الجبر الأساسي - المعادلات الجبرية (خطية، تربيعية)

'حل المعادلات التالية:'

'تحديد العوامل من الحلول التخيلية للمعادلة'

'لنكن x المبلغ الذي يجب سداده في نهاية كل عام، ابحث عن قيمة x بحيث يكون الرصيد في نهاية كل عام صفرًا.'

'ابحث عن المعادلة التكعيبية مع الجذور 1، 2، و 3.'

'العثور على معادلات الخطوط التالية:\n(1) خط يمر عبر النقطة (6،-4) ومتوازي مع الخط 3x + y - 7 = 0\n(2) خط يمر عبر النقطة (-1،3) ومنتصب على الخط x - 5y + 2 = 0'

'وبالتالي، قيمة التعبير المعطى هي'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'حدد أنواع الحلول لمعادلات الدرجة الثانية التالية. حيث a هو ثابت. (1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'بالنسبة للمعادلة $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$، حدد نطاق الثابت $k$ بحيث تحتوي المعادلة على الجذور التالية:'

'حل النظام التالي من المعادلات المتزامنة.'

'تحديد أنواع الحلول لمعادلات الرباعيات التالية.'

'ممارسة حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'ابحث عن قيم ثابت m التي تؤدي إلى وجود حلول صحيحة فقط للمعادلة التربيعية $x^2 - mx + 3m = 0$ وحدد جميع الحلول الصحيحة المعتمدة على ذلك.'

'العثور على مجموع وضرب حلول المعادلات التربيعية التالية.'

'حل المشكلة التالية: العثور على حلول المعادلة التربيعية.'

'مثال مهم 23 | حلول المعادلات التربيعية وقيمة المعادلات لنكون الحلول الاثنين للمعادلة التربيعية $x^{2}+n x+p=0$ هما $a, b$، ولتكون الحلول الاثنين لـ $x^{2}+n x+q=0$ هما $c, d$. هنا، $p, q$ هما أعداد صحيحة، و $n$ هو عدد حقيقي. (1) عبّر عن $(c-a)(c-b)$ بالنسبة إلى $p, q$. (2) أثبت أن $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ هو مربع مثالي (يمكن تعبيره كمربع لعدد صحيح).'

'احسب الاحتمال p_{n+2} بعد (n+2) ثانية باستخدام p_n و p_{n+1}.'

'(١) دع D يكون مميز المعادلة التربيعية x^2-k x+3 k-4=0 (١)، ثم D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16. لمعادلة التربيعية (١) أن تحتوي على حلول مركبة، الشرط هو D<0، لذلك k^2-12 k+16<0.'

'بالنظر إلى الخطوط الثلاثة ، حيث تمثل a وb ثابتًا: x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1. قم بإثبات أنه عندما تمر هذه الخطوط الثلاثة من خلال نقطة واحدة ، فإن النقاط الثلاثة (-1,1) ، (3,-1) ، (a، b) تكون مستقيمة.'

''

'حل معادلات مثلثية باستخدام الصيغ الجمعية والضربية.'

'(1) حل المعادلة: $6x^{2}-61x+153=0$.'

'بالتسلسل، 4x + 3y - 17 = 0، 3x - 4y + 6 = 0'

'استناداً إلى الشروط التالية، حل المشكلة.'

'ابحث عن معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة \\( (x_{1}, y_{1}) \\) ومنتصب على محور \ x \.'

'عندما تكون معادلة مكعبة ذات معاملات حقيقية ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 لديها حلاً وهميًا α ، فشرح حول الأعداد المركبة المتصلة وأظهر خصائصها.'

'(1) لنكن $\\alpha$ و $\eta$ حلول معادلة مربعة $x^{2}+3x-6=0$. حدد معادلة مربعة جديدة مع حلول $2\\alpha+\eta$ و $\\alpha+2\eta$. (2) إذا كانت $\\alpha$ و $\eta$ هما حلول المعادلة المربعية $x^{2}+px+q=0$، وأحد المعادلات المربعية مع حلول $\\alpha^{2}$ و $\eta^{2}$ هي $x^{2}-4x+36=0$، ابحث عن قيم الثوابت الحقيقية $p$ و $q$.'

'ابحث عن قيم α و β و γ التي تقوم بإرضاء المعادلات التالية: \ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'ابحث عن جميع قيم $m$ الصحيحة التي لديها المعادلة التربيعية $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ حلاً صحيحًا.'

'ممارسة: ابتداءً من الأصل O على المحور العددي، ارمي عملة، حرك 2 وحدة في الاتجاه الإيجابي إذا كانت الوجوه الظاهرة، و 481 وحدة في الاتجاه الإيجابي إذا كانت العقول الظاهرة. دع احتمال الوصول إلى النقطة n يُعرف بـ pn. هنا، n هو عدد طبيعي.\n(1) حدد العلاقة بين pn، pn-1، و pn-2 ل n أكبر من أو يساوي 3.\n(2) ابحث عن قيمة pn.'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'(1) (6, 4) (2) بالترتيب (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'الرياضيات الثانية'

'من خلال أخذ العكسي لكلا الجانبين من العلاقة التكرارية نحصل على \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ إذا جعلنا \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} فإننا نحصل على \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} إعادة ترتيب هذا يمنحنا \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) كما أن \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 لذلك, تتشكل التسلسل \\ \\{b_{n}+2\\} تسلسل هندسي بمعدل متساوي النسبة بالأعداد الأولى 3 وبنسبة مشتركة 3, حيث \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} مما يعني \\ b_{n} = 3^{n} - 2 لذلك, \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'(2) لنكن إحداثيات نقطتي التقاطع A و B على طول x هما α و β على التوالي. عن طريق القضاء على y من y=x^{2} و y=m(x+2) ، نحصل على x^{2}-mx-2m=0. α و β هما حلان حقيقيان مختلفان لهذا المعادلة من الدرجة الثانية. لنكن D هو المميز، إذن D=(-m)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-2m)=m(m+8). نظرًا لأن D>0 ، لدينا m(m+8)>0 ، مما يعني أن m<-8 و 0<m. أيضًا ، استنادًا إلى العلاقة بين الحلول والمعاملات المقابلة ، α+β=m. لذلك ، إذا افترضنا إحداثيات نقطة منتصف قطعة مستقيمة AB على أن تكون (x، y) ، فإن x=(α+β)/2=m/2. بالإضافة إلى ذلك ، y=m(x+2). عند القضاء عن m من (2) و (3) ، نحصل على y=2x(x+2) ، وهو y=2x^{2}+4x. بالإضافة إلى ذلك ، من (1) و (2) ، نعلم أن x<-4 و 0<x. لذلك ، المسار الذي نبحث عنه هو الجزء من القطعة الناقصة y=2x^{2}+4x حيث x<-4 و 0<x.'

'عند تحويل معادلة دائرة، \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\)، إذاً، مركز الدائرة C هو النقطة (2,1)، بنصف قطر \\\sqrt{2}\.'

'لنكن 14k عددًا حقيقيًا ، دعنا ننظر في المعادلة التربيعية في x ، x^{2}-kx+3k-4=0.'

'قم بالنظر في الشروط التالية للأعداد الصحيحة a و b و c (*). ∫(x²+bx)dx = ∫(x²+ax)dx عند التكامل من a إلى c و b إلى c. (1) عبّر عن c² بالنسبة ل a و b عندما ترضي الأعداد الصحيحة a و b و c (*) و a≠b. (2) اعثر على جميع أزواج الأعداد الصحيحة (a، b) التي ترضي (*) و a<b عند c=3. (3) أظهر أنه عندما تكون الأعداد الصحيحة a و b و c ترضي (*) و a≠b، فإن c هو ضرب من 3.'

'ابحث عن الشكل العام للتسلسل {an} المحدد حسب الظروف التالية.'

'ممارسة منحنيين y = 2x^{3} + 2x^{2} + a، y = x^{3} + 2x^{2} + 3x + b ملامسان مع المستقيم المماس الذي يمر عبر النقطة (2،15)، العثور على قيم الثوابت a، b ومعادلة المستقيم المماس.'

'التمرين 39: x² = x + 3 ، أي x² - x - 3 = 0 لديها حلان α و β (α < β) ، ومن العلاقة بين الحلول والمعاملات نحصل على α + β = 1 ، αβ = -3. قم بإثبات ذلك. كما يمكنك إثبات أن المعادلة التكرارية هي a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0. في النهاية ، ابحث عن a_{n}.'

