نظرية الأعداد الأساسية - الأعداد الكسرية واللا كسرية

'سؤال تمرين 13 الرقم الرئيسي\n505\nبالنسبة للرقم الحقيقي غير السالب a، حيث 0 ≤ r < 1، و a-r عدد صحيح، يتم تمثيل العدد الحقيقي r بواسطة {a}. بعبارة أخرى، {a} تمثل الجزء العشري للرقم a. (1) العثور على عدد صحيح إيجابي n يجعل الجزء العشري لـ{n log_10 2} أقل من 0.02. (2) العثور على عدد صحيح إيجابي n حيث يكون الرقم الرئيسي للعدد 2^n في التمثيل العشري هو 7. مع العلم أن 0.3010 < log_10 2 < 0.3011 و 0.8450 < log_10 7 < 0.8451. [جامعة كيوتو]'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'هل تمام 1 درجة عددًا عقليًا؟'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'عندما تكون x=π، y=π/12، القيمة القصوى هي 25/12 π؛ عندما تكون x=0، y=5/12 π، القيمة الدنيا هي 5/12 π'

'متعدد الحدود مع معاملات عقدية'

'x = (3 ± √21) / 3'

'عندما تكون 1 ≤ a < (3 + √6) / 3 ، فإن M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'ابحث عن الجذر التربيعي للعدد السالب. دع a يكون عددًا حقيقيًا موجبًا.'

'ابحث عن مجموع السلسلة التالية.'

'(1) لنفترض أن هناك عدد عقدي x يُرضي 3^{x}=5. نظرًا لأن 3^{x}=5>1 ، يعني ذلك أن x>0. لذلك ، يمكن تعبير x بأنه x=\x0crac{m}{n} حيث m و n عددين موجبين. عند رفع كلا الجانبين بـ n ، نحصل على 3^{m}=5^{n} (1). الجانب الأيسر هو ضعف الرقم 3 ، ولكن الجانب الأيمن ليس ضعف الرقم 3 ، مما يؤدي إلى تناقض. وبالتالي ، x الذي يرضي 3^{x}=5 ليس عددًا عقديًا.'

'(1) إذا كان a > 0 و x > 0 ، فسيكون a^{1/2x} > 0 ، a^{-1/2x} > 0'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'احسب.'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'أثبت أن الحل للمعادلة $3^{x}=5$ ليس عدداً عقدياً.'

'هل جيب 1 درجة عدد صحيح؟'

'الجذور التربيعية للأعداد السالبة'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'استكشاف التسلسلات الحسابية والهندسية'

'احسب المجموع التالي: \\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。'

''

'عبّر عن مجموعات الأعداد التالية في صورة عدم المساواة.\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'احسب جذر (1) إلى (3). كما، قم بحساب (4) إلى (6).'

'عبّر عن مجموعات الأعداد التالية في شكل من عدم المساواة.'

'ابحث عن المجاميع الأربعة التالية.'

'حل معادلات الكسور التالية: (1) $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$ (2) $5^{x+3}>\\frac{1}{25}$ (3) $2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'عندما تكون x=√10، و y=10، القيمة القصوى تكون 1/2'

'ابحث عن القيمة المقابلة للرقم 5.67 في الجدول أدناه.'

'ابحث عن جذر تربيعي لـ (1) إلى (3). قم بعمليات الحساب لـ (4) إلى (6).'

''

'قم بالتعبير عن الأحجام النسبية لمجموعات الأرقام التالية باستخدام رموز العدمية.'

'(8) في الشكل 6 ، هنا فرق قدره 0.05 مم بين طول مقياس العيار الرئيسي بمقدار 2 مم ومقدار الزيادة الدنيا لمقياس الفيرنير بمقدار 1 مم ، وهو 2 - 1.95 = 0.05 (ملم). لذلك ، عندما تكون خطوط المقاييس للمقياس الرئيسي ومقياس الفيرنير متجانسة ويحدث عدم توازن بزيادة واحدة على مقياس الفيرنير ، يحدث فرق قدره 0.05 ملم في الطول المقاس (قيمة القياس). نتيجة لذلك ، يكون الطول الذي يمكن قراءته بالميكرومتر في الشكل 6 بزيادات قدرها 0.05 مم.'

'(1) القيمة العظمى \\\sqrt{2}\، القيمة الصغرى \-\\sqrt{2}\\\n(2) القيمة العظمى 5، القيمة الصغرى -5'

'عندما يحقق العدد المركب z |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|، قم برسم النطاق الذي يتحرك فيه النقطة z على السطح المركب.'

'ما هو العدد الطبيعي؟'

'لتكن α و z أعداد مركبة، حيث |α|>1. قارن بين مقدار |z-α| و |αz-1|.'

'حول π: يمكن إثبات حقيقة أن π هو عدم تناسب داخل نطاق الرياضيات في المدرسة الثانوية باستخدام طرق مثل الإثبات بالتناقض والتكامل بالأجزاء. هنا نقدم دليل نيف المنشور في عام 1947. بافتراض أن π عدد عقلاني، π = {b} / {a} (a، b أعداد طبيعية). دعونا f(x) = {1} / {n!} x ^ {n} (b - a x) ^ {n} = {a} ^ {n} / {n!} x ^ {n} (π - x) ^ {n}، اعتبر التكامل الحدودي I = ∫_ {0} ^ {π} f(x) sinx dx. أولاً، نثبت أن I هو عدد صحيح. بالنسبة لمن، باستخدام التكامل بالأجزاء مرارًا وتكرارًا، بما أن f(x) هو متعددة الدرجات 2n'

'ابحث عن الوسيط \ \\theta \ للعدد التخيلي \ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \. تأكد من أن \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \.'

