرة الحمراء.'

''

''

'ابحث عن احتمالية الحصول على رؤوس بالضبط 3 عند رمي عملة 5 مرات.'

'من كيس يحتوي على 4 كرات حمراء و 3 كرات بيضاء ، احتسب الاحتمالات التالية عند سحب 2 كرة في نفس الوقت: (1) احتمالية أن تكون كلتا الكرتين حمراويتين (2) احتمالية سحب كرات من ألوان مختلفة'

'يصف المثال الأساسي 38،000 سيناريو يتم فيه سحب تذكرة واحدة من 3 صناديق A و B و C ، كل منها يحتوي على تذاكر رابحة بالاحتمالات 1/4 ، 2/3 ، 1/2 على التوالي. عند سحب تذكرة واحدة من كل صندوق ، احسب الاحتمالات التالية:'

'في سحب يحتوي على 12 تذكرة مع تذاكر فائزة 2، يسحب الأفراد A و B و C تذكرة واحدة كل على التوالي. في حالة 44^3، احتسب احتمال أن يفوز فقط A و C عندما: (1) تُستبدل التذاكر بعد السحب (2) لا تُستبدل التذاكر. الاختبارات التي يقوم فيها A و B و C بسحب التذاكر مستقلة. تسحب A و B و C تذكرة واحدة كل من التذاكر ال12 التي تتضمن تذاكر فائزة 2. نظرًا لفوز A و C بينما يخسر B، يُحسب الاحتمال على أنه (2/12) * (10/12) * (2/12) = 5/216. ضع في اعتبارك احتمالية الأحداث المستقلة مع الاستبدال.'

'في هذه المجموعة من 8 أسئلة حيث تمثل الدوائر الإجابات الصحيحة والصلبان تمثل الإجابات الخاطئة، ما هي احتمالية الحصول على 2 إجابة صحيحة بالضبط عند وضع علامات عشوائية للدوائر والصلبان؟'

'يلعب ثلاثة أشخاص A و B و C لعبة حجر ورقة مقص مرة واحدة. اعثر على احتمال فوز A و B.'

'عندما يتم رمي النرد والعملة في نفس الوقت، اعثر على احتمالية أن يظهر النرد رقم فردي وتظهر العملة الوجه الخلفي.'

'تحتوي الحقيبة على 6 كرات حمراء مرقمة من 1 إلى 6 و 5 كرات زرقاء مرقمة من 1 إلى 5. عند رسم كرة واحدة من الحقيبة ، اعثر على احتمال أن يكون الرقم على الكرة فرديًا أو كرة زرقاء.'

"قم بالنظر في التجربة التالية: 'رمي النردين معًا'. احسب احتمالية 'أن يظهر على الأقل نرد واحد رقم 6'."

'هناك حقيبة تحتوي على 6 كرات حمراء مرقمة من 1 إلى 6 و 5 كرات زرقاء مرقمة من 1 إلى 5. ابحث عن احتمال سحب كرة برقم فردي أو كرة زرقاء عند سحب كرة واحدة من الحقيبة.'

'احسب احتمالية الحصول على الأقل واحدة عند رمي النرد.'

'عند رمي عملة ثلاث مرات، ما هي احتمالية الحصول على وجه واحد فقط؟'

'من كيس يحتوي على 5 كرات حمراء و 4 كرات بيضاء ، ما هي الاحتمالية لسحب 4 كرات في نفس الوقت مع لونين مختلفين؟'

'عند رمي 3 نرد بنفس الوقت، قم بحساب الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال أن تظهر جميع النردات بقيمة 3 أو أكثر\n(2) احتمال أن يكون أصغر رقم ملقى هو 3\n[المصدر: جامعة شيغا]'

'عندما تلعب حجر ورقة مقص مع 3 أشخاص ، حدد احتمالية التعادل.'