''

'يرجى إظهار أن معادلة ذات معاملات حقيقية من درجة فردية لديها على الأقل حلاً واحدًا حقيقيًا.'

'مجموعة مشكلة رياضية 62'

'اعثر على قيمة التعبير التالي.'

'(3) استنادًا إلى مجموع عددين α+β=-4 وحاصل ضربهما αβ=13 ، ابحث عن المعادلة التربيعية وحلولها.'

'صنف عدد الحلول للمعادلة sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π) استنادًا إلى قيمة الثابت a.'

'لنكن العنصر الأول a والفرق الشائع d، ثم العنصر العاشر هو 1 والعنصر السادس عشر هو 5، لذلك a+9d=1، a+15d=5. حل هذه المعادلات يؤدي إلى a=-5، d=2/3. لنعتبر Sn مجموع العناصر من العنصر الأول إلى العنصر الثامن. لذلك، S30=1/2*30{2*(-5)+(30-1)*2/3}=140، و S14=1/2*14{2*(-5)+(14-1)*2/3}=-28/3. وبالتالي، S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'التمرين 38: حوِّل العلاقة التكرارية إلى a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n}). لذا، تحتوي السلسلة {a_{n+1} + 4a_{n}} على عنصرٍ أولي هو a_{2} + 4a_{1} = 9، نسبة مشتركة -4، قم بإثبات أنها سلسلة هندسية. كما، أظهر أن a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}. في النهاية، اعثر على قيمة a_{n}.'

'بالنسبة للمعادلة التربيعية $a x^{2}+b x+c=0$ مع حلولها الاثنين $\\alpha, \eta$ ، لدينا $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$ و $\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$.'

'لنكن $D_{1}$، $D_{2}$، و$D_{3}$ هي حاصل الفصل لثلاثة معادلات، على التوالي. حدد نطاق قيم a التي تجعل كل حاصل فصل يحتوي على جذور معقدة. استخدم نتائج حاصل الفصل بناءً على المعادلات.'

'ثلاثة أعداد حقيقية a ، b ، c تشكل تسلسل حسابي بالترتيب a ، b ، c ، وتسلسل هندسي بالترتيب b ، c ، a. عندما يكون حاصل ضرب a ، b و c هو 125 ، اعثر على قيم a ، b ، c.'

'من معادلة C2، لدينا (x-3)^2 + (y-a)^2 = a^2 - 4a + 5. ابحث عن الشروط لتقاطع هذه المعادلة مع المستقيم y=x+1 في نقطتين مختلفتين.'

'كتاب ممارسة الرياضيات II صفحة 61'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\nلنكن D هو مميز هذه المعادلة التربيعية\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\nنظرًا لأن D<0 ، فهذه المعادلة التربيعية ليس لديها حلول حقيقية. لذلك ، ليس لدى الدائرة (أ) والخط (3) نقاط تقاطع.'

'y = bx - a² / 4'

'عندما تكون a = 1 ، فإن معادلة C₂ هي x^2-6x + y^2-2y + 8 = 0. الآن، دع k يكون ثابتًا وننظر في المعادلة التالية: k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8 = 0. ابحث عن الشروط اللازمة لتكوين خط بهذا.'

'شرط وجود حلول تزيد عن 4 هو D>0 و(α-4)+ (β-4)>0 و(α-4)(β-4)>0'

'نظرًا لأن نقطة الوسط لقطعة الخط PQ هي (3+p)/2, (4+q)/2 تقع على الخط ℓ، لذلك'

'معادلة درجية بتكرار الجذور'

'حل المعادلة من الدرجة الرابعة التالية: x^{4}=4'

'قم بإثبات أن واحد على الأقل من \ a, b, c \ هو 1 عندما \ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \.'

'يرجى شرح حلول معادلة (x-3)^{2}(x+2)=0 وجذرها المتكرر.'

'لنكن $Q(x)$ متعدد الحدود من الدرجة الثانية. الجبر $P(x)$ لا يمكن أن يقسم $Q(x)$، ولكن {$P(x)$}^2 يمكن أن يقسم $Q(x)$. أثبت أن معادلة الدرجة الثانية $Q(x)=0$ لديها جذراً متكرراً.'

'نظرًا لأن العدد الحقيقي إيجابي ، فإنه يتبع أن $x-2>0$ و $3-x>0$. لذلك ، $2<x<3$. ونظرًا لأن $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$.'

'اعتبر ذلك حلاً لـ b في المعادلة من الدرجة الثانية'

'باستخدام العلاقة بين الجذور والمعاملات، اعثر على القيمة التالية.'

'مثال مهم 27 | حلول معادلتين'

'بالنسبة للخضروات أ ، يحتوي كل منها على 8 جرام من العنصر الغذائي x₁ ، 4 جرام من العنصر الغذائي x₂ ، و 2 جرام من العنصر الغذائي x₃ ، بينما بالنسبة للخضروات ب ، يحتوي كل منها على 4 جرام من العنصر الغذائي x₁ ، 6 جرام من العنصر الغذائي x₂ ، و 6 جرام من العنصر الغذائي x₃. اختيار بعض كل من هذين النوعين من الخضروات لمزجهما وتحضير عصير الخضروات. الهدف هو أن يحتوي الخضروات المختارة على العنصر الغذائي x₁ بمقدار لا يقل عن 42 جرام ، والعنصر الغذائي x₂ بمقدار لا يقل عن 48 جرام ، والعنصر الغذائي x₃ بمقدار لا يقل عن 30 جرام. عند إعداد العصير بأقل كمية ممكنة من الخضروات من النوع أ و النوع ب ، فإن الدمج بين عدد الخضروات أ ، a ، والخضروات ب ، b ، هو'

'لجميع الأعداد الطبيعية n ، اشتق cn + 1 عن طريق استخدام an + bn + cn = 1.'

'بحيرة كتاب 37 صفحة 119 إيجاد معادلة الدائرة في الشكل x^2+y^2+lx+my+n=0. تمر الدائرة عبر النقطة A(8,5)، لذلك 8^2+5^2+8l+5m+n=0، تمر أيضاً عبر النقطة B(1,-2)، لذا 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0، تمر أيضاً عبر النقطة C(9,2)، لذا 9^2+2^2+9l+2m+n=0. بعد تبسيط هذه المعادلات نحصل على 8l+5m+n=-89، l-2m+n=-5، 9l+2m+n=-85. حل هذه المعادلات يعطي l=-8، m=-4، n=-5. لذلك، المعادلة المطلوبة هي x^2+y^2-8x-4y-5=0. نهج آخر هو أن مركز الدائرة المرغوبة هو نقطة الوسط لمثلث ABC. معادلة المستقيم المنصف الرأسي للشطر AB هي y-3/2=-1(x-9/2)، لذا y=-x+6. يمكن التحقق من ذلك أيضاً عن طريق استبدال x=y=0 في 4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2. من (1)-(2) ÷ 7 نحصل على l+m=-12، ومن (1)-(3) نحصل على l-3m=-4، لذلك 4m=-16، وما إلى ذلك.'

'مثال 4 | ثلاثة أرقام تشكل تسلسل حسابي\nهناك ثلاثة أرقام تشكل تسلسل حسابي، حيث يبلغ مجموعها 18 وحاصل ضربها 162. اعثر على هذه الأرقام الثلاثة.'

'فلنكن حجم المكعب الستواني المستطيل V، حيث V = x y z يتم اشتقاقه من المعادلات (2)، (3)، (4)، x، y، z هم جذور معادلة الدرجة الثالثة t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0. الشرط لوجود الأعداد الإيجابية x، y، z هو أن تحتوي المعادلة (5) على ثلاث جذور إيجابية.'

'مثال 42 | معادلة خط تمر عبر نقطة ثابتة\nلنكن k ثابتًا. يمر خط (2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0 عبر نقطة ثابتة بغض النظر عن قيمة k. إحداثيات تلك النقطة الثابتة تُعرف بـ A. بالإضافة إلى ذلك، عندما تكون ميل هذا الخط 1/3، يتم تمثيل قيمة k بـ B.\n[جامعة فوكوكا]'

'a³ - a² - b = 0 أو 9a + 27b - 1 = 0 حيث a ≠ 1/3'

'الأس هو عدد إيجابي لا يساوي 1.'

'ابحث عن الشرط الذي يحقق لإحدى المعادلات جذور معقدة.'

'تمرين شامل'

'العثور على المعادلة التربيعية باستخدام مجموع وضرب عددين.'