'ابحث عن قيم الثوابت a و b بحيث يكون نطاق الدالة y=√(2x+4) هو 1≤y≤3.'

"الاقتراح 'دع n يكون عددًا صحيحًا. إذا كان n^2 مضاعفًا للرقم 7 ، فإن n هو مضاعف للرقم 7' صحيح. استخدم هذا الاقتراح لإثبات أن √7 هو عدد غير منطقي."

'مثال أساسي 23 جعل المقام عقلانيًا قم بتبسيط التعبيرات التالية عن طريق جعل المقام عقلانيًا.'

'عند تقسيم 3 أشخاص إلى 3 مجموعات من 3 لكل واحد، إذا قمنا بالتخلص من التمييز بين A و B و C، فإن كل مجموعة يمكن ترتيبها بطرق 3!، إذا ما هو العدد الإجمالي للطرق للتقسيم؟'

'بالنظر الى x=(√2+√3)/(√2-√3)، y=(√2-√3)/(√2+√3)، ابحث عن قيم التعبيرات التالية.'

'إذا كان الجزء الصحيح لـ 1 + √10 هو أ ، والجزء العشري هو ب. اعثر على القيم التالية: (1) أ ، ب ؛ (2) ب + 1/ب ، ب² + 1/ب²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'أثبت أنه عندما تصبح الكسر a = m / n (حيث m، n عددين صحيحين و n>0) عشرياً لامتناهياً، فإن a عبارة عن كسر متكرر.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) أثبت أن $\\sqrt{5}$ هو عدم-قابلية.'

'√3 هو عدد غير عقدي. اعثر على قيم الأعداد الرياضية a، b التي ترضي 7+a√3/2+√3=b+9√3.'

'(١) بالترتيب \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57 (أ) 20/3'

'في مدينة تحتوي على 6 طرق شمالية وجنوبية و 4 طرق شرقية وغربية ، دعونا نأخذ في الاعتبار الطريق الأقصر من النقطة ب إلى النقطة ق. خلال هذه الرحلة ، قم برمي عملة: إذا كانت النتيجة وجوهًا ، فانتقل شرقًا بمقصورة واحدة ، إذا كانت النتيجة أوراقًا ، انتقل شمالًا بمقصورة واحدة. احتمالية الحصول على وجوه أو أوراق متساوية ، حيث تكون كلتاهما 1/2. وعلاوة على ذلك ، قبل الوصول إلى النقطة ق ، إذا كانت العملة وجوهًا في التقاطع الأقصى الشرقي أو أوراقًا في التقاطع الأقصى الشمالي ، فلا يمكنك المتابعة ويجب البقاء في ذلك التقاطع.'

'ممارسة 23'

'مجموع، الفرق، الضرب، والقسمة لعددين حقيقيين a و b دائما يكونان عددين حقيقيين. على سبيل المثال، حتى عند جمع الأعداد الكسرية، النتيجة دائمًا تكون عددًا كسريًا. شرح أن العمليات الحسابية دائمًا ممكنة ضمن نطاق الأعداد الكسرية والحقيقية. ومع ذلك، لا ينظر القسمة في قسمة على 0.'

'أثبت أن مجموع العدد العقدي والعدد الغير عقدي هو عدد غير عقدي.'

'(1) قم بتبسيط \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'أثبت أن √5 غير عقلاني.'

'الحجم \ \\frac{4}{3} \, المسافة \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'حدد نطاق الثابت a وجد إحداثيات نقاط التقاطع.'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x= \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'أثبت أن مجموع العدد النسبي والعدد العقري هو عدد عقري.'

'في لعبة حيث يتم رمي عملة معدنية مرارًا وتكرارًا، ويتم الفوز بجائزة عندما تهبط على رؤوسها 3 مرات، مع أقصى حد للرميات يبلغ 5 رميات ولا رميات أخرى بعد الرمية الثالثة على الأقل، كم توجد تسلسلات ممكنة للفوز بالجائزة إذا كانت الرمية الأولى تنتج عنها العملة على وجهها؟'

'قم بالتحقق من صحة الافتراضات التالية. ومع ذلك، استخدم المجموعات للتحقيق في (2) و (3).\n(1) بالنسبة لأعداد حقيقية a، b، إذا كان مربع a يساوي مربع b، فإن a يساوي b\n(2) بالنسبة لأعداد حقيقية x، إذا كان |x| <3، فإن x <3\n(3) بالنسبة لأعداد حقيقية x، إذا كان x <1، فإن |x| <1'

'مثال 98: تحديد نطاق وجود الحلول لمعادلة من الدرجة الثانية مع الحلول في النطاقات 0 < x < 1 و 1 < x < 2.'

'(أ) \ \\frac{1}{7} \'

'اشرح خصائص الجذور التربيعية.'

'الجذر التربيعي للعدد الموجب ا يحتوي على جذرين، القيمة المطلقة لهما متساوية ولكن العلامة مختلفة. الجذر التربيعي للصفر هو صفر. مثلاً: جذر 5 هو sqrt{5} و -sqrt{5}. أمثلة على الحسابات مع الجذور التربيعية تشمل: sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}. sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}.'

