الجبر الأساسي - حل المعادلات

'قم بتمرين إثبات أنه بالنسبة لأي أعداد حقيقية إيجابية $a، b، x، y، z$، تنطبق المعادلات غير المتكافئة التالية وتحديد الشروط التي يجب توفرها لتحقيق المساواة.'

'حل المعادلة log_{x} y+2・\\frac{1}{log_{x} y}<3. دعونا نفترض أن log_{x} y=t. بعد ذلك ، نحصل على \\frac{t^{2}-3t+2}{t}<0. وبعد ذلك ، \\frac{(t-1)(t-2)}{t}<0 ، وسنحل حالات t>0 و t<0.'

'من عدم المساواة المعطاة'

'ثبت معادلة التفاوت التالية.'

'العثور على نطاق القيم للثابت k بحيث يتم دائمًا تحقيق عدم المساواة y-kx-k-1 ≤ 0 لأي أعداد حقيقية x ، y التي تستوفي المساويات x^{2}+y^{2}-2x-2y ≤ 0 و x-2y+1 ≤ 0.'

'ثبت الأوامر التالية:'

'ابحث عن نطاق قيم ثابت a، بحيث تكون المعادلة 3a^2x-x^3≤16 صحيحة دائمًا لـ x≥0.'

'عندما تكون x تساوي 29. بمعنى آخر، نحتاج فقط إلى العثور على الشروط التي تجعل المعادلة (2) تنطبق. لذلك، من (2)، لدينا a=c و b=d. تمرين 9|II| => الكتاب الرئيسي ص.52'

'حل المتباينات التالية: (1) 2sinθ - √2 ≥ 0 (2) 2cosθ - 1 < 0 (3) √3tanθ - 1 < 0'

'قم بإثبات عدم المساواة التالية. كما، يرجى شرح متى تكون القيم متساوية.'

'حل المعادلة $x^{2}+y^{2}<x+y$، رسم المنطقة، وتأكد من أنها تفي بالقيد الآخر $0 < x + y < 2$.'

'ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية أ بحيث المتباينة 4t^2+at+1-a>0 تكون صحيحة دائمًا عند t>0.'

'دليل على العدمية (2)'

'مثال مهم 118 المنطقة الممثلة بواسطة المتباينات اللوغاريتمية'

'إثبات عدم المساواة متعددة المتغيرات ذات الصلة بالتسلسلات'

'برهن 4x + 2/y ≥ 2√(2x/y).'

'ابحث عن المنطقة الممثلة بالحدود: (1) الحدود خط مستقيم'

'ابحث عن المنطقة الممثلة بواسطة نظام غير المساويات.'

'عندما تتحقق الظروف الثلاث x-y ≥ -2 ، x-4y ≤ 1 ، 2x+y ≤ 5 بشكل متزامن ، ابحث عن نطاق القيم الممكنة لـ x+y.'

'المنطقة الممثلة بواسطة عدم المساواة'

'قم بإثبات أن المعادلات التالية صحيحة عندما تكون القيم a>0, b>0, c>0, d>0. كما ، حدد الظروف التي تجعل المساواة صحيحة.'

'ثبت عدم المساواة التالية وتحديد متى تكون العدالة.'

'عندما تكون x>1 ، ابحث عن القيمة الدنيا ل x+1/(x-1).'

'برهان عدم المساواة (3)... باستخدام (الأعداد الحقيقية)^2 ≥ 0 [الجزء 2]'

'ابحث عن المنطقة الممثلة بواسطة عدم المساواة: (2) خط الحدود هو دائرة'

'لدى 0 ≤ x < 2π ، ابحث عن نطاق القيم لـ x التي ترضي التباين التالي.'

'دليل على عدم المساواة (4)... باستخدام العلاقة بين التربيعات'

'قم بإثبات عدم المساواة $x^{3} + 5 > 3 x^{2}$.'

'عندما ترضي قيم x و y الثلاثة من التفاوتات x - y ≥ -2، x - 4y ≤ 1، 2x + y ≤ 5 ، ابحث عن نطاق قيم x + y.'

'عندما ينطبق المتباينة 0≤y≤-1/2|x|+3 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا من x+y وقيم x و y المقابلة.'

'برهان عدم المساواة (5)...مساواة تتضمن القيمة المطلقة'

'ثبت أن المتباينات التالية تكون صحيحة عندما تكون a > 0 ، b > 0. كما ، حدد الحالات التي تتحقق فيها المساواة. (1) a+9/a ≥ 6 (2) 6b/a + 2a/3b ≥ 4'

'قم بإثبات أن المعادلة a+\\frac{1}{4a} \\geqq 1 تصح عندما a>0. كما يجب تحديد الظروف التي تؤدي فيها القيمة إلى تحقيق المساواة.'

'يرجى حل المعادلة التالية: a+8 > \\frac{3 a}{a+1}'

'حل نظام المعادلات المعطى'

'حل المعادلات التالية وجد نطاق القيم لـ a.'

'أثبت أن عدم المساواة e^x > 1 + x صحيحة ، حيث أن x لا يساوي 0.'

'حل المتباينة |x-2|>4.'