'مثال 18 قيمة المعادلة المتناظرة (2)\nبالنسبة للجذرين $\\alpha, \eta$ للمعادلة من الدرجة الثانية $2 x^{2}+4 x+3=0$ ، اعثر على قيم التالية.\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'المثال 38 العلاقة التكرارية بين 3 عناصر متجاورة (2)'

'أظهر الحلول والمميز للمعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 مع المعاملات الحقيقية.'

'عندما تصبح الخط الذي يمر عبر نقاط التقاطع بين 2x - y - 1 = 0 و x + 5y - 17 = 0 متوازيًا مع 4x + 3y - 6 = 0، ابحث عن المعادلة.'

'(1) العثور على المعادلة التربيعية من جمع العددين α+β=7 والحاصل αβ=3، وحل المعادلة للجذور.'

'حل المشكلة التالية.'

'(1) ابحث عن جذور معادلة من الدرجة الثانية باستخدام مجموع وضرب رقمين.'

'المثال 17 | قيمة التعبيرات المتناظرة (1)\nالمعادلة من الدرجة الثانية x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\nفلتكن الحلولان للمعادلة \\alpha, \eta, ثم اعثر على قيم التعبيرات التالية.\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'في (2) ، العلاقة بين الجذور والمعاملات هي α+β=-p و αβ=q. في x²+qx+p=0 ، العلاقة بين الجذور والمعاملات هي α(β-2)+β(α-2)=-q ، α(β-2)+β(α-2)=p ، و 2αβ-2(α+β)=-q. لذلك ، 2q+2p=-q ، مما يعني أن 2p+3q=0. من (2) ، نحصل على αβ+αβ-2(α+β)+4=p ، ومن (1) ، نحصل على q(q+2p+4)=p ، لذلك p=-3/2q. باستبدال (6) في (5) وتبسيطه ، نحصل على 4q²-11q=0 ، مما يؤدي إلى q(4q-11)=0. حل هذا يعطي q=0 و 11/4. عندما يكون q=0 ، من (6) نجد أن p=0. في هذه الحالة ، تكون α=0 و β=0 ، وهذا يتناقض مع افتراض أن α و β ليست متساوية. عندما يكون q=11/4 ، من (6) نجد أن p=-33/8.'

'لنكن D1 و D2 منظريْ التمييز للمعادلتين (1) و (2)، على التوالي.'

'بسط المعادلة إلى'

'نظرًا لأن النقطة (1،2) تقع على الخط (3) ، لدينا a+2b=1'

'ابحث عن مدى القيم الممكنة ل y لتحقيق y=-2x+3 لقيم x ضمن النطاق -3 ≤ x ≤ 2.'

'أثبت المعادلة التالية:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \nحيث a + b + c = 0.'

'أظهر العلاقة بين حلول معادلة مكعبة والمعاملات.'

'قم بتحديد قيمة الثابت k التي تفي بالشروط التالية:\n(1) حلاً هو ضعف الحل الآخر\n(2) حلاً هو التربيع للحل الآخر'

'بالنسبة لأعداد حقيقية a، b، دع f(x) = x^3 - 3 a x + b. دع M يكون القيمة القصوى ل |f(x)| لـ -1≤x≤1.'

'لنكن إحداثيات النقطة P (a, b). إحداثي x للنقاط التي تتقاطع فيها الخط ذو الميل m الذي يمر من خلال نقطة P مع المنحنى C هو الحل الحقيقي للمعادلة x^3 - x = m(x-a) + b. عندما تحتوي هذه المعادلة على ثلاث حلول حقيقية متميزة ، يتقاطع الخط ℓ مع المنحنى C في ثلاث نقاط متميزة.'

'ممارسة'

'ابحث عن قيمة k التي ترضي الشروط التالية.'

'ابحث عن معادلة الخط المار بنقطتين مختلفتين \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\).'

'في افتراض أن السلسلة المعطاة هي تتسلسل حسابيًا مع العنصر الأول 5 والفرق الشائع -7. إذا كانت العنصر الفردي لهذا التسلسل بمقدار -1010 ، فإن 5+(n-1)×(-7)=-1010. حل هذا المعادلة يعطي 7n=1022 ، مما يعني أن n=146 (عدد طبيعي). لذلك ، من الممكن أن تكون السلسلة المعطاة تتسلسل حسابيًا. بالإضافة إلى ذلك ، -1010 هو العنصر 146.'

'تحويل النص الرياضي المعطى إلى عدة لغات.'

'التمرين 39⇒هذا الكتاب ص.91\\ من العلاقة بين الحلول والمعاملات لمعادلة درجية ثالثة \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'عندما تُمثّل المعادلة $x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$ دائرة\n(1) اعثر على نطاق القيم للثابت $k$.\n(2) عندما يتغير $k$ ضمن هذا النطاق، اعثر على مسار مركز الدائرة.'

'عندما تتحقق x-2y+z=4 و 2x+y-3z=-7 ، يجب تحديد الثوابت a, b, و c بحيث تكون ax^2+2by^2+3cz^2=18 صحيحة.'

'العثور على قيم ثوابت a و b و c التي تُرضي المعادلتين x - 2y + z = 4 و 2x + y - 3z = -7 لجميع القيم لـ x و y و z التي تحقق تلك المعادلات.'

'حدد قيم الثوابت a و b و c بحيث تكون المعادلة 3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c معادلة هوية من حيث x.'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية المتميزة لمعادلات الدرجة الثالثة التالية.'

'تأكيد معادلات اللوغاريتمية وشروط الأسس'

'عندما يكون المعادلة التكعيبية $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ لديها جذر مزدوج، ابحث عن قيمة الثابت $a$.'

'العثور على معادلات الخطوط التالية.'

'ابحث عن العددين الذين لديهما المجموع والضرب على النحو التالي:'

'تطوير 52: مشكلة البرهان بخصوص حلول المعادلة التربيعية'

'حدد أنواع الحلول للمعادلات التربيعية التالية. يرجى ملاحظة أن k في (4) هو ثابت.'

'ابحث عن الظروف التي يمكن فيها قسمة المتعدد الحاصل P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 بواسطة x = 2 و x = -1.'

''

'عندما تحتوي المعادلة التربيعية $x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$ على حلين مختلفين يكونان كلاهما أكبر من 1 ، ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$.'

'بالنسبة لمعادلة الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$ مع حلولين $\\alpha, \eta$ ومميز الحساسية $D$:\n1. $\\alpha, \eta$ هما حلين إيجابيين متميزين $\\Longleftrightarrow D > 0$ و $\\alpha + \eta > 0$ و $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ هما حلين سالبيين متميزين $\\Longleftrightarrow D > 0$ و $\\alpha + \eta < 0$ و $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ هما حلول بعلامات مختلفة $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'النظر في علامات الفروقات \\\alpha-k, \eta-k\ للجذور الحقيقية \\\alpha, \eta\ لمعادلة من الدرجة الثانية وعدد حقيقي \k\\n\nالتركيز على علامات الجمع \\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\) والضرب \\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية المتميزة لمعادلات الدرجة الثالثة التالية.'

'حدد نطاق قيم الثابت $m$ بحيث المعادلة التربيعية $x^{2}+2mx+6-m=0$ لها جذران حقيقيان متمايزان يتجاوزان الواحد.'

'حدد نطاق قيم الثابت m بحيث يستوفي المعادلة التربيعية التالية $x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$ الشروط التالية: (1) لديها جذرين موجبين. (2) لديها جذرين سالبين مختلفين. (3) لديها جذور بعلامات مختلفة.'

'لتكن a و b ثوابت. اعثر على قيم a و b عندما يكون مضرب الجذور x^3-x^2+ax+b قابلاً للقسمة على مضرب الجذور x^2+x+1.'

'ابحث عن العنصر الأول والنسبة المشتركة لسلسلة هندسية بحيث مجموع العناصر الثلاثة الأولى هو -7 ومجموع العناصر من الثالثة إلى الخامسة هو -63.'

'المعادلة عالية الدرجة: اعثر على قيمة الثابت $a$ والجذر الآخر للمعادلة $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$، مع العلم بأن أحد الجذور هو $x=2$.'

'الهوية مع الشرط'

'بالنسبة للمعادلة التربيعية $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$ ، أجب على الأسئلة التالية.\n(1) حدد نطاق قيم الثابت $m$ عندما تحتوي المعادلة على حلول معقدة اثنين.\n(2) اعثر على قيم الثابت $m$ والجذر المكرر عندما تحتوي المعادلة على جذر مكرر.'