''

'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'حدد المقامات التالية.'

'عندما تكون x=(2+√3)/(2-√3) و y=(2-√3)/(2+√3) ، اعثر على قيم المعادلات التالية.'

'أثبت أن جذر 3 هو عدد غير منطقي. فرض أن جذر 3 هو عدد منطقي ، أي أن هناك عددين طبيعيين m و n بدون أي عوامل مشتركة سوى الواحد ينطبقان sqrt(3) = m/n. بالتالي ، m = sqrt(3)n. رفع الطرفين إلى التربيع نحصل على m^2 = 3n^2 ، إذًا m هو مضاعف للرقم 3. وبالتالي ، يوجد...ل نتيجة n^2 = 3k^2 ، مما يعني أن n هو مضاعف للرقم 3 ، مما يؤدي إلى تناقض. وبالتالي ، فإن sqrt(3) هو عدد غير منطقي.'

'استخدم البرهان بالتناقض لإثبات الاقتراح التالي: أحد على الأقل من تربيع x و تكعيب x هو عدد غير منطقي.'

'(1) لنكن a و b و c و d أعداد كسرية ، ولنكن √l عددًا غير كسري. أثبت أن b=d عندما a+b√l=c+d√l. أيضًا ، أثبت أن a=c في هذه الحالة. (2) اعثر على قيم الأعداد الكسرية x و y التي تحقق (1+3√2)x + (3+2√2)y = -5-√2.'

'اقرأ مقام مشاهير النيل من التالي.'

''

'(1) بالنسبة لعدد طبيعي معين n، √n هو عدد رياضي، صحيح (2) بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x، x^2 ≠ x + 2، خاطئ'

''

'عبّر عن الأعداد العشرية المتكرّرة 0.2، 1.21، 0.13 ككسور.'

'أجب على السؤال التالي. 127 (1) العثور على أطوال الجوانب الأخرى لمثلث بطول b=2√7.'

'شرح الشرط p ونفيها.'

'استخدام حقيقة أن √3 هو عدد غير عقلاني، أثبت أن 1+2√3 هو غير عقلاني أيضًا.'

''

''

'شرح تعريف الأعداد اللاعقلانية واذكر مواصفتين لها.'

'ما هو الجذر التربيعي؟ يرجى شرح ذلك بأمثلة محددة.'

'أثبت أن √3 هو عدد غير عقلي. نفترض أن √3 عدد عقلي ويمكن تمثيله على أنه √3 = p/q، حيث p و q هما عددين صحيحين مقسمين. بتربيع الجانبين نحصل على 3 = p^2/q^2، وبإعادة الترتيب نحصل على 3q^2 = p^2. لذلك، p^2 هو ضعف عدد 3، وفقًا للافتراض، فإن p هو ضعف عدد 3، لذا يمكن كتابته على أنه p = 3m. الاستبدال يعطينا 3q^2 = 9m^2، وبالقسمة على 3 نحصل على q^2 = 3m^2، مما يعني أن q هو أيضًا ضعف عدد 3. هذا يتعارض مع حقيقة أن p و q مقسمان بدون باقي، لذلك الافتراض غير صحيح و√3 هو عدد غير عقلي.'

'إزالة الجذور التربيعية المزدوجة في التعبيرات التالية.'

'ابحث عن الحد العام للتسلسل 1/6، 1/9، 1/14، 1/21، 1/30.'

'احسب كل تعبير.'

'139\n(1) \ \\frac{\\sqrt{3}-1}{4} \'

'117\nابحث عن قيم a و b، حيث a = (6 ± √14)/2 و b = (6 ∓ √14)/2\n(العلامات متطابقة في كلا الحالتين)'

'لنكن a و b أعدادًا حقيقية غير صفر. المعادلات التالية صحيحة عند a>0 و b>0، ولكن ماذا عن الحالات الأخرى؟ يرجى التحقيق في الحالات التالية: [1] a>0، b<0 [2] a<0، b>0 [3] a = √(a/b) (2) √(a) / √(b) = √(a/b) (3) √(a) √(b) = √(ab)'

'بالنسبة للتسلسل 1/1، 1/2، 3/2، 1/3، 3/3، 5/3، 1/4، 3/4، 5/4، 7/4، 1/5، ...'

'562 سم أو (1+√3) سم'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) ملخص'

'ابحث عن القيم التالية:\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'لتكن a ثابتة إيجابية مختلفة عن 1. إذا كان a^x=8 و a^y=25، فأعبر عن log_{10} 500 بالنسبة ل x و y.'

"في المشكلات التي يجب تحديد معاملات معادلة من الدرجة العالية، تعتبر [1]، [2] التوجيهات الأساسية لحل المشكلة. أولاً، دعونا نفهم هذه النقطة الأكثر أهمية. x=α هو حلاً للمعادلة f(x)=0 إذا وفقط إذا كان f(α)=0 (يحدث عند الاستبدال) ⇐[1]⇔ f(x) يحتوي على x−α كعامل ⇐[2] أسلوب الحل الأساسي هو استراتيجية [1] والتي هي 'استبدال الحلا'. في مسائل الأمثلة 61، 62، نعرض أولاً الإجابات باستخدام هذه الاستراتيجية. ومع ذلك، عندما يكون الحل خياليًا كما هو الحال في المثال 62، قد تصبح الحسابات بعد الاستبدال إلى حد ما معقدة."