'حل المتراجحات التالية: (1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \\frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x'

'ما لون قبعتك؟ - استخدام الاستدلال بالتناقض -'

'المعادلات التربيعية التي تحتوي على متغيرات'

'شروط لتبقى المعادلة صحيحة في جميع الأوقات'

'الحلول لعدم المساواة التربيعية (1)'

'حل المتباينة التالية: 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)'

'ما هو حل المعادلة |3x-6|<b؟ إذا كان رسم بالرسم البياني للعلاقة y=b أعلى من رسم بالرسم البياني للعلاقة y=|3x-6| ، فما المدى من قيم x التي سيغطيها؟ يرجى شرح الحالة عندما b>0.'

'لقد درست بالفعل أنه عندما تكون α<β، فإن الحل لـ (x−α)(x−β)<0 هو أن α<x<β. الآن نحن نبحث عن السيناريو المعاكس.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'حل المتباينات التالية.'

'ما هو الحل لعدم المساواة |3x-6|<ax؟ إذا كان رسم بياني لـ y=ax فوق رسم بياني لـ y=|3x-6|، فما هي نطاق قيم x التي تتوافق مع ذلك؟'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية: (1) |2x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x|≤2'

'حل هذين النتيجتين التربيعيتين.'

'حدد قيم ثوابت a و b بحيث تكون الحل للمعادلة التربيعية ax^2+9x+2b>0 هي 4<x<5.'

'تحديد العوامل من حلول المتباينة التربيعية'

'المعادلات غير المتساوية ومشاكل الكلمات'

'حل المتباينات التالية. (1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \\frac{3 x + 4}{3}'

'تمثيل نصي لحل معادلة تربيعية'

'حل معادلات عدم المساواة من الدرجة الثانية (2)'

'حل المتباينات التربيعية التالية.'

'حل المتباينتين التاليتين. (2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'قام بتحويل عدم المساواة (أ) في (1) ، (2) التاليتين إلى معادلات (1) ، (2) ، (3) بشكل تسلسلي ، واشتق (3) باعتباره الحل لـ (أ). حدد ما إذا كان الحل (3) صحيحًا أم لا. إذا كان غير صحيح ، فحدد أي تحويل (أ) → (1) ، (1) → (2) ، (2) → (3) غير صحيح. هنا ، a هو عدد حقيقي ثابت. (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3): x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1'

'حل المعادلة: (4) \ -\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2} \.'

'حل x(x-1)<0.'

'تحقق مما إذا كانت المتباينتان التاليتان صحيحتان لجميع الأعداد الحقيقية x:\n(1) 2x^2-3x+1 < 0\n(2) 2x^2-4x+2 ≥ 0\n(3) 2x^2-5x+4 ≤ 0\n(4) 2x^2-6x+4 > 0'

'تطبيق اثنين من عدم المساواة (حلول:)'

'حل النواتج التالية:\n(1) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x\\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2\\leqq x^{2}-x\\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2\\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\'

'في صف هاناكو ، فكرت في عدم المساواة |3x-6| <ax+b في درس الرياضيات الخاص بها ، حيث a ، b ثوابت. دعونا نجد أولاً الحل لعدم المساواة (1) عندما a = 2، b = 1.'

'تطبيقات أنظمة عدم المساواة (تربيعية)'

'حل المعادلة التالية: (4) - (2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3'

'حل المعادلة x^{2}-x-6 \\geqq 0.'

'حل الحد: 5(x-3) < 3(2x-5)'

'حل المعادلات التالية:\n(1) |3x+8|=5x\n(2) |x+1|+|x-1|=2x+8'

'حل المتباينات التالية.'

'حل معادلة (5) |5x-9| ≤ 3 والعثور على نطاق x.'

'الحل: قيمة x هي [2, 12/5]'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'قم بفحص العلاقة بين الأرقام التاليه وعبّر عنها على شكل معادلات.'

'استخرج المعلومات من حلول معادلتين.'

'حل المعادلات الآتية.'

'قم بفحص صحة الاقوال التالية. استخدم المجموعات للتحقق من (2)، (3).\n(2) بالنسبة للأعداد الحقيقية x، إذا كان |x|>2 ثم x>2.\n(3) بالنسبة للأعداد الحقيقية x، إذا كان |x+2|<1 ثم |x|<3.'

'عندما تكون a = 4، b = 6، ابحث عن نطاق x الذي يرضي المتباينة (1) | 3x - 6 | < 4x + 6.'

''

'حل المعادلة \ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \ .'

'حل المعادلات الآتية. (3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5'

'حل المعادلة التالية: (3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'إثبات الافتراضات باستخدام العكس المضاد'

''

'تعلم خصائص عدم المساواة واهزم المثال 34!'

'لنستعرض أساسيات عدم المساواة المتزامنة والمعادلات التربيعية!'

'الفصل 2 الأعداد الحقيقية ، عدم المساواة من الدرجة الأولى: 61 عدم المساواة'

'لنستعرض أساسيات عدم المساواة التربيعية!'

'ملخص لأساليب حل معادلتين'

'المساواة المطلقة'

'اشرح خصائص المعادلة الخطية.'

'حل المعادلة الغير متساوية التالية.'

'حل المتباينات التربيعية التالية:'

''

'النظر في المعادلة |2x-6|<x'

'اشرح الخصائص الأساسية لعدم المساواة الخطية.'