'عند رمي اثنين من النرد معًا ، ابحث عن الاحتمالات التالية:\n(1) احتمالية عدم الحصول على نفس الرقم\n(2) احتمالية الحصول على رقم زوجي على الأقل'

'الاحتمال وخصائصه الأساسية'

'لنكن n عددًا طبيعيًا ، وهناك مجموعة من (2n+1) بطاقة تحتوي على الأرقام 0 ،1 ،2 ، ⋯ ، 2n مكتوبة عليها ، حيث تظهر كل رقم مرة واحدة فقط. اختر بطاقة واحدة عشوائيًا ، ولتكن الرقم المكتوب عليها X. اعثر على احتمال حدوث Y=k لجميع k= 0،1،2، ⋯، 2n عند تعريف Y وفقًا للخطوات التالية. كما ، اعثر على التباين في القيمة المتوقعة لـ Y. (أ) إذا كان X فرديًا ، فإن Y=X. (ب) إذا كان X زوجيًا (بما في ذلك 0) ، فيتم إعادة البطاقة ، واختيار بطاقة جديدة مرة أخرى بشكل عشوائي من جميع البطاقات ، وتسمى الرقم المكتوب عليها Y.'

'هناك 9 بطاقات مرقمة من 1 إلى 9. من هذه البطاقات، يتم سحب 4 بطاقات متتالية دون استبدال، معتمدة على التوالي باسم a، b، c، d. (1) ابحث عن احتمالية أن يكون حاصل ضرب a b c d زوجيًا. (2) دع موضع الآلاف في البطاقة يكون a، وموضع المئات يكون b، وموضع العشرات يكون c، وموضع الإحاد يكون d، ابحث عن القيمة المتوقعة للعدد مكون من 4 أرقام N المُحصَل عليه. [秋田 大]'

'لا يمكن تحديد أن احتمالية ظهور 671 على النرد هي 1/6.'

'ما هي النقاط التي يجب التحقق منها عند شراء المواد التعليمية الرقمية؟'

'أظهرت مسح لـ 600 تلميذ من الصف السادس المختارين عشوائيًا من مدرسة ابتدائية معينة أن 262 كانوا يعانون من تسوس. يُزعم أن نسبة تلاميذ الصف السادس الذين يعانون من التسوّس في البلاد بأكملها تبلغ 40 ٪. هل يمكن القول بأن نسبة تلاميذ الصف السادس الذين يعانون من تسوّس في مدرسة هذه المنطقة تفوق المستوى الوطني؟ اختبار عند مستويات الدلالة التالية.'

'عندما تكون وظيفة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي X هي f(x) = 1-\x0crac{1}{2} x (0 ≤ x ≤ 2) ، ابحث عن الاحتماليات المحددة.'

'المتوسط \u200b\u200bالعيني هو X̄ = 6.5 ، انحراف المعيار للسكان هو σ ، وحجم العينة هو n = 250. وبالتالي ، فإن النطاق الثقافي بنسبة 95٪ لمتوسط \u200b\u200bالسكان m هو [6.5-1.96⋅σ/√250 ، 6.5+1.96⋅σ/√250]'

'في تجربة معينة، المتغير الذي يتم تحديد قيمته بواسطة نتيجة التجربة وله احتمالات محددة لكل قيمة يُسمى متغير الاحتمال. بشكل عام، عندما يمكن لمتغير الاحتمال X أن يأخذ القيم x1، x2، ...، xn، وتكون الاحتمالات المقابلة p1، p2، ...، pn، ينطبق ما يلي.'

'على n بطاقة ، يتم كتابة الأرقام 1 و 2 و 3 و ... و n تلو الآخر. عند سحب بطاقتين بشكل عشوائي من هذه البطاقات ، اجعل الرقم الأصغر X والرقم الأكبر Y. يفترض أن n ≥ 2. (1) العثور على احتمال أن X = k ، حيث k = 1 و 2 و 3 و ... و n. (2) العثور على القيمة المتوقعة لـ X. (3) العثور على تباين Y.'

'مشكلة أساسية 75 قانون الأعداد الكبيرة\nاحسب الاحتمالية التي تكون فيها المتوسط العيني X̄ الذي يتم استخراجه من عينة من السكان بوسطية مجموعة 0 وانحراف معياري للسكان 1 بين - 0.1 و 0.1 لكل حالة التي تكون فيها n=100، 400، 900.'

'في منطقة معينة A ، تم قياس أطوال 400 صبي في الـ 15 من عمرهم ، مما أدى إلى متوسط \u200b\u200bقدره 168.4 سم وانحراف معياري بقيمة 5.7 سم. اعثر على النطاق الاعتمادي بنسبة 95% لمتوسط \u200b\u200bطول أولاد الـ 15 عامًا في A.'