'احسب التعبيرات التالية. (5) (sqrt{3}+sqrt{-1})(1-sqrt{-3})'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'السؤال 95 جذر 15 مقسوما على 2 < r < 4'

'قم بحساب التعبيرات التالية. افترض أن a>0 ، b> 0.'

'ابحث عن مجموع المتتابعة من البند الأول إلى البند الثامن.'

"(2) عرف العكس، والمعكوس، والدوري لعبارة 'إذا كانت xy عددًا غير نسبيًا، فإن واحد على الأقل من x، y عدد غير نسبي'، وحدد قيم الحقيقة."

'باستخدام حقيقة أن √3 هو عدم عقلانية، أثبت أن 1/√2 + 1/√6 عدم عقلاني.'

''

'استخدم دليل العكسي من المقولة 61 ، وأكد أن \ \\sqrt{7} \ عدد غير منطقي، ثم أكد أن \ \\sqrt{5}+ \\sqrt{7} \ عدد غير منطقي. المبدأ الأساسي 2. من الصعب إظهار بشكل مباشر أن العدد غير منطقي (أي ليس منطقيًا). لذا ، نفترض أن البند الذي يجب إثباته غير صحيح ، ونستخلص تناقضًا ، ونثبت أن البند صحيح.'

'في △ABC، حيث a=1+√3، b=2، و C=60°. ابحث عن ما يلي:\n(1) طول الضلع AB\n(2) قياس ∠B\n(3) مساحة △ABC\n(4) نصف قطر الدائرة المحيطة\n(5) نصف قطر الدائرة المداخلة\n[مشابهة لجامعة التربية نارا]\nص. 285 EX118,119'

'حول قيمة √2'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'بالنسبة للنتائج التالية، قدم المضاد والعكسي المضاد، وحدد ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة.'

'استخدام تمرير المقام بصورة منطقية.'

'ابحث عن قيمة (3) (1+√3)^3.'

'في المثال 28، تقاوم المقام الناجح ل x إلى x=5-2√6، وتقاوم المقام لل y إلى y=5+2√6.'

'أثبت كل جزء من المشكلة التالية. (2) بافتراض أن √n و √(n+1) عددين رياضيين. أثبت أن √n و √(n+1) هما عددين صحيحين إيجابيين. (3) بافتراض أن √(n+1) - √n عدد رياضي. أظهر خصائص √n و √(n+1). حل المشكلة التالية. استنبط a x + y من (a x + y)/(1 - a) = a وحل المعادلة.'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'قم بتبسيط التعبيرات التالية عن طريق تركيب المقامات.'

'قدم مثالًا مضادًا للاقتراحات التالية.'

'قم بتبسيط التعبيرات التالية عن طريق جعل المقامات منطقية.'

'اشرح خصائص الأعداد الحقيقية والجذور التربيعية.'

'دع A يكون مجموعة الأعداد الكسرية و B تكون مجموعة الأعداد اللاكسرية في 33®. دع ∅ تمثل المجموعة الفارغة. اختر الرمز المناسب ∈, ∋, ⊆, ⊇, ∪, ∩ لملء الفراغات أدناه.'

'أثبت أن \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ عدد لا يمكن التعبير عنه بواسطة كسر عشري. يفترض أن \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ معروفة بأنها لا تُعبر عنها بواسطة كسر عشري.'

'ثبت أنه بالنسبة لأعداد رياضية a، b، c، d وعدد غير عقلاني x، إذا كان a+bx=c+dx، فإن a=c و b=d.'

'المثال الأساسي 27 الجزء الصحيح والعشري'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'اعتمادًا على الشروط المعطاة، AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}. باختيار النقاط D, E, F, G كما هو موضح في الشكل، فلنفترض أن طول الضلع الرأسي للمستطيل هو x، حيث DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x، FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن 0<CE<AC، فإننا نتلخص في 0<2 x<3 \\sqrt{2} مما يعني 0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}. لنكن y مجموع المساحتين للمستطيلين، إذًا y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6. القيمة القصوى لـ y هي 6 عندما x=\\sqrt{2}. لذلك، القيمة القصوى لمجموع مساحتي المستطيلين هي 6.'

'إثبات باستخدام دليل بالتناقض'

'قم بترشيح المقامات وتبسيط التعابير التالية:'

'أثبت أن مجموع العددين الإقليديين والعددين العقلانيين هو عدد عقلاني.'

'قم بإثبات أن PR√2+√3 هو عدم كسري. افترض أن √2 و √3 على حد سواء عدم كسريين.'

'أثبت أن مجموع العدد النسبي والعدد اللا نسبي يكون لا نسبيًا.'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'من منصب \\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ يتبين أن \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\. فلتكن \\\mathrm{T}\ النقطة على الخط \x=1\ حيث تكون إحداثيات \y\ هي \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\. تقاطع خط \OT\ والدائرة النصفية ذات نصف قطر 1 هو النقطة \\\mathrm{P}\ في الشكل. الزاوية \\\theta\ المطلوبة هي \\\angle \\mathrm{AOP}\.'

'بسط التعبير التالي.'

'بالنظر إلى x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}، y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}، اعثر على قيم المعادلات التالية.'