'تقنع بخصائص عدم المساواة وتغزو المثال 34!'

'التمرين 3: تطبيق عدم المساواة من النظام الثاني بشكل متزامن'

'المقطع التمييزي، دعونا نراجع أساسيات المتباينات التربيعية!'

'حل المتباينات التربيعية التالية. (1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0'

'(2) $\\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2$'

'العثور على نطاق القيم للثابت m بحيث تكون النتيجتان غير المتساويتين صحيحتين دائمًا.'

'ملخص حل معادلتين غير متساويتين'

'حل المعادلة 3|x+1| ≥ x+5.'

''

'الحل للمتباينة (1) هو y = |2x-6| - x...نطاق قيم x التي تكون فيها y < 0 على رسم بياني (2). (استخدم رسم بياني (2) للعثور على الحل للمعادلة (1).\n(i) حل 2x-6 ≥ 0 يعطي x ≥ ، حل 2x-6 < 0 يعطي x < ، لذلك عندما يكون x ≥ ، (2) هي y = .\nعندما يكون x < ، (2) هي y = .'

'دع TR(x) تكون عددًا حقيقيًا. باستخدام المجموعات ، حدد قيمة الحقيقة للمقترحات التالية.'

'حل المعادلات الثنائية التالية.'

'حل نظام المتباينات { |x+1|<\\frac{3}{2}, x^{2}-2 x-3>0 }.'

'حل العدميات التالية:'

'التمرين 1: عدم المساواة بقيمة مطلقة ورسم بياني'

'حل المتباينات التربيعية التالية.'

'حدد قيم الثوابت a و b بحيث:\n(1) الحل للمعادلة التربيعية x^2 + ax + b < 0 هو -\x0crac{1}{2} < x < 3.\n(2) الحل للمعادلة التربيعية ax^2 + x + b ≤ 0 هو x ≤ -1, 2 ≤ x.'

'حل المتباينة 3|x+1| ≥ x+5.'

'التفاوت المطلق'

'حل المتباينة |2x|+|x-5|≥8.'

'حل المتباينات التالية: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \\\\ 5-3 x<1-x\\end{\overlineray}\\right.'

'ملخص لطرق حل المتباينات التربيعية'

'ابحث عن الحل لنظام المعادلات \\(\\left\\{\egin{array}{l}x>3a+1\\\\2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right.\\) وحدد نطاق الثابت \a\ الذي يرضي الشروط التالية.\\n1. لا يوجد حلاً.\\n2. الحل يحتوي على الرقم 2.\\n3. يتضمن الحل 3 أعداد صحيحة فقط.'

'حل المعادلة p x ≥ 2 x-3 لثابت p.'

'حل المتراجيحات التالية.'

'حل المتباينات التربيعية التالية.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$ الذي يرضي الشروط التالية لحل نظام المعادلات \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right.: (1) المعادلة لها حلا. (2) الحل يحتوي بالضبط على 3 أعداد صحيحة.'

'العثور على جميع قيم عددية x التي تستوفي نظام المتباينات {2(x+1) ≥ 5x-2, -5x < -3x+4}.'

'ثبت عدم المساواة A < B ≤ C.'

'حل المتباينات التالية.'

'حل المتباينتين باستخدام رسم بياني.'

'تدريب: 35 (2)'

'(1) y ≥ 0\n(2) y ≤ 0\n(3) 0 ≤ y ≤ 6\n(4) -1 ≤ y < 1'

'ثبت أن 3x+1>x+3 عندما x>1. (2) أثبت عدم المساواة a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 وحدد شروط المساواة.'

'حل المعادلة \\\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \ .'

'(1) أثبت أنه إذا كان x+y>0 و x-y>0 ، فإن 2x+y>0.'

'ثبت أن معادلات الإنصاف التالية صحيحة.'

'رسم المنطقة الممثلة بالمعادلة التالية.'

'ثبت العقد التالي.'

'ثبت المتباينات التالية:'

'أثبت أن المعادلة صحيحة'

'حل المعادلة $2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5$.'

'ما هو نموذج عدم المساواة الذي يمثل المنطقة المظللة على اليمين من المنطقة أ؟ افترض عدم تضمين خطوط الحدود.'

'حل المعادلات التفاضلية الأسية: حل المعادلة التفاضلية الأسية التالية.'

''

'حل المتباينة 2log₃x - 4logₓ27 ≤ 5.'

''

'أثبت عدم المساواة التالية وحدد متى تحدث المساواة.'

'حل المعادلات الترابطية (2): حل المعادلة اللوغاريتمية التالية.'

'عندما تتحقق المتساويات x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0, 3 x+y-18 <= 0 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ x-4 y.'

'أثبت المتباينة $\\frac{3}{10}<\\log_{10} 2<\\frac{4}{13}$ دون استخدام $\\log_{10} 2=0.3010 \\cdots \\cdots$. نظرًا لأنـ $2^{10}=1024,2^{13}=8192$، لذلك $10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4 }$ .أخذ اللوغاريتم الشائع لكلا الجانبين من هذه المتباينات.'

'حل المتباينة: \9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}\'

'ابحث عن القيمة الدنيا ل a بحيث تكون المعادلة a sin ^{2} x+6 sin x+1 صحيحة دائمًا.'