'في منطقة Y، كانت نسبة دعم الحزب B 1/3. اقترح الحزب B سياسة معينة وشكك في وجود تغيير في نسبة الدعم. لذلك، تم إجراء استطلاع على 30 شخصًا، حيث أعرب 15 شخصًا عن دعمهم للحزب B. بناءً على هذه النتيجة، هل يمكن الاستنتاج بأن نسبة دعم الحزب B قد ارتفعت؟ قم بتحليل كل حالة باستخدام مفهوم اختبار الفرضيات. لنفترض أن تم إجراء التجربة 200 مرة عن طريق رمي نرد منصف ذو 30 وجهًا، وكانت نتائج عدد حدوث الأرقام من 1 إلى 4 كما هو موضح في الجدول:'

"المخطط البياني المبعثر على اليمين هو مخطط مبعثر لدرجات الاختبار من 100 لـ 187 كانجي وكلمات إنجليزية في فئة تحتوي على 30 طالبًا. (1) استنادًا إلى هذا المخطط المبعثر، قم بالتحقيق في ما إذا كان هناك ترابط بين درجات الكانجي وكلمات اللغة الإنجليزية. إذا كان هناك ترابط، فحدد ما إذا كان إيجابيًا أم سلبيًا. (2) استنادًا إلى هذا المخطط المبعثر، قم بإنشاء جدول توزيع تردد لكلمات اللغة الإنجليزية. تم تعيين الصف كـ 'كامل'."

'يمكن القول بأنه من المرجح أن يخرج الرقم 1 على هذه النردية.'

'ترابط البيانات'

'لعب اللاعبان A و B لعبة 9 مرات. فاز A 7 مرات. هل يمكننا الاستنتاج من هذه النتيجة أن A أقوى من B؟ باستخدام مفهوم اختبار الافتراضات، مناقشة بمستوى احتمالية يبلغ 0.05. بفرض عدم وجود تعادل في اللعبة.'

'حساب المتوسط والانحراف المعياري من خلال التكامل البيانات'

'بعد لعب 10 مباريات، فاز A 7 مرات. هل يمكننا الاستنتاج بأن A أقوى من B بناءً على هذه النتيجة؟ باستخدام مفهوم اختبار الفرضية مع مستوى الدلالة 0.05. افترض أنه لا توجد تعادلات في الألعاب.'

"أنشأت شركة شخصية كرتونية وأجرت استطلاعا لـ 20 شخصًا ، منهم رد 13 بـ 'تحسنت صورة الشركة'. هل يمكننا الاستنتاج بأن صورة الشركة قد تحسنت حقًا؟ باستخدام مفهوم اختبار الفرضيات ، يرجى النظر في مستوى الدلالة 0.05. ومع ذلك ، من المعروف أن تم إجراء تجربة قلب عملة عادلة 20 مرة 200 مرة ، والنتائج كما هو موضح في الجدول أدناه. يرجى استخدام هذه النتائج لتحليلك."

'تمرين 22\n(1) بعد العملية الأولى ، سيأتي الوجه المحدد دائمًا إلى الوجه الجانبي ، لذلك فإن احتمالية أن يأتي الوجه المحدد بالتتابع إلى الوجه الجانبي بعد العملية التالية هي\n\\\\n\\\\frac{2}{4}=\\\\frac{1}{2}\n\\\'

'من بين هذه المراحل الأربعة ، من المحتمل أن يكون المحكم للنجاح أو الفشل هو الإرشادات في المرحلة الثانية. يمكن رؤية النهج ال specifc في الرسم البياني في النص ، لكن دعونا نتناول أولا بعض الاعتبارات العامّة.'

'لحساب احتمال كون الرقم الرئيسي k، احسب عرض النطاق Lk الذي يتضمن n.'

''

'عندما يتم رمي 12 نرد معًا ، ما هي احتمالية أن تكون المجموعة عددًا أوليًا؟'

'مثال 23 | التركيبات والاحتماليات\nهناك 4 بطاقات لكل من اللون الأحمر والأزرق والأصفر، مع الأرقام من 1 إلى 4 مكتوبة على كل بطاقة. عند سحب 3 بطاقات عشوائيًا من هذه البطاقات الـ 12، ابحث عن احتمالات الأحداث التالية:\n(1) كل البطاقات من نفس اللون.\n(2) جميع الأرقام مختلفة.\n(3) جميع الألوان والأرقام مختلفة بالكامل.\n[جامعة سيتاما الطبية]'

'حساب الاحتمال'

'حساب الاحتمال'

'حساب الاحتمال'

'احتسب احتمال الحصول على 3 رؤوس عند رمي عملة ٦ مرات.'