'عدد الحلول عندما يكون 84 a > -1 / 8 ، عدد الحلول عند a = -1 / 8 ، عدد الحلول عندما يكون a < -1 / 8'

'عندما تكون x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}}، احسب قيم المعادلات التالية.\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'ثبت باستخدام دليل النقض أن √3 هو عدد غير منطقي.'

'79 (1) الناتج z=√3+i, -√3-i (2) الناتج z=2i, -√3-i, √3-i'

''

'(2) النقطة z تحقق المعادلة |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z، أي w=2(1+√3 i) z من z =w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8، استبدل في (1) للحصول على |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1، أي |(1-√3 i)/8||w-8|=1|(1-√3 i)/8|=2/8=1/4، لذلك |w-8|=4 لذلك، ترسم النقطة w دائرة مركزها النقطة 8 ونصف قطرها 4. المرجع 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)) لذلك، النقطة (2+2 √3 i) z هي النقطة التي حصلت عليها بتدوير النقطة z حول الأصل بزاوية π/3 وضربها بمقدار 4. لذلك، ينتقل النقطة الوسطى 1-√3 i من الدائرة |z-(1-√3 i)|=1 إلى النقطة 8، ونصف قطر الدائرة هو 4. لذلك، ترسم النقطة w دائرة مركزها النقطة 8 ونصف قطرها 4.'

'يرجى شرح المصطلحات التالية: محدود، قيمة محددة محددة، شعاع موجه، مخروطي بؤري، دالة رياضية، دالة إيجابية، مجموع التربيعات، زاوية غاية، انحراف، حجم المجسم، ليماكون، قسمة الصفر، مصفوفة صفراء، متجه صفري، ليمنيسكيت، متواصل، سلسلة لايبنتز، قاعدة لوبيتال، المبرهنة رول'

'بالنسبة إلى العدد المركب \ \\alpha=a+b i \ حيث \ \\overline{\\alpha}=a-b i \ هو متكاملة \ \\alpha \، الرقم المركب المتكامل، أو العدد المركب المشترك ل \ \\alpha \، قم بإثبات ما يلي:\n\n(1) إذا كانت \ \\alpha \ عددًا حقيقيًا، فإن \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \، إذا كانت \ \\alpha \ عددًا تخيليًا نقيًا ب \ \\alpha \\neq 0 \، فإن \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \٠\n(2) قم بإثبات أن \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ هو عدد حقيقي.\n(3) قم بإثبات أن \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \.\n(4) قم بإثبات أن \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \٠'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\nمن (1)، s^2/b^2 + t^2 = 1\nبالإستبدال في (2) نحصل على t^2 = 1 - s^2/b^2\nنوجه s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1\nنبسط لنحصل على s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)\ns > 0، b > 0، إذا s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\nمن (2)، (3) نحصل على t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)\nt > 0، a > 0، b > 1، إذا t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'الإجابة على مشكلة التمرين هي t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'التمرين 44\\n(1) (الحل 1) x=1/(y^2-2y) من هنا، لدينا y^2-2y-1/x=0 لنكن محدد الفرق لهذا المعادلة التربيعية D\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 يعني 1/x+1 >= 0 لذلك، x<=-1,0<x وبالتالي، عندما x<=-1,0<x لدينا y=1±√(1+1/x)'

'إجابة سؤال التمرين 62 (1) أ = \\ frac{9}{8}'

'شروط صحة المعادلة'

'حل مشكلة التمرين 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'العثور على الجذر التربيعي الn للعدد 1 وشرح الموقع الذي يتطابق مع كل قيمة على الدائرة الوحدية.'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا للمشاكل التالية.'

'(1) \ z \ هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 0، 1، و-1'

'اقرأ البرهان التالي لإظهار أن e عدد غير منطقي.'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'ثبت عدم المساواة e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'التمرين 41 III: أثبت عدم المساواة \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \.'

'(1) تم حذفه\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

"يرجى شرح البرهان على 'e هو عدد غير منطقي'. أظهر إجراء إثبات أن e هو عدد غير منطقي باستخدام طريقة الإثبات بالتناقض والسلاسل اللانهائية."

'عندما تكون α=√3+i وβ=2-2i، فأعبر عن αβ وα/β بالشكل القطبي، حيث يكون الوسيط θ في النطاق 0≤θ<2π.'

'لتكن a ، b أعدادًا حقيقية غير سالبة. تنطبق المعادلات التالية عندما a > 0 ، b > 0 ، لكن ماذا عن الحالات الأخرى؟ قم بالتحقيق في الحالات التالية.'

'قم بحساب التعبيرات الرياضية التالية.'

'(1) لنفترض a = 1/4, b = 3/4, و 2ab = 3/8، و a^2 + b^2 = 5/8،\n\nيمكن توقع a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b.'

'أجب على الأسئلة التالية. افترض أن $\\sqrt{3}$ هو عدد غير منطقي.\n(1) أثبت أن $\\log_{3} 4$ هو عدد غير منطقي.\n(2) اعثر على زوج واحد من الأعداد الحقيقية $(a، b)$ ، حيث $a$ و $b$ غير منطقيين ، و $a^{b}$ منطقي.'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'ابحث عن قيم θ بحيث يكون 21θ بين 210 درجة وπ/2. على الرغم من أن cos θ ليس عددًا رياضيًا، إلا أن أحكام 2θ و cos 3θ تكون كلتاهما أعداد عقدية.'