'لنكن α و β حلي المعادلة التربيعية x^{2}-3x+4=0. ابحث عن قيم المعادلات التالية:'

'أظهر الصيغة لحل المعادلة التربيعية ax^2 + bx + c = 0 والعثور على جذورها.'

'حل المعادلات التالية عند 0 ≤ θ < 2π: (1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'حدد قيم الثوابت a و b و c بحيث تكون المعادلة x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c صحيحة بالنسبة إلى x.'

'إذا كانت الحلول الثلاث للمعادلة الدرجية $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ معبرة بـ $α, β, γ$ ، فجد قيم $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ و $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$.'

'عندما يحتوي المعادلة الدرجية $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ على جذر مكرر، اعثر على قيمة الثابت $a$.'

'ابحث عن مجموع وضرب الحلولين للمعادلات التربيعية التالية.\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'العثور على معادلات الخطوط التالية:'

'الأساسي 62: حل المعادلات ذات الدرجة العالية (2) - استخدام مبرهنة العوامل'

'الحل: باستخدام الصيغة x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a، حيث a = 1، b = -3، c = -3. الإجابة: x = 3 أو x = -1.'

'الفصل 3 المعادلات التفاضلية - 45 TR $x$، من بين حلول معادلة $x^{3}-a x^{2}+(3 a-1) x-24=0$ يكون إحداها $x=2$. في هذه الحالة، احسب قيمة الثابت $a$ والحلول الأخرى.'

'حدد أنواع الحلول للمعادلات التربيعية التالية. هنا، k في المعادلة (4) هو ثابت.'

'ابحث عن الحل والإجابة لـ2x^{2}+4x-1=0.'

'176 (1) y = 4x - 9 (2) y = -2x, y = 6x - 16'

'أظهر العلاقة بين حلول المعادلة التربيعية ومعاملاتها. فلنفترض أن حلول المعادلة التربيعية هي α وβ للمعادلة ax^2+bx+c=0، ثم باستخدام الصيغة للحلول، أظهر العلاقات التالية:\n\n1. مجموع الحلول α+β\n2. حاصل ضرب الحلول αβ'

'اعثر على البند العام للسلسلة المحددة بمعادلة التكرار $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$.'

''

'إذا كانت الحلولان للمعادلة التربيعية x^2 + 2x - 4 = 0 هما α و β ، فما هي المعادلة التربيعية بحلول α + 2 و β + 2؟'

'ابحث عن قيم x و y عندما تكون الهوية (k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0 صحيحة لجميع قيم k.'

'عندما تحتوي معادلة الرتبة الثانية $x^{2}-ax+4=0$ على حلين متباينين، كلاهما أقل من 3، ابحث عن نطاق قيم الثابت $a$.'

'التوسيع 53: الحلول الصحيحة للمعادلات التربيعية (استخدام العلاقة بين الحلول والمعاملات)'

'حل معادلة درجة عالية x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0.'

'مثال 62 الأساسي تحديد معاملات متعددة الدرجات 64 (1) ... شروط الحلول الحقيقية معادلة الدرجة الثالثة $x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$ لديها -1 و -3 كحلول. (1) العثور على قيم ثوابت $a$ و $b$. (2) العثور على الحلول الأخرى لهذه المعادلة.'

'عندما تحتوي المعادلة التربيعية $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ على حلين موجبين متميزين، ابحث عن نطاق قيم الثابت $a$.'

'نظر في متعدد الحدود P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r. عندما تكون حلول المعادلة الدرجية P(x)=0 هي -2 وعددين طبيعيين α، β(α<β)، ابحث عن قيم α، β، q، و r.'

'عندما يكون المعادلة التربيعية x^2+2mx+15=0 لها الجذور التالية ، ابحث عن قيمة الثابت m والجذور الاثنتين.'

'ابحث عن الصيغة لحلول المعادلة التربيعية ax^{2}+bx+c=0.'

'عندما تستوفي حلول المعادلة التربيعية $3 x^{2}+6 x+m=0$ الشرطين التاليين، اعثر على قيمة الثابت $m$ والحلين.'

'ابحث عن الشرط العام للتسلسل {an} المحدد بواسطة الشروط الـ 25. (1) a1=1، an+1=2an-3 (2) a1=1، 2an+1-an+2=0'

'فكر في المعادلة الدرجية الثالثة $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$.'

"ابحث عن معلومات حول 'معادلات درجة عالية' استنادًا إلى الجدول التالي."

'\ 67 a=1,10 \'

'حل المعادلات التربيعية التالية.'

'ابحث عن قيمة الثابت m والحلول المعادلة التربيعية $3x^{2}+6x+m=0$ بحيث تستوفي الشروط التالية: (1) الحل الأول ثلاث مرات الحل الآخر. (2) نسبة الحلول الاثنين هي 2:3.'

'حل المعادلة التربيعية'

'العثور على معادلة دائرة تمر عبر ثلاث نقاط.'

'التطور 69: حل المعادلات ذات الرتب العالية (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'إثبات المعادلة A=B ب 3 طرق\n\nالمعادلة A=B قد تحتوي على شروط مرتبطة بها، ولكن بشكل أساسي هي هوية. هناك ثلاثة أنماط لإثبات المعادلة على النحو التالي:\n\n(1) مقارنة الجانبين، تحويل الجانب الأكثر تعقيدًا لاشتقاق الجانب الأبسط.\n\nA=⋯⋯ تحويل ⋯⋯ = B\n(أو B =⋯⋯ تحويل ⋯⋯ = A)\n\nلذلك A = B\n\n(2) تحويل الجانبين بشكل منفصل للحصول على التعبير نفسه C.\n\nA=⋯⋯ تحويل ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ تحويل ⋯⋯ = C\n\nلذلك A = B\n\n(3) تحويل A - B لإظهار أن A - B = 0.\n\nA - B =⋯⋯ تحويل ⋯⋯ = 0\n\nلذلك A = B'

'لنفترض أن TR هي أعداد حقيقية ، وأن المعادلة x ^ {3}-2 x ^ {2} + ax + b = 0 لديها x = 2 + i كجذر. اعثر على قيم a، b وجميع جذور المعادلة.'

'عندما يكون لدى المعادلة $a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$ حلول حقيقية، ابحث عن نطاق قيم ثابت $a$.'

'العثور على معادلات الخطوط التالية:\n(1) مرور من خلال النقطة (3، 0) بميل 2\n(2) مرور من خلال النقطة (-1، 4) بميل -3\n(3) مرور من خلال النقطة (3، 2) وعمودي على المحور x\n(4) مرور من خلال النقطة (1، -2) وموازي للمحور x'

'الدالة $y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$ تأخذ القيمة الدنيا $b$ عند $x=a$. ابحث عن قيمة $|a+b|$.'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'حدد قيم الثوابت a و b و c بحيث تكون المعادلة التالية صحيحة في x: (1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'استقصاء الشروط اللازمة لتكرار الجذور في المعادلة التكعيبية'

'استبدال المعادلة الثالثة في المعادلة الأولى للحصول على المعادلة التالية: a ^ {2} + (-7a + 25) ^ {2} = 25. من التبسيط، نحصل على المعادلة التربيعية التالية: a ^ {2} - 7a + 12 = 0. لذلك، نحصل على الحلول التالية: (a - 3) (a - 4) = 0، لذلك a = 3، 4. باستبدال هذه القيم في المعادلة الثالثة، نحصل على ما يلي: عندما a = 3، b = 4؛ عندما a = 4، b = -3. وبالتالي، معادلات خطوط المماس هي كما يلي: 3x + 4y = 25، 4x - 3y = 25'

'الأساسية 43: قيمة حلول متناظرة للمعادلة'

'عندما تكون القيمة القصوى للدالة f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) هي 10، والقيمة الدنيا هي -10، اعثر على قيم ثوابت a, b.'

'عندما تكون S_{2}=2 S_{1} ، \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9 ، أي (m+3)^{3}=54. نظرًا لأن m عدد حقيقي ، m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'عندما k=0، يكون هناك حلاً حقيقيًا واحدًا؛ عندما k=-1، يكون هناك جذر مُكرر؛ عندما -1<k<0 أو 0<k، يكون هناك حلاً حقيقيًان مميزان؛ عندما k<-1، يكون هناك جذران تخيليان مميزان.'

'الأساسي 42: مجموع وضرب الحلولين لمعادلة من الدرجة الثانية'

'لنكن k ثابتًا. حدد أنواع الحلول لمعادلة kx^2 + 4x - 4 = 0.'