'عند رمي النرد مرة واحدة، احتمالية الحصول على رقم أولي هي \\\frac{3}{6}\، واحتمالية الحصول على رقم غير أولي هي أيضًا \\\frac{3}{6}\ \\({}_{5}\\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}=5\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}\\)\n(أ) الحدث الذي يحدث فيه الحصول على الحد الأدنى 4 من الأرقام الأولية هو عند الحصول على 4 أو 5 من الأرقام الأولية، لذلك فإن الاحتمالية تكون\n\\(\\frac{5}{32}+\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}+\\frac{1}{32}=\\frac{3}{16} \\)'

'حساب الاحتمال'

'حساب الاحتمال'

'من الحدث الذي تكون فيه جميع البطاقات المُسحوبة أقل من أو تساوي 7، باستثناء الحدث الذي تكون فيه جميع البطاقات أقل من أو تساوي 6، احسب احتمال سحب قيمة قصوى تبلغ 7 عند سحب بطاقة واحدة.'

'احتمال حدوث نقطة تتحرك حول محيط 31 شكلًا'

'مثال 24 | احتمالية لعبة حجر ورقة مقص\nعندما يلعب 4 أشخاص لعبة حجر ورقة مقص مرة واحدة ، ابحث عن الاحتمالات التالية:\n(1) احتمالية فوز شخص واحد فقط\n(2) احتمالية فوز شخصين\n(3) احتمالية التعادل'

'حساب الاحتمال'

'حساب الاحتمال'

'12. حساب الاحتمال'

'إحتمال إحراز هدف من تصويبة واحدة هو \ \\frac{2}{3} \'

'من حقيبة تحتوي على 3 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء ، يتم سحب كرتين وفحص ألوانها ثم إعادتهما إلى الحقيبة. يتم تكرار هذه العملية 2 مرة. ابحث عن احتمال تكون كرتين حمراوتين وكرتين زرقاوتين من بين الكرات الأربع المستخرجة بعد 2 جولة.'

'تم رمي النرد 8 مرات، وظهر رقم زوجي 7 مرات. هل يمكن الاستنتاج من هذه النتيجة أن النرد معوج نحو الأرقام الزوجية؟ ناقش باستخدام مبادئ اختبار الفرضيات بمستوى دلالة قدره 0.05.'

'الرياضيات أنا'

'(2) في محاولة واحدة، يتم تمثيل تحريك الحجر عكس اتجاه عقارب الساعة بـ +، وتمثيل تحريكه عقارب الساعة بـ -، وعدم التحريك يتم تمثيله بـ 0. بعد 4 محاولات، هناك 5 تركيبات حيث يكون الحجر في C:\n[1] (+,+,0,0)\n[2] (+,+,+,-)\n[3] (-,0,0,0)\n[4] (-,-,+ ,0)\n[5] (-,-,-,-)\nاحتمال تكرار'

'حساب الاحتمالات'

'حساب الاحتمالات'

'ما هي خصائص دراسة الرياضيات، وكيف تُقارن مع المواد الأخرى؟'

'عند اختيار كيس يحتوي على 5 جواهر حمراء و 4 جواهر بيضاء و 3 جواهر زرقاء، ما هي احتمالية سحب جوهرة حمراء؟'

'عند رمي 3 عملات في نفس الوقت ، حدد احتمال الحصول على 1 وجه و 2 جوانب.'

'احسب الاحتمالات التالية:'

'حدث مجموع أعداد النرد يجري 6 هو حدث اتحاد الأحداث A و C و D ، وهذه الأحداث متعددة الاستبعاد.'

'لماذا تدرس الرياضيات؟'

'عندما تلقي زوجين من النرد، ما هي الاحتمالية أن يكون النرد الأكبر عدد فردي والنرد الأصغر 5 أو أكبر؟'

'احسب احتمال تحديد فائز واحد في الجولة الث n.'