'عندما يرضي PR (x، y) الحدود الأربعة x≥0 ، y≥0 ، x-2y+8≥0 ، 3x+y-18≤0 ، العثور على القيم القصوى والدنيا لـ x-4y المأخوذ.'

'تطرقت إلى المسائل التي لم تتم تغطيتها في كتاب STEP UP، خصوصًا تلك التي تتطلب اهتمامًا خاصًا.'

'قم بإثبات أن العقود التالية تنطبق عندما تكون a ≥ 0 و b ≥ 0 في PR. كما حدد الشروط التي تنطبق فيها الحالة المساوية.'

'طريقة حل المعادلات اللوغاريتمية (1): حل المعادلة اللوغاريتمية التالية.'

'نفى الشروط'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'العثور على نطاق قيم لعدم المساواة المطلقة'

'حل المعادلات التالية:\n(1) $|x-2|=3x$\n(2) $|x-1|+|x-2|=x$'

'حل المتباينة a(x+1) > x + a^{2}، حيث a هو ثابت.'

'ابحث عن نطاق الثوابت m التي تتحقق فيها العدم المساواة x^2 - 2mx + m + 6 > 0 لجميع قيم x في النطاق 0 ≤ x ≤ 8.'

'ابحث عن نطاق قيم الثابت a بحيث تكون العدمية a(x^2+x-1)<x^2+x صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية x.'

'طريقة حل المعادلات الواضحة بالقيم المطلقة'

'[1] عندما \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \ ، فإن المعادلة\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nلذلك \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \ ، لذلك \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nلذلك \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \'

'حل المتباينات التالية.'

'بالنسبة ل a>0 و D>0 ، إذا كانت الحلول الحقيقية المتميزة للمعادلة التربيعية ax^2 + bx + c = 0 هي α و β (α<β) ، فإن الحلول هي x < α أو β < x عند a x^2 + b x + c > 0. الحل هو α < x < β عند a x^2 + b x + c < 0. الحل هو x ≤ α أو β ≤ x عند a x^2 + b x + c ≥ 0. الحل هو α ≤ x ≤ β عند a x^2 + b x + c ≤ 0.'

'حل المتباينتين $a(x-3a)(x-a^2)<0$. حيث أن $a$ هو ثابت غير صفر.'

'حل معادلتين (2) عندما تكون α<β ، إذا كان هناك علامة يساوي ، فسيتم تضمينها في الحل'

'ابحث عن جميع قيم العدد الطبيعي x التي تحقق 5x - 7 < 2x + 5.'

'x ≤ 3 و y > 2'

'ابحث عن نطاق عدم المساواة x^2-4x+1=t.'

'خصائص المتراجحات الخطية: إذا كان a < b ، فإن a + c < b + c ، و a - c < b - c. إذا كان a < b و c > 0 ، فإن ac < bc ، و a/c < b/c. إذا كان a < b و c < 0 ، فإن ac > bc ، و a/c > b/c. إذا كان a < b و b < c ، فإن a < c.'

'حل مجموعات عدم المساواة التالية: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2(1-x)>-6-x \\\\ 2 x-3>-9\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3(x-4) \\leqq x-3 \\\\ 6 x-2(x+1)<10\\end{\overlineray}\\right. (3) حل عدم المساواة $x+9 \\leqq 3-5 x \\leqq 2(x-2)$.'

'في المعادلات أو عدم المساواة التي تتضمن القيم المطلقة، قم بإزالة القيمة المطلقة وحل المعادلة أو عدم المساواة من خلال النظر إلى التعبير داخل القيمة المطلقة كنقطة تقاطع.'

'حل المتباينات الخطية التالية.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية:'

''

'أظهر |x-4|>3x ك (*)'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت a حيث توجد بالضبط 3 أعداد صحيحة x تحقق في نفس الوقت المتراكبات x²-(a+1)x+a≤0 و 3x²+2x-1≥0.'

'ابحث عن مدى الثوابت a التي تجعل العدمية ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx ≥ 0 تنطبق على أي أعداد حقيقية x و y و z. تُعيد العدمية المعطاة بالنسبة ل y كما y^2 - (z + x)y + a(z^2 + x^2) - zx ≥ 0.'

'قدِّم تعبير النفي للدعاوى التالية وحدد قيمة الحقيقة للدعاوى الأصلية ونفيها.'

'التفاضل الخطي مع القيمة المطلقة (باستخدام الأسلوب الرسومي)'

'قم بحل المعادلات الأسفل.'

'حل المعادلة \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \.'

'قم بتمرين البيانات بشكل سلبي للعبارات التالية.'

'[1] عندما تكون \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \, فإن المعادلة \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \ تكون صحيحة. بتبسيطها نحصل على \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \, لذلك \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\). لذلك, \ \\quad-1<x<3 \. النطاق المشترك مع \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ هو \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \'

'حل الفرق ax > 3x - b.'

'عندما تكون a=-1 ، y ثابتة في الفترة -1 ≤ x ≤ 2.'

'ثبت |x-4|<3x.'

'حل المتباينات التالية.'

'حل المتباينات التالية.'