'اعثر على قيم m بحيث تكون الخطوط l1 و l2 متوازية أو عمودية.'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية المتميزة لمعادلات الدرجة الثالثة التالية:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'ابحث عن قيم x و y بحيث (k+2)x-(1-k)y-k-5=0 يتحقق لأي قيمة لـ k.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'الشرط لامتلاك حلول خيالية فقط هو'

'ابحث عن حلول المعادلة التربيعية x^2=k. هنا ، k هو أي عدد حقيقي.'

'لنفترض أن النسبة المتسلسل الهندسي، مع نسبة مشتركة r، تكون a، حيث يكون العنصر الثاني 4 ومجموع العناصر من الأول إلى الثالث 21. لذلك، لدينا a= ونسبة مشتركة r=.'

'نظرًا لأن q, r أعداد حقيقية ، دعنا ننظر في المتعددة P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r. إذا كانت حلول المعادلة 333 P(x)=0 هي -2 وعددين طبيعيين \\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\) ، فجد \ \\alpha, \eta \ و\ q, r \. [مماثل للاختبار المركزي]'

'حل المعادلات وعدم المساواات التالية.'

'الحل للمثال 3x^2 + 3x + 1 = 0 هو'

'تطوير 54: نطاق وجود حلول لمعادلة من الدرجة الثانية (2)'

'حل المعادلات التالية:'

'قام كل من السيد أ والسيد ب بحل نفس المعادلة التربيعية بالنسبة ل x. السيد أ حصل عن طريق الخطأ على معامل x² كـ 26-2/3، مع حلاً بقيمة 1. السيد ب حصل عن طريق الخطأ على المصطلح الثابت كـ -1/3، مع حلاً بقيمة 1/2. العثور على حلول المعادلة التربيعية الصحيحة الأصلية.'

'عندما تحتوي المعادلة التكعيبية $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ على ثلاث جذور حقيقية متميزة ، ابحث عن نطاق قيم الثابت $a$.'

'النظر في المعادلة التربيعية $x^{2} + (m+1)x+m-1=0$.'

'المعيار 65: تحديد معاملات المعادلات عالية الرتبة (2) - شروط الحلول الخيالية'

'ابحث عن قيمة الثابت $a$ عندما تكون المعادلة العلوية $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ لديها جذر مزدوج.'

'المعيار 49: نطاق وجود حلول معادلة تربيعية (1)'

'العثور على البند الأول والنسبة المشتركة لتسلسل هندسي بحيث يكون مجموع البند الثالث إلى البند الخامس هو -63 ومجموع البند الأول إلى البند الثالث هو -7.'

'الأساسي 41: شروط معادلة من الدرجة الثانية لديها جذور معقدة، جذور متكررة'

'عندما تكون الحلول الثلاث للمعادلة التكعيبية $x^{3}-2 x+1=0$ هي $\\alpha, \eta, \\gamma$ ، ابحث عن قيمة التعبيرات التالية.'

'الدراسة التطبيقية - تطوير 192 عدد الحلول الحقيقية للمعادلة الثلاثية (3) باستخدام القيم المقطعية'

'58 مقسوماً على، في ترتيب الباقي (1) x^2+2x-6, -10 (2) x^2-5x+4, 3'

'ابحث عن العنصر العام للتسلسل \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ الذي يمثل المجموع \ S_{n} \ من العنصر الأول إلى العنصر الثاني.'

"عندما تفي الدالة f(x) التي تمثلها متعددة الحدود بالشرط f'(x)-f(x)=x²+1، فإن f(x) هي دالة من الدرجة ، و f(x)= ."

'المعيار 40: تمييز أنواع الحلول للمعادلات التربيعية (2)'

'من خلال إعادة ترتيب المعادلة x-2y+6=0 ، يمكننا تعبير عنها ك y=\\frac{1}{2}x+3 ، مما يمثل خطًا بميل يبلغ \\frac{1}{2} ونقطة تقاطع y تبلغ 3.'

"حدد نطاق الثابت 'm' بحيث يتوافق مع المعادلة التربيعية $x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$ الشروط التالية: (1) لديها جذران موجبان، (2) لديها جذران سالبان متباينان، (3) لديها جذور من علامات مختلفة."

'التوسيع 66: العلاقة بين حلول المعادلة التالية ومعاملاتها'

'الفصل 3 المعادلات ذات الدرجة العالية - 49\nEX دع a و b و c و d تكون ثوابت حقيقية. يترك متعدد الحدود P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d باقياً مقداره 29 عند قسمته على x^{2}-1 وباقياً مقداره 3x + 4 عند قسمته على x^{2}+1. في هذه الحالة، a=->، b=-1، c=d=√. [جامعة شونان]\nدع Q(x) يكن الناتج عند قسم P(x) على x^{2}-1، ودع R(x) يكن الناتج عند قسم P(x) على x^{2}+1. بعد ذلك، تنطبق المعادلات التالية.\n\nP(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + x+2\nP(x) = (x^{2}+1)R(x) + 3x+4\nP(1) = 3, P(-1) = 1, P(i) = 4+3i'

'الفصل 7 الدوال الاسية واللوغارتمية'

'ابحث عن معادلة الخط المار بين نقطتين مختلفتين (x1، y1) و (x2، y2).'

'ابحث عن مجموع وضرب جذرين المعادلات التربيعية التالية.'

'عندما تكون صحيحة لأي قيمة من k، احسب قيم x، y القيمة لـ 42.'

'ابحث عن رقمين مجموعهما 2 ومنتجهما -4.'

'عندما تكون المعادلة التكعيبية $x^{3}-3a^{2}x+4a=0$ لها ثلاث جذور حقيقية متميزة ، ابحث عن نطاق قيم الثابت $a$.'

'التطور 68: شروط وجود ثلاث جذور حقيقية متميزة لمعادلة مكعبية'

'أثبت أن المعادلة a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b صحيحة عندما تكون a+b+c=0.'

''

'بالنسبة للجزء المؤطر بالخط g ، قامت وزارة الأرض والبنية التحتية والنقل والسياحة العام الماضي أيضًا بإجراء استدراج للمنح الداعمة بهدف تعزيز اعتماد المركبات من الجيل القادم. اختر التوافق الصحيح بين البيانات التالية X・Y بخصوص المركبات من الجيل القادم على أن يكون صحيحًا أو خاطئًا.'

'اختر التعبير المناسب لتمثيل المسافة التي انتقل بها الكتلة A مقارنة بالكتلة C، وقدم الرمز.'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, تم حذف الشكل'

'أثبت أن المعادلات التالية لديها حلاً عدديًا واحدًا على الأقل في النطاق المعطى.'

'لنكن a عددًا حقيقيًا ، ابحث عن عدد الحلول الحقيقية لمعادلة f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a.'

'يرجى إزالة المقام وحل المعادلة التالية:\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'ابحث عن معادلة من الدرجة الخامسة f(x) تفي بشروط (أ) و (ب) بشكل متزامن.'

'لنكن الأعداد a ، b أعداد حقيقية ، ولنفترض أن المعادلة الدرجية x^3+ax^2+bx+1=0 لديها جذر خيالي α. أظهر أن العدد المرافق للعدد المعقد α ، والذي يرمز إليه ب α¯ ، هو أيضًا جذر لهذه المعادلة. عبّر عن الجذر الثالث β والمعاملات a, b بالنسبة للأعداد α و α¯.'

'ابحث عن السرعة والتسارع والموقع والمسافة المقطوعة (الحركة الخطية).'

'أثبت أنه عندما a > 1، فإن الحلول المقدمة للمعادلة a x^2 − 2 x + a = 0 (1) تُمثل بـ α و β، والحلول المقدمة للمعادلة x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) تُمثل بـ γ و δ. في حال تم تعريف A(α)، B(β)، C(γ)، D(δ)، فأثبت أن النقاط الأربعة A، B، C، D تقع على دائرة مشتركة.'

'الأساسيات 8: حلول جبرية للمعادلات الجذرية وعدم المساواة الجذرية'

'بنقطة $(a, b)$ على الهايبربولا $x^{2}-4 y^{2}=4$ مع خط مماس له ميل $m$، الرد على الأسئلة التالية. نفترض $b \neq 0$.\n(1) العثور على العلاقة بين $a, b, m$.\n(2) لنعتبر المسافة بين نقطة على هذه الهايبربولا والخط $y=2x$ كـ $d$. ابحث عن القيمة الدنيا لـ$d$. كما، حدد إحداثيات النقطة على المنحنى التي توفر القيمة الدنيا لـ$d$.[جامعة كاناغاوا]'

'ما الشكل الهندسي الذي يتكون من مجموعة النقاط التي ترضي المعادلات التالية؟'

'حل المعادلة \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \.'