'احتمال فوز A في كل مباراة هو 1/3، واحتمال فوز B هو 2/3.\nبالنسبة لـ A للفوز، هناك ثلاث حالات:\n12 محاولة مستقلة ويمكن ضرب الاحتمالات.\nقاعدة الجمع (جمع الاحتمالات)\nباستثناء الأعداد الأولية، مرة واحدة ✔️\n${ }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}$\n4 أعداد أولية من 5 حالات\n4 أعداد أولية من 5 حالات\nاستخدام قاعدة الجمع.\n2 من 3 تم تحديدها.\nتغيير النظرة للاحتماليات الصعبة (الأحداث المتكملة).\n${}_{6} \\mathrm{C}_{3} \\times{ }_{3} \\mathrm{C}_{1} \\times{ }_{2} \\mathrm{C}_{2}$ يعمل أيضاً.\nضرب الاحتماليات لحالة 60 احتمالية حيث يحدث X 3 مرات، Y مرة واحدة، و Z مرتين.\nاحتمال فوز B هو 1-1/3'

'من مجموعة من 52 بطاقة باستثناء الجوكر ، عند اختيار بطاقة واحدة ، أيهما من الأحداث A: استخراج آس ، B: استخراج قلب ، C: استخراج بطاقة وجه ، هما مستبعدان؟'

'هناك 27 بطاقة مرقمة من 1 إلى 9، بـ3 بطاقات لكل رقم. بعد خلطها بشكل جيد، عند سحب بطاقتين، ابحث عن الاحتمالات التالية:\n(1) احتمال الحصول على بطاقتين بنفس الرقم\n(2) احتمال الحصول على بطاقتين بنفس الرقم أو أن مجموع الرقمين لا يتجاوز 5.'

''

'حساب الاحتمال'

'27. حساب الاحتمال'

'بعد أن لعبت لعبة بين A و B 10 مرات ، فاز A 8 مرات. هل يمكننا أن نستنتج من هذه النتيجة أن A أقوى من B؟ استخدم مفهوم فحص الفرضيات بمستوى دلالة 0.05 للتحليل. افترض أنه لا توجد تعادلات في اللعبة.'

'ارمي النرد 3 مرات، دع X يكون حاصل ضرب جميع النتائج. ابحث عن احتمال أن يكون X أكبر من 2.'

'احتساب الاحتمال'

'حساب الاحتمال'

"في بعض الأحيان يتم التعبير عن احتمالية حدوث حدث ما على شكل رقم. يُشار إلى هذا الرقم بـ 'الاحتمال'. بناءً على تعريف الاحتمال، يناقش هذا الفصل النظريات والخصائص الخاصة بالاحتمال (بما في ذلك نظرية إضافة الاحتمالات، نظرية الضرب، احتمالية الأحداث المستقلة، وما إلى ذلك)، واستخدام المفاهيم المستفادة من الفصول السابقة مثل الترتيبات والتجميعات، تتعلم كيفية حساب الاحتمالات. علاوة على ذلك، تستكشف أيضًا مفهوم القيمة المتوسطة للنتائج الرقمية للتجارب، والمعروفة أيضًا باسم القيمة المتوقعة."

"عندما يقوم الرماة A و B و C بإطلاق سهم واحد على الهدف، فإن احتمالية ضرب الهدف تكون على التوالي 1/2، 1/3، 1/4. نظرًا لأن Γ×1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1، فإن الفكرة التي تقول 'على الأقل شخص واحد يصيب الهدف' صحيحة."

'حساب الاحتمال'

'مثال 32 احتمال القيم القصوى والدنيا\nعند رمي النرد 4 مرات ، ابحث عن الاحتمالات التالية.\n(1) احتمال أن يكون القيمة الدنيا 3.\n(2) الاحتمال أن تكون القيمة الدنيا 1 والقيمة القصوى 6.'

'حساب الاحتمال'

'ابحث عن احتمالية فوز A بـ 4 مباريات على التوالي وتأمين البطولة بعد المباراة الثانية.'

'الأحداث [1] إلى [3] متنافرة، لذا قم بحساب الاحتمال المطلوب.'

'28. حساب الاحتمالات'

'ابحث عن العدد الإجمالي للطرق واحتمال رسم 3 أرقام تجمع إلى 0.'

'هناك 36 نتيجة ممكنة عند رمي النردين (طرق).'

'حساب الاحتمال'

'حساب الاحتمالات'

'حساب الاحتمال'

هل هو 'النطاق المشترك' أم 'النطاق المدمج'؟ في إجابة المثال 44 في الصفحة السابقة، هناك حالات تطلب 'النطاق المشترك' وأخرى تطلب 'النطاق المدمج'. دعونا نلقي نظرة أقرب على الفروق بناءً على إجابة المثال 44.