'حل المتباينة |2x-3| ≤ |3x+2|.'

'لنكن a و b و c و p أعدادًا حقيقية. لنفترض أن مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تحقق المتباينات ax^2+bx+c>0، bx^2+cx+a>0، و cx^2+ax+b>0 تتطابق مع مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تحقق x>p.'

'العثور على نطاق القيم'

'بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x، y، ما إذا كان 9x²-12xy+4y²>0'

'ممارسة حل معادلات الدرجة الثانية التالية.'

'حل المتباينات التالية:'

'(2) x>12'

''

'قم بحل النظام التالي من عدم المساواات الخطية.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية:\n(1) |x-3| + |2x-3| = 9\n(2) ||x-2|-4| = 3x\n(3) |2x-3| ≤ |3x+2|\n(4) 2|x+2| + |x-4| < 15'

'يرجى شرح الخصائص الأساسية لعدم المساواة الخطية.'

'حل المتباينة ۲x^٤-١١x^٢+٥>٠.'

'حل المتباينات الخطية التالية:\n(1) 4x - 5 > 3x + 2\n(2) -2x + 7 ≤ 5'

''

'الطرق لحل المعادلات العددية التي تشمل نسب مثلثية'

'حل المتباينات التربيعية التالية.'

'نفترض عدم المساواة A < B وثبت المساويات التالية:\n1. A + C < B + C\n2. A - C < B - C\n3. A * C < B * C (حيث C > 0)\n4. A / C < B / C (حيث C > 0)'

'الحلول:\n(1) x > 2\n(2) x > -23\n(3) 11/5 < x < 3\n(4) -2 < x < 0\n(5) -6/5 <= x <= 3\n(6) x < -2 أو x > 6'

'حل المتباينات التالية:\n(1) x+3<2\n(2) 2x ≥ 5\n(3) -3x ≤ 4'

'حل المتراجحة \|x^{2}-4| \\leqq x+2\.'

'مشكلة العدم المطلق.'

'حل المتباينة التربيعية التالية. (6) 2 x-3>-x^{2}'

'هل الحل لعدم المساواة (5) x > 0؟'

'حل المتباينة التربيعية التالية: (5) 4 x^{2}-5 x-3<0'

'حل المعادلة التي تحتوي على قيمة مطلقة.'

'حل المعادلات أو عدم المساواة التالية.'

'عندما يمنح الأخ الأكبر 3 أقلام للأخ الأصغر ، ينتهي الأخ الأصغر بعدد أكبر'

'حل المتبادلات التالية.'

'العثور على الشروط لأعداد حقيقية a و b بحيث ax^2 + 2bx + 1 > 0 ينطبق لجميع الأعداد الحقيقية x.'

'حل النظام التالي من عدم المساواة.'

'حل المتباينة 2x^{2} - 3x - 5 > 0.'

'(4) ≤'

'(4) حل المعادلة x^{2}-2 x-2 \\leqq 0'

'لنكن a و b ثوابت، ولتكن x^{2}-5 x+6 ≤ 0 (1)، x^{2}+a x+b < 0 (2). نظرًا لعدم وجود قيم ل x تستوفي كل من (1) و (2) في نفس الوقت، ونطاق قيم x التي تستوفي (1) أو (2) هو 2 ≤ x < 5. اعثر على قيم a و b.'

'حل المعادلة ثنائية الدرجة المتضمنة قيمة المطلق | x ^ {2} -2x | > 2-x.'

''

'حل المتباينتين التاليتين:\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'حل المتباينات التربيعية التالية.'

'حل المعادلتين التربيعيتين التاليتين:\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'حل المعادلات أو عدم المساوات التالية.'

'حل النظام التالي من عدم المساواة.'

'عندما $a+1<5$ أي $a<4$ ، من الشكل [4] ، يمكن رؤية أن $x=a+1$ هو الأدنى. القيمة الدنيا هي $f(a+1)=a^{2}-7 a-9$'

'حل المعادلة: x(x-1) < 0'

'حل المعادلات التالية.'

'العثور على الشروط التي ينطبق فيها عدم المساواة دائمًا في نطاق معين من المتغيرات.'

'حل المتراجحات التالية. 1. \ \\ left \\ {\\ begin \\ {\overlineray} {l} x ^ {2}> 1 + x \\\\ x \\ leqq 15-6 x ^ {2} \\ end \\ right. \ 2. \\ (2 \\ leqq x ^ {2} -x \\ leqq 4 x-4 \\) 3. \\ (\\ left \\ {\\ begin \\ {array} {l} x ^ {2} + 3 x + 2 \\ leqq 0 \\\\ x ^ {2} -x-2 <0 \\ end \\ right. \\)'

'حل العقود التالية.'

'حدد الشرط على الثابت a بحيث يكون هناك قيمة صحيحة واحدة فقط لـ x التي ترضي المعادلة 2x^{2} - 3x - 5 > 0 و x^{2}+(a-3)x-2a+2<0 في نفس الوقت.'

'حدد النفي للظروف التالية.'

'4 1 عدم مساواة'

'حل المتباينات التالية.'

'حل المعادلة غير المتجانسة المعطاة $2 x^{4}-11 x^{2}+5>0$.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'حل المتباينات التالية.'