'٢٠ (١) \ |\\alpha|^{2} \\n(٢) حذف (٣) القيمة القصوى عند \ a=b \ هي \ \\frac{1}{2} ; a=١, \\quad b=٣ \ والقيمة الدنيا هي \ \\frac{٣}{١٠} \'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'لنفترض أن عددَين مركبين w وz (z ≠ 2) يرضيان w = iz/(z-2).\n[جامعة هيروساكي]\n(1) عندما يتحرك النقطة z على محيط دائرة نصف قطرها 2 مركزها المنشأ، ما هو الشكل الذي سترسمه النقطة w؟\n(2) عندما تتحرك النقطة z على المحور الوهمي، ما هو الشكل الذي سترسمه النقطة w؟\n(3) عندما تتحرك النقطة w على المحور الحقيقي، ما هو الشكل الذي سيُرسمه النقطة z؟'

'المواد المشعة مثل الراديوم تنقص من الكتلة بمعدل يتناسب مع الكتلة في كل لحظة. عبّر عن الكتلة x كدالة للزمن t مع الثابت التناسبي k (k > 0) والكتلة الأولية A. بالإضافة إلى ذلك، يستغرق الراديوم 1600 عام لتقليل الكتلة إلى النصف. كم نسبة تقريبية من الكمية الأولية تبقى بعد 800 عام؟ اقرب تقريب للعدد الصحيح.'

''

'حل المعادلة \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\ .لنفترض \\\log _{2} x = a \ .'

'عدد الحلول الحقيقية لمعادلة'

'فكر في الأعداد المركبة z التي تتفق مع الشروط (أ) و (ب) في نفس الوقت. (أ) z + i/z حقيقي (ب) الجزء التخيّلي من z إيجابي. (١) لنفترض |z|=r، عبر z بواسطة r. (٢) اعثر على z الذي يجعل الجزء التخيلي منه هو الأكبر.'

'لنشير إلى a ≠ 0. بالنسبة للدالة f(x) = 2ax - 5a^2 ، العثور على قيمة الثابت a بحيث f^{-1}(x) و f(x) تكون متساوية.'

'بفرض وجود تسلسل {a_{n}} ومجموعه من العنصر الأول إلى العنصر الثامن'

'حل المعادلات التربيعية التالية:\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

''

'كرم الرجل تارو في سباق الركض لمسافة 100 متر، تركز على (1) وقرر التفكير في أفضل زيادة ومعدل للتحسن من وقته.'

'حل المعادلات التربيعية التالية.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت a التي تستوفي الشروط المعطاة للمعادلتين التربيعيتين $x^{2}-x+a=0$ و$x^{2}+2ax-3a+4=0$.'

'لتحديد نطاق حلول المعادلة التربيعية، دعنا نعتبر الرسم البياني الذي يفي بالشروط التالية:'

'لنكن a و p ثوابت. ابحث عن الحلول الحقيقية للمعادلات التالية في x.'

'حل النظام التالي من المعادلات المتزامنة.'

'كم عدد الطرق التي يمكن بموجبها تقسيم 12 كتابًا مختلفًا على النحو التالي؟'

''

'إذا كانت الحلول الحقيقية المتميزة للمعادلة التربيعية $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ تُعبر باشكال $\\alpha$ و $\eta$، وترضي $1<\\alpha<2<\eta$، فقم بتحديد نطاق قيم ثابت $a$.'

'عندما يكون المعادلة $ax^{2}+bx+1=0$ لها حلين $-2،3$ ، اعثر على قيم ثوابت $a،b$.'

'بالنسبة للمعادلة التربيعية \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ مع حلين حقيقيين متميزين \ \\alpha, \eta \ حيث \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \ ، حدد نطاق قيم ثابت \ a \.'

'تحديد عدد الحلول الحقيقية لمعادلة الرباعية $2 x^{2}+3 x+k=0$.'

'حل النظام التالي من المعادلات المتزامنة.'

'الفصل 1\nالأرقام والتعبيرات\n23\nمثال\n(1) ابحث عن التعبير الذي عند جمعه مع 2x^2-3x+1 يعطي x^2+2x.'

'ما هو نطاق الثابت a عندما تكون إحدى الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية 2x^{2}-3ax+a+1=0 في النطاق 0<x<1 والحل الحقيقي الآخر في النطاق 4<x<6؟'

'حل المعادلات التربيعية التالية.'

'ما هي نطاق وجود جذور معادلة من الدرجة الثانية؟'

'ابحث عن عدد الحلول الحقيقية للمعادلات التربيعية التالية.'

'بعد أن تم إعطاء الشرائط ذات الطول a و b، ابحث عن الحل الإيجابي للمعادلة التربيعية x^{2}-a x-b^{2}=0 وامرس شريطًا بتلك الطول.'

'ابحث عن نطاق القيم للثابت $a$ بحيث المعادلة التربيعية $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ تحتوي على حلين حقيقيين متميزين ضمن النطاق $-3<x<3$.'

'عندما تستوفي معادلة الرتبة الثانية $x^{2}-2 a x+a+6=0$ الشروط التالية ، فإنه يتعين تحديد نطاق قيم الثابت $a$: (1) لديها جذر إيجابي وجذر سلبي. (2) لديها جذرين سلبيين مختلفين.'

'في جميع الترتيبات التي تتكون من 8 أحرف من YOKOHAMA، ابحث عن عدد الترتيبات التي تحتوي على واحدة على الأقل من تسلسلات AO أو OA.'

'قم بتحويل التعبير الرياضي المعطى إلى شكل مختلف.'

'الفصل 2: المجموعات والعبارات الرياضية\n(2) حل المعادلة التالية\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\nحيث p و q هما أعداد رياضية.'

'كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 4 رجال و 5 نساء في صف واحد وفق الشروط التالية؟ (1) الرجال الأربعة متجاورون (2) الرجال لا يجاورون بعضهم بعضاً'

'الرجاء ذكر العكس، والمضاد المنطقي، والمعاكس للتقرير.'

'تحديد العوامل من القيم القصوى والدنيا (3)'

''

'54 (2), (3)؛ (2) الحد الأقصى عند x=2 هو 7، الحد الأدنى عند x=0 هو 3؛ (3) الحد الأقصى عند x=2 هو 5، الحد الأدنى عند x=-1,5 هو -13'

'ما هو نطاق القيم للمعادلات التربيعية $x^{2}+x+k=0$، $x^{2}+k x+1=0$ التي تحتوي على حلول أعداد حقيقية؟'

'عندما x ≥ 0 ، y ≥ 0 ، و 2x+y=8 ، ابحث عن القيمة القصوى والدنيا لـ xy.'

'استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلات من الدرجة الثانية التالية.'

'العثور على الدالة الخطية استنادًا إلى الظروف التالية لتعظيم الربح.\n\n(1) عندما تكون x تساوي 250 ، y تكون 300.\n(2) عندما تكون x تساوي 300 ، فإن y يكون 250.\n(3) ينطبق أيضًا عندما تكون x = 350 و y = 200.\n\nعلاوة على ذلك ، باستخدام الإيرادات xy والمصروفات 120y + 5000 ، دع z تكون الربح وابحث عن قيمة x التي تحقق أقصى z والربح الأقصى في ذلك الوقت.'

'تحديد قيم الحقيقة للمقترحات التالية.'

'حل المعادلات التالية.'

'إذا كان أحد الحلول للمعادلة التربيعية $x^{2}+(a+4) x+a-3=0$ هو $a$، ابحث عن الحل الآخر.'

''

'حل المعادلة التالية فيما يتعلق بالـ x. حيث a هو ثابت. \\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]'

'حل النظام التالي من المعادلات المتزامنة.'

'تطبيقات المعادلات التربيعية'

'تقرر في إحدى المدارس تصريف الماء بالكامل من حوض السباحة للتنظيف. ومع ذلك، يُفترض أنه يتم تصريف كمية ثابتة في الدقيقة باستخدام مضخة. لنفترض أن حجم المياه المتبقي في حمام السباحة بعد دقائق من التصريف هو V m³.'

'حل المعادلات التالية.'

'حل النظام التالي من المعادلات المتزامنة.'

'في حفلة بمشاركة 5 أشخاص، حيث يعد كل شخص هدية ويتم إجراء سحب لتوزيع جميع الهدايا. يُعبر عن عدد الطرق التي تتلقى فيها شخصين محددين، A و B، الهدايا التي أعدوها، بينما يتلقى الأشخاص الثلاثة الباقون هدايا مختلفة عما أعدوه بـ A. عدد الطرق التي يتلقى فيها شخص واحد فقط الهدية التي أعدوها يُعبر عنه بـ B.'