'تحديد عدد الأرقام والرقم العشري الأول باستخدام اللوغاريتمات الشائعة'

''

'ابحث عن الأعداد الرياضية x و y التي ترضي المعادلة 20^x = 10^(y+1).'

'ترجم النص المعطى إلى عدة لغات.'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'السؤال 24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'العثور على عدد مركب z الذي يرضي المعادلة z^2=2+2sqrt(3)i.'

'32 اللوغاريتمات الشائعة\n33 مشاكل متقدمة ذات صلة تمارين'

'تحديد عدد الأرقام باستخدام اللوغاريتمات الشائعة وموقع أول رقم غير صفر في العشري'

'القيمة القصوى هي (9 + 4√3) / 9 ، والقيمة الدنيا هي (9 - 4√3) / 9'

''

'حدد ترتيب مجموعات الأرقام التالية باستخدام علامات العدمية.'

'95 ليس عددا عقديا.'

'لنكن a عددًا حقيقيًا إيجابيًا على السطح المعقد ، w=a(cosπ/36+isinπ/36). وتعرف على تسلسل الأعداد المعقدة {zn} على أن z1=w ، zn+1=znw^(2n+1) (n=1,2 ،…). (1) العثور على الحجة zn. (2) في السطح المعقد ، مع المنشأ ك O وتمثيل zn كنقطة Pn. العثور على قيم n و a بحيث تكون △OPnPn+1 مثلثًا متساوي الضلع القائم الزاوي ل 1≤n≤17.'

'(3) x = √5/10 لديه قيمة قصوى تبلغ √5/2 عند x = -1/2 وقيمة دنيا تبلغ -1/2'

'يرجى شرح كيفية استخدام مفهوم سلسلة هندسية لا نهائية للتعبير عن عشري متكرر ككسر.'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) قم بتمثيل الجزء الصحيح للعدد الحقيقي a (k ≤ a < k+1 و k عدد صحيح) على شكل [a]. اعثر على عدد العناصر المختلفة بين [f(1)], [f(2)], [f(3)], ..., [f(1000)]. قم بالحساب حسب الحاجة باستخدام log 10 = 2.3026.'

'ترجمة النص المعطى إلى عدة لغات.'

'التمرين ⊕ 31'

'عندما يسقط كرة على الأرض، ترتد إلى 3/5 من ارتفاع السقوط.'

'حساب التالي.'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'برهن أن المعادلة α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0 صحيحة عندما يكون مثلث ABC مع الرؤوس A(-1)، B(1)، C(√3i) هو مثلث متساوي الأضلاع ومثلث PQR مع الرؤوس P(α)، Q(β)، R(γ) هو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع.'

'رسم بياني ونطاق الدوال العقلانية\nرسم بياني ونقاط تقاطع الأعداد العقلانية، المتباينات العقلانية'

'(1) عندما يكون |x| صغيرًا بما فيه الكفاية ، ابحث عن التقريب من الدرجة الأولى والثانية للدوال التالية.'

'دع α و z تكون عددين مركبين، حيث |α|>1. قارن بين قيم |z-α| و|α z-1|.'

'قم بتمثيل الأعداد التالية في شكل قطبي. المعترض 𝜃 يجب أن يرضي 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2. نفترض (1) بأنها y=1/(x+3) و (2) بأنها y=1/(3-x). حل هذا يعطي x=0. الحل المطلوب لعدم المساواة هو نطاق قيم x حيث يكون مخطط (1) فوق مخطط (2) أو حيث يكون لديهم نقاط مشتركة. لذا، من الشكل، النطاق الذي نبحث عنه من قيم x هو -3 < x ≤ 0, 3 < x.'

'عندما تكون a=-\\frac{24}{\\pi^{2}} و b=\\frac{12}{\\pi^{2}}، القيمة الدنيا هي -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ |z+√3| عندما ترضي العدد المركب z |z-i|=1 ، وقم بتحديد القيم المقابلة لـ z.'

'عندما تكون a= \\frac{2}{e+1} ، القيمة الدنيا هي \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'كيفية تقسيم مربع إلى ثلاثة أجزاء متساوية'

'خصائص الجذر الn من 1'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'هناك نوع من النمو لا يمكن تعبير عنه بالأرقام.'

'لنفترض أن عددًا مركبًا z يرضي |z| ≤ 1. بناءً على العدد المركب w = z-√2 ، أجب على الأسئلة التالية حول w: (1) ما نوع الشكل الذي يرسمه نقطة w على المستوى المركب؟ قم برسمه. (2) إذا قمنا بتمثيل القيمة المطلقة لـ w^2 بـ r والمرجع بـ θ ، فجد نطاق r و θ. يرجى ملاحظة أن 0 ≤ θ < 2π.'

'مثال أساسي 432 85 حاصلضرب وناتج قسمة الأعداد المركبة\nلنفرض α=1-i، β=√3+i. حيث يكون الحجة 0 ≤ θ < 2π.\n(1) عبّر عن αβ وα/β على التوالي بالشكل القطبي.\n(2) إيجاد arg(β^4)، |α/β^4|.\n(3) راجع الصفحة 429 الأساسيات 1 1, 2'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'قم بترتيب قيم الدالة التالية بترتيب تنازلي: (11^1/10، 13^1/12، 15^1/14)'

'ثبت عدم المساواة \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \。'

'جد القيمة الدنيا عندما t = 2/3.'