'حل المتباينات التالية.'

'ثبت أنه بالنسبة لجميع الأعداد الإيجابية x و y ، ينطبق المتباينة x(logx - logy) ≥ x - y. كما دلل على أن المساواة تنطبق فقط عندما x = y.'

''

''

'كيفية حل المتباينة \ 2 x^{2}+x-6 \\geq 0 \؟'

'ثبت المتراجحات التالية باستخدام المتراجحة $|a+b| \\leqq |a|+|b|$:'

'حل المتراجحات التالية.'

'شرح معنى التعبير التالي: \ p < q \\Leftrightarrow a^p > a^q \، حيث \ 0 < a < 1 \.'

'حل المترازيات التالية ل 0 ≤ θ < 2π.'

'دليل على عدم المساواة'

'حل المعادلة التالية. حيث a هو ثابت إيجابي. \\[x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \\leqq 0\\]'

'دليل على 27 عدم مساواة [استخدام A-B>0 وما إلى ذلك]'

'أثبت وجد متى تكون القيمة متساوية'

'رسم عدم المساواة اللوغاريتمية والمناطق'

'حل المعادلات التفاضلية التعريفية'

'حل المعادلات اللامتناهية التالية.'

'حل المعادلة \ \\log _{4} x^{2}-\\log _{x} 64 \\leqq 1 \.'

'(1) a^{2}-3 b>0'

'التعامل مع المتباينات التي تشمل القيم المطلقة'

'قم بممارسة حل المتباينات التالية.'

'تمديد دليل عدم المساواة 31 المطر'

'المنطقة الممثلة بواسطة عدم المساواة'

'عبّر عن أحجام مجموعات الأعداد التالية باستخدام رموز العدمية.'

'حل المتباينة $\\log_{4}x^{2}-\\log_{x}64 \\leqq 1$.'

'ابحث عن مساحة المنطقة الممثلة بواسطة نظام المعادلات y≥x²، y≤10-3x، y≤x+6.'

'رسم المنطقة الممثلة بواسطة المتباينات التالية.'

''

'أثبت أن المعادلة صحيحة. متى تكون المساواة صحيحة؟'

'ابحث عن النطاق الممثل بواسطة المتباينات التالية: عندما تكون x < 0, 2x ≤ y ≤ 1؛ عندما تكون 0 ≤ x < 1/2, 2x ≤ y ≤ x²+1؛ عندما تكون 1/2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ x²+1؛ عندما تكون x > 1, 1 ≤ y ≤ 2x.'

'التمرين 6\nبالنسبة إلى الثابت الإيجابي a، ابحث عن نطاق قيم a مما يجعل عدم المساواة a^x >= x صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية الإيجابية x.'

'لنكن K المنطقة المحددة بالتباين -sin x ≤ y ≤ cos 2x, 0 ≤ x ≤ π/2. (1) احسب مساحة K. (2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بتدوير K حول محور x. [جامعة كوبه]'

'إثبات عدم المساواة f(x)>g(x)'

'ابحث عن نطاق قيم العدد الحقيقي الإيجابي x التي ترضي عدم المساواة $x^{2}>2^{x}$.'

'عندما تستوفي الأعداد الحقيقية x، y المعادلتين غير المتساويتين y≤x+1 و x²+4y²≤4، ابحث عن أقصى وأدنى قيم ل y-2x.'

'ثبت عدم المساواة التالية.'

'أثبت عدم المساواة |S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x| \\leqq \\frac{1}{n+1}.'

'عندما ترضي الأعداد الحقيقية x، y المتباينات y≤2x+1 وx²+2y²≤22 ، ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ x+y.'

'ثبت عدم المساواة \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'حل المتراجحات التالية.'

'ابحث عن نطاق قيم a التي تجعل المعادلة a^x >= x تتحقق لجميع الأعداد الحقيقية الإيجابية x.'

'حل المعادلة $\\sqrt{4-x}>x-2$.'

'ثبت عدم المساواة $\\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y|$.'

'عندما تكون عدم المساواة $x^{2}-10 x-24>0,(x+1)(x-a^{2}+a)<0$ صحيحة في نفس الوقت ولا يوجد قيمة $x$ موجودة، ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$.'

'قم بفحص قيمة الحقيقة للمقترحات التالية ومناقضاتها.\n(1) بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x ، 2 x^{2}+1>0\n(2) بالنسبة لأي مجموعة من الأعداد الحقيقية x، y ، x^{2}-4 x y+4 y^{2}>0\n(3) يوجد عدد صحيح x بحيث x^{2}-3 x-10=0'

'تحديد ما إذا كانت العبارات التالية تقول أكاذيب أم لا.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'العثور على نطاق عدم المساواة 3x - 5x < 4 + 8.'

'اضرب الطرفين من غير المساواة ب -1 وحل 2x^2 + 3x + 7 ≤ 0. افترض D هو مميز المعادلة التربيعية 2x^2 + 3x + 7 = 0، ثم D = 3^2 - 4 * 2 * 7 = -47 < 0. لذلك، لا توجد حلول للمعادلة غير المساوية المعطاة. كحلا بديلٍ، أكمل الربع وتحقق من عدم وجود حلول.'