'مثال أساسي 30 عدد الحلول الصحيحة (استخدام التراكيب بالتكرار)'

'ابحث عن نطاق وجود الحلول للمعادلة التربيعية مع x < 2 و x > 2.'

'61 a=2، b=-5 أو a=-2، b=3'

'حل المعادلة التالية للقيمة المطلوبة x. هنا، a هو ثابت. \ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \'

"يرجى تقديم 'معادلات ديوفانتين الخطية' وصفحتها."

'ابحث عن إحداثيات نقطتي تقاطع النقطتين الاثنتين للقوسين y=x^2-x+1 و y=-x^2-x+3.'

'31 (1) \ x=6,-2 \\n(2) \ x \\leqq-5, \\quad \\frac{1}{5} \\leqq x \'

'ابحث عن أكبر عدد طبيعي مكون من 4 أرقام يترك باقي قيمته 2 عند القسمة على 11 ويترك باقي قيمته 5 عند القسمة على 6.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التي تتضمن القيمة المطلقة: (1) $|x|=c$، (2) $|x|<c$، (3) $|x|>c$'

'فكر في الاقتراح p⇒q (حيث تكون p الفرضية و q الاستنتاج). دع P يكون مجموعة جميع العناصر التي تحقق الشرط p ، ودع Q تكون مجموعة جميع العناصر التي تحقق الشرط q. أن يكون الاقتراح p⇒q صحيحًا يعادل P ⊆ Q. يرجى تحديد قيمة الحقيقة لهذا الاقتراح.'

''

'بالنسبة للدالة $f(x)=x^{2}+2x-a^{2}+5$، اعثر على نطاق قيم $a$ التي ترضي الشروط التالية:'

''

'عندما تكون المعادلة التربيعية $x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0$ لها جذور متساوية، ابحث عن قيمة الثابت $m$ والجذور المتساوية في تلك اللحظة.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية.'

'عند x=3/2، القيمة الدنيا هي 3/2، ولا توجد قيمة قصوى.'

'استخدم الصيغة لحل المعادلة التربيعية ax^{2}+bx+c=0 لحل المعادلة.'

'عندما تقطع القطعة القيمة y = x ^ {2} + (2k-3) x-6k من محور x في طول 5 ، اعثر على قيمة الثابت k.'

'هناك سحب يتم فيه رمي ثلاث نردات مرة واحدة. هناك عدة مواقع للسحب، كل منها بشروط فوز مختلفة.'

'عندما لا تحتوي المعادلة التربيعية x^2 + 3x + m - 1 = 0 على حلول حقيقية، ابحث عن نطاق قيم للثابت m.'

'لمعادلة الرباعية $x^{2}+mx+9=0$ ، اعثر على نطاق القيم للثابت $m$ عندما يكون لديها ما يلي:'

'على سبيل المثال، هناك العديد من الحلول الصحيحة للمعادلة x+y=10. ابحث عن أي ثلاث حلول صحيحة لهذه المعادلة.'

'حل المعادلة $x^{2}+3x-5=0$.'

'عندما تكون حلول المعادلة التربيعية $x^{2}+2 m x-m+2=0$ كما يلي، ابحث عن نطاق الثابت $m$. (1) وجود حلين حقيقيين متميزين. (2) وجود حلول حقيقية. (3) عدم وجود حلول حقيقية.'

'الفصل 5: المعادلات التربيعية وعدم المساواة التربيعية\nلنفترض أن ارتفاع الكرة فوق الأرض تكون h أمتار بعد x ثانية من الإطلاق بسرعة معينة. عندما تكون قيمة h معطاة بواسطة h=-5x^2+40x ، في أي نطاق من قيم x تكون ارتفاع الكرة بين 35 مترًا فوق الأرض و 65 مترًا فوق الأرض؟'

'العثور على قيم \ a, b \ بحيث \ P=4 \ للنقطة \ x, y \ التي لها القيم \\( (2, 1) \\).'

'حل المعادلات التالية. 1. الأساسي 86 - حل المعادلات التربيعية باستخدام التحليل. 2. الأساسي 87 - حل المعادلات التربيعية باستخدام صيغة الجذور. 3. الأساسي 88 - الشروط لوجود حلول حقيقية (1)'

'حل المعادلة x^2+3x-4=0.'

'حدد نطاق قيم الثابت $a$ بحيث ترضي المعادلة التربيعية $x^{2}-(a-4)x+a-1=0$ الشروط التالية: (1) لديها جذران سالبان مختلفان. (2) لديها جذر إيجابي وجذر سالب.'

'24 (1) العكس: إذا كان واحد على الأقل من x، y هو رقم سالب ، فإن x+y=-3 ، عكس غير صحيح: إذا كان x≥0 و y≥0 ، فإن x+y≠-3 ، العكس: إذا كان x+y≠-3 ، فإن x≥0 و y≥0.'

'2 (1) 5 تعبير(2)(ア)2 تعبير, البند الثابت 2 y^{2} + 5 y - 12(1)2 تعبير, البند الثابت 6 x^{2} - 6 x - 12(ら)2 تعبير, البند الثابت -12'

'عندما تكون جذور المعادلة التربيعية $x^{2}+m x+9=0$ لها الخصائص التالية ، ابحث عن نطاق القيم للثابت $m$.'

'الشرط ليكون الرسم البياني دائمًا فوق محور السين هو أن يكون الرسم البياني قطعة نقطية ناقصة نحو أسفل وأن لا يكون لديه أي نقاط تقاطع مع محور السين. وبالتالي، يتم تمثيل حاصل الفصل للمعادلة التربيعية mx^2 + 3x + m = 0 بـ D.'

'حل المعادلات وعدم المساواة التالية. (1) |(√14-2)x+2|=4 (2) 3|x-1|≤4 (3) x+|3x-2|=3'

'ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'عندما تحتوي المعادلة التربيعية $x^{2}-2mx+2(m+4)=0$ على جذر مكرر، ابحث عن قيمة الثابت $m$ والجذر المتكرر في ذلك الوقت.'

'عندما تكون المعادلة التربيعية $x^{2}+5x+7-m=0$ لها جذرين حقيقيين متميزين، ابحث عن نطاق قيم ثابت $m$.'

'بالنسبة للدالة f(x) = x ^ 2 - 2ax - a + 6 في الرياضيات I TR ، يكون نطاق قيم الثابت a الذي تكون فيه f(x)> 0 لجميع الأعداد الحقيقية x من A إلى T. علاوة على ذلك، يكون نطاق القيم الخاص بـ a الذي يكون فيه f(x) ≥ 0 دائماً لـ -1 ≤ x ≤ 1 هو من ウ إلى エ.'

'في حالتين، قم أولاً بتحويل > إلى = ومن ثم حل المعادلة التربيعية. لحل المعادلة غير المتكافئة التربيعية x^2-6x+3>0، قم أولاً بحل المعادلة x^2-6x+3=0. باستخدام الصيغة للجذور، x=(-(-3) ± √((-3)^2-1*3))/1=3 ± √6.الحل لـ x^2-6x+3>0 هو العثور على نطاق قيم x على الرسم البياني لـ y=x^2-6x+3 حيث y>0، وهو x<3-√6، 3+√6<x.'

'(2) الثانية هي انياقيتان $x^{2}+mx+m+2<0$ لهما حلول'

'عندما تكون x=-1، القيمة القصوى لـ 71(2) هي 5، لا يوجد قيمة دنيا.'

'(1) \\\\ حل المعادلة 2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) \\\\ حل ل x=-1, \\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\ معطى \\theta=60^{\\circ}, \\ 180^{\\circ} \\\\\\\n'

'يمكن تصنيف حلول المعادلة التربيعية عن طريق فحص علامة الحد $D = b^{2} - 4ac$.'

'ابحث عن نطاق الثوابت a التي تحقق الشروط التالية للمعادلات x^2+ax+a+3=0 (1) و x^2-2ax+8a=0 (2):'

'ابحث عن نقطة تقاطع الخطين 2x + 3y = 7 (1) و 4x + 11y = 19 (2) ، ومعادلة الخط الذي يمر من خلال النقطة (5,4).'

'ابحث عن قيم $a, b, c$ عندما تستوفي الدالة من الدرجة الثالثة $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ الشرط $(x-2)f^{prime}(x)=3 f(x)$.'