''

'إذا كان العدد المركب z يتحقق من |z|=1، فإن القيمة القصوى لـ |z^3-1/z^3| هي أ.'

'من خلال التعبير عن 1+√3i و 1+i في شكل قطبي، اعثر على قيم cos(π/12) و sin(π/12) على التوالي.'

'9 مقسومة على 8'

'٤٢ (١) ١٠√٣\n(٢) ١:٣'

'عندما تكون z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \ ، القيمة القصوى هي 3. عندما تكون z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\) ، القيمة الدنيا هي 1.'

'وصف خصائص جذر 1 إلى القوة n.'

'الفرق في السرعة يتناقص حتى يصل إلى اللانهاية'

'34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \'

'144'

'مثال 11 الكسور العشرية المتكررة'

'قم بتعبير الكسور العادية التالية ككسر.'

'ثبت أنه لا يوجد عدد طبيعي n بحيث كل من √n و √(n+1) عددين عقديين.'

'تمرين 4 | II --> الكتاب ص.59\n(2)\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'في المثال 31، للحجر احتمالية 1/2 للتحرك من النقطة A إلى B و C على التوالي. بالمثل، لديه احتمالية 1/2 للتحرك من النقطة B إلى C و D. من خلال ملاحظة الأحجار التي تصل إلى كل نقطة من A و B إلى C، من B و C إلى D، من C و D إلى E، وهلم جرا. وبالتالي، يمكن الاستنتاج بأنه عندما يتحرك الحجر من النقطة P، Q إلى النقطة R، فإن احتمالية الوصول إلى النقاط P، Q، R تكون p، q، r على التوالي، ثم r=\\frac{1}{2} p+\\frac{1}{2} q. باستخدام هذا، يمكن حساب احتمالات الوصول إلى كل نقطة تباعاً.'

'يرجى قراءة شرح الأعداد الحقيقية وخصائصها والإجابة على الأسئلة التالية:\n1. كيف تصنف الأعداد الحقيقية؟\n2. كيف تمثل النقطة P المتوافقة مع الإحداثيات a على خط الأعداد؟\n3. يرجى تقديم تعريف للقيمة المطلقة.\n4. حدد الجذر التربيعي واشرح الفرق بين الجذر التربيعي الإيجابي والسلبي.'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'يرجى تقديم مثال على كيفية ظهور الأعداد اللاعقلانية في مشاكل رياضية محددة.'

'من الرقم 128 في الرياضيات I (3)، باعتبار عدم المساواة \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\]، نحصل على \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ حل المعادلة \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \ يعطي \ \\theta=30^{\\circ} \. نظرًا لأن الحل يقع على الخط \ x=1 \ مع إحداثي \ y \ أكبر من أو يساوي \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \، فإن نطاق الحلول هو \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \'

'تمرن على إثبات ما يلي باستخدام فريدية تحليل الأعداد الأولية.'

'أثبت أن جذر 3 هو عدد غير عقلاني.'

'لنكن x عددًا موجبًا. يمكن تبليط مستطيل له طولا يكون فيهما الاثنان كل من الأعداد النسبية بنوع من المربع. وبعبارة أخرى ، بالنسبة لمستطيل بأطوال جانبية تبلغ 1 و x ، إذا كان x عددًا نسبيًا ، فيمكن تبليطه بنوع واحد من المربع. إذا لم يمكن تبليطه بنوع واحد من المربع ، فإن الطول الآخر للمستطيل يكون غير منطقي. باستخدام هذه الحقيقة ، قم بإثبات أن √10 هو عدد غير نسبي.'

'ابحث عن نطاق الدالة y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5}.'

'42 √7 أو 1+√6'

عقلن مقام التعبيرات التالية. (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x هو عدد غير منطقي. برهن باستخدام طريقة البرهان بالتناقض على الاقتراح التالي: على الأقل واحد من x^2 أو x^3 هو عدد غير منطقي.

جد قيم التعبيرات المعطاة قيم x و y المحددة على النحو التالي: x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}. (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

التدريب 27 (1) من بين العبارات التالية (1) إلى (4)، اختر جميع العبارات الصحيحة. (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$. (2) $\sqrt{0.25}=0.5$. (3) الجذر التربيعي لـ rac{49}{64} هو \pm rac{7}{8} . (4) الجذر التربيعي لـ rac{49}{64} هو فقط rac{7}{8} . (2) أوجد قيم \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) على التوالي.

اعتبر متعدد الحدود بالنسبة إلى x و y P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by ، حيث a و b ثابتان نسبيان. (1) عندما يكون x = 1/(2-√3) و y = 1/(2+√3) ، أوجد قيمتي x + y و x - y. (2) فيما يتعلق بقيم x و y في (1) ، إذا كان P = 4 ، أوجد قيمتي a و b.