'86 - الرياضيات الجزء الأول'

'حل 3(x-1) \\geqq x+3 وجد نطاق الحل.'

'إذا كان عدد العناصر التي يتعين شراؤها 10 عنصرًا أو أقل ، فإن متجر A أرخص من متجر B ، لذلك دع الكمية المطلوبة تكون x ، ثم x > 10.'

None

'ابحث عن نطاق الأعداد الحقيقية x التي ترضي عدم المساواة التربيعية التالية: a x^2 - 3x + b > 0'

'لنكن a ثابتًا. اعثر على نطاق قيم a التي توجد فيها أعداد صحيحة تستوفي في نفس الوقت الاختلافين التاليين ، وأن هذه الأعداد الصحيحة محددة للأعداد الطبيعية فقط.'

'لنكن a ثابتًا. حل المترايبات التالية لـ x.'

'ثبت عدم المساواة |x+2|-|x-1| <= 3.'

'ممارسة 69 دفتر الصفحة 146 (1) عدم المساواة 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 أي a>-1/2، عند تحقق هذا الشرط، فإن حلاً للمعادلة هو 1/2<x<a+1. الشرط ليكون هناك عدد صحيح واحد فقط x يرضي هذه المعادلة هو 1<a+1 ≤ 2، لذا 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 أي a=-1/2، في هذه الحالة المعادلة تصبح 2(x-1/2)^{2}<0، ولا يوجد عدد صحيح x يرضي هذا الشرط. [3] a+1<1/2 أي a<-1/2، في هذه الحالة الحلا للمعادلة هو a+1<x<1/2. الشرط ليكون هناك عدد صحيح واحد فقط x يرضي هذه المعادلة هو -1 ≤ a+1 <0، لذا -2≤ a<-1. لذلك، نطاق القيم المطلوبة لـ a هو -2 ≤ a<-1، 0<a ≤ 1'

'لنكن a، b، c، و p أعدادًا حقيقية. تفضل بإثبات أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية x التي ترضي المتباينات ax^2+bx+c>0، bx^2+cx+a>0، و 7cx^2+ax+b>0 تتطابق مع مجموعة الأعداد الحقيقية x التي ترضي x>p.'

''

'عندما تكون x = 1 ، تصبح عدم المساواة 0 > 0 ، وهو ليس حلاً.'

'ابحث عن النطاق المشترك لعدم المساواة التالي.\n(A) : 6x + 5 ≥ 2x - 3 و x + 13 > 7x - 5\n(B) : 2x + 8 > x + 7 و 3x - 3 > 4x - 1'

''

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'أجب على الأسئلة التالية بخصوص المتباينتين ||x-9|-1|≤2 (1)، |x-4|≤k (2)، حيث k هو ثابت إيجابي.'

'(1) نظرًا لأن x^2 >= 0، لدينا 2x^2 + 1 > 0. بالنظر إلى △ A ∩ B ⊂ A و 2 ∈ A، ننظر إلى الحالة التي تحدث 7 ∈ A. مع 2 ∈ B و 7 ∉ B. (2) لإظهار A = B، علينا أن نثبت A ⊂ B و B ⊂ A.'

'[3] -a/2 > 1 أي عندما a < -2'

'حل الحدود التالية.'

'الجانب 17 | طريقة حل المترادفات\n(1) حل المترادفات الآتية.\n(أ) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right. \n(ب) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right. \n(2) حل المترادفة $9-7 x<3-5 x<2(x-2)$.'

'حل -2 x < 3 x - 4 < 2 x، وهو يعادل |3 x-4| < 2 x، للعثور على الحل.'

'ذكر نفي العبارات التالية.'

'حل المتباينة التالية: |x-1|+2|x| <= 3'

حل المتباينات التربيعية التالية. (1) $x^{2}-8x+16>0$ (2) $x^{2}-8x+16<0$ (3) $x^{2}-8x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8x+16 \leqq 0$

حل المتباينات التربيعية التالية. (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

عدم المساواة التربيعية الأساسيات 93 حل عدم المساواة التربيعية (1)

حل المتباينات الرباعية التالية. (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

أساسي 32 استخدام خصائص المتباينات (1) قياسي 33 استخدام خصائص المتباينات (2) أساسي 34 حل المتباينات الخطية أساسي 35 حل أنظمة المتباينات قياسي 36 حلول المتباينات بالأعداد الصحيحة قياسي 37 مسائل لفظية على المتباينات أساسي 38 المعادلات والمتباينات التي تتضمن القيم المطلقة…أساسي قياسي 39 حل المعادلات التي تتضمن القيم المطلقة من خلال تحليل الحالات

حل المعادلات والمتباينات التالية. (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

أوجد نطاق قيم الثابت $a$ التي تستوفي الشروط التالية لحل نظام المتباينات \( \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \): (1) لا توجد حلول. (2) الحل يشمل العدد 2. (3) الحل يحتوي على ثلاثة أعداد صحيحة فقط.