'حل المعادلات التربيعية التالية.'

'(1) اعثر على حلول المعادلة 2x^2 - 2√6x + 3 = 0.'

'الفصل 1 تسلسلات'

'حدد عدد الحلول للمعادلة 4cos²x-2cosx-1=a داخل نطاق -π < x ≤ π.'

'ابحث عن قيمة a التي ترضي المعادلات المعطاة.'

'ثبت أن المعادلة $ax+by+cz=0$ صحيحة عندما (2) $\\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b}$.'

''

'حلول المعادلة الدرجية الثالثة $x^{3}+a x^{2}-21 x+b=0$ هي $1,3, c$. ابحث عن قيم الثوابت $a$, $b, c$.'

'ابحث عن قيمة a التي تحقق المعادلة التالية. a=2'

'بالنسبة للخطوط l: 2x - y + 3 = 0، m: 3x - 2y - 1 = 0، أجب على الأسئلة التالية.'

'حدد نطاق الثابت a بحيث تستوفي المعادلتان التربيعيتان 9x^{2}+6ax+4=0 (1) و x^{2}+2ax+3a=0 (2) الشروط التالية. (1) كلاهما لديهما جذور معقدة (2) على الأقل واحدة لديها جذور معقدة (3) فقط (1) لديهما جذور معقدة'

'عندما تكون a = -1 ، فإن x = 2 ، -1\nعندما تكون a = 0 ، فإن x = 0 ، 2\nعندما تكون a = 8 ، فإن x = -4 ، 2'

'عندما تمثل المعادلة $x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0$ دائرة،'

'ابحث عن نطاق القيم لc بحيث المعادلة x^3-6x+c=0 تحتوي على جذرين إيجابيين متميزين وجذر واحد سالب.'

'حدد التالي للتسلسل {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \} حيث مجموع الأولى \ n \ عناصر ، تعرف ك {\ S_{n} \}, يرضي العلاقة {\ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \}:\n(1) ابحث عن الرقم الأول {\ a_{1} \}.\n(2) ابحث عن العلاقة بين {\ a_{n} \} و {\ a_{n+1} \}.\n(3) ابحث عن الرقم العام للتسلسل {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}.'

'ابحث عن جميع الأعداد الحقيقية $a$ بحيث المعادلة الدرجية $x^{3}+(a+2)x^{2}-4a=0$ تحتوي على بالضبط جذرين حقيقيين.'

'استخدم الصيغة لحل المعادلة التربيعية ax^2 + bx + c = 0 للعثور على الحلول.'

'بعد قراءة الحوار بين هاناكو وتارو حول المشكلة، أجب على السؤال التالي.'

'حدد قيم الثوابت a و b التي تفي بالشروط التالية:\n(1) عندما يكون x-1 عاملاً لـ x^3-3x^2+a ، يكون الباقي 2.\n(2) عندما يكون 2x+1 عاملاً لـ 2x^3-3x^2+ax+6 ، يمكن القسمة عليه بدون باقي.\n(3) عندما يقسم x+2 على x^3+ax^2-5x+b ، يكون الباقي 8 ، وعندما x+1 هو العامل.'

'تحويل النص المعطى إلى عدة لغات.'

'حدد قيمة الرقم الحقيقي k بحيث تكون المعادلة (1 + i) x ^ {2} + (k + i) x + 3 + 3ki = 0 لها حلول حقيقية. ابحث عن هذه الحلول الحقيقية.'

'الرقمان اللذان يجمعان ليكونا -2 ويضربان ليكونا 3 هما الحلول لمعادلة الرتبة الثانية x^2 + 2x + 3 = 0.'

'العثور على قيمة الثابت a بحيث المعادلة 2x ^ 3-(3a + 1) x ^ 2 + 2ax + 4 لديها جذرين حقيقيين مختلفين.'

'حل النظام التالي من المعادلات.'

'الفصل 2\nالأعداد المركبة والمعادلات\nأثبت أن لحلي المعادلة التربيعية 2x^2 + 4x + 3 = 0 ، α ، β ، تنطبق عليها المعادلات التالية:\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10'

'إذا كان المعادلة التربيعية $x^{2}+4 a x+8 a^{2}-20 a+25=0$ لها جذور حقيقية، فإن $a=\\{ \\text{ثابت} \\}$ والحلول هي $x=\\{ \\text{ثابت} \\}$.'

'أنشئ معادلة من الدرجة الثانية يكون مجموعها \ p \ ومنتجها \ q \.'

'ابحث عن قيم للأعداد الحقيقية x, y ترضي النظام التالي من المعادلات.'

''

'أنشئ معادلة تربيعية بالجذور α وβ.'

''

'عندما تكون المعادلة $x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0$ لها جذور عند $x=-1,3$ ، ابحث عن قيم ثوابت $a, b$. كما، ابحث عن الجذور الأخرى في هذه الحالة.'

'مجموع وحاصلضرب جذرين المعادلة التربيعية $x^{2}+a x+b=0$ هما جذور المعادلة التربيعية $x^{2}+b x+a=0$. حدد قيم الثوابت $a, b$.'

'الربح يوميًا هو (a x + 3 y) ين ياباني. إذا فرضنا ax + 3 y = l ....5)، فإن (5) يمثل خطًا مستقيمًا بميل -a/3 ونقطة تقاطع y بـ l/3.'

'لننظر في القيم القصوى والدنيا لـ -3x+y تحت نفس الظروف كما في A (لنسميه C)، إذا قمنا بالتعبير عن -3x+y=k، فإن y=3x+k。'

'لنكن A متعدد الحدود. عندما يتم قسم x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10 على A ، يكون الناتج A والباقي 5x^2 - 4x + 1. ابحث عن متعدد الحدود A.'

'حدد قيم الثوابت a و b و c و d بحيث تكون المعادلات التالية صحيحة لـ x:'

'ابحث عن نطاق قيم ثابتة p بحيث المعادلة x^3-3p^2x+8p=0 لديها ثلاث حلول حقيقية متميزة.'

'بالنسبة للمعادلة التربيعية فيما يتعلق ب x، 8x^2-4x-a=0، مع حلول تكون sin θ و cos θ، ابحث عن قيمة الثابت a والحلول المعادلة. [مماثلة لجامعة كيو طوكيو] من العلاقة بين الحلول للمعادلة التربيعية والمعاملات، sin θ+cos θ=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2}، sin θ cos θ=-\\frac{a}{8}. بتربيع الجانبين من (1) نحصل على sin^2 θ+2sin θ cos θ+cos^2 θ=\\frac{1}{4}، لذلك 1+2sin θ cos θ=\\frac{1}{4}، مما يعني أن sin θ cos θ=-\\frac{3}{8}. باستبدال هذا في (2) نحصل على -\\frac{a}{8}=-\\frac{3}{8}، وبالتالي a=3. لذلك، المعادلة التربيعية المعطاة هي 8x^2-4x-3=0. عند حل هذه المعادلة، تكون الحلول الإثنان x=(1±√7)/4.'

'مسألة العمود الأساسية 18 تحديد معاملات الهوية'

'استخدم العلاقة التكرارية للعثور على الشكل العام للتسلسل.'

'بعد معرفة معادلة رباعية $3 x^{2}-2 x-4=0$ مع جذرين $\\alpha, \eta$ ، اعثر على قيمة التعابير التالية.'

''

'عندما (x + y) / 2 = (y + z) / 5 = (z + x) / 7 (وليس يساوي 0)، ابحث عن قيمة (xy + yz + zx) / (x^2 + y^2 + z^2).'

'المعادلة الرباعية x^4+ax^3+7x^2+bx+26=0 لديها جذرين مشتركين مع المعادلة التربيعية x^2+2x+2=0 ومجموع الجذور المشتركة هو 37. [جامعة توكوشيما بورني] (1) اعثر على قيم الثوابت الحقيقية a و b. (2) اعثر على الجذور المتبقية للمعادلة الرباعية.'

''

''

'（3）بالنسبة إلى تسلسل هندسي حيث العنصر الأول a والنسبة المشتركة r عبارة عن أرقام حقيقية ، إذا كانت المجموع من العنصر الأول إلى العنصر الثامن هو Sn ، وعندما Sn=3 و Sn=27. العثور على قيم a، r.'

'في الرياضيات \ \\mathbb{I} \ EX\\nالحلان للمعادلة التربيعية \\( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) هما \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. ابحث عن الثابت الإيجابي \ a \ وقيم \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. مع العلم أن \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \.'

'(1) $x^{2}-14 x+45=0$'