نظرًا لأن $5 a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$، أوجد قيم التعبيرات التالية. (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

لتكن x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, أوجد قيم التعبيرات التالية: (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3} + x^{3} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

فيما يتعلق بالناتج x y، بالنسبة لـ x و y، نظرًا لأن مقام x وبسط y هما نفسهما، ومقام y وبسط x هما نفسهما، يمكننا حساب x y=1 دون تحويل المقام إلى قيمة جذرية. العلاقة العكسية: \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

إثبات بالتناقض (2) (1) أثبت أن $\sqrt{2}$ عدد غير نسبي باستخدام الإثبات بالتناقض. افترض للتناقض أن $\sqrt{2}$ عدد نسبي. إذن، هناك عددان صحيحان $p$ و $q$ ليس لهما عوامل مشتركة بحيث يكون \sqrt{2} = rac{p}{q}. بتربيع الجانبين نحصل على 2 = rac{p^2}{q^2}، أي أن 2q^2 = p^2. بما أن p^2 عدد زوجي، يجب أن يكون $p$ أيضًا زوجيًا. إذن، ليكن $p=2k$ لبعض العدد الصحيح $k$. بالتعويض، نحصل على 2q^2 = (2k)^2، أي أن 2q^2 = 4k^2. بالتبسيط نحصل على q^2 = 2k^2، لذا يجب أن يكون $q$ أيضًا زوجيًا. هذا يعني أن p و q يتشاركان عاملاً مشتركًا وهو 2، مما يتناقض مع الفرضية بأن p و q ليس لهما عوامل مشتركة. لذلك، $\sqrt{2}$ عدد غير نسبي.

أثبت أن TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ هو عدد غير نسبي. يمكنك استخدام الحقيقة أن مربع العدد الصحيح $n$ إذا كان مضاعفًا لثلاثة فإن $n$ هو أيضًا مضاعف لثلاثة.

ماذا تسمي العدد الذي يمكن التعبير عنه على شكل كسر rac{m}{n} باستخدام عدد صحيح $m$ وعدد صحيح غير صفري $n$؟

عند كتابة rac{30}{7} كرقم عشري، جد الرقم في الخانة العشرية المئة.

عقلنة مقامات التعبيرات التالية. (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) افترض أن $a, b, c, d$ هي أعداد نسبية و $\sqrt{l}$ هو عدد غير نسبي. أثبت أن $b=d$ عندما $a+b \sqrt{l}=c+d \sqrt{l}$. كما أثبت أن $a=c$ في هذه الحالة. (2) أوجد قيم $x$ و $y$ النسبية التي تحقق المعادلة \( (1+3 \sqrt{2}) x+(3+2 \sqrt{2}) y=-5-\sqrt{2} \).

ماذا يسمى العدد العشري الذي ينتهي عند مرتبة عشرية معينة؟

باستخدام حقيقة أن √6 هو عدد غير نسبي، اثبت أن الأعداد التالية غير نسمية: (1) 1-√24 (2) √2+√3

ما هو الرقم العشري الذي يتكرر فيه نفس تسلسل الأرقام تحت موضع معين؟

قم بإزالة الجذر المزدوج من التعبيرات التالية. (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(1) اختر جميع الإجابات الصحيحة من 1〜(4) التالية. (1) الجذر التربيعي للعدد 7 هو $\pm \sqrt{7}$ (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} (2) الجذر التربيعي للعدد 7 هو فقط $\sqrt{7}$ (4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} (2) احسب قيم \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \)

عبر عن الكسور العشرية المتكررة $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ كسورًا اعتيادية.

TRAINING 42 إذا كانت الجزء الصحيح من \sqrt{6}+3 هو a والجزء العشري هو b، فإن قيمة a^{2}+b^{2} تساوي \square.

باستخدام حقيقة أن √3 هو عدد غير نسبي، أثبت أن 1+2√3 هو عدد غير نسبي.

ماذا يُسمى العدد العشري الذي تستمر الأرقام بعد الفاصلة العشرية فيه بلا نهاية؟

النقطة \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) هي كيفية تحريك النقطة $z$. نطاق زاوية الدوران $heta$ هو $-\pi< heta \leqq \pi$.

لأن النقطة rac{z}{z-2} تقع على المحور التخيلي، فإن الجزء الحقيقي من rac{z}{z-2} يساوي 0.

القيمة المطلقة للعدد المركب بالنسبة للعدد المركب $z=a+bi$، فإن المسافة بين النقطة $z$ والأصل $O$ المعطاة بـ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ تسمى القيمة المطلقة للعدد المركب $z=a+bi$، ويتم تمثيلها بـ $|z|$. بمعنى آخر، القيمة المطلقة للعدد المركب هي عدد حقيقي. احسب القيمة المطلقة للأعداد المركبة التالية $z$: 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

خصائص الأعداد المركبة المرافقة: بالنسبة للأعداد المركبة α و β، فإن ما يلي صحيح.

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) القيمة الدنيا $2 \sqrt{5}$ عند $t=-1$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

احسب الأعداد المركبة التالية: (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

احسب الطور للتالي من الأعداد المركبة. (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) بالترتيب rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

الجزء التخيلي من العدد المركب $z$ موجب، والنقاط الثلاث \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) هي رؤوس مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. أوجد $z$.

بالنسبة للعدد المركب $z$، أثبت أن |z|=|-\overline{z}| .

78 1، 1/√2 + 1/√2i، i، -1/√2 + 1/√2i، -1، -1/√2 - 1/√2i، -i، 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (ウ) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

ليكن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد المركب lpha كلاهما موجب. وأيضاً, ليكن |lpha|=|eta|=1 . إذا كانت الأعداد المركبة i lpha, rac{i}{lpha}, eta تمثل ثلاث نقاط في المستوى المركب التي تُشكل رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، جد lpha و eta .