تمرين 93 - حل المعادلة التربيعية التالية. (6) $x^{2}+x \leqq 6$

تمرين 93 - حل المتباينة التربيعية التالية. (4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

حدد القيمة الصدقية للمقترحات. ليكن $x$ عددًا حقيقيًا و$n$ عددًا صحيحًا. استخدم المجموعات لفحص صدق المقترحات التالية. (1) $x < -3 \Longrightarrow 2 x + 4 \leqq 0$ (2) $n$ هو قاسم موجب ل 18 $\Longrightarrow n$ هو قاسم موجب ل 24

حل المتباينة التربيعية التالية. (3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

حل المتباينات التربيعية التالية. (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$ (4) $x^{2}+3 \geqq 0$

أوجد جميع القيم الصحيحة للمتغير $x$ التي تحقق نظام المتباينات \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \).

ابحث عن النطاق من قيم الثابت $a$ التي تلبي الشروط التالية لحل النظام اللامتساوي: (1) يوجد حل. (2) يحتوي الحل على 3 أعداد صحيحة بالضبط. \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

مسألة التمرين 93 - حل المتبينة التربيعية التالية. (3) $x^{2}-2x < 0$

حل المتباينات التالية: (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

حل المتباينات التالية. (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

عندما يكون \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 ، أوجد القيمة العظمى للدالة \( f(x)=(1-x)|x+2| \).

بالنسبة لنظام المتباينات المعطى \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. ، جد نطاق القيم للثابت $a$ الذي يحقق الشروط التالية: (1) النظام لديه حل. (2) الحل يحتوي على عدد صحيح بالضبط 2.

ليكن $x$ عددًا حقيقيًا. استخدم المجموعات لتحديد قيمة الصواب أو الخطأ في الادعاءات التالية. (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

تمرين 93 - حل المتباينة التربيعية التالية. (5) $x^{2} > 9$

دعونا ننظم طريقة حل المتباينات التربيعية في شكل مخطط انسيابي. في الأمثلة الأساسية من 93 إلى 96، حللنا أنواعًا مختلفة من المتباينات التربيعية. الآن سننظمهم. نحن نعتبر $ax^{2} + bx + c$. أولاً، تحقق مما إذا كان يمكن تحليله إلى عوامل. إذا كان يمكن تحليله إلى عوامل، سيصبح في شكل \( a(x-lpha)(x-eta) \) أو \( a(x-lpha)^{2} \). ثم ارسم الرسم البياني $y = ax^{2} + bx + c$، بافتراض أن $a > 0$. ويتم تلخيصها في الجدول التالي: egin{\overlineray}{c} نوع المتباينة & نطاق حلول \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \leqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & lpha \leqq x \leqq eta \\hline\end{array}\) من المهم فهم سبب الحلول بدلاً من حفظ هذا الجدول فقط.

المتباينة التربيعية الأساسية 94 حل المتباينة التربيعية (2)

التمرين 93 - حل المتباينة التربيعية التالية. (2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

حل المتباينة 2|x+4|<x+10 من خلال النظر في الحالات المختلفة.

حل المتباينات التربيعية التالية. (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

حل المتباينة $x^2-4x+3<0$.

التمرين 93 - حل عدم المساواة التربيعية التالية. (1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

عند نقل جميع حدود المتباينة إلى الجانب الأيسر وترتيبها، مثل $a x^{2}+b x+c>0$ و $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ (حيث أن $a, b, c$ ثوابت و \( a eq 0 ）)، يصبح الجانب الأيسر تعبيرًا تربيعيًا في $x$، والذي يسمى متباينة تربيعية في $x$. ثم، القيمة $x$ التي تحقق المتباينة التربيعية تُسمى حل المتباينة، وإيجاد جميع الحلول يُسمى حل المتباينة التربيعية. في هذا الفصل، سنتعلم كيفية حل المتباينات التربيعية باستخدام الرسوم البيانية للدوال التربيعية. سنستخدم بشكل نشط العلاقة بين رسم الدالة التربيعية والمحور $x$ التي تعلمناها في الفصل السابق. ■ حلول المتباينات التربيعية والرسوم البيانية للدوال التربيعية ملاحظة: في المناقشات التالية، ليس من غير المناسب افتراض أن إشارة معامل $a$ في $x^{2}$ موجبة للتقدم. هذا لأنه عندما تكون إشارة $a$ سالبة، يمكننا ببساطة ضرب كلا الجانبين بـ -1 لجعل معامل $x^{2}$ موجبًا ثم الحل. لإيجاد حلول المتباينة التربيعية \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \)، اجعل $y = a x^{2}+b x+c$، ثم العثور على مجال القيم $x$ الذي يكون فيه $y>0$ يعني العثور على مجال القيم $x$ حيث يكون الرسم البياني لـ $y=a x^{2}+b x+c$ أعلى من المحور $x$. كمثال ملموس، دعنا نشرح المتباينة التربيعية $x^{2}-4 x+3>0$(1).

حل المتباينة التربيعية التالية. (2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

حل المتباينة 3|x+1| $\geqq x+5$.

حل المتباينات التربيعية التالية. (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

عبر عن الجملة 'العدد الناتج عن طرح ثلاثة أضعاف عدد x من 10 أكبر من -5' كمتباينة.

حل المتراجحة $|2 x|+|x-5| \geqq 8$.

حل المتباينة $x^2 - 4x + 3 > 0$.

حل المتباينات التالية. (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

حل المعادلات والمتباينات التالية. (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

حل المتباينة 2x-5<9.